FÍSICA – 1ª SÉRIE

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV)Movimento uniformemente variado é o movimento cuja função horária é do 2º grau em t:

s = so + so t + t2

No movimento uniformemente variado, a velocidade escalar varia com o tempo segundo uma função do 1º grau:

v = vo + t

No movimento uniformemente variado, a aceleração escalar é constante (diferente de zero) e igual à aceleração escalar média em qualquer intervalo de tempo.

Considere, por exemplo, um movimento uniformemente variado cuja função velocidade é v = 2 + 5 t, para v em m/s e t em s.Observe que a cada valor de t corresponde um valor de v.Assim, temos a tabela:

t (s) 0 1 2 3v (m/s) 2 7 12 17

Note que de 1 em 1 segundo a velocidade escalar sofre uma variação de 5 m/s. Isso significa que a velocidade escalar varia de um modo uniforme com o tempo. Daí a denominação movimento uniformemente variado. No exemplo em questão, a aceleração escalar é constante e igual a 5 m/s2.

APLICAÇÃO

1) A função horária de um móvel é dada por s = 5 + 3 t + 4 t2 (SI).a) Verifique se o movimento é uniforme ou uniformemente variado.b) Determine o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração escalar.c) Determine a função velocidade.

2) Sendo s = 4 – 2 t + 5 t2, a função horária de um móvel, no SI, determine a sua função velocidade.

3) A velocidade escalar de um móvel varia com o tempo segundo a expressão v = 6 – 3 t, para v em m/s e t em s.

a) Complete a tabela abaixo:t(s) 0 1 2 3 4 v(m/s)

b) Calcule a aceleração escalar α do movimento.

1

c) Para que valores de t o movimento é progressivo, retrógrado, acelerado e retardado?

d) Em que instante muda o sentido do movimento?

4) A figura representa a posição, no instante t = 0, de um móvel que realiza movimento uniformemente variado com aceleração escalar α = 5 m/s2. Determine:

a) a função horária.b) a função velocidade.

VERIFICAÇÃO

5) A função horária do movimento de uma partícula é dada por s = - 5 – 4 t + t2 (SI). Determine:

a) o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração escalar.b) a função velocidade.

6) Sendo s = 6 – 8 t + 2 t2, a função horária de um móvel no SI, determine em que instante sua velocidade escalar é nula.

7) A velocidade escalar de um móvel varia com o tempo segundo a função v = -20 + 5 t (SI).

a) Complete a tabela abaixo:

t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8v(m/s) b) Calcule a aceleração escalar α do movimento.c) Para que valores de t o movimento é progressivo, retrógrado, acelerado e

retardado?d) Em que instante muda o sentido do movimento?

8) A figura representa a posição, no instante t = 0, de um móvel que realiza movimento uniformemente variado, retrógrado e acelerado. A velocidade inicial e a aceleração escalar são respectivamente 2 m/s e 4 m/s2, em valor absoluto. Determine:

a) a função horária.b) a função velocidade

9) Uma partícula movimenta-se sobre uma reta e a lei horária do movimento é dada por: s = 2 t2 – 5 t – 2, com s em metros e t em segundos. Qual é a aceleração escalar do movimento?

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10) Um móvel descreve um movimento retilíneo uniformemente acelerado numa trajetória em linha reta e suas posições variam no tempo de acordo com a equação s = 20 + 2 t + 2 t2, em que s é medido em metros e t em segundos. Determine a velocidade do móvel quando o tempo t for igual a 10 s.

11) Uma partícula executa um movimento uniformemente variado, em trajetória retilínea, obedecendo à função horária s = 16 – 40 t + 2,5 t2, onde o espaço é medido em metros e o tempo t em segundos. Em que instante a partícula muda o sentido do movimento?

12) Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 72 km/h quando acionou os freios e parou em 4 s. Qual foi a aceleração imprimida, em módulo, pelos freios à motocicleta?

13) Um ponto material parte do repouso e percorre em linha reta 120 m em 60 s, com aceleração constante. Qual a sua velocidade no instante 60s?

14) No instante em que o carro A passa pelo ponto x de uma estrada, com velocidade constante de 60 km/h, o carro B parte do repouso também de x, no mesmo sentido de A, e com aceleração de 60 km/h2. Qual será a distância entre os dois carros, após 1 h de viagem?

15) Um caminhão move-se em uma estrada reta e horizontal com velocidade constante de 72 km/h. No momento em que ele ultrapassa um carro em repouso, este arranca com aceleração constante de 2,5 m/s2. Calcule, em segundos, o tempo necessário para o carro alcançar o caminhão.

