Geometria 4to (13 - 17) Corregido

7/25/2019 Geometria 4to (13 - 17) Corregido

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97

Geometra

13ngulosenunaCircunferencia

INTRODUCCIN

A NGULO CENTRAL

El arco de una circunferencia se puede medir en formamtrica, es decir, en su longitud o en forma angular. Esimportante tener medidas angulares iguales, sin embargo,sus longitudes no son necesariamente iguales; parte de estadefinicin se utiliza en los relojes.

La medida del ngulo central es igual a la de su arco

correspondiente.

AOB : ngulo centralx =

Es el ngulo que tiene su vrtice en lacircunferencia, siendo uno de sus lados tangente yel otro secante.

Ax

B

P

A

P

x

B

P

A

B

Q

x

B NGULO INSCRITO

Es el ngulo que tiene su vrtice en la circunferenciay sus lados son dos secantes.

APB : ngulo inscrito

x =2

C NGULO SEMIINSCRITO

x =2

APB : ngulo semiinscrito

Es el ngulo adyacente al ngulo inscrito.

D NGULO EXINSCRITO

x =2

BPQ : ngulo exinscrito

A

x

B

O

R

OBJETIVOS:

a Conocer el concepto de arco.a Conocer las propiedades de arco.a

Definir las propiedades de cuadriltero inscrito o inscriptible.


2/34

98

4to Secundaria

E NGULO INTERIOR

x =+

2

x

B

AC

D

F NGULO EXTERIOR

x

x=

2

x

x=

2

x

x=

2

1) Calcule x si mAB = 80y mCD = 20.

x

A

B

D

C

P

ARCO CAPAZ

Es aquel arco en el cual los ngulos inscritos en este arcoson iguales.

Arco AB : ABes un arco capaz

Teorema 1

+ =180

Resolucin:

Del grfico: m CPD =

m CPD = = 30

pero x + m CPD = 180

x= 150

mAB - mCD280- 20

2

PROPIEDADES

Teorema 2Ejemplo:

A

B

ARCOCAPAZ

2

R

A B

C

Si AB es dimetro:

ACB = 90

A

B

C

Si A y B son puntos de tangencia:


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99

Geometra

Si A, B, C y D pueden ser ubicados en una mismacircunferencia, entonces:

ABCD : INSCRIPTIBLE

B

C

A D

* CONDICI N PARA QUE UN CUADRILTEROSEA INSCRIPTIBLE

a) Primer caso:Todo cuadriltero convexo cuyos ngulos inte-

riores opuestos son suplementarios, es inscriptible.

b) Segundo caso:Todo cuadriltero convexo, cuyo ngulo interior es

igual al ngulo opuesto exterior, es inscriptible.

B

C

A

D

Si += 180, entonces:

ABCD : INSCRIPTIBLE

B

C

A D

P

c) Tercer caso:Todo cuadriltero convexo cuyas diagonales deter-

minan con dos lados opuestos ngulos de igual medida,es inscriptible.

B

C

A D

=

Si A, B y T son puntos de tangencia:

ATB = 90

T

A

B

CUADRILTERO INSCRITO

Es aquel cuadriltero convexo que puede inscribirse enuna circunferencia. Sus cuatro vrtices pueden ser ubicadosen una misma circunferencia.

Si m ABC = m CDP, entonces:

ABCD : INSCRIPTIBLE

ABCD : INSCRIPTIBLE

Teorema 3

Si =, entonces:

A

P

B

Q

C

PROPIEDADES

Teorema 1

APQC : INSCRIPTIBLE


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100

4to Secundaria

Si ABCD es inscriptible, calcula el valor de .

= 45

B

D

A C

A

B

C

D20

10

A

O B

Teorema 2

APQC : INSCRIPTIBLE

Teorema 3

Resolucin:

Como ABCD es inscriptible, entonces:= m ADC = 20+ m BDCPero : m BDC = 10 = 30

BA

O

R

R

x

R

x+

C

Resolucin:

P

A TC

B

G

EF

x

y

2x

2y

59

23

989859

APT issceles: m APT=m ATP=59

AFT: m AFT=180-(23+59) m AFT=98

En el cuadriltero inscrito FEGT:

m EGT=m AFT=98

En el PGT: x+y=180-98

x+y=82

Luego: 2x+2y=164

mPB+mTC=164

2) En el grfico; T y P son puntos de tangencia, adems

mAT+mBC=148. Calcule x.

a) 32 b) 37 c) 42d) 46 e) 52

A

T P

BC

x

Ejemplo:

Demostracin

1) OA ; OC y OB (Radios)2) AOB (Issceles)

OAC (Issceles)

