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Exercícios de Cinemática

1. Movimento rectilíneo com dependência em t

1.1. Um corpo percorre uma trajectória rectilínea de acordo com a lei ( ) 3 26 15 4x t t t t= − − + 0 (SI).

Determine:

a) a velocidade média do corpo entre os instantes 2t = s e 5t = s;

b) a expressão geral da velocidade;

c) a velocidade no instante s; 1t =

d) as posições em que a velocidade se anula;

e) a aceleração média do corpo entre os instantes 1t = s e 4t = s;

f) a expressão geral da aceleração;

g) a aceleração no instante s; 3t =

h) os intervalos de tempo em que o movimento é acelerado ou retardado.

1.2. Um corpo move-se ao longo do eixo Ox segundo a lei ( ) 3 22 15 24 4x t t t t= − + + (m). Determine:

a) as dimensões das constantes numéricas;

b) a expressão geral da velocidade;

c) a expressão geral da aceleração;

d) os instantes em que o corpo passa pela origem;

e) a posição do corpo nos instantes em que a velocidade se anula;

f) a distância percorrida pelo corpo ao fim de 5 segundos.

1.3. A aceleração de um corpo em movimento rectilíneo é directamente proporcional ao tempo. Para 0t = s, a

velocidade do corpo é ( )0 1v t 6= = − m⋅s−1. Sabendo que a velocidade e a coordenada de posição são nulas

quando s, determine a aceleração, velocidade e posição do corpo num instante genérico. 4t =

Resolução

A aceleração é proporcional ao tempo,

a kt= (m⋅s−2)

e as condições iniciais do movimento são

( )0 1v t = = − 6 (m⋅s−1)

( )4 0v t = = (m⋅s−1)

( )4 0x t = = m

Para determinar o valor da constante k,

[ ]4

4 0 02160 16

0

1 8 12

dva adt dv ktdt dv kt v kdt −−

⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 6

ou seja

M. Faria – Dez 2007 1/31

Exercícios de Cinemática 2k = (m⋅s−3)

A aceleração é

2a = t (m⋅s−2)

Tem-se

( )[ ] ( ) ( )2 2

1600 162 1

t v t t v tdva adt dv tdt dv t v t v tdt −−

⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = +⎣ ⎦∫ ∫ 6

e a velocidade é

( ) 2 16v t t= − (m⋅s−1)

Tem-se

( ) ( )[ ] ( )2 3

04 04

116 163

tt x t x tdxv vdt dx t dt dx t t x

dt⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ⇒

( ) 31 128163 3

x t t t⇒ = − + (m)

1.4. Considere uma partícula que se desloca em movimento rectilíneo com uma velocidade dada por

(m⋅s( ) 2tv t e−= −1). Sabendo que a partícula parte da origem do referencial Ox, determine:

a) a aceleração;

b) a posição para qualquer instante;

c) o tempo que a partícula demora a parar.

Resolução

a) A aceleração obtém-se por derivação da velocidade

( ) ( ) 22 tdva t a t edt

−= ⇒ = − (m⋅s−2)

b) A posição em qualquer instante obtém-se por integração, sabendo que ( )0x = 0 . Tem-se:

( )( ) ( )2 2

0 0

1 12

x t t t tdx v dx vdt dx e dt x t edt

− −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −∫ ∫ m

c) A partícula pára quando a sua velocidade se anula. Se for T o instante em que a velocidade se anula

deve ter-se

( ) 20 0Tv T e T−= ⇒ = ⇒ → +∞

ou seja a partícula nunca pára.

1.5. Considere uma partícula que se desloca com movimento rectilíneo sujeita à aceleração dada por

(m⋅s( ) 10 ta t e−= −2). Sabendo que no instante inicial 0t = s a partícula se encontra em repouso na origem do

referencial, determine:

a) a lei de velocidade num instante genérico;

b) a posição em qualquer instante;

c) a distância percorrida entre os instantes 1t = s e 2t = s.

M. Faria – Dez 2007 2/31


1.6. Uma partícula descreve uma trajectória rectilínea sujeita a uma aceleração ( ) 1 2a t k k t= − (SI), onde k1 e

k2 são constantes. Sabendo que no instante inicial a partícula se encontra em repouso na origem do

referencial, e que nos instantes s e 1t = 2t = s as velocidades são respectivamente m⋅s( )1v t = = 0 −1 e

( )2v t = = −2 m⋅s−1, determine:

a) o valor das constantes k1 e k2 e respectivas unidades;

b) a lei da velocidade e a lei do movimento;

c) a distância total percorrida ao fim de 4 s.

Resolução

a) Comecemos por obter a lei da velocidade

( )( )

[ ] ( )221 2 1 00 0

02

tt v t v tkdva adt dv k k t dt dv k t t v

dt⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ⇒

( ) 221 2

kv t k t t⇒ = −

Conhecidos os valores particulares da velocidade

( )1 0v t = = m⋅s−1

( )2v t = = −2 m⋅s−1

ficam determinadas as constantes

( )

( )

221

13

2 21

1 0 1 m s22 m s2 2 4 2

2

kv k kk kv k

−

−

⎧ = − =⎪ ⎧ = ⋅⎪ ⎪⇒⎨ ⎨= ⋅⎪⎪ ⎩= − = −

⎪⎩

b) Usando os valores das constantes na expressão da velocidade vem

( ) 2v t t t= − (m⋅s−1)

Por integração e sabendo que no instante inicial a partícula se encontra na origem do referencial, obtém-se a

lei do movimento

( ) ( )[ ] ( )2 2 3

00 00

1 12 3

tt x t x tdxv vdt dx t t dt dx t t x

dt⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ⇒

( ) 21 12 3

3x t t⇒ = − t (m)

c) Primeiro temos de verificar se há inversão no sentido do movimento até ao instante s. Para

haver inversão do sentido do movimento é necessário que o sinal da velocidade mude, e deve portanto

anular-se. Como a velocidade se anula para

4t =

1t = s e muda de sinal, há inversão no sentido do movimento e a

distância total percorrida é

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4 0 1 1 4 1 0 4 1d t d t d t x x x x≤ < = ≤ < + ≤ < = − + − =

M. Faria – Dez 2007 3/31

Exercícios de Cinemática 1 1 16 64 1 1 13,52 3 2 3 2 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

m

1.7. A aceleração dum ponto material é definida por . Sabendo que para s, m⋅s2a kt= 0t = 0 24v = − −1,

m e que quando s, m⋅s0 50x = 4t = 40v = −1, escreva a lei do movimento da partícula.

1.8. A aceleração de um corpo com movimento rectilíneo é dada por ( ) 24a t t= − (SI). Sabendo que

( )3 2v t = = ms−1 e m, estabeleça a lei do movimento. ( )2 9x t = =

1.9. A aceleração de um corpo com movimento rectilíneo segundo a direcção Oz é dada por ( )a t gt= − ,

onde g é uma constante, e a sua posição inicial é ( )0z h= . Determine o instante em que o corpo passa pela

origem do referencial e a sua velocidade nesse instante para os diferentes casos em que a velocidade inicial é:

a) ; 0 0v =

b) , com k uma constante positiva; 0v k=

c) , com k uma constante positiva. 0v = −k

1.10. Um corpo movendo-se com velocidade inicial de 3 m⋅s−1, é submetido a uma aceleração constante de 4

m⋅s−2 com o sentido oposto ao da velocidade. Qual a velocidade do corpo e a distância percorrida após 20s.

