Fundamentos da Matemtica

BINMIO DE NEWTON

Formula de binmio de Newton

Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508

Sumrio

Introduo...............................................................................................3

Biografia de Newton...............................................................................4

Binmio de Newton................................................................................5

Nmeros Binomiais.................................................................................8

Biografia Blaise Pascal...........................................................................10

Tringulo de Pascal.................................................................................11

Introduo

Em matemtica , binmio de Newton permite escrever na forma cannica o polinmio correspondente potncia de um binmio . O nome dado em homenagem ao fsico e matemtico Isaac Newton .

Entretanto deve-se salientar que o binmio de Newton no foi o objeto de estudos de Isaac Newton . Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para ( + b) quando o expoente n fracionrio ou inteiro negativo , o que leva ao estudo de series infinitas.

Biografia de Isaac Newton

Isaac Newton (1642-1727) foi cientista ingls. Descobriu a "Lei da Gravitao Universal". considerado um dos maiores estudiosos da histria. Estudou e publicou trabalhos sobre mecnica, astronomia, fsica, qumica e matemtica e alquimia. Tambm descobriu o clculo infinitesimal. H tambm escritos seus sobre teologia. Isaac Newton (1642-1727) nasceu numa pequena aldeia da Inglaterra, no dia 25 de dezembro de 1642. Nasceu prematuro e ficou rfo de pai. Com dois anos foi morar com sua av. Era um aluno mediano na escola, mas desde cedo manifestava interesse por atividades manuais. Fez um moinho de vento, que funcionava e um quadrante solar de pedra, que se encontra na Sociedade Real de Londres. Com 14 anos volta para casa de sua me. Com 18 anos aceito no Trinity College, da Universidade de Cambridge. Passou quatro anos em Cambridge e recebeu seu grau de Bacharel em Artes, em 1665. Tornou-se amigo do Professor Isaac Barrow, que o estimulou a desenvolver suas aptides matemticas. Durante dezoito meses a universidade fica fechada, em consequncia de uma epidemia de peste bubnica, que assolou a Inglaterra e matou um dcimo da populao. Isaac Newton voltou para casa de sua me e durante esse tempo desenvolveu as leis bsicas da Mecnica, estudou os corpos celestiais, descobriu a lei fundamental da gravitao, inventou os mtodos de clculo diferencial e integral, e estabeleceu os alicerces de suas grandes descobertas pticas. Passou o resto da vida cientfica ampliando essas descobertas. Em 1667, volta para a universidade, torna-se professor de Matemtica, sucedendo o professor Isaac Barrow. Dedicou-se a pesquisar os raios luminosos. Chegou a concluso que a luz o resultado do veloz movimento de uma infinidade de minsculas partculas emitidas por um corpo luminoso. Ao mesmo tempo descobriu que a luz branca resulta da mistura das sete cores bsicas. Inventou um novo sistema matemtico de clculo infinitesimal, aperfeioou a fabricao de espelhos e lentes, fabricou o primeiro telescpio refletor, descobriu as leis que regem os fenmenos das mars, numa poca que as atividades econmicas dependiam da navegao martima. Em 1684 o famoso astrnomo Edmund Halley visitou Newton a fim de debater as teorias de Kepler, sobre os movimentos planetrios. Halley comprovou que Newton elaborara detalhadamente uma das mais fundamentais de todas as leis, a "Lei de Gravitao Universal". Halley convenceu Newton a publicar suas descobertas e prontificou-se a pagar todos os custos. O resultado foi intitulado "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", publicado em 1687, em trs volumes, escrita inteiramente em latim, a lngua cientfica da poca. Nessa obra tambm tratou questes sobre presso atmosfrica, velocidade do som e a densidade do ar. Fez previses para o fim do mundo baseadas nas escrituras bblicas, especialmente, no livro de Daniel, e que o acontecimento seria no ano de 2060, do calendrio gregoriano. Isaac Newton fez fortuna na Bolsa Londrina. Em 1699 a Rainha Ana nomeou-o diretor da Casa da Moeda. Foi eleito duas vezes membro do Parlamento. Em 1703 foi eleito presidente da Sociedade Real, que congregava os mais clebres pensadores da poca, tornando-se vitalcio. Foi scio correspondente da Academia Francesa de Cincias. Em 1705, a Rainha lhe concede o ttulo de "Sir". Foi o primeiro cientista a receber tal honra. Isaac Newton faleceu em Londres, no dia 20 de maro de 1727. Seu funeral foi grandioso. Seis nobres membros do Parlamento ingls carregaram seu atade, at a Abadia de Westminster, onde repousa at hoje seus restos mortais. Em sua homenagem foi erguida em Cambridge, uma esttua com os dizeres: "Ultrapassou os humanos pelo poder de seu pensamento".