Luego: x+x+=+

2x=

x= 2

1) Segn el grfico, calcula mPB + mTC.

a) 170 b) 150 c) 164d) 160 e) 154

P

A TC

B

GE

F

23

59


5/34

101

Geometra

Resolucin:

A

T P

BC

x

2x

/2R

x/2

x

2

=x- +x2

2x=+

2

x=+

4

x=148

4(1) en (2)

x=37

...(2)

3) Segn el grfico; T, P y Q son puntos de tangencia.Calcule mTQ+mPB.

a) 120

b) 135

c) 150

d) 180

e) 270

Por dato: +=148 ...(1)De la figura:

mTC=2x- m A=x-

mRP=2x m RPT=x

En el TAP; por teorema del nguloexterior:

2

A

T

O B

P

Q

L/2

/2/2

Resolucin:

4) En el grfico;+=150. Calcule x.

a) 130b) 140c) 150d) 160e) 170

Resolucin:

Dato: +=150 ...(1)En el cuadriltero inscrito MNPA se cumple:

m M=m APC=En la circunferencia menor:

m APC=m B=

Finalmente en el ABC:x=+x=150

5) En la figura mostrada, calcula x.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

En primer lugar sabemos que la m ATP=90

Por otro lado: mAT=mTB=74

Entonces la m TAQ=37

Luego en el ATQ:

x=5

Los puntos colineales son:

L,T y P ; T, Q y B

TO es mediatriz de LB, entonces el LTB es issceles:

m L=m B= /2

Pero: mTQ=mQB=

x

P

N

A C

B

M 2

Resolucin:

P

x

74

743

A C

B

T

Q

32

74

37

A

T

O B

P

Q

2

2

+ =90 +=180

Finalmente en el OQB:

mTQ+mPB=180

x

PA C

B

T

Q

32

3

x


6/34

102

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Calcule mBM si ABCD es un cuadrado.

Resolucin: Resolucin:

B

A

C

D

M

Calcule x si O es centro.

Resolucin:

C

OA B

x

40

Calcule x si mAB = 100.

40 xB

A

Calcule x si mAB = 80.

Resolucin:

Ax

O

B


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103

Geometra

Rpta:

5

Rpta:

6En la figura, calcule .

Resolucin:

F

M

A

2

En la figura, si PF es tangente y M es punto

medio de AB, calcule x.

Resolucin:

A

MB

F

x

P40

7. En la figura mostrada, AB = 140 y CD = 80.Calcule x.

AD

B

C

x

8. Calcule m AB si m OAB= 40.

A B

O

70

9. Calcule x si O es centro.

80

O

x


Ox

80


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104

4to Secundaria

11. Calcule .

A E

B

C

D

3

O

7

12. Calcule x.

A

B

C

Q P

x x

30

20

1. Si TP = 4 y AB = 6, calcula m TL.

a) 30 b) 37 c) 45d) 53 e) 60

T

A O

P

L

B


a) 75 b) 35 c) 15d) 55 e) 45

OA B

x

10

3. Si AB = 140 y m APT = 50, calcula x.

a) 25 b) 30 c) 35d) 45 e) 50

A BP

T

x

50

4. Calcule x si m AB= 60.

a) 20 b) 40 c) 50d) 60 e) 80

x

B

A

O


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105

Geometra

5. Del grfico, A, B, C y D son puntos de tangencia.Calcule x.

a) 20 b) 30 c) 35d) 40 e) 45

A B

D C

x3x2x

6. Calcule x+y si AC=2 DE.

a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) N.A.

A

C

D

B

E

P

x

y

40

7. En la figura, calcule x.

a) 60 b) 30 c) 45

d) 80 e) 75

x

2x

8. Calcule x.

a) 100 b) 55/2 c) 95/2d) 45 e) 105

x

105

A B

O

5

9. Calcule .

a) 15 b) 10 c) 30d) 19 e) 20

10. Calcule x.

a) 45 b) 70 c) 90d) 50 e) 60

x

150

100

11. Siendo P , F y Q puntos de tangencia, calcule el valorde x.

a) 35 b) 60 c) 45d) 70 e) 50

P

F

Q

110x

12. En la figura, calcula x si A, B y C son puntosde tangencia.

a) 130 b) 135 c) 150d) 120 e) 140

A D

BC

x

100


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106

4to Secundaria

14Proporcionalidad

OBJETIVOS:

a Conocer figuras que tienen segmentos proporcionales.

a Conocer el concepto de semejanza.a Tener el concepto de propor-cionalidad.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE TALES

Se llama razn de 2 segmentos a la comparacin que existeentre sus tamaos. Cuando una pareja de segmentos tienela misma razn que otros dos segmentos, entonces se diceque la primera pareja es proporcional a la segunda.