2. Movimento rectilíneo com dependência em v

2.1. Um ponto material em movimento rectilíneo está sujeito a uma força de atrito proporcional à velocidade,

de tal modo que a sua aceleração é dada por 3a v= − , em unidades SI. No instante inicial, m⋅s0 60v = −1.

Determine:

a) A distância percorrida até o ponto material atingir o repouso.

b) O tempo necessário para a velocidade se reduzir a 1% do seu valor inicial.

Resolução

a) A aceleração é

3a v= −

e no instante inicial

( )0 60v t = =

Tem-se

M. Faria – Dez 2007 4/31


( )( )

[ ] [ ] ( )0 600 60

1 1 ln3 3

t v t t v tdv dva dt dt dv t vdt a v v

⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ⇒

( ) ( ) ( ) 31 ln ln 60 3 ln 603 60

tv tt v t t v t −⎡ ⎤⇒ = − − ⇒ − = ⇒ =⎣ ⎦ e (m⋅s−1)

O ponto material atinge o repouso quando a sua velocidade se anula, ou seja no instante tal que Tt =

( ) 30 60 0Tv t T e T−= = ⇒ = ⇒ → +∞

Se no instante inicial o ponto material se encontra na posição de coordenada x0,

( )[ ] ( )

00

3 300

60 20t x t t x tt t

xx

dxv vdt dx e dt dx e xdt

− −⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ = ⇒ − =⎣ ⎦∫ ∫ ⇒

( ) ( )30 20 1 tx t x e−⇒ = + −

Como a velocidade é sempre positiva, o ponto material nunca inverte o sentido do movimento e a distância

percorrida ( )d t no instante t é

( ) ( ) ( )30 20 1 td t x t x e−= − = −

No instante a distância percorrida é T →+∞

( ) ( )3lim 20 1 20T

Td T e−

→+∞→ +∞ = − = m

ou seja, embora nunca pare, a distância máxima que o ponto material percorre é de 20 metros.

b) Seja τ o instante em que a velocidade se reduz a 1 % do seu valor inicial. Tem-se

( ) ( )0,01 0 0,06v t v t= τ = = =

Usando a lei da velocidade,

( ) 3 10,06 60 0,06 ln 0,01 1,5353

v t e− τ= τ = ⇒ = ⇒ τ = − ≈ s

2.2. Um corpo executa um movimento rectilíneo com aceleração dada por ( ) 2a v kv= − . Sabendo que em

s o corpo está na origem do referencial com velocidade 00 =t 200 =v m⋅s−1 e em s a velocidade é

m⋅s

101 =t

21 =v −1, determine:

a) o valor de k, as suas dimensões físicas e unidades SI;

b) a posição em s. 101 =t

2.3. A aceleração de uma partícula é definida através da relação ( ) ( )0,4 1 4a v v= − , onde k é uma constante.

Sabendo que em a partícula parte do repouso em 0t = 4=x m, e que quando s a velocidade é 4

m⋅s

15t =−1, determine:

a) a constante k;

b) a posição da partícula quando m⋅s6v = −1;

c) o valor máximo da velocidade.

M. Faria – Dez 2007 5/31


3. Movimento rectilíneo com dependência em x

3.1. Uma partícula oscila numa calha rectilínea, entre 40Ax = mm e 160Bx = mm com uma aceleração

( )100a k x= − (mm⋅s−1). A velocidade da partícula é de 18 mm⋅s−1 quando 100x = mm e torna-se nula para

as posições xA e xB. Determine: B

a) o valor de k;

b) a velocidade quando mm. 120x =

3.2. A aceleração de uma partícula é dada por ( ) 290 6a x x= − (m⋅s−2). Sabendo que para a velocidade

é nula, determine:

0x =

a) a velocidade quando ; 5x =

b) a posição onde a velocidade se anula novamente;

c) a posição onde a velocidade é máxima e o valor da velocidade.

3.3. Considere uma grelha difusora de ar. A velocidade do ar é dada por 0( ) kvv xx

= , em que k é uma

constante, x representa a posição do ar relativamente à grelha difusora e v0 é a velocidade em 0x k= .

Sabendo que m⋅s0 0,4v = −1 e que em m a aceleração é 0,4Ax = 0,1Aa = − m⋅s−2, determine:

a) a aceleração em função da distância e o valor numérico da constante k;

b) a posição em função do tempo, supondo que 0 0t = s;

c) a velocidade em função do tempo;

d) a velocidade e posição no instante 2t = s.

3.4. Um corpo ligado a uma mola, oscila num plano horizontal sem atrito. O corpo passa em 0Ax = m com

velocidade m⋅s24Av = −1 e em m com velocidade 6Bx = 0Bv = m⋅s−1. Sabendo que a aceleração do corpo é

proporcional à coordenada x, determine a constante de proporcionalidade.

Resolução

A aceleração é

a kx=

e as condições iniciais são

( )0 24v x = =

( )6 0v x = =

Tem-se sucessivamente

M. Faria – Dez 2007 6/31


( ) ( )6 0

0 24

v

dv dv dxa a x a x dx vdv kxdx vdvdt dx dt

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ ∫ ⇒

6 02 2

0 24

1 1 36 576 162 2

kx v k k⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = ⇒ = − ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− s−2

3.5. A aceleração de uma partícula é dada por ( ) 6 14a x x= − (SI). Sabendo que para a velocidade é 4

m⋅s

0x =

−1, determine:

a) a velocidade da partícula quando 1x = m;

b) a velocidade da partícula quando esta percorreu a distância de 15 metros;

c) a distância máxima da partícula à origem.

3.6. Um corpo desloca-se no sentido positivo do eixo dos xx, sendo a sua aceleração dada por

(m⋅s( ) 10a x x= − −2). Sabe-se que no instante 0t = , ( )0 10v = m⋅s−1 e ( )0x 0= m. Determine:

a) a velocidade como função de x: ( )v f x= ;

b) a posição do corpo para a qual a velocidade vale 8 m⋅s−1;

c) a lei do movimento;

d) a lei da velocidade.

3.7. A aceleração dum ponto material é dada por a x= −25 3 2 . Sabendo que parte do repouso para x = 0 ,

determine:

a) a velocidade após ter percorrido 2 m;

b) a posição onde a velocidade se anula;

c) a posição onde a velocidade é máxima.

3.8. A aceleração dum ponto material é dada por . Sabendo que para , , determine: 290 6a = − x

)

0x = 0 0v =

a) a velocidade quando m; 5x =

b) a posição onde a velocidade se anula novamente;

c) a posição onde a velocidade é máxima e o valor da velocidade.

3.9. Um ponto material desloca-se no sentido positivo do eixo dos xx, sendo a sua aceleração dada por

m⋅s(4 2a x= − −2, onde x vem expresso em metros. Sabe-se que no instante 0t = , m⋅s0 10v = −1 e 0 0x = .

a) Determine ( )v f x= .

b) Determine a posição do ponto material para a qual o módulo da velocidade vale 8 m⋅s−1.

M. Faria – Dez 2007 7/31


4. Movimento rectilíneo – outros problemas

4.1. Uma tartaruga veloz corre a 10 cm⋅s−1 e uma lebre é 20 vezes mais rápida. Numa corrida, ambas partem

no mesmo instante, mas a lebre pára para descansar 2 min, acabando a tartaruga por ganhar por 20 cm.

Quanto tempo durou a corrida e qual a sua extensão?

