Guia de Estudos: Matemática

Gestão de Recursos Humanos

Guia de Estudos:Matemática

Vilmar dos Santos Alves

http://www.saolucas.edu.br/

Porto Velho/RO • 2017

Vilmar dos Santos AlvesMatemática

Guia de Estudos:



Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP

Ficha Catalográfica elaborada pela Bibliotecária Leandra Perdigão CRB11/415

Centro Universitário São Lucas

© Centro Universitário São Lucas

Este Guia de Estudos foi elaborado pelo Centro Universitário São Lucas, em parceria com os professores autores.

Centro Universitário São Lucas – UniSL

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Pró Reitora AdministrativaAna Cristina de Aguiar Gazola

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Design InstrucionalDiênife Silva de MirandaHumberta Gomes Machado Porto

Revisão de Língua PortuguesaMarivanda Gonçalves da Conceição.

DiagramaçãoAnderson da Silva SouzaCarlos Alessandre do Carmo Pereira

A474g Alves, Vilmar dos Santos.

Guia de estudos: matemática / Vilmar dos Santos Alves. – Porto Velho: Centro Universitário São Lucas, 2017.

109p.

ISBN 978-85-99607-57-2 (E-Book)ISBN 978-85-99607-58-9 (Impresso)

1. Matemática I. Título II. Centro Universitário São Lucas.

CDU: 51

Apresentação EAD-UNISL

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A sua presença é muito importante. Assim sendo, é com muita satisfação que recebemos você em nossa instituição.

Nossa missão institucional é “Estimular o desenvolvimento do co-nhecimento, das habilidades, dos talentos e das atitudes de seus acadêmicos, para que atinjam a realização profissional, pessoal, social, além da preparação do indivíduo para o exercício pleno da cidadania. O UniSL está comprometido com o projeto nacional de desenvolvimento e bem-estar social”. Portanto, acreditamos na importância do conhecimento para o desenvolvimento pesso-al e profissional de todo indivíduo e da comunidade em que está inserido. E nos comprometemos com ensino de qualidade!

A experiência do Centro Universitário São Lucas – EAD-UNISL - na modalidade a distância, ocorreu no segundo semestre de 2008. Em 2009, iniciou-se o planejamento e estruturação da ofer-ta de disciplinas na modalidade semipresencial, com base na por-taria n° 4.059, do Ministério da Educação e Cultura (MEC), de 10 de dezembro de 2004; que autoriza a oferta de 20% da carga horária aos cursos reconhecidos.

Em 2017, avançamos para o credenciamento institucional e au-torização para a oferta do curso Gestão em Recursos Humanos. Durante esses anos, investimos em mão de obra qualificada, tec-nologias digitais e educacionais; com a inserção das metodologias ativas para promover o processo de ensino e aprendizagem de ma-neira significativa. A Educação Superior se sustenta sobre três pilares indissociáveis: o ensino, a pesquisa (iniciação científica, no caso de Centro Universitário) e a extensão. É muito importante que você busque, no âmbito do UniSL, atividades formativas em cada um desses pilares, pois, são mecanismos fundamentais para a criação de profissional capaz de entender e atuar na sociedade em que vive.

Nossas políticas institucionais cumprem a tarefa de estimular o alu-no, o docente/tutor e o técnico administrativo para alcançarem os níveis de excelência profissional. O EAD-UNISL oferece várias opor-tunidades de formação relacionadas ao ensino, à iniciação científi-ca, à responsabilidade social e à extensão. Participe das oportuni-dades promovidas pelo Centro Universitário São Lucas! Transforme sua vida!

Maria Eliza de Aguiar e Silva Reitora

Os ícones são elementos gráficos utilizados para ampliar as formas de linguagem e facilitar a organização e a leitura hipertextual.

Indicação de Ícones

Atenção: indica pontos de maior relevância no texto.

Saiba mais: oferece novas informações que enriquecem o assunto ou “curiosidades” e notícias recentes relacionadas ao tema estudado.

Glossário: indica a definição de um termo, palavra ou expressão utilizada no texto.

Mídias integradas: remete o tema para outras fontes: livros, filmes, músicas, sites, programas de TV.

Significando a aprendizagem: apresenta atividades em diferentes níveis de aprendizagem para que o estudante possa realizá-las e conferir o seu domínio do tema estudado.

Reflita: momento de uma pausa na leitura para refletir/escrever sobre pontos importantes e/ou questionamentos.


Apresentação da Disciplina • 11

Unidade 1 Frações e números decimais • 11

1.1. Apresentação • 111.2. Propriedade da adição e multiplicação • 141.2.1 Propriedade comutativa • 141.2.2. Propriedade associativa • 151.2.3. Propriedade Distribuitiva • 171.3. Ordem das operações algébricas • 191.4. Operações com frações • 201.4.1. Adição de Frações • 201.4.2. Multiplicação de frações • 221.4.3. Divisão de frações • 221.5. Conversão de Frações em números decimais • 23

Unidade 2 Potenciação e radiciação • 27

2.1. Introdução • 272.2. Potenciação • 282.2.1. Produto de potência de mesma base • 282.2.2. Divisão de potência de mesma base • 292.2.3. Produto de potências de mesmo expoente • 292.2.4. Divisão de potências de mesmo expoente • 292.2.5. Potência de potência – a base é outra potência • 292.2.6. Potência de ordem superior – o expoente é outra potência • 302.2.7. Potência de uma fração e potência com expoentes negativos • 302.2.8. Potências com expoente igual a zero ou igual a um • 302.3. Radiciação • 322.3.1 Índice do radical e expoente do radicando iguais • 352.3.2. Multiplicação do radical e expoente do radicando

por um número inteiro • 352.3.3 Produto de radicais de mesmo índice • 362.3.4. Quociente de radicais de mesmo índice • 362.4. Fatoração de raízes • 37

Sumário

Unidade 3 Regra de Três Simples e Composta • 39

3.1. Apresentação • 393.2. Razão • 403.3. Proporção • 403.3.1. Conceito geral de proporção • 413.4. Regra de três simples • 413.4.1. Grandezas diretamente proporcionais • 413.4.2. Grandezas inversamente proporcionais • 423.5. Regra de três composta • 43

Unidade 4 Operações Algébricas • 47

4.1. Apresentação • 474.2. Monômios e Polinômios • 484.2.1. Soma de polinômios • 494.2.2. Subtração de polinômios • 514.3. Fatoração • 544.3.1. Fatoração por agrupamento • 544.3.2. Fatoração de trinômios • 544.3.3. Fatoração de trinômios especiais • 55

Unidade 5 Índices, Coeficientes e Taxas • 59

5.1. Apresentação • 595.2. Índices • 615.3. Coeficientes • 635.4. Taxas • 63

Unidade 6 Porcentagem • 62

6.1. Apresentação • 656.2. Porcentagem • 676.2.1. Porcentagem complementar • 686.2.2. Porcentagem suplementar • 696.3. Cálculo de porcentagem • 70

Unidade 7 Equações e inequações • 72

7.1. Apresentação • 737.2. Equações de primeiro grau • 757.2.1. Sistemas de equações lineares • 767.3. Inequações • 79

Unidade 8 Funções e Domínios • 83

8.1. Apresentação • 838.2. Funções • 858.2.1. Variáveis dependentes e independentes • 878.2.2. Conceito de função • 878.3. Domínio e imagem • 898.4. Funções usuais • 908.4.1. Função constante • 908.4.2. Função linear • 918.4.3. Função linear afim • 91

Padrão de Resposta • 95

Referências • 107

Sobre o autor • 109


EAD-UNISLApresentação 11

Apresentação da Disciplina

Caro estudante,

Gostaria de parabenizá-lo pela iniciativa de assumir este compro-misso com o seu desenvolvimento, iniciando a partir deste Guia de Estudo mais uma jornada de aprendizado e fortalecimento de seu conhecimento. A partir do conteúdo a ser abordado neste Guia, você será capaz de formular resoluções para situações-problemas inerentes à gestão de recursos humanos e de organizações utilizando-se de pressupostos e propriedades da matemática, fundamentando assim suas deci-sões em técnicas e metodologias provenientes das ciências exatas.Você está prestes a iniciar o estudo de fundamentos matemáticos construídos ao longo das civilizações e que hoje são primordiais na fundamentação das análises, construção de modelos e tomada de decisões, baseados nas propriedades da indução matemática. A evolução tecnologia e a inovação, tão presentes em nossas vidas hoje em dia, mantêm relação direta com a matemática, exigindo do profissional de todas as áreas maior criticidade e capacidade escolha em meio a uma infinidade de informações. E a capacidade de cal-cular e formular modelos matemáticos pode ser o diferencial para você em sua profissional. Este Guia de Estudo foi elaborado pensando em promover aprendi-zagem de forma facilitada e prática. Para isso, o Guia traz diversos exemplos, casos práticos e ilustrações relacionando a teoria com a forma de resolução, bem como sua aplicação prática.A Matemática pode ser considerada o principal instrumento de quantificação, formulação e classificação de respostas para todas as ciências, ficando assim mais fácil entender porque muitos são apai-xonados e maravilhados por essa área específica da ciência.

Bom estudo!



Unidade 1 - Frações e números decimais EAD-UNISL13

Descritor:

• Resolver frações em números decimais;

• Converter números decimais em frações;

• Calcular o valor das expressões numéricas.

UnidadeFrações e números decimais1

Caro (a) estudante,

Usamos frações e números decimais, mesmo que intuitivamente, na exe-

cução das tarefas do dia a dia, seja por meio da linguagem sobre medidas

de quantidade e volumes, nas tomadas de decisão, quanto na resolução de

problemas. Nessa unidade, iremos apresentar propriedades fundamentais

da matemática aplicada aos números reais, e como podemos aplicá-las na

resolução de frações e nos números decimais, presentes em problemas do

cotidiano.

Ao final dessa aula, esperamos que você seja capaz de demonstrar números

reais, por meio de frações e números decimais e aplicá-los, na resolução de

problemas, do dia a dia.

1.1. ApresentaçãoAs operações de adição, subtração, multiplicação e divisão estendem-

-se dos números racionais para os números reais. Podemos adicionar,

subtrair, multiplicar e dividir quaisquer dois números reais e permanecer

dentro do sistema de números reais, novamente com a exceção de que,

não é permitida a divisão por zero.

EAD-UNISL 14 Guia de Estudos: Matemática

1.2. Propriedades da adição e multiplicaçãoPara a resolução de operações matemáticas, com vários termos, como

é o caso das expressões numéricas, é imprescindível conhecer as pro-

priedades de comutatividade, associatividade e distributivas, além dos

números inversos, ou seja, que se anulam. Para tanto, vamos conhecer

tais propriedades.

1.2.1. Propriedade comutativaNa adição e na subtração é muito comum trocarmos a ordem dos fatores

e o resultado manter-se inalterado, a essa propriedade é que denomina-

mos de comutatividade.

São exemplos de aplicação dessa propriedade:

Na adição

5 + 3 = 8 e 3 + 5 = 8

Observe que nos dois casos, os resultados foram iguais. Portanto, pode-

mos concluir que

5 + 3 = 3 + 5

Na multiplicação

5 x 3 = 15 e 3 x 5 = 15

Nas duas equações, obtivemos resultados iguais. Logo, podemos con-

cluir que

5 x 3 = 3 x 5

Conforme demonstrado nos exemplos, tanto na adição como na mul-

tiplicação, a ordem dos fatores não importa, logo podemos definir o

termo geral da comutatividade:

Comutatividade da adição a + b = b + a para todos os números reais a e b.

Comutatividade da multiplicação a x b = b x a para todos os números reais a e b.

Mas a comutatividade é também aplicável à subtração e divisão?


Nem a subtração nem a divisão são comutativas, pois para essas opera-

ções a ordem importa. Por exemplo,

5 – 3 = 2 e 3 – 5 = –25 – 3 ≠ 3 – 5

Implicando que a subtração 5 – 3 é diferente de 3 – 5.

De modo semelhante, temos na divisão que

e

Isso significa que é diferente de .

1.2.2. Propriedade associativaAntes de conceituarmos em que consiste a associatividade na adição e

na multiplicação, vamos analisar uma aplicação dessa propriedade.

Um veículo será utilizado para uma viagem de ida e volta, entre as cida-

des de Porto Velho e Ariquemes. Sabendo que a distância entre as duas

cidades é de 204 quilômetros e que o consumo médio do veículo, na

rodovia, é de 12 km/l.

Vamos descobrir a quantidade de combustível necessária e analisar a

aplicação associatividade da multiplicação, neste caso.

Resolução:Para resolução utilizaremos a razão (1 litro de combustível para cada

12 quilômetros).

Formulando a equação:

As expressões dentro de parênteses devem ser calculadas antes dos de-

mais cálculos. Assim, resolvemos da seguinte forma:


Observe que, tanto no lado esquerdo, como no lado direito da igualda-

de, o resultado foi 34, o que comprova que, no caso de vários valores

multiplicados entre si, não importa a ordem em que os valores serão

multiplicados, o resultado será sempre o mesmo.

Essa propriedade na multiplicação é denominada de associativa, que por

definição temos:

onde (ab)c deve ser calculada, multiplicando primeiro a e b, e depois

multiplicando c. Sendo que a propriedade associativa da multiplicação

estabelece que (ab)c é o mesmo que a(bc), em que primeiro multiplica

b e c, e em seguida multiplica por a.

Você deve ter observado que, devido a associatividade da multiplicação, tor-

na-se desnecessário o uso de parênteses, quando se tem 3 ou mais termos

multiplicando entre si, o que implica em afirmar que, podemos representá-

-la como abc, sem especificar a ordem de agrupamento da multiplicação.

