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ANÁLISE DA VIBRAÇÃO DE ESTRUTURAS COM MEMÓRIA DE FORMA
UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Klaus Reis von Haehling Lima
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do título de
Engenheiro Mecânico.
Orientador: Prof. Marcelo Amorim Savi
RIO DE JANEIRO
DEZEMBRO DE 2014
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica
DEM/POLI/UFRJ
ANÁLISE DA VIBRAÇÃO DE ESTRUTURAS COM MEMÓRIA DE FORMA
UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Klaus Reis von Haehling Lima
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS
PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO MECÂNICO.
Aprovado por:
________________________________________________
Prof. Marcelo Amorim Savi
________________________________________________
Prof. Anna Carla Monteiro de Araujo
________________________________________________
Prof. Daniel Alves Castello
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
DEZEMBRO DE 2014
3
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente aos meus pais Klaus e Regina Celi, que sempre tiveram a
educação dos filhos como prioridade. Dedico este trabalho a eles, pois sempre me
incentivaram a ser uma pessoa correta, aplicada e humana. Agradeço também à minha irmã
Regine pelo seu apoio inestimável à família, o que garantiu a continuidade da minha
formação profissional. Sou grato à minha avó Maria Luisa pelos constantes incentivos ao
estudo, os quais contribuíram para os meus esforços acadêmicos.
Agradeço ao meu orientador Prof. Marcelo Amorim Savi, cuja paciência e
compreensão foram essenciais para o andamento deste trabalho. Agradeço também aos
Professores Daniel Alves Castello e Anna Carla Monteiro de Araujo, por terem aceito fazer
parte desta banca avaliadora, além de terem proporcionado valioso conhecimento nas
disciplinas que me lecionaram ao longo da graduação.
Por fim, agradeço aos amigos que tive o prazer de conhecer ao longo dessa jornada.
Em especial, ao André Luna, Edoardo Mies, Thiaron Silva, Luiz Messeder, Frederico Castro
e Pedro Mobilio.
4
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES....................................................................................................6
LISTA DE TABELAS..............................................................................................................8
1 INTRODUÇÃO..........................................................................................................11
1.1 Organização do Trabalho.............................................................................................13
2 MATERIAIS INTELIGENTES................................................................................14
2.1 Ligas com memória de forma.......................................................................................14
2.2 Aplicações...................................................................................................................19
3 DINÂMICA NÃO-LINEAR: FUNDAMENTOS TEÓRICOS..............................22
3.1 Espaço de Fase.............................................................................................................22
3.2 Seção de Poincaré.........................................................................................................23
3.3 Diagrama de Bifurcação...............................................................................................24
4 SISTEMAS FÍSICOS.................................................................................................26
4.1 Modelo de uma massa..................................................................................................26
4.2 Modelo multi-massas...................................................................................................27
5 MODELAGEM..........................................................................................................28
5.1 Modelo Constitutivo.....................................................................................................28
5.2 Modelos em Elementos Finitos....................................................................................31
6 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS: MODELO DE UMA MASSA.............................34
6.1 Vibrações Livres...........................................................................................................34
6.2 Varreduras de Frequências Isotérmicas........................................................................38
6.3 Variações de Temperatura a Frequências Constantes..................................................46
7 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS: MODELO MULTI-MASSAS.............................49
7.1 Vibrações Livres...........................................................................................................49
7.2 Variações de Temperatura a Frequências Constantes..................................................54
5
8 CONCLUSÕES..........................................................................................................58
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................60
6
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 2.1: Comparação entre frequência e densidade de energia
de atuação de diferentes materiais ativos.................................................................................15
Figura 2.2: Transformações de fase induzidas por temperatura
em estado livre de tensões.......................................................................................................16
Figura 2.3: Orientação das variantes........................................................................................16
Figura 2.4: Efeito de memória de forma..................................................................................17
Figura 2.5: Pseudoelasticidade induzida por temperatura.......................................................17
Figura 2.6: Pseudoelasticidade induzida por tensão................................................................18
Figura 2.7: Diagrama tensão-deformação no comportamento
pseudoelástico..........................................................................................................................18
Figura 2.8: Aparelho ortodôntico (Lagoudas, 2008)................................................................19
Figura 2.9: Stent autoexpansivo
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Stent4_fcm.jpg)...............................20
Figura 2.10: Modelo de asa flexível (B. Sanders et al., 2004).................................................20
Figura 2.11: Absorvedor de vibrações (Aguiar et al., 2012)....................................................21
Figura 3.1: Espaços de Fase (de Paula, 2005)..........................................................................23
Figura 3.2: Seção de Poincaré (Moon, 1992)...........................................................................24
Figura 3.3: Diagrama de Bifurcação (de Paula, 2005).............................................................25
Figura 4.1: Modelo de uma massa............................................................................................26
Figura 4.2: Modelo multi-massas.............................................................................................27
Figura 5.1: Gráfico tensão-deformação no teste uniaxial com modelo Auricchio-Taylor.......31
Figura 5.2: Modelos em elementos finitos (as massas pontuais estão marcadas em
vermelho)..................................................................................................................................32
7
Figura 5.3: Numeração dos fios (modelo de uma massa)........................................................33
Figura 6.1: Vibrações livres a 300 K........................................................................................35
Figura 6.2: Vibrações livres (300 K→280K)...........................................................................37
Figura 6.3: Varreduras de frequência: (a) Crescente; (b) Decrescente....................................38
Figura 6.4: Diagrama de Transmissibilidade (5g)....................................................................39
Figura 6.5: Diagramas de Bifurcação (5g): (a) Crescente; (b) Decrescente............................40
Figura 6.6: Mapa de Poincaré, varredura crescente (5g) .........................................................41
Figura 6.7: Mapa de Poincaré, varredura decrescente (5g)......................................................42
Figura 6.8: Diagrama de Transmissibilidade (30g)..................................................................42
Figura 6.9: Diagramas de Bifurcação (30g): (a) Crescente; (b) Decrescente..........................43
Figura 6.10: Mapa de Poincaré, varredura crescente (30g)......................................................44
Figura 6.11: Mapa de Poincaré, varredura decrescente (30g)..................................................45
Figura 6.12: Deslocamento com variação de temperatura em todos os fios (5g)....................46
Figura 6.13: Deslocamento com variação de temperatura em todos os fios (30g)..................47
Figura 6.14: Deslocamento com variação de temperatura desigual (5g).................................47
Figura 6.15: Deslocamento com variação de temperatura desigual (30g)...............................48
Figura 7.1: Massa perturbada e fio analisado...........................................................................49
Figura 7.2: Vibrações livres a 300 K........................................................................................50
Figura 7.3: Vibrações livres a 300 K - direção z......................................................................51
Figura 7.4: Vibrações livres (300 K→280K)...........................................................................52
Figura 7.5: Vibrações livres (300 K→280K) – direção z.........................................................53
Figura 7.6: Deslocamento com variação de temperatura em todos os fios (5g)......................54
Figura 7.7: Deslocamento com variação de temperatura em todos os fios (30g)....................55
Figura 7.8: Resfriamento localizado........................................................................................55
Figura 7.9: Deslocamento com variação de temperatura localizada (5g)................................56
8
Figura 7.10: Deslocamento com variação de temperatura localizada (30g)............................56
9
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1: Dimensões atribuídas............................................................................................27
Tabela 5.1: Parâmetros constitutivos.......................................................................................32
10
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
ANÁLISE DA VIBRAÇÃO DE ESTRUTURAS COM MEMÓRIA DE FORMA
UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Klaus Reis von Haehling Lima
Dezembro/2014
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Curso: Engenharia Mecânica
Estruturas com materiais ativos, tais como as ligas com memória de forma (SMAs),
são de especial interesse para aplicações mecânicas e aeroespaciais. As SMAs vem ganhando
espaço nas práticas de engenharia, e isto se relaciona ao comportamento não-linear do
material. O acoplamento termomecânico, inerente à liga, possibilita o desenvolvimento de
novas soluções para problemas dinâmicos existentes. Este trabalho utiliza o método dos
elementos finitos para a análise dinâmica de estruturas com elementos de SMA. Modelos
arquétipos são abordados utilizando o modelo constitutivo de Auricchio-Taylor (1996) em
elementos do tipo treliça. As análises são realizadas utilizando o código comercial ABAQUS.
