INFLUÊNCIA DO MÉTODO DE SINCRONISMO NA ESTABILIDADE DECONVERSORES TRIFÁSICOS CONECTADOS À REDE

André Nicolini, Fernanda Carnielutti, Jorge Massing, Humberto PinheiroUniversidade Federal de Santa Maria - UFSM, Santa Maria – RS, Brasil

e-mail: andrenicoliniee@gmai.com, fernanda.carnielutti@gmai.com, jorgemassing@gmai.com,humberto.ctlab.ufsm.br@gmai.com

Resumo – Este artigo realiza a análise da influência dosistema de sincronismo sobre a estabilidade de conversorestrifásicos conectados à rede elétrica combinando equaçõesde espaço de estado e funções de transferência matriciais.Fundamentado no método das impedâncias, divide-se osistema de geração em dois elementos representados porfunções de transferência matriciais em eixos síncronosdq. O primeiro representa a admitância equivalente doconversor, que é obtido ao considerá-lo conectado à umarede ideal. Neste caso, são considerados as dinâmicas dophase-looked loop (PLL) e do controlador de corrente.O segundo representa a impedância equivalente da rede.O modelo não-linear obtido foi, então, linearizado porperturbações de pequenos sinais. A interconexão entreos dois elementos é realizada em matrizes função detransferência e representada na forma de digrama deblocos. A análise da estabilidade do sistema se dá pelautilização do critério generalizado de nyquist (GNC). Alémdisso, o método dos autovalores é utilizado no sistemacompleto em espaço de estados para elucidar a escolhados ganhos do PLL. A fim de verificar a análise teórica,resultados de simulação são apresentados, mostrando umaboa correção com a análise matemática no domínio dafrequência.

Palavras-chave – Conversor trifásico, Critériogeneralizado de Nyquist, Estabilidade, Linearização,PLL.

SYNCHRONISM METHOD INFLUENCE ONTHREE-PHASE GRID-TIED CONVERTERS

STABILITY

Abstract – This paper analyzes the influence of thesynchronism system on the stability of three-phase grid-tied converters, combining state space equations andmatrix transfer functions. Based on the impedancemethod, the generation system was divided into twoelements represented by matrix transfer functions on dqsynchronous axis. The first represents the equivalentadmittance of the converter, which is obtained byconsidering it connected to an ideal grid. Here, thedynamics of the phase-looked loop (PLL) and of thecurrent controller are considered. The second representsthe grid equivalent impedance. In addition, the resulting

Artigo submetido em 09/05/2018. Primeira revisão em 26/06/2018. Aceitopara publicação em 21/11/2018 por recomendação do Editor MarcelloMezaroba. http://dx.doi.org/10.18618/REP.2019.1.0003

non-linear model was linearized by the small-signalmethod. The interconnection between these two elementsis performed in transfer function matrices and representedin the block diagram form. The analysis of the stability ofthe system is given by the use of the Generalized NyquistCriterion (GNC). Moreover, the eigenvalues method isused in the complete state space system to elucidate thechoice of PLL gains. In order to validate the theoreticalanalysis, simulations results are presented, showing a goodagreement with the mathematical analysis in the frequencydomain.

Keywords – Generalized Nyquist criteria, Linearization,PLL, Stability, Three-phase converter.

I. INTRODUÇÃO

Sistemas de conversão de energia eólica e fotovoltaica,bem como os novos sistemas de armazenamento de energiassão, em sua maioria, conectados à rede elétrica através deconversores alimentados em tensão e controlados em corrente[1], onde um sistema de sincronismo torna possível, porexemplo, o controle da potência ativa e reativa entregue à rede[2]. Devido à rápida penetração destas fontes de energia comorecurso de geração distribuída, a interação destes conversorescom a rede elétrica tem sido tópico de estudo amplamentediscutido na literatura. Em redes elétricas com baixa razão decurto circuito (short circuit ratio - SCR) a dinâmica do sistemade sincronismo pode causar impacto negativo na estabilidade[3],[4]. A representação destes conversores conectados a redesfracas com adição da dinâmica do phase-looked loop(PLL),sistema de sincronismo usualmente utilizado, é geralmenterealizada no domínio dq. Uma vez que os controladoresde corrente podem ser implementados nestes mesmos eixosde referência, o PLL pode ser incorporado naturalmente aomodelo. Entretanto, para sistemas trifásicos desequilibrados,os eixos síncronos apresentam uma oscilação periódica, enesse caso utiliza-se o método de linearização harmônica[5]. Neste contexto, diversas análises são realizadas naliteratura, com o intuito de prever e melhorar a estabilidadedos conversores trifásicos conectados a redes com baixo SCR.