4.2. Um automobilista desloca-se a 80 km⋅h−1 quando observa que o semáforo, a 250 m, passa a vermelho. O

semafóro está regulado de tal modo que o vermelho permanece 15 segundos. Se o motorista quiser passar

sem precisar de parar no momento em que o sinal passa verde, determine a desaceleração constante que

deverá imprimir ao carro, e a velocidade do carro ao passar pelo semáforo.

4.3. Qual o tempo necessário para um automóvel que se desloca a 60 km/h, ultrapassar outro automóvel com

velocidade de 40 km/h se estiverem a uma distância de 100 m.

4.4. Dois automóveis A e B estão inicialmente distanciados 9 m. A está a deslocar-se com velocidade

constante de 8 m⋅s−1 e B inicia o seu movimento com uma aceleração de 2 m⋅s−2 com o objectivo de atingir o

carro A (os movimentos de A e B são rectilíneos).

a) Qual a lei do movimento e a lei da velocidade de cada carro.

b) Ao fim de quanto tempo os dois carros têm a mesma velocidade.

c) Ao fim de quanto tempo o carro B atinge o carro A.

d) Represente graficamente a velocidade e a posição de cada carro.

4.5. Os móveis A e B inicialmente a uma distância de 3 m, executam movimentos rectilíneos de acordo com

as velocidades v t e respectivamente. Determine: A = +2 vB = −6 t

a) ao fim de quanto tempo os móveis têm a mesma velocidade.

b) o instante em que os móveis se encontram supondo que A se encontra inicialmente à frente de B;

c) o instante em que os móveis se encontram supondo que B se encontra inicialmente à frente de A.

d) Represente graficamente as situações correspondentes às alíneas anteriores.

5. Movimento curvilíneo (sem integração)

5.1. Um ponto material desloca-se de acordo com a lei ( ) ( ) ( )4cos 2 6sin 2x yr t t u t u= + .

a) Escreva a equação cartesiana da trajectória e represente-a graficamente.

b) Escreva a expressão dos vectores velocidade e aceleração.

c) Represente sobre o gráfico da trajectória os vectores velocidade e aceleração no instante 0t = .

M. Faria – Dez 2007 8/31

Exercícios de Cinemática d) Mostre que em qualquer instante o vector aceleração tem o sentido oposto ao de r .

Resolução

a) Usando as equações paramétricas obtém-se a equação cartesiana do movimento

( )( )( )

2 24cos24cos2 6sin 2 1

16 366sin 2x y

x t t x yr t tu tuy t t

⎧ =⎪= + ⇒ ⇒ +⎨=⎪⎩

=

Trata-se de uma elipse centrada em ( )0,0

x

y6

4

b) Os vectores velocidade e aceleração são

( ) 8sin 2 12cos 2x ydrv t tu tudt

= = − +

( ) 16cos 2 24sin 2x ydva t tu tudt

= = − −

c) No instante tem-se 0t =

( ) ( ) ( )0 4 0 12 0 16x y xr u v u a= = = u−

( )0v

( )0a x

y

d) A aceleração é

( ) ( ) ( ) ( )16cos2 24sin 2 4 4cos2 6sin 2 4x y x ya t tu tu a t tu tu r t= − − ⇒ = − + = −

e portanto o vector aceleração tem a direcção de ( )r t e sentido oposto.

5.2. A lei vectorial do movimento de um ponto é ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1x yr t t u t u⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

a) Represente graficamente a trajectória.

b) Escreva a expressão analítica de v e a e determine as suas normas.

M. Faria – Dez 2007 9/31

Exercícios de Cinemática c) Classifique o movimento.

d) Calcule o espaço percorrido durante os primeiros 5 segundos.

5.3. A trajectória de uma partícula é descrita pelo vector posição ( ) 31sin 2 cos 22x yr t tu tu t u= − + z . Escreva

os vectores velocidade e aceleração e os seus módulos no instante 2t = π s.

5.4. Seja ( ) 2 2x yr t t u tu= + o vector que define a trajectória de uma partícula. Para o instante s, calcule

a velocidade, a aceleração e as componentes tangencial e normal da aceleração.

5t =

5.5. O vector posicional de um ponto material é ( ) ( ) ( )2 24 6 6x yr t t u t u tu= − + − + z . Determine:

a) o vector velocidade e o seu módulo;

b) o vector aceleração e o seu módulo;

c) Represente graficamente o vector posição, a velocidade e a aceleração em cada eixo, até s. 6t =

d) Indique o tipo de movimento a que está sujeito o corpo, em cada um dos eixos, até s. 6t =

5.6. Considere a curva C caracterizada pela equação ( ) ( )3cos 2 3sin 2 8 4x yr t tu tu t u= + + − z . Determine:

a) o vector unitário ; tu

b) o raio de curvatura;

c) a normal principal nu

5.7. As equações paramétricas do movimento de uma partícula são

2

3

1

2

x t

y t

z t t

= +⎧⎪

= − +⎨⎪ = −⎩

t

Determine, no instante s, a velocidade, a aceleração, a aceleração tangencial, a aceleração normal e o

raio de curvatura da trajectória.

2t =

5.8. A equação vectorial do movimento de uma partícula é

( ) ( ) ( )5sin 3cosx yr t t u t u= − π + π

a) Obtenha a equação da trajectória da partícula. Represente-a graficamente, assinalando o ponto onde

se inicia o movimento.

b) Verifique que o movimento é periódico. Em 10 s, quantas vezes a partícula percorre a sua

trajectória?

c) Obtenha a expressão da velocidade da partícula, representando-a graficamente da trajectória, entre os

instantes e s. O movimento processa-se no sentido directo ou retrógrado? 0t = 2t =

M. Faria – Dez 2007 10/31

Exercícios de Cinemática d) Mostre que a aceleração da partícula é sempre dirigida para a origem do referencial e que o seu

módulo é proporcional à distância a que a partícula se encontra da origem do referencial.

5.9. As equações paramétricas do movimento de uma partícula são dadas por:

( ) 10sin( ) 20cos

x t ty t t

=⎧⎨ =⎩

a) Escreva a equação da trajectória da partícula e represente-a graficamente.

b) Determine as leis de velocidade e aceleração.

c) Mostre que e represente graficamente o vector aceleração nos pontos A e B definidos por a = −r

20A yr u= e . 10B xr u=

d) Escreva as componentes normal e tangencial da aceleração nos pontos A e B. Justifique.

5.10. O movimento de uma partícula é definido pelas equações ( ) ( )326

12t

x t t−

= + e ( ) ( )23 112 2

tty t−

= − ,

nas quais x e y são expressos em metros, e t em segundos. Determine:

a) as expressões da velocidade e da aceleração da particula;

b) o instante para o qual a aceleração é nula;

c) a intensidade da menor velocidade alcançada pela partícula.

