Flávio Henrique Ajeje et al. Engenharia · PDF file · 2012-04-05Esse artigo apresenta os elementos finitos de casca do sistema computacional ... Zienkiewicz & Taylor, 2000; entre

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Flávio Henrique Ajeje et al.

ResumoEsse artigo apresenta os elementos finitos de casca do sistema computacional

INSANE (INteractive Structural ANalysis Environment): retangular de quatro nós e triangular de três nós, obtidos por combinações de esforços de membrana e flexão, baseadas na Teoria de Kirchhoff; quadrilaterias de quatro, oito e nove nós, que com-binam esforços de membrana, flexão e cisalhamento, conforme a Teoria de Reissner-Mindlin. Após resumir as características dos elementos, o artigo apresenta resultados de três estudos de convergência e de duas aplicações práticas: uma barragem em arco e um reservatório cônico-cilíndrico. Os resultados são comparados com soluções analí-ticas e com aqueles obtidos com o elemento finito de casca do SAP2000.

Palavras-chave: Análise estrutural, elementos finitos de cascas planos, software livre.

AbstractThis paper presents the shell finite elements of the computer system INSANE

(INteractive Structural ANalysis Environment): four-node rectangular and three-node triangular, obtained by combining membrane and bending efforts, based on the Theory of Kirchhoff; a quadrilateral of four, eight and nine nodes that combines membrane, bending and shear efforts, according to the Reissner-Mindlin Theory. After summarizing the characteristics of the elements, the paper presents results of three convergence studies and two practical applications: an arch dam and a conical-cylindrical reservoir. The results are compared with analytical solutions and those obtained with the shell finite element of SAP2000.

Keywords: Structural analysis, flat shell finite elements, free software.

Elementos finitos de casca do sistema computacional INSANE

Shell finite elements of the INSANE computational system

Flávio Henrique AjejeUniversidade Federal de Minas Gerais.

[email protected]

Samuel Silva PennaUniversidade Federal de Minas Gerais.

[email protected]

Roque Luiz da Silva PitangueiraProfessor associado do Departamento

de Engenharia de Estruturas.

Universidade Federal de Minas Gerais.

[email protected]

Engenharia CivilCivil Engineering

Modelos matemáticos para des-crever o comportamento de uma es-trutura em forma de casca apresentam grande complexidade. Por esse motivo, as soluções analíticas são desenvolvidas somente para alguns casos específicos, dificultando a aplicação prática das mesmas. Modelos discretos do Método dos Elementos Finitos (MEF) permitem obter soluções aproximadas para con-dições geométricas, de contorno e de

carregamento genéricas. Entre os mo-delos discretos do MEF, destacam-se, por sua simplicidade, os que são obtidos por meio de combinações de elementos finitos de placas e elementos finitos de estado plano de tensão. Esses modelos são capazes de representar os esforços de flexão, cisalhamento e membrana da casca, combinando elementos de pla-ca que consideram somente os efeitos de flexão, formulados segundo Teoria

1. Introdução


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de Kirchhoff, ou os que consideram os efeitos de flexão e de cisalhamento, for-mulados segundo a teoria de Reissner-Mindlin, com elementos de estado pla-no de tensão, representando os esforços

de membrana. Nesse cenário, devido à grande variedade de elementos finitos de placas disponíveis na literatura, é possível conceber diversas combinações dos mesmos com elementos de estado

plano de tensões. Esse artigo apresenta os elementos finitos de casca, baseados em algumas das referidas combinações, disponíveis no sistema computacional INSANE.

2. INSANE, um projeto de software livre

Afinal, o que é software livre? Ri-chard Stallman, criador do Projeto GNU, cujo principal objetivo era desenvolver um sistema operacional que pudesse ser dis-tribuído livremente, define software livre como um programa de computador que satisfaz a quatro liberdades (DiBona et al., 1999): 1) a liberdade de executá-lo para qualquer propósito; 2) a liberdade de mo-dificá-lo para adaptá-lo às suas necessida-des; 3) a liberdade de redistribuir cópias, de forma gratuita ou não; 4) a liberdade de distribuir cópias modificadas, benefi-ciando a comunidade com as melhorias.