Essa propriedade aplica-se, do mesmo modo, à adição, conforme mostra

o exemplo a seguir:

Você, com certeza, observou que nas duas ordens de cálculo, obtemos o

mesmo resultado. Isso porque a adição (a+b)+c é a mesma que a+(b+c), o que denominamos de propriedade associativa da adição.

Assim, concluímos que podemos dispensar o uso de parênteses, quando

adicionamos três ou mais números e escrever expressões como:

a+b+c sem nos preocupar a respeito de como os termos são agrupados.

Comutatividade da adição (a+b)+c=a+(b+c) para todos os números reais a

e b.

Comutatividade da multi-

plicação

(a∙b)c=a(b∙c) para todos os números reais a e

b.

Vamos agora testar a validade dessa propriedade para a subtração e

divisão?


Para a operação (15–6)–5, o resultado é igual a 4, conforme segue

exemplo:

(15–6)–5=9–5=4

Utilizando os mesmos valores, ao alterar a ordem do agrupamento (15-6)–5, o resultado passa a ser 14:

15-(6-5)=15-1=14

Isto acontece porque a prática padrão é calcular subtrações da esquerda

para a direita, a menos que parênteses indiquem outra ordem, como

aconteceu no exemplo dado.

Agora vamos testar a propriedade na divisão.

Observe, nos casos a seguir, que embora estejamos trabalhando com os

mesmos valores, a operação (32:4):2 é diferente de 32:(4:2), uma vez

que na primeira o resultado é 4 e na segunda o resultado é 16.

(32:4):2=8:2=4

32:(4:2)=32:2=16

Chegamos, desta forma, a conclusão de que a propriedade associativa

não é válida para a subtração nem para a divisão, uma vez que para es-

sas operações, o agrupamento importa.

1.2.3. Propriedade distributivaNa propriedade anterior, você aprendeu a ordem de resolução, que deve

iniciar pelo interior dos parênteses, as multiplicações e divisões e adi-

ções e subtrações. Mas vale ressaltar que, nas operações algébricas, nem

sempre é possível atender tais condições.

Nestes casos, a propriedade distributiva pode ser um recurso muito útil,

na resolução ou simplificação das expressões. A propriedade distributiva

tem a finalidade de conectar a adição e multiplicação, convertendo um

produto com uma soma, na soma de dois produtos.


Analise a demonstração a seguir e construa o seu próprio conceito de

propriedade distributiva.

Observe que a está multiplicando por (x+y), a propriedade distributiva

permite que possamos multiplicar o a tanto por x como por y. Vejamos!

Com a multiplicação de a por x e por y, transformamos o produto de a pela

soma (x+y) na soma dos produtos ax e ay.

Este mesmo raciocínio pode ser aplicado ao produto (a+b) por x, conforme

segue demonstração:

A utilização da propriedade distributiva depende do contexto, como po-

demos analisar a seguir:

A transportadora Entrega Rápida possui uma frota de veículos a diesel,

que é utilizada para transporte entre duas cidades, e veículos leves, esses

a gasolina, exclusivos para a distribuição dentro da cidade. Ao analisar

o histórico de consumo de combustível, foi identificado que, para cada

tonelada transportada, são utilizados 15 litros de diesel e 6 de gasolina.

O setor de compras deseja especificar uma expressão matemática, que

expresse a quantidade total de combustível em litros.

Vamos ajudá-los a transformar esse caso em expressão matemática?

Analise o procedimento no quadro:

Procedimento Expressão matemática

1. O primeiro passo consiste em

definir a representação de todas as

variáveis e constantes.

15→ constante que representa a

quantidade de litros de diesel neces-

sária para transportar uma tonelada

de mercadoria.

6→ constante que representa a

quantidade de litros de gasolina ne-

cessária para transportar uma tonela-

da de mercadoria.

x→ a variável que representa a quan-

tidade de toneladas transportadas.


2. Sendo 15 a quantidade de diesel,

multiplicamos por x (toneladas) e

somamos com 6 (litros de gasolina)

multiplicado por x toneladas, logo

obteremos 15x+6x.

ax + bx

15x + 6x

Agora basta passar x multiplicando

(15+6) e obtemos (15+6)x 15x+6x=(15+6)x

Logo, a transportadora Entrega Rápida pode utilizar a expressão (15+6)x para determinar a quantidade de combustível a ser utilizada, sendo 15

a quantidade de litros de diesel, 6 de gasolina e x a variável que repre-

senta a quantidade de mercadorias transportadas, em toneladas.

A propriedade distributiva, tanto pode auxiliar na simplificação, como

fornece justificativa para a fatoração de expressões.

1.3. Ordem das operações algébricasAs propriedades que você aprendeu até aqui, utilizam somente um tipo

de operação. Agora, vamos aplicá-las em operações algébricas com mais

de um tipo de sinal.

Utilizemos como exemplo a expressão:

7+5 x 3Temos neste caso uma adição e uma multiplicação. Qual operação deve

ser resolvida primeiro?

Resolução incorreta Resolução correta

Esta resolução está incorreta, porque está dando prioridade à adição em re-lação à mul¬tiplicação. Essa resposta só estaria correta, se a expressão tivesse parêntese na adição. Ou seja, a expres-são seria

(7+5) x 3=

Resolução correta, se a expressão não

possui parêntese definindo a ordem de

resolução, segue-se a convenção mate-

mática, que estabelece que a multiplica-

ção deve ser efetuada antes da adição.


Em síntese, pode-se afirmar que 7+5 x 3 é igual a 7+(5 x 3), que por

convenção matemática, de prioridade da multiplicação sobre a adição,

o parêntese, nesse caso, não altera o resultado e, portanto, pode ser

dispensado.

Propriedades importantes nas operações matemáticas:I. Os parênteses são recursos visuais para indicar a ordem de resolu-ção

das operações. Assim, comece a resolução pelos parênteses mais in-

ternos para os mais externos.

II. Em seguida, resolva os produtos e quocientes, ou seja, divisões.

III. E por último, as adições e subtrações.

1.4. Operações com fraçõesAs frações que definiremos são números reais, não inteiros, compostos pela

divisão entre valores, tais que a:b, a (classificado como numerador) dividido

por b (denominador), pode ser representado por , sendo a e b pertencen-

tes aos números reais.

A aplicação das frações está presente em muitas situações de nosso cotidia-

no, como podemos observar nas seguintes afirmações:

Com certeza, você percebeu que as frações são representações quantitativas

de números não inteiros. Estes números, em muitos casos, precisam ser utiliza-

dos em operações, tais como soma, diferença, produtos e quocientes.

1.4.1. Adição de fraçõesMas como somar duas frações?

Vamos analisar a representação geométrica, na figura a seguir, para com-

preender como opera uma soma de frações.

A figura 1a está dividida em duas partes, logo cada parte representa da

figura, já a figura 1b está dividida em 3 partes, podendo cada parte ser

representada como .

Pesquise mais em casa sobre ordem

das operações matemáticas!


O nosso objetivo é somar a parte mais escura de cada fração. Observe, no

entanto, que o tamanho de é diferente de , o que nos impede de reali-

zar corretamente a soma.

Já pensou como resolver? Experimente dividir cada parte da:

Percebeu que agora, cada uma das figuras 1a e 1b, ficou com 6 partes?

Agora, faça a soma das partes mais escuras, de ambas as frações, e obtém

como resultado .

Agora, façamos, algebricamente, a soma das frações dadas:

Muito bem! Você aprendeu a realizar a soma de frações e a representá-la,

geometricamente.

Na subtração de frações são utilizados os mesmos conceitos de soma.


1.4.2. Multiplicação de fraçõesO procedimento para a obtenção do produto de frações é muito simples,

pois basta que multipliquemos os numeradores e denominadores, de am-

bas as frações, entre si, conforme segue:

Dada as frações e , multiplicamos os numeradores 2 e 5 entre si, e os

denominadores 3 e 6 entre si. Vejamos:

Em regra geral, temos que o produto entre frações é dado por:

Conceito importante!

Qualquer número, dividido por ele mesmo, tem como resultado igual a 1.

Exemplos:

Logo, se multiplicamos uma fração com numerador e denominador iguais,

por qualquer outra função, manterá o resultado final inalterado, conforme

se verifica, no exemplo a seguir:

Vamos multiplicá-la por

Conforme demonstrado, a quando multiplicada por , não alterou o seu

valor final, que é igual a 0,5.

1.4.3. Divisão de fraçõesA divisão de frações consiste na multiplicação da primeira fração pelo inver-

so da segunda. Sendo assim, quando temos:


Podemos resolvê-la do seguinte modo:

A divisão de fração pode ser assim descrita:

1.5. Conversão de frações em números decimais

Toda fração é, na verdade, uma divisão do numerador pelo denominador.

Sendo assim, dada uma fração, para transformá-la em número decimal, bas-

ta que efetuemos a divisão do numerador pelo respectivo denominador.

Veja o exemplo:

Dada a fração , podemos inferir que é o mesmo que 3÷5.

Considerando verdadeira a igualdade, faremos a divisão, conforme demons-

tração:

Observe que 3 não divide por 5, então, colocamos zero e vírgula no quocien-

te e inserimos um zero no dividendo (em vermelho). Agora 30 divide por 5,

cujo resultado é 6. Assim, encontramos que o número decimal correspon-

dente à fração é 0,6, em números decimais, onde lê-se seis décimos.

De modo análogo, podemos transformar um número decimal em fração.

Analise o exemplo.

Transforme 1,65 em fração,


Podemos reescrever 1,65 como 1 inteiro, 6 décimos e 5 centésimos, confor-

me demonstramos, na fração a seguir:

Como os denominadores são todos na base 10, então, consideremos 100

(o maior denominador), como o múltiplo comum,

A fração 168/100 pode ser simplificada por 4, pois tanto o numerador como

o denominador são divisíveis por 4.

Desta forma, conseguimos demonstrar que o número decimal 1,65 é igual

a fração .

Complemente o seu aprendizado sobre operações com frações e transfor-

mação em números decimais, com vídeos e exercícios disponíveis na plata-

forma de aprendizagem gratuita Khan Academy.

Caso prefira, utilize um app leitor de código QR, de seu

smartphone ou tablete, para ler o código disponível aqui e

acessar diretamente o assunto.

Acesse o site <https://goo.gl/DQc8t8> e

procure pelo assunto “conversão de

frações em números decimais”.


ResumoNessa unidade, você aprendeu as propriedades básicas da adição e multi-

plicação, necessárias para a resolução de problemas matemáticos. Apren-

demos também, a resolver operações de frações e a conversão de números

fracionários em decimais, bem como decimais em fracionários. Percebemos

que tais propriedades e operações matemáticas são exigidas na resolução de

problemas, de nosso cotidiano.

Significando a aprendizagemQuestão 1: Resolva as operações fracionárias:

Questão 2: Realize as transformações solicitadas:

Para finalizar o estudo da unidade 1, você deve acessar o AVA, Ambiente

Virtual de Aprendizagem, e realizar os temas (habilidades) indicados, com-

postos por microdesafios (questões objetivas) e macrodesafios (questões

subjetivas).

Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA:<https://goo.gl/pRhXEj>

https://goo.gl/pRhXEj



Unidade 2 - Potenciação e radiciação EAD-UNISL27

Descritor:

• Descritores:

• Aplicar as propriedades da potenciação;

• Aplicar as propriedades da radiciação.

Unidade Potenciação e radiciação2

Caro (a) Estudante,

As potenciações e raízes estão presentes, na maioria dos problemas, en-

volvendo a matemática, em nosso cotidiano, como o cálculo de juros com-

postos, por exemplo. A sua solução, no entanto, suscita muitas dúvidas de

como resolvê-los. Nesta aula, você perceberá que a resolução de radiciações

e potências se torna fácil, quando aprendemos as suas propriedades.

Ao final dessa aula esperamos que você seja capaz de aplicar a potenciação

e radiciação, na resolução de problemas.

2.1. IntroduçãoAntes de iniciarmos o estudo das propriedades da potenciação, vamos ana-

lisar a resolução de um problema, do cotidiano.

A Agropecuária Campos Verdes possui um de-

pósito medindo 2 metros de largura, profun-

didade e altura, conforme especifica a figura.

Sabendo que cada metro cúbico comporta

900 kg de milho em grãos (900 kg/m3), defi-

na quantos quilogramas o depósito comporta.

FIGURA 2Aplicação de Potenciação

Fonte: Autor


Utilizando-se do conceito de potenciação, temos que

Volume = 2 × 2 × 2ou

volume

Com o cálculo da potenciação, descobrimos que o depósito comporta 8

metros cúbicos. Agora para saber a capacidade de armazenamento de mi-

lho, basta multiplicarmos 900 kg por 8 metros cúbicos.

Capacidade de armazenagem = 900 × 8 = 7.200

Portanto, o depósito comporta 7.200 kg de milho em grãos.

Agora que você já analisou uma aplicação, vamos conhecer as propriedades

fundamentais da potenciação e radiciação. Com o conhecimento destas

propriedades, você será capaz de resolver problemas de potenciação, nas

suas mais variadas formas.

2.2. PotenciaçãoA potenciação, também denominada como exponenciação, é a operação

matemática que permite a multiplicação seriada de certo número, chamado

de base (a), pela quantidade de vezes definidas no seu expoente (n), isto é,

Nos tópicos seguintes, estudaremos as propriedades fundamentais da po-

tenciação.

2.2.1. Produto de potência de mesma baseQuando temos uma multiplicação, de dois ou mais termos, com potências,

onde as bases são iguais, devemos manter a base e somar os expoentes.