Duas estruturas diferentes são investigadas: com uma massa e multi-massas. Inicialmente,
aborda-se a estrutura com uma massa composta de quatro fios de SMA em duas direções
perpendiculares conectadas a uma massa central. Cada fio é também conectado a uma
estrutura rígida. Vibrações livres e forçadas são analisadas. A estrutura multi-massas que
consiste em doze fios interconectando quatro massas é também considerada, sob vibrações
livres e forçadas. Tem-se por intuito explorar carregamentos térmicos para que se observe a
influência do acoplamento termomecânico dessa liga. Mudanças de temperatura são impostas
com o propósito de controle de vibrações. Os resultados mostram que o método dos
elementos finitos consiste em uma ferramenta eficaz para a análise dinâmica de estruturas
inteligentes, apresentando boa flexibilidade. O comportamento de dependência da
temperatura por parte dessas estruturas indica a adaptabilidade e o seu potencial para o
controle de vibrações.
11
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Mechanical Engineer.
VIBRATION ANALYSIS OF SHAPE MEMORY ALLOY STRUCTURES USING THE
FINITE ELEMENTS METHOD
Klaus Reis von Haehling Lima
December/2014
Advisor: Marcelo Amorim Savi
Course: Mechanical Engineering
Structures with active materials such as shape memory alloys (SMAs) are of
particular interest for mechanical and aerospace applications. The SMAs have gain ground in
engineering practice, and this is related to its non-linear behavior. The thermomechanical
coupling, inherent to the alloy, enables the development of new solutions to existing dynamic
problems. This work implements the finite element method for the dynamic analysis of
structures with SMA elements. Archetypal models are addressed using the Auricchio-Taylor
constitutive model (1996) on truss-type elements. The analyses are performed using the
commercial code ABAQUS. Two different structures are investigated, with a single mass and
multi-masses. Initially, the single-mass structure composed by four SMA wires in two
perpendicular directions connected to a central mass is discussed. Each wire is also connected
to a rigid frame. Free and forced vibrations are analyzed. The multi-masses structure that
consists of twelve wires interconnecting four masses is also considered under free and forced
vibration. The goal of this work is the use of thermal loadings in order to observe the
influence of the alloy’s thermomechanical coupling. Temperature changes are imposed for
the purpose of vibration control. The results show that the finite element method consists of
an effective tool for dynamic analysis of smart structures with good flexibility. The
temperature dependence behavior of these structures indicate their adaptability and potential
for vibration control.
12
1 INTRODUÇÃO
As ligas com memória de forma, ou “shape memory alloys” (SMAs), pertencem à
classe dos materiais inteligentes apresentando um acoplamento entre os campos térmico e
mecânico. As transformações de fase martensíticas ocorrem sob mudanças de tensão e/ou
temperatura específicas e são responsáveis pelos comportamentos únicos e não-lineares dessa
liga, provendo larga aplicabilidade.
Muitos autores tem explorado o comportamento não-linear das SMAs de maneira a
alterar a resposta de sistemas dinâmicos. Tamanho interesse se explica a partir do grande
potencial para o controle de vibrações, assim como da possibilidade de se obter respostas
dinâmicas interessantes. Em termos de dinâmica aplicada, tem sido estudadas situações
explorando a dissipação adaptativa associada ao laço de histerese, e a mudança de
propriedades mecânicas relacionada às transformações de fase. De maneira a explorar essas
particularidades, sistemas de poucos graus de liberdade tem sido largamente discutidos na
literatura. Machado (2007) mostrou como as características não-lineares das SMAs podem
afetar a vibração de um sistema de um grau de liberdade considerando diferentes acelerações
e histórias de carregamento.
Algumas contribuições exploraram a possibilidade de redução de vibrações ao se
alterar a rigidez de elementos de SMA com mudanças de temperatura. Williams et al. (2002)
e Savi et al. (2011) fizeram uso de tal ideia aplicando absorvedores de vibração adaptativos
incorporando a liga com memória de forma como elemento de regulagem. Aguiar et al.
(2012) considerou osciladores de um e dois graus de liberdade, analisando de um ponto de
vista experimental a influência das variações de temperatura na rigidez e histerese, e como
estes afetam as condições de ressonância desses sistemas. Silva (2011) direcionou seu foco ao
controle de vibrações de um sistema rotor-mancal, comparando as respostas a diferentes
temperaturas.
Em geral, a dinâmica não-linear dos sistemas com liga com memória de forma é
extremamente rica, estando relacionada a respostas complexas. Os comportamentos
interessantes dos osciladores com SMA tem sido discutidos em diferentes perspectivas
(Bernardini e Rega, 2005; Machado et al. 2009; Savi e Braga, 1993; Savi e Pacheco, 2004).
Lacarbonara et al. (2004) realizou uma investigação numérica sobre a resposta não-linear de
um oscilador SMA de um grau de liberdade, extraindo uma rica classe de soluções, tais como
quase-periodicidade e caos. Bernardini e Rega (2007) direcionaram seus esforços à
caracterização da resposta caótica de um oscilador pseudoelástico. Sitnikova et al. (2011)
13
analisou um oscilador com impacto em uma restrição de SMA, também alcançando dinâmica
complexa notando a capacidade de redução de vibrações através de mudanças de amplitude.
A resposta dinâmica de estruturas envolvendo SMAs também tem atraído esforços de
pesquisa. Savi e Nogueira (2010) investigaram através de simulações numéricas a dinâmica
de uma treliça pseudoelástica de duas barras, alcançando respostas complexas.
Apesar das diversas aplicações existentes na indústria aeroespacial, há ainda demanda
para o entendimento de estruturas em grande escala (como antenas) utilizando componentes
de SMA. Nesse sentido, sistemas compostos de massas conectadas por elementos de SMA
são de especial interesse. Uma massa conectada a quatro fios de SMA foi anteriormente
estudada por de Paula et al. (2012). Este modelo arquétipo possibilita a compreensão de
sistemas maiores, que podem conter centenas de elementos interconectados. A abordagem foi
direcionada à natureza não-linear da resposta dinâmica, dando especial atenção às bifurcações
e aos atratores caóticos.
O uso da análise em elementos finitos (FEA) está bastante consolidada, permitindo a
compreensão de fenômenos complexos como comportamentos não-homogêneos. A
implementação de modelos constitutivos de SMA em FEA tem demonstrado eficácia para
tratar problemas que apresentam não-linearidades geométricas e necessidades de otimização
(Auricchio e Taylor, 1996; La Cava et al., 2004; Bandeira et al., 2006, Hartl et al., 2011).
A estrutura em SMA discutida por de Paula et al. (2012) foi revisitada por Peraza et
al. (2013) utilizando FEA. Os autores estudaram a influência do modelo constitutivo, do tipo
de elemento e da configuração estrutural (todos os fios com pré-tensões iguais ou diferentes)
na resposta do sistema.
O presente trabalho lida com a análise de vibrações de estruturas com memória de
forma, através da utilização do método dos elementos finitos. Dois modelos diferentes são
investigados. Inicialmente, a estrutura com uma massa conectada por quatro atuadores de
SMA é submetida a vibração livre e forçada. Posteriormente, uma extensão com quatro
massas conectadas por doze atuadores é analisada também em vibração livre e forçada. A
possibilidade de controle de vibração com variações de temperatura é estudada em ambas as
situações. Objetiva-se explorar a capacidade adaptativa das estruturas além de mostrar a
flexibilidade da abordagem utilizando o método dos elementos finitos.
14
1.1 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Este trabalho é organizado em 7 capítulos. Este primeiro capítulo é dedicado à
introdução do trabalho, tratando sobretudo de suas motivações e objetivos.
O Capítulo 2 apresenta uma breve discussão acerca dos materiais inteligentes. São
explicadas as particularidades das ligas com memória de forma e suas aplicações mais
frequentes.
O Capítulo 3 trata da descrição dos sistemas físicos a serem estudados. Basicamente
estudam-se dois modelos arquétipos capazes de representar um sistema de maior escala.
