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Marcia Takagui Ed. Ala 1

sala 216

ramal 6811

Introdução às Medidas em Física 10a Aula * http://fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2010/

* Baseada em Suaide/Munhoz 2006

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Nas últimas aulas…

!   Tanto na queda livre como nas curvas características, um dos objetivos foi testar se determinadas hipóteses físicas se aplicavam ao sistema medido –  Queda livre: g = constante? –  Lei de Ohm: R = constante?

!  Como fazemos quando o problema é muito complicado porém gostaríamos de saber prevê-lo? –  Modelos empíricos ou semi-empíricos

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Resfriamento de um Líquido

!  Objetivos: –  Medidas de temperatura:

•  Estudar o resfriamento de um líquido aquecido colocado em temperatura ambiente;

•  Realizar medidas de temperatura; –  Análise de dados:

•  Análise gráfica – escala logarítmica; •  Fórmulas empíricas;

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Lei Zero da Termodinâmica

!  Dois corpos inicialmente a temperaturas diferentes, quando colocados em contato por um tempo suficiente, chegam a um estado final em que a temperatura de ambos se iguala. Esse estado é chamado de equilíbrio térmico.

!  Portanto, um objeto mais quente que a temperatura ambiente irá perder calor para o ambiente até igualar sua temperatura com o mesmo.

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Medida de temperatura

!  A temperatura de um sistema é medida através de fenômenos físicos cuja dependência com a temperatura é conhecida.

!  O tipo de termômetro mais comum é o de coluna de mercúrio. O fenômeno físico usado neste caso é o da dilatação volumétrica de líquidos quando estes são aquecidos.

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Termopar

!   Termopar é um tipo de termômetro bastante popular; !  Seu princípio de funcionamento baseia-se em um efeito

descoberto em 1822 por um médico da Estônia chamado Thomas Seebeck;

!  Esse efeito corresponde à produção de uma diferença de potencial na junção entre dois metais, cujo valor depende da temperatura na junção.

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Termopar

!  Um dos tipos de termopar mais populares é do tipo K, composto pela junção das ligas de níquel-cromo e níquel-alumínio.

300 oC 12,2 mV

Níquel-cromo

Níquel-alumínio

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Lei de Resfriamento

!  O que estudaremos: –  Ao aquecermos uma substância a uma certa

temperatura, como se dará o seu resfriamento até a temperatura se igualar à temperatura ambiente?

–  A temperatura diminui linearmente com o tempo? Ou a diminuição da temperatura é descrita por outra função matemática?

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Lei de Resfriamento

!  O que estudaremos: –  Na ausência de um modelo, iremos estabelecer uma

função matemática que descreve esse fenômeno de maneira empírica, isto é, com a ajuda dos dados.

–  Naturalmente, precisamos usar hipóteses físicas também...

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Fórmulas empíricas

!  Fórmulas empíricas (ou modelos empíricos) são expressões matemáticas que tentam descrever o comportamento físico observado –  Não precisa ter fundamentos teóricos sólidos –  Não é um simples ajuste de curvas. A expressão

matemática obtida deve ser capaz de “prever” resultados fora da região onde os dados foram tomados

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Ex: Velocidade de queda de um pára-quedista

!  Um ajuste de uma expressão qualquer aos dados nem sempre pode ser considerado um modelo empírico 10

20

30

40

15

25

35

45

5 0,0

v( u.a. )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (ua)

Gráfico v vs t

Ajuste aos dados. As previsões baseadas

nesse ajuste não são

razoáveis

Modelo empírico. Pode-se realizar previsões fora da

região onde os dados foram adquiridos

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Como estabelecer um modelo empírico para um fenômeno físico

!   Deve-se tomar os dados necessários !   A partir desses dados testam-se várias hipóteses diferentes !   Verifica-se qual hipótese descreve melhor os dados e se as

previsões fornecidas por essas hipóteses são razoáveis •  Ex: no caso do pára-quedas, espera-se que a velocidade de queda seja

constante após um intervalo de tempo. Assim, modelos empíricos devem satisfazer essas condições

!   O modelo aplicado deve ser capaz de se adaptar a condições experimentais diferentes.

•  Ex: devemos ser capazes de utilizar a mesma expressão matemática (não necessariamente com os mesmos valores de parâmetros) para dois pára-quedistas e pára-quedas diferentes.

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Determinação de um modelo empírico para resfriamento de um corpo

!   Arranjo experimental –  Tubo de glicerina no qual inserimos um termopar –  Tubo é colocado em um cilindro com fluxo de ar constante. Isso mantém a temperatura

ambiente constante ao redor do tubo !   Procedimento:

–  Familiarize-se com a leitura do cronômetro congelando o mostrador enquanto a cronometragem continua. DESPREZE os centésimos de segundo.

–  No medidor de termopar selecione o terminal T1, escolha oC e resolução de 0,1 oC. Meça a temperatura TR do cilindro de ar (sem o tubo) (5 vezes em intervalos de tempo de 1 min). A incerteza instrumental nesta escala é 0,2% do valor lido.

–  Meça a altura da coluna de glicerina e introduza o termopar até a meia altura. –  Aqueça o tubo até aproximadamente 112-115oC, mantendo a chama não tão próxima

para não queimar a rolha. –  Insira o tubo no cilindro de ar. –  Inicie cronômetro quando a temperatura atingir 110oC. –  Meça o tempo para variações da temperatura T de 3oC até atingir uma temperatura

aproximadamente 2oC maior que TR, produzindo uma tabela da temperatura T em função do tempo t.