A

B

C Q

M L1

L2

L3

L4

L5

N

COROLARIO DEL TEOREMA DE TALES:

CA

B

P Q

A

PQ

C

B

1) Calcule x + 2 si L1// L

2.

CA

B

P Q3

4

12

x

L1

L2

A B10 m

C D6 m

= =AB

CD

10

6

5

3

Tres o ms rectas paralelas determinan en dos rectastransversales o secantes a ellas, segmentos proporcionales.

En el grfico:

Si L1// L2// L3L

4y L

5son secantes

y =ABBC

MNNQ

=AP

PB

QC

BQ

Ejemplo:

De lo estudiado:

Resolucin:

x = 16 x + 2 = 18=3

4

12

x


11/34

107

Geometra

Los lados adyacentes de una bisectriz interior sonproporcionales a los segmentos que se determinan en ellado opuesto.

AC

B

a

M

c

m n

Los lados adyacentes de una bisectriz exterior sonproporcionales a los segmentos que determinan en laprolongacin del lado opuesto.

nM C

B

A

m

ca

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

=c

a

m

n

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

=ca

nm

1) En la figura, calcule CR si AP=9m, PB=3m, AC=8my BQ=QC.

A C R

QP

B

DIVISIN ARMNICADos puntos dividen armnicamente a un segmento si lodividen interiormente y exteriormente en la misma razn.

A P B Q

ma b n

P

B

A C Z

R

n

Q

YM

X

L

TEOREMA DE MENELAO

Se cumple:

xyz=mnl

AP

BP=

AQ

BQ

a

b=

m

n

Recuerda

A

P CQ

B

AP

PC=

QA

QC


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108

4to Secundaria

Resolucin:

Se traza por C una paralela a PR.

A C R

QP

B

6

3

3 a

a

8

9

x

B

Q

C

33

a

a

8 x

6

3

63

=8x

x= 4m

4) Calcule RQ si AC =32m, AP=12m y CQ=22m

Resolucin:

A C

B

PQ

R

A C32

n

12

P

m

R

nm

=1232

nm

=3k8k

x22

=n

n+m

x22

=3k

11k

x= 6m

22x

n

m

5) Segn el grfico calcule BP si BC=12m y AB=5m.

B

A CO

P

Resolucin:

B

A CO

Px

12n

12

5

13n5n

5n

13

12nx

=13n5n

x =60n13

x= 10/3 m

x =6013

1318

5n+13n=13n=13/18


13/34

109

Geometra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3S i L 1/ / L 2 / / L 3 , AB = x + 1 , B C = 3 x+

3, PQ = x y SQ = 12, calcule AC.

Resolucin:

C

B

A P

Q

S

L1

L2

L3

Para qu valor de x, MN//AC?

Resolucin:

x

A

M

B

N

C

4

x + 4 x -2

Calcule BR si BC = 12.

Resolucin:

A C

R

B

Mb b

Calcule CP de la figura si AC = 12 y AB = 3BC.

Resolucin:

A C P

B


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110

4to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Calcule QR si AB = 8, BC = 6 y AC = 7.

Resolucin:

A

R C Q

B

Calcule CD si BP=4 PC; BE= 12 cm; AE=8 cm

y AC=10 cm.

Resolucin:

A DC

EP

B

7. Si AB // DE, BE // DF, AE = 6 cm, y EF = 4 cm,calcule FC.

A E F

D

B

C

8. Dado el tringulo ABC, se traza la bisectriz

interior BD y la mediana BM. Calcule

siAB

AC=

3

5

DMAC

a 3b

b 6a

L1

L2

L3

2

x

9. Calcule x si L1// L

2// L

3.

10 . Ca lcule PQ s i 5BQ = 4QC, PQ //A C y

BP = 4cm.

A C

QP

B


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111

Geometra

2. Calcule MA si MN // AC, AB = 12, BC = 16 yBN = 7.

a) 3/4 b) 27/4 c) 17/4

d) 21/4 e) 13/4

11. Si: ABCD es un romboide:

Calcule "x":

12. Calcule DC si: AT = 4 u y TD = 3u

A

BC

D

E

P

P

4

2

x

AT

F

D C

E

1. Si L1// L

2// L

3, calcule x + 3.

a) 9 b) 10 c) 12d) 15 e) 18

x

8 24

27

L1

L2

L3

M

B

N

A C

3. Calcule PQ si AB = 18, BC = 12 y AC = 20.

a) 20 b) 40 c) 48d) 60 e) 58

A

P C Q

B

4. Calcule b -a si L1// L

2// L

3.

