Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica UNIFRA Mestranda: Ana Paula Noro Orientador:

IntroduçãoIntrodução

ObjetivosObjetivos

Participantes da PesquisaParticipantes da Pesquisa

SAIRSAIR

Sequência DidáticaSequência Didática

Referências Referências

Abordagem Metodológica Abordagem Metodológica

UNIFRA

Mestranda: Ana Paula NoroOrientador: Prof. Dr. Vanilde Bisognin

Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática

Centro Universitário Franciscano

CONTRIBUIÇÕES DA

ENGENHARIA DIDÁTICA PARA O

ENSINO E APRENDIZAGEM DE

POLIEDROS


ObjetivosObjetivos


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O presente trabalho tem como objetivo analisar as

possibilidades que a proposição de uma Sequência

Didática fundamentada na metodologia da Engenharia

Didática traz para o ensino e aprendizagem dos Poliedros.

O referencial teórico da investigação envolve o ensino de

Matemática, em particular o ensino de Geometria, os

fundamentos da Engenharia Didática e o uso de materiais

manipuláveis. A pesquisa teve cunho qualitativo. Os

principais instrumentos utilizados foram observações

participativas durante todo o processo de desenvolvimento

da sequência didática em que a pesquisadora e

participantes interagiram.


ObjetivosObjetivos


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A pesquisa tem como objetivo geral investigar se a

utilização de uma sequência didática, embasada nos

princípios da Engenharia Didática, contribui para o

estudo de poliedros em uma turma do terceiro ano do

ensino médio.

OBJETIVO GERAL

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

- Investigar se o uso de materiais manipuláveis e digitais

possibilita a aprendizagem dos alunos sobre poliedros;

- Analisar se a proposição de uma sequência didática

composta de atividades relacionadas com o conteúdo de

poliedros possibilita a compreensão das inter-relações

entre os conceitos e suas propriedades .


ObjetivosObjetivos


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Os sujeitos participantes da pesquisa foram 20 alunos do

terceiro ano no Ensino Médio, da escola Professora Lelia

Ribeiro, do município de São Martinho da Serra, Rs. A

pesquisa ocorreu durante as aulas de matemática e teve

a duração de 10 horas aula. Para o desenvolvimento do

trabalho na sala de aula os alunos foram divididos em

cinco grupos formados livremente. Em todo o trabalho os

elementos dos grupos mantiveram-se os mesmos.


ObjetivosObjetivos


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A metodologia de pesquisa adotada nesse trabalho é a Engenharia Didática.

Os instrumentos utilizados para a coleta de dados foram:

Observação participante;

Registros ordenados no Diário de campo da

pesquisadora;

Análise das produções dos sujeitos da pesquisa;



ObjetivosObjetivos


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Análise prévias ou preliminares;

Concepção e análise a priori de

experiências didático pedagógicas.

Experimentação, implantação da

experiência ou aplicação da Sequência Didática.

Análise a posteriori e validação da

experiência

Fases da Engenharia Didática


ObjetivosObjetivos


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Com a finalidade de verificar o nível de

conhecimento dos alunos, referente ao conteúdo de

geometria, optou-se por aplicar um teste diagnostico

composto de cinco questões. O teste teve duração de

uma hora aula, realizado individualmente e envolveu

conteúdo de geometria plana, nomenclatura, elementos

dos polígonos, cálculo de área e perímetro

TESTE DIAGNÓSTICO TESTE DIAGNÓSTICO

CLIQUE PARA O TESTE


ObjetivosObjetivos


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Hexaedro Tetraedro Octaedro

Icosaedro Dodecaedro

Para a realização da sequência didática os alunos foram

divididos em grupos e cada grupo fez o estudo detalhado de

um dos cinco poliedros de Platão.

Sequência Didática Sequência Didática


ObjetivosObjetivos


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ATIVIDADES INICIAIS

ATIVIDADES INICIAIS

ATIVIDADES COMPLEMENTARES ATIVIDADES COMPLEMENTARES

11

22


ObjetivosObjetivos


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Abordagem Metodológica Abordagem Metodológica ► Vídeos: “Diálogo Geométrico ” “Mão na Forma”.► Vídeos: “Diálogo Geométrico ” “Mão na Forma”.

