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Introdução à Computação Numérica

Computação – 2º Semestre 2016/2017

Computação

Unidade curricular obrigatória (3 ECTS):

Mestrado Integrado em Engenharia Química e Bioquímica

Docência: Jorge Cruz (email: [email protected])

Aulas semanais:

1 teórica de 1.5 horas

1 prática de 2 horas (3 turnos: P1, P2 e P3)

Horário:

Teórica: 3ª Feira das 11h00 às 12h30 na Sala 1.15 do Ed.VII

P1: 3ª Feira das 9h às 11h no Lab. 112 do Ed. II.



Página: http://comp.ssdi.di.fct.unl.pt/

27 Março 2017 Introdução à Computação Numérica

http://ssdi.di.fct.unl.pt/~jc

mailto:[email protected]

http://comp.ssdi.di.fct.unl.pt/

Objectivos

Introdução aos princípios básicos da computação numérica que

envolve a articulação de:

conhecimentos de análise numérica

(algoritmos numéricos e suas propriedades)

conhecimentos de programação

(utilização de ambientes de computação científica)

Nas aulas teóricas são apresentados métodos numéricos para a

resolução de diferentes problemas de ciência e engenharia.

Nas aulas práticas são discutidos exemplos práticos de

aplicações em ciência e engenharia usando-se o MATLAB como

ambiente de programação e resolução de problemas.

3Introdução à Computação Numérica7 Março 2017

Programa

Introdução à Computação Numérica

Raízes de Equações não Lineares

Sistemas de Equações Lineares

Sistemas de Equações não Lineares

Optimização

Ajuste de Curvas

Integração Numérica

Equações Diferenciais Ordinárias


Aulas Práticas Discussão de casos de estudo motivantes em diversas áreas de ciência e

engenharia: Análise Exploratória de Dados

Bungee Jumper

Efeito de Estufa

Atrito de um fluido

Circuitos Eléctricos

Propagação de Calor

Reacções Químicas

Deformação Elástica

Tratamento de Águas Residuais

Cinética Enzimática

Trabalho de uma Força

Valor Quadrático Médio

Modelo Predador-Presa

Apresentação de implementações (MATLAB) dos métodos numéricosadequados à sua resolução.


Bibliografia

Steven C. Chapra. Applied Numerical Methods

with MATLAB for Engineers and Scientists, 3rd ed.,

McGraw-Hill Inc., 2011.

capítulos 1, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 19, 20, 22 e 23.

Steven C. Chapra, Raymond P Canale. Numerical

Methods for Engineers, 6rd ed., McGraw-Hill Inc.,

2010.

capítulos 13, 14, 15 e 16.


http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073401102/

http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073401064/

Software

MATLAB - The Language Of Technical Computing,

The MathWorks Inc., Natick, MA.

Ambiente de programação e resolução de problemas

utilizado na aulas práticas.

GNU Octave, John W. Eaton et al.

Software de uso livre que corresponde a um

subconjunto do MATLAB.


http://www.mathworks.com/products/matlab/

http://www.gnu.org/software/octave/index.html

Avaliação Componentes de Avaliação

Componente Laboratorial

Componente Teórico-Prática

Componente Laboratorial e Frequência Baseada num projecto de computação numérica desenvolvido em grupos de 3

alunos sob a orientação do docente. Realizado durante o tempo das aulas práticasreservado para esse efeito e complementado fora do horário das aulas

Durante as aulas práticas serão realizadas duas fichas de avaliação prática F1 e F2que deverão ser resolvidas no computador recorrendo ao projecto implementado.

A nota da componente laboratorial (CompL) é a média simples das notas dasduas fichas de avaliação prática:

CompL = (F1 + F2) / 2

Para obter frequência, é necessário que F1 >= 10 ou F2 >= 10.

Quem fez a prática em 2014/2015 ou 2015/2016, se não se inscrever em nenhumturno prático, mantém a nota da componente prática. Se se inscrever num turnoprático, a nota anterior será anulada e a nota da componente prática será a obtidaem 2016/2017


Avaliação

Componente Teórico-Prática

A componente teórico-prática é composta por dois testes (noperíodo de aulas) ou por um exame (na Época de Recurso).

As três provas são individuais, escritas e sem consulta.

A nota da componente teórico-prática (CompTP) é a média dasnotas dos testes (T1 e T2) ou a nota do exame (Ex):

CompTP = (T1 + T2) / 2 ou CompTP = Ex

Para obter aprovação, é necessário que CompTP >= 7.5

Nota Final

A nota final (NF) dos alunos com frequência é:

NF = CompTP, se CompTP < 7.5;

NF = (CompL + CompTP) / 2, se CompTP >= 7.5

Todas as notas são arredondadas às décimas, excepto a notafinal que é arredondada às unidades.


Modelos Matemáticos

Métodos Numéricos



Representações de sistemas reais que descrevem em

termos matemáticos as suas características relevantes.

