FORÇA DE TROCA. No caso de 2 elétrons em uma subcamada, o …plato.if.usp.br/1-2007/fnc0376n/marcia/Notas_aula/aula9.pdf · 2007-03-30 · FNC 0376 - Física Moderna 2 Aula 9 6

FNC 0376 - Física Moderna 2 Aula 9

1

1) Interação coulombiana residual para os elétrons efeito perturbativo

Vimos que:

eeV

Um sistema constituído de vários e- deve ser descrito por uma autofunção total

anti-simétricaFORÇA DE TROCA.

No caso de 2 elétrons em uma subcamada, o spin total pode ser

S=0 (singleto) ou S=1 (tripleto)

A interação coulombiana residual produz uma tendência a acoplar os momentos angulares orbitais dos elétrons oticamente ativos

∑=i

iSSrr

∑=i

iLLrr Uma vez considerada a interação coulombiana

dominante, a interação spin órbita é incluída, mas éum efeito mais fraco

SLJrrr

+=

A interação spin-órbita produz uma tendência do momento angular de spin se acoplar com momento angular orbital

A nomenclatura utilizada neste caso de interação de dois e- é acoplamento LS


2

Quando o acoplamento Vee se torna mais fraco um outro tipo de acoplamento deve ser usado, conhecido por acoplamento JJ(Z alto)

Teremos iL

O momento angular total do átomo é dado pela soma individual dos vetores J

iii SLJrrr

+=

∑=i

iJJrr

iS

Acoplamento LS →

Acoplam

ento JJ →Resumo dos acoplamentos:

A nomenclatura utilizada neste caso de interação de dois e- é acoplamento JJ

para cada elétrone


3

Acoplamento LS

SLJrrr

+=

∑=i

iLLrr

∑=i

iSSrr

átomo com dois elétrons oticamente ativos, no mesmo orbital: Exemplo Mg: 3s2 (Z=12)

orbital d: ℓ1=0, ℓ2=0s1 = ½ , s2 = -½ Pauli

mℓ=0

ℓ=|ℓ1-ℓ2|,|ℓ1-ℓ2|+1, ......,ℓ1+ℓ2-1,ℓ1+ℓ2=ℓ =0 s = 0 (singleto) (2s+1)=1

s = 1 (tripleto) (2s+1) = 3 não pode exclusão de Pauli

ℓ =01S0j=0

3s2

s = 0


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ExercícioPara o Carbono (Z=6) 1s22s22p mℓ=1,0,-12

j=1

s = 0, 1j=|ℓ-s|, |ℓ-s|+1, ......,ℓ+s-1,ℓ+s=s = 0, j =ℓ s=1, j vários }

(2s+1)Lj

2p2

s = 0

s =1

j=0 1S0ℓ =0ℓ =1

ℓ =2j=1j=2

1P1

1D2

j=2 3P2

3P0

j=1ℓ =1j=0 3P1

3D1

j=3j=2

3D33D2

Ordem:1º s, 2o ℓ (do maior para o menor)3º j (do menor para maior)

orbital p: ℓ1=1, ℓ2=1s1 = ½ , s2 = ½

ℓ=|ℓ1-ℓ2|,|ℓ1-ℓ2|+1, ......,ℓ1+ℓ2-1,ℓ1+ℓ2=ℓ =0,1,2

s = 0 (singleto) (2s+1)=1s = 1 (tripleto) (2s+1) = 3

ℓ =0 j=1 3S1

ℓ =2

Total de 10 multipletos


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RevisãoInteração Coulombiana entre um elétron e o núcleo de um átomo Átomo de hidrogênio

Coordenadas esféricas: ψ ≡ ψ(r,θ,ϕ) e

Ao aplicarmos a equação de Schrödinger temos:

),()(),()(),(1),()(),()(12 2

2

2222

2

2

φθφθφ

φθθθ

φθθθθ

φθµ

YrERYrVRYsenr

Ysensenr

rRYrrRr

rr=+

∂

∂+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂− h

)()(),( φθφθ ΦΘ=Y

Os harmônicos esféricos são simultaneamente autofunções dos operadores L2 e Lz :

)1(12

2

+==+

Θ

Θ− llcte

senm

ddsen

dd

sen θθθ

θθ


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negativo não inteiro um sendo ),1( a iguais são de sautovalore os 22 lllh +L1.

llh ≤≤− mmmLz :que talinteiro um sendo , a iguais são de sautovalore os 2.

Isso mostra que os valores possíveis de L2 e de Lz são discretos (quantizados), evidenciando a quantização do momento angular. Mostra também que essas grandezas podem ser determinadas com incerteza 0.

Apenas uma das observáveis Lx, Ly ou Lzpode ser determinada com incerteza nula e a escolhida foi Lz.

A figura mostra os valores do momento angular para o caso ℓ = 1.