No Capítulo 4, é feita uma breve explicação do modelo constitutivo utilizado, bem
como dos modelos em elementos finitos de ambos os sistemas abordados.
O Capítulo 5 trata dos fundamentos teóricos relacionados à dinâmica não-linear,
explicando as principais ferramentas de análise que são utilizadas neste trabalho.
O Capítulo 6 apresenta os resultados das simulações com o modelo de uma massa.
Inicialmente, são tratadas as vibrações livres. Analisa-se a questão da influência da
temperatura. Em vibrações forçadas, são realizadas varreduras de frequência que tem por
objetivo caracterizar a resposta dinâmica do sistema. As respostas a determinados
carregamentos termomecânicos em frequências específicas com temperatura variável também
são investigadas.
No Capítulo 7, aborda-se o sistema amplificado, ou multi-massas. Vibrações livres e
variações de temperatura são impostas e seus efeitos são analisados. Vibrações forçadas
também são impostas, fazendo um paralelo com o sistema abordado anteriormente.
Finalmente no Capítulo 8 são apresentadas as conclusões referentes ao trabalho, assim
como comentários acerca dos métodos utilizados.
15
2 MATERIAIS INTELIGENTES
Os materiais inteligentes são aqueles que apresentam o acoplamento entre campos
físicos diferentes. Tal característica lhes confere a capacidade adaptativa de se adequarem às
condições ambientais ou operacionais. Também chamados de materiais ativos (Lagoudas,
2008), esses materiais são reconhecidos por apresentarem sensibilidade e grande capacidade
de atuação.
Os materiais inteligentes são comumente classificados de acordo com o tipo de
acoplamento apresentado. Destacam-se os materiais mais frequentemente utilizados, como as
ligas com memória de forma, os materiais piezoelétricos e os fluidos magneto-reológicos.
Esses materiais tem a capacidade de mudar as suas propriedades mecânicas e/ou
eletromagnéticas quando submetidos a uma diferença de potencial, a um campo eletro-
magnético, a variações de temperatura ou de tensão.
As estruturas contendo materiais inteligentes como sensores e atuadores vem
ganhando espaço, e são conhecidas como estruturas inteligentes. De acordo com a literatura
(Lagoudas, 2008), existem dois requisitos essenciais para a escolha do material adequado: a
densidade de energia de atuação e a freqüência de atuação do material.
2.1 LIGAS COM MEMÓRIA DE FORMA
As ligas com memória de forma (SMAs) pertencem à classe dos materiais inteligentes
por apresentarem o acoplamento termomecânico. Este é responsável pelo comportamento que
dá nome ao material, o efeito de memória de forma, que consiste na recuperação da forma
previamente estabelecida através de um carregamento termomecânico apropriado. Esses
materiais são capazes de responder com forças de restituição de grandes magnitudes, caso
haja alguma restrição para a recuperação da sua forma original. Por esse motivo, considera-se
que as ligas com memória de forma possuem alta densidade de energia de atuação. As SMAs
porém, exibem respostas em baixas frequências, já que dependem de processos de troca
térmica. A relação entre as SMAs e outros materiais inteligentes é mostrada na Figura 2.1.
16
Figura 2.1: Comparação entre frequência e densidade de energia
de atuação de diferentes materiais ativos.
Essencialmente, são tratadas duas fases sólidas nas SMAs: a austenita e a martensita.
É justamente na transformação não-difusiva entre essas fases que se observa o interessante
comportamento não-linear da liga. Em um estado livre de tensões, a fase martensítica é
estável em baixas temperaturas, possuindo diversas variantes, enquanto que a fase austenítica
é estável em altas temperaturas, apresentando apenas uma variante. Nas SMAs, a
determinação da fase sólida predominante depende não somente da composição e da
temperatura (como nas ligas ferro-carbono), como também do estado de tensões e da história
de carregamento.
No estado livre de tensões a altas temperaturas, a redução de temperatura induz a
transformação de fase que leva a austenita para a chamada martensita geminada (“twinned”),
que possui 24 variantes. Cada variante representa uma orientação cristalográfica distinta. O
posterior aumento de temperatura induz a transformação inversa. A Figura 2.2 mostra uma
representação esquemática desse processo. Nota-se a existência de quatro temperaturas
específicas (𝑀𝑠, 𝑀𝑓, 𝐴𝑠 e 𝐴𝑓) que consitem nas temperaturas de início e fim da transformação
martensítica e austenítica, respectivamente.
17
Figura 2.2: Transformações de fase induzidas por temperatura
em estado livre de tensões.
Na transformação martensítica induzida por tensão, ocorre o alinhamento dessas
variantes na direção do carregamento, predominando apenas uma variante. Esta fase
martensítica é chamada de não-geminada (“detwinned”). Tal reorientação das variantes
também ocorre caso a martensita geminada seja submetida a carregamentos mecânicos. A
representação esquemática desse processo pode ser vista na Figura 2.3. Neste caso, mesmo
que o carregamento mecânico seja retirado, uma amostra mantém-se deformada,
apresentando uma deformação residual.
Figura 2.3: Orientação das variantes.
O efeito de memória de forma é observado quando a amostra com deformação
residual, no estado de martensita não-geminada, é aquecida até que se transforme totalmente
18
em austenita. Assim, obtém-se a recuperação total da forma original da amostra. Este
fenômeno é esquematizado na Figura 2.4.
Figura 2.4: Efeito de memória de forma.
O fenômeno de pseudoelasticidade acontece quando é feita a transformação entre a
austenita e a martensita não-geminada. Tal transformação pode ser obtida tanto por
carregamentos térmicos quanto por carregamentos mecânicos, como mostram as Figuras 2.5
e 2.6.
Figura 2.5: Pseudoelasticidade induzida por temperatura.
19
Figura 2.6: Pseudoelasticidade induzida por tensão.
Os efeitos observados nesse processo são uma mudança expressiva de rigidez e a
histerese na conclusão do carregamento-descarregamento. Ambos são mostrados na Figura
2.7, que apresenta o diagrama tensão-deformação do processo. Esses efeitos se mostraram
muito interessantes em aplicações dinâmicas, já que a mudança de rigidez possibilita alterar a
resposta natural de um sistema e a histerese representa a capacidade de dissipação de energia.
Analogamente às quatro temperaturas específicas de transformação (𝑀𝑠, 𝑀𝑓, 𝐴𝑠 e 𝐴𝑓), aqui
tratam-se de quatro tensões específicas que representam o início e fim da transformação
martensítica e austenítica (𝜎𝑀𝑠, 𝜎𝑀𝑓, 𝜎𝐴𝑠 e 𝜎𝐴𝑓). Na região de transformação de fase,
conhecida como “plateau”, ocorrem grandes deformações com pouca reação em tensão por
parte do material.
Figura 2.7: Diagrama tensão-deformação no comportamento pseudoelástico.
20
2.2 APLICAÇÕES
O comportamento singular das ligas com memória de forma tem sido largamente
explorado em diversas áreas de ciência e tecnologia. No que diz respeito a aplicações
biomédicas, a caracterísitica biocompatível dessas ligas se mostrou interessante,
possibilitando a sua utilização em instrumentos cirúrgicos, cardio-vasculares, ortopédicos,
ortodônticos, entre outros. Nos aparelhos ortodônticos, os fios pseudoelásticos (Figura 2.8)
aparecem como excelente alternativa. A possibilidade de se operar no “plateau”
pseudoelástico concede aos dentes uma força de atuação moderada e aproximadamente
constante enquanto os mesmos se movem na boca do paciente. Isto permite postergar as
intervenções profissionais, já que o material permanece ativo por períodos de tempo mais
longos. Ainda em aplicações biomédicas, o efeito de memória de forma é explorado como
comportamento autoexpansivo em dispositivos cardiovasculares (Machado & Savi, 2002,
2003 e Duering et al., 1999). Um exemplo destes dispositivos é o “stent”, mostrado na
Figura 2.9.
Figura 2.8: Aparelho ortodôntico (Lagoudas, 2008).