Resolução

a) O vector posição escreve-se

( ) ( ) ( )3 2326 1

12 12 2x yt ttr t t u u

⎡ ⎤ ⎡− −⎢ ⎥ ⎢= + + −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎦

Derivando em ordem a t obtém-se o vector velocidade

( ) ( ) 2 2

9 14 4x y

dr t t tv t t u t udt

⎡ ⎤ ⎡= = − + + − +⎢ ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎦

e derivando uma vez mais, obtém-se o vector aceleração

( ) ( )1 1

2 2x ydv t t ta t u u

dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b) A aceleração é nula no instante T para o qual

( ) 0 1 1 02 2x yT Ta T u u T⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ − + − = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 s

c) A intensidade da velocidade é

( )2 22 2 4

3 29 1 7 204 4 8t t tv t t t t t t⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − + + − + = − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

82

e será máxima (ou mínima) no instante τ em que a derivada de v(t) (no fundo a aceleração tangencial) se

anula,

M. Faria – Dez 2007 11/31


( ) 43 20 7 20 82

8dv t d t t t t

dt dt

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⇒ − + − + = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

0

4 33 2 27 20 82 0 3 14 20

8 2d t t t tdt⎛ ⎞ τ

⇒ − + − + = ⇒ − τ + τ −⎜ ⎟⎝ ⎠

0=

A única raíz do polinómio é , e nesse instante a intensidade da velocidade é 2τ =

( )4

3 222 2 7 2 20 2 828

v t = = − + × − × + = 8 m⋅s−1

Nesse instante a velocidade é mínima (e não máxima) porque podemos comparar esse valor com o da

velocidade em qualquer outro instante, por exemplo 0t =

( )0 82 9,0v t = = ≈ 6 m⋅s−1

5.11. Uma partícula move-se de modo que as suas coordenadas, como funções do tempo são dadas por

( )( )

0

0 sin

x t v t

y t y t

⎧ =⎪⎨

= ω⎪⎩

a) Faça os gráficos de x e y como funções de t.

b) Faça o gráfico da trajectória da partícula.

c) Calcule os módulos da velocidade e da aceleração como funções do tempo.

5.12. O movimento de um ponto material é definido pelas equações:

⎩⎨⎧

==

tytx

sin8sin6

a) Faça a representação gráfica da trajectória do ponto material.

b) Escreva a lei do movimento sobre a trajectória.

c) Indique o valor máximo da velocidade e da aceleração, e as posições onde esses valores se verificam.

d) Qual o valor da velocidade na posição ( )3,4 .

5.13. Uma partícula move-se segundo a equação

( ) ( ) ( )cos sinx yr t A t u B t u= α + α

onde A e B são constantes.

a) Represente graficamente a trajectória da partícula, indicando a posição inicial.

b) Classifique o movimento. Em que instantes há inversão do sentido do movimento?

c) Mostre que a aceleração aponta para a origem e é proporcional a r .

6. Movimento curvilíneo (com integração)

M. Faria – Dez 2007 12/31

Exercícios de Cinemática 6.1. A velocidade de uma partícula é dada por ( ) 6cos 2 6sin 2x yv t tu tu= − . No instante , a partícula

encontra-se na posição

0t =

( )0,3,0 .

a) Escreva a lei vectorial do movimento e classifique-o.

b) Represente graficamente a trajectória e as grandezas r , v e a para 2t = π .

c) Escreva a lei do movimento sobre a trajectória.

d) Mostre que se trata de um movimento periódico e determine o seu período.

Resolução

a) Dado o vector velocidade

( ) 6cos 2 6sin 2x yv t tu tu= −

3

o vector posição obtém-se por integração do vector velocidade

( ) ( ) ( ) ( )1 23sin 2 3cos 2x y zr t v t dt t c u t c u c u= = + + + +∫

e as constantes de integração determinam-se pelas condições iniciais

( )( ) ( ) 1 2 3

1 2 3

0 30

0 3y

x y z

r uc c c

r c u c u c u

⎧ =⎪ ⇒ = = =⎨= + + +⎪⎩

donde, a lei do movimento é

( ) 3sin 2 3cos 2x yr t tu tu= +

Trata-se de um movimento circular no plano xOy (como veremos na alínea seguinte) e uniforme pois o

módulo da velocidade é constante

( ) ( ) ( )2 26cos2 6sin 2 6 2v t t t= + − =

sendo nula a componente tangencial da aceleração

( ) ( ) 0tda t v tdt

= =

e portanto a componente normal da aceleração é constante

( ) ( ) 12 2na t a t= =

e trata-se pois de um movimento circular e uniforme.

b) Usando as equações paramétricas e eliminando t obtém-se a equação da trajectória

( )( )

2 23sin 29

3cos2

x t tx y

y t t

⎧ =⎪ ⇒ + =⎨=⎪⎩

Esta última equação é a equação da circunferência centrada na origem e de raio 3. Quanto à aceleração ela é

( ) 12sin 2 12cos 2x ydva t tu tudt

= = − −

No instante 2t = π , os vectores posição, velocidade e aceleração são

( ) ( ) ( )2 3 2 6 2 12y xr u v u aπ = − π = − π = yu

Representamos a trajectória e os vectores e v a no instante 2t = π

M. Faria – Dez 2007 13/31


( )2v π

( )2a π

x

y

c) A lei do movimento sobre a trajectória é dada por

( ) ( )0 0

6 2 6 2t t

s t v t dt dt= = =∫ ∫ t

d) Por definição o movimento diz-se periódico se

( ) ( ) { }, 0,1,2,r t r t nT t n= + ∀ ∈ …

sendo T o seu período. Usando as equações paramétricas do movimento

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

3sin 2 3sin 2 2

3cos 2 3cos 2 2

x t x t T t t Tr t r t T T

y t y t T t t T

⎧ ⎧= + = +⎪ ⎪= + ⇒ ⇒ ⇒ =⎨ ⎨= + = +⎪ ⎪⎩ ⎩

π

6.2. Um corpo desloca-se à velocidade 1,5 m⋅s−1 na direcção e sentido do semi-eixo positivo Oy. Ao passar

pela origem (semi-espaço ) o corpo fica sujeito a uma aceleração de 5 m⋅s0x ≥ −2 na direcção e sentido do

semi-eixo positivo Ox. Determine:

a) a equação da trajectória;

b) o módulo da velocidade em s; 1t =

c) as componentes normal e tangencial da aceleração, e o raio de curvatura em s. 1t =

Resolução

a) Começando a contagem do tempo no instante em que o corpo passa na origem, trata-se de um

movimento com aceleração

( ) 5 xa t u=

e com as condições iniciais

( )0 1,5 yv t u= =

( )0 0r t = =

Tem-se

( )( )

0 1,55 5 1

y

t v t

x xu

dva adt dv u dt dv tu v t udt

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −∫ ∫ ,5 y ⇒

( ) 5 1,5x yv t tu u⇒ = + (m⋅s−1)

( ) ( )( ) 2

0 05 1,5 2,5 1,5

t r t

x y xdrv vdt dr tu u dt dr r t t u tudt

= ⇒ = ⇒ + = ⇒ = +∫ ∫ y (m)

M. Faria – Dez 2007 14/31

Exercícios de Cinemática A equação da trajectória obtem-se partindo das equações paramétricas e eliminando o parâmetro t

2222,5 10

2,5 1,5 91,5x t x y x yy t

⎧ = ⎛ ⎞⎪ ⇒ = ⇒ =⎨ ⎜ ⎟=⎪ ⎝ ⎠⎩

b) No instante s, 1t =

( ) ( ) 2 21 5 1,5 1 5 1,5 5,154x yv t u u v t= = + ⇒ = = + ≈ m⋅s−1

c) O módulo da velocidade é

225 2,25v t= +

donde

22

2525 2,2525 2,25

tdv d ta tdt dt t

⎡ ⎤= = + =⎢ ⎥⎣ ⎦ +

No instante s, 1=t

( )1 4,789ta t = ≈ m⋅s−2

( ) ( )1 5 1 5xa t u a t= = ⇒ = = m⋅s−2

( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 1 1t n n ta a a a t a t a t= + ⇒ = = = − = ≈ ,437 m⋅s−2

( ) ( )( )

22 11 1

1nn

v tva ta t

== ⇒ ρ = = ≈ρ =

8,97 m

6.3. Uma partícula desloca-se com aceleração constante 4 ya u= − . A posição e a velocidade iniciais são

respectivamente ( )0 2 xr u= e ( )0 8 yv u= .

a) Escreva a equação cartesiana da trajectória, representando-a graficamente. Represente os vectores

velocidade e aceleração no instante 1t = .

b) Classifique o movimento, justificando.

c) Há inversão no sentido do movimento? Em caso afirmativo, quando?

d) Escreva a lei do movimento sobre a trajectória.

