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HIDRÁULICA I – 1

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA

SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS

HIDRÁULICA I

Enunciados dos problemas

Março de 2008

HIDRÁULICA I – 2

1 – ANÁLISE DIMENSIONAL E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS

PROBLEMA 1.1

Determinar as dimensões das seguintes grandezas nos sistemas MLT e FLT:

− massa volúmica;

− peso volúmico;

− viscosidade;

− viscosidade cinemática.

Indicar os valores-padrão das grandezas anteriores para a água no sistema métrico gravitatório,

MKS, e no Sistema Internacional de Unidades, SI. Indicar ainda o valor da viscosidade em poise

(dine s 2cm− ).

Qual a diferença entre dimensão e unidade?

NOTA: Viscosidade cinemática da água, ,6 2 11 31 10v m s

− −= × .

PROBLEMA 1.2

Verificar a homogeneidade dimensional da equação que exprime o teorema de Bernoulli

aplicável a fluidos reais ao longo de uma trajectória:

2 1

2

pz J

s g g t

∂ ν∂ ν+ + = − − ∂ γ ∂

em que p é a pressão associada ao escoamento, v é a sua velocidade, z é a cota geométrica,

g é a aceleração da gravidade, y é o peso volúmico do fluido, t é o tempo e J é o trabalho das

forças resistentes por unidade de peso de fluido e por unidade de percurso.

HIDRÁULICA I – 3

2 – HIDROSTÁTICA

PROBLEMA 2.1

O tubo representado na figura está cheio de óleo de densidade 0,85. Determine as pressões nos

pontos A e B e exprima-as em metros de coluna de água equivalente.

PROBLEMA 2.2

Se for injectado gás sob pressão no reservatório representado na figura, a pressão do gás e os

níveis dos líquidos variam. Determinar a variação de pressão do gás necessária para que o

desnível x aumente 5cm sabendo que o tubo tem diâmetro constante.

PROBLEMA 2.3

Considere o esquema representado na figura, em que existe ar sob pressão acima da superfície

BD . A comporta ABCDE pode rodar sem atrito em tomo de E .

HIDRÁULICA I – 4

a) Trace os diagramas de pressão na face esquerda da comporta e calcule os valores da

pressão nos pontos A , B , C , D e E .

b) Qual deverá ser a altura de água a jusante, jh , de forma a que se estabeleça o equilíbrio,

nas condições da figura, admitindo que o ponto de aplicação do peso da com porta é o

ponto C .

PROBLEMA 2.4

A comporta representada na figura é sustentada pelas barras AB espaçadas de 6m em 6m .

Determinar a força de compressão a que fica sujeita cada barra desprezando o peso da

comporta.

HIDRÁULICA I – 5

PROBLEMA 2.5

Na parede BC de um reservatório existe uma tampa metálica quadrada de 1m de lado,

conforme se indica na figura. A aresta superior da tampa, de nível, dista 2m da superfície livre

do líquido Determinar:

a) A impulsão total sobre a tampa metálica e as suas componentes horizontal e vertical.

b) A posição do centro de impulsão.

PROBLEMA 2.6

Um recipiente de forma cúbica, fechado, de 1m de aresta, contém, até meia altura, um óleo de

densidade 0,85, sendo de 7k Pa a pressão do ar na sua parte superior. Determinar:

a) A impulsão total sobre uma das faces laterais do recipiente.

b) A posição do centro de impulsão na mesma face.

PROBLEMA 2.7

Qual o peso volúmico mínimo que deverá ter um corpo sólido homogéneo sobre o qual assenta

uma membrana de impermeabilização com a forma indicada na figura, para resistir, sem

escorregamento, à impulsão da água que represa?

O coeficiente de atrito estático entre os materiais que constituem o corpo e a base onde este

assenta é 0,7.

HIDRÁULICA I – 6

PROBLEMA 2.8

Na parede de um reservatório existe um visor semi-esférico com o peso de 5 kN , ligado à

mesma conforme se indica na figura.

Calcule as componentes horizontal e vertical da impulsão sobre o visor.

PROBLEMA 2.9

Uma comporta cilíndrica com 2m de raio e 10m de comprimento, prolongada por uma placa

plana AB , cria num canal um represamento nas condições indicadas na figura. A comporta

encontra-se simplesmente apoiada nas extremos do seu eixo em dois pilares.

