Introdu o Estrutura At mica - ft.unicamp.brmarcos/TT%20303%20A/Introdu%e7%e3o… · as teorias de Rutherford e Planck para aprimorar a explicação do modelo atômico. Uma dessas

Introduo Estrutura Atmica

Materiais Eltricos

Introduo Estrutura Atmica

1 - Introduo a Cincias dos Materiais

Todo projetista est sempre interessado nos materiais que lhe so disponveis.

Quer seu produto seja uma ponte, um veculo espacial ou um automvel, deve-se ter um

profundo conhecimento das propriedades caractersticas e do comportamento dos

materiais que sero usados em um projeto. Ao fazer a escolha, o projetista deve levar

em considerao propriedades tais como resistncia mecnica, condutividade eltrica,

permissividade eltrica, permeabilidade magntica, densidade etc. Alm disto, deve-se

considerar o comportamento do material durante o processamento e uso, como por

exemplo, condutores eltricos devem suportar temperaturas extremas e a caracterstica

tenso/corrente de um semicondutor deve permanecer inalterada por muito tempo.

A disciplina de Materiais Eltricos tem por finalidade demonstrar os

fundamentos e propriedades dos materiais utilizados nas diversas reas que envolvem a

eletricidade. Assim, num primeiro instante, o curso apresentar os princpios de

formao da matria, como o estudo da estrutura atmica, a formao das molculas, os

materiais condutores, isolantes e semicondutores. No nvel macroscpico, o curso

demonstrar o uso destes materiais nos diversos componentes utilizados na eletricidade.

2 - Histrico

H muitos sculos, o homem observa e experimenta uma grande variedade de

materiais existentes na natureza. No decorrer do tempo, tentou-se explicar a constituio

destes materiais, procurando entender as suas propriedades peculiares. Atravs de

alguns experimentos realizados por trs notveis cientistas Lavoisier, Proust e Dalton,

chegou-se hiptese que todo e qualquer tipo de matria formado por partculas

minsculas, chamadas de tomos.

Embora no seja possvel observar um tomo, diversas experincias feitas a

partir do sculo XIX confirmaram a sua existncia. Por este motivo a hiptese passou a

ser teoria, e ficou conhecida como a Teoria Atmica de Dalton. Esta teoria criou um

modelo cientfico sobre o tomo, que ficou conhecido como o tomo de Dalton,

conforme mostrado na Fig. 1. Segundo este modelo, o tomo deveria ser uma espcie de

bolinha extremamente pequena, macia e indivisvel. Este modelo serviu como base

para alguns trabalhos por quase um sculo, explicando diversos fenmenos. Porm,

novas observaes e experimentos demonstraram que o tomo no

indivisvel.

Fig. 1

O fato de maior relevncia que confirmou

descoberta da eletricidade, que conforme os postulados de Coulomb era formada de

cargas eltricas positiva e negativa (TT 301)

explicar o motivo que algu

outras no. Para explicar este fato, Arrhenius imaginou que

permitiam a passagem da corrente eram formad

neutras, enquanto que as solues condutoras

divididas em partculas menores, chamadas ons, alguns com carga eltrica positiva,

ctions, e outros com carga negativa, nions.

transporte da corrente eltrica.

Tentando explicar estes fenmenos, Thomson

de tomo, formado de uma pasta, com carga eltrica positiva, recheada pelos

eltrons, com carga eltrica negativa. A Fig.2 demonstra o modelo atmico de

Thomson. Tambm, este modelo considerava que o nmero de cargas negativas era

igual ao da positiva, garantindo a neutralidade.

Fig.

novas observaes e experimentos demonstraram que o tomo no

Fig. 1 Modelo atmico de Dalton.

O fato de maior relevncia que confirmou a divisibilidade

, que conforme os postulados de Coulomb era formada de

cargas eltricas positiva e negativa (TT 301). Assim, o modelo de Dalton no conseguia

explicar o motivo que algumas solues permitiam a passagem da corrente eltrica e

s no. Para explicar este fato, Arrhenius imaginou que as solues

permitiam a passagem da corrente eram formadas por molculas eletricamente

nto que as solues condutoras possuam algumas molculas que est


ctions, e outros com carga negativa, nions. Estes ons eram responsveis pelo

e eltrica.

Tentando explicar estes fenmenos, Thomson props em 1904 um novo modelo



m, este modelo considerava que o nmero de cargas negativas era

igual ao da positiva, garantindo a neutralidade.

