FUNÇÃO FUNÇÃO EXPONENCIALEXPONENCIAL

Microbiologia. Em condições ideais o número de bactérias de uma colônia dobra sempre no mesmo período de tempo. A colônia gerada mantém as mesmas características da original e também duplica em número no mesmo período de tempo. Sabendo que determinada colônia, iniciada por uma única bactéria, dobra a cada 20 minutos, quantas bactérias existirão depois de 2 horas e 40 minutos?

Função exponencial

Esquematizando a situação, temos:

TempoQuantidade de

períodos de 20 minNúmero de bactérias

0 min

20 min

0

40 min60 min

2h40 min

1

2

3

8

20 = 1

21 = 2

22 = 4

23 = 8

28 = 256

20x min x 2x

......

...

Logo, após 2 horas e 40 minutos, haverá 256 bactérias. Após x períodos de 20 minutos, o número de bactérias será dado por 2x.

Uma função f: ℝ ℝ é chamada de função exponencial de base a quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax, para todo x ℝ.

Definição de função exponencial

a) b) c) ObservaçãoAlém da função exponencial, existem funções que podem ser obtidas a partir dela. Por exemplo:

f(x) = 32x + 1 h(x) = 2x – 1  g(x) = 5 ∙ 4x

Exemplos

f(x) = 2x

Gráfico da função exponencial

–2

–1

x f(x)

0

1

2

3

1

2

4

8

D(f) =

Im(f) =

–3 8

–2 4

–1 2

0 1

1

2

x g(x)

g(x) =

Gráfico da função exponencial

D(f) = Im(f) =

Para qualquer função exponencial f(x) = ax, temos:

Características da função exponencial

Domínio: D(f) =

Imagem: Im(f) =

O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e não cruza nem encosta no eixo x.

Crescimento e decrescimento da função exponencial

Função crescente (a > 1) Função decrescente (0 < a < 1)

x2 > x1 f(x2) > f(x1) x2 > x1 f(x2) < f(x1) 

Exercício resolvido

R1. Observe o gráfico da função f dada por f(x) = a ∙ 3–x + b e determine os valores de a e b.

ResoluçãoOs pontos (–1, 1) e (0, –1) pertencem ao gráfico de f.Para x = –1, temos: f(–1) = 1

Então: 1 = a ∙ 3–(–1) + b 1 = a ∙ 3 + b (I)Para x = 0, temos: f(0) = –1Então: –1 = a ∙ 3–(0) + b –1 = a ∙ 1 + b (II)Resolvendo o sistema formado por (I) e (II), obtemos a = 1 e b = –2

Portanto, f(x) = 3–x – 2, ou seja: f(x) =

Toda equação que tem a incógnita no expoente é chamada de equação exponencial.

Equação exponencial

a)

b)

Exemplos

c)

d)

Algumas equações exponenciais podem ser resolvidas escrevendo-se ambos os membros da igualdade como potências de mesma base a (com a > 0 e a ≠ 1) e aplicando-se a propriedade:

Resolução de equações exponenciais

a) Vamos resolver a equação exponencial . Para isso seguimos alguns passos: 

Exemplos

Resolução de equações exponenciais

1o) Escrevemos ambos os membros da igualdade como potências de mesma base: 

2o) Aplicamos a propriedade:

Portanto: S =

Exemplos

b) Vamos resolver a equação exponencial (2x)x + 1 = 64. 

Logo: x2 + x = 6 x2 + x – 6 = 0

Portanto: S =

(2x)x + 1 = 64 2x2 + x = 26

x = 2 ou x = –3

Resolução de equações exponenciais

Resolução de equações usando artifícios

a) Vamos resolver a equação 4x + 4 ∙ 2x = 5.

1o) Usando as propriedades da potenciação, fazemos uma transformação na equação para identificar um termo comum: 

2o) Consideramos 2x = y e resolvemos a equação obtida:

4x + 4 ∙ 2x = 5 (22)x + 4 ∙ 2x – 5 = 0 (2x)2 + 4 ∙ 2x – 5 = 0

y2 + 4y – 5 = 0 y = 1 ou y = –5

Exemplos

3o) Substituímos em 2x = y os valores encontrados: ou2x = –5 (não existe x real tal que 2x = –5)

2x = 1 2x = 20 x = 0

Logo, o único valor de x que satisfaz a equação 4x + 4 ∙ 2x = 5 é x = 0; portanto: S = {0} 

b) Agora, vamos resolver a equação exponencial

1o) Usando as propriedades da potenciação, temos:

2o) Consideramos 3x = y:

32x + 4 ∙ 3x – 3x + 1 = 0.

32x + 4 ∙ 3x – 3x + 1 = 0 (3x)2 + 4 ∙ 3x – 3 ∙ 3x = 0

y2 + 4y – 3y = 0 y2 + y = 0 y = 0 ou y = –1

Resolução de equações usando artifíciosExemplos

3o) Substituímos em 3x = y os valores encontrados:3x = 0  ou 3x = –1 (como 3x é sempre positivo, não existe x real que satisfaça tais equações); portanto: S =  

Sistema de equações exponenciais

Vamos calcular x e y no sistema de equações:

1o) Desenvolvemos cada uma das equações:(I)

(II)

2o) Consideramos, então, o sistema formado por (I) e (II):

7x + y = 1 7x + y = 70 x + y = 0

Exemplo

2x ∙ 4y = 2x ∙ (22)y = 2–1 2x + 2y = 2–1 x + 2y = –1

3o) Como (I) e (II) são equações que decorrem das equações iniciais, a solução desse sistema é solução do sistema original. Portanto, a solução do sistema é: S = {(1, –1)}

Exercício resolvido1. Determine o ponto de intersecção dos gráficos das funções

e

ResoluçãoPara que os gráficos tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x de modo que as imagens desse valor pelas duas funções coincidam, ou seja, f(x) = g(x). Assim:

2–x – 1 = 22x + 2 –x – 1 = 2x + 2

3x = –3 x = –1. Logo, para x = –1, temos: 

Portanto, o ponto de intersecção dos gráficos das funções f e g é (–1, 1).

Inequação exponencialToda inequação que tem a incógnita no expoente é chamada de inequação exponencial.

Exemplos

d)

c) a) 3𝑥 < 27b) 2–3𝑥 ≥ 5

Resolução de inequações exponenciaisExemplos

a) Vamos resolver a inequação exponencial 5x + 12 < 25

1o) Escrevemos ambos os membros da inequação como potências de mesma base:

2o) Como a base é maior que 1, a relação de desigualdade entre as potências se mantém entre os expoentes:

Portanto: S =

5x + 12 < 25 5x + 12 < 52

5x + 12 < 52 x + 12 < 2 x < –10

b) Agora, vamos determinar o conjunto solução da inequação

Resolução de inequações exponenciaisExemplos

Portanto: S =

Note que, utilizando propriedades das potências, poderíamos também trabalhar com uma inequação com base maior que 1:

Exercício resolvido2. Resolva a inequação .

Resolvendo a equação do 2o grau–x2 + 5x – 6 = 0, obtemos x = 2 ou x = 3

Então, para –x2 + 5x – 6 0, temos o intervalo ao lado:

Portanto: S =

Resolução

Exercício resolvido3. Determinar o conjunto solução da inequação 2x < 23 < 22x .

ResoluçãoQuando a inequação tem mais de uma desigualdade, analisamos cada uma separadamente:

Portanto: S =

(I) 2x < 23 x < 3

(II) 23 < 22x 3 < 2x x > As duas desigualdades devem ser simultaneamente satisfeitas:

e .