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UTFPR 1
Prof. Winderson
Dpto. de Eletrotécnica - UTFPR
Cinemática de Robôs Manipuladores
ROBÓTICA
UTFPR 2
Tópicos• Revisão
• Robôs Manipuladores– Configuração de robôs
– Especificação de robôs• Número de eixos → DOF (Degree of Freedom)
• Precisão x Repetibilidade
• Cinemática– Introdução
• Sistema da base, Sistema das juntas, Sistema do efetuador
• Matriz de rotação, composição da matriz de rotação
• Matriz de transformação homogênea
– Cinemática direta• Representação de Denavit-Hartenberg
• Exemplos
– Cinemática inversa
UTFPR 3
Tipos de Robôs• Configuração de robôs:
Cartesianos: PPP Cilindricos: RPP Esféricos: RRP
SCARA: RRP
(Selective Compliance
Assembly Robot Arm)
Articulados: RRR
Coordenadas do punho:
n: vetor normal; s: vetor deslizante;
a: vetor de aproximação, normal à
ferramenta de trabalho
UTFPR 4
Movimento
• Métodos de controle de movimento
– Controle ponto a ponto
• Uma seqüência de pontos discretos
• Soldagem a ponto,pega e solta, carregamento &
descarregamento
– Controle de trajetória contínua
• Segue uma trajetória definida, movimento de
trajetória controlada
• Pintura spray, solda a arco, colagem
UTFPR 5
Manipuladores
• Especificação de robôs– Numero de eixos
• Eixos principais, (1-3) => Posicionamento do punho
• Eixos secundários, (4-6) => Orientação do efetuador
• Redundância, (7-n) => desviar de obstáculos, evitar configurações indesejáveis
– Graus de liberdade (DOF=Degree of Freedom)
– Volume de trabalho
– Capacidade de carga (Payload)
– Precisão x Repetibilidade
UTFPR 6
Precisão x Repetibilidade
UTFPR 7
O que é cinemática
• Cinemática direta
A partir das variáveis de junta
Posição e orientação do efetuador final, -Fórmula?
),,,,,,( 654321 nqqqqqqqq
),,,,,( TAOzyxPx
y
z
UTFPR 8
O que é cinemática
• Cinemática inversa
Para uma posição e orientação
desejada no efetuador
Variáveis de junta -Fórmula?
),,,,,,( 654321 nqqqqqqqq
),,,,,( TAOzyx
x
y
z
UTFPR 9
Exemplo1
0x
0y
1x1y
)/(cos
inversa Cinemática
sin
cos
direta Cinemática
0
1
0
0
lx
ly
lx
l
UTFPR 10
Ponto de origem
• Sistemas de referência de um robô
– da estação de trabalho (W)
– da base do robô (R)
– da ferramenta (T)
– da peça (P) x
yz
x
z
y
W R
PT
UTFPR 11
Coordenadas
• Transformação de coordenadas
– Sistema de referência de
coordenadas Oxyz
– Sistema de referência preso ao
corpo O’uvw
wvu kji wvuuvw pppP
zyx kji zyxxyz pppP
x
y
z
P
u
v
w
O, O’
Representação do ponto em OXYZ:
zwyvxu pppppp
T
zyxxyz pppP ],,[
Ponto representado em O’uvw:
Sistemas coincidentes ==>
UTFPR 12
Rotação
• Transformação de coordenadas
– Rotação pura
wvu kji wvuuvw pppP
x
y
zP
zyx kji zyxxyz pppP
uvwxyz RPP u
vw
Como relacionar as coordenadas nestes dois sistemas?
UTFPR 13
Projeção de um vetor
• Mútua perpendicularidade • Vetores unitários
Propriedades ortonormais dos sistemas de coordenadas
0
0
0
jk
ki
ji
1||
1||
1||
k
j
i
Propriedade: Produto interno
Sejam e vetores quaisquer em e seja o
ângulo desde até , então
3R
cosyxyx
x y
x y
UTFPR 14
Equacionamento
• Rotação simples– , , e representam as projeções de
nos eixos Ox, Oy, Oz, respectivamente
– Como:
– Tem-se:
xp Pyp zp
wvux pppPp wxvxuxx kijiiii
wvuy pppPp wyvyuyy kjjjijj
wvuz pppPp wzvzuzz kkjkikk
wvu kji wvu pppP
UTFPR 15
IMPORTANTE!!!• Matriz de rotação
– Rotação de em torno do eixo X
w
v
u
z
y
x
p
p
p
p
p
p
wzvzuz
wyvyuy
wxvxux
kkjkik
kjjjij
kijiii
x
z
y
v
w
P
uCS
SCxRot
0
0
001
),(
UTFPR 16
Premissas
• Isto é mesmo verdade?