Aplicando essa propriedade, no caso específico em que 32 é multiplicado

por 34, observe que a base de ambos os termos é 3. Assim, a base 3 deve

ser mantida e os expoentes somados 2+4. Daí, teremos:


2.2.2. Divisão de potência de mesma baseNas divisões, de potência de mesma base, o raciocínio é semelhante ao caso

anterior, conserva-se a base, porém diminuem-se os expoentes:

Aplicando a propriedade de divisão de potência de mesma base, no caso

5^6÷5^2, deve ser mantida a base 5 e subtraídos os exponentes 6-2:

2.2.3. Produto de potências de mesmo expoente

Nas operações de multiplicação, cujas potências têm expoentes iguais, con-

servam-se os expoentes e multiplicam-se as bases:

Exemplificando, temos 23×53, onde as bases 2 e 5 são diferentes, já o expo-

ente 3 está nos dois termos, assim, mantemos o expoente e multiplicamos

as bases (2×5)3:

2.2.4. Divisão de potências de mesmo expoente

De modo análogo aos pressupostos da propriedade demonstrada anterior-

mente, nas divisões de potências, de mesmos expoentes, conservam-se os

expoentes e dividem-se as bases:

Vejamos, no exemplo a seguir, que sendo a operação 83 ÷ 23, faremos a

divisão das bases, mantendo, porém, o expoente:

2.2.5. Potência de potência – a base é outra potência

Nos casos em que a base é outra potência do tipo (an)m, deve-se multiplicar

a^n por m vezes, ou seja:


Logo, por regra geral, temos que:

Aplicando essa propriedade, no caso (32)5, temos 32, multiplicado por ele

próprio, por duas vezes, que é o expoente superior, logo temos 32∙32∙32∙32∙32.

Observe que o resultado pode ser simplificado, se aplicarmos a propriedade

“produto de potência de mesma base”, na equação 32 x 32, logo:

Isso significa que

Ou simplesmente,

2.2.6. Potência de ordem superior– o expoente é outra potência

Nas operações onde o expoente é outra potência, as quais são denomina-

das de potência superior, buscamos resolver a potência do expoente, pri-

meiramente, conforme segue:

Em termos numéricos, podemos demonstrar o seguinte:


2.2.7. Potência de uma fração e potência com expoentes negativos

Quando uma fração está elevada a um expoente, pode ser reescrita como

duas potências, de mesmo expoente, conforme vemos a seguir:

Por definição geral, essa propriedade é definida pelo seguinte axioma:

Já, para as potências com expoente negativo, é necessário transformá-lo em

uma fração, onde o numerador é igual a 1 e a potência é o denominador.

Por essa propriedade, questões como 4–2, podem ser resolvidas assim:

Observe que o expoente era negativo, mas com a aplicação da propriedade,

tornou-se positivo, permitindo a resolução da potência.

O termo geral dessa propriedade é dado por:

2.2.8. Potências com expoente igual a zero ou igual a um

Toda potência que tenha o expoente igual a zero e a base diferente de zero,

terá como resultado 1.

Por essa definição temos que:

10=1

20=1

30=1


Assim, em termos gerais, podemos afirmar que a0=1,para a≠0

Já as potências com expoente igual a 1, terão como resultado, a própria

base. A definição geral dessa propriedade é dada por a1=a

Podemos exemplificar:

11=1

21=2

31=3

Analisando os exemplos acima, você deve ter percebido que, qualquer nú-

mero elevado ao expoente 1, é igual a própria base, então qualquer núme-

ro sem expoente, tem como expoente o 1. Essa propriedade é muito útil,

quando aplicada de forma complementar a outras propriedades, como no

caso a seguir:

52 x 5=

Para a resolução da equação acima, aplicamos a propriedade de que, todo

número elevado a 1, é igual a sua base, o que significa dizer que 51=5. Logo, substituiremos 5, na equação por 51, e assim poderemos aplicar a

propriedade de produto de potências de mesma base.

52×51=5(2+1)=53

As potenciações nas operações matemáticas:Em termos de ordem, exceto nos casos em que se tenham parênteses, col-

chetes ou chaves, os quais têm preferência de resolução, nesta ordem, as

potenciações antecedem as multiplicações e divisões, as quais antecedem

as somas e subtrações.

Pesquise mais, em casa, sobre potenciação nas operações matemá-ticas!

2.3. RadiciaçãoA radiciação tem muitas aplicações, em diversas áreas do conhecimento. O

caso a seguir, de-monstra uma de suas aplicações, nas decisões financeiras

pessoais ou até mesmo de uma empresa.


Caso PráticoRentabilidade dos títulos públicosAdriana é uma empreendedora individual, do ramo de doces e salgados.

Ela está planejando montar sua pequena fábrica e, para isso, precisa de

um investimento de R$ 10.000. Sabendo que a previsão de instalação da

fábrica, seja daqui a seis meses e que suas economias atuais somam R$

5.000, ela está pensando em aplicar o seu capital atual, em títulos públi-

cos, para resgate, na época da instalação de sua fábrica. Ao acessar o site

do Tesouro Direto <www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro-direto>

Adriana obteve as seguintes informações:

O Tesouro Direto é um Programa do Tesouro Nacional, desenvolvido em

parceria com a BMF&F Bovespa, para venda de títulos públicos federais,

para pessoas físicas, por meio da internet.

Os títulos públicos são ativos de renda fixa, ou seja, seu rendimento pode

ser dimensionado, no momento do investimento. Dada a menor volatili-

dade dos ativos de renda fixa, frente aos ativos de renda variável, este tipo

de investimento é considerado mais conservador, ou seja, de menor risco.

Além de acessível e de apresentar opções de investimento, que se encai-

xam aos seus objetivos financeiros, o Tesouro Direto oferece boa renta-

bilidade e liquidez diária, mesmo sendo a aplicação de menor risco do

mercado. Representa, portanto, uma excelente oportunidade para você

realizar seu planejamento financeiro, sem complicação.

O quadro a seguir, mostra um dos títulos públicos disponíveis para com-

pra, bem como seu preço e rentabilidade.

Adriana sentiu-se confiante, em aplicar no tesouro direto, no entanto, está

com dificuldade em transformar a taxa de rendimento do título, que é de

10,17% ao ano, em mensal. Ela sabe ainda que, por se tratar de juros com-

postos, a taxa não pode ser simplesmente dividida por 12, já que esta forma

de cálculo, só se aplica, em taxas de juros simples.

FIGURA 1QuadroDisponível em: <https://goo.gl/mSEOMI>. Acesso em 14 abr. 2017.

Fonte: Tesouro Nacional, 2017.


Ao procurar ajuda, um amigo lhe explicou que os juros compostos são ge-

rados a partir de uma potência, e lhe deu a fórmula matemática, a seguir,

para calcular a taxa mensal, a partir da anual.

Por que o expoente traz a fração ? É isso mesmo, a fração dada está rela-

cionada a taxa, de uma parte de 12 meses.

Assim, aplicando a taxa disponível no quadro, temos:

A outra pergunta relevante é de como se calcula a potência, cujo expoente

é uma fração? Quando temos um expoente fracionário, deve-se transfor-

má-lo em raiz, sendo que o denominador da fração é o índice do radical.

Observe como ficou:

Finalmente, Adriana descobriu que a taxa de rentabilidade mensal, do títu-

lo, é de 0,81%. Além disso, ela descobriu que a radiciação pode lhe ajudar

nas soluções, de seu cotidiano.

E você, está pronto para aprender um pouco mais sobre radiciação?

A radiciação é uma potenciação, em que o expoente é um número fracio-

nário, não inteiro.

A radiciação possui os seguintes elementos: radical, índice e radicando,

conforme segue modelo:

Nos tópicos a seguir, analisaremos as principais propriedades da radiciação.


2.3.1. Índice do radical e expoente do radicando iguais

Por essa propriedade, define-se que, se o radical possuir índice igual ao

expoente do radicando, a raiz será igual à base do radicando. A definição

dessa propriedade é dada por:

Vejamos a aplicação dessa propriedade, na raiz cúbica de 2, elevado à ter-

ceira potência:

Vamos reescrever a raiz, em forma de potência, para facilitar a compreen-

são:

Você observou que a base 2 possui como expoente uma fração, cujo nume-

rador e denominador são iguais. Logo, essa fração pode ser reescrita como

1. Assim, o resultado da raiz é igual a 2.

2.3.2. Multiplicação do radical e expoente do radicando por um número inteiro

A raiz não sofre alteração, se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radi-

cal e o expoente do radicando pelo mesmo valor.

Tomando a igualdade acima, vamos transformá-la em potências, para me-

lhor analisá-la. Após a transformação abaixo, observe que as bases são

iguais, assim a propriedade em análise, somente será verdadeira, se os ex-

poentes de ambos os termos forem iguais:

Analisando as frações:


Simplificando, temos:

Acompanhou esse raciocínio? Parabéns, você conseguiu provar que 81⁄3 é

igual a , ou seja, é igual a

A definição geral dessa propriedade é dada por:

2.3.3. Produto de radicais de mesmo índiceSegundo essa propriedade, o produto de radicais do mesmo índice é igual

ao produto dos radicandos.

Analise o exemplo a seguir, para compreender a aplicação dessa proprie-

dade:

Foi fácil entender, não é mesmo? Em síntese, essa propriedade é definida

pela seguinte equação matemática:

2.3.4. Quociente de radicais de mesmo índice

O quociente de radicais de mesmo índice é igual ao quociente do radicando.

Essa propriedade da radiciação é muito semelhante à anterior, conforme

veremos, no exemplo a seguir:


A única condição para que essa propriedade seja verdadeira, é que o de-

nominador seja diferente de zero. Logo, podemos definir a regra geral pela

equação:

2.4. Fatoração de raízesA fatoração aplicada à radiciação resume os termos semelhantes. Vamos

compreender como fatorar, a partir dos exercícios resolvidos a seguir:

Dadas as equações 1 a 5, fatore:

Neste caso, temos uma adição, onde as raízes são iguais, nos dois termos,

então, basta somar os números externos e repetir as raízes. Ou ainda, po-

demos colocar , em evidência:

De forma semelhante ao exemplo anterior, as raízes são iguais, nos dois

termos, porém, trata-se de uma subtração, então basta subtrairmos os nú-

meros externos e repetir as raízes:

Neste caso, precisamos encontrar raízes comuns aos dois termos, para que

possamos somá-los. Para isso, vamos fatorar 18 e 50:


Substituindo temos:

Aplicando a propriedade de produto de radicais de mesmo índice, podemos

reescrever a equação como:

Não é possível resolver a operação , pois os radicais são diferentes,

logo não é possível somá-los.

ResumoNessa unidade, você conheceu as propriedades da potenciação e radiciação

e aprendeu a aplicá-las na resolução de problemas, envolvendo este tipo de

operações. O conhecimento visto nessa unidade é muito útil para o desen-

volvimento das próximas, e parabéns por ter conseguido chegar até aqui.

Significando a aprendizagemQuestão 1: Dadas as potenciações e radiciações abaixo, calcule, aplicando

as propriedades aprendidas nesta unidade.

Para finalizar o estudo da Unidade 2, você deve acessar o AVA, Ambiente Vir-

tual de Aprendizagem, e realizar os temas (habilidades) indicados, compostos

por microdesafios (questões objetivas) e macrodesafios (questões subjetivas).

Ambiente Virtual de Aprendizagem

AVA:<https://goo.gl/pRhXEj>



Unidade 3 – Regra de três simples e composta EAD-UNISL39

Unidade Regra de três simples e composta3

Descritor:

• Descritores:

• Resolver operações de razão e proporção;

• Formular operações com regra de três simples

e composta.

Caro (a) Estudante,

A regra de três simples ou composta é uma das formas mais simples de ob-

ter respostas para uma infinidade de situações de nosso cotidiano, poden-

do inclusive substituir outras formula-ções matemáticas mais complexas. No

entanto, um dos maiores problemas do uso da regra de três está na falta de

conhecimento de se modelar as variáveis, de forma correta. A boa notícia é

que é possível modelar as variáveis, com facilidades, quando compreende-

mos a relação entre as grandezas de uma regra de três.

Ao final dessa aula, esperamos que você seja capaz de articular soluções de

situações-problemas, com regra de três simples e composta.

3.1. ApresentaçãoEsta unidade de conteúdo busca auxiliá-lo (a) na compreensão e aplicação

da porcentagem, a qual é um conteúdo importantíssimo para o desenvol-

vimento das aulas seguintes. Mas, antes de lhe apresentar o conceito de

porcentagem, é interessante que conheça o que é uma razão matemática,

uma vez que a porcentagem também é uma razão, porém, com caracte-

rísticas específicas.


3.2. RazãoQuando o consumidor está decidindo se vai, ou não, adquirir determinado

produto; ou a quantidade do mesmo a ser adquirida, é influenciado pelas

seguintes variáveis:

RazãoA palavra razão pode ter diferentes significados. É o que aponta o dicio-

nário de português online Michaelis.

Entre as diferentes significações, razão pode ser “Faculdade do ser hu-

mano, que lhe permite conhecer, julgar e agir, de acordo com determi-

nados princípios; raciocínio. Capacidade que cada ser humano tem de

ponderar.

Já em termos matemáticos, significa “Quociente entre grandezas da

mesma espécie ou quociente de dois números. ”

O que é uma razão em termos matemáticos?

A razão surge como uma forma de relacionar partes de certa grandeza

com o seu todo, ou seja, é uma forma de saber a proporção de uma parte

em relação ao todo.

Mesmo sem perceber, utilizamos, com frequência, expressões baseadas na

razão matemática. Observe esses exemplos:

Todas essas comparações são, matematicamente, expressas por um quo-

ciente chamado Razão, isto é, a razão entre dois números a e b, com b≠0, é o quociente , ou a : b, ou ainda a / b.

