Fissuração Inclinada Prof. Eduardo C. S. Thomaz Notas de aulaaquarius.ime.eb.br/~webde2/prof/ethomaz/fissuracao/fiss... · 2010-12-14 · Consideremos uma viga simples conforme

Fissuração Inclinada

Estribos

Prof. Eduardo C. S. Thomaz Notas de aula

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FISSURAÇÃO INCLINADA DEVIDA À FORÇA CORTANTE

Esquema da fissuração de flexão e da fissuração inclinada devida à força cortante.

a a b L

P

P

P +G/2

P +G/2

M= P . a + G.L / 8

Momento fletor

Força cortante

Fissuras inclinadas

Fissuras inclinadas

Esmagamento das diagonais comprimidas

( bielas )

Fissuração de flexão

P P


Estribos


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Cálculo da armadura de estribos necessária :

A formulação do CEB / 78 para a fissura inclinada e para vigas com estribos a 90 o pode ser obtida da formulação geral.

Abertura característica da fissura inclinada

rmssmε1,21,7mω1,21,795%.kω ×××=××=

onde : inclinadafissuradaabertura=95% .kω , com probabilidade de apenas 5% que

haja uma fissura com abertura maior. inclinadafissuradamédiaabertura=mω

O coeficiente 1,2 leva em conta o fato de o estribo não ser ortogonal à fissura, e portanto não ser a armadura mais eficiente, o que causa uma fissura com abertura maior.

smε = alongamento médio do estribo

rms = espaçamento médio entre fissuras ( medido na vertical , sobre o estribo) O coeficiente 1,7 é a relação entre a abertura máxima e a abertura média das fissuras. Tensão no estribo :

estriboρ1

dbcdVsV

estriboσ ××−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

VS = Força cortante na seção no estado limite de utilização.

rdτdb2,5cdV ×××= onde : b = largura da viga ; d = altura útil da viga.

rdτ = tensão que considera uma participação do concreto, a determinar a partir da curva do CEB/78 , mostrada na figura 1.

estriboyd.frdτ2,5sτ

w.estriboρ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ×−

=


Estribos


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Figura 1 – CEB 78

Fazendo a substituição obtemos:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≥

×−=×

×−

×= 2cmkgf400

estriboρrd2,5s

estriboρ1

dbcdV

dbsV

estriboσττ

com db

sVsτ ×= , em serviço.

sbestriboA

estriboρ×

= = taxa de armação de estribos na viga. Ver figura 2.

b = largura da alma da viga

s = espaçamento entre estribos

fck

20 MPa

Se fck ≥ 20 MPa fck0,0080,10rdτ ×+=

cka

f0,010,06rdτ20MPfckSe

×+=≤

rdτ 0,26 MPa


Estribos


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Figura 2 Em planta

Alongamento médio nos estribos :

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×≥−×==açoE

estriboσ0,40

2

sVcdV

1açoE

estriboσestribo nomédioεsmε

Como db

sVsτ ×= , em serviço, e rdτdb2,5cdV ×××= obtemos :

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×≥×

−×==açoE

estriboσ0,40

2

sτrdτ2,5

1açoE


s

b

A estribo = Área total das 2 pernas do estribo S

sbestriboA

estriboρ×

=


Estribos


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Espaçamento médio entre as fissuras inclinadas : Esse espaçamento é medido ao longo do estribo, isto é, na direção vertical.

( ) ( ) ( )xdrρ

estribo2K1KS0,2C2rms −≤××+×+×=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛φ onde :

C = cobrimento da barra do estribo

S = espaçamento entre os estribos

estriboφ = diâmetro do estribo

d = altura útil da viga

x = posição da linha neutra na flexão

rρ = taxa de armadura do estribo para efeito de fissuração inclinada. Ver figura 3.

Figura 3 Em planta

s

b

C+ φ50, + 50,

φ5,7

2bC8 ≤+φ

S15 ≤φ

Ac.ef.

A r =A (1 perna do estribo)

.c.efArA

rρ =

C


Estribos


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ef.c.Aestribo do perna 1A

rρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= conforme mostrado na Figura 3.

K1 = coeficiente de aderência da barra = 0,40 para barras com nervuras e alta aderência. K2 = coeficiente representando a influência da forma do diagrama de tensões.

Usaremos K 2 = 0,25, que corresponde a um diagrama de tensões uniforme ao longo da alma da viga. Quando a força cortante é constante no trecho da viga onde se calcula a abertura da fissura, essa hipótese é correta.