Poliedros e situações reais

Tetraedro Hexaedro Octaedro

Icosaedro Dodecaedro

► Realizar uma pesquisa em livros, internet e apontar as diferença entre polígonos e poliedros

► Realizar uma pesquisa em livros, internet e apontar as diferença entre polígonos e poliedros

► Construindo sólidos de Platão► Construindo sólidos de Platão

ATIVIDADES INICIAIS ATIVIDADES INICIAIS


ObjetivosObjetivos


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Possíveis respostas:

Grupo A1: Polígono tem duas dimensões: comprimento e largura. Poliedro tem três dimensões: comprimento, largura e profundidade.

Grupo A2: Polígono é uma figura plana: folha de papel, quadro. Poliedro: sólido no qual cada face é um polígono, o dado por exemplo.

Grupo A3: Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número infinito de faces, em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices. Polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal fechada. A palavra “polígono” vem do grego e quer dizer muitos (Poly) e ângulos (gon),exemplo um quadrado.

Pesquisa realisada


ObjetivosObjetivos


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Grupo A4: Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta de um número finito de faces, em que cada face é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces as arestas e os vértices. Faces: figuras planas que limitam o sólido.Arestas: segmentos de reta que limitam as faces. Vértices: ponto de encontro das arestas.Polígono é uma figura plana limitada por segmentos de reta consecutivos chamados de lados

A palavra “polígono” advém do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon). É uma linha fechada simples, os polígonos são os lados dos poliedros.


ObjetivosObjetivos


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Grupo A5: A palavra polígono significa “muitos ângulos”. “Um polígono é uma figura geométrica plana cujo contorno é fechado e formado por segmentos de reta, que são seus lados. Em outras palavras, o contorno de um polígono é uma linha poligonal fechada”. Pensamos em um polígono como sendo constituído por seu contorno (um linha poligonal fechada) e seus pontos interiores.

Os triângulos, os quadriláteros e os pentágonos são polígonos de três, quatro e cinco lados, respectivamente. Se todos os lados têm a mesma medida, dizemos que o polígono é um polígono regular.


ObjetivosObjetivos


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Possíveis respostas:

Grupo A1: Sim estamos rodeados por poliedros, eles estão presentes em construções, obras de arte, em embalagens de alimentos e em diversas outras coisas ao nosso redor. Grupo A2: Sim, os poliedros podem ser encontrados em obras de arte, na natureza (cristais, organismos vivos), na cultura humana, por exemplo, as pirâmides do Egito. Grupo A3: Sim, os poliedros podem ser encontrados na arquitetura dos prédios, em nosso dia-dia na caixa de leite, de sabão em pó, na natureza como o favo de mel, na arte, na tecnologia o formato de um CPU é um paralelepípedo.

É possível afirmar que os poliedros fazem parte de

nossa vida?


ObjetivosObjetivos


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Grupo A4: Sim, os poliedros estão presentes na natureza através das cadeias de DNA, formação de algumas algas e seres vivos e até mesmo na forma de um brinquedo de criança como, por exemplo, o cubo mágico.

Grupo A5: Sim, vivemos em um mundo tridimensional dessa forma alguns poliedros fazem parte de nosso cotidiano, nossa sala de aula é um poliedro, a caixa dos nossos tênis é um poliedro, um pote de sorvete, até mesmo a casquinha do sorvete é um cone.


ObjetivosObjetivos


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http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001052.wmv

Mão na Forma

http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4816.

Diálogo Geométrico


ObjetivosObjetivos


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Este sólido chama-se Hexaedro, mas todos nós o

conhecemos como cubo, ou o dado de nossas brincadeiras.

Ele é formado por seis quadrados que formam os as

faces. Cada lado do quadrado e chamado de arestas, e os

pontos que unem as arestas é chamado de vértice.

O hexágono possui: seis faces, 12 arestas e oito

vértices.

Hexaedro (Cubo)


ObjetivosObjetivos


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PLANIFICAÇÃO HEXAEDRO (CUBO)


ObjetivosObjetivos


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O hexaedro (cubo), pode ser encontrado em objetos

de decoração, obras de arte, em brincadeiras.

Cubo com objetos de decoração e embalagens para presentes.

Embalagens de presentes.

Conhecido como cubo mágico, objeto usado em brincadeiras.

Móveis, construídos usando o hexaedro


ObjetivosObjetivos


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Dados, usado em brincadeiras infantis, jogos de azar.

O arranha-céu Urban Tree é composto por uma série de cubos que parecem flutuar no ar. Acima de cada um, há a possibilidade de criar um grande jardim, com árvores e plantas. Projetado pelo escritório de arquitetura verde israelense Geotectura, o prédio também teria a função de captar a energia solar. A intenção de criar um prédio em cubos é transformá-lo em uma construção modular e flexível, capaz de otimizar a vista e a circulação de ar.