3.3. ProporçãoHá situações em que as grandezas, que estão sendo comparadas, podem

ser expressas por razões de antecedentes e consequentes diferentes, po-

rém, com o mesmo quociente.

Tiago está fazendo uma trilha de bicicleta. A cada 5 dias, ele pedala 255

km. André andou no mesmo ritmo, e pedalou 867 quilômetros, em 17

dias.

Leia mais sobre Razão, disponível

em: <https://goo.gl/zTYKwt>. Acesso em: 10 abr.

2017.


Temos, neste caso, duas razões, sendo a primeira e a segunda .

O ritmo de Tiago e André foi o mesmo e, portanto, as duas razões trazem

a relação da quilometragem percorrida, dividida pela quantidade de dias,

logo, podemos concluir que, ambas as razões expressam, na verdade, a

distância percorrida, por dia. Desta forma, sabemos que os resultados das

duas razões serão iguais e, portanto, podemos assim representá-las:

Descobrimos, portanto, que a distância percorrida, diariamente, tanto por

André como por Tiago foi de 51 km. Logo, podemos afirmar que, há pro-

porcionalidade entre as distâncias percorridas pelos dois.

3.3.1. Conceito geral de proporçãoDadas duas razões e , com b≠0 e c≠0, tem-se uma proporção se

ou a:b=c:d.

Pela propriedade fundamental da proporção, o produto dos extremos a e d

é igual ao produto dos meios b e c, então a proporção pode ser, também,

representada por a x d = b x c.

3.4. Regra de três simplesA regra de três simples é uma aplicação do conceito de proporção, onde

conhecemos os valores de uma razão e sabemos que a segunda é propor-

cional à primeira.

De acordo com Horiguti e Donadel (2014), “é um processo prático para

resolver problemas que envolvam quatro valores, dos quais se conhecem

três, tendo apenas duas grandezas envolvidas”, o qual consiste em deter-

minar o valor do quarto elemento, a partir dos três, já conhecidos e, por

isso, é denominada de regra de três.

3.4.1. Grandezas diretamente proporcionais

Um trabalhador de uma gráfica encaderna 18 livros, em uma hora. Quan-

tos livros, esse mesmo trabalhador, consegue encadernar em 6 horas?


Podemos organizar os dados em duas grandezas: livros encadernados e

horas de trabalho.

Como a produção deve aumentar com a quantidade de horas, temos uma

regra de três diretamente proporcional. Portanto, a primeira razão é igual

a segunda razão, conforme segue:

Por definição de proporção, temos que o produto do numerador, da pri-

meira fração, pelo denominador da segunda, é igual ao produto do deno-

minador da primeira, pelo numerador da segunda fração. Vejamos:

Logo, podemos concluir que, o trabalhador encadernará 180 livros, em 6 horas.

3.4.2. Grandezas inversamente proporcionais

Para realizar uma viagem entre duas cidades a uma velocidade média de

60 km por hora foram necessárias 6 horas. Caso o veículo mantivesse a

velocidade média, de 80 km/h, quantas horas levaria para realizar o mesmo

trajeto?

Ao montar o quadro, podemos perceber que, quanto maior for a veloci-

dade média, menor será o tempo necessário para percorrer o trajeto. Isso

significa que, essas grandezas são inversamente proporcionais.


Como as grandezas são inversamente proporcionais, a proporção é dada

pela primeira razão igual ao inverso da segunda, conforme:

De modo análogo ao exemplo anterior, temos que o produto do nume-

rador, da primeira fração, pelo o denominador da segunda, é igual ao

produto do denominador da primeira, pelo numerador da segunda fração.

Vejamos:

Portanto, serão necessárias 4 horas e 30 minutos para percorrer o trajeto,

a uma velocidade média de 80 km/h.

Passos utilizados numa regra de três simples:I. Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie, em

colunas, e mantendo, na mesma linha, as grandezas de espécies dife-

rentes, em correspondência.

II. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente propor-

cionais.

III. Montar a proporção e resolver a equação.

Pesquise mais em casa sobre regra de três simples!

3.5. Regra de três compostaQuando uma regra de três possui mais de duas grandezas envolvidas e,

com isso, mais de quatro elementos, que influenciam no sistema, é deno-

minada de regra de três composta. Neste tipo de operação, continuaremos

a ter uma proporção e, embora a quantidade de elementos seja maior do

que na regra de três simples, permanecemos com apenas um elemento a

ser determinado.


São necessários 6 funcionários, durante 8 horas, para empacotar 120 far-

dos de sucos, em sachês.

Considerando que devem ser empacotados 240 fardos, em 4 horas, quan-

tos funcionários são necessários?

Neste caso, vamos manter a primeira coluna fixa e analisar as demais.

Diminuindo o número de horas, é preciso aumentar o número de funcio-

nários, logo, a 1ª e 2ª colunas são inversamente proporcionais. Por outro

lado, se diminuirmos a quantidade de fardos, também reduzirá a quantida-

de, portanto, a 1ª e 3ª colunas são diretamente proporcionais.

Façamos a inversão da segunda coluna, para que se tornem diretamente

proporcionais:

Serão necessários 24 empregados, para executar o empacotamento de

240 fardos, em 4 horas.

ResumoNessa unidade, você aprendeu a modelar situações do cotidiano, que en-

volvem duas ou mais grandezas e calcular o valor da incógnita, por meio

de uma regra de três simples ou composta. Aprendeu ainda, a identificar e

aplicar as razões e proporções, na resolução de regra de três. O conhecimen-


to visto, nessa unidade, será muito útil na sua vida pessoal e profissional.

Parabéns por ter conseguido chegar até aqui.

Significando a aprendizagemQuestão 1: Dados os casos a seguir, analise se são diretamente proporcio-

nais e resolva, utilizando regra de três simples.

a. A gasolina vendida no Brasil é uma mistura de etanol e gasolina. Con-

siderando que, para cada galão de 125 litros de gasolina, há 32,5 litros

de etanol, calcule a porcentagem de etanol contida na mistura.

b. A linha de produção de uma panificadora produz 4500 pães, em 6

horas. Caso amplie a sua produção para 11 horas, quantos pães pro-

duzirá?

c. Uma certa quantia em reais foi convertida em 158 dólares, sendo que,

no momento da transação, a cotação do dólar era de R$ 3,17. Quantos

dólares seria possível comprar com a mesma quantia em reais, caso a

cotação fosse de R$ 3,05?

Questão 2: Dadas as informações a seguir, resolva, por meio da regra de

três composta.

a. Se uma fábrica de refrigerantes possui 8 máquinas automatizadas, que

envasam, aproximadamente, 16.450 garrafas pet, em 5 horas de traba-

lho. Quantas garrafas de refrigerantes seriam envasadas, por 11 máqui-

nas, em 7 horas?

Para finalizar o estudo da Unidade 3, você deve acessar o AVA, Ambiente



subjetivas).





Unidade 4 - Operações Algébricas EAD-UNISL47

Unidade Operações Algébricas4Descritor:

• Descritores:

• Aplicar a adição, subtração, multiplicação e

divisão, na resolução de expressões literais;

• Praticar fatoração de expressões algébricas;

• Demonstrar a simplificação de expressões al-

gébricas.

Caro (a) Estudante,

Um dos maiores problemas na resolução de expressões algébricas, as quais

são conhecimentos basilares para o entendimento de equações e funções,

encontra-se na dificuldade de compreensão da escrita matemática, por

ser um tanto quanto abstrata. Com objetivo de facilitar seu aprendizado,

esta unidade, além da resolução algébrica (abstrata), também conta com

demonstração geométrica (concreta).

Ao final dessa aula, esperamos que você seja capaz de calcular operações,

com expressões algébricas.

4.1. ApresentaçãoNa primeira unidade de ensino, você aprendeu as propriedades associativa,

comutativa e distributiva, as quais são muito importantes para o desenvol-

vimento desta unidade. Caso você considere necessário, reveja a Unidade

1, antes de continuar.


Vamos analisar um caso concreto, para iniciarmos o estudo desta unidade.

Uma empresa está procurando prédios para locação, desde que atendam

às proporções representadas nas figuras P e Q. Pela figura P, o comprimen-

to da sala deve ser 4 vezes a sua largura, enquanto que, na figura Q, a sala

deve ter o comprimento 4 vezes a sua largura, no entanto, será retirado

um espaço de 2 por 3 metros, para a instalação de sala de apoio.

O gerente deseja ter uma fórmula que defina o perímetro e a área, de cada sala.

Analise o resultado obtido e as fórmulas definidas no quadro a seguir:

Observe que, os perímetros das duas áreas são iguais, uma vez que na fi-

gura Q foi alterado o trajeto, porém, não alteraram as medidas.

Quanto as áreas na figura P, multiplicou-se o comprimento 4x pela largura

x, enquanto que, na figura Q, após a multiplicação do comprimento 4x pela largura x, subtraiu a área de apoio (3∙2).

4.2. Monômios e PolinômiosSão denominados de monômio ou termo algébrico, quaisquer expres-

sões algébricas, representadas por um número, uma incógnita, ou pelo

produto de números e incógnitas, assim 4x, x, – 3, –2, 3 e 2 são termos

algébricos ou monômios.

Os polinômios são expressões algébricas de uma variável, formada por

uma soma finita de termos, nos quais essa variável é multiplicada por uma

constante e elevada a uma potência inteira positiva.


A forma geral de um polinômio em x é definida por

Onde cada coeficiente ai é um número real e onde i=0,1,2,…,n. Se an≠0,

o grau do polinômio é n, e an é chamado coeficiente dominante. O termo

a0 é chamado termo constante.

Como exemplificado no caso inicial, os monômios e polinômios represen-

tam números reais, assim, as propriedades dos números reais podem ser

usadas para somar, subtrair, multiplicar, dividir e simplificar polinômios.

As operações de monômios e polinômios são bastante abstratas e, por

isso, parecem muito complexas. Com o objetivo de facilitar o seu estudo,

utilizaremos figuras retangulares para ilustrá-las. Para isso, convenciona-

mos as figuras a seguir, a serem utilizadas nesta unidade.

Cada figura acima tem seu oposto (negativo), na cor preta, conforme segue:

4.2.1. Soma de polinômiosExemplo:

Uma área é representada por 1 quadrado de lado x, 3 retângulos de lado

x e 2 quadrados de lado 1.

Efetue a soma das áreas das figuras e expresse o resultado, em expres-

são algébrica.


Solução:

Considerando que, a área de cada figura é obtida por meio da multiplica-

ção da largura pela altura, podemos formular a expressão:

Exemplo 2:Calcule (2xy + x) + (xy – 2x)

Primeiramente, vamos demonstrar, geometricamente, cada termo. Obser-

ve que, na representação dos valores negativos, utilizamos a soma de valo-

res opostos (peças pretas).

Após as operações de soma e cancelamentos de valores opostos, obtemos

o resultado 3xy – x.


Embora tenhamos realizado a soma dos binômios dados, você deve ter

percebido que, todas as peças do resultado, têm altura igual a x, isto signi-

fica que podemos colocar x em evidência, por meio da fatoração.

Analise a demonstração:

Agora que você aprendeu a resolver a soma de polinômios, geometrica-

mente, vamos utilizar as propriedades algébricas, para encontrar a mesma

solução:

(2xy + x) + (xy – 2x)=

O primeiro passo será eliminar os parentes:

2xy + x + xy – 2x

Agora, podemos somar os termos monômios semelhantes:

3xy – x

Utilizaremos a propriedade distributiva, para colocar x em evidência,

x(3y – 1)

Logo, provamos que (2xy + x) + (xy – 2x) = 3xy – x = x(3y – 1)

4.2.2. Subtração de polinômios

Calcule


O primeiro passo para aplicar a resolução algébrica é modelar as expres-

sões, transformando-as em soma de expressões, isto é possível por meio da

inversão de sinal, dos termos da segunda expressão, conforme:

Agora, faremos a representação:

Logo, podemos demonstrar que:

(3x2 + 2xy + y2 + 1) + (–2x2 + xy – 4) = x2 + xy + y2 – 3

Resolvendo, algebricamente, teremos:

(3x2 + 2xy + y2+1) – (2x2 – xy + 4) =

3x2 + 2xy + y2 + 1 – 2x2 + xy – 4 =

(3x2 – 2x2) + (2xy + xy) + y2 + (1–4) =

x2 + 3xy + y2 – 3

Exemplo 3:Neste exemplo, iremos simplificar a expressão 3x2 – [2x – (3x2 – 2x)]. Para en-

contrar a solução, utilizaremos o aplicativo Mathway – Problema Matemático.


Aplicativo Mathway, disponível nas lojas App Sore e Play Store.O Mathway é um aplicativo gratuito, que resolve, ins-

tantaneamente, problemas - basta digitar o seu pro-

blema (ou apontar sua câmera e tirar uma foto) para

receber respostas instantâneas gratuitas, além do deta-

lhamento da solução, que lhe auxilia na realização de

seus exercícios.

A resposta, a seguir, foi obtida no Mathway:

Baixe o Mathmay atraves do link a baixo: <https://goo.gl/HftuN0>


4.3. FatoraçãoUsando a propriedade distributiva, ao contrário, podemos fatorar monômios

em um polinômio. Um exemplo disso é a expressão ax + ay = a (x + y), mostrando que a é um fator monômio do polinômio ax+ay. O fator

monômio do polinômio deve ser um fator de cada termo do polinômio e,

por isso, é denominado de fator monômio comum.

4.3.1. Fatoração por agrupamentoFatore 5x – 5y + bx – by

Observe que temos duas variáveis e duas constantes. Neste caso, vamos

fatorar por agrupamento, para isso, inicialmente, agrupamos (5x–5y), que

tem 5 em comum e (bx – by), que tem b em comum.