Binmio de Newton

Nos inteiros a multiplicao de termos iguais, chamada de potenciao, em geral definida por meio de induo:

Dados no nulos e m,n naturais quaisquer, valem as seguintes propriedades.As provas seguem imediatamente das definies acima e do princpio de induo.

Outra operao nos nmeros naturais que tambm frequentemente definida porinduo fatorial. Para cada inteiro no negativo n , definimos o fatorial de n , denotado por n!,da seguinte forma:

Teorema 1: Sejam dados n inteiro positivo e conjuntos A e B com n elementos. O conjunto detodas as bijees f : A B tem n! elementos. A afirmao bvia quando n =1. Suponha que a afirmao seja verdadeira para conjuntos com k elementos, vamos provar que o resultado se mantm para conjuntos com (k +1) elementos. Para um elemento fixado, existem (k +1) possibilidades de escolha para aimagem de a por um bijeo. Para cada uma dessas escolhas, existem k ! bijees f : AB(pela hiptese de induo). Segue que o nmero total de bijees (k +1) . k ! = (k +1)!,concluindo assim a prova do teorema. O fatorial fundamental no binmio de Newton. Para m n inteiros no nulos,Definimos

Afirmamos que para m inteiro no negativo dado e n inteiro tal m n , tem-se que um inteiro. A idia da demonstrao usar induo sobre m . Se m = 1, ento aspossibilidades para n so n = 0 ou n = 1, donde

Suponha que a afirmao seja verdadeira para m , vamos provar que tambm vale para

(m+1) .De fato, uma conta simples mostra que:

Pela hiptese de induo, as parcelas so inteiros, donde inteiro. Isto termina a prova do teorema.

Agora estamos prontos para apresentar o teorema do binmio de Newton. Embora oresultado seja vlido para vamos enunci-lo apenas para o caso

Teorema 2 (Binmio de Newton) Dados inteiros a e b e um natural n , tem-se

Demonstrao: A igualdade claramente verdadeira para n = 1. Suponha que a afirmao sejaverdadeira para n e vamos provar que tambm verdadeira para (n + 1) . Como

A primeira soma pode ser escrita como:

A segunda soma pode ser escrita como:

Assim, temos que

Concluindo desse modo a prova do teorema.

Algumas propriedades importantes decorrem do Binmio de Newton. Vejamosalgumas imediatas.

Tomando a = b = 1 no binmio de Newton obtemos que:

Tomando a = -b = 1no binmio de Newton obtemos que:

Um resultado importante que decorre do binmio de Newton a desigualdade deBernoulli.

Teorema 3 (Desigualdade de Bernoulli) Se x -1 e n natural, ento vale a seguintedesigualdade(1+ x) 1+ nx .

Demonstrao: A prova pode ser feita por induo sobre n . Notemos que a desigualdade severifica claramente quando n = 1. Por outro lado,

NUMEROS BINMIAIS:

Nmero binomial todo nmero da forma:

n e o numerador e p e o denominador do binomial

Para p = 0 ,

Para p = 1,

Para p = n,

Exemplos:

Binomiais consecutivos

Dois binomiais so consecutivos se tem mesmo numerador e denominadores consecutivos.

so binomiais consecutivos.

so binomiais consecutivos

so binomiais consecutivos.