Seguindo essas premissas ideológi-cas, o projeto INSANE nasceu do dese-jo de desenvolver um sistema computa-cional livre, de código aberto, para dar suporte a pesquisas na área de métodos numéricos e computacionais aplicados à engenharia. Perseguindo esse objeti-

vo, desde 2002, o sistema atualmente reúne recursos para modelagem geomé-trica; geração de malhas; visualização de resultados; análise estática linear, fi-sicamente não-linear e geometricamen-te não-linear; análise dinâmica linear e geometricamente não-linear. O ambiente gráfico interativo do sistema INSANE é organizado em três grandes aplicações: o pré-processador, o processador e o pós-processador. Todas são implementadas em linguagem JAVA segundo o paradig-ma da Programação Orientada a Obje-tos, empregando-se padrões de projeto de software adequados, e apoiadas em modernos recursos tecnológicos. Essa metodologia vem propiciando o desen-volvimento de um ambiente computacio-nal segmentado, amigável a mudanças e escalável em complexidade.

Especificamente, os recursos para

modelos estruturais de cascas foram in-seridos no sistema a partir do trabalho de Ajeje (2009), que combinou as contribui-ções anteriores de Almeida (2005), Saliba (2007) e Penna (2007). Almeida (2005) implementou elementos finitos paramé-tricos no sistema, incluindo aí todos os elementos planos triangulares e qua-drilaterais para estado plano de tensão, fundamentais para as combinações que geram elementos finitos de casca planos. Os elementos finitos de placa triangula-res e quadrilaterais, tanto os baseados na Teoria de Kirchhoff como os baseados na Teoria de Reisner-Mindlin, também fundamentais para as referidas combina-ções, foram implementados no sistema a partir do trabalho de Saliba (2007). Os recursos gráficos interativos, indispensá-veis para visualização dos resultados, são oriundos do trabalho de Penna (2007).

3. Elementos finitos de casca do INSANE

Conforme extensa bibliografia so-bre o tema (Hughes, 2000; Oñate, 1995; Soriano, 2003; Zienkiewicz & Taylor, 2000; entre outras referências), simi-larmente às placas, as teorias de cascas diferem entre si, basicamente, quanto à idealização das deformações de esforço cortante, podendo ser divididas, basica-mente, em duas teorias: a teoria de Reiss-ner-Mindlin, aplicadas a cascas espessas, e a teoria de Kirchhoff, aplicadas a cascas finas. Para problemas geometricamente lineares, essas teorias fundamentam-se em quatro hipóteses (Figuras 1, 2 e 3): (i) todos os pontos contidos numa reta nor-

mal ao plano médio têm o mesmo deslo-camento transversal; (ii) a tensão normal na direção transversal é desprezível; e (iii) retas normais ao plano médio da casca indeformada permanecem retas, mas não necessariamente normais ao plano médio, após a deformação desta, para a teoria de Reissner-Mindlin; ou (iv) retas normais ao plano médio da casca inde-formada permanecem retas e normais ao plano médio, após sua deformação, para a teoria de Kirchhoff. A partir dessas hipóteses, pode-se obter os campos de deslocamentos para cada teoria, como ilustrados nas Figuras 2 e 3.

As Figuras 2 e 3 permitem identi-ficar dois grupos de combinações entre elementos de membrana (EM) e de placas (EP), para obtenção de elementos de cas-ca. O primeiro grupo combina EM com EP de continuidade C1, tendo, como base, a Teoria de Kirchhoff, e o segundo grupo combina EM com EP de continuidade C0, tendo, como base, a Teoria de Reissner-Mindlin. Dois elementos do primeiro gru-po foram implementados no INSANE: o elemento MZC, que combina EM com o EP retangular de quatro nós e que foi de-senvolvido por Melosh (1961), Zienkiewicz e Cheung (1964), e o elemento CKZ, que

Figura 1Subdomínio plano de uma casca no espaço. Sistemas de coordenadas local e global.