Em [6], através do método da impedância, verifica-seque um inversor conectado à rede permanecerá estável se arelação entre a impedância da rede e a impedância de saídado inversor satisfizer o critério de estabilidade de Nyquist.Em [7], modelos analíticos para impedâncias de seqüênciapositiva e negativa foram propostos para um conversor do tipofonte de tensão (voltage source converter - VSC) trifásico.Os modelos incluíram a dinâmica do PLL, controle de

corrente em eixos estacionários abc e em eixos síncronos dq,amortecimento ativo, e atraso de transporte, verificando-seatravés de resultados experimentais os modelos de impedânciae a abordagem geral da análise.

A influência do PLL na admitância de saída dos VSCsmonofásicos controlados por corrente com diferentes valoresde SCR no ponto de conexão comum (point of commoncoupling - PCC) foi analisada em [8]. Além disso, realizoua mesma análise para um PLL integrador generalizado desegunda ordem (second order generalized integrator - SOGI).Resultados de simulação foram apresentados para validaçãoda análise teórica. Verificou-se que o PLL adiciona umaadmitância em paralelo com a admitância de saída do inversor,que pode levar a uma oscilação harmônica não intencional debaixa ordem quando em rede fraca.

Uma análise de pequenos sinais em eixos dq para umVSC trifásico conectado à rede sob diferentes estratégias decontrole foi apresentada em [3], onde verifica-se a influênciado PLL e do controlador de corrente e potência sobre aimpedância do inversor. Esta análise indica que a parceladireta do eixo d apresenta comportamento incremental de umresistor negativo devido à dinâmica do PLL e da injeção decorrente. Também mostra que um aumento da largura debanda do PLL pode levar o sistema à instabilidade.

Em [4] foi apresentado um método generalizado paraconversão do modelo de impedância MIMO dq, de umVSC trifásico conectado à rede, em um modelo equivalenteSISO, considerando-se um controlador de corrente e o PLL.Como resultado, dois tipos de modelos de impedância SISOforam derivados, um deles considerando uma forte relação esimetria entre os eixos dq (modelo SISO reduzido) e outrofoi baseado no modelo de malha fechada do sistema (modeloSISO preciso), mostrando que o segundo modelo tem a mesmacondição de estabilidade marginal que o modelo MIMO.

Por outro lado, em [9] foi realizada a análise da estabilidadede um VSC monofásico conectado à rede considerandoo sistema de sincronismo e a adição de um controladorfeed-forward de tensão. Utilizou-se o método baseadona impedância para estimar a estabilidade do sistema, emelhorar a robustez do controlador feed-forward. Uma análisesemelhante é realizada para um sistema trifásico em [10],[11].

Em [12] foi apresentada uma abordagem unificadora dosmodelos de impedância para análise do efeito do PLL,através da formulação de funções de transferência complexase vetores espaciais complexos. A equivalência complexaentre os modelos de impedância nos diferentes domínios foirevelada, e o efeito de acoplamento de frequência do PLL esua implicação na estabilidade do sistema foi identificada emambos os domínios. Os estudos de caso baseados no modelode impedância foram validados nas simulações e experimentosno domínio do tempo.

Neste contexto, este artigo combina as abordagens deespaço de estado e funções de transferências matriciais paraanalisar a influência do sistema de sincronismo em VSCsconectados à rede elétrica. A modelagem do sistema degeração é realizada em eixos síncronos dq dividido em doisdomínios, o domínio da rede e o domínio do conversor.Devido ao fato do método de sincronismo ser não-linear,realiza-se a linearização por perturbações de pequenos sinais

do modelo do conversor. Além disso, fundamentado nométodo das impedâncias, o sistema de geração é divididoem dois elementos representados em funções de transferênciamatriciais. O primeiro representa a admitância equivalentedo conversor, que é obtida ao considerá-lo conectado à umarede ideal, incluindo o PLL e o controlador de corrente. Osegundo representa a impedância equivalente da rede. Ainterconexão entre os dois elementos é realizada em matrizesfunção de transferência e representada na forma de diagramade blocos. A análise da estabilidade do sistema é realizadaatravés da utilização do GNC sobre o produto da admitânciado conversor com a impedância da rede. Assim, poderá inferir-se sobre a influência do sistema de sincronismo na estabilidadede conversores conectados à rede e estimar as condições deestabilidade do sistema. Além disso, através do métododos autovalores, este artigo propõe diretrizes para a escolhados ganhos do PLL de um conversor trifásico conectado àuma rede fraca. Para validação, resultados de simulação nodomínio do tempo em virtual HIL são comparados com os daanálise teórica no domínio da frequência.