Fig. 2 Modelo atmico de Thomson.

novas observaes e experimentos demonstraram que o tomo no poderia ser

do tomo foi a

, que conforme os postulados de Coulomb era formada de

Assim, o modelo de Dalton no conseguia

permitiam a passagem da corrente eltrica e

solues que no

molculas eletricamente

algumas molculas que estariam


Estes ons eram responsveis pelo

props em 1904 um novo modelo



m, este modelo considerava que o nmero de cargas negativas era

Embora o modelo de Thomson admitisse a divisibilidade do tomo e a natureza

eltrica da matria, algumas questes ainda no eram claramente explicadas. Por

exemplo, como era possvel a retirada de um eltron do tomo formando um on

positivo ou como um tomo poderia de unir-se a outro tomo e formar uma molcula.

Assim, os cientistas deram continuidade na procura de novos modelos de tomos. A

descoberta de radioatividade foi um passo fundamental para a criao de um modelo

mais completo, sendo Rutherford o cientista responsvel pelo desenvolvimento deste

modelo.

3 - O Modelo Atmico de Rutherford

Em 1911, Rutherford utilizou o polnio para emitir um feixe de partculas

(partculas com carga positiva) sobre uma fina lmina de ouro, conforme demonstrado

na Fig. 3. Se o modelo atmico de Thomson estivesse correto, estas partculas no

atravessariam a lmina de ouro. Pois, acreditavam que os tomos eram macios e

justapostos, como acreditavam Dalton e Thomson. Porm, observou que a maior parte

das partculas atravessava a lmina como se fosse uma peneira, apenas uma parte das

partculas desviava ou at mesmo retrocedia. Conforme mostrado na Fig. 4. Desta

forma, Rutherford props que a lmina era constituda de ncleos pequenos, densos e

eletricamente positivos, que repeliam as partculas .

Fig. 3 Experimento realizado por Rutherford.

Fig. 4 Representao da interao das partculas com os tomos de ouro.

Os grandes espaos vazios explicam porque a grande maioria das partculas

atravessava a lmina sem sofrer desvios. Para completar o modelo, Rutherford imaginou

que ao redor do ncleo estavam girando os eltrons. Sendo negativos, os eltrons iriam

contrabalancear a carga positiva do ncleo e garantir a neutralidade do tomo. Porm,

como cargas opostas de atraem, os eltrons deveriam estar girando ao redor do ncleo.

Se os eltrons estivessem parados, cairiam sobre o ncleo. A Fig. 5 mostra o modelo

atmico de Rutherford.

Fig. 5 Modelo atmico de Rutherford.

Contudo, o movimento de rotao dos eltrons ao redor do ncleo acabou

trazendo outro conflito em relao mecnica clssica (teoria eletromagntica clssica

de Maxwell), que diz que toda a partcula eltrica em movimento emite energia na

forma de ondas eletromagnticas. De acordo com a mecnica clssica, o movimento do

eltron iria consumir energia e sua velocidade de rotao diminuiria at que cair sobre o

ncleo. Este fenmeno s pode ser mais bem compreendido com o uso da mecnica

quntica.

4 Fundamentos de Mecnica Quntica

A mecnica quntica, como alternativa formulao tradicional, tornou-se uma

ferramenta necessria para interpretar os fenmenos fsicos a nvel da estrutura do

tomo, que quela altura (segunda metade do sec. XIX) comearam a se tornar

acessveis aos aparelhos de medida. Por exemplo, a luz emitida pelos vrios elementos

(espectros) comeou a ser analisada e sua composio foi verificada ser caracterstica de

cada um. Ainda, as primeiras partculas elementares (eltrons e prtons) foram

identificadas e seus parmetros avaliados (tipo de carga eltrica, relao entre massa

inercial e carga eltrica, etc.). Essas e outras iniciativas permitiram a identificao dos

elementos que formam as estrelas, inclusive o nosso Sol, suas massas aproximadas e

temperaturas, e mesmo a descoberta de elementos ainda desconhecidos, e depois

encontrados na Terra ( o caso do gs hlio, detectado em 1868 no espectro da luz solar,

e em 1895 na Terra).

A mecnica quntica surgiu em funo de divergncias entre os espectros de

emisso analisados pela mecnica clssica e experimentais de corpos negros. Corpo

negro o nome dado a um corpo idealizado capaz de absorver toda a radiao

eletromagntica que incida sobre ele. Alguns materiais se aproximam de tal idealizao,

como placas metlicas pintadas de tinta preta fosca. Tal corpo em equilbrio trmico

emite radiao na mesma taxa que absorve. O espectro de emisso de um corpo negro

determinado apenas pela sua temperatura. A Fig. 6 mostra os espectros de emisso de

corpos negros obtidos atravs da mecnica clssica e observaes experimentais.