16) Um móvel saindo do repouso mantém aceleração constante de 2 m/s2, indo no mesmo sentido de outro que se move com velocidade constante de 6 m/s. Sabendo-se que este se encontra a 16 m do primeiro no instante da partida, depois de quanto tempo dará o encontro dos móveis?

EQUAÇÃO DE TORRICELLI

Eliminando-se t entre as duas funções (ou equações) apresentadas: s = so + so t + t2

v = vo + t

resulta a chamada equação de Torricelli para MUV:

v2 = vo2 + 2 s

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APLICAÇÃO:

17) Deduza a Equação de Torricelli.

18) Um objeto parte do repouso e percorre 50 m com aceleração escalar constante, atingindo a velocidade de 10 m/s. Determine a aceleração escalar α.

19) Um trem está com velocidade de 20 m/s quando são aplicados os freios que lhe comunicam uma aceleração escalar de módulo igual a 2 m/s2. Determine a distância que o trem percorre até parar.

VERIFICAÇÃO

20) Um objeto que se desloca com velocidade de 30 m/s é freado até o repouso, com aceleração constante. O objeto percorre 50 m até parar. Qual sua aceleração em valor absoluto?

21) Um trem parte do repouso e atinge a velocidade de 10 m/s, com aceleração constante igual a 2 m/s2. Determine a distância percorrida pelo trem desde a partida até atingir 10 m/s.

22) Um ponto material parte do repouso, com movimento retilíneo uniformemente acelerado, de tal forma que, após percorrer 12 m, está animado de velocidade 6 m/s. Qual é a sua aceleração?

23) Um carro viaja a 72 km/h e, de repente, o motorista pisa no freio. Sabendo que a máxima desaceleração que o freio produz é de 4 m/s2, qual a distância mínima em que o carro pára?

24) Uma partícula com velocidade igual a 10 m/s é acelerada na razão constante de 2 m/s2. Que distância será necessário percorrer para atingir uma velocidade igual a 30 m/s?

25) Um veículo penetra em um túnel com velocidade de 54 km/h, deslocando-se com movimento uniformemente variado. Passados 10 s, o veículo sai do túnel com velocidade de 72 km/h. qual é, em metros, o comprimento do túnel?

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MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

ESPAÇO ANGULAR OU FASE (φ)

Considere um móvel P em movimento circular e uniforme. Já vimos que, para localizarmos P, ao longo da trajetória, em cada instante, escolhemos um ponto O como origem dos espaços, orientamos a trajetória e medimos o arco s de O a P. Além do espaço s, podemos localizar P através do ângulo central φ, que recebe o nome de espaço angular ou fase.

Para φ medido em radianos, sendo R o raio da circunferência, temos:

s = φ . R

VELOCIDADE ANGULAR (ω)

Analogamente à definição de velocidade escalar média, podemos definir velocidade angular média ωm:

ωm =

Estando o móvel em movimento circular e uniforme, a velocidade angular média ωm é constante e igual à velocidade angular ω em qualquer instante.A unidade de velocidade angular é o radiano por segundo (rad/ s).

PERÍODO E FREQÜÊNCIA

Para um móvel em movimento circular e uniforme, definimos:- Período (T): é o intervalo de tempo decorrido para o móvel completar uma volta. Por exemplo, se o período de um MCU é 0,2 s, significa que a cada 0,2 s o móvel completa uma volta. Note que em 1 s o móvel completará 5 voltas.- Freqüência (f): é o número de voltas na unidade de tempo.No exemplo citado, a freqüência é de 5 voltas por segundo ou 5 rotações por segundo.

O período é medido em s, min, h, etc. e a freqüência em rotações por segundo, que recebe o nome de hertz (Hz), rotações por minuto (rpm), etc.

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RELAÇÃO ENTRE PERÍODO (T) E A FREQÜÊNCIA (f)

T 1 volta1 f voltas

APLICAÇÃO

1) O espaço de um móvel, que realiza MCU de raio r = 0,1 m, é num certo instante s = 0,5 m. qual o espaço angular φ nesse instante?

2) Um móvel realiza MCU completando 5 voltas em 10 s. Determine seu período e freqüência

VERIFICAÇÃO

3) O espaço angular de um móvel que realiza movimento circular e uniforme de raio R = 20 cm, é num certo instante φ = π/2 rad. Determine o seu espaço s do móvel nesse instante.

4) Um móvel em MCU completa em cada segundo 10 voltas. Determine seu período e sua freqüência.

5) Um carrossel gira efetuando uma rotação a cada 4 s. Qual é a freqüência em rps (rotações por segundo) que cada cavalo executa movimento circular uniforme?