Utilizados em todas as áreas de ciência e engenharia.

Podem ser de diversas formas:

sistemas de equações, inequações, equações diferenciais, …

Com o estudo de um modelo matemático e das suas

implicações esperamos compreender algo da realidade:

Explicar o funcionamento do sistema real modelado;

Perceber as propriedades dos seus componentes;

Prever o seu comportamento.



Alguns modelos são definidos por relações funcionais:

Variável Dependente – característica que reflete ocomportamento ou o estado do sistema

Variáveis Independentes – dimensões, como o tempo e oespaço, ao longo das quais é determinado ocomportamento do sistema

Parâmetros – constantes que caracterizam aspropriedades do modelo

Funções Externas – influências externas que actuamsobre o sistema

12Introdução à Computação Numérica

externasfunções

,parâmetros ,tesindependen

variáveisdependente

variávelf

7 Março 2017


Problema: a velocidade de um bungee jumper

Segunda Lei de Newton:

a aceleração de um corpo é igual à razão entre a

força exercida sobre ele e a sua massa

A aceleração é a taxa de variação da velocidade:

acelerar um corpo é variar a sua velocidade num

período de tempo


m

Fa

adt

dv

7 Março 2017



Num corpo em queda livre actuam duas forças:

A força da gravidade FD

A força da resistência do ar FR


RD FFF

m

F

dt

dv

7 Março 2017






De acordo com a 2ª lei de Newton:

em que g é a aceleração da gravidade.


RD FFF

m

FF

dt

dv RD

mgFD

7 Março 2017






A força da resistência do ar é aproximadamente

proporcional ao quadrado da velocidade do corpo:

em que cd é o coeficiente de resistência.


RD FFF

m

Fg

m

Fmg

dt

dv RR

2vcF dR

7 Março 2017



Assumindo velocidade inicial nula: v(0)=0

Modelo diferencial:

e resolvendo em ordem a v obtém-se…

Modelo analítico:


0)0( v

m

vcg

dt

dv d

2

m

vcg

dt

dv d

2

t

m

gc

c

gmtv d

d

tanh

7 Março 2017


Modelo para a velocidade de um bungee jumper:

Variável Dependente – a velocidade v

Variáveis Independentes – o tempo t

Parâmetros – a massa m e o coeficiente de

resistência cd

Funções Externas – a aceleração da gravidade g


t

m

gc

c

gmtv d

d

tanh

7 Março 2017



Sendo g9.81 m/s2, assumindo valores para m e

cd é possível obter a velocidade v em função do

tempo t.

Por exemplo:

se a massa do bungee jumper é m=68.1 kg

e o seu coeficiente de resistência for cd =0.25 kg/m


t

m

gc

c

gmtv d

d

tanh

7 Março 2017





tempo t.

Por exemplo:




tkg

mkgms

mkg

kgmstv

1.68

25.081.9tanh

25.0

1.6881.9 12

1

2

7 Março 2017





tempo t.

Por exemplo:




1

1.68

25.081.9tanh

25.0

1.6881.9

msttv

7 Março 2017




1

1.68

25.081.9tanh

25.0

1.6881.9

msttv

7 Março 2017



Variável Dependente – a velocidade v

Variáveis Independentes – o tempo t

Parâmetros – a massa m e o coeficiente de

resistência cd

Funções Externas – a aceleração da gravidade g

Nem sempre é possível obter a solução analítica!


0)0( v

m

vcg

dt

dv d

2

7 Março 2017

Métodos Numéricos


A variação da velocidade

pode ser aproximada:


dv

dtv

tv ti1 v ti ti1 ti

0)0( v

m

vcg

dt

dv d

2

7 Março 2017

Métodos Numéricos


A variação da velocidade

pode ser aproximada:


dv

dtv

tv ti1 v ti ti1 ti

0)0( v

m

vcg

dt

dv d

2

7 Março 2017


Método de Euler:

iid

ii ttm

vcgtvtv

1

2

1

Métodos Numéricos


m

vcg

tt

tvtv d

ii

ii

2

1

1

0)0( v

m

vcg

dt

dv d

2

7 Março 2017

Resultados obtidos com o modelo analítico e

com o modelo diferencial (método de Euler):

g=9.81 m/s2; m=68.1 kg; cd =0.25 kg/m

Métodos Numéricos


Métodos Numéricos

Usados para a obtenção de soluções numéricas quando não

podemos ou não desejamos usar métodos analíticos.

Os métodos numéricos conduzem a soluções aproximadas

de um modelo matemático.