a) 20 b) 9 c) 12

d) 15 e) 11

3

155

a

b

12

L1

L2

L3


16/34

112

4to Secundaria

5. Si AB // DE, BE // DF, AE = 6 cm, y EF = 4 cm,calcule FC.

A E F

D

B

C

a) 4 cm b) 6 cm c) 5 cmd) 9 cm e) 8 cm

a) 5 u b) 6 u c) 8 u

d) 10 u e) 12 u

6. Si QR mide 15 u; calcule NR. Adems G esbaricentro del tringulo PQR.

12. Si: 13(AP) = 3(PC) y PQ = 15 u. Calcule BP

a) 6 u b) 8 u c) 9 u

d) 12 u e) 15 u

P R

NM

Q

G

7. Calcule PQ si 5BQ=4QC; PQ // AC y BP= 8cm

a) 4 cm b) 10 cm c) 8 cm

d) 5 cm e) 6 cm

B

P Q

A C

8. Calcule CD si BP = 4PC, BE = 8 cm, AE = 6 cmy AC = 9 cm.

a) 2 cm b) 6 cm c) 9 cmd) 4,5 cm e) 4 cm

A C D

PE

B

9. En un tringulo ABC, BC= 9. Se traza la bisectriz

AD y la mediana BM, que son perpendiculares.

Calcule BD.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

10. Calcule x-y, si: L1// L

2// L

3.

a) 20 b) 9 c) 12d) 15 e) 16

x 9

6 3

6

y

11. En el grfico, AE = 4 y FC = 6. Calcule AC.

a) 10 b) 12 c) 13d) 14 e) 16

B

A E F C

A

B

C

Q

P


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113

Geometra

15Semejanza

DEFINICINSEMEJANZA DE TRINGULOS

Son aquellos tringulos que tienen ngulos internos igualesy los lados homlogos proporcionales. Son lados homlogoslos que se oponen a los ngulos interiores iguales.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS

En el grfico: ABC PQR

Donde k es la constante de proporcionalidad.

P

Q

R

r

q

p

A C

c a

b

B

=AB

PQ

BC

QR=

AC

PR=k

- Caso 1: Dos tringulos son semejantes si tienen almenos dos ngulos de igual medida.

ABC PQR

C

P

Q

R

A

B

Si m BAC = m QPR m BCA = m QRP

- Caso 2: Dos tringulos son semejantes si tienen unngulo interno igual y los lados que los forman respec-

tivamente proporcionales.

G

E

F

A

B

C

Si m = m y =AB

EF

AC

EG

ABC EFG

- Caso 3: Dos tringulos son semejantes si sus ladosson respectivamente proporcionales.

A

B

C M

N

L

Si = k=AB

MN

BC

NL=

AC

ML

ABC MNL


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114

4to Secundaria

PROPIEDADES

A

B

C

P Q

1)

Si PQ // AC

2)

Si ABC PQR se cumple.

CA

B

ac

bH

Rh

P

Q

Rq

R1

r h1 p

O

A

B

O

A

B

M

N

1

7

P4

Cmo multiplicaban los griegos?

Multipliquemos 7 x 4 segn la matemtica griega.Para esto, construye la siguiente figura:

Finalmente, mide el segmento NB. Sorprendentementees 28.

Cmo puedes explicar esto?La respuesta est en el teorema de Tales.

ABC PBQ

Nota

La semejanza nos dice que sus formas permaneceninvariables, solamente se diferencian por sustamaos.

Sobre OA seala un centmetro y luego 4 cm.Sobre OB seala 7 cm. Luego traza una paralela aMN que pase por P.

=cr

=kap

=bq

=hh

1

=2P2P

=RR

1

ABC

PQR

Este es un diagrama de un eclipse solar tpico. Durante uneclipse solar total, la umbra alcanza a la Tierra. Durante uneclipse anular, no la alcanza. Un eclipse ocurre cuando laLuna pasa por la trayectoria del Sol y la Tierra.

Un eclipse de Sol ocurre cuando la Tierra pasa a travs dela sombra de la Luna. Un eclipse total de Sol ocurre cuando

la Luna est directamente entre el Sol y la Tierra. Cuandoocurre un Eclipse total de Sol, la sombra de la Luna cubresolamente una pequea parte de la Tierra, donde el eclipsees visible. Mientras la Luna se mueve en su rbita, la posicinde la sombra cambia, de modo que los eclipses totales de Solusualmente duran un minuto o dos en un lugar determinado.

En pocas antiguas, las personas le tenan miedo a los eclipsessolares, (an en aquellos tiempos la gente se daba cuentade que el Sol era esencial para la vida en la Tierra). Ahoralos eclipses son de gran inters para el pblico y astrnomossolares. Los eclipses nos brindan una oportunidad de ver a laatmsfera exterior del Sol, la corona solar.