Propriedade (Relao de Stifel)

A soma de dois binomiais consecutivos resulta num binomial cujo numerador e uma unidademaior que o numerador dos binomiais somados, e cujo denominador e o maior dos denominadoresenvolvidos na soma.

Binomiais complementares:

Dois binomiais de mesmo numerador so complementares se a soma de seus denominadoresresulta o numerador.

so complementares

so complementares.

Propriedade:

Binomiais complementares so iguais.

Igualdade:

Biografia Blaise Pascal:

Blaise Pascal (1623-1662) foi um matemtico, fsico, filsofo e escritor francs. O seu pai era diretor da repartio de impostos da cidade de Clermont-Ferrand e Pascal, aos 19 anos, construiu a primeira mquina de calcular do mundo para ajudar o pai nosclculos dos impostos. A mquina de calcular de pascal era feita por uma srie de engrenagens , a cada uma das quais correspondiam os nmeros de 0 a 9. As rodas estavam concebidas de tal forma qua a cada dez voltas da primeira correspondia uma volta da segunda , a dez voltas da segunda correspondia uma da terceira e assim por diante. O sistema inventado por Pascal foi sendo aperfeioado e ainda hoje utilizado- por exemplo, nos conta-quilmetros mecnicos . O nome de Pascal esta tambm associado a um arranjo triangular de nmeros que se reveste de propriedades notveis e que de h muito era conhecido dos matemticos . Este triangulo aritmtico aparece pela primeira vez em textos indianos do sculo III A.C. , ou seja , 200 anos antes de Pascal. Surge tambm em obras do matemtico rabe Alkhayyami (c. 1150 d.C) , do chins Yang Hui (c. 1250 d.C.) e do italiano Tartaglia (1556). No entanto , o estudo exaustivo que pascal fez deste triangulo , no mbito da teoria das probabilidades , fez com que o seu nome lhe ficasse doravante associado.

O Tringulo de Pascal

Arranjando todos os coeficientes binomiais em um esquema triangular:

Podemos substituir cada coeficiente binomial por um valor numrico, para obter uma outra verso do Tringulo de Pascal

Identidades do Tringulo de Pascal

Uma propriedade do Tringulo de Pascal que todo nmero no Tringulo (exceto os 1s na fronteira) a soma dos dois nmeros imediatamente acima dele.

Provando a identidade abaixo usando a propriedade visto acima :

Assim, possvel substituir :

Por conseguinte obtm-se a soma:

que 0, pois o segundo termo em cada parnteses se cancela com o primeiro termo do prximo parntese.

O que ser obtido se forem adicionados e subtrados os coeficientes binomiais de forma alternada?

Aplicando o mesmo truque anterior, obtm-se :

Aqui todos os termos se cancelam exceto o ltimo:

Qual a soma dos quadrados dos elementos em cada linha?

Pode-se reconhecer esses nmeros como os nmeros na coluna do meio do tringulo de Pascal.

Da os exemplos acima sugerem a seguinte identidade:

claro que os poucos experimentos acima no provam que essa identidade sempre se verifica, portanto necessria uma prova.

Comece com o primeiro elemento na n-sima linha, e some os elementos andando para baixo diagonalmente para a direita.

Esses nmeros so exatamente os nmeros na prxima linha diagonal da tabela.

Se desejamos por isso numa frmula, obtemos:

Para provar essa identidade, pode-se usar induo sobre k.

Aluno : Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508

Bibliografia http://www.dma.uem.br/kit/arquivos/arquivos_pdf/binomionewton.pdfhttp://produvasf.webs.com/Mat_em/BINOMIO_DE_NEWTON.pdfhttp://matspc.no.sapo.pt/Pascal.PDFhttp://www.brasilescola.com/matematica/binomio-newton.htmhttp://www.cultura.ufpa.br/dicas/biome/biopdf/biotri.pdfhttp://www.cin.ufpe.br/~gdcc/matdis/aulas/binomial