Determinar:

HIDRÁULICA I – 7

a) A componente horizontal da força transmitida a cada pilar quando a comporta está na

posição de fechada, admitindo que é nula a reacção em B .

b) O peso mínimo que deverá ter a comporta para não ser levantada, supondo possível tal

deslocamento e desprezando o atrito.

PROBLEMA 2.10

Considere-se uma comporta de segmento, com 5m de largura, instalada na descarga de fundo

de uma albufeira, nas condições da figura junta. A comporta pode ser manobrada, para abertura,

por dois cabos verticais fixados às suas extremidades laterais. Admite-se que os dispositivos de

vedação impedem a passagem da água para a zona que se situa superiormente à comporta.

Admita que o ponto de aplicação do peso (G) da comporta dista 3m do ponto A.

a) Determinar

a.1) As reacções de apoio em A e B , supondo esta última vertical.

a.2) A força, F , necessária para iniciar o levantamento da comporta.

b) Considere o caso de a comporta ser plana em vez de cilíndrica.

b.1) Indicar se a força necessária ao levantamento da comporta aumenta ou diminui em

relação à da alínea a.2.

b.2) Calcular o valor dessa força em cada cabo.

b.3) Indicar se essa força aumenta ou diminui depois de iniciado o movimento de abertura,

sabendo que o escoamento a jusante da comporta se fazem superfície livre.

G = 50 kN

HIDRÁULICA I – 8

PROBLEMA 2.11

Num canto de um reservatório paralelepipédico encontra-se colocada uma peça com a forma de

1/8 de esfera de raio R . Calcular a impulsão total do líquido sobre esta peça e a inclinação

daquela impulsão, sabendo que a altura do líquido no reservatório é h .

PROBLEMA 2.12

Uma esfera homogénea de peso volúmico y flutua entre dois líquidos de densidades diferentes,

de tal maneira que o plano de separação dos líquidos passa pelo centro da esfera, conforme se

ilustra na figura.

Determinar a relação entre os três pesos volúmicos.

PROBLEMA 2.13

Um camião sobe uma rampa de 10 graus de declive com velocidade constante, transportando

líquido, de acordo com o representado na figura. Determinar a máxima aceleração que se pode

imprimir ao camião sem que o líquido se entorne.

PROBLEMA 2.14

Para medir a aceleração de um corpo móvel, usou-se um tubo de vidro ABCD de secção

uniforme e pequena, parcialmente preenchido com um líquido, com a forma e as dimensões

indicadas na figura, onde também se caracteriza a posição do líquido na situação de repouso.

HIDRÁULICA I – 9

O tubo foi fixado ao corpo móvel num plano vertical; o sentido do movimento do corpo é de B

para C . Desprezando os efeitos da capilaridade e da tensão superficial, qual é a máxima

aceleração do corpo que pode ser medida com este dispositivo?

HIDRÁULICA I – 10

3 – HIDROCINEMÁTICA

PROBLEMA 3.1

Soldados marcham em quatro colunas com uma velocidade de ,11 0ms

− distanciados entre si de

,1 0m . No instante 4t s= , viram todos à esquerda e continuam a marchar. Fazendo uma

analogia com a hidrocinemática, desenhe:

a) Algumas trajectórias.

b) Algumas linhas de corrente (antes e depois do “esquerda volver”).

c) A linha de filamento no instante 8t s= para a posição inicial do primeiro soldado (linha 1;

coluna 1).

PROBLEMA 3.2

Seja o escoamento bidimensional definido pelo seguinte campo de velocidades:

( )1 2u x t= +

v y=

0w =

Determine as equações:

a) Da linha de corrente que passa pelo ponto (1;1) para 0t s= .

b) Da trajectória que passa pelo ponto (1;1) no instante 0t s= .

c) Da linha de filamento que passa pelo ponto (1:1) no instante 0t s= .

PROBLEMA 3.3

O escoamento plano de um fluido incompressível entre um diedro recto e uma superfície

cilíndrica de directriz xy A= , tem o seguinte campo de velocidades:

2 2V axi ayj= −


a) Defina as equações das linhas de corrente e das trajectórias.

b) Verifique a continuidade do escoamento com base na equação de conservação da

massa na forma integral e calcule o caudal escoado na secção 1.