21
Figura 2.9: Stent autoexpansivo
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Stent4_fcm.jpg)
Na área de engenharia, tem-se diversas aplicações interessantes. É o caso das
estruturas flexíveis como asas ou aerofólios (dentre outros), que podem adquirir geometrias
diferentes por atuação de elementos em SMA aquecidos por fonte elétrica (Rediniotis et al.,
2002; S. Wax et al., 2003; J. Mabe et al., 2005; T. Turner et al., 2006).
Figura 2.10: Modelo de asa flexível (B. Sanders et al., 2004)
Especialmente em aplicações dinâmicas, o interesse em atuadores de SMA recai tanto
sobre a dissipação adaptativa de energia, relacionada ao seu comportamento histerético,
quanto às mudanças de suas propriedades mecânicas causadas pelas transformações de fase.
As respostas dos sistemas com SMAs tem sido estudadas, observando a capacidade de
reduzir efeitos indesejados, como vibrações, e a possibilidade de se obter resultados
22
dinâmicos interessantes e complexos, como respostas caóticas. A Figura 2.11 apresenta um
sistema que exemplifica a aplicação de atuadores de SMA como absorvedores de vibração
adaptivos (Aguiar et al., 2012). Seu uso é atraente sobretudo como alternativa para sistemas
onde a frequência de forçamento é variável.
Figura 2.11: Absorvedor de vibrações (Aguiar et al., 2012).
23
3 DINÂMICA NÃO-LINEAR: FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Dinâmica não-linear é o nome dado a uma teoria matemática elaborada para se
estudar sistemas dinâmicos cujas equações de governo são não-lineares. Nesses sistemas,
uma série de comportamentos podem surgir quando existem pequenas variações paramétricas
ou de condições iniciais. Dentre os possíveis resultados, destacam-se as órbitas periódicas, as
quasi-periódicas e o caos.
O objetivo deste capítulo é apresentar as principais ferramentas desta teoria para
análise dinâmica de sistemas não-lineares. Aqui são introduzidos os conceitos utilizados neste
trabalho para uma análise qualitativa dos sistemas dinâmicos estudados: o espaço de fase, a
seção de Poincaré e o diagrama de bifurcação. Esses conceitos são essenciais na medida em
que fornecem uma compreensão global do comportamento do sistema.
3.1 ESPAÇO DE FASE
O espaço de fase pode ser definido como o espaço vetorial de um sistema dinâmico,
representado pelas suas variáveis dependentes. Trata-se de um diagrama que relaciona uma
variável de interesse com a sua taxa de variação. Cada ponto do espaço de fase representa um
estado do sistema, e por esse ponto, passa apenas uma trajetória. À medida que sistema evolui
no tempo, os sucessivos pontos representativos traçam uma curva no espaço de fase,
definindo uma trajetória.
Quando o sistema exibe um comportamento periódico, o sistema visita repetidas
vezes o mesmo conjunto de pontos, originando, assim, uma curva fechada. No entanto, no
caso de sistemas em regime caótico, devido à falta de peridiocidade, as trajetórias nunca se
fecham. Sistemas quasi-periódicos também apresentam como trajetória uma curva aberta. A
Figura 3.1(a) apresenta uma trajetória periódica, período-1, enquanto a Figura 3.1(b)
apresenta uma trajetória caótica típica.
24
(a) (b)
Figura 3.1: Espaços de Fase (de Paula, 2005)
3.2 SEÇÃO DE POINCARÉ
A seção de Poincaré é um procedimento muito utilizado no estudo de problemas de
dinâmica não-linear, pois possibilita uma melhor compreensão da dinâmica global do sistema
e identifica a natureza da resposta. Este procedimento permite que um sistema dinâmico
contínuo no tempo seja modelado como um sistema discreto (mapa), reduzindo-se desta
forma a dimensão do problema.
A construção do mapa baseia-se na determinação dos pontos de interseção da
trajetória do sistema com um hiperplano. Este é definido por um ponto escolhido
arbitrariamente no espaço de fase e deve ser tranversal à trajetória que passa pelo plano
escolhido. O conjunto desses pontos de interseção constitui o mapa de Poincaré do sistema, e
o hiperplano escolhido é chamado de seção de Poincaré (Otani e Jones, 1987).
Em geral, para sistemas sujeitos a forçamento periódico, é comum a adoção da seção
de Poincaré uma superfície relacionada a uma determinada fase de forçamento, como mostra
a Figura 3.2. Assim, o intervalo de tempo entre cada amostragem é igual ao período de
forçamento.
25
Figura 3.2: Seção de Poincaré (Moon, 1992)
Portanto, no caso de respostas com período simples, se observa apenas um ponto no
mapa de Poincaré. Para respostas com mais de um período, tem-se um conjunto de pontos
representando cada período. Para o movimento quasi-periódico, o mapa apresenta uma curva
fechada. E finalmente para a dinâmica caótica, vê-se um conjunto infinito de pontos,
usualmente possuindo regiões vazias e regiões densas, organizadas em lamelas.
3.3 DIAGRAMA DE BIFURCAÇÃO
O objetivo do diagrama de bifurcação é capturar qualquer mudança qualitativa na
natureza da resposta do sistema, como consequência da variação de algum parâmetro.
A representação do diagrama de bifurcação é feita através de um gráfico que relaciona
alguma variável do sistema, como posição ou velocidade, contra algum parâmetro do sistema,
que é variado de forma quasi-estática. O fenômeno da bifurcação está estreitamente
relacionado com a existência do caos no sentido de que um sistema dinâmico que não
apresenta algum tipo de bifurcação não apresenta uma resposta caótica. Deve-se destacar, no
entanto, que a recíproca não é verdadeira, ou seja, um sistema que apresente bifurcações não
necessariamente apresenta uma resposta caótica (Savi, 2003). A Figura 3.3 mostra um
exemplo deste diagrama.
26
Figura 3.3: Diagrama de Bifurcação (de Paula, 2005)
Para a construção dos diagramas de bifurcação neste trabalho, considera-se a posição
a partir da seção de Poincaré como variável de análise, e como parâmetro a frequência de
forçamento. Vale comentar que outro parâmetro possível de ser utilizado seria a temperatura,
tendo em vista a alta sensibilidade da liga com memória de forma em relação a este
parâmetro.
27
4 SISTEMAS FÍSICOS
Estruturas de grande escala podem ser modeladas como sistemas de múltiplos graus
de liberdade. Aplicações aeroespaciais incluem diversas estruturas, tais como antenas, onde
se deseja utilizar as características únicas de certos materiais inteligentes com o objetivo de se
obter um comportamento dinâmico desejado. Tais estruturas porém, podem conter centenas
de elementos, o que acarreta um alto número de graus de liberdade. Para tratar desse
problema, modelos arquétipos ganham espaço para compreender as características gerais do
comportamento da estrutura.
4.1 MODELO DE UMA MASSA
O modelo arquétipo (ou modelo primitivo) é definido como um modelo padrão a
partir do qual sistemas semelhantes derivam ou se baseiam. Neste caso, propõe-se abordar
um sistema simplificado com graus de liberdade reduzidos, de maneira a se obter a
compreensão global do sistema de grande escala. O modelo arquétipo bidimensional proposto
em de Paula et al. (2012) representa uma boa alternativa para a abordagem do problema das
antenas de SMA. Trata-se de um sistema com quatro fios em SMA conectados a uma única
massa central (pontual, desconsiderando dimensões) e a uma estrutura rígida. No presente
trabalho, tal modelo é revisitado, atribuindo dimensões unitárias aos elementos. O modelo de
uma massa pode ser observado na Figura 4.1, e as dimensões atribuídas aos elementos estão
relacionadas na Tabela 4.1, a seguir.
Figura 4.1: Modelo de uma massa
28
Tabela 4.1: Dimensões atribuídas
Massa pontual 1 kg
Comprimento dos fios 1 m
Área de seção circular dos fios 1 mm²
4.2 MODELO MULTI-MASSAS
Além do modelo de uma massa, é proposto neste trabalho um modelo multi-massas,
também bidimensional, que consiste em doze fios interconectando quatro massas pontuais. O
modelo é apresentado na Figura 4.2.