),,()1(),,( 22 φθψφθψ rllrL += h

),,(),,( φθψφθψ rmrL z h=

h

h

lz mLllL

=

+= )1(


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Quantização da energia

Assim, as soluções estacionárias devem apresentar a seguinte estrutura:

Rnl (r) funções radiais e Enl autovalores de energia h/

00101001tEeYR −=ψ estado não degenerado1=n 0=l 0=m

h/0020200

2tEeYR −=ψh/

121212tE

mm eYR −=ψ}4 estados degenerados

0=m0=l2=n

1=l 1,0,1 −=m

A função para o estado estacionárioh/

3

/

1001 tE

arBohr

ea

e −−

=π

ψ

02

110 EZm

EEe

Bohr µ−==

π41

00 =Yarea

R /310

4 −=


8

A solução da eq. de Schr. resulta em três números quânticos:

número quântico principalmomento angular orbital, associada a R(r), e ao módulo de Lnúmero quântico magnético, associado a componente z do momento angular

)(θΘLr

lmln

As condições de contorno requerem que:

lmnl

n

l ≤

<> 0

llllmnl

n

l ,1,.......1,0,.....,1,1,.....,3,2,1,0

.....3,2,1

−+−−=−=

=números inteiros

5-2,-1,0,1.223Total=9

3-1,0,+1131003

2ℓ+1mℓℓnEstados degenerados:

Qual é a degenerescência do nível n=3?O nível 3 é degenerado (na ausência B) porque todos os 9 estados tem a mesma energia, mas diferentes números quanticos


9

Camada K, 1 estado

Camada L, 4 estados

Camada M, 9 estados

Camada N, 16 estados


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Efeito Zeeman:

Lg b

hl

l

µµ =O momento magnético tem amplitude:

mgLgmL bzb

zz µµµ −=−=⇒=h

hBErr

l ⋅−=∆ µ

BmgBVBV bzMzM µµµ =−=⇒−=

A quantidade ⟨VM⟩ representa a energia adicional adquirida pelo átomo no estado Ψnℓm devido à presença do campo aplicado. Essa energia depende do valor de m e da intensidade do campo.


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Estados com diferentes m têm suas degenerescências quebradas por causa da presença do campo magnético. Estados (nℓ) com valores sucessivos de m apresentam energias com diferenças de: BgE bM µl=δO sinal da variação de energia é o mesmo de m, e os estados com m = 0 não são afetados pela presença do campo. Cada um dos níveis representados na figura corresponde a um estado de precessão diferente do átomo, com energia dada por: na presença do campo B. Por essa razão, o número quântico azimutal, m, é também conhecido como número quântico magnético.

BmgE bn µl+

Quebra da degenerescência em m ⇒ quebra da simetria rotacional

abertura


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Resultado clássico!

Lyman α

Balmer α

A separação dos níveis provocada pelo efeito Zeeman produz mudanças na freqüência da radiação emitida pelo átomo nas transições ⇒regras de seleção: ∆ℓ = ± 1 e ∆m = 0 ou ± 1.Todas as transições indicadas envolvem apenas 3 diferentes energias de fótons emitidos: ∆E – δEM ; ∆E ; e ∆E + δEMonde ∆E representa a energia de transição sem o campo aplicado. Aparece então um tripleto, com variação de freqüência dada por:

e

bM

meBBg

hEv

π4π2δδ ===

h

µ

n=2 ⇒ n=1

n=3 ⇒ n=2


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Em 1920 já se sabia que havia separação das linhas espectrais sem a presença de campos magnéticos externos (estrutura fina).

Fenômeno então atribuído a processos internos ao átomo: “caroço magnético (núcleo + elétrons internos)” responsável por produzir campo e interagir com os elétrons mais externos.

Este sistema de interação dos momentos magnéticos internos e externos foi proposto para explicar a estrutura dos multiplicos na ausência do campo, bem como as anomalias do feito Zeeman na presença de campos.

Estas idéias foram testadas em 1922 por O. Stern e W. Gerlack

Experimento de Stern-Gerlack examina a dinâmica do dipolo magnético em um campo magnético. Proposta: Medir os valores possíveis do momento de dipolo magnético


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(2ℓ+1) manchas 2 manchas

momento magnético orbital observado

O experimento original de Stern&Gerlach usou um feixe de átomos neutros de Ag, obtidos por evaporação em um forno. Depois de atravessarem o campo eles eram depositados em uma placa de vidro, onde as deflexões podem ser medidas. A imagem de duas manchas (discreto em vez de contínuo) concordava com o que se esperava pelo modelo do “caroço magnético” para a Ag. Átomos de H – para os quais não era esperada deflexão – obteve-se os mesmos resultados (duas manchas). O “caroço magnético” não podia explicar esses resultados, pois, no H, o “caroço” é só o núcleo, cujo momento magnético é 3 ordens de grandeza menor que o do elétron.


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1924: Pauli sugere que as estruturas dos multipletos e as anomalias no efeito Zeeman poderiam ser explicadas se um novo grau de liberdade, formal, com 2 valores, fosse associado ao elétron.

e foram observadas 2 manchas ⇒ 2 valores de ms .