A explicao para tal espectro, a partir de primeiros princpios, usando a

termodinmica estatstica, eletromagnetismo e a mecnica foi impossvel. O melhor

resultado foi obtido por dois fsicos Jean e Rayleigh. Atravs do estudo de emisso de

radiao eletromagntica por uma cavidade de paredes metlicas a uma temperatura T,

eles obtiveram para a densidade espectral J(f) (W2/m2/unidade de freqncia), a

expresso:

= ; (4.1)

onde K = 1,3807 1023 (Joule/K) a constante de Boltzmann, T a temperatura em graus

Kelvin e f a freqncia em Hz. A expresso (3.1) conhecida como a lei de Rayleigh-

Jean e concorda com a intensidade espectral do corpo negro somente para regies de

baixa freqncia de radiao eletromagntica, conforme demonstrado na Fig. 6.

Observe que (3.1) foi obtida atravs da energia mdia por modo de vibrao da cavidade. A energia mdia, segundo o modelo clssico, dada por =

Nota: uma cavidade um dispositivo onde a onda eletromagntica sofre

mltiplas reflexes. Atravs destas reflexes, ocorrem interferncias dos tipos

construtivas e destrutivas. Conseqentemente, aps um determinado tempo, somente as

interferncias construtivas existiro dentro da cavidade, dando origem aos modos de

ressonncia. Este tipo de dispositivo muito importante para as regies de Microondas

e Fotnica e ser estudado na disciplina de Ondas Guiadas.

Fig. 6 Intensidade espectral obtida pela lei de Rayleigh- Jean e por medies

experimentais.

Em 1901, Max Planck obteve sucesso em explicar a intensidade espectral de

radiao dos corpos negros, supondo que cada tomo absorve ou irradie apenas

quantidades discretas de energia, chamadas de quantum, dado por:

= ou = ; (4.2)

onde h = / 2 e h uma constante universal conhecida como constante de Planck e

vale 6,626 10-34 (J.s).

Assim, Planck sugeriu que os tomos emissores de radiao se comportassem

como osciladores, que existiriam apenas em estados permitidos, com nveis discretos de

energia. A transio entre estes nveis s seria possvel atravs da absoro ou emisso

de um quantum. Como conseqncia, a energia mdia por nvel discreto de energia no

seria mais dada por KT. Atravs da probabilidade de Boltzmann de encontrar um

oscilador com energia , Planck deduziu uma nova expresso para a energia mdia, dada

por:

= ; (4.3)

onde o somatrio em n representa a soma dos nveis discretos de energia. A Fig. 7

ilustra a distribuio de energia em um tomo emissor de energia.

Fig. 7 Representao da distribuio discreta dos nveis de energia em um tomo.

Evoluindo (3.3), obtm-se:

= !"# $% (4.4)

A densidade espectral de um corpo negro passa a ser dado por:

= &

!"# $% (4.5)

A expresso (3.5) concorda com os dados experimentais da emisso de um corpo

negro, conforme mostrado na Fig. 5.

A integrao de J(f) para todas as freqncias nos fornece a potncia por unidade

de rea. Esta integral dada por:

hf

2hf

3hf

4hf

5hf

6hf

' = ()*++ , = , (4.6)

onde = 5,67 10-8 W/m2 K-4 chamada de constante de Stefan-Boltzmann. Exemplo: Sabendo que a temperatura em um filamento cilndrico com 25 m de raio e 5

cm de comprimento de uma lmpada incandescente de 2500. Calcule a potncia

emitida por este filamento. Considere que o filamento seja um corpo negro.

Resposta: PT = 5,67 10-8 x (2500 + 273)4 = 3,35 106 W/m2.

A potncia emitida ser P = PT Scilindro = 3,35 106 2 25 10-6 5 10-2 26 W.

5 O tomo de Hidrognio de Bohr

Em 1913, o fsico dinamarqus Niels Bohr reuniu as observaes, experincias e

as teorias de Rutherford e Planck para aprimorar a explicao do modelo atmico. Uma

dessas observaes foi a do comportamento da luz ao atravessar um prisma. Usando um

feixe de luz branca, esta se decompe num espectro contnuo semelhante ao arco-ris,

que varia gradativamente do vermelho ao violeta, com um espectro muito prximo a um

espectro contnuo. Porm, usando uma luz emitida pelo gs hidrognio, quando sofre

uma descarga eltrica dentro de um tubo de vidro, o fenmeno era bem diferente,

conforme mostrado na Fig. 8. Pode-se observar que aparecem apenas algumas linhas

coloridas e o restante permanece escuro, ou seja, o espectro passa a ser descontnuo e as

linhas so chamadas de raias ou bandas do espectro.