Substituindo K1 e K2 obtemos:

( ) ( ) ( )xdrρ

0,1S0,2C2rms −≤×+×+×=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛estriboφ

rmssmε1,21,7mω1,21,795%.kω ×××=××=


Estribos


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Exemplo 1 : Cálculo da abertura da fissura inclinada na parte da viga próxima dos apoios Consideremos uma viga simples conforme mostrado na figura abaixo. Esse exemplo é um ensaio feito em laboratório na U.E.R.J. por E.C.S.Thomaz.

Vista Lateral

Seção transversal

Figura 1

• Carga atuante : 2 cargas concentradas: 2P= 2 x 60kN

• Força cortante V = 60 kN

• Força cortante devida ao peso próprio: g = 0,2m×0,4m×25(kN/m3) = 2 (kN /m)

V = ( ) kN8,12

m8,1kN/m22

Lq =×=×

• Força cortante total = 60 + 1,8 = 61,8 kN

5 ferros 12,5mm

6 ton


Estribos


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• Estribos necessários

estriboyd.frdτ2,5sdτ

w.estriboρ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ×−

=

• MPa0,8352mkN8350,37m0,20m

61,8kNdb

sVsτ ==

×=

×= ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

• Como MPa20MPa15ckf <= :

MPa0,21150,010,06fck0,010,06rdτ =×+=×+= ( Ver figura 1 )

( ) ( )( )

0,15%1,15MPa500

MPa0,212,5MPa0,8351,4

estriboyd.frdτ2,5sdτ

necessáriow.estribo.ρ =×−×=×−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

( )

0,1%0,00120cm20cm

4

20,5cmπ2

sb

4

2estriboπ

2

sbestriboA

exist. estriboρ ==×

××

=×

××

=×

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛φ

Essa taxa de armadura de estribo é menor que a taxa necessária e também que taxa mínima que é de 0,14%.

s

b

A estribo = Área total das 2 pernas do estribo

S


Estribos


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Essa quantidade reduzida de estribos foi usada no ensaio feito no laboratório para que a abertura da fissura fosse um pouco maior.

MPa 3100,001

0,212,50,835

estriboρrdτ2,5sτ

estriboσ)(

=×−

=×−

= , considerando a contribuição do

concreto rdτ :

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= 2cmkgf3100estriboσ

Espaçamento entre as fissuras inclinadas :

C = 2, cm S= 20 cm 15 Ф = 15 x 0,5cm = 7,5cm

10cm2

20cm2b

6,0cm2,0cm0,5cm8C8 ==≤=+×=+φ

A c. ef. = 7,5cm x 6,0 cm = 45 cm2

s

b

C+ φ50,

φ5,7

2bC8 ≤+φ

S15 ≤φ

Ac.ef.

Ar =A (1 perna do estribo)

.c.efArA

rρ =

C


Estribos


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( )

400402cm454

2cm50

,

,

.c.efArA

rρ =

×

==

π

( ) ( )xdrρ

estribo0,115ou S0,2C2rms −≤×+×+×=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛φφ

Como S= 20cm e 15Ф =7,5cm, usar 7,5cm.

( ) ( ) 17cm11,4cmcm5,14cm0,00440,5cm

0,17,5cm0,22,0cm2rms =++=×+×+×=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Verificar se ( )xdrms −≤

f ck = 15 MPa e pela Norma NBR6118 ,

GPa22MPa21700155600fck(MPa)5600Ec(MPa) ====

9,72cmkgf217000

2cmkgf2100000n ==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

%0,830,008337cm20cm

21,23cm5dbflexão deaçoA

μ ==×

×=

×=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

×+±−××=

μn

211nμxk


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3290790083

70083 ,,,0

211,9,0xk =

×+±−××=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Zona comprimida : x = 0,329 . 37cm = 12,2 cm ;

d – x =37cm -12.2cm =24,8cm ( ) OK24,8cmxd17cmrms =−≤=

Logo 17cmrms =


⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×≥×

−×==açoE

estriboσ0,40

2

sτrdτ2,5

1açoE


o%90,02

0,83521,02,512kgf/cm 0002100

2kgf/cm3100estribo nomédioεsmε =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−×==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ MPa

[ ] o%0,900002100

3100estribo nomédioεsmε 0,605 =×== ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Abertura máxima da fissura inclinada :

mmmmmm 3,017,0)/9,0(2,17,1rmssmε1,21,795%.kω =×××=×××=

A abertura máxima das fissuras inclinadas observadas na viga era ω máx ≈ 0,25 mm A estimativa da abertura das fissuras inclinadas, feita pelo CEB / 78, é bem precisa.