PROBLEMA 3.4

O princípio da conservação da massa, aplicado a um sistema material, corresponde à seguinte

identidade:

0dm

dt=

Com base neste princípio e nas figuras juntas, e tendo em conta o Teorema de Reynolds e a

técnica do volume de controlo, determine:

a) A velocidade u1 (cf. Fig. a), usando como volume de controlo o volume inicial do tanque,

mantendo-o fixo no tempo. Indique um outro volume de controlo que seja mais

conveniente para a resolução deste problema (volume móvel).

Fig. a

b) A lei da variação da área da secção da superfície livre 1S (h) de modo que 1u seja

constante (cf. Fig. b).


Fig. b

c) A massa volúmica do gás, ρ(t), de modo que eq seja constante (cf. Fig. c).

Fig. c


4 – HIDRODINÂMICA. PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO. FORMA INTEGRAL

PROBLEMA 4.1

Um motor a jacto que se desloca com velocidade uniforme queima 2,3 kg de combustível por

segundo. O combustível entra no motor verticalmente, conforme se indica na figura. Na secção

de admissão ou de entrada de ar, a velocidade relativa do ar (em relação ao motor) é de 90 ms-1

.

Nesta secção, a área de entrada é de 0,4 m2 e a massa volúmica do ar é de 1 kgm

-3. Na secção

de saída, a área é de 0,2 m2 e a velocidade relativa do gás é de 550 ms

-1. Determinar:

a) A massa volúmica do gás à saída do motor.

b) A força motriz desenvolvida pelo motor e que actua na asa do avião.

PROBLEMA 4.2

Uma tubagem horizontal com 30cm de diâmetro conduz água. A velocidade média do

escoamento na secção 1 é de ,10 5ms

− . Dois pequenos tubos verticais introduzem, na tubagem

principal, um caudal de 110 ls− cada, conforme figura.

Determine a diferença de pressões 1 2p p− desprezando o efeito das tensões tangenciais nas

paredes da tubagem e tendo em conta que a secção 2 está suficientemente afastada dos tubos

verticais.


PROBLEMA 4.3

Um caudal Q entra verticalmente num pequeno canal de secção rectangular com fundo

horizontal e largura B, conforme se mostra na figura. A altura da água à saída é h2.

Determinar a altura a montante, h1, admitindo que a distribuição de pressões é hidrostática em

todas as secções transversais.

PROBLEMA 4.4

Um jacto horizontal de água, na atmosfera, incide num deflector fixado num corpo sólido com

peso P (Figura) assente num plano horizontal.

Por acção do jacto, o corpo desloca-se na direcção do jacto incidente estando sujeito a uma

força de atrito resultante da força vertical total que actua na respectiva base.

Conhecida a velocidade do jacto, jV , num referencial em repouso e a respectiva área

transversal, jA , pretende-se determinar a velocidade final (constante) do corpo sólido.

Nota: o deflector provoca o desvio do jacto em ângulo recto, sendo desprezáveis as tensões

tangenciais actuantes no jacto e a resistência do ar. Considere constante o coeficiente de atrito

na base do corpo ( aC ).

Jacto de água

Aj, Vj

P

atmosfera


PROBLEMA 4.5

Considere o depósito munido de rodas representado na Figura o qual se desloca com a

velocidade ( )W t relativamente a um referencial em repouso (inercial). O reservatório contém um

líquido com massa volúmica ρ (constante). Do orifício existente na parede do reservatório sai

um jacto com caudal Q.

Desprezando todas as forças de resistência e atrito deduza a equação do movimento do

depósito segundo a direcção horizontal e a expressão do valor da velocidade W .

PROBLEMA 4.6

Numa tubagem convergente de eixo horizontal existem duas secções, com áreas de ,21 0m e

,20 5m onde, para o escoamento de um dado líquido incompressível se têm alturas

piezométricas no eixo de ,15 0m e ,5 0m , respectivamente. Calcular:

a) O caudal escoado, supondo nula a perda de carga ente as secções e admitindo que o

coeficiente de Coriolis, α , tem o valor de 1,1.

b) O coeficiente de quantidade de movimento se o valor da componente segundo x da força

resiste for 4 kN.

PROBLEMA 4.7

Num trecho, de comprimento 2L m= de uma conduta cilíndrica de eixo horizontal está inserida

uma mudança de direcção de 90� . Na conduta escoa-se um fluido compressível. O diâmetro da

conduta é ,0 2D m= . A velocidade média do escoamento em cada secção é ,10 25u ms

−= . As

pressões nas secções 1 e 2 são, respectivamente, ,51 5 10 Pa× e ,

50 9 10 Pa× . As densidades

nas secções 1 e 2 são respectivamente, ,1 5 md e ,0 5 md em que md é a densidade média no

trecho de conduta.

