Geometria Analítica

Estudo da Reta

Prof° Marcelo Maraschin de Souza

Reta

Considere um ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e um vetor não-nulo 𝑣 =𝑎, 𝑏, 𝑐 . Só existe uma reta r que passa por A e tem a

direção de 𝑣.

Um ponto P(x,y,z) pertence a r se, e somente se, o vetor 𝐴𝑃é paralelo a 𝑣.

Reta

Logo, se o vetor 𝐴𝑃 é paralelo a 𝑣, temos que

𝐴𝑃 = 𝑡 𝑣para algum número real t.

Reescrevendo,

𝑃 = 𝐴 + 𝑡 𝑣

Ou

𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐que denominamos equação vetorial de r, onde 𝑣 é o vetor

diretor e t é o parâmetro.

Exemplo

Obtenha a equação vetorial da reta r que passa por A(1,-

1,4) e tem direção 𝑣=(2,3,2).

Sugira valores para t.

Equações Paramétrica da Reta

Da equação vetorial da reta tem-se

𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1 + 𝑎𝑡, 𝑦1 + 𝑏𝑡, 𝑧1 + 𝑐𝑡

Pela igualdade de vetores temos,

𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡

Estas equações são chamadas de equações paramétricas

da reta.

Exemplo

Uma reta r que passa pelo ponto A(-1,2,4) é paralela ao

plano xOy e tem vetor diretor 𝑣 = (2,3,0). Quais são as

equações paramétricas?

Exemplo

Reta definida por dois pontos

A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A

(ou B) e tem a direção do vetor 𝑣 = 𝐴𝐵.

Exemplo: escrever as equações paramétricas da reta r que

passa por A(3,-1,-2) e B(1,2,4).

Equações Paramétricas do Segmento

As equações paramétricas são as mesmas que para

a reta r, porém 0≤ 𝑡 ≤ 1,

Equações Paramétricas do Segmento

Observação:

As equações vetoriais dos segmentos 𝑨𝑩 e 𝑩𝑨 com

𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏, são

𝑷 = 𝑨 + 𝒕 𝑩 − 𝑨e

𝑷 = 𝑩+ 𝒕(𝑨 − 𝑩)

Equações Reduzida da Reta

Das equações paramétricas da reta, supondo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0,

temos,

𝑡 =𝑥 − 𝑥1𝑎

, 𝑡 =𝑦 − 𝑦1𝑏

, 𝑡 =𝑧 − 𝑧1𝑐

ou seja,𝑥 − 𝑥1𝑎

=𝑦 − 𝑦1𝑏

=𝑧 − 𝑧1𝑐

Escrevendo duas variáveis em função da terceira temos as

equações reduzidas.

Equações Reduzida da Reta

Para a variável x, temos as equações reduzidas da reta,

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛𝑧 = 𝑝𝑥 + 𝑞

O vetor direção para a variável x é dado por 𝑣 = 1,m, p .

Exemplo: seja a reta definida pelo ponto A(2,-4,-3) e pelo

vetor 𝑣 = (1,2, −3), encontre as equações reduzidas da reta

em função da variável x.

Exercício

1) Encontre as equações reduzidas da reta que passa por

B(4,0,-2) e tem direção 𝑣 = 2,−1,1 .

2) Estabelecer as equações da reta que passa pelos

pontos A(1,0,9) e B(4,8,9)

3) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto

A(0,3,-2) e tem a direção do vetor 𝑣 = 2 𝑖.

Ângulo de duas retas

Chama-se o ângulo de duas retas 𝑟1 𝑒 𝑟2 o menor ângulo

de um vetor diretor de 𝑟1 e de um vetor diretor 𝑟2. Logo,

sendo 𝜃 o ângulo, tem-se

cos 𝜃 =𝑣1⋅𝑣2

𝑣1 |𝑣2|, 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝜃 ≤

𝜋

2

Ângulo de duas retas

Retas paralelas

A condição do paralelismo de duas retas 𝑟1 𝑒 𝑟2, é a mesma

de dois vetores 𝑣1 = x1, y1, z1 e 𝑣2 = x2, y2, z2 , segue

𝑣1 = 𝛼𝑣2ou

𝑥1𝑥2

=𝑦1𝑦2

=𝑧1𝑧2

= 𝛼

Retas paralelas

Exemplo 1: Mostre que a reta 𝑟1, que passa pelos pontos

𝐴1(−3,4,2) e 𝐵1 5,−2,4 , e a reta 𝑟2, que passa pelos

pontos 𝐴2(−1,2, −3) e 𝐵2(−5,5, −4), são paralelas.

Exemplo 2: Mostre que as retas 𝑟1 𝑒 𝑟2 são paralelas.