5x – 5y + bx – by=

(5x – 5y) + (bx – by)=

Agora, colocamos as constantes 5 e b em evidência:

5(x – y) + b(x – y) =

Observe que (x – y) é comum aos dois termos, logo, podemos colocá-los

em evidência e, assim, encontramos a resposta da fatoração igual a (x – y)(5 + b).

4.3.2. Fatoração de trinômiosCertos trinômios são quadrados perfeitos, formados por (x + a) ∙ (x + b), onde o primeiro termo é x2, o segundo por (a + b)x e o terceiro termo por

a ∙ b, como é o caso do exemplo a seguir:

Dado x2 + 5x + 6, fatore, utilizando a demonstração geométrica e depois

elabore a expressão fatorada.

Solução:


Conforme demonstrado, temos:

x2 + 5x + 6=

Precisamos encontrar dois valores que, somados, sejam iguais a 5 e multi-

plicados, iguais a 6, logo 2 e 3 atendem a esta condição, assim substituí-

mos 5 por 2 + 3.

x2 + (3 + 2)x + 6 =

x2 + 3x + 2x + 6 =

Utilizando raciocínio análogo ao exemplo anterior, fatoramos a expressão,

conforme segue:

(x2 + 3x) + (2x + 6)=

x(x + 3) + 2(x + 3)=

(x + 2)(x + 3).

4.3.3. Fatoração de trinômios especiaisOs trinômios quadrados perfeitos, como a própria denominação já define,

têm a forma geométrica de um quadrado, os quais são formados por três

termos, com a forma de fatoração algébrica predefinida por uma regra

geral, conforme segue.

São considerados trinômios quadrados perfeitos, os trinômios que aten-

dem as condições dadas por:

x2 + 2ax + a2 = (x + a)2

x2 – 2ax + a2 = (x – a)2

Tomando o primeiro trinômio especial x2 + 2ax + a2 = (x+a)2, provamos a

sua propriedade em x2 + 6x + 9, conforme segue.

Primeiramente, faremos a demonstração geométrica, onde organizamos

um quadrado de lados x, 6 retângulos de x comprimento e 9 quadrados

de lados iguais a 1, de maneira a formar um quadrado:


Conforme se verifica na figura, cada lado do quadrado fatorado é igual

a (x + 3), logo provamos, geometricamente, que x2+6x+9 é igual a

(x + 3)(x + 3) = (x + 3)2.

Na fatoração a seguir, confirmamos, algebricamente, a solução já demonstrada:

Para provar que o trinômio especial x2 – 2ax + a2 tem como fatoração

(x – a)2, utilizamos o caso específico x2 – 4x+4.

A demonstração geométrica, neste caso, será composta por um quadrado

de lados x, -4 retângulos de x (cor preta) comprimento e 4 quadrados de

lados iguais a 1, de maneira a formar um quadrado:

Unidade 5 - Índices, Coeficientes e Taxas EAD-UNISL57

Como queríamos provar, x2 – 4x + 4 tem como resultado

(x – 2)(x – 2) = (x – 2)2.

Analise a resolução algébrica:

A diferença de dois quadrados também é um tipo de trinômio especial,

onde x2 – a2 = (x + a)(x – a). Para provar a propriedade, deste tipo de tri-

nômio, utilizamos o caso específico (x + 2)(x – 2) é igual a x2 – 4.

(x + 2)(x – 2) = x2 – 4

Utilizando a fatoração algébrica, chegamos a mesma conclusão:

Assim, como queríamos provar, demonstramos que x2 – 4, em sua forma

fatorada, é igual a (x + 2)( x – 2). Se reescrevemos x2 – 4 como x2 – 22,

verificamos que a propriedade geral x2 – a2 = (x + a)(x – a) é verdadeira,

para a = 2.


ResumoNessa unidade, você aprendeu a modelar, classificar e calcular operações,

com expressões algébricas, utilizando os métodos geométricos e algébri-

cos. A escrita matemática, de problemas do cotidiano, em expressões al-

gébricas, denominada de modelagem matemática, oferece a você uma po-

derosa ferramenta para a compreensão e cálculo de situações-problemas,

que lhe exige tomada de decisão. Chegamos a metade de nossa disciplina,

parabéns por ter conseguido chegar até aqui.

Significando a aprendizagemQuestão 1: Dadas as expressões abaixo, utilize a soma e subtração de

polinômios, para simplificá-las:

(xy – x2 + 1) + (2 + 2x2 – 2xy)

(2x2 – xy) – (2x – xy – 2)

Questão 2: Aplique os métodos geométricos e algébricos, e fatore os

polinômios a seguir:

a. 2x + 4x

b. x2 – 1

c. x2 + 4x + 3

d. x2 – 8x + 16

e. 2x2

Para finalizar o estudo da Unidade 4, você deve acessar o AVA, Ambien-

te Virtual de Aprendizagem, e realizar os temas (habilidades) indicados,

compostos por microdesafios (questões objetivas) e macrodesafios (ques-

tões subjetivas).






UnidadeÍndices, Coeficientes e Taxas5

Descritor:

• Descritores:

• Converter dados absolutos em índices;

• Elaborar coeficientes;

• Transformar dados absolutos em taxas.

Caro (a) Estudante,

Os dados de quantidades e valores, das situações cotidianas, representam,

muitas vezes, diferentes grandezas ou períodos de tempo e, por isso, nos

impedem de realizar comparações, uma vez que, não guardam proporção

entre si. As taxas, coeficientes e índices, chamados de números relativos, re-

presentam uma solução de transformar diferentes valores, em valores com-

paráveis entre si. Além disso, tais valores se configuram em importantes ins-

trumentos, na realização de planejamento, com base no histórico de dados.

Ao final dessa aula, esperamos que você seja capaz de formular índices, co-

eficientes e taxas, a partir de um banco de dados absolutos.

5.1. ApresentaçãoO planejamento orçamentário de uma empresa é fundamental para a forma-

ção de caixa mínimo, necessário para o pagamento de seus compromissos,

por outro lado, se o recurso reservado para tais compromissos for muito

superior, significa que a empresa está paralisando valores que poderiam ser

aplicados em atividades operacionais, para a obtenção de mais retorno, tais

como, compra de mercadorias ou pagamentos à fornecedores.


Mas como se planejar para aquilo que ainda não aconteceu? É simples, basta

que utilizemos índices, coeficientes e taxas, baseadas nos dados de períodos

anteriores, para elaborarmos uma previsão, a ser adotada, no planejamento.

Por exemplo:

No ano de 2016, a empresa Gestão & Treinamentos pagou um total de 400

dias de atestados/auxílio doença/afastamentos, resultando num total desem-

bolsado de R$ 14.800,00, a este título.

A empresa teve 200 empregados, que trabalharam no mesmo ano (tanto

admitidos, quanto demitidos e aqueles que permaneceram na empresa). O

total da folha de pagamento, no ano, foi de R$ 1.530.000,00.

Se multiplicamos por 100, transformamos esse coeficiente em taxa percen-

tual:

Taxa de absenteísmo=0,967%

Então, nesse caso, a "taxa" de atestados foi igual a 0,967%, sobre a folha,

e deve ser acrescida aos respectivos encargos sociais e trabalhistas.

Com essa taxa de absenteísmo, baseada nas informações de 2016, a empre-

sa pode estimar os valores a serem provisionados, para o pagamento de tais

encargos trabalhistas.

Você deve ter percebido que transformamos dois valores monetários em

uma taxa de absenteísmo, que faz sentido, se utilizada na análise do ano

seguinte. Esse número transformado é denominado de número relativo.

Os números relativos são baseados em dados quantitativos, ou seja, em da-

dos absolutos, e possuem inúmeras aplicações, conforme veremos, detalha-

damente, a seguir.


Absenteísmo:Refere-se a atrasos, faltas e saídas antecipadas no trabalho, de maneira

justificada ou injustificada, ou ainda, aquelas justificáveis.

A taxa de absenteísmo é o termômetro de ausências no trabalho, que

também quer dizer, redução na carga-horária de trabalho. A título de ilus-

tração, podemos raciocinar o seguinte: se há, na empresa, um índice de

absenteísmo de 20%, e 100% gera uma determinada produção, a grosso

modo, a ideia é de que, nesse caso, a empresa reduziu em 20% a força

de trabalho, em relação ao seu faturamento.

Pesquise mais sobre absenteísmo!

5.2. ÍndicesOs índices são razões entre duas grandezas, tais que uma não inclui a outra.

A renda familiar per capita é um exemplo de índice, conforme você pode verifi-

car no caso a seguir:

Observe este exemplo prático de utilização de índice, na definição de benefícios

sociais, do Governo Federal.

Para verificar se a família do idoso ou da pessoa com deficiência, recebe menos

de ¼ de salário mínimo por pessoa, ou seja, se a renda mensal familiar per ca-

pita é inferior a ¼ de salário mínimo, devem ser somados todos os rendimentos

recebidos no mês por aqueles que compõem a família, compreendendo o (a)

requerente (idoso ou pessoa com deficiência); o (a) cônjuge ou companheiro (a);

os pais e, na ausência deles, a madrasta ou o padrasto; irmãos (ãs) solteiros (as);

filhos (as) e enteados (as) solteiros (as) e os (as) menores tutelados (as).

O valor total dos rendimentos, chamado de renda bruta familiar, deve ser dividi-

do pelo número dos integrantes da família. Se o valor final for menor do que ¼

do salário mínimo, o (a) requerente pode receber o BPC, desde que cumpridos

todos os demais critérios.

Os rendimentos, que entram no cálculo da renda bruta mensal, são aqueles

provenientes de: salários; proventos; pensões; pensões alimentícias; benefícios

de previdência pública ou privada; seguro desemprego; comissões; pró-labore;

outros rendimentos do trabalho não assalariado; rendimentos do mercado in-

formal ou autônomo; rendimentos auferidos do patrimônio; Renda Mensal Vi-

talícia – RMV, e o Benefício de Prestação Continuada da Assistência Social - BPC.

Disponível em: <https://goo.gl/CjioP1>

Leia mais sobre "Como calcular a renda per capita familiar". Disponível em: <https://goo.gl/KyVYUQ> Acesso em 27 mar. 2017.


Neste caso, podemos definir a fórmula de cálculo como:

Tomando um caso prático:

O Sr. Antônio, de 65 anos, não conseguiu se aposentar, por falta de compro-

vação de contribuição à previdência social, e por esse motivo, deseja saber

se tem direito ao Benefício de Prestação Continuada, da Assistência Social.

Como não possui renda alguma, mora na casa de seu filho Mateus, que

trabalha e tem salário de R$ 1.000,00. Ester, esposa de Mateus, também

trabalha por uma remuneração mensal de R$ 944,00. Duas irmãs de Ester e

quatro filhos do casal residem, na mesma casa.

Vamos auxiliar Sr. Antônio a calcular a renda familiar per capita?

A renda familiar per capita, nesse caso, é de R$ 216,00, ou seja, cada pessoa

recebe esse valor.

Se dividirmos a renda familiar per capita, pelo salário mínimo, obtemos o

valor e, portanto, é menor que do salário mínimo, o que lhe

dá direito ao benefício.

Vejamos outros exemplos de índices:


5.3. CoeficientesOs coeficientes são razões entre o número de ocorrências e o número total,

que compreendem as ocorrências e não ocorrências, tais como:

5.4. TaxasAs taxas são dadas pelo próprio coeficiente, entretanto, o que as diferen-

ciam é o fato de serem, necessariamente, multiplicadas por 10, 100, 1.000,

10.000 ou 100.000, para tornar o resultado mais compreensivo.

Tomando como exemplo, os coeficientes mostrados acima, temos:

• Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 100.000

• Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar x 100

• Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1.000

As taxas são, comumente, utilizadas na representação de resultados, devido

a forma simplificada de representação.

Retomando o exemplo inicial desta unidade, temos o coeficiente de absente-

ísmo = 0,00967. Se multiplicamos por 100, transformamos esse coeficiente

em taxa percentual de absenteísmo de 0,967%, de mais fácil compreensão.

O mesmo coeficiente, se multiplicado por 10.000, nos retorna a uma taxa de

96,7, significando que, a cada 10.000 dias de trabalho pagos, pelo empre-

gador, 96,7 dias seriam um esforço perdido, pela ausência de empregados,

no trabalho.

Taxa de absenteísmo=0,00967×10.000=96,7


ResumoNessa unidade, você aprendeu os principais conceitos de números relativos

e suas aplicações. Aprendeu ainda, a elaborar taxas, coeficientes e índices,

a partir de dados absolutos, extraídos de bancos de dados, de situações de

nosso cotidiano. Essa formalização, através de dados relativos, viabiliza a

você, um instrumento importante e poderoso para a análise comparada de

dados e resultados de diferentes épocas, empresas e áreas do conhecimento.

O conhecimento visto nessa unidade é primordial para o bom entendimento

da próxima, que terá como assunto, porcentagem e taxas unitárias. Para-

béns por ter conseguido concluir mais uma unidade de nossa disciplina.

Significando a aprendizagemQuestão 1: Com base nos dados do quadro abaixo, calcule os números

relativos solicitados:

a. Calcule o índice de densidade demográfica, em 2016.

b. Formule o coeficiente de óbitos por morbidades hospitalares.

c. Calcule a taxa (por 10.000 pessoas) de óbitos por morbidades hospita-

lares.








Unidade 6 - Porcentagem EAD-UNISL65

Objetivos:

• Descritores:

• Calcular porcentagens;

• Analisar taxas unitárias.