Para resolver o problema do modelo atmico de Rutherford, conforme apontado

no item 4, Bohr props que o eltron, ao girar em torno do ncleo, obedeceria

mecnica quntica e no clssica. Segundo o modelo de Bohr, o eltron orbitaria em

torno do ncleo em rbitas tais que o momento angular L a ela correspondente fosse

igual a um nmero inteiro n de , desta forma as rbitas seriam estveis e o eltron no

cairia sobre o ncleo. Uma conseqncia seria que o eltron ocuparia nveis de

energia discretos de acordo com os valores de n. A transio entre os nveis s seria

possvel se o eltron emitisse ou absorvesse quantidades discretas de quantum, que na

faixa ptica recebe o nome particular de fton.

Fig 8. Espectro luminoso da luz emitida pelo sol, Hidrognio, Hlio, Mercrio e

Urnio, respectivamente.

Usando o fato de que a fora de atrao do tipo eletrosttico, e que essa fora

que produz o movimento circular (acelerao centrpeta), temos as relaes:

n = m rn2 n; Fmec = m n

2 rn; .!/! = !, 12 3 Nestas equaes temos:

e: carga do eltron (1,60210-19 C);

m: massa inercial do eltron (9,1110-31 kg);

0: permeabilidade eltrica do vcuo (8,8510-12 F/m);

n: nmero natural (1, 2, 3...);

rn: raio do movimento orbital circular do eltron;

n: pulsao, ou velocidade angular (igual a 2f).

Combinando-as, obtm-se

4 = ,126! (5.1)

Sol

Hidrognio

Hlio

Mercrio

Urnio

Nesta ltima equao, verifica-se que somente podem ser aceitas, no modelo de

Bohr, as rbitas eletrnicas cujos raios so mltiplos inteiros (nmeros naturais ao

quadrado, n2) do raio calculado para a primeira rbita (53 10-12m). Pode-se verificar,

em seguida, que as energias totais (potencial+cintica) do eltron em cada rbita so as

seguintes:

7 = 6!12 = 2,17 10

= 13,6

@ (5.2)

Nota: 1 (J) = 1,60210-19 (eV)

Como se v, os nveis de energia so quantizados, submltiplos inteiros (1/n2) da

energia da primeira rbita (n=1). Os valores so negativos porque o eltron est ligado

ao ncleo; se recebem a energia adequada (por exemplo, 13,6 eV quando esto na

primeira rbita), liberado do ncleo, e o tomo se ioniza.

A transio entre dois nveis n e m gerariam ou absorveriam quantum (ftons) de

energia:

h = B = 13,6 C 6

D @ (5.3)

Lembrando que o comprimento de onda pode ser obtido de (5.3) usando f = c/.

6 O Modelo Atmico de Rutherford - Bohr

Com as ponderaes de Bohr, o modelo atmico de Rutherford passou a ser

conhecido como o modelo atmico de Rutherford Bohr. Posteriormente, constatou-se

que as rbitas de todos os tomos conhecidos se agrupam em sete camadas,

denominadas de K, L, M, N, O, P e Q. Em cada camada, os eltrons possuem uma

quantidade fixa de energia, por este motivo so tambm denominadas de estados

estacionrios ou nveis de energia. Alm disto, cada camada suporta um nmero

mximo de eltrons, conforme esquematizado na Fig. 9.

Mesmo depois da contribuio de Bohr no modelo de Rutherford, ainda havia

uma dvida em relao ao ncleo. Se o ncleo fosse formado apenas por partculas

positivas, haveria uma forte repulso entre elas e o ncleo se desmoronaria. Assim, em

1932, Chadwick provou que no ncleo no existiam apenas partculas de carga positivo.

Mas, havia a uma terceira partcula com carga neutra, conhecida como Nutron. De

certa forma, os nutrons isolariam os prtons. Ao mesmo tempo, os pesquisadores j

haviam percebido a enorme quantidade de energia presente no ncleo, evitando a

repulso dos prtons. Esta energia ficou conhecida como energia nuclear.

Fig. 9 Nmero mximo de eltrons em cada nvel de energia.

7 Evolues do Modelo Atmico de Rutherford - Bohr

Em 1915, Sommerfeld observou que as linhas espectrais da luz emitida pelo

hidrognio eram formadas por linhas mais finas e justapostas entre si. Desta forma,

imaginou-se que alguns nveis de energia eram divididos em subnveis, formados por

orbitas circulares e elpticas. Posteriormente, constatou-se que estas linhas finas de

algumas raias dos espectros podiam se dividir em linhas ainda mais finas e prximas

quando os tomos de hidrognio eram expostos a um forte campo magntico. Este fato

indicava que os subnveis descritos acima tinham orientaes diferentes no espao e que

estariam sujeitas a diferentes momentos magnticos para uma dada fora magntica.

Porm, devido s restries nos experimentos da poca, estes subnveis no foram

totalmente compreendidos.