O conhecimento dos métodos numéricos permite:

Perceber quais os métodos adequados ao modelo matemático

Escolher parametrizações dos métodos de acordo com as exigências

dos problemas que se pretende resolver

Prever a qualidade das aproximações obtidas por computação numérica


Métodos Numéricos


Exemplo: Método da Bissecção


x2

21 cos x x 2 x 10 x 1.1 x 0.8 x 0.6

iteration step 1

7 Março 2017

http://demonstrations.wolfram.com/BisectionMethod/


Métodos Numéricos




x2

21 cos x x 2 x 10 x 1.1 x 0.8 x 0.6

iteration step 2

7 Março 2017



Métodos Numéricos




x2

21 cos x x 2 x 10 x 1.1 x 0.8 x 0.6

iteration step 3

7 Março 2017



a1 4

b1 2

c1 3

d1 3

row 1 row 2 row 3

examples

augmented matrix

normal vectors

row reduce

range

elementary row operations

click to multiply

factor 2

row 1 2 3

multiply

row

swap add multiple

of row

4 x 2 y 3 z 3

x 2 y 3 z 3

x 2 y z 3

Solution:

x 0, y 3, z 3

Métodos Numéricos


Exemplo: Método de Eliminação de Gauss


http://demonstrations.wolfram.com/PlanesSolutionsAndGaussianEliminationOfA33LinearSystem/


Métodos Numéricos


a1 1

b11

2

c13

4

d13

4

row 1 row 2 row 3

examples

augmented matrix

normal vectors

row reduce

range


click to multiply

factor1

2

row 1 2 3

multiply

row

swap add multiple

of row

xy

2

3 z

4

3

4

y3 z

2

3

2

z 3

Solution:

x 0, y 3, z 3



7 Março 2017



a1 1

b1 0

c1 0

d1 0

row 1 row 2 row 3

examples

augmented matrix

normal vectors

row reduce

range


click to add multiple of row

of row 1 2 3

to row 1 2 3

factor1

2

multiply

row

swap add multiple

of row

x 0

y 3

z 3

Solution:

x 0, y 3, z 3

Métodos Numéricos




7 Março 2017



Métodos Numéricos



Exemplo: Método de Newton-Raphson

7 Março 2017

http://demonstrations.wolfram.com/IterationsOfNewtonsMethodForTwoNonlinearEquations/


Métodos Numéricos




7 Março 2017



Métodos Numéricos




7 Março 2017



Métodos Numéricos

Optimização

Exemplo: Programação Linear


solution at corner B C D E F B & C C & D D & E E & F F & A

objective function value 14.

equations

7 Março 2017

http://demonstrations.wolfram.com/GraphicalLinearProgrammingForTwoVariables/


Métodos Numéricos

Optimização




objective function value 2.

equations

7 Março 2017



Métodos Numéricos

Optimização




objective function value 12.75

equations

7 Março 2017



Métodos Numéricos

Ajuste de Curvas

Exemplo: Método dos Mínimos Quadrados


polynomial degree 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.02

1

0

1

2

0.611549 x 0.174908

7 Março 2017

http://demonstrations.wolfram.com/CurveFitting/


Métodos Numéricos

Ajuste de Curvas



polynomial degree 3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.02

1

0

1

2

12.1637 x3

20.2397 x2

8.9847 x 1.22189

7 Março 2017



Métodos Numéricos

Ajuste de Curvas



polynomial degree 5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.02

1

0

1

2

42.9881 x5

64.085 x4

15.5848 x3

63.05 x2

28.5173 x 3.27843

7 Março 2017



Métodos Numéricos


function sin x

magnifying tool

subintervals 2

method left sum right sum midpoint trapezoid Simpson

0

2sin x dx

approximate area 1.29612 exact area 1.41615

error 1.2 10 1


Exemplo: Regra do Trapézio

7 Março 2017

http://demonstrations.wolfram.com/ComparingBasicNumericalIntegrationMethods/


Métodos Numéricos


function sin x

magnifying tool

subintervals 4


0

2sin x dx


error 2.96 10 2



7 Março 2017



Métodos Numéricos


function sin x

magnifying tool

subintervals 8


0

2sin x dx


error 7.38 10 3



7 Março 2017



Métodos Numéricos


Exemplo: Modelo Predador-Presa


parameters

a 0.5

0.3

c 0.8

0.3

end time tmax 40

0 10 20 30 40

2

4

6

8

10

rabbits x

0 10 20 30 40

2

4

6

8

10

foxes y

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

rabbits x

foxe

sy

7 Março 2017

http://demonstrations.wolfram.com/PredatorPreyModel/


Métodos Numéricos




parameters

a 0.5

0.3

c 0.8

0.3

end time tmax 40

0 10 20 30 40

2

4

6

8

10

rabbits x

0 10 20 30 40

2

4

6

8

10

foxes y

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

rabbits x

foxe

sy

7 Março 2017



Métodos Numéricos




parameters

a 0.5

1.

c 0.8

0.2

end time tmax 40

0 10 20 30 40

2

4

6

8

10

rabbits x

0 10 20 30 40

2

4

6

8

10

foxes y

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

rabbits x

foxe

sy

7 Março 2017



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