ObjetivosObjetivos


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O cubo Universo

O cubo ao primeiro olhar parece ser um simples objeto, inanimado,

incapaz, peso de papel, decoração, pedaço...

O cubo fica ali parado, parado em qualquer lugar, alguns opacos

outros coloridos. Uns artesanais, outros modernos. Pesados, leves,

ocos ou não.

O cubo de pedra esculpido sem querer pela natureza, o cubo de

madeira cortado pela mão do marceneiro, o cubo de acrílico feito pelo

designer, cientista, o cubo de plástico feito pela fábrica de brinquedo,o

cubo de metal feito pela indústria e para a indústria.

O cubo desenhado no chão como piso de calçada. O cubo desenhado

no chão pelo giz da criança quando brinca de amarelinha. Céu e

inferno?


ObjetivosObjetivos


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Apesar da intensa presença, cubos e mais cubos, para todos os fins e

com as mais simbólicas representações, o cubo mantém a medida. Na

entrelinha do corte lateral ela está lá.Não há cubo sem medidas

iguais.Há cubo de texturas diferentes, uns mais polidos, outros mais

ásperos, mas ainda assim cubos.

Vem o artesão e molda incansavelmente com a lixa o bloco de

madeira. Vem um criativo e coloca pequenos cubos em todas as faces

do cubo, põe cores e movimento.O cubo desmontável,objeto de

raciocínio surge então.Cubo com objetivo, que te deixa horas sentado

com desejo de acertar.

Um cubo que atravessa eras e traz implícito o Algoritmo sagrado. Só

os movimentos precisos para remontar.

Mito? Talvez.


ObjetivosObjetivos


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Matemática? Muita.

O cubo está ali na estante esperando utilidade.

O cubo está ali no chão esperando cor.

O cubo está ali na pedra querendo se tornar escultura.

O cubo guarda também segredos quando, dentro do guarda- roupa vira

porta treco.

Guardião de chaves, saudades e batons.

O cubo e sua dinâmica de ser tudo e nada ao mesmo tempo.

Incrível isso não?

Óbvio que tudo depende de quem vê e sente o Universo: Geométrico

ou Ilusão !

O cubo em si, desmontado, gera mais formas e por isso, quem te

garante que a Terra não?Destrinchada, planificada, cortada?

Um Planeta feito de cubos?

Um cubo Universo? Talvez , Por que não?

Autor desconhecido. Disponível em

http://borboletarosarubra.blogspot.com/2010/03/o-cubo-universo.html


ObjetivosObjetivos


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Usando os conhecimentos da geometria plana calcular a quantidade de papel gasto para forrar as caixas de papel.


ObjetivosObjetivos


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9,5cm

26,5 cm

13 cm

Papel gasto na tampa.

26,5 cm

13 cm Temos um retângulo por isso fazemos a base vezes à altura. At: 26,5 x 13 = 344,5 cm²

Papel gasto na lateral maior

26,5 cm

9,5cmTemos um retângulo por isso fazemos a base vezes à altura. AL: 26,5 x 9,5 = 251,75 cm²


ObjetivosObjetivos


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Papel gasto na lateral menor

13 cm

9,5cm Temos um retângulo por isso fazemos a base vezes à altura. Al: 13 x 9,5 = 123,5 cm²

Como a tampa o fundo tem as mesmas medidas fazemos.

344,5 x 2 = 689,

Também temos duas laterais maiores e duas laterais menores,

portanto fazemos:

251,75 x 2 = 503,5 e 123,3 x 2 = 246.

Sendo assim o material gasto para forrar a caixa

desconsiderando as laterais da tampa é:

689 + 503,5 + 246 = 1438,5 cm ²


ObjetivosObjetivos


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12cm

12cm

4 cm

A quantidade de papel gasto na tampa e no fundo é a mesma. O

polígono que forma a tampa e o fundo da caixa é uma quadrado e que

tem 12cm de lado assim a área é dada por base x altura.

A( tampa) = 12 x 12 =144 cm²

Área da tampa e fundo = 144 + 144 = 288 cm²

Área lateral ( um retângulo)

Área (base x altura)= 12 cm x 4 cm = 48 cm²

48 cm² x 2= 96cm²

Área total = 288cm² + 96cm² = 384cm²


ObjetivosObjetivos


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15,5 cm

6,5 cm

Não apresentaram cálculo;

Quantidade de papel usado para forrar a caixa 870,5cm ²


ObjetivosObjetivos


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Área da tampa e fundo.