Estribos


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Exemplo 2 : Ensaio de Prof. Fritz Leonhardt Viga T1 Faremos aqui a comparação entre as aberturas de fissuras inclinadas medidas nos ensaios de F. Leonhardt [27] e as calculadas pelo CEB 78 e por G. Rehm, assim como as calculadas pela NBR6118 -2003

Seção transversal

Forma das vigas T1

A armadura de flexão da viga era composta de 16 barras de 26mm e a de estribos com 12mm de diâmetro e espaçamento de 8cm. Em uma metade da viga os estribos tinham nervura. Na outra metade, os estribos não tinham nervura. A fissuração inclinada não foi diferente entre as duas metades da viga. Isso faz supor que o importante nos estribos é a ancoragem nas suas extremidades, nos ganchos e nas dobras.


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Viga T1

Armadura – seção transversal

s

b

A estribo = Área total das 2 pernas do estribo

S

sbestriboA

estriboρ×

=

16 ferros 26mmEstribos 12mm cada 8cm


Estribos


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( )

2,83%0,02838cm10cm

4

21,2cmπ2

Sb

4

2estriboπ

2

SbestriboA

estriboρ ==×

××

=×

××

=×

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛φ

Exercício : A carga aplicada na viga era 2P = 943 kN e o peso total da viga = 63kN

Calcular a abertura máxima da fissura inclinada para a força cortante de 503 kN, e compará-la com a abertura máxima da fissura medida na viga.

6,1MPa2mkN60970,075)m-0,90(0,10m

503kNdb

sVsτ ==

×=

×= ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ , em serviço.

Resistência à compressão em prisma de 10cmx10cmx53cm era: fc prisma = 242 kgf / cm2 = 24,2 MPa logo: 0,294MPa24,20,0080,10rdτ =×+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==×−=×−

= 2cmkgf8961MPa6,8910,0283

0,2942,56,1

estriboρ

)rdτ2,5s(τestriboσ

fck

20 MPa

Se fck ≥ 20 MPa fck0,0080,10rdτ ×+=

ckf0,010,06rdτ20MPafckSe

×+=≤

rdτ 0,26 MPa


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⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= 2cmkgf8961estriboσ

Espaçamento entre as fissuras inclinadas :

C = 2,0 cm S = 8 cm b =10cm

15 φ = 15 x 1,2cm = 18cm

5cm2

10cm2b11,6cm2,0cm1,2cm8C8 ==>=+×=+φ

Usar a metade da largura =10cm/2 = 5cm

A c. ef. = 8,0cm x 5,0 cm = 40 cm2

( )%2,830,02826240cm

4

21,2cmπ

.c.efAestribo do perna 1A

rρ ==

×

==

s

b

C+0,5Ф

φ5,7

2bC8 ≤+φ

S15 ≤φ

Ac.ef.

Ar =A (1 perna do estribo)

c.efArA

rρ =

C


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( ) ( )xdrρ

estribo0,115ou S0,2C2rms −≤×+×+×=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛φφ

Como S= 8cm e φ15 =18cm, usar 8cm.

( ) ( ) 9,8cm4,2cm1,6cm4cm0,02831,2cm0,18,0cm0,22,0cm2rms =++=×+×+×=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Devemos verificar se ( )xdrms −≤

f ck ≈ 24 MPa e pela Norma NBR6118 ,

GPa4,72MPa27434245600fck(MPa)5600Ec(MPa) ==== Zona comprimida : x = 34,1 cm ;

d – x = 48,4cm ( ) OK48,4cmxd9,8cmrms =−<=

cm,9rms 8=

O espaçamento médio entre as fissuras, medido sobre os estribos, na direção vertical, foi de 10cm, coincidindo com a previsão do CEB / 78.


⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×≥×

−×==açoE

estriboσ0,40

2

sτrdτ2,5

1açoE


o%0,892

6.10,294MPa2,51

00021001896

estribo nomédioεsmε =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−×==

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

o%0,89estribo nomédioεsmε ==

O alongamento medido no estribo para a força cortante de 503 kN foi de 0,95%o . A abertura máxima da fissura inclinada, segundo o CEB 1978 , vale :


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( ) 0,18mm0,098m%0,891,21,7rmssmε1,21,795%.kω o =×××=×××=

A fissura máxima inclinada, medida na viga ensaiada, para a carga de 2P = 943 kN, foi de ≈ 0,20mm. A concordância obtida com o CEB / 78 é muito boa, ver gráfico abaixo.

abertura de fissuraViga T1

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45mm

2P- (

kN)

carga Leonhardt (kN)2P (kN) CEBLinear (carga Leonhardt (kN))

A formulação da norma CEB/78 permite a estimativa correta da abertura da fissura inclinada.