Este artigo está dividido da seguinte forma: a seção IIdescreve a modelagem do sistema de geração em espaço deestados e em matrizes função de transferência considerandoa malha de controle de corrente e o PLL. Na seção III érealizada a análise de estabilidade deste sistema. Na SeçãoIV, são apresentados resultados de simulação para comprovaro desenvolvimento teórico apresentado. Por fim, as conclusõessão realizadas na Seção V.

II. MODELAGEM DO SISTEMA

Para analisar o impacto do controlador de corrente emeixos síncronos dq e do PLL sobre a estabilidade de umVSC trifásico conectado à rede através de filtro L, conformeilustrado na Figura 1, dois domínios dq serão definidos, quesurgem devido à diferença entre o ângulo verdadeiro da tensãodo PCC (θr) e o ângulo de sincronismo (θpll) obtido pelo PLL.Um deles é definido como domínio dq da rede, e o outro,como domínio dq do controle. O primeiro é síncrono como ângulo da tensão de background para transformação doseixos estacionários abc para os eixos síncronos dq, enquantoo segundo utiliza o ângulo obtido do PLL através das medidasdas tensões de linha no PCC. Em regime permanente, oeixo dq do controle está alinhado com o eixo dq da redeno PCC. Entretanto, perturbações na fonte de tensão CA sãopropagadas através do ângulo de saída do PLL, resultando emuma diferença entre os eixos representada por δ̃ , conformemostra a Figura 2. Como o domínio da rede é síncrono coma tensão de background, tem-se um ângulo de carga, ∆δ ,entre esta tensão e a do PCC. O domínio do controle estárepresentado pelo sobrescrito ’c’, enquanto o da rede está semsobrescrito.

Feitas estas considerações, o modelo não-linear doconversor incluindo a malha de controle de corrente e o PLLserá apresentado. A modelagem é desenvolvida diretamenteem eixos síncronos dq, através da transformação invariante emtensão e corrente de eixos estacionários abc. A fim de deixar amodelagem compacta, as matrizes que representam o modelonão-linear serão definidas no apêndice. A notação subescritadq das matrizes e vetores do modelo será suprimida, pois toda

ConversorTrifásico

PCC

PWM

Controle

Lc

v vabf bcf

Rede

Lr

vrc vrb vra

ic_a

ic_b

ic_cVcc

FontePrimária Rr

Cr

ic_af ic_bf

FPB FPB

Rc

Fig. 1. Conversor trifásico conectado à rede através de filtro L.

Δδ dr

qr

d

q

cd

cq

δ

Ângulo de carga

~ Ângulo p

erturba

ção

Síncrono com a tensão de background

Fig. 2. Eixos no domínio da rede e no domínio do controle.

a modelagem é apresentada nesse sistema de coordenadas.

A. Modelo Não-LinearInicialmente, vamos considerar o modelo do conversor,

modelado em espaço de estados no domínio da rede. Umavez que o PLL é não-linear, torna-se interessante inicialmenterealizar a modelagem do sistema em espaço de estados, poiseste pode descrever tanto sistemas não-lineares como lineares[13], e é possível obter o ponto de equilíbrio associado a umsistema trifásico equilibrado. Este modelo está dividido emduas partes. A primeira representa o modelo do conversorconectado a uma rede forte, e a segunda, representa o modeloda rede, em que o vetor de corrente do conversor ic e o vetorde tensão v fazem o acoplamento entre elas. Tem-se tambéma restrição de que a tensão no ponto de conexão é igual atensão sobre o capacitor modelado da rede, ou seja, v = vcr.Assim, pode-se representar, em espaço de estados, o modelodo conversor com filtro L conectado à rede de indutância Lr ecapacitância Cr, como:

ẋ1 = A1x1 +B1u+F1vic = x1ẋ2 = A2x2 +B2ic +F2vrv = C2x2

(1)

em que x1 = [icd, icq]T é o vetor que contém as correntesdo lado conversor no domínio da rede, u = [ud,uq]T são asações de controle, x2 = [vcrd,vcrq, ird, irq]T são as tensões doscapacitores e as correntes da rede, v = [vd,vq]T contém astensões no ponto de conexão e vr = [vrd,vrq]T são as tensõesde background da rede.