Figura 2Campo de deslocamentos segundo

a Teoria de Reissner-Mindlin.

Figura 3Campo de deslocamentos

segundo a Teoria de Kirchhoff.

4. Estudos de convergência

Conforme detalhado em Ajeje (2007), a implementação dos cinco ele-mentos foi verificada através do teste da malha de Irons ou “Patch Test”, como sugerido por Macneal e Harder (1985). Para esse teste, uma casca retangular formada por elementos com geometria irregular foi submetida a deslocamentos prescritos em suas bordas, corresponden-tes a esforços de membrana e de flexão

constantes no domínio da casca. Como esperado, para os esforços de membra-na, todos os elementos atenderam ao “Patch Test”, uma vez que todos eles, mesmo quando distorcidos, mantêm a aproximação constante para o campo de tensões. No caso de flexão, somente os elementos de Reissner-Mindlin com Cortante Imposto (RMCI) passaram no teste, uma vez que, como sabido, os

elementos MZC e CKZ não atendem ao critério da conformidade. Entretanto o insucesso de um elemento nos “Patch Tests” não invalida sua utilização práti-ca, se esse elemento apresentar um bom comportamento em estudos de conver-gência. Detalhes de vários destes estudos podem ser encontrados em Ajeje (2007). Alguns resultados de três desses estudos são aqui apresentados.

combina EM com o EP triangular de três nós, que foi desenvolvido por Cheung et al. (1968). Nos elementos do segun-do grupo, tanto os efeitos de membrana como os de flexão são aproximados pa-rametricamente, o que permite a genera-lização da geometria e da implementação computacional. Por outro lado, quan-

do os elementos baseados na Teoria de Reissner-Mindlin são usados para cascas finas, pode ocorrer o efeito de bloqueio da solução e, portanto, alguma técnica para evitá-lo deve ser adotada. A técnica de deformação de cisalhamento imposta foi escolhida para os elementos implementa-dos no INSANE, conforme sugerido por

Oñate (1995). Assim, foram disponibili-zados os seguintes elementos baseados na Teoria de Reissner-Mindlin: quadrila-terais de 4, 8 e 9 nós (RMQ4, RMQ8 e RMQ9, respectivamente) e quadrilaterais com deformação de cisalhamento impos-ta correspondentes (RMCIQ4, RMCIQ8 e RMCIQ9).

Viga em balanço

Uma viga de seção I com vão de 40 uc (unidades de comprimento) e sub-metida a carga distribuída de 20uf/uc (unidade de força por unidade de com-

primento) foi discretizada utilizando-se os cinco elementos implementados, conforme mostra a Figura 4. Os va-lores do deslocamento transversal do

ponto 1 na extremidade da viga (W1), obtidos com 4 malhas diferentes (N= 2, 4, 8 e 16), também são apresen-tados na figura.

Figura 4Resultados de estudo de convergência

para uma viga em balanço.



Casca esférica aberta

Nesse exemplo, conforme a Figura 6, uma estrutura em casca hemisférica é analisada com um carregamento de qua-tro cargas pontuais com sentidos alter-nados: a cada 90o ao longo do equador

do hemisfério, com intensidade igual a 2 uf. Utilizando simetria, apenas 1/4 da estrutura é modelada. A casca é aberta no topo do hemisfério e tanto a borda superior como a inferior são livres. Uma

malha com 8 x 8 elementos RMCIQ4 foi adotada. O gráfico da Figura 6 mostra valores dos deslocamentos verticais ao longo da borda inferior (z =0,0) obtidos com o INSANE e com o SAP2000.

Figura 5Resultados de estudo de convergência para uma cobertura em abóbada cilíndrica.

Figura 6Resultados de estudo de convergência para uma casca esférica.

