GUIA-CAL--I-- 2015-II

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1/21

LÍMITES DE FUNCIONES REALES

I. Verificar los siguientes limites

1

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2/21

1.

3 2

2xlim (x x x) = 2→

− − 2.

3 2

2xlim (x 6x 9x 2) = 0→

− + −

3.

3 2

1xlim (2x 4x 3x 3) = 8

→− − − −

4. 2x3 2lim (x 6x x 19) =

−→+ − − −1

6.

2

2x 0

x 2x 2lim 2

x 2x 1→

+ +=

− + 5.

2

x 1

3x 2x 1lim 4

x 1→

− −= −

II. Usando roiedades calcular los siguientes l!mites

1.

" 2

x 1

x 1 x xlimx 1 x 1→

− −+ − − 2.2x 2

x 2 x 2limx 4→

− + − −

3.

( ) ( )( )

2 2

22x 2

6 x 2x x 3 (x 1)lim

x 3 x 1→ −

− − − − +

− − + 4.

3 3

x 8

2# x x 4lim

x 8→

+ − −

".

3

x 1

x x x 1lim

x 1→

+ − −

− 6.

3

2x 1

x 1lim

x 1 x 1→

−

− + −

$.

2 2

2x 4

x 2x 6 x 2x 6limx 4x 3→

− + − + − − + 8.

3

4x 1

x 1limx 1→

− − ,

3x 64

x 8limx 4→

− −

9.

a 1 a 2 a 3 a 4

2x 1

ax (a 1)x 2ax xlim

1 x

+ + + +

→

+ + − −

− 10.

3

x 10

x 1 2x#$lim

x 9 cos(x 10)→

− − − − −

11. %i2f (x) x 2& g(x 1) 2x a= + + = + ' determinar los alores de a de manera ue

x 0lim f (g(x)) 11.→

=

12. %i

2x mx 3x 3mf(x) x m

− + −= − ' *alle los alores de m tal ue

2

x mlim f (x) m 1$.→ = −

13. %i

3 2 2

2

x 2a x axg(x)

2ax x

− +=

+ + x 1lim g(x) 2a 1"→

= −' *alle' a , 0.

14. %i§ ¨2 (x) x 2x 3 + ( *)(x) x 3= − + = +o

' *alle el alor de m cuando

( )

x 2lim mx *(x) 2

−→+ =

.

15. Si2f (x) x 2& g(x 1) x x= − + = − ' *alle' x 2

(f g)(x 1)lim

(g f )(x 2)→

+ +

o

o

III. Límites Laterales

-scri/ir texto -scri/ir texto -scri/ir texto

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3/21

16.

2 x "

x "' x "

2 x 4%i f (x) ' calcular lim f (x)

x 12x 3"' x "

x "

→

− ≥ − −= − + −= = &

2x 3 ' x 1

*(x) 2 ' x 1'

$ 2x ' x 1

en x 0' x 1

+

= =

3.

1' x 1

x

f (x) x ' 1 x 1

1' x 1

x

en x 1 ' x 1

≥

= − − ≤ ≤ < −

= = −&

V. CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES

1. studiar la continuidad' determinar los untos de continuidad + los untos dediscontinuidad de cada una de las siguientes funciones.


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4/21

1.

22 3x ' x 0 x 1 ' x 1f (x) & g(x)

x 1 ' x 0 2x 1' x 1

− + ≤ + < −= = + > − + ≥ −

2.

x ' x 1x 1 ' x 1

*(x) & (x) 1' x 12 2x ' x 1

x

≤ − > = = >− ≤

3.

2

tg(2x)' x

2x 4 ' x 04ctg( x)

f (x) & g(x)4 4senx ' x 0x 0." ' x

4

π ≠ π + ≤−

= = > π =

4.

2 2

2 2

(x 1) x xf (x) ' en x 1' x 1& g(x) ' en x 0' x 1' x 0' x 1

x 1 (x 1) x

− −= = = − = = = ≠ ≠

− −

".2 21 x ' x 1 x ' x 1

f (x) 1 x ' x 1' en x 1' g(x) 4 ' x 1 ' en x 1'

x 3 ' x 1 1 x ' x 11

− < >

= − > = = = = − − = − < −

6.2

x 2 ' 2 x 1 1 ' x 3

f (x) 1 ' 1 x 1 ' g(x) x 1 ' 0 x 2 ' en x 0' x 2

x 3 ' 1 x 2 " x ' 2 x 2 3

+ − ≤ < − − < −= − − ≤ < = − ≤ < = =

− ≤ ≤ − ≤

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5/21

23 2

2

2

3 2

x 4 x ax x / ' x 1' x 2x 2

2/x x 3f (x) g(x) ' 1 x 1

x 1a ' x 2

ax 4x /x 1 ' 1 x 3

− + + + ≤ −≠ − − − = = − < ≤ + = − + + <

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6/21

3. 7eterminar el alor de a %i A

( ) ( )2 2x x

i) lim x (a 2)x 1 (x 1) 4 & ii) lim x ax x 2→ ∞ → ∞

+ − + − − = + − =

4.