Resolução

a) Por sucessiva integração do vector aceleração

4 ya u= −

e usando as condições iniciais

( )( )0 2

0 8x

y

r u

v u

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

obtém-se o vector velocidade

( ) ( )8 4 yv t t u= −

e o vector posição

M. Faria – Dez 2007 15/31


( ) ( )22 8 2x yr t u t t u= + −

As equações paramétricas do movimento são

( )( ) 2

2

8 2

x t

y t t t

⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩

e trata-se de um movimento rectilíneo

0t =

2

8

x

y

No instante tem-se 1t =

( ) ( ) ( )1 2 6 1 4 1 4x y yr u u v u a= + = = − yu

2

6

x

y ( )1v

( )1a

b) Até ao instante , o movimento ao longo do eixo dos yy é uniformemente retardado, e a partir

desse instante passa a ser uniformemente acelerado.

2t =

00

va<<

00

va><

2

ay

vy

-4

8

t

c) A inversão do movimento dá-se quando v muda de sinal, ou seja no instante . 2t =

d) ( ) 28 ttts −=

6.4. A aceleração de um corpo é dada por 510 10 tx ya u e u−= + (SI). Sabendo que no instante inicial o corpo

está na origem do referencial com velocidade 0 2 zv u= (m⋅s−1) , determine a velocidade e posição num

M. Faria – Dez 2007 16/31

Exercícios de Cinemática instante genérico.

Resolução

A aceleração é 510 10 t

x ya u e u−= +


( )0 0r t = =

( )0 2 zv t u= =

Tem-se sucessivamente

( ) ( )5

0 210 10

z

t vtx y u

dva adt dv u e u dt dvdt

−= ⇒ = ⇒ + =∫ ∫t

⇒

( ) ( )510 2 2 2tx yv t tu e u u−⇒ = + − + z (m⋅s−1)

( ) ( )5

0 010 2 2 2

t rtx y z

drv vdt dr tu e u u dt drdt

−⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ + − + =⎣ ⎦∫ ∫t

⇒

( ) 2 52 25 2 25 5

tx y zr t t u t e u tu−⎛ ⎞⇒ = + + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (m)

6.5. Um homem inicialmente no centro de um carrocel que gira com velocidade angular constante de 0,2

rad⋅s−1, desloca-se ao longo do raio da plataforma, com velocidade constante de 0,1 m⋅s−1 relativamente à

mesma.

a) Determine as componentes radial e transversal da velocidade e aceleração em qualquer instante.

b) Sabendo que o diâmetro da plataforma é de 10m, qual a velocidade e aceleração na extremidade da

plataforma?

Resolução

a) As componentes radial e transversal da velocidade e da aceleração são assim definidas

rr ru=

( )r

r rv

v

dr d drv ru udt dt dt

θ

r uθ= = = + ω

22

2 2

r

r r

aa

dv d dr d r dra u r u r u rdt dt dt dtdt

θ

θ θ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= = + ω = − ω + α + ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

u⎞⎟⎠

Os dados do problema são

0,2ω= rad⋅s−1

0,1rv = m⋅s−1

( )0 0r t = =

M. Faria – Dez 2007 17/31

Exercícios de Cinemática Daqui tira-se

( )( )

2

20 00,1 0,1 0

r t t

r rdr d rv dr v dt dr dt r t tdt dt

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ ∫

0 0ddtω

ω= ⇒ α = =

e as componentes radial e transversal escrevem-se -1 -2

-1 -2

0,1 m s 0,004 m s

0,02 m s 0,04 m sr rv a

v t a tθ θ

⎧ ⎧= ⋅ = − ⋅⎪ ⎪⎨ ⎨

= ⋅ = ⋅⎪ ⎪⎩ ⎩

t

b) Se o diâmetro é de 10 m, na extremidade da plataforma 5r = m. Tem-se

0,10,1

1r

rv

v uv r

uθθ

=⎧⇒ = +⎨ = ω =⎩

(m⋅s−1)

2 0,20,2 0,04

2 0,04

r

r

a ra udra

dt

uθθ

⎧ = − ω = −⎪ ⇒ = − +⎨

= ω =⎪⎩

(m⋅s−2)

6.6. O acesso a um parque automóvel é efectuado por uma pista em caracol de raio 10m e distância entre

pisos de 2 m. As equações da trajectória dos veículos nesta pista são 1z k= θ e 2R k= .

a) Calcule k1 e k2.

b) Determine a direcção da velocidade de um automóvel que sobe a pista.

c) Supondo que a velocidade de subida é 18 km⋅h−1, determine a posição do automóvel em função do

tempo.

d) Calcule o tempo necessário para atingir o parque de estacionamento a partir da entrada na pista.

e) Qual a aceleração do automóvel nesse instante?

Resolução

2 m

10 m

M. Faria – Dez 2007 18/31

Exercícios de Cinemática a) O raio da trajectória é 10 m, donde

22 10

10R k

kR=⎧

⇒ =⎨ =⎩m

Se a distância entre dois pisos é de 2 m, o automóvel sobe 2 m quando descreve um ângulo completo de 2π,

ou seja

11 1

12 22, 2

z kk k

z= θ⎧

⇒ = π ⇒ =⎨ = θ = π π⎩ m⋅rad−1

b) Recorde-se que em coordenadas cilíndricas o vector posição se escreve

zr u zuρ= ρ +

e neste caso

110 zr u uρ= + θπ

(11.1)

Derivando em ordem a t obtém-se o vector velocidade

110 10z zdr d dv u u udt dt dtθ θ

ω ω

θ θ= = + = ω +

π πuω

com módulo

2100 1v ω= ππ

+ (11.2)

A orientação deste vector (que é a orientação do movimento porque o vector velocidade é sempre tangente à

trajectória com o sentido do movimento) é dada pelo seu versor, o versor tangencial tu ,

2 2

1 10 1

100 1 100 1z

t t

v v

v vu u v u uv

ρ

θπ

= ⇒ = = +π + π +

z

Facilmente se obtém a inclinação da pista, o ângulo α da figura

vθ

v

vz α

1arctan 1,8º

10zv

vθα = = ≈

π

c) A velocidade de subida é constante e vale

18v = km⋅h−1 5= m⋅s−1

Também é constante a velocidade angular ω, e de acordo com (11.2)

22

100 1 0,4997100 1

vv ω π= π + ⇒ ω= ≈π π +

rad⋅s−1

Sendo ω constante podemos facilmente obter a dependência de θ em função de t, supondo que no instante

M. Faria – Dez 2007 19/31

Exercícios de Cinemática inicial , ( )0 0tθ = =

( )( )

0 00,4997

t td dt d t tdt

θθω = ⇒ ω = θ ⇒ θ =∫ ∫

Usando agora (11.1),

10 0,159 zr u uρ= + (m)

d) O tempo T que leva a dar uma volta completa pode ser determinado por

( )( )

0,499712,57

2

T TT

T

⎧θ =⎪ ⇒ =⎨θ = π⎪⎩

s

e) A aceleração é

210 10 2,497zdv da u u udt dt θ ρ

ω⎡ ⎤= = ω + = − ω = −⎢ ⎥π⎣ ⎦uρ

Recorde-se que

duu

dtdu udt

ρθ

θρ

⎧= ω⎪⎪

⎨⎪ = −ω⎪⎩

6.7. Uma partícula desloca-se no plano xOy com aceleração constante. No instante está na origem com

velocidade

0t =

0 3 2x yv u u= − e no instante s tem velocidade 3t = 9 7x yv u u= + . Qual a aceleração da partícula e

a sua lei do movimento.