𝑟1: 𝑦 = 2𝑥 − 3𝑧 = −4𝑥 + 5

𝑒 𝑟2: 𝑦 = 2𝑥 + 1𝑧 = −4𝑥

Retas Ortogonais

A condição de ortogonalidade de duas retas 𝑟1 𝑒 𝑟2 (retas

perpendiculares), é a mesma de dois vetores 𝑣1 =x1, y1, z1 e 𝑣2 = x2, y2, z2 , segue

𝑟 ⊥ 𝑟2 ⇔ 𝑣 ⋅ 𝑣2 = 0

Retas Ortogonais

Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não, na

figura do slide anterior temos um exemplo onde as retas

são concorrentes.

Retas Ortogonais a duas retas

Sejam 𝑟1 𝑒 𝑟2 não paralelas, com direções de 𝑣1 e 𝑣2 ,

respectivamente. Toda reta s ao mesmo tempo ortogonal a

𝑟1 𝑒 𝑟2 terá a direção de um vetor 𝑢 tal que,

𝑣1 ⋅ 𝑢 = 0

𝑣2 ⋅ 𝑢 = 0

Ou

𝑢 = 𝑣1 × 𝑣2

Retas Ortogonais a duas retas

Interseção de Duas Retas

Interseção de Duas Retas

Conclusão de cada caso:

1) O ponto de interseção é I(2,-1,3). Logo são coplanares.

Interseção de Duas Retas

2) Não existe ponto de interseção, ou seja, retas não

concorrentes. Neste caso também não são paralelas, logo

são reversas (não-coplanares).

Interseção de Duas Retas

3) 𝑣1 = (1,−3,2) e 𝑣2 = (2,−6,4) são vetores diretores das

retas, e 𝑣2 = 2𝑣1 , logo são retas paralelas e não-

coincidentes (ver que 𝐴1 0,2,5 ∈ 𝑟1 𝑒 𝐴1 ∉ 𝑟2).

Ponto Médio de um segmento de reta

Considere os pontos 𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧2) e 𝑃2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)pertencentes a reta r. Suponha que P pertencente a reta r

divide ao meio o segmento 𝑃1𝑃2.

Então,

𝑃𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2,𝑧1 + 𝑧2

2

Distância de um ponto P a uma reta r

Considere na reta r um ponto A e um vetor diretor 𝑣. Os

vetores 𝑣 e 𝐴𝑃 determinam um paralelogramo cuja altura

corresponde à distância d(P,r).

Distância de um ponto P a uma reta r

Assim,

𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

𝐴 = 𝑣 𝑑Ou

𝐴 = 𝑣 × 𝐴𝑃

Daí, temos

𝑑 = 𝑑 𝑃, 𝑟 = 𝑣 × 𝐴𝑃

𝑣

Retas Coplanares

A reta 𝑟1, que passa por um ponto 𝐴1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e tem

direção de um vetor 𝑣1 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 e a reta 𝑟2, que passa por

um ponto 𝐴2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e tem direção de um vetor

𝑣2 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 são coplanares se os vetores 𝑣1, 𝑣2 𝑒𝐴1𝐴2forem coplanares, isto é, se o produto misto for nulo.

(𝑣1, 𝑣2 , 𝐴1𝐴2)=0

Retas Coplanares

Exemplo:

Mostre que as seguintes retas são coplanares.

Resumo

Estudo de retas:

A. Coplanares: ● Concorrentes: calcula-se interseção;

● Paralelas: ver se são coincidentes;

B. Reversas: verifica-se através do produto misto ou

através de um absurdo.

Exercícios

Estude a posição relativa as retas.

1)

2)

Exercícios

Estude a posição relativa as retas.

3)

4)

Distância entre duas retas

Dadas as retas 𝑟1 e 𝑟2, podemos ter os seguintes casos:

Caso 1) Retas concorrentes. Neste caso: d(𝑟1, 𝑟2)=0

Distância entre duas retas

Caso 2) Retas paralelas. Neste caso: d(𝑟1, 𝑟2)=d(𝑟1, 𝑃1) ou

d(𝑟1, 𝑟2)=d(𝑃2, 𝑟2)

Neste caso, se reduz ao cálculo da distância entre ponto e

reta.

Distância entre duas retas

Caso 3) Retas reversas. Neste caso, as retas não são

coplanares, e determinam um paralelepípedo cuja altura é a

distância d(𝑟1, 𝑟2).

Distância entre duas retas

Caso 3) Lembre que o volume do paralelepípedo é dado

por,

𝑉 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑉 = 𝑣1 × 𝑣2 d r1, r2ou

𝑉 = (𝑣1, 𝑣2, 𝐴1𝐴2)

Assim,

𝑑(𝑟1, 𝑟2) =(𝑣1, 𝑣2, 𝐴1𝐴2)

|𝑣1 × 𝑣2|

Exemplo

Exercícios

Achar a distância entre as retas, nos casos:

1)

2)