RELAÇÃO ENTRE VELOCIDADE ANGULAR ω E O PERÍODO T

De = , sendo = 2π rad e Δt = T, vem:

ou

RELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE ESCALAR v E A ANGULAR ω

De v = , sendo Δs = 2πR e Δt = T, vem: v =

FUNÇÃO HORÁRIA ANGULAR DO MCU

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f =

2πf

v = ω.R

Sendo um movimento uniforme, temos:

Dividindo ambos os membros pelo raio R, vem: = + .t

APLICAÇÃO

6) A figura indica a posição de um móvel no instante t = 0. O móvel descreve um movimento circular e uniforme,

cuja velocidade angular é ω = rad/s.

a) Escreva a função horária angular do movimento.b) Qual o espaço angular no instante t = 2 s?

7) A velocidade angular de uma partícula em MCU é ω = 3π rad/s. Determine o período e a freqüência.

8) A velocidade escalar de um móvel em MCU de raio R = 0,2 m é v = 5 m/s. Qual sua velocidade angular ω?

VERIFICAÇÃO / REVISÃO

9) Determine o período e a velocidade do ponteiro dos minutos de um relógio.

10) A figura ao lado fornece a posição inicial de uma partícula que realiza movimento circular e uniforme, cuja

velocidade angular é ω = rad/s. Determine:

a) a função horária angular do movimento.b) O espaço angular no instante t = 2,5 s.

11) Um móvel realiza movimento circular e uniforme com velocidade angular ω = 10 rad/s. Sendo R = 0,3 m o raio da trajetória, determine sua velocidade escalar v.

12) Um ponto material executa um movimento circular uniforme de raio 0,5 m, completando uma volta em cada 5 s. Calcule a freqüência e a velocidade angular do movimento.

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s = so + v t

φ = φ +ω.t

13) Calcule os períodos de dois móveis dotados de velocidades angulares = rad/s

e = rad/s, respectivamente.

14) Um corpo em movimento circular uniforme completa 20 voltas em 10 s. Calcule o período e a freqüência desse movimento.

15) Um ponto material está em movimento circular uniforme em ralação a um dado referencial. Sua velocidade escalar é v = 4 m/s e a trajetória tem raio R = 2 m. Determine a velocidade angular ω.

16) Dois patinadores A e B empregam o mesmo tempo para completar uma volta em torno de uma pista circular. A distância do patinador A ao centro da pista é o dobro da do patinador B ao mesmo centro. Chamando de vA e vB, respectivamente, as velocidades de A e B e ωA e ωB as respectivas velocidades angulares, determine:

a) relação entre vA e vB.b) relação entre ωA e ωB.

17) O ponteiro do minutos de um relógio medem 50 cm.a) Qual a velocidade angular ω do ponteiro?b) Calcule a velocidade escalar v da extremidade do ponteiro.

18) Dois pontos A e B situam-se, respectivamente, a 4 cm e 7 cm do eixo de rotação de uma roda e sobre a mesma.

a) O período de A é maior, igual ou menor que o período de B?b) A freqüência de A é maior, igual ou menor que a freqüência de B?c) A velocidade angular de A é maior, igual ou menor que a velocidade angular

de B?d) A velocidade escalar de A é maior, igual ou menor que a velocidade escalar

de B?

19) Um disco de raio 5 cm gira, em torno do seu eixo de simetria, com uma freqüência constante de 7200 rotações por minuto (rpm), conforme o desenho. Calcule:

a) a freqüência do disco, em Hz.b) o período do movimento.c) a velocidade angular do disco.d) a velocidade escalar do ponto P

VETORES

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GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS

As grandezas físicas são divididas em dois grupos:GRANDEZAS ESCALARES: são grandezas que ficam perfeitamente caracterizadas quando delas se fornecem o valor numérico e a correspondente unidade. Exemplos: comprimento, tempo, massa, volume, temperatura, energia, etc.

GRANDEZAS VETORIAIS: são grandezas que ficam perfeitamente caracterizadas quando delas se fornecem o módulo, que corresponde ao valor numérico (não negativo) seguido da unidade, a direção e o sentido. Exemplos: deslocamento, velocidade, aceleração, força, etc.As grandezas físicas vetoriais são representadas através de vetores. O vetor se caracteriza por possuir módulo, direção e sentido, sendo graficamente representado por um segmento de reta orientado e indicado por uma letra sobre a qual colocamos uma seta.Exemplos:

e possuem direção horizontal. tem sentido da esquerda para a direita e da direita para a

esquerda.

e tem direção vertical.tem sentido ascendente e descendente

O módulo do vetor é indicado da seguinte forma: ou a, ou b, etc.Na representação gráfica, o comprimento do segmento orientado, numa certa escala, corresponde ao módulo do vetor.