Em uma outra experincia, os tomos de Hidrognio emissores de luz foram

submetidos a um forte campo magntico. Mais uma vez, observou que as linhas

espectrais eram divididas em duas. Como o tomo de Hidrognio possui apenas um

eltron, conclui-se que os eltrons deveriam possui um movimento de rotao sobre si

prprio, que foi denominado de Spin. O Spin criaria um campo magntico que

possibilitaria o desvio do feixe de tomos do Hidrognio sob a influncia de um campo

magntico externo.

Em paralelo ao estudo dos n

preocupavam em estudar a natureza das partculas elementares, principalmente a do

eltron. Assim sendo, em 1923 De Broglie levan

da matria. De Broglie passou a visualizar o el

girando em torno do ncleo

movimento do eltron todas as caractersticas da propagao das ondas, como

freqncia, amplitude, comprimento

eltron ao redor do ncleo, segundo a hiptese de De Broglie.

Fig.

Nota: No incio do sculo XX, j havia sido constato

propriedades da luz era melhor imagin

propor, em 1905, que a luz seria formada por partculas

Broglie a considerar o movimento de uma partcula como uma onda.

A sugesto de De Broglie

associadas onda de comprimento de onda

Esta suposio explicava as rbitas estveis do modelo de Bohr.

com raio r, a condio de que o comprimento da rbita seja igual a um mltiplo inteiro

Em paralelo ao estudo dos nveis e subnveis, alguns pesquisadores se


Assim sendo, em 1923 De Broglie levantou a hiptese do comportamento dual

da matria. De Broglie passou a visualizar o eltron no mais como uma bolinha

girando em torno do ncleo, mas como uma partcula-onda. Isto , atribuiu ao


comprimento de onda etc. A Fig. 10 ilustra o mo

eltron ao redor do ncleo, segundo a hiptese de De Broglie.

Fig. 10 Modelo atmico de De Broglie.

Nota: No incio do sculo XX, j havia sido constato que para

propriedades da luz era melhor imagin-la como uma partcula. Isto levou Einstein a

propor, em 1905, que a luz seria formada por partculas-onda. Esta teoria levou a De

Broglie a considerar o movimento de uma partcula como uma onda.

A sugesto de De Broglie foi que partculas com momento

nda de comprimento de onda , dada por:

E = F

explicava as rbitas estveis do modelo de Bohr.

, a condio de que o comprimento da rbita seja igual a um mltiplo inteiro

veis e subnveis, alguns pesquisadores se


a hiptese do comportamento dual

tron no mais como uma bolinha

onda. Isto , atribuiu ao


. A Fig. 10 ilustra o movimento do

que para explicar certas

sto levou Einstein a

. Esta teoria levou a De

foi que partculas com momento p poderiam ser

(7.1)

explicava as rbitas estveis do modelo de Bohr. Para uma rbita

, a condio de que o comprimento da rbita seja igual a um mltiplo inteiro

do comprimento de onda do movimento do eltron ao redor do ncleo garantia a

estabilidade das rbitas. Ou seja:

2G4 = E (7.2)

importante salientar que no caso de De Broglie, o comprimento de onda seria

obtido atravs de relaes no-relativistas e pode ser escrito como:

E = F =

6I (7.3)

Exemplo: Quais os comprimentos de onda de um eltron com energia de 1 (eV)

e de uma bala de 10 gramas movimentando-se paralelamente superfcie da terra a uma

velocidade de 600 m/s.

Resposta:

E! = 12,26 10J

K7@ = 12,26

No caso da bala, a energia total ser a energia cintica 7 = M@ 2

EN = 6,626 10&,

K10 10&600 = 1,1 10&,M

Atravs do resultado da bala, pode-se verificar que o pequeno comprimento de

onda resulta numa elevada freqncia 3108/1,110-34 = 2,721042 Hz. Se

considerarmos variaes de 2,721042 em 1 segundo para as dimenses de uma bala,

conclui-se que o resultado seria um movimento retilneo, conforme analisado pela

mecnica clssica. No caso do eltron, a freqncia resultante seria 2,44 1017 Hz, que,

embora sendo uma alta freqncia, o movimento ondulatrio da partcula no pode ser

desprezado, principalmente se levarmos em conta as dimenses do eltron, cujo raio

muito menor que o comprimento de onda calculado.

A hiptese de De Broglie foi confirmada atravs de experimento realizado em

1927 por Davison e Gerner. Neste trabalho, verificaram que a difrao dos eltrons de

baixa energia apresentavam um comportamento igual difrao do raio-X, que uma

onda eletromagntica de alta freqncia.

