Física do Calor - 22ª Aula

Prof. Alvaro Vannucci

• Na Mecânica Estatística, será muito útil a utilização dos

conceitos básicos de Análise Combinatória e Probabilidade.

• Por ex., uma garota vai sair com suas amigas e, para

escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 3 blusas. De

quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?

• Decisões a serem tomadas:

d1: escolher uma dentre 3 blusas

d2: escolher uma dentre 2 saias

Total de opções: 3 x 2 = 6

• Restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne

assada, salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas

(sorvete, romeu e julieta, fruta). De quantas maneiras

diferentes um freguês pode se servir consumindo um prato

quente, uma salada e uma sobremesa?

• Observe que agora temos 3 níveis de decisão:

d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes.

d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada.

d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.

• Contando, temos: 4 · 2 · 3 = 24 opções de cardápio.

• A representação gráfica é ilustrativa: nota-se claramente os

três níveis de decisão d1, d2 e d3, com os vários cardápios.

• Objetivo: saber as combinações possíveis e calcular todas as

possibilidades sem precisar enumerá-las. Principalmente

quando for muito grande o número de possibilidades!

• As técnicas da análise combinatória nos ajudam a resolver

problemas deste tipo.

• Porém é preciso plena compreensão da situação descrita e

saber exatamente o que se busca.

• Por exemplo, no problema anterior, supor que o restaurante

possua um preço mais barato para quem escolher frango ou

salsichão, com salada verde. De quantas maneiras diferentes se

pode almoçar pagando menos?

• Temos agora restrições sobre as decisões d1 e d2 anteriores:

d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsichão).

d2: escolher salada verde (apenas uma opção).

d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.

• Há 2 · 1 · 3 = 6 maneiras de montar cardápios econômicos.

• Outro ex.: Quantos números naturais, com 3 algarismos

distintos __ __ __ existem (entre 100 e 999)?

• Observando que o algarismo da ordem das centenas não

pode ser zero, temos então três decisões a serem tomadas:

d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero

(9 opções).

• Portanto, o total de números formados será 9 · 9 · 8 = 648

C D U

d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que já foi

escolhido para ocupar a centena (9 opções).

d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que já foram

utilizados (8 opções).

• Supor que agora, no exemplo anterior, desejássemos contar,

dentre os 648 números de 3 algarismos distintos, apenas os

pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8). Como proceder?

• Note que o algarismo da unidade tem 5 possibilidades (0, 2,

4, 6 e 8). Agora, se o último algarismo for zero então o

primeiro algarismo poderá ser escolhido de 9 modos. Se o zero

não foi usado como último algarismo, o primeiro terá 8

possibilidades (porque não podemos usar o zero na primeira

casa, nem o algarismo já empregado na última casa).

• Como resolver o problema? Há 3 maneiras de se fazer isto:

__ __ __

C D U

a) Verificar separadamente as possibilidades,

com o último algarismo (da unidade) sendo

zero ou não:

• Terminando em zero temos 9 modos de escolher o algarismo

da centena e 8 modos de escolher o algarismo da dezena, num

total de 9 · 8 · 1 = 72 números.

• Não terminando zero temos 4 alternativas para o último

algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 para o primeiro algarismo (não

podemos usar o zero, nem o algarismo já usado na última

casa) e 8 para o algarismo do meio (não podemos usar os dois

algarismos já empregados). Logo, temos 8 · 8 · 4 = 256

números terminados em um algarismo diferente de zero

• A resposta final será, portanto, 72 + 256 = 328 números.

__ __ __

C D U

b) Ignorando restrições

• Ignorando o fato de zero não poder ocupar a casa da

centena, temos 5 modos de escolher o último algarismo,

9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o

do meio, num total 5 · 8 · 9 = 360 números.

• Estas 360 possibilidades incluem números começados por

zero, que devem ser descontados.

• Começando em zero temos 1 modo de escolher o primeiro

algarismo (0), 4 modos de escolher o último (2, 4, 6 ou 8) e 8

modos de escolher o do meio (não podemos usar os dois

algarismos já empregados nas casas extremas), num total de

1 · 4 · 8 = 32 números.