SOMA DE VETORES Considere dois vetores e representados pelos segmentos orientados, indicados na figura abaixo (fig. a). Para somarmos e , utilizamos a regra do paralelogramo (fig. a) ou a regra do polígono (fig.c).

Na regra do paralelogramo o vetor soma é representado pela diagonal do paralelogramo, que tem origem na origem comum de e .Na regra do polígono o vetor soma é representado pelo segmento orientado, que tem origem na origem do primeiro e extremidade na extremidade do segundo.

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APLICAÇÃO1) Os vetores e representados na figura têm módulos = 7 unidades e = 3

unidades. Obtenha graficamente o vetor soma dos vetores e e determine o módulo do vetor soma nos casos:

2) Os vetores e representados na figura têm módulos = 3 unidades e = 4 unidades. Obtenha graficamente o vetor soma dos vetores e e determine o módulo do vetor soma .

VERIFICAÇÃO

3) Os vetores e representados na figura têm módulos = 10 unidades e = 6 unidades. Obtenha graficamente o vetor soma dos vetores e e determine o módulo do vetor soma nos casos:

4) Os vetores e representados na figura têm módulos = 12 unidades e = 9 unidades. Obtenha graficamente o vetor soma dos vetores e e determine o módulo do vetor soma .

PRODUTO DE UM NÚMERO REAL n POR UM VETOR

É o vetor = n . que tem as características:Módulo: = .Direção: a mesma de se n 0Sentido: o mesmo de se n > 0 e oposto de se n < 0.

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Se n = -1, o vetor = (-1). , que tem o mesmo módulo, a mesma direção e sentido oposto ao de , recebe o nome de vetor oposto de e é indicado por - .Se n = 0, o vetor recebe o nome de vetor nulo e é indicado por .

DIFERENÇA DE VETORS

Chama-se diferença dos vetores e , nesta ordem, o vetor = - = + (- ). Isto é, para subtrair de , soma-se com o oposto de .

APLICAÇÃO

5) É dado o vetor de módulo 5 unidades, direção horizontal e sentido da esquerda para a direita. Dê as características do vetor 3 .

6) Da figura ao lado, obtenha graficamente:a) o vetor soma = + b) o vetor diferença = -

VERIFICAÇÃO

7) É dado o vetor representado ao lado. Dê as características dos vetores 2. , -3 e - .

8) Obtenha graficamente o vetor = - e calcule o seu módulo. Sabe-se que = = 5 unidades.

9) Na figura estão desenhados dois vetores e . Esses vetores representam deslocamentos

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sucessivos de um corpo. Qual é o módulo do vetor + ?

CIMEMÁTICA VETORIALVELOCIDADE VETORIAL INSTANTÂNEA

Considere uma partícula P, cuja trajetória está indicada na figura ao lado.A velocidade vetorial da partícula, num instante t, tem as seguintes características:Módulo: igual ao módulo da velocidade escalar v no instante t:

Direção: da reta tangente à trajetória por P.Sentido: o do movimento.

CASOS PARTICULARES:

- MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)

Nesse caso a velocidade vetorial tem módulo, direção e sentido constantes. Isto é, no MRU é constante.

- MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

Nesse movimento, a velocidade vetorial tem direção constante, mas módulo variável. Este diminui com o decorrer do tempo se o movimento for retardado (fig. a) e aumenta se for acelerado (fig. b).

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=

- MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

No MCU a velocidade vetorial tem módulo constante, variando em direção e sentido.

- MOVIMENTO CIRCULAR UNIFIRMEMENTE VARIADO (MCUV)

Nesse caso, a velocidade vetorial varia em módulo, direção e sentido. A figura ao lado refere-se ao MCUV acelerado.

APLICAÇÃO

1) Analise a proposição a seguir dizendo se está certa ou errada. Justifique.- “No movimento circular uniforme, a velocidade vetorial é constante”.

2) Qual a trajetória de um móvel cuja velocidade vetorial tem direção constante?3) Classifique o movimento de um ponto material cuja velocidade vetorial tem módulo

constante.

VERIFICAÇÃO

4) Analise as proposições a seguir dizendo se estão certas ou erradas. Justifique:a) Nos movimentos uniformes, a velocidade vetorial tem módulo

constante.b) Nos movimentos retilíneos, a velocidade vetorial tem direção constante.c) Nos movimentos curvilíneos, varia a direção da velocidade vetorial.d) Nos movimentos retilíneos acelerados, a velocidade e a aceleração vetoriais

possuem a mesma direção e sentidos opostos.e) No movimento circular uniforme, a aceleração vetorial é constante.