As grandezas medidas, corrente do conversor e tensão doPCC, antes de entrar na malha de controle, passam por umfiltro anti-aliasing, que em dq no domínio da rede pode serrepresentado em espaço de estados por:

i̇cf = Aificf +Bificv̇f = Avfvf +Bvfv.

(2)

A transformação de eixos síncronos no domínio da rede dqpara dq no domínio do controle é dada por:

vc = T(δ )vficc = T(δ )icf

(3)

em que δ = θpll−θr. A matriz transformação T(δ ) é:

T(δ ) =[

cos(δ ) sin(δ )−sin(δ ) cos(δ )

]. (4)

Ainda, considerando-se a utilização do PLL em eixossíncronos de referência (synchronous reference frame - SRF)com ganho proporcional kp_pll e ganho integral ki_pll, o seucomportamento dinâmico pode ser representado por:

ẋcpll = vcq

δ̇ = ki_pllxcpll + kp_pllvcq +ωref−ωr

(5)

em que, vcq é a tensão de quadratura no ponto de conexão, xpllé o estado do integrador do PI do PLL, ωref é a frequência dereferência do PLL e ωr é a frequência da rede no PCC.

Finalmente, o controlador de corrente proporcional-integral(PI) com ganhos kp e ki pode ser expresso por:

B1 ∫

A1

B2 ∫ C2

A2

Bif∫

Aif

T(δ) ∫∫

ki_pll

kp_pll-1T (δ)

∫ki

kp

irefc

Bvf∫

Avf

T(δ)

F1 F2

Domínio do controle

vr

x1 vx2

vficficc

vqc

[0 1]δucu

PLLControle corrente

Modelo Conversor

Modelo Rede

FiltroFiltro

Fig. 3. Representação em diagramas de blocos do conversor trifásico conectado à rede, incluindo o controle de corrente e o PLL.

ẋcci = icref− icc

uc = kixcci + kp(icref− icc),

(6)

onde o vetor de controle uc deve ser transformado para odomínio da rede, isto é:

u = T(δ )−1uc. (7)

Para facilitar o entendimento, o modelo não-linear de (1)-(7) foi representado em diagrama de bloco na Figura 3.

B. LinearizaçãoAs equações dinâmicas de (1)-(7) descrevem o

comportamento do conversor conectado à rede comcontrolador em eixos síncronos e um PLL. A não-linearidadepresente nestas equações está nas transformações em (3) e(7). Visando obter um modelo linear, estes vetores serãodecompostos em componentes de regime permanente, CC, euma componente de perturbação, ou seja:

δ = ∆δ + δ̃ (8)

ic =[

icdicq

]=

[Icd + ĩcdIcq + ĩcq

]icc =

[iccdiccq

]=

[Iccd + ĩ

ccd

Iccq + ĩccq

]v =

[vdvq

]=

[Vd + ṽdVq + ṽq

]vc =

[vcdvcq

]=

[V cd + ṽ

cd

V cq + ṽcq

](9)

u =[

uduq

]=

[Ud + ũdUq + ũq

]uc =

[ucducq

]=

[Ucd + ũ

cd

Ucq + ũcq

].

(10)

As grandezas de regime permanente de (8), (9) e (10)

podem ser obtidas solucionando (1)-(7), considerando que asderivadas são nulas.

Assim, para linearizar a mudança entre os domínios emtorno do ponto de equilíbrio encontrado pode-se substituir (8)nas transformações, ou seja:

T(∆δ + δ̃ ) =[

cos(∆δ + δ̃ ) sin(∆δ + δ̃ )−sin(∆δ + δ̃ ) cos(∆δ + δ̃ )

]≈ T(∆δ )

[1 δ̃−δ̃ 1

] (11)

T−1(∆δ + δ̃ ) =[

cos(∆δ + δ̃ ) −sin(∆δ + δ̃ )sin(∆δ + δ̃ ) cos(∆δ + δ̃ )

]≈ T−1(∆δ )

[1 −δ̃δ̃ 1

].

(12)

Substituindo (9) e (11) em (3), e desprezando os termos desegunda ordem, tem-se:[

V cdV cq

]= T(∆δ )

[VdfVqf

][

ṽcdṽcq

]= T(∆δ )

[Vqfδ̃ + ṽdf−Vdfδ̃ + ṽqf

] (13)e [

IccdIccq

]= T(∆δ )

[IcdfIcqf

][

ĩccdĩccq

]= T(∆δ )

[Icqfδ̃ + ĩcdf−Icdfδ̃ + ĩcqf

].