Figura 4.2: Modelo multi-massas
O objetivo de se abordar esse sistema é obter uma compreensão da influência de um
número maior de graus de liberdade, bem como explorar a flexibilidade da análise em
elementos finitos. Os parâmetros dimensionais adotados são os mesmos do modelo anterior.
29
5 MODELAGEM
5.1 MODELO CONSTITUTIVO
O comportamento termomecânico das ligas com memória de forma pode ser
capturado por meio de modelos constitutivos que estabelecem uma descrição fenomenológica
desses materiais. Lagoudas (2008) e Paiva e Savi (2006) apresentaram uma visão geral acerca
das equações constitutivas para SMAs. Neste trabalho, o modelo Auricchio-Taylor (1996) é
adotado considerando a formação e recuperação de deformações inelásticas associadas à
transformação de fase martensítica.
O modelo adota como variáveis de controle a tensão de Kirchhoff, τ, e a temperatura
T. Para capturar os efeitos induzidos pela transformação de fase, assume-se uma
decomposição do gradiente de deformação F, na forma:
𝑭 = 𝑭𝑒𝑭𝑡𝑟 (1)
onde 𝑭𝑒 é a parcela elástica da deformação, enquanto que 𝑭𝑡𝑟 é uma variável interna
relacionada às transformações de fase. Este modelo não faz distinção entre as variantes que
podem estar presentes na fase martensítica. Desse modo, utiliza-se somente um parâmetro
escalar, 𝜉𝑀 , representando a fração volumétrica de martensita.
São consideradas duas transformações de fase:
Conversão de austenita em martensita de única variante (A→M)
Conversão de martensita de única variante em austenita (M→A)
Assim, são atribuídas mudanças em 𝜉𝑀 em ambos os processos, obtendo:
�̇�𝑀 = �̇�𝑀𝐴𝑀 + �̇�𝑀
𝑀𝐴 (2)
Para modelar a dependência da pressão na transformação de fase, o autor utiliza uma
função do tipo Drucker-Prager para o carregamento:
𝐹𝐴𝑀(𝝉, 𝑇) = ‖𝒕‖ + 3𝛼𝑝 − 𝐶𝐴𝑀𝑇 (3)
30
onde t é a parcela desviatórica da tensão (definida como: 𝒕 = 𝝉 − 𝑡𝑟(𝝉)𝟏/3) e 1 é o tensor
unitário.
A variável p representa a pressão, 𝐶𝐴𝑀 e α são parâmetros do material.
O início e o fim da função de transformação podem ser expressos como:
𝐹𝑠𝐴𝑀 = 𝐹𝐴𝑀 − 𝑅𝑠
𝐴𝑀 (4)
𝐹𝑓𝐴𝑀 = 𝐹𝐴𝑀 − 𝑅𝑓
𝐴𝑀 (5)
com
𝑅𝑠𝐴𝑀 = [𝜎𝑠
𝐴𝑀 (√2
3+ 𝛼) − 𝐶𝐴𝑀𝑇𝑠
𝐴𝑀] (6)
𝑅𝑓𝐴𝑀 = [𝜎𝑓
𝐴𝑀 (√2
3+ 𝛼) − 𝐶𝐴𝑀𝑇𝑓
𝐴𝑀] (7)
onde 𝜎𝑠𝐴𝑀 , 𝜎𝑓
𝐴𝑀 , 𝑇𝑠𝐴𝑀 e 𝑇𝑓
𝐴𝑀 são todos parâmetros do material. As condições para que haja a
conversão de austenita em martensita de única variante são assumidas como sendo:
𝐹𝑠𝐴𝑀 > 0, 𝑓𝑓
𝐴𝑀 > 0, �̇�𝐴𝑀 > 0. (8)
Para a evolução da fração volumétrica de martensita, pode-se assumir tanto a forma
exponencial:
�̇�𝑀𝐴𝑀 = 𝐻𝐴𝑀𝛽𝐴𝑀(1 − 𝜉𝑀)
�̇�𝐴𝑀
(𝐹𝑓𝐴𝑀)2 (9)
sendo 𝛽𝐴𝑀 um parâmetro do material, ou na forma linear:
�̇�𝑀𝐴𝑀 = −𝐻𝐴𝑀(1 − 𝜉𝑀)
�̇�𝐴𝑀
𝐹𝑓𝐴𝑀 (10)
O parâmetro escalar 𝐻𝐴𝑀 incorpora as condições para a ativação da transformação de
fase (Eq. (8)) e é definido pela relação:
31
𝐻𝐴𝑀 = {1, se 𝐹𝑠
𝐴𝑀 > 0 , 𝐹𝑓𝐴𝑀 < 0, �̇�𝐴𝑀 > 0
0, caso contrário (11)
No caso da transformação no sentido inverso (martensita → austenita), opera-se com
equações análogas, sendo as condições as seguintes:
𝐹𝑠𝑀𝐴 < 0, 𝐹𝑓
𝑀𝐴 > 0, �̇�𝑀𝐴 < 0. (12)
Para a evolução da fração volumétrica na forma exponencial e linear tem-se,
respectivamente:
�̇�𝑀𝑀𝐴 = 𝐻𝑀𝐴𝛽𝑀𝐴𝜉𝑀
�̇�𝑀𝐴
(𝐹𝑓𝑀𝐴)2 (13)
e
�̇�𝑀𝑀𝐴 = 𝐻𝑀𝐴𝜉𝑀
�̇�𝑀𝐴
𝐹𝑓𝑀𝐴 (14)
No que diz respeito ao parâmetro escalar 𝐻𝑀𝐴, tem-se:
𝐻𝑀𝐴 = {1, 𝑠𝑒 𝐹𝑠
𝑀𝐴 < 0 , 𝐹𝑓𝑀𝐴 > 0, �̇�𝑀𝐴 < 0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 (15)
A Figura 5.1 apresenta os resultados obtidos a partir da simulação numérica do
modelo apresentado para um caso de teste uniaxial de tração a três temperaturas diferentes.
Pode-se observar que o modelo é capaz de capturar o comportamento histerético da liga, bem
como a sua dependência da temperatura.
32
Figura 5.1: Gráfico tensão-deformação no teste uniaxial com modelo Auricchio-Taylor
5.2 MODELO EM ELEMENTOS FINITOS
O método dos elementos finitos é utilizado neste trabalho para estudar a resposta
dinâmica das estruturas arquétipas de SMA. As análises são realizadas utilizando o
“ABAQUS/Standard implicit finite element solver”, com o modelo constitutivo Auricchio-
Taylor.
Ambos os sistemas de uma massa e multi-massas são modelados de maneira
semelhante. Os fios horizontais estão alinhados ao eixo x, enquanto os verticais, ao eixo y. As
malhas são construídas empregando elementos de treliça do tipo “Three-node quadratic truss
elements”. Massas pontuais de 1 kg são colocadas em cada interseção de fios e os efeitos
gravitacionais são desprezados. Como as massas são pontuais, não são considerados os
efeitos de inércia rotacional. Os modelos em FEA são apresentados na Figura 5.2.
33
(a) Sistema de uma massa (b) Sistema multi-massas
Figura 5.2: Modelos em elementos finitos (as massas pontuais estão marcadas em vermelho).
Peraza et al. (2013) fez uma comparação entre a resposta utilizando elementos de
treliça e elementos de viga no sistema de uma massa. Foi constatado que a diferença entre as
respostas é pouco expressiva. Portanto, tendo em vista que os fios não apresentam resistência
à flexão, considera-se vantajosa a adoção de elementos de treliça, que não levam em conta o
momento fletor. Como consequência, conforme mostrado na contribuição mencionada, tem-
se uma grande economia no tempo computacional ao se utilizar o elemento do tipo treliça.
Na Tabela 5.1, apresentam-se os parâmetros constitutivos considerados.
Tabela 5.1: Parâmetros constitutivos
Parâmetros Valores
𝐸𝐴(GPa) 55
𝐸𝑀(GPa) 46
𝜈𝐴 = 𝜈𝑀 0,33
𝑀𝑠 (K) 245
𝑀𝑓 (K) 230
𝐴𝑠 (K) 270
𝐴𝑓 (K) 280
𝐶𝐴 = 𝐶𝑀(MPa/K) 7,4
H 0,056
𝑛𝑖(𝑖=1,2,3,4) 0,5
𝜌 (kg/m³) 6450
34
Para auxiliar na exposição dos resultados, a Figura 5.3 exibe a numeração a ser
utilizada na referência dos fios.