5) Complete: A velocidade de uma partícula é uma grandeza ........................., pois para a sua determinação, é preciso caracterizar sua ........................., ......................... e .........................

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ACELERAÇÃO VETORIAL INSTANTÂNEA

A aceleração vetorial indica a variação da velocidade vetorial no decurso do tempo. Através dos casos particulares citados no item anterior, observamos que a velocidade vetorial pode variar em módulo e em direção. Por isso, a aceleração vetorial é decomposta em duas acelerações componentes: aceleração

tangencial e a aceleração centrípeta .

A aceleração tangencial indica a variação do módulo da velocidade vetorial e a aceleração centrípeta indica a variação da direção da velocidade vetorial .

CARACTERÍSTICAS DA ACELERAÇÃO TANGENCIAL

Módulo: igual ao módulo da aceleração escalar, isto é,

Direção: da reta tangente à trajetória, isto é, a mesma direção de .Sentido: o mesmo de se o movimento for acelerado e oposto ao de se retardado.

CARACTERÍSTICAS DA ACELERAÇÃO CENTRÍPETA

Módulo:

Direção: da reta perpendicular a .Sentido: para o centro da trajetória.

A aceleração vetorial é, portanto, = +

E em módulo: = +

, de acordo com o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo sombreado na figura acima.

CASOS PARTICULARES:

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=

=

- MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)

No MRU, a velocidade vetorial é constante e, portanto, a aceleração vetorial é nula.

- MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

Nesse movimento, a aceleração vetorial é a aceleração tangencial, pois a velocidade vetorial varia em módulo e tem direção constante.

- MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

No MCU a aceleração vetorial é a aceleração centrípeta, pois, a velocidade vetorial varia em direção e tem módulo constante.

- MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

No MCUV a aceleração vetorial apresenta as componentes tangencial e centrípeta, pois a velocidade vetorial varia em módulo e em direção.

APLICAÇÃO

6) Uma partícula descreve um movimento circular uniformemente retardado no sentido horário. Desenhe a

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velocidade vetorial, a aceleração centrípeta, a aceleração tangencial e a aceleração resultante ao passar pelo ponto P indicado.

7) Um móvel descreve um movimento retilíneo e uniformemente variado de função horária s = 1 + 2 t + 3 t2 com unidades no SI. Determine o módulo de sua aceleração vetorial.

8) Uma partícula realiza movimento circular uniforme de raio 0,2 m e velocidade escalar de 2 m/s. Qual o módulo da aceleração vetorial?

VERIFICAÇÃO

9) Uma partícula descreve um movimento circular uniforme no sentido anti-horário. Desenhe a velocidade vetorial e a aceleração vetorial ao passar pelo ponto P.

10) Uma partícula descreve um movimento circular uniformemente acelerado no sentido anti-horário. Desenhe a velocidade vetorial, a aceleração centrípeta, a aceleração tangencial e a aceleração resultante ao passar pelo ponto P.

11) Um móvel descreve um movimento retilíneo e uniformemente variado de função horária s = 2 – 3 t - 4 t2, com unidades do SI. Determine o módulo de sua aceleração vetorial.

12) A função horária de um movimento circular uniforme de raio 2 m é s = 2 + 8 t, com unidades no SI. Determine o módulo da aceleração centrípeta e aceleração tangencial.

13) A função da velocidade para um móvel em MUV é v = 3 – 8 t, com unidades do SI. A trajetória é circular, de raio 37 m. Determine os módulos das acelerações tangencial, centrípeta e resultante no instante t = 5s.

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14) Uma partícula realiza movimento circular uniforme de raio 0,5 m e velocidade escalar 3 m/s. qual o módulo de sua aceleração vetorial?

15) Numa pista circular de raio 2 km, um automóvel se movimenta com velocidade constante de 60 km/h. Determine o módulo da aceleração resultante do automóvel.

16) O vetor aceleração , sendo perpendicular ao vetor velocidade e tendo módulo constante, que tipo de movimento produzirá num corpo em movimento?

17) Um menino está num carrossel que gira com velocidade angular constante, executando uma volta completa a cada 10 s. a criança mantém, relativamente ao carrossel, uma posição fixa, a 2 m do eixo de rotação.

a) Numa circunferência apresentando a trajetória circular do menino, assinale os vetores velocidade e a aceleração correspondentes a uma posição arbitrária do menino.

b) Calcule os módulos de e de .

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