(14)

De forma similar, substituindo (10) e (12) em (7), tem-se:[UdUq

]= T−1(∆δ )

[UcdUcq

][

ũdũq

]= T−1(∆δ )

[−Ucq δ̃ + ũcdUcd δ̃ + ũ

cq

].

(15)

0,008 0,012 0 0,004 0,008 0,0120

0,02

0,04

0,06

0,36

0,4

0,44

0 0,004360

380

400

dddd

c

c

dqdq

c

c

ωpllωpll

id

c

c

iqiq

c

c

id

0 0,004

0

-5

5

90

100

110

120

0,008 0,012

id

Fig. 4. Comparação da resposta no domínio do tempo do modelo com PWM e modelo médio linearizado.

O comportamento dinâmico para pequenas perturbaçõesem torno de um ponto de equilíbrio do conversor conectado àrede com controle de corrente em eixos síncronos no domínioda rede, pode ser expresso por:

˙̃x1 = A1x̃1 +B1ũ+F1ṽĩc = x̃1

(16)

˙̃icf = Aif ĩcf +Bif ĩc˙̃vf = Avfṽf +Bvfṽ

(17)

˙̃x2 = A2x̃2 +B2 ĩ+F2ṽrṽ = C2x̃2

(18)[ṽcdṽcq

]= T(∆δ )

{[Vqf−Vdf

]δ̃ +

[ṽdfṽqf

]}(19)[

ĩcdĩcq

]= T(∆δ )

{[Iqf−Idf

]δ̃ +

[ĩdfĩqf

]}(20)

˙̃xcpll = ṽcq

˙̃δ = ki_pllx̃cpll + kp_pllṽcq

(21)

˙̃xcci = ĩcref− ĩccũc = Kix̃cci +Kp(ĩ

cref− ĩcc)

(22)

[ũdũq

]= T−1(∆δ )

{[−UcqUcd

]δ̃ +

[ũcdũcq

]}.

(23)

A Figura 4 mostra a resposta do modelo não-linear comPWM e o modelo médio linearizado, onde percebe-se umaboa correspondência entre ambos, validando o modelo linearobtido através do método de perturbação de pequenos sinais.

Visando representar o conversor trifásico com filtro Lconectado à uma rede forte e em malha fechada por equaçõesde espaço de estado, combinam-se as equações (16), (17),(20)-(23), onde as entradas do sistema passam a ser a correntede referência e a tensão da rede no ponto de conexão, e comosaída, o vetor de corrente do lado CA do conversor. Assim,tem-se:

˙̃xmf = Amfx̃mf +Bmf ĩcref +Fmfṽy = Cmfx̃mf

(24)

onde as matrizes Amf, Bmf, Fmf e Cmf estão definidas em (25).Estas equações em espaço de estado podem ser

representadas de forma equivalente por matrizes funçãode transferência, conforme (26), ou em diagrama de blocos,

como mostra a Figura 5.

ĩc = Gc ĩcref +Ycṽ (26)

onde:Gc = Cmf(sI−Amf)−1Bmf (27)

Yc = Cmf(sI−Amf)−1Fmf. (28)

Representar o modelo por matrizes função de transferênciapossibilita utilizar as virtudes do método baseado nasimpedâncias, como por exemplo facilitar a troca do modeloda rede ou do conversor, pois se necessário é possível mudarapenas uma das impedâncias do modelo [5]. Além disso,sistemas mais complexos podem ser representados da mesmaforma, agrupando-se as fontes de entrada em um subsitema ea rede/carga em outro [14].

A (18), que representa o modelo da rede, não foi levadaem consideração tanto em (24) como em (26), e por isso elasrepresentam a operação do conversor conectado a uma redeforte, que inclui o controlador de corrente e a ação do PLL.

Visando estender a análise considerando-se uma rede fraca,vamos representar (18) também no domínio da frequência, ouseja:

ṽ = Zr ĩc +Grṽr (29)

onde:Zr = C2(sI−A2)−1B2 (30)

Gr = C2(sI−A2)−1F2. (31)

Incluindo (29) na representação por diagrama de blocos, osistema passa a ser representado pela Figura 6, onde levam-seem consideração os parâmetros da rede.