Figura 5.3: Numeração dos fios (modelo de uma massa)
35
6 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS: MODELO DE UMA MASSA
Este capítulo é dedicado à apresentação dos resultados das simulações com o modelo
de uma única massa. Aplica-se uma pré-tensão nos fios de tal forma que evite com que os
fios atinjam carga nula, aumentando a estabilidade das respostas. A pré-tensão é escolhida tal
que todos os fios possuam a mesma fração volumétrica de martensita. O valor adotado é de
50%, para que a cada carregamento/descarregamento, apresente alguma histerese
promovendo dissipação de energia. A temperatura de referência é 300 K.
Inicialmente, simula-se a vibração livre, onde a massa central é perturbada nas três
direções (x, y e z). Compara-se a resposta em diferentes temperaturas. Posteriormente,
consideram-se vibrações forçadas e varreduras de frequência são realizadas a 300 K. As
diferenças entre as varreduras crescente e descrescente são apontadas e a influência da
aceleração de forçamento é discutida.
Além disso, variações de temperatura são impostas ao sistema vibrando sob
frequências constantes. Discute-se o potencial de se reduzir a amplitude da resposta através
desse procedimento.
6.1 VIBRAÇÕES LIVRES
Considere a análise de vibrações livres. A primeira simulação é executada à
temperatura de referência (300 K). A Figura 6.1 mostra os espaços de fase relativos ao
deslocamento da massa nas três direções, bem como o diagrama tensão-deformação e o
comportamento da tensão no tempo.
(a) (b)
36
(c)
(d)
(e)
Figura 6.1: Vibrações livres a 300 K
37
Nas Figuras 6.1(a) e 6.1(b) observa-se que os espaços de fase nas direções x e y
convergem para uma dinâmica de menor amplitude. Isto se explica através das Figuras 6.1(d)
e 6.1(e). À medida que o tempo evolui, a dissipação promovida pelos sub-laços de histerese é
responsável por uma redução na magnitude da tensão. Sendo o sistema bidimensional, existe
pouca resistência ao movimento fora do plano que contém a estrutura. Isso explica a maior
amplitude de movimento na direção z, como mostra a Figura 6.1(c).
É importante frisar que nesta simulação, foi provocada a vibração livre do sistema
mantendo-se a temperatura constante em 300 K. Isto significa que a extração de energia do
sistema se deu somente pela histerese, sendo associada à transformação de fase induzida por
tensão. Agora, após a perturbação na temperatura de referência, reduz-se a temperatura para
280K enquanto o sistema evolui dinamicamente. O resultado pode ser visto na Figura 6.2.
(a) (b)
(c)
38
(d)
(e)
Figura 6.2: Vibrações livres (300 K→280K)
Diferentemente do caso anterior, nota-se que o sistema consegue alcançar o repouso
nas direções x e y, que formam o plano da estrutura. A particularidade desse resultado é bem
exposta através dos diagramas relativos à tensão [Figuras 6.2(d) e 6.2(e)]. Nota-se que com a
interferência na temperatura, a magnitude da tensão cai bruscamente, indicando que a
mudança de temperatura pode amplificar a retirada de energia deste sistema ao aumentar a
histerese. O resultado da dinâmica fora do plano segue o mesmo comportamento observado
na simulação anterior [Figura 6.2(c)]. Isto mostra que até mesmo a mudança de temperatura
não é capaz de conter a dinâmica fora do plano.
39
6.2 VARREDURAS DE FREQUÊNCIAS ISOTÉRMICAS
As varreduras de frequência são comumente realizadas em sistemas dissipativos
sujeitos a forçamento externo, pois viabilizam a apreciação mais completa de suas dinâmicas.
Para a análise das respostas naturais, utiliza-se aqui o diagrama de transmissibilidade, que
relaciona a amplitude da resposta com a amplitude do forçamento em função da frequência.
Além da caracterização da resposta natural, existe também o interesse sobre a
natureza dinâmica deste sistema. Por conta disso, são também construídos diagramas de
bifurcação para cada varredura, com o objetivo de explicitar a não-linearidade do sistema
analisado. Em pontos específicos, apresenta-se também os mapas de Poincaré. A seção de
Poincaré foi escolhida como sendo a cada pico de excitação.
A aceleração do forçamento é expressa como função da gravidade, onde
𝐴𝜔² = 𝑘𝑔
sendo 𝑔 a aceleração da gravidade, 𝐴 a amplitude e 𝜔 a frequência angular de forçamento.
As varreduras de frequência são realizadas a duas acelerações diferentes, são elas 5g e
30g. Quanto às frequências, utiliza-se o intervalo entre 5 Hz e 100 Hz, variando em
incrementos de 5 Hz. O tempo de aplicação do forçamento está associado a 1500 ciclos em
cada frequência, descartando os primeros 500 ciclos como transiente. A Figura 6.3 exibe o
comportamento da frequência de forçamento no tempo. Todas as varreduras foram realizadas
a 300 K e em forçamento vertical (direção y).
(a) (b) Figura 6.3: Varreduras de frequência: (a) Crescente; (b) Decrescente
40
Primeiramente, as soluções em 5g são apresentadas. A Figura 6.4 mostra o diagrama
de transmissibilidade relativo às varreduras crescente e decrescente. A Figura 6.5 mostra os
diagramas de bifurcação correspondentes.
Figura 6.4: Diagrama de Transmissibilidade (5g)
A partir da análise da Figura 6.4, é possível observar que na aceleração em questão, a
transmissibilidade fica acima do valor unitário em boa parte das frequências escolhidas. Isto
significa que o estímulo é amplificado, representando um efeito indesejado para esta
aplicação. Nota-se também que existe uma boa compatibilidade entre as curvas crescente e
decrescente até a condição de pico, que é bem definida em 45Hz. Somente nas frequências
superiores a 45Hz, as curvas começam a divergir.
45Hz
41
(a)
(b)
Figura 6.5: Diagramas de Bifurcação (5g): (a) Crescente; (b) Decrescente
Analisa-se agora os diagramas de bifurcação (Figura 6.5). A primeira observação a ser
feita está relacionada à divergência entre as varreduras crescente e decrescente. Ao contrário
do que foi discutido com a transmissibilidade, aqui não se observa a mesma equivalência. O
que se vê claramente nos resultados é como a posição do ponto colhido na seção de Poincaré
varia de forma diferente em cada varredura. Apesar disso, ambos os diagramas de bifurcação
mostram um salto na mesma faixa de frequências, entre 40 e 55Hz, que contém a frequência
de pico. Isso indica que o sistema não só é sensível a essas frequências em termos de
42
amplitude (transmissibilidade), mas também responde com uma mudança na região do espaço
em que a oscilação ocorre. Todas essas características estão ligadas à não-linearidade do
material, onde a condição inicial e a história do carregamento são determinantes na resposta
dinâmica do sistema.
É importante lembrar também, que um ponto no diagrama de bifurcação representa
dinâmica periódica. Portanto, pode-se dizer que o sistema responde em grande parte das
frequências de forma periódica. Na frequência de 65Hz, entretanto, nota-se que no sentido
crescente não há somente um ponto no diagrama de bifurcação, enquanto que no sentido
decrescente há, claramente, apenas um ponto. Além disso, é nessa frequência onde ocorre o
maior descasamento na transmissibilidade. Portanto, propõe-se uma avaliação mais detalhada
desta frequência.
Para realizar a análise da frequência de 65Hz, utiliza-se do mapa de Poincaré. A
Figura 6.6 apresenta tal resultado na varredura crescente, enquanto que a Figura 6.7, na
varredura decrescente.
Figura 6.6: Mapa de Poincaré, varredura crescente (5g)
43
Figura 6.7: Mapa de Poincaré, varredura decrescente (5g)
O mapa de Poincaré relativo à varredura crescente não contém somente um ponto,
mas sim uma curva fechada. Tal resultado é atrelado a uma dinâmica quasi-periódica. Já
quanto à varredura decrescente, tem-se o ponto que é característico de uma dinâmica de
período-1. Existe também uma grande diferença na região do espaço em que a oscilação
ocorre, como foi colocado anteriormente.