Eclipses Solares


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115

Geometra

1) De la figura, calcule BC si AB=8m, PR=2BP y

AP=AR.

B

A CR

P

Resolucin:

B

A CR

P

x

nn

8a

2a

ABP CBR:

a3a

=8x

x= 24m

Resolucin:

A C

B

x x

x

x

3

1m

x1

=3-x3

3x= 3-x

x=3/4

3

1

2) Calcule el lado de un cuadrado inscrito en un tringuloABC, si la base AC y la altura BH miden 3m y 1mrespectivamente. (Un lado del cuadrado descansa sobre

AC).

3-x

x

Recuerda

A

P CQ

B

AP

PC=

QA

QC

Rectngulo ureo

Un rectngulo especial es el llamado rectngulo ureo.

Se trata de un rectngulo armonioso en sus dimensiones.

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de

uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vrtices del lado

opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta

manera obtenemos el lado mayor del rectngulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que

el lado mayor del rectngulo vale 1+ 5, por lo que la

proporcin entre los dos lados es:

A este nmero se le llama nmero de oro, se representa

por el smbolo y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron

los griegos al calculer la relacin entre la diagonal de un

pentgono y su lado. El nombre de nmero de oro se debe

a Leonardo da Vinci.

En El hombre ideal de Leonardo, el cociente entre ellado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene

por centro el ombligo, es el nmero de oro.

Otra propiedad de este rectngulo es que si se colocan dos

iguales como en la figura de abajo, se forma otro rectngulo

ureo ms grande.

A B C A C

R.

ureo

1+ 51 1

25 2

1 + 5

2


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116

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Los lados de un tringulo miden 20, 26 y 30 cm.Cules son los lados de otro tringulo

semejante de 114 cm de permetro?

Resolucin:

Calcule x en la figura.

Resolucin:

a

3a

3

x

Calcule x si ABCD es un romboide.

Resolucin:

B

12

C

DA

3nO

n

x

C a l c u l e P Q s i B Q = 3 c m ; B C = 8 c m y

AB = 6cm.

Resolucin:

B

A C

Q

P


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117

Geometra

Rpta:

5

Rpta:

6Calcule AB si BP = 4cm y PC = 8cm.

Resolucin:

A C

B

P

Calcule PQ si BC = 9 cm; BP . AC = 36 cm2

Resolucin:

B

A C

Q

P

7. En el tringulo ABC mostrado, calcule AD.

8. Las bases de un trapecio miden 6u y 12 u, y su

altura mide 3u. Calcule la distancia del punto

de interseccin de la prolongacin de los lados

no paralelos a la base mayor.

A

CHB

C

2 10

4

9. Calcule PQ si BC= 6u y AD= 10u.

B

Q

A D

P

C

10. Dado un paralelogramo ABCD, de tal manera

que: 5(AB)=4(BC). En AC se ubica un punto

P. Calcule la distancia de P a AB si la

distancia a AD es 2 u.


22/34

118

4to Secundaria

11. En un tringulo ABC (AB=BC), se trazan lasalturas AH y BM cortndose en Q. CalculeAC si BQ= 12 u y QM=4 u.

12. En un tringulo ABC se traza la medianaAD. Por G, baricentro del tringulo, se trazauna paralela al lado BC que corta a AC en F.

Calcule FG si BC=18 u.

1. Calcule x si ABCD es un paralelogramo.

a) 5 b) 2,5 c) 10d) 7 e) 8

B

Q

C

DA

2k5k

25

x

2. Calcule x en la figura.

a) 2 10 b) 3 5 c) 4 5d) 3 10 e) 5 5

a

3a

3

x

3. Calcule PQ en la figura mostrada.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

A Q2 6 C

B

12P

4. Se tiene un tringulo rectngulo ABC, recto en

B. Sobre BC se toma el punto P y se traza PH

perpendicular a AC. Si AB = 5, AC = 15 y

PH = 3, calcule PC.

a) 9 b) 8 c) 10

d) 12 e) 16


23/34

119

Geometra

6. Calcule PQ si PQ // AC.

a) 7,5 b) 6,5c) 7d) 6 e) 8

5. Calcule la longitud del lado del rombo ABCD.

a) 4 b) 5c) 6d) 7 e) 8

P

A Q

C

D

B15

10. En un tringulo ABC (AB=BC), se trazan las

alturas AH y BM cortndose en Q. CalculeAC si BQ= 12 u y QM=4 u.