Os resultados do exemplo da viga em balanço (Figura 4) demonstram boa convergência de todos os cinco elementos para a solução analítica (w1=0.0223 uc), destacando-se os elementos com ordem de aproximação mais alta (RMCIQ8 e RMCIQ9). Nesse caso, ao se comparar os elementos de classe C1 com os de classe C0, observa-se uma coincidência dos resul-tados dos elementos MZC e RMCIQ4, que se explica pela igual capacidade dos mesmos (ambos possuem quatro nós) em

representar o problema em questão. No gráfico comparativo da Figura 5, para o problema da casca cilíndrica, o elemento RMCIQ4 mostra-se mais rígido, revelan-do deslocamentos pouco menores que os analíticos e os obtidos com o SAP2000. Conforme manual do programa, o ele-mento de casca do SAP2000 é o descrito em Ibrahimbegovic e Wilson (1991). Este elemento é baseado na Teoria de Reissner-Mindlin e possui aproximação quadráti-ca tanto para os deslocamentos no plano

(membrana), como para os deslocamentos fora do plano do elemento (flexão). Isso ex-plica o melhor desempenho desse elemen-to em relação ao elemento RMCIQ4 do INSANE, onde as referidas aproximações são lineares. Entretanto, para o problema da casca hemisférica (Figura 6), no qual os deslocamentos são satisfatoriamente des-critos com aproximação linear, os resulta-dos obtidos com o elemento do SAP2000 e os obtidos com o elemento RMCIQ4 do INSANE são coincidentes.

Cobertura em abóbada cilíndrica

Outro estudo refere-se à cobertura em abóbada cilíndrica da Figura 5. A geometria, as propriedades e o carre-gamento são sugeridos por Macneal e Harder (1985). A estrutura é simples-mente apoiada ao longo de sua borda curva e sua borda reta é livre. O car-

regamento é de 90 uf/uc2, distribuído verticalmente ao longo de toda cobertu-ra. Valendo-se da simetria, apenas 1/4 da estrutura é de fato analisada e uma malha de 6 × 6 elementos RMCIQ4 é utilizada. O gráfico da Figura 5 mostra valores do deslocamento vertical (w) ao

longo da seção central (y = L/2). Os re-sultados do INSANE são comparados aos resultados analíticos e ao elemento “shell-thick” do programa comercial SAP2000-Versão 11.0.8. Os resultados analíticos foram obtidos por Scordelis e Lo (1964).

5. Aplicações práticas

Os elementos de casca são úteis em inúmeras aplicações na engenharia ci-vil, mecânica, naval, aeronáutica, entre

outras. Duas dessas aplicações são aqui apresentadas e os resultados obtidos com o elemento RMCIQ4 do INSANE são

comparados com os obtidos com o pro-grama SAP2000.

Barragem em arco

O primeiro exemplo é uma bar-ragem em arco submetida à pressão em

sua parte convexa. A geometria e pro-priedades da estrutura foram adotadas

de acordo com Zienkiewicz e Taylor (2000). A descrição geométrica e as



Figura 7Modelo de elementos finitos do

INSANE para a barragem em arco.

Figura 8Esforços normais na barragem:

a) variação no domínio e b) valores na linha de centro.

O segundo exemplo é o reservatório cônico-cilíndrico, apoiado em vigas e pila-res, mostrado na Figura 9, uma estrutura muito utilizada na indústria de mineração, química e de tratamento de esgoto. O re-servatório é apoiado em 16 pilares de se-ção circular de diâmetro igual a 0,5 uc (2 pilares a cada 45o), que elevam a estrutura 3,0 uc acima do nível de referência. O diâ-metro total do reservatório é de 20,0 uc. A

altura total do reservatório é de 4,0 uc (2,5 uc da parte cilíndrica e 1,5 uc da parte cô-nica). O reservatório é carregado com uma pressão que varia linearmente: igual a 0,0 uf/uc2, na elevação 7,0 uc, até 4,0 uf/uc2, na elevação 3,0 uc. Valendo-se da sime-tria, apenas 1/4 da estrutura é modelada. Os detalhes da malha de elementos finitos, que combina elementos RMCIQ4 com elementos de pórtico espacial, também são

mostrados na Figura 9.A Figura 10 mostra valores das fle-

chas para uma das vigas radiais internas e a Figura 11 apresenta a distribuição das flechas no domínio do problema. Nova-mente, o modelo com elementos RMCIQ4 do INSANE mostrou-se mais rígido que o modelo do SAP2000, conforme mostra a Figura 10, mas os dois resultados são bas-tante próximos.