Aborda-se então as soluções em 30g. A Figura 6.8 mostra o diagrama de
transmissibilidade relativo às varreduras crescente e decrescente. A Figura 6.9 mostra os
diagramas de bifurcação correspondentes.
Figura 6.8: Diagrama de Transmissibilidade (30g)
75Hz
44
Neste caso, a primeira observação a ser feita é a respeito da magnitude de
transmissibilidade. Agora tem-se uma resposta em que o valor de transmissibilidade máximo
fica em torno de 1,5. Na faixa de frequências analisada, a maior parte exibe o valor inferior a
1, o que significa que nesta aceleração tem-se uma dissipação maior. Isto se deve ao fato de
que com maior amplitude de forçamento, os fios sofrem maior tensão, induzindo mais
transformação de fase e assim conferindo ao sistema maior capacidade dissipativa. Logo, essa
diferença em relação ao caso anterior é de grande interesse para redução de vibrações.
(a)
(b)
Figura 6.9: Diagramas de Bifurcação (30g): (a) Crescente; (b) Decrescente
Assim como no caso anterior, as curvas de transmissibilidade para a varredura
crescente e decrescente são bem compatíveis, a menos da região próxima à condição de pico.
45
Apesar de apenas a varredura decrescente apresentar um pico bem definido em 75Hz, nota-se
que é nessa frequência onde ocorre a maior divergência na transmissibilidade. Esta condição
pode ser observada também nos diagramas de bifurcação. Como na aceleração de 5g, tem-se
um salto na faixa que engloba a frequência de pico.
Os diagramas de bifurcação para 30g mostram que em todas as frequências o sistema
exibe movimento periódico simples, indicando que na medida em que se aumenta a
amplitude do forçamento, o sistema passa a responder de forma mais “bem comportada”.
Para verificar esses resultados, mostra-se os mapas de Poincaré relativos à frequência
de pico (dessa vez, 75Hz) em ambas as varreduras. A Figura 6.10 apresenta tais resultados na
varredura crescente, enquanto que a Figura 6.11, na varredura decrescente.
Figura 6.10: Mapa de Poincaré, varredura crescente (30g)
46
Figura 6.11: Mapa de Poincaré, varredura decrescente (30g)
Após a análise dos diagramas de transmissibilidade e bifurcação correspondentes às
duas acelerações, é possivel perceber a sensibilidade do sistema quanto à amplitude de
forçamento e à história de carregamento. Nota-se um “trade-off” na comparação dos
resultados. Ao se elevar a amplitude, sistema perde a capacidade de exibir um
comportamento dinâmico complexo. Entretanto, ocorre uma redução na trasmissibilidade, o
que é mais interessante para essa aplicação.
47
6.3 VARIAÇÕES DE TEMPERATURA A FREQUÊNCIAS CONSTANTES
Nesta seção, discute-se a possibilidade de reduzir a amplitude de vibração através de
variações de temperatura, enquanto o sistema é estimulado a excitações harmônicas com
frequências constantes. Para isso, o sistema é submetido às frequências de maiores
transmissibilidades, baseando-se nos diagramas anteriormente comentados.
São estudadas duas possibilidades de variações de temperatura. Inicialmente, todos os
fios da estrutura são submetidos à mesma variação, promovendo um comportamento
homogêneo. Posteriormente, analisam-se situações não-homogêneas, considerando o caso em
que apenas alguns fios sofrem essa mudança, enquanto os demais permanecem na
temperatura de referência.
Primeiramente, é estudada a aceleração de 5g na frequência de pico (45Hz).
Conforme mostrado na Figura 6.12, a redução na temperatura de todos os fios até 280 K
promove uma pequena redução na amplitude da resposta, somente em cerca de 3%. Além
disso, nota-se o efeito de mudança no ponto médio de oscilação.
Figura 6.12: Deslocamento com variação de temperatura em todos os fios (5g)
A Figura 6.13 mostra o resultado à condição de pico em 30g (75Hz). Neste caso, a
mudança de temperatura se mostra eficaz na alteração da amplitude de resposta, reduzindo-a
em cerca de 42%. Para esta aceleração, a interferência da variação de temperatura sobre o
ponto médio também é mais significativa.
48
Figura 6.13: Deslocamento com variação de temperatura em todos os fios (30g)
A alteração da temperatura induz uma mudança na rigidez dos fios de SMA (como
mostrado anteriormente na Figura 4.1), que altera a sensibilidade às frequências que
originalmente geravam altas amplitudes de resposta. Assim, o controle pode ser realizado
através da variação da rigidez e da dissipação de energia devida à histerese.
Com o intuito de avaliar a não-homgeneidade da temperatura testa-se o caso em que
dois fios são submetidos à mudança de temperatura (fios #2 e #3), enquanto os demais (fios
#1 e #4) se mantém na temperatura de referência (a numeração dos fios foi exposta na Figura
4.3). A Figura 6.14 mostra o resultado para a condição de pico em 5g, enquanto que a Figura
6.15 mostra o resultado correspondente a 30g.
Figura 6.14: Deslocamento com variação de temperatura desigual (5g)
49
Figura 6.15: Deslocamento com variação de temperatura desigual (30g)
Diferentemente das simulações com temperatura homogênea, não são observadas
reduções de amplitude. Pelo contrário, no primeiro caso ocorre um aumento de 41% na
amplitude, e no segundo caso se observa um acréscimo em cerca de 3%. O segundo efeito é a
mudança brusca no ponto de oscilação, sensivelmente maior que no primeiro caso.
Essas diferenças são explicadas lembrando-se da influência da temperatura sobre a
rigidez dos fios de SMA. Como apenas dois fios sofrem essa mudança de temperatura,
somente esses tem a rigidez afetada. Ou seja, metade do sistema torna-se menos rígido,
oferecendo menos resistência ao forçamento (que está na frequência natural dos fios mais
rígidos), aumentando assim a amplitude. No caso da direção y mostrada, nota-se que o ponto
médio de oscilação se deslocou para cima nos dois casos apresentados. Lembrando que o fio
#1 agora é mais rígido que o fio #3 (ambos verticais), faz sentido que a massa tenha se
deslocado para cima, aproximando-se do fio mais rígido.
50
7 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS: MODELO MULTI-MASSAS
Neste capítulo, aborda-se o sistema multi-massas em vibrações livres e forçadas. A
mesma pré-tensão é adotada para todos os fios sob a mesma temperatura de referência que o
modelo de uma massa. Para se avaliar as vibrações livres, o sistema atual também é
submetido a perturbação nas três direções. Analisa-se o caso à temperatura constante e com
variação de temperatura. Posteriormente, estuda-se o caso com vibrações forçadas, fazendo
analogia ao que foi exposto no modelo de uma massa. A influência da temperatura é
novamente tratada.
7.1 VIBRAÇÕES LIVRES
Assim como no modelo anterior, inicialmente considera-se a vibração livre na
temperatura de referência (300K). A Figura 7.1 faz a indicação da massa perturbada e do fio
do qual são analisadas a tensão e a deformação.
Figura 7.1: Massa perturbada e fio analisado
A Figura 7.2 mostra os espaços de fase relativos ao deslocamento da massa nas três
direções, bem como o diagrama tensão-deformação e o comportamento da tensão no tempo
do fio analisado.
51
(a) (b)
(c)
(d)
Figura 7.2: Vibrações livres a 300 K.
52
Os resultados apontam que a dinâmica no plano que contém a estrutura converge para
uma menor amplitude, concordando com o que foi visto com o modelo anterior. Novamente,
a dissipação promovida pelos sub-laços de histerese [Figura 7.2(c)] é responsável por esse
efeito. Uma particularidade é o comportamento da tensão no tempo [Figura 7.2(d)]. Nota-se
uma aparência pulsante que difere bastante do resultado anterior. Quanto à dinâmica fora do
plano, apresenta-se na Figura 7.3 o gráfico da posição no tempo.
Figura 7.3: Vibrações livres a 300 K – direção z.