Como ∆ms = 1 ⇒ ms = ± ½. Assim, o momento angular de spin é dado:

( ) 222

431 e

2hh

hh =+=±== ssSmS sz

e e

Temos também o aparecimento de um momento de dipolo magnético devido ao momento angular de spin:

incerto

sbssbs

s mgSgz

µµµµ −=−= e r

h

r

com gs = 2 fator g do spin


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s=1/2 e ms=-1/2 e +1/2Um estado estacionário de um átomo monoeletrônico é descrito por um conjunto de 4 números quânticos:

ou

Spin para cimas=1/2 Spin para baixo

s=-1/2

Interação entre o momento de dipolo magnético do spin eletrônico e o campo magnético interno de um átomo de um elétron

Interação spin-órbita

Os vetores quantizados e devem ser adicionados em situações em que mais tipos gerais de estados queremos considerar. Definimos o momento angular total do átomo, pela soma dos vetores momento angular orbital e de spin: SLJ

rrr+=

Lr

Sr

Interação fraca responsável (em parte) pela estrutura fina dos estados excitados dos átomos de 1 e- (no caso de muitos elétrons esta interação é relativamente forte)


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Podemos também usar a energia de Rydberg:

E obtermos:

Que me dá o alargamento em função de E0 e pode ser aplicada para ℓ 0≠

A diferença de energia entre estados com j = ℓ + ½ ou com j = ℓ - ½ é:

me dá aberturaspin-órbita


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Boltzmann → física clássica • partículas idênticas distinguíveis quando em estados de energia diferentes;• a presença de uma partícula em um estado particular, não altera a probabilidade de outra partícula ocupar aquele estado.

MQ → partículas indistinguíveis ⇒ a presença de uma partícula em um determinado estado influencia drasticamente o comportamento das outras.Férmions (partículas com spin semi-inteiro): se existem n férmions em um estado quântico, a probabilidade de que um outro se junte a eles é reduzida por um fator (1 – n) do que seria a probabilidade se não houvesse a exigência de indistinguibilidade.Bósons (partículas com spin inteiro): se existem n bósons em um estado quântico, a probabilidade de que um outro se junte a eles é aumentada por um fator (1 + n) do que seria a probabilidade se não houvesse a exigência de indistinguibilidade.

0,1simétricaα,He,d,γbóson

1/2Anti-simétrica

e,n,p,µférmion


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( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]21212

12,1S αββα ψψψψψ +=

2 partículas no mesmo estado ⇒ basta fazer α→ β igual a n:

Vamos ver o caso de 2 bósons. A autofunção simétrica (indistinguibilidade) édada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )212212

221212

12,1S nnnnnnnn ψψψψψψψψψ ==+=

Portanto a probabilidade de encontrar as partículas é:22**2

SS*SS )2()1(2)2()1()2()1(2 nnnnnnP ψψψψψψψψψ ====

No caso de não se exigir a indistinguibilidade, temos:

( ) ( ) ( )212,1 βα ψψψ = Fazendo α→ β igual a n⇒ ψ ( ) ( ) ( )212,1 nn ψψ=

Portanto, nesse caso, a probabilidade de encontrar as partículas é:22**2* )2()1()2()1()2()1( nnnnnnP ψψψψψψψψψ ====

⇒ PS = 2Pclássica.


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No caso de 3 bósons ⇒ PS = 3!Pclássica.

⇒ PS = 2Pclássica. A probabilidade de 2 bósons serem encontrados no mesmo estado é duas vezes maior que no caso clássico

A probabilidade de 3 bósons serem encontrados no mesmo estado é seis vezes maior que no caso clássico Caso não existisse reforço: se P1 é a probabilidade de se colocar 1 bóson em 1 estado, para colocar n bósons: Pn = (P1)n. Mas existe o reforço. Nesse caso: ⇒== n

nn PnPnP )(!! 1bóson

para (n + 1) bósons, teremos:bóson

1bóson

111bóson

1 )1(!)1()!1( nnnnn PPnPPPnnPnP +=⇒+=+= +++

Assim, se já existirem n bósons no estado, a probabilidade de entrar mais 1 sofre um reforço de (1 + n)P1 . A presença de um bóson em um estado quântico aumenta a probabilidade e um bóson idêntico ocupar o mesmo estado é como se um bóson atraísse outros bóson para o mesmo estado


21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 021212

12,1A =−= nnnn ψψψψψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]21212

12,1A αββα ψψψψψ −=

2 partículas no mesmo estado ⇒ basta fazer α→ β igual a n:

Vamos ver o caso de 2 férmions. A autofunção anti-simétrica (indistinguibilidade) é dada por:

zeroP === 2AA

*AA ψψψPortanto a probabilidade de encontrar as

partículas é zero:

A presença de um férmion em um estado quântico impede que um férmion idêntico ocupe o mesmo estado é como se os férmions se repelissem

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