2

x

2lim 2x 1 sen( )sen( )

x x→ ∞

π π− π + π +

". ( )

2

x x

x 1 4x 1Bn 4x 3 Bn 2x 4lim 6x & lim

3x 3 : 2 6x 3 x x x 1→ ∞ → ∞

+ − ++ + ÷−

÷+ + − +

6.

3 23 3 2 2

x x

x 1lim x 2x 3 x 4x 1 & lim

x 1→ ∞ → ∞

++ + − + +

+

V. alcular los siguientes l!mites

1.( )

3

3

x x2 3

1 x2

2 3 3x x x

2x x 2x 2x 3 x 2x 3

lim & lim x 4x 2x & limx 3x 2 x 4

+−

→ ∞ → ∞ → ∞

+ − + + +

+ − ÷ ÷ ÷ ÷− + +

.( )

4 23

4x 0 x C

2x 2 x x1

sen 3x x 3x 2x 1

lim 1 sen3x & lim2x "x 4→ → ∞

− − + + +

+ ÷ ÷+ +

!.

( ) ( )

1x sen

3x2 2

2x 0 x

Bn 1 x x Bn 1 x x 1lim & lim

x 116x sen( )

4x

÷

→ → ∞

÷+ + + − + ÷ ÷ ÷

".

1ctgx

tgx x

2x 0

(1 2x)lim

(1 senx)→

+ ÷ ÷+ &

( )x

xlim x x 1 1→ ∞

− + +

DERIVADAS # SUS A$LICACIONES

I. 7eterminar la deriada de las siguientes funciones reales

1.

1( ) ( ) (1 )

2

a x b x f x Ln f x Ln x

ab a x b x x

+= = + − ÷ ÷

− +

2.

1( )

1

x f x

x

−=

+

2

2

1( ) 0' 1

1

x x f x Ln en x x

x x

+ − ÷= = = ÷+ +

3.

% a

&'%( % a L) % % a

=

÷


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7/21

2

2

1( )

= − ÷

f x x

x

2

2

1 + ÷

x

x ,

3 1

( ) 1 ( ) f x tg x x

= + +

".3 3( ) cos= + + f x senx senx

6. ( )

3( ) 1= + − f x x x

$. %i

2( ) " 3 8 f x x= − − & *alle (2)′ f

8.

3 1

( ) ( 1)1

−= −

+ x

f x x x ;

3( ) 4 f x x x= +

9.

( ) arc − = + ÷ +

a x a f x tg Ln

x x a ;

" 4 3

2

2 3( )

x x x f x

x

+ −=

10.( )2

1( ) 2 1

3

+ = − − ÷+

x f x x x

x ; %i2( ) 1 f x x x= + + ' *allar (0) f ′

11.%i

2( ) " 3 8 f x x= − − & *alle (2) f ′

12. %i

3( )

3

x f x g

x

− = ÷+ +

149

$ g

′ = ÷ ' *alle (4) f ′

13. %i

1( )

1

x f x g

x

− = ÷+ +

3"0

" g

′ = ÷ ' *alle (4) f ′

14. 7ado

32 14

x f x

x

= + ÷− ' *alle (2) f ′ .

1". %i2

( ) ( 4 1) f x g x x= + + tal ue (1) 40' (1) 18 g g ′′ ′= = ' *alle (0) f ′′ .

7ado la cura! !

% * !m%* +, = *alle el alor de m si

*

% ealuado en el unto

D(3'2 ) es igual a 1.

II. Ealle la deriada

dy

dx iml!citamente en los untos indicados

1.

33 2

43

2 " " 0 & 1 ' 1 ' (1'1)+

− + + − = = = − =−

y x x x y x y x y y en

x y

2. ( ) cos( ) 0 sen xy xy+ =

' en los untos donde exista.

3. '− = − x y arcsenx arcseny

ye xy e+ = ' si 0 x =

4.

2 2arc ' cos 0= − − = x y x

tg Ln x y e seny e x y


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8/21

". %i

2( )

11

′ = ∧ = ÷+ +

x x f x y f

x x

6.

2x 2

2x

e 1 x 1%i f (x) + f Bn

xe 1

− − ÷′ = ∧ = ÷+

$.

2 1 1( )

1 1

x xSi f x y f

x x

+ − ′ = ∧ = ÷+ +

III. naliar la diferencia/ilidad de las siguientes funcionesA

1.

2 1' 2( )

2 1' 2

− ≤= + >

x x f x

x x' en 2 x = '

23 ' 2( )

12 12 ' 2

− ≤= − >

x x f x

x x' en 2 x =

2.