Apesar da dinâmica fora do plano não convergir para uma menor amplitude (o que
está de acordo com o modelo de uma massa), o deslocamento nessa direção exibe um
comportamento bem mais complexo. Essas diferenças apontam a influência do maior número
de graus de liberdade, pois à medida que a perturbação pode se propagar através de um
sistema de maior escala, comportamentos mais interessantes podem ser gerados.
Após a perturbação na temperatura de referência, reduz-se a temperatura para 280K
com o sistema em movimento. O resultado pode ser visto na Figura 7.4.
53
(a) (b)
(c)
(d)
Figura 7.4: Vibrações livres (300 K→280K).
54
Agora, com a redução de temperatura, o sistema consegue convergir para uma
amplitude ainda menor que no caso anterior (no plano que contém a estrutura). Nas Figuras
7.4(c) e 7.4(d), percebe-se que a redução de temperatura é capaz de amplificar o efeito
dissipativo do material, ampliando os laços de histerese e reduzindo o valor da tensão. Como
mostra a Figura 7.5, a dinâmica fora do plano parece não sofrer o efeito da mudança de
temperatura. Este mesmo comportamento foi observado no modelo de uma massa e
representa uma limitação física desses sistemas.
Figura 7.5: Vibrações livres (300 K→280K) – direção z
55
7.2 VARIAÇÕES DE TEMPERATURA A FREQUÊNCIAS CONSTANTES
Nesta seção, o sistema multi-massas é estimulado a excitações harmônicas com
frequências constantes. Como no modelo de uma massa, o sistema é submetido às
frequências de maiores transmissibilidades, baseando-se nos estudos apresentados
anteriormente.
Com o objetivo de controle de vibrações, variações de temperatura são impostas ao
sistema. Inicialmente, todos os fios da estrutura são submetidos à mesma variação,
promovendo um comportamento homogêneo. Posteriormente, analisam-se situações não-
homogêneas, realizando-se apenas um resfriamento localizado, ou seja, apenas nos fios que
se conectam à massa que foi perturbada na seção anterior.
Primeiramente, estuda-se a aceleração de 5g na frequência de pico (45Hz). Conforme
mostrado na Figura 7.6, a redução na temperatura de todos os fios até 280 K promove uma
pequena redução na amplitude da resposta, somente em cerca de 4%. Além disso, nota-se o
efeito de mudança no ponto médio de oscilação.
Figura 7.6: Deslocamento com variação de temperatura em todos os fios (5g)
A Figura 7.7 mostra o resultado à condição de pico em 30g (75Hz). Neste caso, a
mudança de temperatura se mostra eficaz na alteração da amplitude de resposta, reduzindo-a
em cerca de 25%. A interferência da variação de temperatura sobre o ponto médio tem
essencialmente a mesma intensidade que no caso 5g (45Hz).
56
Figura 7.7: Deslocamento com variação de temperatura em todos os fios (30g)
Como já explicado na seção 6.3, a alteração da temperatura induz uma mudança na
rigidez dos fios de SMA que altera a sensibilidade às frequências que originalmente geravam
altas amplitudes de resposta. Assim, o controle pode ser realizado através da variação da
rigidez e da dissipação de energia devida à histerese.
Com o intuito de avaliar a não-homgeneidade da temperatura, testa-se o caso em que
apenas os fios conectados à massa perturbada (nas simulações de vibração livre) sofrem a
mudança de temperatura. Os demais fios se mantém na temperatura de referência. A Figura
7.8 exibe os fios que sofrem o resfriamento. A Figura 7.9 mostra o resultado para a condição
de pico em 5g, enquanto que a Figura 7.10 mostra o resultado correspondente a 30g.
Figura 7.8: Resfriamento localizado
57
Figura 7.9: Deslocamento com variação de temperatura localizada (5g)
Figura 7.10: Deslocamento com variação de temperatura localizada (30g)
Diferentemente das simulações com o modelo de uma massa, mesmo com o
resfriamento localizado é possível obter reduções de amplitude. Apesar de no caso 5g ocorrer
um aumento de 17% na amplitude, no caso 30g se observa uma redução em cerca de 36%. O
efeito da mudança brusca no ponto de oscilação, continua nítido neste sistema.
Conforme exposto nas figuras, existe uma boa compatibilidade entre os resultados do
modelo multi-massas com o modelo de uma massa. Apesar de serem observados fenômenos
58
mais complexos como o deslocamento fora do plano nas vibrações livres, a influência da
temperatura sobre a dinâmica deste modelo se assemelha muito ao que foi visto no modelo
arquétipo. Isto valida a ideia de que modelos arquétipos podem representar de forma
satisfatória sistemas de maior escala.
Além disso, a variação de temperatura localizada fornece um resultado satisfatório em
termos de redução de amplitude de vibração. O interesse prático por trás dessa comparação
está ligado ao consumo de energia. O aquecimento de todo o sistema para se amenizar os
efeitos de um forçamento pode ser muito custoso, sobretudo em um sistema de grande escala
e com muitos graus de liberdade. Portanto, havendo a possibilidade de se alcançar um
resultado satisfatório com o mínimo de intervenção sobre o sistema, mais eficiente se torna o
método de controle.
59
8 CONCLUSÕES
Este trabalho apresenta um estudo numérico a respeito da dinâmica tridimensional de
sistemas envolvendo as ligas com memória de forma. Tais sistemas foram abordados com o
intuito de representar a dinâmica de um sistema mais complexo, contendo diversos graus de
liberdade. Dois sistemas arquétipos, que representam estruturas de grande escala, são
investigados: o sistema de uma massa; e o sistema multi-massas.
O método dos elementos finitos é utilizado considerando o modelo consitutivo de
Auricchio-Taylor (1996) para descrever o comportamento termomecânico das SMAs.
Inicialmente, estuda-se o sistema de uma massa em vibrações livres e forçadas. O
acoplamento termomecânico das SMAs é observado primeiramente através da redução da
resposta livre através de uma mudança de temperatura. Tal redução é relacionada à
dependência da rigidez do material e da histerese sobre a temperatura, sendo observadas
sobretudo no movimento dentro do plano que contém a estrutura. Em seguida, são realizadas
varreduras de frequência a temperatura constante. Duas acelerações de forçamento são
comparadas, onde também se observam diferenças entre as varreduras crescentes e
decrescentes. Os diagramas de transmissibilidade são a ferramenta principal no estudo das
possibilidades de se obter a redução de vibrações. Paralelamente, diagramas de bifurcação
são construídos com o intuito de se obter uma melhor compreensão da riqueza dinâmica
desse sistema. É discutida a oposição entre a natureza da resposta e a redução de vibrações,
ao se confrontar os mapas de Poincaré com os valores de transmissibilidade. Posteriormente,
variações de temperatura são impostas ao sistema vibrando nas condições de máxima
transmissibilidade. A possibilidade de controle de vibrações através da mudança de
temperatura é novamente discutida, chamando atenção para a questão da homogeneidade da
temperatura ao longo do sistema.
No segundo momento, um sistema multi-massas é abordado em vibrações livres e
forçadas, avaliando a influência da temperatura. Nota-se que, assim como no sistema de uma
massa, é possível modificar visivelmente a dinâmica dentro do plano que contém a estrutura
através de mudanças de temperatura. Além disso, o movimento fora do plano neste caso
também se mostra pouco controlável termicamente. O sistema é então excitado nas condições
de máxima transmissibilidade identificadas no modelo de uma massa. Novamente, avalia-se a
possibilidade de controle através da mudança de temperatura, comentando também a questão
da homogeneidade. Adicionalmente, a possibilidade de interferir apenas localmente é
60
discutida, apontando situações onde é possível melhorar a eficiência dos métodos de controle
baseados em temperatura.
As análises realizadas mostram que estruturas construídas a partir de ligas com
memória de forma podem apresentar comportamentos singulares e de grande aplicabilidade.
A exploração dos efeitos associados ao seu acoplamento termomecânico representa ainda
uma grande oportunidade para a solução alternativa de problemas de engenharia. Além disso,
nota-se que é possível extrair resultados de sistemas não-lineares através da utilização dos
elementos finitos. A flexibilidade do método permite simular um grande número de
possibilidades.
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