a) 6 u b) 8c) 12d) 14 e) 16

A C

B

P Q

5

3

12

8. En un tringulo ABC, se trazan las alturas AM yCN. Calcule BM si AB= 5, BN=3 y BC= 6.

a) 0,5 b) 1,0c) 1,5

d) 2,0 e) 2,5

A C

B

P

9. Calcule ABsi BP= 4 cm y PC= 5 cm.

a) 4 3 b) 2 3c) 8d) 6 e) 4 2

7. Calcule PQ si BC= 10 cm; BP x AC = 40.

a) 3 b) 4c) 5d) 6 e) 8

A C

B

QP

11. En la figura; AB = 36 cm y G es baricentro.Calcule GP.

a) 6 b) 18c) 9d) 12 e) 24

A C

BP

G

12. Calcule BC si AB=16 cm y CD= 36 cm.

a) 20 b) 18c) 30d) 24 e) 25

A

B C

D


24/34

120

4to Secundaria

16 Relaciones MtricasenlosTringulosRectngulos

PROYECCIN ORTOGONAL

La proyeccin ortogonal de un punto viene a ser el pie de laperpendicular trazada por dicho punto a la recta.

P

P A B C D L

A

B D

C

Observacin

AH : Proyeccin ortogonal

de AB sobre AC.

A

B

CH

a2+b2=c2

Teorema II:

a . b=h . c

Teorema III:

h2=n . m

Teorema IV:

a2

= c.mb2

= c.n

Teorema I:

Teorema V:

1h2 =

1a2 +

1b2

BA

C

n mc

b

a

h

: Proyeccin ortogonal deCD sobre L.

CD

: Proyeccin ortogonal deAB sobre L.

AB

: Eje de proyeccin.L

: ProyectantePP

PROPIEDADES

Naci en 1596, en el seno de una familia noble y

acomodada. Se educ desde 1604 hasta 1612 en el colegio de

los jesutas de la Flche. En 1617 se alist como voluntario en

el ejrcito de Mauricio de Nassau, en 1619 en el del elector de

Baviera y en 1621 en el del conde de Bucquoy. Su moderada

fortuna le permiti dedicar su vida al estudio, a la ciencia y

a la filosofa. De 1628 a 1649 permaneci en Holanda. Este

ao se traslad a Estocolmo, donde muri al ao siguiente.

Descartes aplica los mtodos algebraicos al estudio de las

curvas; llegando a establecer la ecuacin de una curva y

distinguiendo curvas geomtricas y curvas mecnicas. Estudi

slo las primeras, aqullas en las que las dos coordenadas, x

e y, estn enlazadas por una ecuacin algebraica.

Ren Descartes

OBJETIVOS:

a Conocer las principales relaciones entre las longitudes de un tringulo.a Conocer las diferentes maneras de medir las longitudes de las proyecciones de segmentos.


25/34

121

Geometra

Observacin

A

B CH

Nota

x2= (AH) (HB)

Bd H

x

P

R

A

= 2 Rr

x2= m . d

BO

x

dmA

BH : Proyeccin ortogonal de ABsobre BC.

R r

1) Calcule a.

a

4 12

Resolucin:

Aplicando el teorema I de R.M. :a2=4(16)

a=8

2) Calcule h.

h

818

Resolucin:

Por el teorema IV de R.M. :h2=18(8)

h=12

3) Calcule h.

Resolucin:

La hipotenusa AC=25(tringulo notable de 37 y 53) porel teorema III de R.M. :

15.20=h.25

12=h

h

A C

B

15 20

4) Calcule x.

Resolucin:

Por el Teorema de Pitgoras:(x-2)2+(x-9)2=x2

x2-22x+85=0x -17 x=17x -5 x=5(No cumple)

x-9x-2

x

Demostracin:

h

n mH

A C

B

h2=m.n

(Teorema IV)

I) m C=m ABH ; m A=m HBC.II) AHB BHC (Semejantes)

= n.m=h.h

h2=n.m

nh

hm


26/34

122

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Calcule x.

Resolucin:

x

9 16

Calcule x.

Resolucin:

x

x-8 x-1

Calcule x si ABCD es un rectngulo.

Resolucin:

4,5 8

x

A

B C

D

Calcule x.

Resolucin:

x3

94


27/34

123

Geometra

Rpta:

5

Rpta:

6 Calcule x, en la figura mostrada.

Resolucin:

Calcule d si las circunferencias son tangentes

exteriores.

Resolucin:

16

d

252 4

x

7. Calcule R si AP=1 y BQ=8.

O B

Q

P

A

R

R

m nA C

B

h

8. Calcule h, en la figura.

9. Calcule AB/AD si EC/AE=7/5.

A C

B

H E

D

10. Calcule BC si AB=PQ=8u.

A

B C

DP

Q


28/34

124

4to Secundaria

D

A C

B

E

F

A C

B

H

E F

P

2

3

6x

5

4

11. En la figura, si AF=1 y DC=8, calcula AC. 12. En la figura, P es un punto interior cualquieradel tringulo ABC. Calcule x.