Caro (a) Estudante,

A porcentagem é uma das técnicas matemáticas mais utilizadas na represen-

tação de quantidades e valores, em razão de uma outra medida, que se tem

como parâmetros. A adequada aplicação da técnica de porcentagem constitui

um importante recurso, capaz de explicar, de forma simplificada, grandes va-

lores numéricos.

Ao final dessa aula, esperamos que você seja capaz de classificar dados,

utilizando-se de porcentagem.

6.1. ApresentaçãoOs conhecimentos em porcentagens podem ser aplicados em diversas situa-

ções, das mais variadas áreas do conhecimento. Antes de iniciarmos o estudo

sobre a forma de cálculo, vamos analisar uma aplicação de porcentagens, no

cálculo de encargos sociais e trabalhistas, de uma folha de pagamento, con-

forme segue exemplo:

Unidade Porcentagem6


Estudo de Caso:Cálculos de Encargos Sociais e Trabalhistas

Para o cálculo dos custos, da mão de obra, é necessário determinar quais as

incidências sociais (INSS, FGTS normal e FGTS/Rescisão) e trabalhistas (Provi-

sões de Férias, 13º salário e Descanso Semanal Remunerado - DSR), sobre os

valores das remunerações pagas.

Neste exemplo, analisamos quatro cálculos diferentes, que não compreendem

todas as situações possíveis, pois cada empresa ou atividade tem suas próprias

características de composição de custos. Mas os cálculos adiante, podem servir

de norteadores/indicadores, para estas empresas.

Assim sendo, nos cálculos apresentados, estão apenas os quesitos básicos re-

lativos às férias, 13º salário, DSR e encargos sociais - FGTS e INSS.

A metodologia do cálculo do DSR é o padrão anualizado para jornada de

trabalho de 44 horas semanais (1 dia por semana, equivalente a 1/6 da remu-

neração para 52 semanas no ano, divididos por 12 meses).

EMPRESA NÃO OPTANTE PELO SIMPLES - CÁLCULO SOBRE UM SALÁ-RIO DE MENSALISTA

Observe que a tabela abaixo traz índices percentuais, ou seja, em forma de

porcentagem, dos encargos trabalhistas e sociais. Tais índices percentuais per-

mitem a simplificação e padronização de cálculo, trazendo maior eficiência ao

trabalho, além de reduzir a margem de erros.

Cálculos de Encargos Sociais

e Trabalhistas. Disponível em

<https://goo.gl/kkuae1> Acesso em: 10 Abr. 2017.


No caso acima, simulamos o salário de um empregado, de uma empresa não

optante pelo Simples Nacional, no valor de R$ 1.500,00. Para o salário espe-

cificado, obtivemos o valor de R$ 1.022,55 para o total de encargos, isso por-

que, além do salário, o empregador deve pagar 68,17% de encargos sociais e

trabalhistas, logo, o custo de mão de obra deste trabalhador é de R$ 1.500,00

+ 1.022,55 = 2.522,55.

Ainda analisando a tabela, verifique que todos os encargos estão expressos

em porcentagens e para a obtenção do valor da contribuição, basta multiplicar

a respectiva porcentagem pelo salário, por exemplo:

Agora que você já percebeu a importância da porcentagem, na resolução de

situações-problemas e na tomada de decisão, vamos aprender seu conceito e

forma de cálculo.

6.2. PorcentagemDe acordo com Jacques (2010, p. 168), “a palavra ‘porcentagem’ ou ‘per-

centagem’ significa, literalmente, ‘por cento’, isto é, por centésimo; assim,

sempre que falamos % de alguma coisa, queremos dizer, simplesmente, a fra-

ção -ésimo. ”Em outra definição, extraída do Wikipédia, “é um modo de

expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte

e o outro é o inteiro), a partir de uma fração, cujo denominador é 100 (cem),

ou seja, é dividir um número por 100 (cem)”.

Para identificar um número porcentual, utilizamos o símbolo % (se lê por

cento). O símbolo está relacionado a uma razão, de base 100 (cem), o qual

pode ser descrito como:

Isso significa dizer que, todo número, quando representado como porcen-

tagem, está, na verdade, relacionado a uma divisão por 100, como aqui

exemplificado:

O resultado desta divisão, gera um outro tipo de taxa, muito utilizada na

matemática financeira. É a taxa unitária, encontrada por meio da divisão de

uma taxa porcentual por 100. No caso acima, a taxa unitária de 5% é igual

a 0,05.

Porcentagem. Disponível em: <https://goo.gl/Mb5MHV> Acesso em 13/01/13.


A porcentagem pode assumir duas diferentes perspectivas, denominadas de

complementar e suplementar, conforme abaixo demonstrado.

Talvez não tenha ficado muito claro para você, quais as principais diferenças en-

tre os tipos de porcentagens, que aqui resolvemos classificar como complemen-

tares ou suplementares. Por isso, vamos explorar um pouco mais este assunto.

6.2.1. Porcentagem complementarNós podemos classificar como porcentagem complementar, toda opera-

ção, na qual o que se busca descobrir é uma parte do total, ou parte do

inteiro. Para clarificar, podemos dar alguns exemplos, como os pedaços

de uma pizza que foram degustados, os alunos de uma turma que falta-

ram à aula, a quantidade de dias que você trabalhou em um ano, entre

outros exemplos.


Você observou que, entre todos estes exemplos, há algo em comum? É

que a porcentagem nunca pode ser maior que 100%, como mostra o

quadro a seguir:

Com certeza, ficou bem mais fácil entender, não é mesmo? O conceito de

porcentagem complementar, que aqui denominamos, se deve ao fato de

que, a porcentagem máxima é igual a unidade 1 (um), ou seja 100. Isso é

valido, sempre que a porcentagem procurada for uma parte ou parcela de

um conjunto.

6.2.2. Porcentagem suplementarE a porcentagem suplementar? Que características possui, para assim ser

denominada?

É importante, primeiro observar que esta caracterização é uma forma apenas

de facilitar a sua compreensão e aprendizado.

Nesta obra, denominamos como suplementares, os cálculos de porcenta-

gem, cujos resultados são possíveis de serem maiores do que 100%.

Vamos dar alguns exemplos para facilitar a compreensão.

Neste caso, pode-se ilustrar com o cálculo de aumento salarial, que não há

limitação quanto ao seu valor máximo, ou seja, o salário pode ter aumento

de 5%, 10%, 100%, 200%, etc. Existem outros exemplos, vejamos alguns

no quadro a seguir:


6.3. Cálculo de porcentagemAgora que você já compreendeu o que é porcentagem e conheceu algumas

características, vamos aos elementos dos cálculos porcentuais:

A porcentagem, representada por r, é o valor que traduz a quantidade de

unidades tomadas de outra, proporcionalmente, a uma taxa.

Taxa, representada por i, é o valor que traduz a quantidade de unidades

tomadas de outra, em cada 100.

Principal, denotada por p, é o valor da grandeza, em que se calcula a per-

centagem.

Assim, podemos representá-la por:

Vamos aplicá-la em alguns casos?

1º Exemplo:Tiago fez a prova de um concurso, no último domingo. Ao conferir o gaba-

rito oficial, ele verificou que acertou 27, do total de 36 questões da prova.

Qual foi a porcentagem de acerto de Tiago?

Resolução:

Total de questões: r = 36

Total de acertos: p = 27

Significa dizer que Marcelo acertou 75% das questões da prova.


2º Exemplo:Em setembro de 1994, logo após o início do Plano Real, o salário era de

R$ 70,00. Em 2017, o salário mínimo vigente é de R$ 937,00. Qual foi a

porcentagem de aumento do salário mínimo, nos últimos 23 anos?

Resolução:

Salário inicial em 1994: p = 70

Salário em 2017: r = 937

Esta questão é do tipo que denominamos como suplementar e, neste sen-

tido, precisamos subtrair 100%, que corresponde aos 70 reais, do salário

inicial.

i = 1338,57% – 100%

i = 1238,57%

Logo, o aumento do salário mínimo, nos últimos 23 anos, foi de 1238,57%.

ResumoNessa unidade, você aprendeu a como aplicar porcentagens e taxas unitá-

rias, no tratamento de dados absolutos. O uso de porcentagem lhe possi-

bilita obter respostas mais precisas, nas comparações de dados e informa-

ções, de diferentes períodos temporais e de diferentes conjuntos de dados,

mas que possuem variáveis ou grandezas em comum. O conhecimento visto

nessa unidade, será muito útil na tomada de decisões, em sua profissão, e

parabéns, por ter conseguido chegar até aqui.


Significando a aprendizagemQuestão 1: Dadas as situações abaixo, utilize o conceito de porcentagem,

para encontrar as repostas solicitadas.

• Um sistema bancário analisa o grau de endividamento dos clientes, para

liberar empréstimos. O cliente não deve ter dívidas que superem 35%

de sua renda mensal. Determinado cliente tem um financiamento de R$

650,00, que representa 9,5% de sua renda mensal. Qual seria o valor

máximo da parcela mensal de seu financiamento?

• Ana é vendedora de roupas e ganha, como remuneração variável, uma

comissão de 6%, sobre os lucros, nas vendas realizadas. Se no mês pas-

sado, as vendas foram de R$ 75.000,00, com um lucro de 25%, então a

comissão de Ana será:

• Cláudia gastou R$ 32,00, na compra de uma camiseta e revendeu com o

lucro de R$ 4,00. Determine a porcentagem do lucro de Cláudia.








Unidade 7 - Equações e inequações EAD-UNISL73

Objetivos:

• Descritores:

• Formular equações de 1º grau;

• Praticar inequações de 1º grau.

Caro (a) Estudante,

Uso de equações matemáticas, no tratamento de informações e nas toma-

das de decisões, tem se tornado, cada vez mais, presentes em nossas vidas,

principalmente, com a utilização de planilhas eletrônicas. Para a utilização

de equações em planilhas eletrônicas tem sido, cada vez mais, exigida a ha-

bilidade de transformar o contexto em modelos matemáticos, traduzindo-os

em equações.

Ao final dessa aula, esperamos que você seja capaz de formular e calcular

equações de primeiro e segundo graus.

7.1. ApresentaçãoEm nossa vida, há uma grande variedade de situações, que podem ser sis-

tematizadas e simplificadas, por meio de equações matemáticas. Podemos

por exemplo, utilizar equações e seus gráficos para estudar demanda ou

oferta de determinado produto, no mercado, custos e vendas de mercado-

rias, produtividade de empregados, crescimento populacional, entre outras

infinidades de soluções.

Unidade Equações e inequações7


Vejamos uma aplicação deste conceito, no faturamento de uma empresa.

A empresa Vende Mai$ fez levantamento da média anual de vendas, por

empregado, entre os anos de 2013 a 2016, e chegou aos seguintes valores:

De posse desses dados, construiu a equação de faturamento igual a y=32x+126,

onde y representa as vendas anuais, por empregado e x ano.

No gráfico, foi possível demonstrar a linha de tendência, de evolução das

vendas. Além disso, foi possível projetar as vendas de 2017. Para a projeção

das vendas, aplica-se a equação y = 32x + 126 e substitui-se o x por 5 (que

corresponde ao ano de 2017), na sequência analisada.

y = 32x + 126

y = 32∙5 + 126

y = 160 + 126

y = 286

Como podemos verificar, a previsão de vendas, em 2017, será de 286 mil,

por empregado.


7.2. Equações de primeiro grauA palavra equação, tem como significado, a igualdade entre duas expres-

sões, ligadas pelo sinal = (igual), que só se verifica para determinados valores

das variáveis, nela contidas. Ou seja, uma equação é uma afirmação de que

duas quantidades são iguais.

Exemplo:Dada a equação 2x + 7 = 15, podemos representar 2x + 7 e 15 como duas

partes de uma igualdade, conforme ilustra a figura:

Quanto à resolução:

O resultado é 4 e, portanto, somente quando a variável x for igual a 4, a

equação 2x + 7 = 15 será verdadeira. E para qualquer valor x ≠ 4, teremos

2x + 7 ≠ 15, logo, não será uma equação.

Agora que já definimos o que é uma equação, que tal transformarmos algu-

mas situações em equações? Analise os casos a seguir:

Situação EquaçãoUm coffee break, servido aos clientes, custou 255 reais. Se o valor cobrado, por pessoa, foi de 15 reais, mais uma taxa fixa de 45 reais, por evento, para quantas pessoas foi servi-do?

Uma autopeças calcula o preço de manuten-ção, no preço das peças e nas horas técnicas gastas, na manutenção. Na revisão de um veículo foi cobrado, do cliente, 450 reais. Sa-bendo que as peças custaram 290 reais e que foram cobradas duas horas técnicas, qual é o valor da hora técnica?


Harshbarger e Reynolds (2006) explicam que “algumas equações, envolven-

do variáveis, são verdadeiras somente para certos valores de variáveis, en-

quanto outras são verdadeiras para todos os valores. As equações que são

verdadeiras para todos os valores das variáveis denominam-se identidades. ”

A equação 3 (x + 2) = 3x + 6 é um exemplo de uma identidade, isto é, seja

qual for o valor de x, será mantida a igualdade.

7.2.1. Sistemas de equações linearesA empresa RH Treinamentos realiza uma palestra, na qual espera faturar R$

5.000. O auditório, onde será realizado o evento, comporta 120 pessoas. As

inscrições terão dois preços, sendo R$ 50,00 para o público geral e R$ 25,00

para estudantes. Quantas vagas estão reservadas para estudantes?

Observe que para resolver esta questão, precisamos montar um sistema de

equações, conforme mostramos, nos procedimentos a seguir:


Chegamos, portanto, a conclusão que:

Logo, 40 vagas serão reservadas para estudantes e as outras 80, destinadas

ao público geral.