– Rotação de em torno de x
cossin
sincos
cossin0
sincos0
001
wvz
wvy
ux
w
v
u
z
y
x
ppp
ppp
pp
p
p
p
p
p
p
x
z
y
v
w
P
u
UTFPR 17
Matrizes elementares de rotação
– Rotação em torno de x com
– Rotação em torno de y com
– Rotação em torno de z com
uvwxyz RPP
CS
SCxRot
0
0
001
),(
0
010
0
),(
CS
SC
yRot
100
0
0
),( CS
SC
zRot
UTFPR 18
Equação oposta
• Matriz de Rotação Básica
– Obter coordenadas de a partir da coordenada
uvwxyz RPP
wzvzuz
wyvyuy
wxvxux
kkjkik
kjjjij
kijiii
R
xyzuvw QPP
TRRQ 1
RRRRIQR T1
3
uvwPxyzP
<== matriz identidade 3X3
z
y
x
w
v
u
p
p
p
p
p
p
zwywxw
zvyvxv
zuyuxu
kkjkik
kjjjij
kijiii
O produto interno é COMUTÁVEL!
UTFPR 19
Exemplo 2
• Um ponto está sujeito a uma sistema,
onde é executado uma rotação de 60 graus em
torno do eixo Oz da referência. Encontro as
coordenadas do ponto relativas ao sistema de
referência após a rotação.
)2,3,4(uvwa
2
964.4
598.0
2
3
4
100
05.0866.0
0866.05.0
)60,( uvwxyz azRota
UTFPR 20
Exemplo 3
• O ponto é uma coordenada no
sistema de referência após ser rotacionado de
60 graus em torno do eixo Oz, encontre a
coordenada do ponto.
)2,3,4(xyza
uvwa
2
964.1
598.4
2
3
4
100
05.0866.0
0866.05.0
)60,( xyz
T
uvw azRota
UTFPR 21
Rotações sucessivas
• Numa seqüência de rotações:
– A matriz de rotação NÃO É COMUTÁVEL
– Regras para seqüências:
• Se a rotação do sistema for realizada com
referência aos eixos O-X-Y-Z do sistema de base
(fixo), então pré-multiplique a resultante prévia
pela matriz de rotação básica apropriada.
• Se a rotação do sistema O-U-V-W for realizada
com referência aos seus próprios eixos
coordenados então pós-multiplique a resultante
prévia pela matriz de rotação básica apropriada.
UTFPR 22
Exemplo 4
• Encontrar a matriz de rotação das
seguintes operações:
Pós-multiplica se rotação nos eixos OUVW
Pré-multiplica se rotação nos eixos OXYZ
...Resposta
OU eixo no Rotação
OW eixo no Rotação
OY eixo no Rotação
SSSCCSCCSSCS
SCCCS
CSSSCCSCSSCC
CS
SCCS
SC
uRotwRotIyRotR
0
0
001
100
0
0
C0S-
010
S0C
),(),(),( 3
UTFPR 23
Representação de orientação
• São necessários 9 elementos para descrever
completamente a rotação de um corpo rígido
através de matrizes de rotação.
• Um modo mais simples?
10
1333 PRF
Representação por ângulos de Euler
UTFPR 24
Representação de orientações
• Representação em ângulos de Euler ( , , )– Muitos tipos diferentes
– Descrição de representações por ângulos de Euler
Ângulos de Euler I Ângulos de Euler II Roll-Pitch-Yaw
Seqüencia no eixo OZ no eixo OZ no eixo OX
de no eixo OU no eixo OV no eixo OY
Rotação no eixo OW no eixo OW no eixo OZ
UTFPR 25
x
y
z
u'
v'
v "
w"
w'=
=u"
v'"
u'"
w'"=
Ângulo de Euler I, Animado
UTFPR 26
Representação de orientação
• Ângulo de Euler I
100
0cossin
0sincos
,
cossin0
sincos0
001
,
100
0cossin
0sincos
''
'
w
uz
R
RR
UTFPR 27
Ângulo de Euler I
cossincossinsin
sincos
coscoscos
sinsin
cossincos
cossin
sinsincoscossin
sincos
cossinsin
coscos
''' wuz RRRR
Matriz de rotação euleriana resultante:
UTFPR 28
Ângulo de Euler II, Animado
x
y
z
u'
v' =v"
w"
w'=
u"
v"'
u"'
w"'=
Observe o senso oposto
(horário) da terceira
rotação.