6.8. A aceleração de um ponto material é x ya u tu= + (m⋅s−2). No instante inicial, o ponto material tinha

velocidade nula e estava na origem do sistema de eixos. Determine:

a) as acelerações tangencial e normal ao fim de 2 segundos de movimento;

b) o raio de curvatura da trajectória no mesmo instante;

c) a distância do corpo à origem ainda no mesmo instante.

6.9. Uma partícula move-se com aceleração dada por ( ) 32cos3 6 3sin3tx ya t tu e u tu−= + − z . Sabendo que no

instante , a partícula está localizada no ponto 0t = ( )1,3,2− e tem velocidade 2 2x yu u u− + z estabeleça as

expressões da velocidade e do vector posição da partícula no instante t.

6.10. Uma partícula move-se com aceleração ( ) 4sin 4cosx ya t tu tu= − + . No instante a posição é dada

pelo vector

0t =

( )0 4 yr = u e a velocidade pelo vector ( )0 4 xv = u . Determine:

a) a trajectória da partícula;

b) as acelerações normal e tangencial;

c) o raio da curvatura.

M. Faria – Dez 2007 20/31


6.11. Chico desloca-se no seu VW Polo com uma aceleração 3 2x yu u− (m⋅s−2) enquanto Paula segue no seu

Renault Clio com aceleração 3x yu u+ (m⋅s−2). Supondo que ambos partem em repouso do mesmo ponto,

qual a distância entre Chico e Paula ao fim de 5 segundos.

6.12. Um ponto material move-se no plano xOy segundo a lei 2

2

2

2

4sin

3cos

d x tdtd y tdt

⎧= −⎪⎪

⎨⎪ =⎪⎩

Sabendo que para se tem 0t =

0 3

4 0

x ydx dydt dt

= =⎧ ⎧⎪ ⎪⎨ ⎨

= =⎪ ⎪⎩ ⎩

−

determine:

a) a equação da trajectória;

b) o valor da velocidade quando 4t = π .

6.13. Uma partícula move-se no plano xOy de tal modo que:

34 4

4

dx t tdtdy tdt

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

e no instante encontra-se na origem dos eixos coordenados. 0t =

a) Escreva a expressão do vector posição da partícula e indique a posição da partícula para . 1t =

b) Escreva a equação da trajectória e represente-a graficamente.

c) Determine a aceleração da partícula no instante 1t = .

6.14. Uma partícula move-se com aceleração zyxt ututuea sin3cos52 −+= − (m⋅s−2). Se no instante 0=t a

partícula se encontra na posição com velocidade ( 2,3,1 − ) zyx uuu 234 +− (m⋅s−1), determine, para qualquer

instante:

a) o vector velocidade;

b) o vector posição.

6.15. Considere o movimento no plano de uma partícula sujeita a uma aceleração constante (m⋅s2 ya u= −2).

Sabendo que no instante 1t = s a sua velocidade é xv u= (m⋅s−1) e que no instante s a partícula se 2t =

M. Faria – Dez 2007 21/31

Exercícios de Cinemática encontra na posição de coordenadas ( )1,0 m, determine:

a) a sua velocidade em qualquer instante;

b) o vector posição em qualquer instante;

c) a equação da trajectória, representando-a no plano xOy com a indicação da posição inicial e do

sentido do movimento;

d) o versor (tangente à trajectória) no instante te 1t = s.

Resolução

a) A velocidade obtém-se por integração do vector aceleração sabendo que ( ) itv == 1 .

( )( ) ( )

12 1

x

v t t

x yu

dv a dv adt dv adt v t u t udt

= ⇒ = ⇒ = ⇒ − = −∫ ∫

ou seja

( ) ( )2 1x yv t u t u= + − (m⋅s−1)

b) O vector posição obtém-se por integração do vector velocidade sabendo que ( )2 xr t u= = . Tem-se

( )( ) ( ) ( ) ( )2

22 1 2 2

x

r t t

x y x xu

dr v dr u t u dt r t u t u t tdt

⎡ ⎤= ⇒ = + − ⇒ − = − + −⎣ ⎦∫ ∫ yu

ou seja

( ) ( ) ( )21 2x yr t t u t t u= − + − (m)

c) As equações paramétricas são

( )( ) 2

1

2

x t t

y t t t

⎧ = −⎪⎨

= −⎪⎩

e a equação da trajectória é obtida eliminando o parâmetro t, ou seja

( )( ) ( ) (22

__1 1__ 1 2 12

x t t t xy x xy t t t

⎧ = − ⎧= +⎧⎪ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ )= + − += − ⎩ ⎪⎪ ⎩⎩

e tem-se

( ) 2 1y x x= −

0t =

M. Faria – Dez 2007 22/31

Exercícios de Cinemática d) O versor é sempre tangente à trajectória, ou seja tem sempre a orientação do vector velocidade.

No instante o vector velocidade é dado, ou seja

te

1t = ( )1 xv t u= = . Assim neste instante tem-se

( )1t xe t u= =

6.16. Um corpo desloca-se à velocidade de 2 m⋅s−1 na direcção e sentido do semi-eixo positivo Oy. Ao passar

pela origem o corpo fica sujeito a uma aceleração 14 x yy

a u uv

= + (m⋅s−2). Determine:

a) a lei da velocidade;

b) a aceleração em função do tempo;

c) no instante s calcule: 1t =

i. o versor da tangente à trajectória;

ii. o módulo da aceleração;

iii. a componente tangencial da aceleração;

iv. a componente normal;

v. o raio de curvatura.

