COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III

3 SRIE MATEMTICA II PROF. WALTER TADEU

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Esferas 2013 - GABARITO1. (FUVEST) Uma superfcie esfrica de raio 13cm cortada por um plano situado a uma distncia de 12cm do centro da superfcie esfrica, determinando uma circunferncia. O raio dessa circunferncia :

a) 1cm b) 2cm c) 3cm d) 4cm e) 5cmSoluo. Utilizando a Relao de Pitgoras, temos:

.2. Uma esfera cuja superfcie tem rea igual a 676(cm2 cortada por um plano situado a uma distncia de 12cm do seu centro, determinando um crculo. Nessas condies, determine:

a) a rea deste crculo; Soluo. A rea da superfcie da esfera calculada com a frmula A = 4(R2, onde R o raio da esfera.O raio do crculo r.

. b) o comprimento da circunferncia mxima dessa esfera;

Soluo. A circunferncia mxima a que possui o raio com mesma medida do raio da esfera.

.c) o volume do cone reto cujo vrtice o centro da esfera e a base o crculo determinado pela interseco do plano com a esfera.Soluo. O cone possui como base o crculo determinado pelo plano secante e como altura a distncia do plano secante ao centro da esfera.

.3. Uma firma de arquitetura apresentou a maquete de uma construo na forma de uma semiesfera. Nessa maquete, o dimetro da semiesfera 20cm. Sabendo que a escala utilizada foi 1:400, responda: (( = 3,14)a) Qual a rea da superfcie dessa construo?Soluo. Calculando o raio da construo, temos:

.b) Qual o volume dessa construo?

Soluo. O volume ser a metade do volume da esfera.

.4. (UFJF) Duas esferas so concntricas, a menor tem de raio. A rea da seco feita na esfera maior por um plano tangente a esfera menor de 81(cm2. Calcule:

a) o raio da esfera maior; Soluo. O raio da seco r. Ser calculado com a rea da seco. O raio da esfera menor a distncia entre o plano tangente e o centro. Aplicando a relao de Pitgoras, temos:

.b) o volume da esfera maior.

Soluo. Utilizando a frmula, temos:

.5. (UNITAU) Uma esfera esta inscrita em um cubo de aresta 4cm. Calcule a rea da superfcie esfrica e o volume da esfera.Soluo. O dimetro da esfera possui a mesma medida da aresta do cubo. Temos:

.6. (UFRGS) Uma panela cilndrica de 20cm de dimetro est completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que 16cm. O nmero de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa :

a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100

Soluo. O volume de doce da panela do cilindro ser o mesmo da soma dos volumes das bolinhas.

.7. (PUC) Tem-se um recipiente cilndrico, de raio 3cm, com gua. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha esfrica nesse recipiente, o nvel da gua subir cerca de 1,2cm. O raio da bolinha vale, aproximadamente:

a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm d) 2,5 cm e) 3 cm

Soluo. O volume de gua que sobe no cilindro corresponde ao volume da bolinha.

.8. (UFMG) Na figura, ABC um quadrante de circulo de raio 3cm e ADEF um quadrado, cujo lado mede 1cm. Considere o slido gerado pela rotao de 360, em torno da reta AB, da regio hachurada na figura. Esse slido tem um volume de:

a) 14(cm3 b) 15(cm3 c) 16(cm3 d) 17(cm3Soluo. Aps a rotao foi gerado um slido cujo volume ser a diferena entre os volumes da semiesfera e do cilindro indicados na figura.

.9. (UEL) Um cilindro circular reto e uma esfera so equivalentes (mesmo volume). Se o raio da esfera e o raio de base do cilindro tem medida 1, calcule a rea lateral desse cilindro.Soluo. Igualando os volumes temos:

.10. Um frasco de perfume de forma esfrica, com raio de 4cm, contm perfume em 1/4 de seu volume total. Se uma pessoa utilizar, todos os dias, 2mL, do perfume, das alternativas abaixo, a que indicar o maior perodo de tempo de durao do perfume ser:

a) 16 dias b) 31 dias c) 26 dias d) 54 dias e) 43 dias

Soluo. Calculando o volume do frasco e do perfume no interior dela, aproximando ( = 3, temos:

.11. (ITA) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. Quanto mede o raio da esfera inscrita nesse cone, em centmetros?Soluo. Calculando a geratriz do cone e observando a semelhana dos tringulos OBD e CTD so semelhantes, temos:

.12. (MACK) Qual a razo entre a rea lateral do cilindro equiltero e a superfcie esfrica nele inscrita?Soluo. No cilindro equiltero a altura igual ao dimetro da base que tambm o dimetro da esfera. Temos:

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