• A resposta é, portanto, 360 - 32 = 328 números.

c) É claro que também podemos resolver o problema

determinando todos os números de 3 algarismos distintos

(c.d.u. 9 · 9 · 8 = 648 números, como no início) e subtrair os

ímpares de 3 algarismos distintos (5 na última casa, 8 na

primeira e 8 na segunda), num total de 5 · 8 · 8 = 320 números.

• Assim, a resposta final seria: 648 - 320 = 328 números

__ __ __

C D U

PERMUTAÇÃO

• Muitas vezes precisamos saber de quantas maneiras

podemos arrumar os elementos de um dado conjunto. Como,

então, determinar o número total de possibilidades?

• Por exemplo, de quantas maneiras podemos arranjar 5

pessoas P1, P2, P3, P4 e P5 em fila indiana?

• As soluções serão do tipo:

... etc.

• Na escolha de uma pessoa para a 1ª posição temos 5 opções.

Para o 2º lugar, como uma já foi escolhida, temos 4 opções.

Para o 3º lugar sobram 3 pessoas a serem escolhidas. Para o 4º

lugar 2 pessoas e, para o último lugar na fila, sobra apenas a

pessoa que ainda não foi escolhida.

• Ou seja, teremos: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 opções.

Definição: Dado um conjunto formado por n elementos,

chama-se permutação desses n elementos qualquer seqüência

na qual apareçam todos os componentes do conjunto.

• Cálculo do número de

permutações: o número de modos

de ordenar n objetos distintos é: ( n!)

(iv)

• Lembrando algumas regras básicas:

(iii)

(i)

(ii)

Ex.: Quantos são os anagramas da palavra MARTELO?

• Cada anagrama da palavra MARTELO é uma ordenação

das letras M, A, R, T, E, L, O (como as pessoas na fila);

assim, o número de anagramas são as permutações possíveis.

• Ou seja: 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

(v) 0! = 1

• Novamente, observe que em alguns problemas (os quais

envolvem permutações dos elementos de um conjunto) podem

existir restrições que devem ser levadas em conta.

Ex.: Quantos anagramas, que começam e terminam com

consoantes, podemos formar a partir da palavra MARTELO?

• A consoante inicial pode ser escolhida de 4 maneiras e a

consoante final de 3 maneiras. As 5 letras restantes serão

permutadas no espaço entre as duas consoantes já escolhidas.

Portanto, a resposta é 4 · 3 · 5! = 1440 anagramas.

• Outro ex.: Um grupo de cinco pessoas decide viajar de

carro, mas apenas duas sabem dirigir. De quantas maneiras é

possível dispor as cinco pessoas durante a viagem?

• O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2

pessoas que sabem guiar o carro e as outras 4 podem ser

permutadas pelos quatro lugares restantes, então teremos:

2 · 4! = 2 · 24 = 48 maneiras

• Por estes exemplos vemos que em problemas envolvendo

permutações dos elementos de um conjunto, com restrições,

deve-se ter o cuidado de leva-las corretamente em conta.

Elementos distinguíveis e indistinguíves

Permutação circular

• Ex. A palavra MADEIRA possui sete letras, sendo duas

letras A e cinco letras distintas: M, D, E, I, R. Quantos

anagramas diferentes podemos formar com a palavra?

• Agora, para localizar as duas letras A, precisamos de 2

posições; sendo, para a primeira letra A, 7 posições

disponíveis, e 6 posições disponíveis para a segunda letra A

(pois uma das 7 posições disponiveis já foi ocupada).

• Nas 5 posições restantes devemos permutar as outras 5 letras

distintas, ou seja, 5! = 120 possibilidades.

• Se desconsiderássemos o fato que, no caso, temos 2

elementos indistinguíveis, a resolução seria: 7! = 5040

• Agora, como as 2 letras A são indistinguíveis, para não

contarmos duas vezes as posições que formam o mesmo

anagrama (como, por exemplo, escolher a 2ª e 5ª posições e

a 5ª e 2ª posições), uma divisão por 2 se faz necessária:

anagramas da palavra MADEIRA

• Sendo que poderíamos trocar o numerador: 7 · 6 · 5! = 7!

• Mas, e no caso de termos mais elementos indistinguíveis no

conjunto, como na determinação dos anagramas da palavra

PROPRIO (que também possui 7 letras, mas com os P, R e O

repetidos)? Veremos isto na próxima aula.