III. ANÁLISE DA ESTABILIDADE

Para a análise da estabilidade são utilizados os métodosbaseados nas impedâncias e nos autovalores. O primeiroé utilizado por permitir analisar a estabilidade do sistemadiretamente através de medidas de campo [15],[16] e tem sidoamplamente utilizado na literatura [3], [4], [6]–[12]. O métodobaseado nos autovalores é utilizado de forma complementarpara elucidar a escolha dos ganhos do PLL.

Para verificar a estabilidade do conversor conectado àuma rede fraca pelo método das impedâncias, as seguinteshipóteses são utilizadas:• A rede vista do ponto de conexão é estável sem a

presença do conversor;

Am f =

A1 −kpB1 02x2 02x1 B1T−1(∆δ )(Uc− kpT(∆δ )Ic f ) kiB1T−1(∆δ )Bi f Ai f 02x2 02x1 02x1 02x202x2 02x2 Av f 02x1 02x1 02x201x2 01x2 [0 1]T(∆δ ) 0 [0 1]T(∆δ )V f 01x201x2 01x2 kp_pll [0 1]T(∆δ ) ki_pll kp_pll [0 1]T(∆δ )V f 01x202x2 −T(∆δ ) 02x2 02x1 −T(∆δ )Ic f 02x2

Bm f =

kpB1T−1(∆δ )

02x202x201x201x2I2x2

Fm f =

F102x2Bv f01x201x202x2

Cm f =

I2x202x202x201x201x202x2

.

(25)

Gc

v

iref

-Yc

ic~ ~

~

c

Fig. 5. Representação em diagramas de blocos do conversor trifásicoconectado a uma rede forte.

Gcic viref

-Yc

Zr

vr

Grc~ ~

~

~

Fig. 6. Representação em diagramas de blocos do conversor trifásicoconectado a uma rede fraca.

• O conversor é estável, se conectado diretamente à umafonte de tensão ideal.

Por se tratar de um sistema MIMO com realimentaçãonegativa e return ratio igual a −YcZr, a estabilidade daconexão do conversor com uma rede fraca pode ser investigadautilizando o critério generalizado de Nyquist. Este método édetalhado por [17] da seguinte maneira: Se uma dada funçãode malha aberta Gma(s) tem Po polos (Smith-McMillan)instáveis, então o sistema malha fechada Gmf(s) com returnratio −kGma(s) é estável se, e somente se, os lugarescaracterísticos dos autovalores de kGma(s) traçados emum mesmo gráfico circulam o ponto −1 + j0 Po vezes nosentido anti-horário, assumindo que não haja modos instáveisinternos. Assim, deve-se encontrar o número Po de polos deYcZr para os parâmetros do sistema considerado, e traçar oslugares característicos de seus autovalores.

Visando analisar a influência do PLL na estabilidade daconexão do conversor em rede fraca, os três casos enumeradosabaixo foram avaliados, utilizando os parâmetros do conversormostrados na Tabela I.

TABELA IParâmetros do Sistema Analisado

Símb. Parâmetro ValorPc Potência conversor 100 kWVr Tensão de linha da rede 380 Vfr Frequência da rede 60 Hz

Vcc Tensão barramento CC 800 Vfc Frequência de comutação 10.08 kHzLc Indutância do conversor 0.5 mHRc Resistência parasita 0,1 ΩLr Indutância da rede 0 - 4 mHRr Resistência parasita 0,1 ΩCr Capacitância rede 5 uFkp Ganho prop. corrente 0,005ki Ganho int. corrente 0,15ϕ Frequência de corte filtro a.a. 31415 rad/s

• C1: SCR=0,95 p.u., Irefd = 100 A, kp_pll = 3,1;

• C2: SCR=3,7 p.u., Irefd = 100 A, kp_pll = 13,9;

• C3: SCR=3,7 p.u. , Irefd = 150 A, kp_pll = 8,3;

Os lugares característicos dos autovalores para os 3 casos(C1,C2,C3) estão mostrados nas Figuras 7.a, 7.b e 7.c,respectivamente. Para se realizar uma comparação entre eles,foram escolhidos pontos próximos ao limite de instabilidade(ponto -1+j0), onde um aumento de um décimo no ganhode kp_PLL tornará o sistema instável. Ao analisar as Figuras7.a e 7.b, verifica-se que o ganho do PLL possui maiorinfluência em redes fracas, sendo necessário diminuir a suabanda passante para que o sistema mantenha-se estável nasmesmas condições do conversor trifásico, mas para um menorSCR no ponto de conexão. Agora, comparando-se as Figuras7.b e 7.c verifica-se que para uma maior corrente de referênciade geração, e com o mesmo SCR, o ganho do PLL tambémdeve ser reduzido para que a conexão do conversor com arede mantenha-se estável. Neste caso, os parâmetros doPLL influenciam diretamente na estabilidade dos conversoresconectados à rede, e devem ser bem projetados para que nãotornem o sistema instável em diferentes condições do ponto deconexão.