Resolução

a) Considerando o problema desde o instante em que o corpo passa na origem, trata-se de um problema

cuja a aceleração é

14 x yy

a u uv

= + (m⋅s−2)

com as condições iniciais

( )0 0r t = = (m)

( )0 2 yv t u= = (m⋅s−1)

Usando componentes cartesianas, as componentes da aceleração são

41

x

yy

a

av

=⎧⎪⎨ =⎪⎩


( )( )

0 0

0 2x

y

v t

v t

⎧ = =⎪⎨

= =⎪⎩

( )( )

0 0

0 0

x t

y t

⎧ = =⎪⎨

= =⎪⎩

Na direcção Ox tem-se

( )( )

0 04 4xv t tx x

x xdv dva dv dtdt dt

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ ∫ 4xv t t

e na direcção Oy

M. Faria – Dez 2007 23/31

Exercícios de Cinemática ( )

( )2

2 0

1 2 4xv t ty yy y y

y

dv dva v dv dt

dt dt v= ⇒ = ⇒ = ⇒ = +∫ ∫ yv t t

Das duas soluções (positiva e negativa) apenas interessa a solução positiva, dado que no instante inicial a

velocidade em y é positiva e nunca se anula (para poder ser negativa teria de se anular). Assim, a lei da

velocidade escreve-se

( ) 4 2 4x yv t tu t u= + + (m⋅s−1)

e no instante 1=t

( ) 4 6x yv t u u= + (m⋅s−1)

b) Para obtermos a aceleração em função do tempo, derivamos a expressão anterior

( ) ( ) 142 4x y

dv ta t u u

dt t= = +

+ (m⋅s−2)

c) O módulo da velocidade é

( ) 216 2 4v t t t= + +

e no instante 1t =

( )1 2v t = = 2 (m⋅s−1)

i. Como a velocidade é sempre tangente à trajectória, o versor da tangente à trajectória é o

versor da velocidade, ou seja

( ) ( ) ( ) ( )1 1 41 1 4 61 122 22t x yu t v t u u u u

v t= = = = + = +

=31x y

ii.

( ) ( ) ( )1 14 162 4 62 4x ya t u u a t a ttt

= + ⇒ = + ⇒ = =++

971 (m⋅s−2)

iii.

( ) ( ) ( ) ( )22

16 1 1716 2 4 12216 2 4

t tdv t d ta t t t a t

dt dt t t

+= = + + = ⇒ = =

+ + (m⋅s−2)

iv.

( ) ( ) ( )2 2 101 1 133n ta t a t a t= = = − = = (m⋅s−2)

v.

( ) ( )( )

2 1 111 31 5n

v tt

a t=

ρ = = ==

3 m

7. Movimento circular

M. Faria – Dez 2007 24/31

Exercícios de Cinemática 7.1. Um corpo executa um movimento circular com velocidade 10 2v t= − e raio igual a 25 m.

a) Determine e indique numa figura a aceleração da partícula nos instantes inicial e quando pára.

b) Determine a aceleração angular, a velocidade angular e o ângulo descrito até o corpo parar.

c) Determine a posição e o caminho percorrido até aos instantes 5t = s e 10t = s.

7.2. Uma partícula tem movimento circular de raio R com velocidade angular inicial ω0. Sendo o movimento

retardado com aceleração angular constante −α mostre que, passado o tempo 0ωα

a partícula repousa e nesse

instante percorreu uma distância 20

2R ωα

.

7.3. Uma pista de forma circular tem um diâmetro de 128 m. Um corredor aumenta a sua velocidade

uniformemente no tempo, desde 4,3 m⋅s−1 a 7,3 m⋅s−1, numa distância de 28,9 m.

a) Determine a aceleração tangencial do corredor.

b) Calcule a aceleração normal e o módulo da aceleração do corredor, 2 s após ter começado a aumentar

a velocidade.

7.4. Uma partícula descreve uma trajectória circular de raio 2 m, sendo a aceleração angular dada por

( rad⋅s158)( 2 +−=α ttt −2). Sabendo que no instante inicial a partícula está em repouso e a sua coordenada

angular é rad, determine: 00 =θ

a) a lei da velocidade angular;

b) a lei do movimento angular;

c) os instantes em que a velocidade se anula;

d) a distância percorrida ao fim de 4s.

7.5. Considere que um pequeno corpo executa um movimento circular com velocidade constante igual a π

m.s-1 e com frequência de 5 Hz.

a) Indique numa figura a direcção e o sentido dos vectores velocidade e aceleração.

b) Determine o ângulo descrito ao fim de um período de movimento.

c) Calcule o raio da trajectória.

d) Calcule o vector velocidade em função das suas componentes cartesianas e verifique que o seu

módulo vale π de acordo com o enunciado do problema.

7.6. A figura representa, num dado instante, a aceleração total ( 15 m⋅s−2 ) de uma partícula com movimento

circular. Neste instante determine a velocidade da partícula e as acelerações tangencial e centrípeta.

M. Faria – Dez 2007 25/31


30º 2,5 m a

v

7.7. Um rapaz prende uma bola na extremidade de um fio de comprimento 0,6 m fazendo-a girar num círculo

vertical. A velocidade da bola no seu ponto mais elevado é 4,3 m⋅s−1 e no seu ponto mais baixo é 6,5 m⋅s−1.

Qual a aceleração nos pontos mais elevado e mais baixo.

7.8. Considere o movimento de rotação em que é válida a lei da aceleração, kα = θ (rad⋅s−2), sendo k uma

constante e θ o deslocamento angular. Sabe-se que na posição 0Aθ = rad a velocidade angular é

rad⋅s10Aω = −1, e que na posição rad a velocidade angular é 1Bθ = 0Bω = rad⋅s−1. Com base nestes dados

determine:

a) a constante k;

b) a aceleração angular e a velocidade angular para a posição 0,5Cθ = rad;

c) as componentes tangencial e normal da aceleração no ponto C, sabendo que o movimento possui um

raio de curvatura constante de valor igual a 20 cm;

d) o módulo da aceleração e a direcção que esta faz com a trajectória.

Resolução

a) A constante K pode ser determinada mediante

( )B B

A A

d d d d d d ddt d dt

ω θ

ω θ

ω ω θ= α ⇒ = α ⇒ ω ω= α θ ⇒ ω ω= α θ θ

θ ∫ ∫

ou seja 0 1

0 1 2 2

10 010 0

1 1 1002 2

d K d K K⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω ω= θ θ ⇒ ω = θ ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ s−2

b) Determinado Κ, a aceleração angular escreve-se

( ) θ−=θα 100 (rad⋅s−2)

e para a posição rad 5,0=θC

( ) 505,0 −=α (rad⋅s−2)

A velocidade angular nesse ponto C é

0 1 0,52 2010 0

10

1 50 75 8,662

C

Cd K dω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω ω = θ θ⇒ ω = − θ ⇒ ω = ≈⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ rad⋅s−1

c) Para o movimento circular, as componentes tangencial e normal da aceleração relacionam-se com as

grandezas angulares por

M. Faria – Dez 2007 26/31


2t

n

a

a

= αρ⎧⎪⎨

= ω ρ⎪⎩

Com cm m, no ponto rad tem-se 20ρ = 2,0= 0,5Cθ =

( )0,5 10ta θ = = − m⋅s−2

( )0,5 15na θ = = m⋅s−2

d) O módulo da aceleração é

2 2t na a a= +

e quando rad vem 0,5Cθ =

( ) ( )2 20,5 10 15 18,03a θ = = − + ≈ m⋅s−2

Como se pode ver na figura, o ângulo ϕ que o vector aceleração faz com a direcção do movimento (tangente

à trajectória) é dado por

15tan arctan 56,3º10

n

t

aa

⎛ ⎞ϕ = ⇒ ϕ = ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

a

an

at

ϕ

7.9. Acelera-se uniformemente um carro de corrida, de modo que a sua velocidade passe de 72 km/h para

108 km/h, num percurso curvo de 120 m de comprimento e 200 m de raio. Determine o módulo da

aceleração total do carro, após o primeiro percurso de 80 m na curva. Escreva as leis angulares deste

movimento.

7.10. Uma partícula descreve uma trajectória circular de 20 cm de raio. A lei do movimento é 24s t t= − (m).

a) Determinar as grandezas da velocidade e da aceleração no instante 1t = s.

b) Ao fim de quanto tempo se inverte o sentido do movimento.

c) Qual o comprimento do arco percorrido pela partícula até ao instante 3t = s.