21' 0 2

( )4 2' 2

− ≤

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9/21

( )1

( ) '01

+=

− senx

f x en el punto senx

π

. Ealle las ecuaciones de las rectas tangentes a la curaA2 2

2 2 6 0+ − − − = x y x y en los

untos de intersecci5n de >sta cura con la recta 0− = x y .

!. Ealle la ecuaci5n de la recta tangente a la curaA2

1 y x x= + + en el unto (0'1).

". Ealle la ecuaci5n de la recta tangente a la curaA ( ) 2

1 x

y x e= + en x = 0

5. alcular las ecuaciones de las rectas tangente + normal de la curaA2 2

2 4 4 3 0+ − − + = x y x y en el unto cu+a ordenada es& 2= y .-. Ealle la ecuaci5n de la recta tangente + normal de la grfica de la curaA

(arc ( )) 2+ = x

tg tg Lny y en el unto (2'1) P .

. Verificar la recta tangente de la curaA ( ) 0− = senx

y senx en el unto( )'12π es aralela

al ee de la a/scisa.

/. 7eterminar todos los untos so/re la grfica

4 3 2( ) 4 8 12 10

= − − − + f x x x x x

tal ue la

recta tangente en dic*os untos es aralela a la recta 12 " 0+ − = x y + determinar lasresectias ecuaciones de las rectas tangentes.

0. 7eterminar todos los untos so/re la cura3

( ) 1= − + f x x x

tales ue la tangente a la

cura es dic*os untos sea erendicular a la recta cu+a ecuaci5n es 2 12 0+ − = x y .dems o/tener las ecuaciones de las tangentes.

1+. Ealle la ecuaci5n de la recta normal a la elise2 2

4 9 40+ = x y ' si la endiente de la

recta tangente es

2

9

− .

11. 7eterminar la ecuaci5n de la recta tangente a la cura2

+ = ÷ ÷

n n x y

a b en el unto( ' ) P a b .

1. Ealle la ecuaci5n de la recta tangente a la cura

"

2+ =

x y

y xen el unto

( )8'2 P .

1!. Ba recta L asa or el unto ( )2$'1

+ es normal a la grfica de la funci5n2

f(x) = x C 4 en

el unto

( )( )0 0' P x f x. 7etermine la ecuaci5n de esta recta normal.1". 7eterminar los alores de a' b + c de modo ueA

1".1. 2

f(x) = x # ax # / +2

g(x) = x # cx

tiene la misma recta tangente en el unto

( )D 2'2


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10/21

1".. 2

f(x) = x # ax # / +3

g(x) = x c− se intersecan en

( )1'2+ tiene la misma recta

tangente en dic*o unto

15. l arco de una entana ara/5lica de un deartamento est descrita or la ecuaci5n2+ x ax / 0− − − = . 7eterminar a + / de modo ue el arco tenga como tangente a la recta

B A + 2x 0 en el unto (2'4).− =

V. Ealle los interalos en donde cada una de las siguientes funciones son crecientes o

decrecientesA

a.

3 21( ) 3 33

= − − + f x x x x& 3 "− ≤ ≤ x

/.3 2

( ) 12 36 2"= − + − f x x x x c.

3 2( ) 2 1= − + − f x x x x

d.2

1( )

1

+=

+

x f x

x e.2( ) 6 6 12= − − f x x x

f.

2 $( )

2 1

+ +=

+ x x

f x x &

1

2> − x

VI.1. Usando el criterio de la segunda deriada *alle los mximos + los m!nimos' concaidad

+ untos de inflexi5n ara cada una de las siguientes funcionesA

1.1.

3 21( ) 2 9 44

= − + − f x x x x

( )

( )

( )

( )

2 3

2" 3

2 2 1 2

2

3 2 3 2

24 3 2

3

2 2

&

1.2 ( ) 3 20 16 1.3 ( )

11.4 ( ) 1." ( ) ( 3)( 1)

11

1.6 ( ) 6 9 6 1.$ ( ) 12 36 2"6

1.8 ( ) ( 6)( 1) 0 $

21.9 ( ) 3 1 1.10 ( )

3

31.11 ( ) 2 4

2

−

= − + =

+= = + +

+= − + + = − + −

= − − ≤ ≤

+= + − + =

+

= − − +

x

x f x x x f x

e

x f x f x x x

x

f x x x x f x x x x

f x x x x

x f x x x x f x

x

f x x x Ln x x x

. 7eterminar los n;meros cr!ticos de la funci5n ( ) ( )1 3

2( ) 4 2 3= − − f x x a x a!. 7eterminar los alores de a' / + c de manera ue la funci5n definida or

4 2f (x) ax /x c'= + + tenga extremos relatios en x = G + ue la ecuaci5n de la rectatangente a la grfica en el unto x = − 1 sea 2x H + # 4 = 0.