Área da lateral menor Área da lateral maior Quantidade de papel usado : 896 + 320 + 560 = 1776 cm ²


ObjetivosObjetivos


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Área da lateral maior c

Área da tampa e do fundo

Como encontramos a área de cada um dos retângulos separadamente agora é só fazer a soma dessa forma teremos.Quantidade de papel usado será dado por : 2ac + 2 ab + 2cb

aa

b

b

c

É um retângulo, portanto é só calcular base vezes altura então área = a.c. Como temos dois retângulos com essas medidas temos assim 2ac.

É um retângulo, portanto é só calcular base vezes altura então área = a.b. Como temos dois retângulos com essas medidas temos assim 2ab.

É um retângulo, portanto é só calcular base vezes altura então área = c.b. Como temos dois retângulos com essas medidas temos assim 2cb.

Área da lateral menor


ObjetivosObjetivos


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O octaedro é um poliedro regular ou sólido platónico.

O octaedro é constituído por oito faces iguais sendo todas triângulos equiláteros, reunindo-se em cada vértice quatro triângulos (“octo” significa “oito” em grego), tem seis vértices e doze arestas.

Octaedro


ObjetivosObjetivos


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PLANIFICAÇÃO OCTAEDRO


ObjetivosObjetivos


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Podemos encontrar octaedros em várias situações, conforme descreveremos a seguir:

Este refletor no formato de um octaedro tem por finalidade refletir o sinal de um navio a outro a fim de mostrar sua localização.

A magnetita é um óxido de ferro cúbico, de cor preta, fortemente magnético, opaco, um dos três principais minerais-minério de ferro.


ObjetivosObjetivos


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O tetraedro é um poliedro, formado por triângulos equiláteros.

Ele possui: 4 vértices , 4 faces e 6 arestas.

O tetraedro regular representa o elemento fogo.

Tetraedro


ObjetivosObjetivos


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PLANIFICAÇÃO DO TETRAEDRO


ObjetivosObjetivos


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Podemos encontrar as formas tetraédricas em várias situações, conforme descreveremos a seguir.

A figura ilustra a molécula de metano. Os quatro átomos hidrogênio (H) estão dispostos em torno do átomo de carbono (C) formando um tetraedro regular.

O Pyramorphix

O pyramorphix é um quebra cabeça tridimensional em forma de um tetraedro semelhante ao pyramix, porém mais simples, sendo composto por apenas 8 peças móveis.

O Robô Tetraédrico da NASA

O TETWalker (do ingês “TETrahedral walker”, andarilho tetraédrico) é um dos primeiros protótipos de robôs que conseguem mudar a sua forma para que, através deste movimento, sejam capazes de ultrapassar os diferentes obstáculos da superfície de um planeta


ObjetivosObjetivos


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A Plataforma de Observação em Bottrop-Batenbrock

Esta plataforma de observação na forma de um tetraedro foi idealizada pelo arquiteto Wolfgang Christ em 1995. Ela possui 60 metros de altura e está localizada na área industrial da cidade de Bottrop-Batenbrock na Alemanha

Cristais da Calcopirita em Formato de Tetraedro

A calcopirita é um sulfeto de cobre e ferro tetragonal, o mais importante mineral-minério de cobre, que ocorre especialmente em veios hidrotermais de alta temperatura e em pegmatitos, depósitos metamórficos e xistos.


ObjetivosObjetivos


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Este sólido é o icosaedro.

Ele é formado por triângulos equiláteros, que constituem suas faces. Ele possui 20 faces, 30 arestas e 20 vértices.

Platão identificou este sólido como sendo o elemento água.

Icosaedro


ObjetivosObjetivos


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PLANIFICAÇÃO ICOSAEDRO PLANIFICAÇÃO ICOSAEDRO


ObjetivosObjetivos


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Podemos encontrar as formas icosaedrica em várias situações, conforme descreveremos a seguir.

Muitos vírus, como o vírus da herpes, assumem uma simetria icosaédrica.

Circogonia icosahedra: Protistas radiolários

Lâmpada no formato de um icosaedro, gerado a partir da união de seções de uma esponja.


ObjetivosObjetivos


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Vestido criado pela artista Amila Hrustic, que faz parte da coleção sólidos de Platão

Este auto falante produzido pela CNMAT (California Berkeley's Center for New Music and Audio Technologies) tem como finalidade mimetizar os diversos tipos de padrões de radiações produzidas por diversos instrumentos musicais acústicos.