1. Calcule h.

a) 20 b) 18 c) 16d) 19 e) 13

h

12 27

2. Calcule x.

a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 8

x

9

7

3. Calcule x.

a) 30 b) 21 c) 25d) 23 e) 24

5

29

x7

4. Calcule x.

a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6

24

x15

20


29/34

125

Geometra

5. Calcule a.

a) 12 b) 10 c) 9d) 14 e) 13

a

716

6. Calcule x+y.

a) 20 b) 18 c) 21d) 24 e) 25

12

h

8

y

1

x

7. Calcule r, en la figura mostrada.

a) 4,5 b) 4 c) 3 3d) 3 e) 3 2

8 18

h

8. Calcule h, segn el grfico mostrado.

a) 3 13 b) 9 c) 8

d) e) 9 236 13

13

9. En la figura mostrada, calcula PQ si P y Q sonpuntos de tangencia.

a) 8 b) 6 c) 10d) 6 3 e) 5 2

4

P10

Q

r

18

3r

10. Calcule PH si BH=4, HC=16 y CD=11.

a) 1 b) 2 c) 5,5d) 3 e) 4

HB C

A D

P

11. En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado.Calcule x.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

A

B C

D

x+3x+5 x

12. En un tringulo ABC, se traza la altura BH. Si(AB)2-(BC)2=10, calcula (AH)2-(HC)2.

a) 11 b) 10 c) 12d) 15 e) 20


30/34

126

4to Secundaria

17 Relaciones Mtricasen la Circunferencia

OBJETIVOS:

a Conocer las relaciones entre longitudes de lneas asociadas a la circunferencia.

a Reconocer el desarrollo de cada uno de los teoremas en cada problema.

Teorema de las Cuerdas

a . b = m . n

Si AB y CD son cuerdas, se cumple:

Calcula n + 1.

a n

bm O

A

C

D

B

3

n5

n+2

Por el teorema de las cuerdas:

Si PAB y PCD son rectas secantes a la circunferencia:

A

C

D

B

b

nP

m

a

(n+2)(n) = (5)(3)n2+ 2n = 15n2+ 2n - 15 = 0(n + 5) (n - 3) = 0n + 5 = 0 n = -5 (F) n - 3 = 0 n = 3 (V) n + 1 = 4

Calcula AC si MC = 2 AR = 8

PR = 5

Ejemplo:

Resolucin:

Teorema de las Secantes

a . b = m . n

Ejemplo:


31/34

127

Geometra

Por el teorema de las secantes:

R

P

M

C

A

x (x-2) = 8(3)x = 6

Calcula m (T: punto de tangencia)

A

B

C

Tm-1

5

4

A

B

T a

n

m

P

Por el teorema de la tangente y la secante:

(m-1)2

= 9.4 (m-1)2= 36 m - 1 = 6 m = 7

Resolucin:

A

C

5 P

R8

3

xM

2

(x-2)

Teorema de la Tangente y la Secante

a2 = m . n

Ejemplo:

Resolucin:

Si PT es recta tangentey PAB es recta secante.

Las abejas para almacenar la miel, construyen suspanales con celdas individuales, que han de formarun mosaico homogneo sin dejar espacio vaco.Eso lo pueden conseguir con celdas triangulares,cuadradas y hexagonales. Otra cuestin es quforma es ms rentable para que empleando la mismacantidad de cera, se logre la mayor superficie ycapacidad de la celda.

Veamos cules son las superficies de un tringulo, un

cuadrado, un hexgono y un crculo, todos de igualpermetro: 12 cm.

Las celdas de las abejas

La opcin ms favorable de mayor superficie aigualdad de permetro no dejando huecos entreceldas, es el HEXGONO. Es la empleada porlas abejas.

S = 6,93 cm2

= 4 cm

S = 10,39 cm2

= 2 cm

S = 9 cm2

= 3 cm

S = 11,46 cm2

R = cm6


32/34

128

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3En la figura, calcule PB si AP = PB, PC = 18,DP = 8.

Resolucin:

BA

D

C

P

Calcule BC si AB = 10 y BC = CD.

Resolucin:

E

D

CB

A

En la figura, AB = 9 cm, AD = 8cm y BC = 7cm.Calcule ED.

Resolucin:

En el grfico si AT=3m y CI=4m, calcule

TC.

Resolucin:

A

D

C

B

M

CT

A

NI


33/34

129

Geometra

Rpta:

5

Rpta:

6Desde un punto I a una circunferencia

exterior , se traza las secantes ILD y IHC; en la

prolongacin de IC se toma el punto A y se

traza la tangente AT. Si IL=3u ; LD=CA=5uy IH=4u, calcule AT.