Figura 9Detalhamento geométrico e modelo

INSANE do reservatório cônico-cilíndrico.

Reservatório cônico-cilíndrico

características do modelo discreto são mostradas na Figura 7.

A barragem foi modelada com ele-mentos RMCIQ4. Cada elemento possui dimensões de 6 uc x 6 uc. Os nós coinci-

dentes com a linha de fundação da barra-gem foram engastados e o carregamento de pressão foi aplicado na direção nor-mal de cada elemento. A Figura 8 apre-senta os resultados dos esforços normais.

A distribuição desses esforços no domí-nio do problema, obtidos no INSANE, é dada na Figura 8(a). A Figura 8(b) apre-senta um gráfico comparativo dos esfor-ços normais na linha de centro da malha.

6. Considerações finais

Entre os recursos do Método dos Elementos Finitos disponíveis no INSA-NE, mostrou-se aqui os elementos fini-tos de casca planos: MZC e CKZ, ten-do, como base, a Teoria de Kirchhoff; RMQ4, RMQ8, e RMQ9, tendo, como base, a Teoria de Reisner-Mindlin; RM-CIQ4, RMCIQ8 e RMCIQ9 – adap-

tações de RMQ4, RMQ8 e RMQ9, respectivamente, com deformação de ci-salhamento imposta. Os recursos foram ilustrados para modelos de cascas finas. Tais resultados foram comparados com soluções analíticas e com os resultados obtidos com o programa SAP2000. As comparações com as soluções analíticas

permitem validar as implementações e caracterizar as limitações de cada um dos elementos quanto ao seu uso. As compa-rações com os resultados do SAP2000 mostram que o sistema pode ser satisfa-toriamente utilizado em aplicações varia-das. Essas comparações também revelam que os modelos do INSANE parecem

A B



Figura 11Variação dos deslocamentos verticais no domínio do reservatório.

mais rígidos que os do SAP2000, o que se explica pela diferença entre as aproxi-mações para os deslocamentos, tanto no plano (membrana), como fora do plano do elemento (flexão), dos elementos dos dois programas. Essa aproximação é quadrática, no elemento do SAP2000, e linear, no elemento RMCIQ4 do INSA-NE. Outras pequenas variações entre os resultados dos dois programas podem ter origem na ausência de informações sobre como o SAP2000 procede para ob-ter esforços nos nós e para evitar o efeito

de bloqueio. Esses procedimentos podem diferir dos adotados pelo INSANE, que, para obtenção de esforços nos nós, calcu-la-os nos pontos de integração, extrapola-os para os nós e suaviza a descontinuida-de por média aritmética e, para evitar o bloqueio, como já dito, impõe que as de-formações de cisalhamento sejam nulas. Por fim, é importante destacar que mais relevante que a quantidade e as caracterís-ticas dos elementos finitos de casca aqui apresentados é o formato de implemen-tação e distribuição. A implementação

segundo adequado projeto orientado a objetos e a distribuição na forma de có-digo-fonte aberto permitem as liberdades pregadas por Richard Stallman, ao defi-nir software livre. Para detalhes sobre a documentação e distribuição do sistema INSANE, o sítio www.insane.dees.ufgm.br deve ser consultado. Lá estão disponí-veis, além das diversas dissertações e teses que documentam o sistema, um manual para desenvolvimento com base em um sistema de controle de versão que permite o acesso a todo o código-fonte.

Figura 10Valores dos deslocamentos verticais em uma viga radial interna do reservatório.

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Artigo recebido em 04 de abril de 2011. Aprovado em 24 de agosto de 2011.

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