Visando complementar a análise realizada pelo método dasimpedâncias e dar diretrizes para a escolha dos ganhos do PLL,a estabilidade do conversor será verificada pelo método dos

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Im

Re

Plano λ(s)

-1 1 1.5-1.5

k =3,1p_pllL =4 mHrI =100 Aref_d

λ1(s)λ2(s)

ω>0

ω0

ω0 ω>0

ω0

ω

bem como confirmar as conclusões a partir do método dasimpedâncias e do método dos autovalores, na próxima seçãoserão mostrados resultados de simulação no domínio do tempoobtidos através do virtual HIL.

IV. RESULTADOS EM VIRTUAL HIL

Esta seção visa validar a análise da estabilidade doconversor trifásico conectado à uma rede fraca, considerandoa dinâmica do PLL e do controlador de corrente. Osresultados de simulação no domínio do tempo são obtidos novirtual Typhoon HIL, onde a malha de controle e PLL foramimplementados em um bloco de linguagem C. Os parâmetrosdo conversor e da rede são os mesmos apresentados na TabelaI.

Para realizar a comparação entre os resultados teóricos ede simulação, os mesmos 3 casos anteriores foram utilizados,cujos resultados estão ilustrados na Figura 10. Entretanto,em cada caso, o ganho do PLL foi variado em torno dovalor crítico de estabilidade obtido teoricamente. No caso C1,modificou-se o ganho kp_PLL de 3,1 para 3,2. No segundo (C2),os ganhos de kp_PLL foram variados de 13,6 para 14. No últimocaso (C3), variou-se kp_pll de 8,2 para 8,4. Nos três casos,o sistema é estável para o primeiro ganho, e instável para osegundo.

Estes resultados mostram uma boa correlação com osresultados teóricos, visto que a região de instabilidade previstapela análise teórica está muito próxima daquela previstapelos resultados de simulação no domínio do tempo. Destamaneira, percebe-se que o ganho do PLL tem influência diretana estabilidade do sistema. Quanto mais fraca é a redeelétrica (menor SCR), menor deve ser o ganho do PLL paraque o sistema seja estável. Os ganhos do PLL devem serprojetados para a corrente nominal do sistema, pois a correntede referência também tem influência negativa na estabilidade.

V. CONCLUSÕES

Este artigo realizou a análise da influência do PLL sobrea estabilidade de VSCs trifásicos conectados à rede elétrica.Representando o sistema em equações de espaço em eixossíncronos dq com a tensão de background e baseado nométodo das impedâncias, dividiu-se o modelo do sistema emduas partes: primeiro, modelou-se o conversor conectado àuma rede ideal e, depois, modelou-se a rede elétrica. Devidoao fato do sistema de sincronismo ser não-linear, realizou-se alinearização por pequenos sinais do sistema. A interconexãoentre os dois modelos foi realizada em matrizes função detransferência e representada na forma de digrama de blocos.A análise do sistema através do GNC sobre o modelo obtidoem matrizes função de transferência foi capaz de prevera influência do sistema de sincronismo na estabilidade deconversores conectados à rede. Além disso, através dométodo do autovalores, propôs-se diretrizes para projetar osganhos do PLL. Resultados de simulação no domínio dotempo foram obtidos, através de virtual HIL, apresentandouma boa correlação com a análise matemática no domínio dafrequência.

0,1Tempo (s)

(i)

(ii)

0 0,2 0,3 0,4

-200

-100

0

100

200

-500

0

500

Estávelkp_pll=3,1

Instávelkp_pll=3,2

i i i c_a c_b c_c

v v ab bc

(a) Caso C1

-200

-100

0

100

200

0,1

-500

0

500

Tempo (s)

(i)

(ii)

Estávelkp_pll=13,6

Instávelkp_pll=14

0 0,2 0,3 0,4

i i i c_a c_b c_c

v v ab bc

(b) Caso C2

-200

-100

0

100

200

0,1

-500

0

500

Tempo (s)0 0,2 0,3 0,4

(i)

(ii)

Estávelkp_pll=8,2

Instávelkp_pll=8,4

i i i c_a c_b c_c

v v ab bc

(c) Caso C3Fig. 10. Simulação em HIL de um conversor trifásico com filtro Lconectado à rede fraca. Na parte superior (i) as três correntes doinversor e na parte inferior (ii) as duas tensões de linha no PCC.