". %ea3 2f (x) ax /x cx d= + + + una funci5n. Ealle los alores de a' / ' c + d ara ue


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11/21

#

I

J

* " 2 %

KectnguloI

L

2+ 9 x= −

J

?raecio

#

IJ

%3!* -

Kectngulo

#

IJ

21+

x 4= +

D4s tri)67l4s is8s9eles 94)6r7e)tes

a) f(x) tenga un unto de inflexi5n en D(C1:2' 49:12) + sea tangente a la recta + = 3 H 2x

en M(0'3).

/) %ea tangente al ee I en (2'0) + tenga unto de inflexi5n en (0'4).c) Dara ue f tenga un extremo relatio en (0' 3) + la grfica de f un unto de

inflexi5n en (1'C1).

d) Dara ue f(x) resente extremos relatios en (1'2)' (2'3).

5. %ea3f (x) ax /x 9= + + . Ealle los alores de a + / ara ue la funci5n tenga m!nimo

de " en 1.

VII.

1. 7eterminar dos n;meros no negatios cu+a suma sea 1" tales ue el roducto de unocon el cuadrado del otro sea mximo.

. Un terreno rectangular ue tiene 1 "00 m2 a a ser cercado + diidido en dos arcelasiguales mediante una cerca adicional aralela a los dos lados. ncontrar las dimensiones

del terreno ue reuiere la menor cantidad de cerca.

!. Un granero desea construir un corral rectangular de 128 000 ies 2 con un lado a lo largode un acantilado ertical. Ba cerca cuesta 1."0 d5lares or ie en el lado del acantilado +

2."0 d5lares or ie en los otros tres lados. ncuentre las dimensiones del corral de

manera ue el costo de construcci5n sea m!nimo.

". alcular las dimensiones del rectngulo (inscrito) de mxima rea' cu+a /ase est so/reel ee I + los otros dos >rtices estn en las rectas x H 2+ = 0' e x # 3+ H 1" = 0.

5. 7e las figuras' encuentre las dimensiones de las regiones som/readas de forma ue surea sea mxima.


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12/21

20 ie10 ie

30 ie

alam/re

-. ncontrar dos n;meros no negatios cu+a suma sea 20 + tales ueAa) Ba suma de sus cuadrados sea m!nimo /) l roducto del cuadrado de uno + el cu/o del otro sea un mximo.

. ncontrar las dimensiones del rectngulo de rea mxima ue uede inscri/irse en la

elise

2 2

2 2

x +1

4 3+ =

.

/. Ba distancia M = JD (en el ac!o) ue cu/re un ro+ectil lanado con una elocidad

inicial 0 desde una iea de artiller!a ue tiene un ngulo θ resecto al *orionte se

determina or

20 sen2

g

θ

(g es la aceleraci5n de la graedad). 7eterminar el ngulo θ

en el cual la distancia M resulta mxima dada la elocidad inicial.

0. %e in+ecta aire a un glo/o esf>rico a ra5n de 20 ies3:min. F u> ra5n aria el radiocuando mide 3 ies<

1+. Una muer ue trota con raide constante de 10 Nm:* asa or el unto D *acia el norte.7ie minutos ms tarde un *om/re ue trota a ra5n de 9Nm:* asa or el mismo unto

*acia el este. Fun rido ar!a la distancia entre los trotadores 20 minutos desu>s de

ue el atleta asa or D<

11. %u5ngase ue el etr5leo derramado or un /uue cisterna con una fuga se esarcesiguiendo su atr5n circular cu+o radio se roaga con una raide de 2m:seg. Fon u>

raide est incrementndose el rea del derrame cuando su radio es 60m<

1. 7os autom5iles' uno de los cuales se dirige *acia el ste a ra5n de 90 Nm:* + el otro'*acia el sur a ra5n de 60 Nm:*' iaan *acia una intersecci5n de dos carreteras. F u>

raide se acercan en el instante en ue el rimer autom5il se encuentra a 200m + el

segundo a 1"0 m de la intersecci5n<

1!. 7os ostes de antenas de ?V se encuentran en un tec*o' afianados mediante alam/ressuetos en un mismo unto entre los ostes. Ver figura. Fn d5nde de/e localiarse el

unto ara minimiar la cantidad de alam/re emleado<

1". Un r!o tiene un codo de 13"O(er figura). Un granero desea construir un corral /ordeadoen dos lados or el r!o + or los otros dos or 1 Nm de alla . Eallar las dimensiones

del corral de rea mxima.