Icosaedro Romano de Bronze


ObjetivosObjetivos


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Um dodecaedro regular é constituído por 12 pentágonos regulares e é um dos sólidos platônicos. O dodecaedro possui 20 vértices, 30 arestas, 12 faces.

Dodecaedro


ObjetivosObjetivos


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PLANIFICAÇÃO DO DODECAEDRO PLANIFICAÇÃO DO DODECAEDRO


ObjetivosObjetivos


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Podemos encontrar octaedros em várias situações, conforme descreveremos a seguir:

Dodecaedro de Bronze Em 1939 foi encontrado um dodecaedro de bronze na cidade de Leopoldswall na Alemanha. Não se sabe qual era a finalidade deste objeto. Hipóteses incluem: um candelabro, um instrumento de guerra, um instrumento de medida ou um objeto místico.

Caixa Acústica Este sistema de sonorização de alto desempenho foi projetado pelo professor Sylvio Bistafa da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Sua patente de desenho industrial foi concedida à Agência USP de Inovação

Doce em Formato de Dodecaedro


ObjetivosObjetivos


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Com base nos sólidos apresentados e possível completar a tabela abaixo:

NomenclaturaNúmero de

vértices

Número de

arestas

Número de

faces

Tetraedro 4 6 4

Hexaedro 8 12 6

Octaedro 6 12 8

Dodecaedro 20 30 12

Icosaedro 12 30 20

A partir dos dados fornecidos pela tabela é possível verificar a veracidade da formula F+V = A+2. Onde

F = número de faces

V = número de vértices

A = número de arestas

Conhecida como Relação de Euler.


ObjetivosObjetivos


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ATIVIDADES COMPLEMENTARESATIVIDADES COMPLEMENTARES

► A superfície de um poliedro, que é formada de superfícies

poligonais planas, pode ser colocada sobre o um plano de tal modo

que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos um lado em

comum com a outra face. Obtemos assim uma figura plana, que

costuma ser chamada de molde do poliedro, ou planificação da

superfície do poliedro ou simplesmente de planificação do poliedro.

Dessa forma associe cada uma das planificações com o seu poliedro

de origem.

Atividade 1


ObjetivosObjetivos


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1

2

4

5

6

Numere a 2ª coluna de acordo com a 1ª


ObjetivosObjetivos


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► Considerando os cinco poliedros construídos complete o quadro abaixo com os valores inexistentes

Poliedro Nomenclatura Elementos

faces triangulares 4 vértices arestas

Hexaedro regular 6 faces 8 6 arestas

faces 6 12

faces vértices arestas

Icosaedro regular faces vértices arestas

Atividade 2


ObjetivosObjetivos


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►No país do México, há mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o problema de armazenamento da pós- colheita de grãos com um tipo de silo em forma de uma bola colocada sobre uma base circular de alvenaria. A forma desse silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e mais 12 pentagonais. Com base no texto é correto afirmar que esse silo tem: (UFPel- RS) a) 90 arestas e 60 vértices.b) 86 arestas e 56 vértices.c) 90 arestas e 56 vértice.d) 86 arestas e 60 vértices.e) 110 arestas e 60 vértices.

Observação: Realize os cálculos e posteriormente marque a atividade correta

Atividade 3


ObjetivosObjetivos


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ALMEIDA, F. J.; Júnior, F. M. F. PROINFO: Projetos e Ambientes Inovadores / Secretaria de Educação a Distância. Brasília: Ministério da Educação, Seed, 2000. ALSINA, C. (1999). Painel “Geometria no currículo de Matemática”. Em Departamento de Educ. da Fac. De Ciências da Univ. de Lisboa (Eds), Ensino da Geometria no virar do milénio, Lisboa, p. 65.

CARNEIRO, V. C. G. Engenharia Didática: Um Referencial para ação investigativa e para formação de professores de Matemática. Zetetiké, Campinas, v. 13, n. 23, p. 87-119, jan./jun., 2005. CASTELNUOVO, E. Didática de la Matemática Moderna. México: Trillas, 1970.

LEIVAS, J. C. P. Imaginação, Intuição e Visualização: A riqueza de possibilidades da abordagem geométrica no currículo de cursos de Licenciatura de Matemática. Universidade Federal do Paraná, 2009. Tese de Doutorado.

REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS

Documents

Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica UNIFRA Mestranda: Ana Paula Noro Orientador: