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Imagem DigitalConceitos, Processamento e Análise
1. Imagem e funções
2. Imagem digital: amostragem, quantização e codificação
3. Re-amostragem de funções
4. Séries e Transformadas de Fourier e de Cosseno
5. Teorema de Nyquist e Alias
Parte 1: Conceitos básicos
Imagem: Modelo Matemático: Função
u
v
L
L(u,v)
Função
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Nív
eis
de c
inza
Posição ao longo da linhax
C 2,0,0: hwL
Lv
u
Imagem colorida
R
G
Bu
v
Imagem coloridas como 3 canais de cor
= ++
u
v
R
R(u,v)
u
v
GG(u,v)
u
v
BB(u,v)
Imagem Digital
Amostragem, quantização e codificação
Amostragem, quantização e codificação de f(x)
x
f(x)
amostra
partição do eixo x
codificação = (3, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 2)
Amostragem, quantização e codificação de f(x)
0
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
amostraquantizada
Digitalização de Imagens
Discretização espacial (amostragem)
Processos básicos
Imagem de tons contínuos
64x54
Imagem amostrada
amostragem
64x54 - 16 cores
Imagem amostrada equantizada
quantização
55 55 55 55 55 55 55
55 20 22 23 45 55 55
55 55 10 09 11 55 55
55 55 43 42 70 55 55
55 55 28 76 22 55 55
55 55 55 55 55 55 55
codificação8*55, 1*20, 1*22, 1*23, ….
Imagem amostrada, quantizada e codificada
Imagem Digital: Histogramas
Uma outra maneira de ver a informação da imagem: probabilidade deocorrência de um determinado valor, uso do intervalo [0,255], contraste,...
Histogramas de Imagem Colorida
Propriedades básicas de uma Imagem Digital
(a) aumento de resolução
Problemas associados a re-amostragem de um sinal digital f(x)
x
f(x)
função reconstruídapelo vizinho mais próximo
função reconstruídapor interpolação linear
0
1
2
3
4
5
6 função original
Re-amostragem de f(x)
x
f(x)
função reconstruídapelo vizinho mais próximo
função reconstruídapor interpolação linear
função original
(b) redução de resolução
0
1
2
3
4
5
6
Freqüência de Amostragem
x
f(x)
x
f(x)
Estudo de sinais digitais
Transformadas para o domínio da freqüencia
Teorema de Nyquist e Alias
Harmônicos
t+
)cos( tA
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05A-A
T
)(1
HzT
f
revisão
)(2
2 radtT
ftt
A
Integrais de senos e cosenos em [-,]
cos(nx) sin(nx)
n = 1
n = 2
sin(nx)cos(nx)
revisão
Áreas se compensam.Integrais resultam em 0.
Integrais de senos e cosenos em [-,]
Funções ortogonais
revisão
Série de Fourier
)2
sin2
cos(2)(1
0 T
ktb
T
ktaatf k
kk
t
f(t)
0T
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).
Exemplo: Série de harmônicos
-0.25
-0.05
0.15
0.35
0.55
0.75
0.95
1.15
-0.25
-0.05
0.15
0.35
0.55
0.75
0.95
1.15
-0.25
-0.05
0.15
0.35
0.55
0.75
0.95
1.15
Série de Fourier: cálculo de a0
T
k
T
k
T
k
T
o dtT
ktbdt
T
nktadtadttf
01
000)
2sin()
2cos()(
00)(0 0 T
Tadttf
T
dttfT
a00 )(
1
)2
sin2
cos(2)(1
0 T
ktb
T
tkaatf k
kk
t
f(t)
0 T
Série de Fourier: an e bn
T
dttfT
tn0
)()2
cos(
T
n dtT
tntf
Ta
0)
2cos()(
1
T
n dtT
tntf
Tb
0)
2sin()(
1 ...
)2
sin2
cos(2)(1
0 T
ktb
T
tkaatf k
kk
t
f(t)
0 T
0)2
cos()2
cos(200
1
T
kn dt
T
tk
T
tna
nTa
Resumindo
)2
sin2
cos(2)(1
0 T
ktb
T
ktaatf k
kk
T
k kdtT
kttf
Ta
0,...3,2,1,0)
2cos()(
1
T
k kdtT
kttf
Tb
0,...3,2,1)
2sin()(
1
t
f(t)
0 T
T
kk
2
T
2
Domínios
t
f(t)
0 T
T
2
w
ak
0
w
bk
0
tempo ou espaço
freqüencia
Coeficientes de funções pares e ímpares
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
cos cos sin sin
f-ímpar ak= 0
f-par bk= 0
Periodicidade da Série de Fourier
)()(2
sin)(2
cos2)(1
0 tfTtT
kbTt
T
kaaTtf
kkk
t
f(t)
0 T
t
f(t)
0 T
Números complexos
• x é a parte real• y é a parte imaginária• A é a magnitude• é a fase
A
x
eixo real
eixo imagnário
y
)sin(cos iAiyxz
1i
revisão
Operação básicas com complexos
)()( 2211 iyxiyx
))(( 2211 iyxiyx
))(( iyxiyx
22
11
iyx
iyx
iayax )()( 2121 yyixx )( iyxa
)()( 21122121 yxyxiyyxx )()( 2112212
21 yxyxiyyixx 12 i
2222 )()( yxxyxyiyx
2222
2211
iyxiyx
iyxiyx
221122
22
1iyxiyx
yx
sincos iei
revisão
Derivada de eit
titi eiedt
d
tittitdt
d cossinsincos
)cossin1
( tti
i
i
1
)cossin( ttii
C.Q.D.
2i
ii
i
1
revisão
Outras propriedades úteis
sincos iei
1ie
iei
2
i
-1 1
revisão
Outras propriedades úteis (2)
sincos iei sincos ie i
)(cos 21 ii ee
revisão
)(cos 21 titi eet
t
t
1-1
i
-i
o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüênciasw e -w
Outras propriedades úteis (2)
sincos iei sincos ie i
)()(sin 221 iiiiii eeee
revisão
i
12i
ii
i
1
tt
1-1
i
-i
o seno também corresponde a dois harmônicos:w e -w
Outras propriedades úteis (3)
)sin(cos 111111 iAeAz i
)sin(cos 222222 iAeAz i
)(2121
21 ieAAzz
)(
2
1
2
1 21 ieA
A
z
z
revisão
Amplitude e fase de complexos
sinA
A-A
Dado um valor:
iyxiAz )sin(cos
zzyxA 222
x
ytan
Amplitude
Fase
cosA
revisão
Série de Fourier com números complexos
10
2sin
2cos2)(
knk T
ktb
T
ktaatf
2cos
ii ee
i
ee ii
2sin
1
22
0)(k
T
kti
kT
kti
k eFeFFtf
nnkkkk ibaFibaFaF ,,00
k
T
kti
keFtf2
)(
kk FF
1
2222
0)(k
T
kti
T
kti
kT
kti
T
kti
k eei
beeaatf
1
22
0)(k
T
kti
kk
T
kti
kk e
i
bae
i
baatf
T
T
kti
k kdtetfT
F0
)2
(,...3,2,1)(
1
i
12i
ii
i
1
Escrevendo em complexos
k
T
kti
kkk
k eFT
ktb
T
ktaatf
2
10 )
2sin
2cos(2)(
T T
kk kdtT
kttf
Tbdt
T
kttf
Ta
0 0,...3,2,1,0)
2sin()(
1,)
2cos()(
1
T
T
kti
k kdtetfT
F0
)2
(,...3,2,1,0)(
1
kkk ibaF
)2
sin()2
cos()
2(
T
kti
T
kte T
kti
Serie de Fourier de Sinais Discretos
Sinal discreto
t0 1 2 3 4 5 6 N-1
rf
r
)(tf
tNT
ttrt
,,,,,,,, 1221 NNro ffffff
T
k dtT
kttf
Ta
0)
2cos()(
1
01 2 3 4 5 N
)2
cos()(T
kttf
tt
trtr
ttN
tkrf
tN
N
rk
1
0
2cos
1
TtNT
1
0
)2
cos(1 N
rrk N
rkf
Na
1
0
2sin
1 N
rkk N
rkf
Nb
. . .
1
0
)2
cos(1 N
rrk N
rkf
Na
1
0
2sin
1 N
rkk N
rkf
Nb
1
1
0
)1)(1(1)1(0)1(
)1(11110
)1(00100
1
1
0
1
NNNNN
N
N
N f
f
f
ccc
ccc
ccc
N
a
a
a
)2
cos(N
krckr
onde:
1
1
0
)1)(1(1)1(0)1(
)1(11110
)1(00100
1
1
0
1
NNNNN
N
N
N f
f
f
sss
sss
sss
N
b
b
b
)2
sin(N
krskr
onde:
1
0
)2
(1 N
s
N
ksi
skkk efN
ibaF
1
1
0
)1)(1(1)1(0)1(
)1(11110
)1(00100
1
1
0
1
NNNNN
N
N
N f
f
f
EEE
EEE
EEE
N
F
F
F
N
kri
kr eE2
onde:
1
0
)2
(N
r
N
kri
rk eFf
1
1
0
)1)(1(1)1(0)1(
)1(11110
)1(00100
1
1
0
'''
'''
'''
NNNNN
N
N
N F
F
F
EEE
EEE
EEE
f
f
f
N
kri
kr eE2
'
onde:
1
0
)2
(1 N
s
N
sri
sr efN
F
1
0
)2
(N
r
N
rki
rk eFf
onde:
1
0
)2
(1
0
)2
(1
0
)2
( 1N
r
N
kriN
s
N
rsi
s
N
r
N
rki
rk eefN
eFf
1
0
1
0
)2
()2
(1
0
1
0
)2
()2
( 11 N
s
N
r
N
kri
N
rsi
s
N
r
N
s
N
kri
N
rsi
s eefN
eefN
1
0
1
0
)(21 N
s
N
r
N
skri
s efN
Qual o valor?
Inversa da inversa
rN
r
N
skiN
r
N
skri
ee
1
0
)(21
0
)(2N
ski
N eqqqq)(2
121
Se s=k
1
0
1
0
)(2
1111N
r
N
r
N
skri
Ne
Se s ≠ k é a soma de uma PG de N termos e razão q.1
1
q
qSoma
N
Mas 1)(2)(2
ski
N
N
ski
N eeq
01
11
q
Soma
1
0
)2
(1 N
s
N
sri
sr efN
F
1
0
)2
(N
r
N
rki
rk eFf
onde:
1
0
)2
(1
0
)2
(1
0
)2
( 1N
r
N
kriN
s
N
rsi
s
N
r
N
rki
rk eefN
eFf
1
0
1
0
)2
()2
(1
0
1
0
)2
()2
( 11 N
s
N
r
N
kri
N
rsi
s
N
r
N
s
N
kri
N
rsi
s eefN
eefN
1
0
1
0
)(21 N
s
N
r
N
skri
s efN
Qual o valor?kk fNf
N
1
C.Q.D.
real
imaginário
ie1
N
ki
N
ke N
ki 2
sin2
cos)
2(
N=3 N=4 N=5 N=6
?1
0
)2
(
N
k
N
ki
e
Transformada Discreta
)102sin()( ttf
256N
sec005.01
af
t
sec28.1256005.0 T
T - não é o período do sinal!
Hzfa 200
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
af
NtNT
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
)102sin(N
sTf s
Transformada Discreta de Fourier
1
0
)2
(1 N
s
N
ksi
sk efN
F
/sec0.78131
T
f
/sec91.42
radT
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
ampl
10.15625, 0.46776
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 20 40 60 80 100
)102sin(N
sTf s
1k
todas as feqüências computadas são multiplas destas
Outro exemplo
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
:= ( )f3 t 10 ( )cos 2 t 6 ( )sin 10 t .8 ( )cos 40 t
Transformada fk
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
ampl
0.78
, 4.5
24.
69, 2
.41
20.3
1, 0
.35
0
1
2
3
4
5
0 20 40 60 80 100 120
1
0
)2
(1 N
s
N
ski
sk efN
F
1
0
)2
(N
r
N
rki
rk eFf
Eixo de freqüência
Tutorial com o Excel
http://www.me.psu.edu/me82/Learning/FFT/FFT.html
Discrete Cosine Transformation (DCT)
02
01)(
k
kk
1
0 2
)12(cos
)( N
ssk N
ksf
N
kC
1
0 2
)12(cos
)(N
krs N
ksC
N
kf
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
N
ks
2
)12(cos
)()cos( 2 sen o cosseno pode substituir o seno
Transformada de Fourier
dwewFxf wxi 2)()(
dxexfwF wxi 2)()(
Exemplo 1: Função caixa (box)
f(x)
x
]2,
20
2[
20
)( b
bxse
bxsea
bxse
xf
a
dxexfwF wxi 2)()(
2/
2/2
2
b
bwxie
wi
a
2/
2/
2b
b
wxi dxea
wbiwbi eewi
a
2
i
ee
w
a wbiwbi
2
)sin( wb
w
a
b
wb
wbabwF
)sin(
)(
Transformada da função box
bw
bwabwF
)sin(
)(
F(w)
0 1/b 2/b 3/b-1/b-2/b-3/b
ab
w
sinc(bw)
wb
wbabwF
)sin(
)( f(x)
x
a
b
Distribuição normal: Gaussiana
2
2
22
1)(
x
exGaus
:= ( )gaus x e( ) x
2
Exemplo 2: Gaussiana
-0.02
0.03
0.08
0.13
0.18
-0.02
0.03
0.08
0.13
0.18
2
2
2
2
1)(
x
exf
2
2
12)(
w
ewF
f(x)
x
|| F(w) ||
w
1
Transformada da Gaussiana
dxeewF wxix
22 2
2
2
1)(
dxwxiwxex
)2sin()2cos(2
1 2
2
2
dxwxex
)2cos(
2
2
22
1
222 we
2
1
2
12
2
2
2
w
e
Exemplo 3: Delta de Dirac f(x)
xb/2-b/2
1/b ]2,
20
2[/1
20
lim)(0
b
bxse
bxseb
bxse
xb
2
,2
),(2/2/
lim)(1
lim)()(0
2/
2/0
bbf
b
bbdxxf
bdxxxf
b
b
bb
)0()()( fdxxxf
Delta de Dirac de Gaussianas
22
31
9
x
e
22
21
4
x
e
22
11
1
x
e
2
2
20
1lim)(
x
ex
Transformada do Delta de Dirac
f(x)
x
1)()( 02
edxexwF wxi (x)
|| F(w) ||
w
1
Transformada do cosseno
dxexwwF wxi 2cos()(
dxwxiwxxw )2sin()2cos()cos(
2
20
)2cos()cos(w
wse
wwse
dxwxxw
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5)cos( tw
x
Exemplo 4: Cosseno
)
2()
2(
2
1)(
w
ww
wwF
|| F(w) ||
ww w
)( ww )( ww
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5)cos( tw
x
Exemplo 5: Sequência de impulsos
w
f(x)
x1b 2b3b-1b-2b
|| F(w) ||
1/b 2/b2/b-1/b-2/b
f(x)
x1b 2b 3b-1b-2b
|| F(w) ||
w1/b 2/b2/b-1/b-2/b
Pares importantes
Propriedades da transformada
convolução
Convolução
t
t
dtxfxtgxh )()()(
1
0)(
n
kiiki fgh
duuxgufgfxh )()()(
Convolution
• Pictorially
f(x)
h(x)
Convolution
f(t)
x
h(t-x)
Convolution
• Consider the function (box filter):
21
21
21
21
0
1
0
)(
x
x
x
xh
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This function windows our function f(x).
f(t)
Convolution
• This particular convolution smooths out some of the high frequencies in f(x).
f(x)g(x) f(t)
Ilustação da convolução
t
t
dtxfxtgxh )()()(
Ilustração da convolução
t
t
dtxfxtgxh )()()(
Sinal sub-amostrado
Amostragem e Reconstrução
Observando os domínio do espaço e das freqüências
Sinal original
domínio do espaço domínio das freqüências
Sinal discretizado
)()()()( nn
nn xttfdtxttff
Amostragemdomínio do espaço domínio das freqüências
produto convolução
Sinal discretizado
domínio do espaço domínio das freqüências
Reconstruçãodomínio do espaço domínio das freqüências
convolução produto
Retorno ao sinal original
domínio do espaço domínio das freqüências
Sinal original com mais altas freqüências
domínio do espaço domínio das freqüências
Mesma taxa de amostragemdomínio do espaço domínio das freqüências
produto convolução
Sinal amostrado
domínio do espaço domínio das freqüências
Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!
Teorema de Nyquist
Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist.
Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.
Aliasing
• Esta mistura de espectros é chamada de aliasing. • Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing.
– Passar um filtro passa-baixa no sinal.
– Aumentar a freqüência de amostragem.
Alias
Texture errors