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13/21

13"O

15. Una guila ue uela *acia el oeste a 30 Nm:* asa so/re la torre de una iglesia en elinstante t = 0. Un *alc5n ue uela *acia el sur a 24 Nm:* asa so/re la torre 10 minutos

desu>s. Bas dos aes uelan a la misma altura constante. Ealle la ra5n de cam/io de la

distancia entre ellas 20 minutos desu>s ue el *alc5n asa or la torre.

1-. 7os untos D + M arten simultneamente del ee L. Uno recorre la curax2 H 4+ H 8 = 0' sus a/scisas aumentan N unidades or segundo. Fon u> raide ar!ala distancia P ue los seara cuando el alor de x es 4' "' etc.

INTE:RALES INDEFINIDAS

I. alcular las siguientes integrales

1.

2 3 4

2 2 2 2

12 14x 12x 4x x dx x dxdx & &

4x 4x " -x x ln (x ) x x 6

+ + ++ + + + +∫ ∫ ∫

&

2. 2 2

cos x senx dxdx %en x 1 os x dx

1 2senxcos x 12%en x 3os x

++

− +∫ ∫ ∫

3. ( )2

3

3 4&

3 x x dx x 1 dxdx &

4x x x1 ln x x

+− ÷ ÷ +

∫ ∫ ∫

4.

2

2 2 3:23 3

x 1 cos x 2x 3dx & dx & dx

6 "senx sen x (x 2x 3)x 3x 6

+ −− + + −+ −∫ ∫ ∫

".

22

2 3

sec x tg x sec x 1dx & x dx & x 2x 1 dx

(sec x tgx) x

+ + − ÷+ ∫ ∫ ∫

6.

22 tg x

32 2&

Bn x x 4 x 1 sen x edx dx & dx

cos xx 1 4Bn x Bn x x 4

+ + +

− − +∫ ∫ ∫

II. I)te6ra9i8) ;4r s7stit79i8) al6ebrai9a


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14/21

1.

2

2 2 2 2x

Bn (x x 1) x 1dx & dx & dx

1 x x 3 x 3 e 1

+ +

+ + − − −∫ ∫ ∫

.

3 2 2

2 sen x 3

2

sen x Bnx cos x xx e cos x dx & dx & dx

x Bnx 2 1 x

+ +

+ +∫ ∫ ∫

3.

( )2x

32x 2

e 1 rc%en x1 "x x $ dx & dx & dx

e 1 x x

−+ +

+ −∫ ∫ ∫

4.( )x 2 2 3 "4x (1 Bn x) dx & x Bn(1 x ) dx & x 3 x dx+ + +∫ ∫ ∫

( )( )

2

2x

2

Bn x x 1x " 4

". dx & dx & x Bnx 1 dxx 1x "

+ ++ −+

++∫ ∫ ∫

6.

22 2 3 3

2

x dxdx &

x1 x (1 x ) (x x ) Bn1 x

+ + + + ÷+

∫ ∫

$.

$

2 4 2 3:2(x a) (x /) cox sen xdx ' a /' 0 & dx

(x a)(x /) (sen x sen x cos x)−− − ≠ >

− − + +∫ ∫

III. I)te6ra9i8) ;4r ;artes

1.

2

2

x 2rctg x dx

x 1

−+∫

'

( )( )

x 2

2

e 1 xdx

1 x

+

+∫

,( )

arctgx

3 22

edx

1 x+∫

,

.

( )2x 2 x 1e sen e dx− −

∫

arcsen xdx

1 x−∫ ,

1 xxBn dx

1 x

− ÷+ ∫

,

!.

2x

x

e dx

1 e+∫

,

2

2

x 2arctgxdx

x 1

−+∫ , ( )

2cos Bnx dx∫

". 4

cos

2 −∫

senx xdx

sen x , ∫ n x Lnxdx

,

( )1

1

+

+∫ Ln x

dx x ,

5.

1

3∫ xe

dx x ( )

"

6 92 "+ +∫ x x x x e dx , ( )1 cosSen xe x x dx+∫ ,

-.2∫ x xe sene dx ( )∫

x Ln x dx

,

3

2

cos

cos

− ÷ ÷

∫ senx x x senx

e dx x

,


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15/21

. ( )2

1

x xedx

x+∫

,

( )1+∫

xe xLnxdx

x ,

2

2

1 x 1rc%en x dx

1 x

− +

−∫

IV. I)te6rales e &7)9i4)es tri64)4m

8/18/2019 GUIA-CAL--I-- 2015-II

16/21

".

2

3 2

2 4

3 3 1

+ +

− + −∫ x x

dx x x x '

2

3

2cos cos

1

+

+∫ x xsen x

dx sen x '

2

2 1

2 3

+

+ −∫ x

dx x x

5.