Vamos resolver outro sistema, porém agora, utilizando o método de elimina-

ção (adição ou subtração).

Exemplo:Tiago está iniciando novos projetos e, por esse motivo, está propondo, ao

seu sócio, o encerramento da sociedade, com a venda de sua parte. Seu só-

cio então lhe fez a seguinte proposta, um deles fica com um terreno e mais

60 mil reais e o outro fica com a empresa, menos 60 mil reais. O terreno e

a empresa, juntos, valem 230 mil reais. Defina qual o valor do terreno da

empresa e o valor que cada sócio receberá.

Solução:O sistema fica assim especificado:


Logo, o valor do terreno é 55 mil, a empresa 175 mil e cada sócio recebe

115 mil reais.

Exemplo:No sistema a seguir, no método de eliminação é um pouco diferente, como

você pode verificar:

Harshbarger e Reynolds (2006, p. 68) catalogaram os seguintes procedi-

mentos, para resolver problemas com enunciados:

1. Inicie lendo, cuidadosamente, o problema, para determinar o que você

precisa encontrar. Use variáveis para representar as quantidades que de-

vem ser encontradas.

2. Releia o problema e use suas variáveis para traduzir as informações dadas,

em expressões algébricas. Frequentemente, desenhar uma figura é útil.

3. Use as expressões algébricas e o enunciado do problema para formular

uma equação (ou equações).

4. Resolva a equação.

5. Confira a solução no problema e não apenas na sua equação ou equa-

ções. A resposta deve satisfazer as condições.


7.3. InequaçõesAs inequações possuem estruturas semelhantes às equações, no entanto,

ao invés do sinal de igualdade (=), temos os sinais > (maior que) e < (menor

que). Desta forma, não se busca, com as inequações, encontrar um valor

único para a variável desconhecida, e sim o intervalor numérico que atenda

a desigualdade.

Exemplo 1:Encontre o valor de x, que atenda a inequação 3x – 2>1

Solução:

3x – 2>1

3x>1+2

3x>3

x>3/3

x>1

Encontramos, portanto, que qualquer valor maior que 1 para x, atende a

desigualdade 3x – 2>1.

O gráfico abaixo demonstra a inequação 3x – 2>1, onde podemos observar

que, dada uma reta, que passa por y = 1, ela é interceptada em x = 1, como

3x – 2 é maior que 1, significa que o intervalo será válido quando y > 1,

condição que será atendida para x > 1:


De outro modo, podemos demonstrar, que o intervalo para x > 1, pode ser

representado, graficamente, conforme segue:

Exemplo 2:Encontre o valor de x, que atenda a inequação 3x – 7≤5

Solução:

A inequação 3x – 7 ≤ 5 tem sua condição atendida, para todo x ≤ 4, e

quando x for igual a 4, temos 3x – 7 = 5, o que atende a condição dada.

Quando x for maior que 4, temos 3x – 7 > 5, o que não atende a condição

dada, conforme demonstrado no gráfico a seguir:

Assim, podemos definir que o intervalo de x para a inequação 3x – 7 ≤ 5,

admite quaisquer valores menores que 4, conforme abaixo demonstrado:


Exemplo 3:

Quando a variável de cálculo está negativa, devemos sempre torná-la num

sinal positivo, multiplicando ambos os termos da inequação por (–1). No

caso das inequações, essa operação altera, também, o sinal da desigualdade

(> ou <); invertendo-o. Assim teremos:

x > – 4

Somente os valores x > – 4 atendem a desigualdade 3x – 7 ≤ 5, conforme

demonstração gráfica a seguir:

Logo, serão admitidos quaisquer valores x, maiores que –4, ou seja, x > – 4.

ResumoNessa unidade, você formulou e calculou equações de primeiro e segundo

graus, bem como definiu intervalos de uma variável em inequações. Essas

técnicas de formulação e cálculo, possibilitam a você, a facilidade de resolu-

ção de situações-problemas. O conhecimento, visto nessa unidade, é primor-

dial para o bom entendimento de nossa oitava unidade, e parabéns por ter

conseguido chegar até aqui, falta apenas mais uma unidade.

Significando a aprendizagemQuestão 1: Dada as equações abaixo, calcule o resultado:

a. Um veículo, valendo R$ 65.000 é depreciado pelo seu proprietário. O

valor y do veículo, depois de x meses de uso é y = 64.000 – 400x. Quanto

tempo (em meses) leva para que o veículo seja, totalmente, depreciado,

ou seja, seu valor seja zero?

b. 4x = – 28

c. 10 + x = 9 – 2x

d.


Questão 2: Elabore os sistemas para os casos a seguir e calcule o resultado:

a. O casal Gabriela e Tiago recebe, de salário, por mês, R$ 9.500,00. Sa-

bendo que a mulher recebe 20% mais que ele, calcule os salários de

cada um.

b. Cada um de dois ciclistas, percorre, em 15 dias, certa distância. As dis-

tâncias percorridas pelos dois ciclistas perfazem um total de 645 km. Se

o primeiro percorre, por dia, 9 km mais do que o segundo, qual distância

cada um percorre, por dia?

Questão 3: Calcule as inequações a seguir e defina os intervalos de x, para

que a desigualdade seja válida:

a. 4x > 20

b.

c.

d. 2x < 3x – 10

Para finalizar o estudo da Unidade 7, você deve acessar o AVA, Ambiente



subjetivas).





Unidade 8 - Funções e Domínios EAD-UNISL83

Objetivos:

• Demonstrar o domínio de uma função;

• Formular operações de funções usuais: constan-

te, linear, linear afim;

• Esboçar, graficamente, a solução de fun-

ções lineares.

Caro (a) Estudante,

Esta é a última unidade de nossa disciplina. Nesta unidade, iremos nos dedi-

car ao estudo das funções, seus domínios e representações gráficas. Assim

como as equações, as funções são muito utilizadas para parametrizar, calcular

e fazer previsões de situações, tais como, orçamento projetado, previsão de

faturamento, entre outros, a partir dos resultados anteriores. A habilidade de

elaborar e resolver funções constitui, portanto, importante ferramenta para o

seu futuro profissional.

Ao final dessa aula, esperamos que você seja capaz de formular funções ma-

temáticas e definir o seu domínio.

8.1. ApresentaçãoAs funções matemáticas são equações definidas, no conjunto de números re-

ais, cujos dados podem ser oriundos de situações do cotidiano, que queremos

resolver, como se verifica no estudo de caso a seguir:

Estudo de Caso:A empresa RH InovAção foi contratada para realizar uma consultoria de re-

cursos humanos, na prefeitura de Porto Feliz. De acordo com a planilha orça-

Unidade Funções e Domínios8


mentária apresentada, durante a licitação, a RH InovAção terá R$ 33.000,00,

destinados a contratação de consultores. Sabe-se ainda que, a empresa pode

utilizar consultores seniores, cujo contrato será de R$ 6.000,00, por profissio-

nal, e trainees, cujo valor será de R$ 3.000,00. Foram impostas duas restrições:

deve ser contratado, no mínimo, um consultor sênior e deve utilizar o orça-

mento, integralmente.

Considerando as informações dadas, o gerente da InovAção, Ivan, precisa das

seguintes respostas:

As quantidades possíveis para se contratar os dois tipos de profissionais.

Descrever uma relação entre as quantidades das categorias profissionais.

Uma forma de representar, graficamente, essa relação.

Querendo relacionar todas as quantidades possíveis de consultores e trainees,

Ivan sugeriu escrever:

x: quantidade de consultores seniores contratados

y: quantidade de trainees contratados

Portanto, a quantidade de consultores seniores (x), multiplicada pelo valor (R$

6.000,00), de profissional, mais a quantidade de trainees (y), multiplicada pelo

valor (R$ 3.000,00), de cada profissional trainee, deve totalizar R$ 33.000,00,

que é o valor do orçamento disponível.

Simbolicamente, Ivan escreveu 6000x + 3000y = 33000, ou, equivalente-

mente, dividindo os dois membros por 3.000, obteve o seguinte:

Ou simplesmente:

y = –2x + 11


8.2. FunçõesNas funções, o y é, comumente, denominado de f(x), assim, quando uma

função é dada por uma fórmula, como acontece no exemplo, escrevemos,

indiferentemente, como:

f (x) = –2x + 11

Ivan entende que a sentença f (x) = –2x + 11 estabelece a correspondência

entre a quantidade de consultores seniores (x) e a de trainees (y).

Ivan atribuiu valores inteiros positivos para x, na equação f (x) = –2x + 11, e

obteve os valores correspondentes y; assim, as quantidades possíveis para se

comprar os dois itens são:

Olhando para a tabela, ele observou que:

A tabela contém todas as correspondências entre x e y.

Para cada valor atribuído a x, tem-se um único valor para y.

Observação As situações x = 0, não contratar consultores seniores e y = 11 trainees ou y = 0, não contratar trainees e x > 5, não atenderiam ao enunciado do problema,

que pede que se contrate, no mínimo, 1 consultor sênior e que utilize toda a

cotação de R$ 33.000,00, na contratação de profissionais.

Valores de x maiores que 5 produzem valores de y negativos, o que não tem

sentido para o problema dado.

Portanto, o conjunto das quantidades possíveis de contratação de consultores

seniores é: A = {1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto das quantidades possíveis de trai-

nees contratados é B = {1, 3, 5, 7, 9}.


A descrição que se apresenta para atender ao item b

e ℝ = {(x,y) ∈ A × B| y = –2x + 11 } ou ℝ = {(1,9),(2,7),(3,5),(4,3),(5,1)}.

Quanto ao item (c), representar, graficamente, a relação, utilizaremos o siste-

ma cartesiano ortogonal.

De acordo com Barboni e Paulette (2007, p. 18)

a criação do sistema cartesiano deve-se ao matemáti-

co René Descartes, nascido na cidade de Touraine, na

França, em 1596, e falecido na Holanda, em 1650. O

livro que o consagrou, intitula-se La Geometrie e foi

publicado em 1637. Foi nele que Descartes desen-

volveu o plano chamado cartesiano, introduzindo as

coordenadas, na geometria e abrindo, aos matemá-

ticos, a possibilidade de resolver problemas, na forma

algébrica e gráfica.

É em homenagem a Descartes que o plano de coordenadas retangulares é

denominado de plano cartesiano.

Dessa forma, podemos representar os pares que formam a solução do problema

desenvolvido por Ivan, gerente da RH InovAção, ℝ = {(1,9),(2,7),(3,5),(4,3),(5,1) },

no sistema cartesiano.


Observe que as soluções, nesse sistema, estão posicionadas, obedecendo a

y = – 2x + 11.

8.2.1. Variáveis dependentes e independentes

A quantidade de trainees, no problema da RH InovAção, está condicionada

à quantidade de consultores contratados, conforme descreve a equação y = –2x + 11, que enquanto x varia no conjunto dos inteiros, de 1 a 5, y varia,

dependentemente, no conjunto dos números pares, de 1 a 9.

Conforme essa descrição, a variável x de números reais é chamada de variável

independente, e os valores reais de y, de variável dependente.

As relações que veremos a seguir são tais que, a cada valor dado à variável

independente x, corresponde, exatamente, um só valor à variável dependente

y. Essas relações serão chamadas de funções.

8.2.2. Conceito de funçãoDiz-se que uma relação ƒ de A em B é uma função de A em B, se cada ele-

mento do conjunto A corresponde a um único elemento do conjunto B.

É importante salientar que, todos os elementos de A devem estar em corres-

pondência com os elementos de B.

Vejamos um exemplo:Vamos considerar que a empresa Gestão & Talentos decidiu, como forma de

valorização de seus empregados, oferecer 2 dias de folga, por ano de traba-

lho, na empresa. A G&T possui empregados com 1, 2, 3 e 4 anos de carreira,

na empresa.

Se denominamos de A, o tempo de carreira e B, a quantidade de folga, pode-

mos organizar os dados em notação matemática, conforme segue:

A = {1,2,3,4}

B = {2,4,6,8}

f = {(x,y)∈ A × B| y = 2x}


O diagrama a seguir mostra a correspondência entre os elementos de A e B,

em que a lei

y = 2x estabelece f = {(1,2),(2,4),(3,5),(4,6) } ⊂ A × B

O exemplo que você acabou de analisar é chamado de função linear. Uma

função linear é definida na forma y = f (x) = ax + b, onde a e b são constantes.

Graficamente, a função linear, como o próprio nome já denomina, é represen-

tada por uma reta, logo, são necessários apenas dois pontos para determinar

o seu gráfico.

Barboni e Paulette (2007) explicam que:

É, frequentemente, possível, usar as intersecções

com os eixos coordenados, para desenhar a função

linear. O (s) ponto (s) onde um gráfico intercepta o

eixo x é (são) chamado (s) ponto (s) de intersecção

com o eixo x, e a coordenada x desse (s) ponto (s) são

a (s) intersecção (ões) com o eixo x. Analogamente,

o ponto onde o gráfico de uma função intercepta

o eixo y, é o ponto de intersecção com o eixo y, e a

coordenada y do ponto é a intersecção com o eixo y.

Como qualquer ponto, no eixo x, tem coordenada y = 0 e qualquer ponto,

no eixo y, tem coordenada x = 0, encontramos as intersecções com os eixos,

como exemplificaremos a seguir:

f(x) = 2x – 2


Demonstramos, através do cálculo, que quando y for igual a zero, ou seja,

f(x) = 0, x será igual a 1, e quando x for igual a 0, y será igual a -2. Assim,

podemos afirmar que encontramos dois pares ordenados, que definem a reta

função f(x) = 2x – 2, sendo (x,y) iguais a (0, –2) e (1, 0), conforme represen-

tação gráfica a seguir:

8.3. Domínio e imagemNa função do exemplo acima, o valor de x = 0, corresponde a y = –2. Assim,

denominamos que x = 0 é o domínio, e y = –2, a imagem.