7.11. Um comboio desloca-se a 144 km/h numa curva de 900 m de raio quando são accionados os freios,

imprimindo uma desaceleração constante ao combóio. Após 6 s a velocidade reduziu-se para 96 km/h.

Determine a aceleração (módulo e direcção) do combóio 3 s depois do início da travagem. Qual o espaço

percorrido durante os 6 s?

M. Faria – Dez 2007 27/31

Exercícios de Cinemática Resolução

Consideramos o inicio do movimento no instante em que o comboio sofre a desaceleração. Trata-se

de um movimento circular de raio 900R = m, com aceleração angular constante, uma vez que a

desaceleração é constante. A velocidade inicial é

( )0 144v t = = km⋅h−1 m⋅s40= −1

e a velocidade ao fim de 6 segundos é

( )6 96v t = = km⋅h−1 m⋅s26,67= −1

No movimento circular tem-se

vv RR

= ω ⇒ ω=

As velocidades angulares particulares são então

( ) 4090

tω = = rad⋅s−1

( ) 86270

tω = = rad⋅s−1

A aceleração angular é 6 8 270

0 4 90

26135

d dt d dt ddtω

α = ⇒ α = ω ⇒ α = ω ⇒ α = − ⇒∫ ∫

1405

⇒ α = − rad⋅s−2

e a velocidade angular é

( )( ) ( )

0 4 90

1 4 4405 90 90 405

t td dt d t t t tdt

ωωα = ⇒ α = ω ⇒ − = ω − ⇒ ω = −∫ ∫

1 (rad⋅s−1)

Escolhendo o referencial tal que a posição inicial do comboio seja ( )0 0tθ = = , tem-se

( )( ) 2

0 0

4 1 4 190 405 90 810

t td t dt d t t tdt

θθ ⎛ ⎞ω = ⇒ − = θ ⇒ θ = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ (rad)

As componentes normal e tangencial da aceleração são 2

n

t

a Ra R

⎧ = ω⎪⎨

= α⎪⎩

e o módulo da aceleração

4 2a R= ω + α

No instante s, 3t =

( )( )

3 1,235

3 2,222n

t

a t

a t

⎧ = ≈⎪⎨

= ≈⎪⎩

( )3 2,542a t = ≈ m⋅s−2

( )3 0,122tθ = ≈ rad

M. Faria – Dez 2007 28/31


aat

an 0t =

29º

O comboio pára ao fim de 18 segundos, pois nesse instante a velocidade é nula, isto é

( )18 0tω = =

Assim, até ao instante s não há inversão do sentido do movimento e a distância percorrida é 6=t

( ) ( )6 6d t R t= = θ = = 200 m

7.12. Uma plataforma circular de raio 2 m, inicialmente em repouso, pode rodar livremente em torno do eixo

fixo perpendicular ao plano da plataforma e que passa no seu centro. Sabendo que a plataforma é acelerada

de acordo com: α = 120 t2- 48t +16 (SI), determine:

a) a velocidade angular e a posição em função do tempo;

b) as componentes normal e tangencial da aceleração de um ponto da periferia da plataforma, para t=1s.

Resolução

a) A aceleração angular é

( ) 1648120 2 +−=α ttt (rad⋅s−2)

e escolhendo o referencial tal que no instante 0=t se tem 0=θ , as condições iniciais são

( ) 00 ==ω t

( ) 00 ==θ t

Primitivando sucessivamente tem-se

( ) ( )⇒ω=+−⇒ω=α⇒

ω=α ∫∫

ω ttddtttddt

dtd

00

2 1648120

( ) tttt 162440 23 +−=ω⇒ (rad⋅s−1)

( ) ( )⇒θ=+−⇒θ=ω⇒

θ=ω ∫∫

θ ttddttttddt

dtd

00

23 162440

( ) 234 8810 tttt +−=θ⇒ (rad)

b) As componentes normal e tangencial da aceleração em função das grandezas angulares escrevem-se

M. Faria – Dez 2007 29/31


⎪⎩

⎪⎨⎧

ρα=ρω=

t

n

aa 2

Para um ponto na periferia da plataforma o raio é

2=ρ m

e tem-se

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+−=

3296240

16244022

223

ttta

tttta

t

n

No instante s, 1=t

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅==

⋅==−

−

2

2

sm 1761

sm 20481

ta

ta

t

n

7.13. Um corpo descreve uma trajectória circular segundo a lei 3 2 2s t t= + (m). Se a aceleração do corpo no

instante s for 2t = 16 2 m⋅s−2, calcule para esse instante a velocidade linear, o comprimento do arco

percorrido e o raio de curvatura.

7.14. Uma partícula roda sobre uma circunferência de raio 0,1 m. O ângulo que a semi-recta, que une o

centro da circunferência com a partícula, faz com uma direcção fixa do espaço (eixo dos xx) é dado por

rad. Calcule: ( ) 25 18t t tθ = +

a) a velocidade angular em função do tempo;

b) a aceleração normal e tangencial para 1t = s;

c) o instante em que o vector aceleração faz com o raio um ângulo de 45º.

7.15. A aceleração angular de um veio é definida pela relação 0,25α = − ω , na qual α é expresso em rad⋅s−2 e

ω em rad⋅s−1. Sabendo que para s a velocidade angular do veio é de 20 rad⋅s0t = −1, determine:

a) o número de revoluções necessárias para atingir o repouso;

b) o tempo necessário para a velocidade angular do veio sofrer uma redução de 1% do seu valor inicial.

Resolução

a) A aceleração angular é

0,25α = − ω (rad⋅s−2)


( )0 20tω = = (rad⋅s−1)

( ) 00tθ = = θ (rad)

Tem-se

M. Faria – Dez 2007 30/31


( )( )

0 20

10,25

t td ddt dt ddt

ωω ωα ω = ⇒ = ⇒ = ω ⇒

α − ω∫ ∫

( ) ( ) 44 ln ln 20 20 tt t t −⎡ ⎤⇒ = − ω − ⇒ ω =⎣ ⎦ e (rad⋅s−1)

( )

0

4

020

t ttd dt d e dt ddt

θ−

θ

θω = ⇒ ω = θ ⇒ = θ ⇒∫ ∫

( ) ( )40 80 1 tt e−⇒ θ = θ + − (rad)

O instante T em que o veio atinge o repouso é tal que a sua velocidade angular se anula,

( ) 40 20 0Tt T e T−ω = = ⇒ = ⇒ →+∞

ou seja o veio nunca pára. Apesar de o veio nunca parar podemos determinar o número máximo de voltas

que ele dá. O ângulo descrito desde o instante inicial até T é →+∞

( ) ( )40 lim 80 1 80T

TT e−

→+∞Δθ = θ − θ = − = rad

e o número de voltas correspondente a este ângulo é

nº de voltas 80 12,732

= ≈π

ou seja o veio dá 12 voltas completas antes de parar.

b) Seja T o instante em que a velocidade angular do veio atinge 1% do seu valor inicial. Tem-se

( ) 0,2t Tω = = (rad⋅s−1)

e usando a lei da velocidade angular

( ) 420 0,2 4ln 0,01 18,42TT e T−ω = = ⇒ = − ≈ s

M. Faria – Dez 2007 31/31

Documents

FG_cinematica_problemas_res[1].pdf