O exemplo anterior mostra que o movimento ondulatrio das partculas

elementares no pode ser desprezado. Assim, as dimenses atmicas do eltron

associada sua alta freqncia impossibilitariam determinar a sua correta localizao.

Os prprios instrumentos de medies iriam alterar essas determinaes. Por isto

Heisenberg, em 1926, afirmou que no possvel calcular a posio e a velocidade de

um eltron, num mesmo instante. Este fato ficou conhecido como Princpio da Incerteza

de Heisenberg, que tem o seguinte princpio:

O produto das incertezas (disperses) nas medidas de grandezas

complementares referentes ao estado de um objeto nunca pode ser inferior constante

de Planck, dividida por 2 (, portanto).

As grandezas complementares a que se refere o texto so naturalmente aquelas

para as quais o produto das dimenses (unidades de medida) dimensionalmente igual

constante de Planck, ou seja, ao (energia x tempo). So mais utilizadas as seguintes:

x (incerteza na posio em x) px (momento linear no eixo x)

E(variao de energia) t(instante da variao)

(velocidade angular) [mr2](momento angular)

Para ilustrar o princpio, o prprio Heisenberg props exemplos: num destes, se

procura medir a posio de um eltron por meio de um poderoso microscpio. A luz

que ilumina a partcula deve ter um comprimento de onda muito menor do que o do

objeto, para poder medir com acuidade sua localizao; mas ento, a partcula sofrer

um forte impacto deste fton, pois quanto menor maior a energia e o momento linear.

O momento linear da partcula ser fortemente alterado, de tal maneira que ser muito

grande a incerteza sobre o seu estado anterior, se quisermos identific-lo. A posio

pode ser determinada com a preciso que se quiser, mas o momento linear torna-se

difcil de identificar.

Devido dificuldade de calcular a posio exata do eltron, Schrdinger foi

levado a calcular a regio no espao onde haveria a maior probabilidade de encontrar o

eltron. Esta regio no espao foi denominada de orbital.

8 Equao de Schrdinger

Quase simultaneamente aos fatos descritos anteriormente, apareceu uma

formulao, na forma de uma equao diferencial, elaborada por Erwin Schrdinger. A

integrao dessa equao diferencial d uma funo (x,y,z,t) que rege todo o

comportamento das partculas, como posio, energia, velocidade, momento linear ou

angular etc. Embora na poca se visse com reservas a adoo de uma grandeza de to

incmoda interpretao, os resultados encontrados se mostraram extremamente

animadores e, hoje em dia, essa formulao a preferida em textos introdutrios. Ainda,

o resultado da operao *dv, estendida a um volume V, tem interpretao fsica: a

probabilidade de se encontrar a partcula (cuja funo descritiva de complexo

conjugado * ) dentro do volume V; portanto, a integral definida de um volume infinito

(todo o universo!) deve ser igual a 1. Outra conseqncia: a posio mdia da partcula

(x) dada por x*dv.

A forma clssica de apresentar esta equao diferencial em coordenadas

cartesianas, conforme abaixo:

QR,S,T,U6 + @W, X, Y, Z[W, X, Y, Z = \]QR,S,T,U

]U (8.1)

A equao de Schrdinger uma equao convencional a derivadas parciais,

onde temos a constante de Planck e a massa da partcula (e m), uma energia potencial

V(x,y,z,t) e, no segundo membro, a derivada parcial em relao ao tempo. A fim de

verificar a aplicao de (8.1), consideremos um potencial unidimensional. Este um

caso de aplicao da equao de Schrdinger de relativamente restrita aplicao prtica,

mas interessante sob o ponto de vista didtico. O potencial unidimensional tem uma

distribuio em relao somente coordenada x. Dentro de um intervalo (-a < x < +a),

o potencial V nulo e fora desta regio o potencial possui um valor negativo muito

grande, tendendo a -, conforme Fig. 11. Portanto, nossa partcula de carga negativa

(eltron) est confinada na regio especificada, mas dentro dela livre (V=0); ainda,

para preservar a continuidade de (x,t), esta deve se anular nos pontos x = a.

Fig. 11 Representao de um potencial unidimensional.

a -a

V=0 V - V -

Como o potencial constante no tempo, pode-se empregar o mtodo de

separao de variveis para a resoluo de (8.1).