Outros domínios e imagens da função dada:

Para que uma função seja válida, é necessário que sejam satisfeitas duas con-

dições: (I) que todo valor pertencente ao domínio, tenha uma imagem y; e (II)

que a imagem y seja única para cada domínio.

Vamos analisar a primeira condição, que todo valor pertencente ao domínio,

tenha uma imagem y, na função a seguir:

Sabendo que, para qualquer divisão por zero, não existe resultado no con-

junto de números reais, podemos analisar que a função dada, não terá re-

sultado válido em R (conjunto dos números reais), quando x – 1 for igual a

zero, conforme demonstraremos:


Seja

Então substituímos x = 1 em

Portanto, não existe imagem na função analisada, quando x for igual a 1,

logo, pode-se definir que, o domínio de são todos os números reais,

tal que x seja diferente de 1. Ou seja,

Quanto à segunda condição, que a imagem y seja única para cada domínio,

podemos analisar a função y2 = x.

A função y2 = x pode ser reescrita como . Vamos aplicá-la, no quadro

a seguir, para melhor análise:

Verifica-se que, para cada valor de x, a equação y2 = x está gerando dois va-

lores em y, não atendendo a condição de existência de uma função de uma

única imagem, para cada valor, no domínio. Além disso, quando x for nega-

tivo, como é o caso de x = – 4, não existirá imagem, uma vez que, não existe

raiz quadrada de números negativos.

Assim, para que esta função exista, delimitamos o domínio e a imagem como

sendo x ≥ 0 e y ≥ 0. Logo, restringimos, neste caso, o domínio em D = {x ∈ ℝ+} e a imagem em Im = {x ∈ ℝ+}.

8.4. Funções usuais

8.4.1 Função constanteSeja a um número real qualquer. A função f, definida em ℝ e tal que y = f(x) = a,

é denominada de função constante. Sendo uma função constante, o valor de x

não altera o resultado da imagem e, por esse motivo, a representação gráfica da

função constante é uma reta paralela ao eixo x, que passa pelo ponto y=a.


Exemplo:

8.4.2. Função linearA função linear é definida por y = ax, com x ∈ ℝ, e a um número real qual-

quer, diferente de zero. A representação gráfica de uma função linear, sempre

contém a origem do sistema de eixo (x,y) = (0,0).

Logo, para definir a reta, é necessário encontrar apenas mais um ponto, con-

forme exemplificamos com a função f(x) = 2x.

8.4.3. Função linear afimA função linear é definida por y = ax + b, com x ∈ ℝ e a e b um número

real qualquer, diferente de zero. A representação gráfica de uma função


linear, passa pelo ponto (x = 0, y = b). Logo, para definir a reta, é neces-

sário encontrar apenas mais um ponto, conforme exemplificamos com a

função f(x) = 2x + 1.

ResumoNessa unidade, você aprendeu a formular funções, resolvê-las e definir o seu

domínio e imagem. A habilidade de transcrever situações, que ocorrem, roti-

neiramente, em funções matemáticas, é considerada um poderoso instrumen-

to, uma vez que, lhe permite criar modelos automatizados, para funcionar em

planilhas e formulários eletrônicos. Concluímos a última unidade da disciplina

de matemática, parabéns.

Significando a aprendizagemQuestão 1: Dados os casos abaixo, formule a equação e obtenha o resultado

solicitado:

• Dada a equação linear f(x) = 0,4x + b, onde x é o tempo de estudo,

em horas, por semana e b a média atual do aluno. Calcule a previsão de

nota, para um aluno, em que a média atual seja 3,0, e que seu tempo de

estudo planejado, seja de 7 horas, por semana.

• Uma determinada empresa tem parte de seus custos fixos, referentes a

despesas como salários, aluguel, energia elétrica e, outra parte dos cus-

tos, são variáveis, de acordo com a quantidade de produtos. Sabendo

que esta empresa tem um custo fixo mensal de R$ 4.500,00 e um custo


variável de R$ 3,00, por cada lanche vendido. Utilize a equação da reta

f(x) = ax + b, para determinar o custo total (fixo mais variável), para a

venda de 1.500 lanches.

Questão 2: Dada as funções a seguir, calcule e represente, graficamente, as

retas de f(x) com x ∈ ℝ:

a. f(x) = 2x –4 b. f(x) = –3x

c. f(x) = 6

Questão 3: Dada as funções abaixo, defina o domínio, para que exista ima-

gem em ℝ.

a. f(x) = √x b. f(x) = 2x

c. d.








EAD-UNISL95

Padrão de Resposta

Unidade 1Questão 1: a. Na subtração de frações é necessário que os denominadores sejam iguais.

Assim, o primeiro passo consiste em multiplicar ambos os termos da pri-

meira fração, pelo denominador da segunda e os termos da segunda,

pelo denominador da primeira: . Em seguida, faça a soma dos

numeradores e repita o denominador

b. Multiplique os numeradores e denominadores e depois simplifique a fra-

ção

c. Utilizando a propriedade da divisão de frações, mantenha a primeira e

multiplique pelo inverso da segunda: . E depois,

simplifique .

d. De modo análogo à primeira, torne os denominadores em comum an-

tes de multiplicar . Em seguida, simplifique

.

Questão 2:

a.

b.

c.

d.

Unidade 2Questão 1:

a. 122 ∙ 32 = (12 ∙ 3)2 = 362 = 1296

b. y3 ∙ y5 = y3+5 = y8

c. (x4 )3 = x4∙3 = x12

96EAD-UNISL

d. x0 = , para x ≠ 0

e.

f.

g.

h.


a. Diretamente proporcional. A soma do volume de gasolina e etanol é igual

a 100% e o etanol representa 26%.

b. Diretamente proporcional. A produção será igual a 8.250 pães.

c. Inversamente proporcional. Seria possível comprar US$ 164,22 dólares.

EAD-UNISL97

Vamos transformá-la em diretamente proporcional, por meio de inversão da

segunda coluna.

Questão 2:

a. Seriam envasadas 31.666 garrafas.


a. (xy – x2 + 1) + (2 + 2x2 – 2xy)Retire os parênteses desnecessários:

xy – x2 + 1 + 2 + 2x2 – 2xy =Efetue a soma dos termos semelhantes:

x2 – xy + 3b. (2x2 – xy) – (2x – xy – 2)

A propriedade distributiva, no segundo parêntese, para alterar o sinal nega-

tivo, que está no exterior do termo:

(2x2 – xy) + (– 2x + xy + 2)

98EAD-UNISL

Retire os parênteses desnecessários:

2x2 – xy – 2x + xy + 2 =

Efetue a soma dos termos semelhantes:

2x2 – 2x + 2

Questão 2: a. Resolução algébrica:

2x + 4x = x(2 + 4) = 6x

Resolução geométrica:

b. Resolução algébrica:

x2 – 1 = x2 + x – x – 1

(x - 1)(x + 1)


c. Resolução algébrica:

x2 + 4x + 3 = x2 + (1 + 3)x + 3x2 + x + 3x + 3 = (x2 + x) + (3x + 3)x(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x + 3)

EAD-UNISL99


d. Resolução algébrica:

Pela propriedade de trinômio especial x2 – 2ax + a2 = (x – a)2

Temos que x2 – 8x + 16 = (x – 4)2


e. Resolução algébrica:

2x2 = 2x ∙ x


100EAD-UNISL


a. Densidade demográfica =

b. Coeficiente de óbitos, por morbidades hospitalares

c. Taxa de óbitos, por morbidades hospitalares

pessoas a cada 10 mil.


a. Neste caso, podemos utilizar a regra de três para encontrar a solução:

b.

c.

d.

EAD-UNISL101


a. y = 64000 – 400x

b. 4x = – 28

c. 10 + x = 9 - 2x2x + x = 9 – 10

3x = –1x =

d.

Questão 2:a. Gabriela recebe R$ 5.181,82 e Tiago R$ 4.318,18.

b. O primeiro percorre 26 km/dia e o segundo 17 km/dia.

102EAD-UNISL

Pelo método da substituição, temos:

Substituindo em x – 9 = y

y = 26 – 9 = 17

Questão 3:

a. São admitidos valores de x > 5

B. São admitidos valores de

c. Para que a desigualdade seja válida, o intervalo é definido por x < 1.

EAD-UNISL103

d. A inequação dada é válida para o intervalo definido por x > 10.2x < 3x – 10

2x –3x < – 10–x < –10 ∙ (–1)

x > 10

Unidade 8Questão 1: Dados os casos abaixo, formule a equação e obtenha o resulta-

do solicitado.

a. A previsão de nota é de 5,8.

f (x) = 0,4x + bf (7) = 0,4 ∙ 7 + 3

f (7) = 2,8 + 3 = 5,8

b. Para a venda de 1.500 lanches, o custo total será de R$ 9.000,00.

f (x) = ax + bf (1500) = 3 ∙ 1500 + 4500

f (1500) = 4500 + 4500 = 9000Questão 2: Dadas as funções a seguir, calcule e represente, graficamente,

as retas de f (x) com x ∈ ℝ.a. f(x) = 2x – 4b. f(x) = 6c. f(x) = –3x

Questão 3: Dadas as funções abaixo, defina o domínio para que exista ima-

gem x ∈ ℝ. a. Como não exista raiz quadrada de número negativo, então o domínio de

f(x) = √x é x ≥ 0, ou seja D = {x ∈ ℝ|x ≥ 0}

b. A função f(x)=2x tem como domínio todos os números reais (x ∈ ℝ).

c. Se x for igual a zero, a denominador igual a zero, cujo

resultado não é possível em R. Logo, o domínio da função dada é por

todos os números reais diferentes de zero, ou seja D = { x ∈ R|x ≠ 0}.

d. Neste caso, x deve atender as seguintes condições: x ≥ 0, porque não

existe raiz quadrada de números negativos e x ≠ – 2, pois o denominador

deve ser diferente de zero, logo o domínio de é dado por

D = { x ∈ ℝ|x ≥ 0}.


EAD-UNISL105

Encerramento da disciplina

Caro (a) estudante,

Parabéns por completar mais essa etapa. Chegamos ao final da disciplina,

e durante nossa caminhada, assimilamos informações e adquirimos conhe-

cimento, pudemos realizar trocas de experiências e de ideias. Estamos mais

preparados para seguir em frente, para enfrentar novos desafios, pois este

é um ponto de partida para um aprendizado maior, que virá com o tempo,

com a maturidade e com a experiência.

Sabemos que não foi fácil chegar até aqui. Entretanto, acreditamos que,

muitas vezes, você se desanimou perante as dificuldades e que a fadiga foi

um obstáculo cruel, mas sua determinação e persistência fizeram com que

você vencesse essa etapa.

Não podemos esquecer que a busca pelo conhecimento não termina aqui.

Ela é cíclica e, portanto, devemos continuar procurando novos desafios.

Prof. Me. Vilmar dos Santos Alves


EAD-UNISL107

Referências

BARBONI, Ayrton, PAULETTE, Walter. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise. Cálculo Diferencial e Integral a uma Variável. LTC, 04/2007. [Minha Biblioteca].

CRIVELARO, Marcos, PINHEIRO, Antonio Carlos da Bragança. Gráficos e Escalas: Técnicas de Representação de Objetos e de Funções Matemáticas. Érica, 06/2014. [Minha Biblioteca].

DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; DEGENSZAJN, David. Matemática - Vol. Único. 6. ed. Atual: São Paulo, 2015.

FREITAS, Ladir Souza de. Matemática passo a passo, com teorias e exercícios de aplicações. São Paulo: Avercamp, 2011. 197 p. ISBN 978-85-89311-61-8.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Matemática para Administração. LTC, 05/2002. [Minha Biblioteca].

HORIGUTI, Augusto Massashi, DONADEL, Juliane. Matemática Comercial e Financeira e Fundamentos de Estatística. Érica, 06/2014. [Minha Biblioteca].

LAPA, Nilton. Matemática aplicada. 1. ed. Saraiva, 05/2012. [Minha Biblioteca].

NOGUEIRA, Adriana Ema. Guia de estudo: matemática. Porto Velho 2014.

PAVIONE, Damares. Matemática e Raciocínio lógico. Coleção Concursos Públicos - Nível Médio & Superior. 1. ed. Saraiva, 03/2012. [Minha Biblioteca].

QUILELLI, PAULO. Matemática para concursos: nível fundamental, 2. ed. Saraiva, 8/2015. [Minha Biblioteca].


EAD-UNISL109

Sobre o autor


Mestre em Administração, pela Universidade

Federal de Rondônia (UNIR). Possui graduação

em Matemática, pela UNIR, graduação em Ad-

ministração, pelo Centro Universitário Grande

Dourado, pós-graduação MBA em Finanças,

Controladoria e Auditoria, pelo UniSL, Centro

Universitário São Lucas. Atualmente, é professor

das modalidades semipresencial e presencial.

Atua, desde 2010, na docência de nível superior

e desde 2016, na área de educação a distância,

por meio da modalidade semipresencial. É conteudis-

ta dos cadernos didáticos: Estatística Aplicada à Finanças e

Matemática Financeira, pelo IFRO.

Lattes: https://goo.gl/J10hsi

https://goo.gl/J10hsi

http://lattes.cnpq.br/2098316269013569


Tel.: 69 3211.8001 | 3211.8002R. Alexandre Guimarães, 1927 • ArealPorto Velho/RO • CEP 76.804-373

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Guia de Estudos: Matemática