943 kN


Estribos


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Referências

1. Lobo Carneiro, Fernando Luiz – Teoria da fissuração das peças de concreto armado – Revista Estrutura Nos 26 e 27 - 1960 – Trabalho realizado no INT/RJ

2. Lobo Carneiro, Fernando Luiz , Maria Cascão F. de Almeida- Critérios adotados por

diferentes normas para análise da fissuração em obras de concreto armado e protendido.

3. Code Modele CEB-FIP pour les Structures en Béton – 1978

4. Gallus Rehm – Zur Frage der Rissbegrenzung im Stahlbeton-Betonbau-Betonud

Stahlbetonbau 63 – 1968 - no 8 pag.175 - 182.

5. Rao P.S. Die Grundlagenzur Berechniung der bei statisch unbestimmten Stahlbetonkonstruktione im plastichen Bereich auftretenden Umlagerungen der Schnittkräfte – D.A.fStb, Heft 177 -1966

6. NB1/78 Norma brasileira para projeto e execução de obras de concreto armado. 7. Leonhardt – Vorlesungen über Massivbau- Vol. 4 – Construções de Concreto. 8. A.W.Beeby- Concrete in the Oceans Cracking and Corrosion - International

Symposium on Offshore Structures – Rilem-FIP-CEB-1979 –Rio de Janeiro.

9. Rolf Lenschow – Serviceability state of marine structures with emphasis on cracking – International Symposium on Offshore Structures – Rilem-FIP-CEB-1979 –Rio de Janeiro.

10. Horst Falkner – Zur Frage der Rissbildung durch Eigen-und Zwangspannunen

infolge Temperatur in Stahlbetonbauteilen - D.A.f.Stb-Heft 208

11. Mörsch, Emil – Brücken aus Stahlbeton und Spannbeton- Entwurf und Konstruktion – Sechste Auflage -1958

12. H. Stoffers – Cracking due to Shrinkage and temperature variation in walls- Heron Vol.

23 -1978

13. CEB Bulletin DÍnformation no 89 Fissuration – Mars 1973

14. ACI Stanadrd 318-71 – Building Code Requirements for Reinforced Concrete.

15. ACI Committee Report – Commentary on Building Code Requirements for Reinforced Concrete – ACI 318-71

16. CEB-70 Comite Europeen du Beton.

17. Programa Crack – Promon Engenharia – Eng. Ernani Diaz.


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18. Y. Goto – Cracks formed in concrete around deformed tension bars. Journal ACI, Proc.

Vol. 68 ( 1971) – Nr 4 - pag. 244 – 251

19. Thomaz, Eduardo - Haguenauer ,Cristina - Estudo de Fissuração de Cisalhamento em Vigas de Concreto Armado, RBE - Revista Brasileira de Engenharia, Associação Brasileira de Pontes e Estruturas, Caderno de Engenharia Estrutural, Vol.11/N.1, 10/93.

20. Haguenauer, Cristina – Thomaz, Eduardo - Estudo de Campos Comprimidos de

Concreto Armado com Aplicação em Vigas - Parede, RBE - Revista Brasileira de Engenharia, Associação Brasileira de Pontes e Estruturas, Caderno de Engenharia Estrutural, Vol.10/N.2, 3/93.

21. Norma NBR6118 – 2002 Projeto de Estruturas de Concreto – ABNT 2002

22. CEB-FIP Model Code 1990 – Bulletin DÍnformation No 203

23. Thomaz, Eduardo , Haguenauer ,Cristina - Estudo de Fissuração de Cisalhamento em

Vigas de Concreto Armado, RBE - Revista Brasileira de Engenharia, Associação Brasileira de Pontes e Estruturas, Caderno de Engenharia Estrutural, Vol.11/N.1, 10/93.

24. Haguenauer, Cristina, Thomaz Eduardo - Estudo de Campos Comprimidos de

Concreto Armado com Aplicação em Vigas - Parede, RBE - Revista Brasileira de Engenharia, Associação Brasileira de Pontes e Estruturas, Caderno de Engenharia Estrutural, Vol.10/N.2, 3/93.

25. Norma NBR6118 – 2002 Projeto de Estruturas de Concreto – ABNT 2002

26. CEB-FIP Model Code 1990 – Bulletin DÍnformation No 203

27. Fritz Leonhardt – René Walther – Stuttgart – Versuche an Plattenbalken mit hoher Schubbeanspruchung –( Ensaios em viga T com grandes solicitações tangenciais ) Deutscher Ausschuss für Stahlbeton - Heft 152.

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