W (t)

Q

z

x


Figura 2

No instante inicial ( 0t s= ), a densidade média no trecho de conduta é ,1 0md = . Calcule:

a) A lei de variação da massa no trecho em função do tempo e a massa em 3t s= ;

b) A força que o escoamento exerce sobre o trecho de conduta quando 3t s= .

PROBLEMA 4.8

Calcular as forças a que estaria sujeito o maciço de amarração da bifurcação representada em

planta na figura,

, ,1 20 0 50 500A B C D E A B C D ED m D D D D m p p p p p kPa= = = = = = = = = =

nas seguintes condições:

a) Quando as válvulas instaladas em B , C , D e E se encontram fechadas.

b) Quando as válvulas em B e E se encontram fechadas e por cada uma das secções C e

D se escoa um caudal de 3 13m s− .

c) Quando as válvulas em B e C se encontram fechadas e por cada uma das secções D e

E se escoa um caudal de 3 13m s− .

d) Quando por cada uma das secções B , C , D e E se escoa um caudal de ,3 11 5m s

− .

L/2

x

y

1

2

L/2


Considere o coeficiente de Coriolis 1α = e despreze o peso da água. Os eixos da conduta e da

bifurcação são horizontais.

PROBLEMA 4.9

Numa galeria circular em pressão, com ,3 0m de diâmetro, escoa-se um caudal de 3 125m s− .

Aquela galeria tem inserida uma curva com eixo horizontal, de raio igual a 10m e ângulo ao

centro de 60� , em que a altura piezométrica se pode considerar constantemente igual a 100m .

Determinar a força sobre o troço curvo da galeria nos seguintes casos:

a) Quando se dá o escoamento atrás referido.

b) Quando não há escoamento em virtude de a galeria ter sido obturada por uma comporta

muito afastada da curva.

c) Quando a obturação se faz imediatamente a jusante da curva por uma comporta.

PROBLEMA 4.10

Determine a pressão que deverá ter o escoamento na secção A para que a tubagem

representada na figura fique em equilíbrio no apoio B .

, ,2 20 50 0 10 10A C DS m S S m G kN= = = =


Despreze as perdas de carga, as diferenças de cota das secções, o peso da tubagem e a

contracção nas secções C e D .


PROBLEMA 4.11

Um torniquete hidráulico roda à velocidade de 10rpm sobre um “pivot” de 20mm de diâmetro e

de 50mm de altura, com uma folga de ,0 10mm , preenchida por um lubrificante de viscosidade

cinemática 3 2 16 10v m s− −= × . Os eixos dos jactos do torniquete, normais ao respectivo braço,

distam 150mm do eixo de rotação vertical, sendo os orifícios de saída circulares, com 10mm de

diâmetro.

Supondo nula a contracção do jacto e conhecendo a densidade relativa do lubrificante que é

igual à unidade, calcular o caudal de água que deverá escoar-se para manter o movimento em

regime permanente.

PROBLEMA 4.12

Uma pequena turbina de água, conforme esquema da figura, fornece uma potência de ,7 7kW .

Determine a força horizontal provocada pelo escoamento no túnel, desprezando o aumento de

energia devida ao atrito e as transferências de calor (turbina termicamente estanque).

PROBLEMA 4.13

Determine a diferença entre as potências do escoamento nas secções A e C da tubagem

indicada na figura, quando se escoa o caudal de ,3 12 0m s

− .


Despreze as perdas de carga localizadas e considere uniforme a distribuição de velocidades nas

secções A e C .

PROBLEMA 4.14

Considere o esquema indicado na figura seguinte. A conduta entre os reservatórios A e B tem

3km de comprimento e apresenta uma perda de carga unitária ,0 0005J = para o caudal

turbinado de ,3 12 0m s

− . Determine:

a) A potência da turbina para um rendimento de ,0 80η = .

b) A potência que deveria ter uma bomba instalada em vez da turbina para, com um

rendimento ,0 60η = , elevar de B para A o mesmo caudal.

Desprezar todas as perdas de carga localizadas e a velocidade no interior dos reservatórios

PROBLEMA 4.15

Numa conduta de eixo horizontal em que se escoa um caudal de ,3 10 1m s

− de água, existe um

estreitamento brusco, como se indica na figura.