2

3 2

2 6

$ 14 8

+ +

− + −∫ x x

dx x x x '

4 41+∫

x

x

edx

e

VI. I)te6rales e &7)9i4)es ra9i4)ales se)4, 94se)4

1. 3 2 cos+ +∫ dx senx x ' ( )

2 3coscos 1 4cos

++∫ x dx x x

'2

cos

6 "− +∫ xdx

sen x senx

2. 1 cos+ −∫

dx

senx x '

4 cos

2 3

++∫

xdx

cosx '

csc

3 4+∫ xdx

tgx

3.( )

2

2 2

1

1 4 4 1

+ + + − ÷

∫ x x

x x

e e dx

e e'

1 cos

1 cos

+−∫

xdx

x ' 2 cos+∫

dx

x

INTE:RALES DEFINIDAS # SUS A$LICACIONES

I. licar el teorema fundamental del clculo

1. Una funci5n *(x) est definida x∀ ∈ ¡ or

x

20

1 sen t*(x) 3 dt

2 t

+= +

+∫ . Ealle el olinomio

2f (x) x x= + + tal ue *(0) f(0) ' * (0) f (0) ' * (0) f (0)′ ′ ′′ ′′= = = .

2. Una funci5n es definida or

g(x)

30

dtf(x)

1 t=

+∫

' con( )

cosx2

0g(x) 1 sen t dt= +∫

.

alcularf ( )

2π′ .

3. ncontrar una funci5n f(x) + un alor de la constante tal ue2

x

xt f (t) dt senx x cos x ' x

2= − − ∀ ∈∫ ¡

.

1. %ea f una funci5n deria/le ositia en todos los reales tal ue su deriada es

continua en todos los reales ositios' adems se cumleA

x

21

f(t)f (x) 2 dt

t= + ∫

'

calcular f(x) .

2. %ea f una funci5n continua en '−∞ ∞ ' tal ue f (1) f (1) 1′= = . %e define

( )3x

2

0E(x) x a f (t) dt= − ∫

s!

1

0f ( t)dt 8a=∫

. alcular la deriada E (1)′′ .

!. %i

tg x

2f( t )dt g(x)=∫

+2

1f(x)

x 1= −

+ . Ealle la funci5n g(x) .


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17/21

". a) alcular el alor de

23

2 x x dx

−= −∫ /) aluar

1

40

1 dx

x 1=

+∫ II. Cal97lar las si67ie)tes i)te6rales e&i)ias=

". a)( )

1

20 2

x 1dx

x 2x 6

+

+ +∫

/)

1

20

arctgxdx

x 1+∫ c)3

6

tg xdx

tgx ctg x

π

π +∫

6. a)

1

3 20

x 1 dxx 3x 3x 1

++ + +∫ /)

22 2 2 20

senxcos x dxa cos x / sen x

π

+∫ c) 2x

1

3x0

1 e dxe

−

−+∫

$. a)

x xBn"

x0

e 1 edx

e 3

−+∫ /)

2

0cos"xcosxdx

π

∫ c)

22

0x 16 dx−∫

8. Verificar ue

x

xBn 2

dx

x 1 ee e 1−−∫ − =

III. INTE:RALES IM$RO$IAS

Determi)e la 94)>er6e)9ia 4 i>er6e)9ia e las si67ie)tes i)te6rales im;r4;ias

1.

!%

+ + +

1 % %1 % , % , %e %

1 % % L) %

∞ ∞ ∞

÷

÷

÷

÷

∫ ∫ ∫

2.

+ +

ar9T6% 1 1% , % , %

1 % % 1 % 1 % 1 % "

∞ ∞ ∞

∞

∫ ∫

3.

! !%+ 1 + !

1 % %% , % , %e %% Se) % C4s %% 1

∞

÷

÷

∫ ∫ ∫

4.

%

" 1 +

1 % % % 1 %% , % , e %

% % 1 % % 1

∞ ∞ ∞

∞

÷

÷

∫ ∫ ∫

". Dara un cierto de a la integral conerge. 7eterminar a + calcular la integral

+

a% 1 1 a

% , %% 1 % 11 % 1 %

∞ ∞

÷

÷ ÷ ÷

∫ ∫

6. 7etermine los alores de a + b de modo ue la integral

1

% b% a1 % 1

% % a

∞

=

÷

÷


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18/21

$. alcular el rea de la regi5n acotada or la cura + sus as!ntotas

a)

1 *%

1 *

=

/)

"

%*

" %=

8. Una regi5n K est limitada or la cura

* % * % + = + sus as!ntotas .alcularel rea de la regi5n

9. Una regi5n K est limitada or la cura * %* % 1 = + sus as!ntotas .alcular el

rea de la regi5n.

IV. AREA DE RE:IONES $LANAS

1. 7eterminar el rea de la regi5n lana limitada or las grficas deA + cosx ' + senx= =

entre

"x ' x

4 4

π π= =

.

