Introduo s Equaes Diferenciais (Apostila Verso 28 Fev 2011)

  • View
    105

  • Download
    7

Embed Size (px)

Text of Introduo s Equaes Diferenciais (Apostila Verso 28 Fev 2011)

Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Luiz Fernando Provenzano UFMT Verso Fevereiro/2011 Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 2 ndice Equaes Diferenciais - Um Pouco de Histria......................................................................................... 3 A Natureza das Equaes Diferenciais......................................................................................................... 8 Definio e Notaes ...................................................................................................................................... 8 Tipos de Solues de uma Equao Diferencial................................................................................. 11 Interpretao Geomtrica da Soluo de uma Equao Diferencial.......................................... 12 Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno .............................................. 13 Teorema de Existncia e Unicidade........................................................................................................ 14 Equaes Diferenciais Ordinrias de 1a Ordem e 1o Grau.................................................................. 18 Classificao..................................................................................................................................................... 18 1o Tipo: Equaes Diferenciais de Variveis Separveis........................................................... 18 Sobre a Curva Tractriz ............................................................................................................................ 20 2o Tipo: Equaes Diferenciais Homogneas................................................................................. 21 3o Tipo: Equaes Diferenciais Redutveis s Homogneas ou s de Variveis Separveis.................................................................................................................................................... 25 4o Tipo: Equaes Diferenciais Exatas.............................................................................................. 27 Fator Integrante ........................................................................................................................................ 30 Pesquisa de um Fator Integrante........................................................................................................ 30 5o Tipo: Equaes Diferenciais Lineares.......................................................................................... 32 Algumas Aplicaes das Equaes Diferenciais Ordinrias de 1a Ordem e 1o Grau............ 35 Exerccios Gerais de Aplicaes .......................................................................................................... 41 Equaes Diferenciais Ordinrias de Ordem........................................................................................... 45 Superior Primeira ........................................................................................................................................... 45 Tipos Especiais de Equaes Diferenciais de 2a Ordem................................................................. 45 Problema de Perseguio(Uma aplicao) ................................................................................... 49 Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N...................................................................................... 54 Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogneas de Coeficientes Constantes .. 55 Equaes Diferenciais Lineares de Ordem N, No-Homogneas de Coeficientes Constantes........................................................................................................................................................ 60 Mtodo dos Coeficientes a Determinar (ou Mtodo de Descartes)............................................ 60 Famlia de uma funo............................................................................................................................ 60 Construo de uma Soluo Particular Experimental (yp) ....................................................... 61 Mtodo da Variao dos Parmetros ..................................................................................................... 67 Aplicaes de Equaes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes........................................................................................................................................................ 73 Vibraes Mecnicas e Eltricas ......................................................................................................... 73 Sistemas de Equaes Diferenciais.............................................................................................................. 82 Aplicaes de Sistemas de Equaes Diferenciais Lineares .............................................................. 87 Noes de Equaes Diferenciais Parciais................................................................................................ 92 Sobre a Resoluo.......................................................................................................................................... 93 Determinao de uma Equao Diferencial Parcial a partir de uma Soluo dada. ............ 94 O Problema de Conduo de Calor e o Mtodo de Separao de Variveis ............................ 96 Anexos.................................................................................................................................................................. 100 Frmulas Bsicas............................................................................................................................................. 101 Sistemas de Unidades .................................................................................................................................... 104 Bibliografia......................................................................................................................................................... 105 Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 3 Equaes Diferenciais - Um Pouco de Histria Devriasmaneiras,asequaesdiferenciaissoocoraodaanliseedo clculo,doisdosmaisimportantesramosdamatemticanosltimos300anos. Equaesdiferenciaissoumaparteintegralouumdosobjetivosdevrioscursosde graduaodeclculo.Comoumaferramentamatemticaimportanteparacincias fsicas,aequaodiferencialnotemigual.Assimamplamenteaceitoqueequaes diferenciais so importantes em ambas: a matemtica pura e a aplicada. A histria sobre este assunto rica no seu desenvolvimento e isto que estaremos olhando aqui. Osfundamentosdesteassuntoparecemestardominadospelascontribuiesde um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a histria deste assunto comea e terminacomele.Naturalmente,istoseriaumasimplificaogrosseiradoseu desenvolvimento.Existemvrioscontribuintesimportantes,eaquelesquevieramantes deEulerforamnecessriosparaqueelepudesseentenderoclculoeaanlise necessriosparadesenvolvermuitasdasidiasfundamentais.Oscontribuintesdepois deEulerrefinaramseutrabalhoeproduziramidiasinteiramentenovas,inacessveis perspectivadosculoXVIIIdeEuleresofisticadasalmdoentendimentodeapenas uma pessoa.Estaahistriadodesenvolvimentodasequaesdiferenciais.Daremosuma pequena olhada nas pessoas, nas equaes, nas tcnicas, na teoria e nas aplicaes. Ahistriacomeacomosinventoresdoclculo,Fermat,Newton,eLeibniz.A partirdomomentoqueestesmatemticosbrilhantestiveramentendimentosuficientee notao para a derivada, esta logo apareceu em equaes e o assunto nasceu. Contudo, logodescobriramqueassoluesparaestasequaesnoeramtofceis.As manipulaessimblicasesimplificaesalgbricasajudaramapenasumpouco.A integral (antiderivada) e seu papel terico no Teorema Fundamental do Clculo ofereceu ajudadiretaapenasquandoasvariveiseramseparadas,emcircunstnciasmuito especiais.OmtododeseparaodevariveisfoidesenvolvidoporJakobBernoullie generalizadoporLeibniz.Assimestespesquisadoresiniciaisdosculo17focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e tcnicas para aqueles que os seguiram. Ao redor do incio do sculo XVIII, a prxima onda de pesquisadores de equaes diferenciaiscomeouaaplicarestestiposdeequaesaproblemasemastronomiae cinciasfsicas.JakobBernoulliestudoucuidadosamenteeescreveuequaes diferenciais para o movimento planetrio, usando os princpios de gravidade e momento desenvolvidosporNewton.OtrabalhodeBernoulliincluiuodesenvolvimentoda catenriaeousodecoordenadaspolares.Nestapoca,asequaesdiferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemtica e cincias para resolver problemas aplicadossignificativos.Halleyusouosmesmosprincpiosparaanalisaratrajetriade umcometaquehojelevaseunome.OirmodeJakob,JohannBernoulli,foi provavelmente o primeiro matemtico a entender o clculo de Leibniz e os princpios de mecnicaparamodelarmatematicamentefenmenosfsicosusandoequaes diferenciais e a encontrar suas solues. Ricatti (1676--1754) comeou um estudo srio Para ganhar conhecimento, adicione algo todos os dias. Para ganhar sabedoria, elimine algo todos os dias. Lao-Ts(1324a.C. - 1408a.C.) Introduo s Equaes Diferenciais Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 4 deuma equaoem particular, mas foilimitado pelasteoriasdoseutempoparacasos especiais da equao que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos estudaram os casos da equao de Ricatti tambm. Na poca, Taylor usou sries para "resolver" equaes diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas sries para vriospropsitos.Contudo,odesenvolvimentodeTaylordediferenasfinitascomeou umnovoramodamatemticaintimamenterelacionadoaodesenvolvimentodas equaesdiferenciais.NoinciodosculoXVIII,esteemuitosoutrosmatemticos tinham acumulado uma crescente variedade de tcnicas para analisar e resolver muitas variedadesdeequaesdiferenciais.Contudo,muitasequaesaindaeram desconhecidas em termos de propriedades ou mtodos de res