8/3/2019 integralPorPartes

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Integração por Partes

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Integração por partes

A integração por partes é uma técnica de primitivação baseada na derivada do

produto de duas funções.Pela regra do produto para deri vadas,sabe-se que (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + g(x)f '(x).

Através de manipulações algébricasmontamos uma equação que é chamada de regra de integração por partes,acompanhe..

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Integração por partes

Aplicando a integral em todos os membros da

equação, ficamos com:

[ f ( x)g( x)]' = f ( x)' g( x)+ f ( x)g( x)'

 f ( x)g( x)' = [ f ( x)g( x)]'! f ( x)' g( x)

 f ( x)g( x)' = f ( x)g( x) ! f ( x)' g( x)" " 

Essa é a regra de integração por partes

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Integração por partesQuando usar??

Suponha agora que se tenha que calcular Sf(x)g(x)dx .

Se você perceber que , multiplica ndo a deri vadade uma das funções do integrando por umaprimit iva da ou tra , chega-se a uma função que possui primit iva imediata, então aplique aintegração por partes.

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Integração por partesExemplo 1

Calcule a integral abaixo:

 x cos xdx! 

A derivada de x = 1; senx é uma primi tiva de cos x 

Como 1 . senx tem primitiva imediata podemosaplicar a integração por partes

 xcos xdx!  = f ( x)g( x)" f  '( x)g( x)dx! 

f (x) g'( x)

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Integração por partesExemplo 1

Aplicando a regra temos

 x cos xdx!  = f ( x)g( x) " f  '( x)g( x)dx! 

f (x) g'( x)

 x cos xdx!  = xsenx " 1. senxdx! 

 x cos xdx!  = xsenx + cos x + k 

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Integração por partesExemplo 2

Calcule a integral abaixo:

 x2senxdx! 

f ( x)g( x)' = f ( x)g( x)! f ( x)' g( x)" " 

Aplicando novamente Integração por partes...

2 x cos xdx!  = 2 xsenx + 2cos x + k  (2)

Finalmente substituindo (2) em (1) temos:

 x2senxdx!  = x

2(" cos x) " 2 x("cos x)dx! 

 x2senxdx!  = " x2

cos x +2xsenx + 2cosx +k

 x2senxdx = ! x

2cos x + 2 x cos xdx (eq.1)" " 

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Integração por partesExemplo 3

Calcule a integral abaixo:

e xcos xdx! 

Fazendo f(x) = ex , g'(x)=cosx , obtemos

e x cos xdx!  = e

xsenx " e

xsenxdx (eq.1)! 

Aplicando novamente a integração por partes temos:

e xsenxdx!  = ex ("cos x) " ex (" cos x)dx! 

e xsenxdx!  = "ex cos x + ex cos xdx!  ( eq. 2)

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Integração por partesExemplo 3

e x cos xdx! = exsenx " exsenxdx (eq.1)! 

O problema se repete , aparentemente não vale a pena aplicar a regra

de integração por partes , mas se substituirmos a equação 2 em 1...

e xcos xdx!  = e

x

senx + ex

cos x " ex

cos xdx! 

e xsenxdx!  = "e

xcos x + e

xcos xdx!  ( eq. 2)

2 e xcos xdx!  = e

xsenx + e

xcos x

e xcos xdx!  =

1

2ex(senx + cos x)+ k 

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Integração por partesExemplo 4

Calcule a integral abaixo:

cos2 xdx! 

cos x cos xdx = cos x senx!  " "senx senx dx! 

cos xcos xdx = cos x senx!  + sen2x dx!  (eq.1)

Como da identidate trigonometrica temos , sen2 x + cos

2 x = 1

podemos substituir o segudo termo da equação por, sen2 x = (1! cos

2 x )

cos x cos xdx = cos x senx!  + (1" cos2 x) dx!   

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Integração por partesExemplo 4

cos x cos xdx = cos x senx!  + (1" cos2 x) dx!   

cos xcos xdx = cos x senx!  + 1dx " cos2 x!  dx! 

2 cos2 xdx!  = cos xsenx + x

cos2 xdx!  =

cos xsenx

2+

 x

2+ k 

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