[W, X, Y, Z = ^W, X, Y_Z (8.2)

Substituindo (8.2) em (8.1), tem-se

`R6 + @W^W = \^W]aU

]U

aU = 7b , (8.3)

onde Ej a constante de integrao. Como no intervalo de -a at a o potencial nulo e a

funo , obtm-se de (8.3):

`R6 R = ^W7b; \

aUaU

U

aU = 7b (8.4)

As solues das equaes diferenciais (8.4) apresentam-se de forma tabelada e

podem ser encontradas em qualquer livro de clculo. Assim, tem-se:

^W = cbWd efK6Ig Wh + ibWd efK6Ig

Wh (8.5)

_Z = Wd CfIg ZD (8.6)

A constante de integrao da soluo temporal foi escolhida como 1, pois trata-

se de um valor aceitvel e cmodo. As constantes Aj e Bj de integrao devem ser

escolhidas conforme as condies de contorno. Reescrevendo (8.5), tem-se:

^W = cb + ib jkl eK6Ig Wh + \cb + ib l eK6Ig

Wh (8.5)

preciso lembrar que a funo (x) deve ser sempre nula nos pontos x=a.

Examinando a sua forma na equao, percebemos que no pode haver anulao

simultnea das duas parcelas, pois seno e cosseno no so zero nos mesmos pontos;

conclui-se que uma das duas componentes da soluo deve ser completamente anulada.

Uma escolha conveniente de Aj=Bj, eliminando a parte complexa da soluo de (x).

O resultado passa a ser ento:

^W = mbjkl eK6Ig Wh (8.6)

Outra escolha possvel de anular a parte real, conservando a complexa; neste

caso temos Ak=-Bk, e a forma da soluo passa a ser:

^W = \mnl eK6Io Wh (8.7)

A determinao dos valores aceitveis para a energia Ej passa agora pela

exigncia de concordncia da funo nos pontos x=a. Para o caso de Aj=Bj, a soluo

a da parte real:

K2M7b p = r + 0,5G; r = 0, 1, 2 ,3 .

7b = bvJ,*6w (8.8)

Da mesma forma, quando se tem a soluo em seno (complexa) temos outros

valores para Ek:

K2M7n p = xG; r = 0, 1, 2 ,3 .

7n = n6w (8.9)

Em cada caso de nvel de energia (Ej ou Ek) a constante de integrao (Cj ou Ck)

deve ser calculada de forma que a probabilidade de se encontrar o eltron em algum

ponto, para a < x < +a seja unitria: essa a etapa de normalizao da funo de onda.

Essa normalizao calculada da seguinte forma:

y [W, Zvw

w[W, Z{W = 1

Em cada caso o valor do produto escalar independente do tempo, pois a funo

j,k(t) puramente complexa, de mdulo igual a 1, e portanto neste caso o seu produto

pelo complexo conjugado tambm 1. A integral deve, portanto, ser calculada sobre

(x), e resulta, em cada caso:

y [W, Zvw

w[W, Z{W = jb y jkl|r + 0,5GW p }

vw

w{W

y [W, Zvw

w[W, Z{W = jn y l|xGW p }

vw

w{W

Calculadas as integrais e normalizado o resultado (igualado a 1), resultam para

as constantes Cjk os valores:

mb = mn = 1 p~ (8.10)

Na figura 12, temos um esboo da configurao das vrias solues de (x), em

relao j e k. Como se pode observar, as ondulaes espaciais de (x) descrevem as

ondulaes do eltron dentro do potencial unidimensional, conforme De Broglie havia

suposto.

Fig. 12 Representao das funes jk(x), solues da equao de Schrdinger, para

o eltron confinado a um plano de espessura 2a.

9 As solues da Equao de Schrdinger para o tomo

O grande triunfo da equao de Schrdinger foi a aplicao dos conceitos de

Bohr: o tomo de hidrognio. Neste caso, a resoluo se harmonizou perfeitamente com

os experimentos descritos anteriormente no item 7, que a mecnica quntica preliminar

deixara em aberto, como a questo dos subnveis e os orbitais. Com o sucesso desta

equao sobre o tomo de Hidrognio, abria caminho para a sua aplicao em tomos

mais pesados e um entendimento da configurao da Tabela Peridica. Os resultados

obtidos so descritos na seqncia.

j=1

j=0

k=1

-a

-1/a

1/a jk(x)

+a x

9.1 Estados Energticos dos Eltrons

De acordo com os resultados obtidos pela equao de Schrdinger, chegou-se

concluso de que os tomos se dispem ao redor do ncleo conforme o Diagrama

Energtico mostrado na Fig. 13.

Fig. 13 - Diagrama Energtico do tomo.

a) Nveis Energticos: So as sete camadas que aparecem no diagrama, com

nveis de energia crescente, denominadas de K, L, M, N, O, P, Q.