AGRADECIMENTOS

O presente trabalho foi realizado com apoio daCoordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de NívelSuperior - Brasil (CAPES/PROEX) - Código deFinanciamento 001 e com o apoio do INCTGD e órgãosfinanciadores (CNPq processo 465640/2014-1, CAPESprocesso no. 23038.000776/2017-54 e FAPERGS 17/2551-0000517-1).

APÊNDICE

Para melhor entendimento, aqui, estão definidas as matrizesutilizadas no modelo não-linear do sistema.

As matrizes de estados, de entradas e de saídas do modelodo conversor e da rede mostradas em (1) são definidas como:

A1 =

[−RcLc ω

ω −RcLc

]

B1 = VccLc

[1 00 1

]F1 =− 1Lc

[1 00 1

] (34)

A2 =

0 ω − 1Cr 0−ω 0 0 − 1Cr

1Lr

0 −RrLr ω0 1Lr −ω −

RrLr

B2 =

1Cr

00 1Cr0 00 0

F2 =

0 00 0− 1Lr 0

0 − 1Lr

C2 = [1 00 1].

(35)

As matrizes de estados e entrada do modelo dos filtros anti-aliasing são:

Aif = Avf =−[

ϕ −ωω ϕ

]Bif = Bvf =

[ϕ 00 ϕ

] (36)onde ϕ é a sua frequência de corte em rad/s.

REFERÊNCIAS

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[17] J. M. Maciejowski, Multivariable Feedback Design,Addison-Wesley, 1989.

DADOS BIOGRÁFICOS

André Miguel Nicolini nascido em 28/05/1989 em VenâncioAires, RS, é engenheiro eletricista (2015) pela UniversidadeFederal de Santa Maria, onde também recebeu o título demestre em 2017. Atualmente é doutorando do programade pós-graduação da UFSM. Suas áreas de interesse são:eletrônica de potência, qualidade do processamento da energiaelétrica, modulação para conversores estáticos, energiasrenováveis. É membro da SOBRAEP e da IEEE.

Fernanda de Morais Carnielutti nasceu em Santa Maria,RS, Brasil, em 1987. Recebeu os títulos de EngenheiraEletricista (2010), Mestre (2012) e Doutora (2015) emEngenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa Maria(UFSM), Santa Maria, Brasil. Trabalha no Grupo deEletrônica de Potência e Controle (GEPOC) na UFSM desde2005 e é professora na UFSM desde 2016. Seus interessesde pesquisa incluem modulação e controle de conversoresmultiníveis, controle aplicado à eletrônica de potência eeletrônica de potência para energias renováveis.

Jorge Rodrigo Massing recebeu os títulos de EngenheiroEletricista, Mestre e Doutor pela Universidade Federal deSanta Maria (UFSM), Santa Maria, Brasil, nos anos de2006, 2008 e 2013, respectivamente. Ele atualmente éProfessor Adjunto do Departamento de Eletromecânica eSistemas de Potência da UFSM. Ele desenvolve pesquisa juntoao Grupo de Eletrônica de Potência e Controle (GEPOC).Suas áreas de interesse na pesquisa são: modelagem econtrole de conversores estáticos, aplicação de técnicasde controle digital em eletrônica de potência, controle eestabilidade de conversores conectatos à rede para aplicaçãoem energias renováveis e geração distribuída e plataformasde simulação de conversores em tempo real. Ele é membroda IEEE, participando das seguintes sociedades: IEEE PowerElectornics Society (PELS), IEEE Power & Energy Society(PES), IEEE Industrial Electronics Society (IES) e IEEEIndustry Applications Society (IAS).

Humberto Pinheiro é engenheiro eletricista pelaUniversidade Federal Santa Maria (UFSM), Santa Maria,Brasil, em 1983, mestre em engenharia pela UniversidadeFederal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil, em 1987 egraduado Ph.D. pela Concordia University, Montreal, Canadá,em 1999. De 1987 a 1999, ele foi engenheiro pesquisadorde uma companhia brasileira de UPS e também foi professorna Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul,

onde lecionou a disciplina de eletrônica de potência. Desde1991, ele está na UFSM. Suas áreas de interesse incluemmodulação e controle de conversores estáticos e acionamentospara sistemas de conversão eólica. Dr. Humberto Pinheiro émembro das IEEE Industrial Electronics e Power ElectronicsSocieties.