2. Una regi5n K est limitada or las grficas de las curas2 2x + 1 0 ' x + 1 0− − = + − = '

comrendida entre 2 x 2− ≤ ≤ . Ealle el rea de la regi5n.

3. alcular el rea de la regi5n lana limitada orA2

+ x 3= + & x 2+ 0+ = & x 2+ 0− = &+ 0≥ .

4. Una regi5n 7 est limitada or la grfica de la cura

4 3x 2x 2 + 0 '− + − = el ee I '

entre las rectas x 1 ' x 2= − = . Ealle el rea de la regi5n.

". Una ar/ola de ee ertical corta a la cura3x + 2= + en los untos ( 1'1)− + (1'3) .

%a/iendo ue las curas mencionadas encierran una regi5n de rea 4 u 2 *allar la ecuaci5nde la ar/ola.

6. alcular el rea de la regi5n limitada or las curas2

+ x ' x + 2 0= − + + =

$. alcular el rea de la regi5n acotada or la cura3x + 1 0− + = + la recta + 0=

8. Ealle el rea de la regi5n 7 limitada or2x 8 2+ += + − ' el ee L& + las rectas

+ 1 e + 3= − =

9. Ealle el rea de la regi5n 7 limitada or3 2

+ Q(x) x 6x 8x= = − + + el ee I.

10. Ealle el rea de la regi5n 7 limitada or2+ Q(x) 6x x= = − '

2+ R(x) x 2x= = −

11. alcular el rea de la regi5n limitada or la grfica de2f (x) 2x x ' + 0= + =

en el

interalo[ ]2 ' 2−

.

12. Ealle el rea de la regi5n 7 limitada or las grficas de las rectas 3x "+ 23 0+ − = '0282" =−− y x ' 026$2 =+− y x

13. Ealle el rea de la regi5n 7 acotado or la grfica de3 2+ x x 2x= + − + el ee I

14. Ealle el rea de la regi5n 7 acotada or la grfica de4 2

+ x 2x 2= − + + las rectasx 2= − + x 3=


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19/21

1". Ealle el rea de la regi5n 7 acotado or la grfica2 3+ 20x x x ' + 0= + − =

16. Ealle el rea de la regi5n 7 acotada or las grficas de la curas3 2+ x "x 18x 12= − − + ' 21186

23 +−−= x x x y

1$. Ealle el rea de la regi5n 7 acotada or las curas dadasA

24x xx 0

+ 4

x x 0

−≥=

−

18. Ealle el rea de la regi5n K acotada or las graficas de 2 2

+ 2x 8' + 2x 4x 4= − = − + +la recta x 1= −

19. Ealle el rea de la regi5n U acotada or las cura 3 2+ f (x) x 6x 11x 6= = − + − entre

las rectas x 0 ' x 4= = + el ee I.

20. 7adas las funcionesA2' ' 6 ' y x y x y x= = = −

a) Qraficar la regi5n K' acotada or las graficas de las funciones dadas.

/) Ealle el rea de la regi5n K.

21. Una regi5n 7 esta acotada or las curasA2 2

0' 2 3 x y x y− = + =

a) Qraficar la regi5n 7'

/) Ealle el rea de la regi5n 7.

V. VOLUMEN DE S?LIDOS DE REVOLUCI?N

1. Ealle el olumen del s5lido ue se o/tiene al *acer rotar la regi5n lana limitada or 2+ 4x= ' x 4= alrededor de la recta x 4= .

2. Ealle el olumen del s5lido generado or la rotaci5n de la regi5n 7 en el rimer

cuadrante' acotado or2

+ 8x= + la recta x 8= ' cuando >sta gira alrededor del ee I.3. alcular el olumen del s5lido generado or la rotaci5n de la regi5n lana limitada or

2+ x=&

+ 2x 1= −&

+ x 2= +' alrededor del ee L.4. alcular el olumen del s5lido ue se o/tiene al *acer girar la regi5n lana limitada or las

ar/olasA2

x + 4= − &2

x 2+ += − alrededor de la recta + 3= − .

". %e considera la regi5n en el lano

32 x7 (x' +) : 0 x 3' 0 +

3

= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

R

a) 7eterminar el olumen del s5lido o/tenido al girar dic*a regi5n alrededor del ee I.

/) 7eterminar el olumen del s5lido o/tenido al rotar alrededor de la recta x a' a 0= >

6. Una regi5n 7 comrendida entre las curas2 2

x + 4+ 8 0 ' 4+ x+ + − = = rota alrededor delee I. Ealle el olumen del s5lido.

$. Ealle el olumen del s5lido % generado or la rotaci5n de la regi5n 7 acotada or 2+ 4x x= − ' + el ee I' cuando gira alrededor de la recta + 6= .

8. Ealle el olumen del s5lido % generado or la rotaci5n de la regi5n 7 acotado or 2

+ x 3x 6= − − + ' x + 3+ = ' cuando gira alrededor de la recta .a) + 3= ' /) + 0=


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20/21

9. Ealle el olumen del s5lido % generado or la rotaci5n de la regi5n 7 acotado or 3

x + 1 0− + =' x 1 0+ = ' x 2 0− = ' + 0= ' cuando gira alrededor de la recta x 2= −

10. alcular el olumen del s5lido generado or la regi5n 7 comrendida entre las graficas2 2x + 2"+ ≤ + x 4≥ al girar alrededor de la recta x 6= .

11. Ealle el olumen del s5lido ue se o/tiene al *acer girar alrededor del ee I' la regi5n 7

acotada or la cura2

1+

x 6x 8=

− + ' el ee I + las rectas x "' x 6= =

12. Ealle el olumen del s5lido de reoluci5n o/tenido al rotar en torno al ee I la regi5n K

acotada or la cura2

3x+

x 3=

+ + el ee I .13. Ealle el olumen del s5lido de reoluci5n o/tenido al girar alrededor del ee I' la regi5n 7

acotada or las curas2

9(+ 1) 2(x 4 )− = − '2

9 (+ 1) (x 4)− − = − + las rectas x 2' x 6= =

.

14. tra>s de un s5lido de forma esf>rica' de radio K' se *ace un *o+o de radio r (r K)< 'siendo el ee del *o+o un dimetro de la esfera. Ealle el olumen del s5lido restante.

1". Ealle el olumen del s5lido ue se genera cuando se *ace girar la regi5n U acotada or la

grfica de

2 2x +1

64 36+ =

alrededor de la recta + 6=16. Ba regi5n K est dada or la regi5n de menor rea comrendida entre las curasA

2 2 2

1 2A x 2"' + A 3 16C y C x y+ = = . 7etermine el olumen del s5lido generado or K'cuando rota en torno del ee x.

1$. Una regi5n lana K' esta acotada or la grafica de las funcionesA 2 ' ' 0 y x y x y= + = =

a) Qraficar la regi5n K'

/) 7eterminar el olumen del s5lido ue se genera cuando K rota en torno del ee x.

18. Una regi5n % est limitada entre las grficas de las curas

2 2x + + ' x + 3.= − = −

a( ?raar la grfica de la regi5n % .

b( Ealle el olumen del s5lido de reoluci5n' al rotar la regi5n % alrededor de la rectax 4 .= −

VI. LON:ITUD DE ARCO

1. alcular la longitud de arco de la cura definida or2f (x) x x arccos x= − − .

2. alcular la longitud de arco de la ar/ola semic;/ica2 3

+ x= desde el origen de

coordenadas *asta el unto cu+as coordenadas son x 4 ' + 8= = .

3. Ealle la longitud de arco de la circunferencia2 2

x + 9+ = .

4. Ealle la longitud del contorno de la regi5n lana limitada sueriormente or2 2

x + 2+ =

e inferiormente or2 3x += − .

". n cada uno de los eercicios siguientes' *alle la longitud del arco de la cura descrito orA

".1)[ ]

4x 3f (x) ' x 1' 3

6x

+= ∈

".2)[ ]

3x 1f (x) ' x 2' "

6 2x= + ∈


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21/21

".3)[ ]3

1f (x) x x ' x 0' 1

3= − ∈

".4)

f (x) 1 ln (cos x) ' x 0'4

π = − ∈

".")[ ]

2xf (x) ln x ' x 2' 3

2= − ∈

' ".6)[ ]

x 1f (x) ' x 1' 2

3 4x= + ∈

VII. COORDENADAS $OLARES

1. n cada uno de los siguientes eercicios' calcular la longitud del arco de la cura (en

coordenadas olares) ue se indica& /osuear el grfico de la cura.

a)[ ]r sen ' 0' 2= θ θ∈ π

/)[ ]r 2 ' 0' 2= θ θ ∈ π

c) r 4 (1 cos )= + θ d)

4r

1 cos=

+ θ cortada or la recta 2π

θ =.

VIII. SU$ERFICIES. 7iscutir + graficar las siguientes suerficiesA

.12 2x + 4 0+ − = .

2x 2 0+ − = .!2+ 2 0+ − =

."

2 2 2x + 1

2" 16 9+ + =

.52

+ 2+ =

.-2 2 2

3x 4+ 2 6x 16+ 8 13+ − + − + = .2 2 2

x 2+ 3 0+ − =./

2 2 22x 3+ 2 8x 6+ 12 21 0− − − + − − = .0

2 2+ 4x 0+ − =

.1+

2 2 2

2 2 2

x + 1& a'/'c ' a / c

a / c

++ + = ∈ ≠ ≠R

.112 2 22x 3+ 8x 6+ 4 3 0+ + − + − − =


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