Resolucin:

Se tiene una semicircunferencia de dimetro

AB y centro O, se traza otra semicircunfe-

rencia interior con dimetro AO. Desde B se

traza la tangente BT a la menor. Si AB=6 2m, calcule TB.

Resolucin:

11. En un cuad rado ABCD, se une B conM punto medio de CD, intersecando a lacircunferencia inscrita en P. Calcule BP siel radio de la circunferencia mide 10 cm.

9. En una circunferencia de 15m de radio, doscuerdas se intersecan dando por producto de sussegmentos 200 m2respectivamente. Encuentrala distancia del punto de interseccin al centro.

10. Una cuerda de 14m dista del centro de la circunferencia2m; otra cuerda que se corta con la anterior, dista delcentro 4m y la distancia del centro al punto de inter-seccin de las dos cuerdas es 5m. Luego, uno de lossegmentos en que se divide la cuerda de 14m es:

7. En el grfico, calcule EO si EF. EC= 36 m2y AC=16m

12. Se tiene una semicircunferencia de dimetro AB,en la prolongacin de AB se toma el punto P, y

se traza la tangente PT. Si PT mide igual que el

radio y BP= 2 cm, calcule el dimetro.

8. Desde un puntoA exterior a una circunferencia,se traza la tangente AT y la secante diametralACI. Si AI= 3(AC) y AT=4 3 m, calcule lamedida del radio de la circunferencia.

O

E

A C

F

T


34/34

4to Secundaria

1. Calcule AB si CQ = 10u, DQ = 6u y AQ = 5u.

a) 17 u b) 12 u c) 10 ud) 18 u e) 15 u

A

P

B

C

2. Calcule AP si AB = 4cm y BC = 12 cm.

a) 8cm b) 4 3cm c) 6cmd) 3 3cm e) 6 2cm

QR

D

P

E

3. Calcule PQ en el grfico mostrado.

PR = RQ PD =4 cm

DE =8 cm

a) 6cm b) 5cm c) 8cmd) 4 6cm e) 6 2cm

B

A

D

C

Q

4. Se tiene dos circunferencias secantes en PQ, enla prolongacin de PQ se toma el punto T y

se traza las tangentes TA y TC a cada circunfe-rencia. Si: TA=2 2 u, calcule TC.

a) 2 u b) 2 2 u c) 1 ud) 1,5 u e) N.A.

5. El dimetro de una circunferencia mide 13 cmy divide a una cuerda de 5 cm en partes iguales,calcule el menor segmento determinado en eldimetro.

a) 2 cm b) 1,5 cm c) 1 cmd) 0,5 cm e) N.A.

6. En una circunferencia un dimetro divide a unacuerda en dos segmentos de 6u y 12u. Si la cuerdadista del centro 4u, calcule la medida del radio.

a) 97 u b) 2 17 u c) 7 7 ud) 6 6 u e) N.A.

7. En una circunferencia de 13 cm de dimetro, unarco subtiende una cuerda de 12cm. Calcule lalongitud de la cuerda que subtiende el arco mitad.

a) 52 cm b) 17 cm c) 8 cm

d) 11 cm e) N.A.8. En una circunferencia, las sagitas correspon-

dientes a los catetos del tringulo rectnguloinscrito mide 1m y 2m, si la hipotenusa miden10m. Calcule la medida del inradio del tringulo.

a) 1 m b) 2 m c) 2 md) 3 m e) 3 m

9. Se tiene un segmento AB secante a unacircunferencia en C y E, se traza AP y BQtangentes a dicha circunferencia. Si AC= 3cm;

EB=4 cm y CE= 5 cm, calcule (AP) (BQ).

a) 6 6 b) 8 5 c) 12 6d) 12 e) N.A.

10. Se tiene un cuadrado ABCD, se une A conel punto medio M de CD, intersecando a lacircunferencia inscrita en el punto P.Si AB= 10 cm, calcule AP.

a) 2 5 cm b) 5 cm c) 3 cmd) 2 cm e) 1 cm

11.Desde un punto E, exterior a una circunferencia,se traza las secantes EAB y ECD. Si EA= 2m;

AB= 6m y EC= 1m, calcule la medida de CD.

a) 10 m b) 12 m c) 7 md) 9 m e) 15 m

12. En el grfico, R=2r; AB=8 cm y CD= 4 cm. Calcule r.

a) 1 cmb) 1,5 cmc) 2 cm

d) 32,5 cme) 3 cm

O

A

Rr

D BC

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Geometria 4to (13 - 17) Corregido