UTFPR 29
Orientation Representation
• Matrix with Euler Angle II
cossinsinsincos
sinsin
coscossin
coscos
coscossin
sincos
sincoscoscossin
cossin
coscoscos
sinsin
Problema: Como obter esta matriz ?
UTFPR 30
Representação de orientação
• Descrição de Roll Pitch Yaw
X
Y
Z
Problema: Como obter a matriz de rotação ?
UTFPR 31
Transformação de coordenadas
• o vetor posição P em
{B} é transformado no
vetor posição P em {A}
• descrição de {B}
como visto de um
observador em {A}
Rotação de{B} com respeito a {A}
Translação da origem de {B} com respeito à origem de {A}
UTFPR 32
Transformação de coordenadas• Dois casos especiais
1. Translação pura
– Eixos de {B} e {A} são
paralelos
2. Rotação pura
– As origens de {B} e {A}
são coincidentes
1B
AR
'oAPB
B
APA rrRr
0'oAr
UTFPR 33
Representação Homogênea• Transformação de coordenadas de {B} para {A}
• Matriz de transformação homogênea
'oAPB
B
APA rrRr
1101 31
' PBoA
B
APA rrRr
1010
1333
31
' PRrRT
oA
B
A
B
A
Vetor
posição
Matriz
rotação
Fator de escala
UTFPR 34
Transformação Homogênea• Casos especiais
1. Translação
2. Rotação
10
0
31
13B
A
B
A RT
10 31
'
33
oA
B
A rIT
UTFPR 35
Exemplo 5• Translação de h ao longo do eixo Z:
1000
100
0010
0001
),(h
hzTrans
111000
100
0010
0001
1
hp
p
p
p
p
p
hz
y
x
w
v
u
w
v
u
x
y
z P
u
v
w
O, O’hx
y
z
P
u
v
w
O, O’
UTFPR 36
Exemplo 6• Rotação em torno do eixo X
1000
00
00
0001
),(CS
SCxRot
x
z
y
v
w
P
u
11000
00
00
0001
1
w
v
u
p
p
p
CS
SC
z
y
x
UTFPR 37
Transformações sucessivas
• Seqüência combinada de diversas
transformações homogêneas:
• Regras:
– Transformação (rotação/translação) (X,Y,Z)
(SISTEMA FIXO), usar pré-multiplicação.
– transformação (rotação/translação) (U,V,W)
(SISTEMA MÓVEL), usar pós-multiplicação.
UTFPR 38
Exemplo 7
• Encontrar a matriz de transformação
homogênea (T) para as seguintes operações:
:Re
OZ eixo no Rotação
OZ eixo no d de Translação
OX eixo noa de Translação
OX eixo no Rotação
sposta44,,,, ITTTTT xaxdzz
1000
00
00
0001
1000
0100
0010
001
1000
100
0010
0001
1000
0100
00
00
CS
SC
a
d
CS
SC
UTFPR 39
Representação Homogênea
• Um sistema no espaço
(interpretação geométrica)
x
y
z
),,( zyx pppP
1000
zzzz
yyyy
xxxx
pasn
pasn
pasn
F
n
sa
10
1333 PRF
Eixo principal n com respeito ao sistema
de coordenadas de referência
(X’)
(y’)
(z’)
UTFPR 40
Transformação homogênea
• Translação
y
z
n
sa n
sa
1000
10001000
100
010
001
zzzzz
yyyyy
xxxxx
zzzz
yyyy
xxxx
z
y
x
novo
dpasn
dpasn
dpasn
pasn
pasn
pasn
d
d
d
F
velhozyxnovo FdddTransF ),,(
UTFPR 41
Transformação Homogênea
2
1
1
0
2
0 AAA
Combinação de matrizes de transformações homogêneas
0x
0z
0y
1
0 A2
1A
1x
1z
1y 2x
2z2y
?
i
i A1 Matriz de transformação entre os
sistemas de coord. adjacentes
Produto em cadeia das matrizes de
transformação
UTFPR 42
Exemplo 8• Para o objeto abaixo, encontre as diversas matrizes 4x4 de
transformação homogênea e para i=1, 2, 3, 4, 5
1000
zzzz
yyyy
xxxx
pasn
pasn
pasn
F
i
i A1iA0
0x 0y
0z
a
b
c
d
e
1x
1y
1z
2z
2x
2y
3y3x
3z
4z
4y4x
5x
5y
5z 1000
010
100
0001
1
0
da
ceA
1000
0100
001
010
2
0ce
b
A
1000
0001
100
010
2
1da
b
A
Você consegue visualizar a resposta através
da interpretação geométrica da matriz de
transformação homogênea?