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Análise gráfica dos resultados

!  Determine o valor médio de TR e a incerteza, sendo a incerteza instrumental 0,2%, a ser combinada com a incerteza da média.

!  Complete a tabela calculando a incerteza de cada temperatura. !  Adicione à tabela os valores ΔT=T-TR e calcule as incertezas. !   Faça o gráfico de ΔT como função do tempo em papel

milimetrado. –  O gráfico obtido é uma reta? –  Como descrever o comportamento esperado para a

temperatura?

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Modelo empírico

!   Muitas leis de decaimento em Física possuem comportamento exponencial. Podemos utilizar o nosso conhecimento pré-estabelecido e aplicar essa mesma fenomenologia para o resfriamento da glicerina

!   Como testar essa hipótese –  Teste gráfico

•  Papel mono-log –  O papel mono-log é muito útil para fazer gráficos de funções

exponenciais pois as mesmas são representadas como retas nesse tipo de papel (v. próx. slide).

€

ΔT = ΔToe−t /τ

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Linearizando a função exponencial

€

Se ΔT = ΔToe−tτ

⇒ logΔT = log(ΔToe−tτ )

⇒ logΔT = logΔTo − (logeτ

)t

⇒ Y =Yo + Bt, que é a equação de uma reta

de coeficiente angular (− logeτ

)

Note que quando t = τ, ΔT = ΔΤo/e, ou seja, τ é o tempo que demora para ΔT cair a 1/e do valor inicial ΔΤo.

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Escala Logarítmica

!  A fim de facilitar a construção desse gráfico e evitar que tenhamos que calcular o logaritmo de todos os dados, podemos utilizar o chamado papel monolog;

!  Nesse papel, o eixo-y é construído de forma que o comprimento real no papel é proporcional ao logaritmo do número marcado na escala do papel.

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Década

0,1 ou 1 ou 10

0,2 ou 2 ou 20

1 ou 10 ou 100

ESCALA (sempre múltipla de 10)

10 ou 100 ou 1000

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Escala Logarítmica

0,2 0,4 0,6 0,8 Log(1)=0,0

Log(5)=0,7

Log(10)=1,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 0,0

Log(2)=0,3 Log(3)=0,47 Log(4)=0,6 Log(6)=0,78

Log(7)=0,84

Log(8)=0,90

Log(9)=0,95

4 6 2 3 5 7 10 1 8 9

Então se quero representar o log(2), não preciso calcular o log(2) e marcar o número encontrado num papel milimetrado (escala linear). Eu posso simplesmente marcar o próprio 2 num papel com escala log, e aquilo que está sendo representado é o log(2).

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Papel mono-log

!  O papel mono-log é bom para gráficos do tipo

!  Aplicando log dos dois lados

!  Equação de reta

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10

20

30 40 50

100

200

300

0 10 20 30 40 50 60 70 t (s)

T (oC)

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10

20

30 40 50

100

200

300

0 10 20 30 40 50 60 70 t (s)

T (oC) Como extrair os parâmetros da função exponencial?

3. A inclinação é o expoente da exponencial (NÃO é calculado da mesma forma que no papel milimetrado)

1. Traçar reta média 2. O ponto onde a reta cruza o eixo-y é a amplitude da exponencial (A).

A

L

€

y = Aebx

⇒ log y = logA + (bloge)x log yF = logA + (bloge)xF log yi = logA + (bloge)xi

⇒ bloge = log yF − log yixF − xi

=

=Δy(cm) /L(cm)

xF −xi

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10

20

30 40 50

100

200

300

0 10 20 30 40 50 60 70 t (s)

T (oC) Como extrair as incertezas?

3. As incertezas são metade das diferenças entre os parâmetros máximo e mínimo

1. Traçar as retas máxima e mínima 2. Calcular os parâmetros para ambas as exponenciais

4. Se as incertezas dos pontos forem tão pequenas que apenas permitam traçar a reta média, a incerteza no coef angular é obtida por propagação de erros.

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10

20

30 40 50

100

200

300

0 10 20 30 40 50 60 70 t (s)

T (oC) Algumas peculiaridades dos dados

J. C. Sartorelli Rev. Bras. Ens. Fís. 21, 116 (1999)

Em algumas situações, dependendo do arranjo (isolamento térmico) pode-se perceber que os dados não são descritos por apenas uma exponencial

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Atividades !   Finalizar os gráficos de temperatura como função do

tempo –  Milimetrado e mono-log

!   Traçar as retas médias (mais de uma, quando necessário) e extrair os parâmetros da exponencial

!  Calcular as incertezas nos parâmetros das exponenciais.

!  Calcular o tempo característico de esfriamento da glicerina, τ, e sua incerteza, e discutir a compatibilidade com o valor obtido da definição de τ.

€

ΔT = ΔToe−tτ ⇒ logΔT = logΔTo − (

logeτ

)t, coef. ang. = (− logeτ

)

Relatório

!  Resumo do trabalho !  Introdução ao assunto !  Descrição experimental !  Resultados de medições, com tabelas, cálculos,

gráficos e análise dos dados

!  Discussão final e conclusão !  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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