A montante e a jusante do estreitamento estão montados piezómetros em que se lêem alturas de

,5 65m e ,5 00m , respectivamente, medidas em relação ao eixo da conduta. Calcular a perda de

carga provocada pelo estreitamento. Considere uniforme a distribuição de velocidades nas

secções.


5 – HIDRODINÂMICA. FORMA DIFERENCIAL. FLUIDO PERFEITO E

ESCOAMENTOS IRROTACIONAIS

PROBLEMA 5.1

Considere o seguinte campo de velocidades:

2 2V axi ayj= −

Admitindo que o fluido é incompressível, verifique a continuidade do escoamento com base na

equação de conservação da massa na forma diferencial.

PROBLEMA 5.2

Considere as duas seguintes hipóteses de campos de velocidade de escoamentos permanentes

planos de um fluido incompressível:

a) 22u x y= + b) 9u xy y= +

4v xy= − 8 2v xy x= +

Utilizando a forma diferencial do princípio da conservação da massa, verifique, para ambos os

casos, se há conservação da massa. Represente graficamente os vectores velocidade plausíveis

nos pontos (0,0); (2,2) e (– 3,3).

PROBLEMA 5.3

Para recolher contaminantes superficiais indesejáveis, como é o caso do óleo derramado na

superfície do mar, pode utilizar-se um dispositivo do tipo tapete rolante, que os recolhe para um

navio apropriado.


Quando o tapete opera em regime permanente, com velocidade U , a espessura da película de

óleo é uniforme e igual a a . Admitindo que a velocidade do óleo é induzida unicamente pelo

tapete (velocidade da água do mar nula), determinar:

a) O perfil da velocidade na película de óleo em função de U, a, θ e das propriedades do óleo

γ e µ.

b) O caudal de óleo transportado pelo tapete por unidade de largura.

c) A espessura da película, a, para a qual o caudal é máximo.

PROBLEMA 5.4

O recipiente cilíndrico de raio R0 representado na figura junta, tem um tubo inserido radialmente

e dobrado em L. O trecho vertical do tubo está a uma distância R1 do eixo do recipiente.

Sabendo que, quando em repouso, o recipiente contém um líquido até à altura a determine a

altura h1 atingida pelo líquido no tubo quando se imprime ao recipiente um movimento de rotação

em torno do seu eixo, de velocidade angular ω. Despreze o volume de líquido no tubo.

PROBLEMA 5.5

Numa tubagem com 2 m2 de secção que transporta um caudal de 2 m

3s

-1 de água, insere-se um

estreitamento localizado, a montante do qual a pressão absoluta é de 0,15 MPa. Indicar qual a

pressão mínima teórica do estreitamento para o qual não se verifique perturbação do

escoamento.

Considere nulas as perdas de carga no estreitamento, uniforme a distribuição de velocidades em

qualquer secção e admita que a temperatura do líquido é 20°C.


PROBLEMA 5.6

Considere uma albufeira com o volume R∀ de água e secção transversal média AR.

A barragem está munida com uma descarga de fundo com secção transversal A estando o

respectivo eixo à distância H0 da superfície livre da albufeira.

Determine o tempo de esvaziamento da albufeira no caso de se abrir totalmente a descarga de

fundo. Despreze as perdas de carga (fluido perfeito) e as forças de inércia.

PROBLEMA 5.7

Admitindo a aproximação do fluido perfeito, determine a expressão matemática que permite

determinar o peso P de um corpo equilibrado, na atmosfera, por um jacto de água vertical à

distância h1 da saída do bocal com secção S0.

Considere a carga H0 à saída do jacto para a atmosfera.

H0

h1

atmosfera

P

H0

ZR

R∀ descarga de fundo


PROBLEMA 5.8

Para a instalação representada na figura, obtenha a expressão que relaciona o caudal escoado

com as variáveis assinaladas na mesma figura, desprezando as perdas de carga entre as

secções 1 e 2 (fluido perfeito).

PROBLEMA 5.9

Numa secção a montante do descarregador representado na figura junta, a velocidade do

escoamento é 1 ms−1 e a altura de água sobre o fundo é 2,0 m. Considerando irrotacional o

escoamento na vizinhança do descarregador e que a pressão no ponto P é a atmosférica,

determine a velocidade nesse ponto.

PROBLEMA 5.10

Através do difusor de uma turbina, com a forma e dimensões indicadas na figura, escoa-se um

caudal de 20 m3s

-1.


Calcular a pressão existente na secção 1, em atmosferas, sabendo que na secção 3, em que o

difusor descarrega para um lago de grandes dimensões, se dá uma perda de energia igual à

energia cinética nesse ponto.

Admitindo que o escoamento no difusor é irrotacional, calcular a pressão na soleira na secção 2.

Considerar a distribuição de velocidades uniforme nas diferentes secções do difusor.

PROBLEMA 5.11

Sabendo que um ciclone pode ser considerado como sendo um vórtice potencial rectilíneo e que,

num dado ciclone, a velocidade do vento a 50 km do centro é de 120 km h− , determinar o valor da

componente radial do gradiente da pressão nesse ponto. Qual é a diferença de pressão entre

este ponto e outro situado a 5 km do centro, à mesma cota?

PROBLEMA 5.12

O escoamento irrotacional, num canal munido de uma comporta com abertura inferior, tem a

rede isométrica (rede de escoamento) que se representa na figura.

Efectuar uma análise qualitativa da distribuição de pressões na soleira e no plano vertical da

comporta.


6 – TEORIA DA SEMELHANÇA

PROBLEMA 6.1

Na figura junta representa-se esquematicamente uma ponte que se pretende construir sobre um

curso de água. Admitindo que o número de pilares é fixo, a capacidade de vazão na secção da

ponte é função da velocidade do escoamento, 0V e da altura de água a montante, h , e da

geometria dos pilares (contracção da secção e comprimento de cada pilar, p� .

Considerando que as forças da gravidade são predominantes e que as forças relacionadas com

os efeitos da viscosidade podem ser desprezadas, determine a expressão da lei de vazão,

aplicando os conceitos da análise dimensional, que servirá de base a estudos em modelo

reduzido com o mesmo líquido do protótipo.

PROBLEMA 6.2

Para o ensaio em modelo reduzido de um fenómeno que dependa exclusivamente da gravidade,

utilizando-se o mesmo líquido no modelo e no protótipo, determine as escalas das seguintes

grandezas, em função da escala dos comprimentos que venha a ser seleccionada:

a) velocidade;

b) tempo;

c) aceleração;

d) caudal;


e) massa;

f) força;

g) energia;

h) potência.

PROBLEMA 6.3

Efectuaram-se experiências em laboratório para obter as características de resistência de um

navio em relação à onda (admite-se que depende somente da gravidade) que se vai opôr ao seu

deslocamento. Calcule:

a) A que velocidade se deverá fazer o ensaio na escala 1/25 para que a velocidade real

correspondente seja de 40 kmh-1

.

b) A resistência para o protótipo se, no modelo reduzido, for medido o valor de 5 N.

c) O período da vaga no protótipo sendo o seu valor de 3 s no modelo.

PROBLEMA 6.4

Para estudar um escoamento variável construiu-se um modelo à escala linear de 1/10. Usa-se

água no protótipo e sabe-se que as forças de viscosidade são dominantes. Determinar a escala

dos tempos e das forças, em condições de semelhança dinâmica, se:

a) usar água no modelo;

b) usar um óleo cinco vezes mais viscoso que a água e cuja massa volúmica é 80% da

massa volúmica de água.


7 – LEIS DE RESISTÊNCIA E ESCOAMENTO EM PRESSÃO

PROBLEMA 7.1

Pretende-se elevar o caudal de 4 1s-1

de um reservatório A para um reservatório B, por uma

conduta elevatória com 250 m de comprimento e 150 mm de diâmetro. O líquido a elevar é um

óleo com uma densidade relativa de 0,9 e com a viscosidade cinemática ν = 3 x 10-4

m2s

-1. A

potência da bomba é de 2,2 kW e o rendimento é de 0,70. O reservatório B, de grandes

dimensões, é fechado e contém ar sob pressão, situando-se a superfície do óleo à cota 8 m.

Calcular a pressão do ar no reservatório B.

PROBLEMA 7.2

Numa conduta circular com 1,0 m de diâmetro e com a rugosidade absoluta k = 0,5 mm escoa-

se o caudal de 3 m3s

-1. Sendo a viscosidade cinemática do líquido ν = 10−6

m2s

-1, determine a

perda de carga unitária.

PROBLEMA 7.3

Numa conduta circular com a rugosidade absoluta k = 1,5 mm, escoa-se o caudal de 2 m3s

-1.

Sendo a viscosidade cinemática do líquido ν = 10-6

m2s

-1 e a perda de carga unitária J = 0,008,

determine o diâmetro da conduta.

PROBLEMA 7.4

Considere o escoamento bidimensional com superfície livre e leito móvel num canal largo com

fundo hidraulicamente rugoso com rugosidade absoluta k = 6,5 mm.

Obteve-se o perfil de velocidades longitudinais médias temporais, u, exibido na figura 1 e

resumido na tabela 1.

Tabela 1

y(m) Ln(y/k) u (ms-1) 0,0076 0,156346 0,3619 0,0096 0,389961 0,3917 0,0126 0,661895 0,4120 0,0156 0,875469 0,4364 0,0236 1,289445 0,4805


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

u (m/s)

y (

m)

Figura 1 – Perfil da velocidade longitudinal média no tempo

a) Determine o valor da velocidade de atrito, * 0u = τ ρ , e do coeficiente B da expressão

do perfil de velocidades longitudinais médias válido para as regiões logarítmica e de

transição

*

( ) 1ln

= + κ

u y yB

u k (1)

em que κ = 0,4 é a constante de Von Kármán.

b) Assumindo que a lei logarítmica (equação 1) é válida para a totalidade do escoamento e

sabendo que o factor de Darcy-Weisbach se define como

2

*8

=

uf

U, determine a lei

de resistência válida para este escoamento. Note que ( )0

lim ln 0ε→

ε ε = .

c) Calcule a perda de carga unitária quando h = 0,0745 m, Q = 13,2 l/s e B = 0,4 m.

PROBLEMA 7.5

A lei de resistência ao escoamento de água sob pressão em regime turbulento, no interior de

uma tubagem circular, pode ser expressa pela fórmula de Manning:

2132JR

n

4861U

//,=


em que,

U – velocidade média do escoamento;

n – coeficiente que depende do material da tubagem;

R – raio hidráulico (quociente da secção líquida pelo perímetro molhado);

J – perda de carga unitária.

Os valores de n, dependentes da rugosidade da tubagem, encontram-se numa tabela, devendo,

para a sua aplicação, as grandezas da fórmula de Manning ser expressas em unidades inglesas.

Apresentar esta fórmula de forma a manter-se válida para um sistema genérico, em que as

unidades de comprimento e de tempo sejam respectivamente l e t, continuando a utilizar os

valores de n da tabela referida. Particularizar para o caso de aquelas unidades serem o metro e

o segundo.

PROBLEMA 7.6

Dois reservatórios estão ligados por uma tubagem com os acidentes e a disposição indicados na

figura. Proceda ao traçado qualitativo das linhas de energia e piezométrica atendendo a todas as

irregularidades.

PROBLEMA 7.7

Numa conduta de fibrocimento com o diâmetro de 0,45 m escoa-se água, em regime uniforme,

com a perda de carga unitária de 0,003. Calcular o caudal transportado, supondo a conduta nova

e utilizando a fórmula de Chézy (com C calculado pela fórmula de Bazin) e o ábaco de Scimemi.

PROBLEMA 7.8

Dois reservatórios A e C com as respectivas superfícies livres apresentando uma diferença de

cotas de 20 m estão ligados ente si por uma tubagem de fibrocimento constituída por dois


trechos: trecho AB, com um comprimento l1 = 1000 m e diâmetro D1, e trecho BC, com um

comprimento l2 = 1000 m e diâmetro D2 tal que D2 = 1,1D1.

Determinar os diâmetros D1 e D2 de modo que o caudal escoado seja 200 ls-1

. Usar a fórmula de

Manning-Strickler (K = 95 m1/3

s-1

).

PROBLEMA 7.9

Dois reservatórios, A e C, estão ligados por uma tubagem de ferro fundido ABCD que apresenta

um ponto alto B cuja cota é 105 m.

Em D está instalada uma turbina que absorve o caudal de 0,1 m3s

-1 (rendimento, η = 0,85).

Determine o diâmetro mínimo da conduta para a altura piezométrica não ser, em B, inferior a

1 m. Qual é a potência da turbina.

PROBLEMA 7.10

Uma bomba B eleva água do reservatório A para um sistema com os reservatórios D e E. Ao

reservatório D chega um caudal de 250 Is-1

. Sabendo que as cotas dos reservatórios e as

dimensões das condutas são as indicadas no esquema junto, que o rendimento da bomba é

η = 0,75 e que as condutas são em ferro fundido, calcule o caudal elevado e a potência da

bomba.


PROBLEMA 7.11

Os reservatórios A e B estão ligados à conduta CD, a qual tem um orifício em contacto com a

atmosfera na extremidade D. A secção S0 em D tem o valor de 0,02 m2.

Determine o caudal proveniente dos reservatórios A e B, considerando que o material das

condutas é fibrocimento e desprezando as perdas de carga em singularidades e a contracção no

orifício de saída

PROBLEMA 7.12

Uma conduta eleva água de um reservatório A para um reservatório B, através de uma conduta

de betão liso e novo, com 1000 m de comprimento e com 0,60 m de diâmetro.


A relação entre a altura de elevação (Ht) e o caudal (Q) da bomba, acoplada a um motor de

velocidade de rotação constante (relação denominada curva característica da bomba), exprime-

se por:

Ht = 28 – 20Q2

com Ht expresso em m e Q em m3s

-1. Desprezando as perdas de carga localizadas, determinar o

caudal na conduta e a potência da bomba (rendimento η = 0,70):

a) nas condições indicadas;

b) quando uma bomba igual é instalada em paralelo com a primeira;

c) quando uma bomba igual é instalada em série com a primeira.

PROBLEMA 7.13

A um reservatório A, de grandes dimensões, está ligada uma conduta ABC com um ponto B

onde se colocou um tubo piezométrico.


A conduta, de aço soldado, tem o diâmetro de 0,50 m e a sua extremidade C está equipada com

um órgão obturador cujo eixo está à cota 20 m. Supondo nulas a contracção no obturador e as

perdas de carga em singularidades.

a) Determine o caudal escoado quando a abertura do obturador for de 0,01 m2.

b) O caudal crescerá com a abertura do obturador até um certo limite desta. Qual é a

abertura e o caudal escoado nestas condições, desprezando a altura cinética no interior

das condutas?

c) Represente as linhas de energia e piezométrica nos dois casos de funcionamento

indicados.

PROBLEMA 7.14

O reservatório A alimenta os reservatórios B e C através do sistema de tubagens em aço

soldado representado na figura; a água é bombada pela bomba D e os comprimentos e

diâmetros das tubagens são os indicados.

a) Supondo a tubagem CE obturada, determine o caudal fornecido ao reservatório B tendo a

bomba a potência de 1700 kW e o rendimento de 0,70.

b) Determine a cota X para que o caudal admitido no reservatório C seja nulo, sendo o

caudal admitido em B igual a 2,0 m3s

-1. Calcule também a potência da bomba admitindo

que tem o rendimento de 0,70.

c) Para X = 100 m e funcionando a bomba com a potência de 5 000 kW e o rendimento de

0,70, determine os caudais admitidos nos reservatórios B e C.

d) Trace qualitativa, mas cuidadosamente, as linhas de energia e piezométricas

correspondentes às alíneas b) e c).


NOTAS: As alíneas a), b) e c), em relação às quais se podem desprezar as perdas de carga em

singularidades, são independentes.

Na alínea d), considere as transições dos reservatórios em aresta viva.

PROBLEMA 7.15

Um reservatório abastece uma conduta de 2000 m de comprimento e 0,20 m de diâmetro, de

fibrocimento, a qual, tendo exclusivamente serviço uniforme de percurso, consome o caudal de

8640 m3 por dia. A conduta é horizontal e o respectivo eixo está localizado a uma cota inferior

em 30 m ao nível da água no reservatório.

Numa dada altura, e no intuito de melhorar as condições de pressão, fez-se funcionar, na

extremidade B da conduta uma bomba com 30 kW de potência e o rendimento de 0,75. A bomba

absorve água do reservatório C, em que o nível se apresenta 30 m abaixo do de A.

Supondo invariável o consumo, calcule a distância, ao reservatório A, do ponto em que se

regista a cota piezométrica mínima.

NOTAS: – Estabeleça primeiro o sistema resolvente;

– Despreze as perdas de carga em singularidades e a altura cinética.

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HIDRÁULICA I - fenix.tecnico.ulisboa.pt · Nesta secção, a área de entrada é de 0,4 m2 e a massa volúmica do ar é de 1 kgm-3. Na secção Na secção de saída, a área é