Atualmente, estes nveis so conhecidos como Nmero Quntico Principal.

b) Subnveis Energticos: Conhecidos como Nmero Quntico Secundrio

ou Azimutal (l). So os degraus de cada escada do diagrama. Para todos

os tomos conhecidos, l assume os valores de 0, 1, 2 e 3, designados pelas

letras s, p, d e f. O nmero quntico secundrio corresponde s linhas finas

observadas por Summerfeld em 1915.

c) Orbitais: Cada subnvel comporta um nmero de orbitais, conforme

demonstrado na Fig. 14. Os orbitais so identificados como Nmero

Quntico Magntico (Ml ou m). Devido s orientaes espaciais dos

orbitais, criam-se momentos diferentes para os eltrons quando os tomos

so expostos ao um mesmo campo magntico. Por esta razo, recebeu este

nome.

Fig. 14 Distribuio dos nmeros qunticos magnticos no Diagrama Energtico do

tomo.

d) Spin: Spin o nome dado rotao do eltron sobre o seu eixo central. Pela

equao de Schrdinger, pode-se constar que cada orbital suporta no mximo

dois eltrons. Como os eltrons possuem carga negativa, necessria a

atrao magntica entre os eltrons. Desta forma, os spins devero ser

opostos. Este fato ficou conhecido como Princpio da Excluso de Pauli, e

identificado pelo Nmero Quntico de Spin (Ms ou s) cujo os valores so

-1/2 e 1/2. Para represent-los no diagrama energtico adota-se:

representa, por conveno, um spin negativo,

representa, por conveno, um spin positivo

9.2 Orbitais

A forma geomtrica dos orbitais tambm obtida atravs da equao

Schrdinger.

Os orbitais s a subcamada s tem um orbital. Podemos dizer que a distribuio

da densidade de probabilidade para um eltron s esfericamente simtrica.

Os orbitais p - a subcamada p tem 3 orbitais. No tomo isolado, esses trs

orbitais tm a mesma energia e a mesma densidade de probabilidade para o eltron. Os

orbitais p tm a forma de haltere, com dois lobos separados por um n. Eles diferem

entre si pela sua orientao no espao. Usando um sistema de coordenadas

tridimensionais cartesianas podemos representar os trs como: px, py e pz.

Os orbitais d - A subcamada d consiste em cinco orbitais, representados por dx,

dy, dz, dx2-y

2 e dz2. No tomo isolado, todos eles tm energias equivalentes.

Os orbitais f - Os orbitais f so ainda mais complexos que os orbitais d. Eles so

importantes apenas para a qumica dos elementos lantanides e actinides.

A Fig. 15 mostra a forma geomtrica de alguns orbitais.

Fig. 15 Forma geomtrica de alguns orbitais.

Para o preenchimento do diagrama energtico, algumas regras devero ser

levadas em conta:

a) Os eltrons vo se encaixando na eletrosfera, partindo dos nveis e subnveis

de menor para os de maior energia (isto , de baixo par cima), s passamos para um

subnvel superior quando o inferior j estiver lotado(Regra da energia mnima)

b) Num mesmo subnvel, de incio, todos os orbitais devem receber seu primeiro

eltron e, s depois cada orbital passar a receber seu segundo eltron( esssa chamada

Regra de Hund ou regra da Mxima Multiplicidade)

c) Num orbital o primeiro eltron , por conveno, o de spin -1/2

Considerando a descrio acima, o eltron passa a possuir um endereo dentro

do tomo, descrito como:

Para ilustrar o exposto acima, considere a distribuio dos 26 eltrons do Ferro

no diagrama energtico, mostrado na Fig. 16.

Fig. 16 Distribuio dos eltrons do tomo de Ferro no diagrama energtico.

A distribuio dos eltrons do tomo de Ferro dada por 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2

3d6.

Para facilitar a distribuio dos eltrons no tomo, Linus Pauling desenvolveu

um novo diagrama, conhecido como Diagrama de Pauling. A Fig. 17 ilustra este

diagrama.

Fig. 17 Diagrama de Pauling.

Para o preenchimento do diagrama de Pauling, devem-se percorrer as diagonais

no sentido indicado, colocando o nmero mximo de eltrons permitido em cada

subnvel at completar o nmero total de eltrons.

Exemplo: Utilizando o diagrama de Pauling e considerando o tungstnio (W) de

nmero atmico (nmero de prtons) igual a 74, responda as seguintes questes.

a) Qual a distribuio eletrnica do tungstnio por camadas ou nveis

energticos?

b) Qual a distribuio por subnveis energticos?

c) Quais os eltrons mais externos?

d) Quais os eltrons com maior energia?

Resposta:

a) A distribuio por camadas fica; K=2, L=8, M=18, N=32, O=12, P=2.

b) Por subnveis: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6 6s2 4f14 5d4

c) Os eltrons mais externos ou afastados so os eltrons do subnvel 6s, pois

pertencem camada P.

d) Os eltrons de maior energia so os quatro eltrons do subnvel 5d, pois foi o

ltimo subnvel preenchido.

5d4

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