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Marcia Takagui Ed. Ala 1

sala 216

ramal 6811

Introdução às Medidas em Física 11a Aula * http://fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2010/

* Baseada em Suaide/Munhoz 2006

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Cordas vibrantes – Parte 1

!  Objetivos: –  Estudo da ressonância sonora em um fio tensionado

•  Obtenção da expressão que relaciona os parâmetros experimentais com as freqüências de ressonância

–  Análise de dados: •  Análise gráfica – escala logarítmica;

•  Fórmulas empíricas;

Oscilações Forçadas e Ressonância

!   Sistemas que podem oscilar tem suas frequências naturais de oscilação: tirados de suas posições de equilíbrio, passam a oscilar com a frequência natural, e na ausência de atrito, assim permanecem.

!   Podemos forçar um sistema a oscilar aplicando uma força periódica: o sistema irá oscilar com a frequência imposta, mas a amplitude da oscilação depende da relação entre a frequência imposta e a frequência natural.

!   Ressonância: é quando a frequência imposta coincide com a frequência natural. O sistema absorve a máxima energia e a amplitude da oscilação torna-se a máxima.

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Ondas em uma corda !   Onda é uma perturbação se propagando; deve-se notar que não é o

meio que se desloca, é a perturbação. Conforme ela passa as partículas do meio saem da posição de equilíbrio mas retornam quando a perturbação se vai. Se o agente que produz a perturbação atua periodicamente temos um trem de ondas progressivas se propagando com velocidade v.

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€

λ = vT = v / f

Princípio da superposição

!   Se numa região do espaço houver mais de uma onda passando, o efeito global é a soma dos efeitos de cada onda.

!   Interferência construtiva: quando as ondas estão em fase a amplitude resultante é a máxima pois os deslocamentos das partículas em relação ao equilíbrio estão no mesmo sentido.

!   Interferência destrutiva: quando as ondas resultantes estão em oposição de fase, a amplitude resultante é a mínima pois os deslocamentos das partículas em relação ao equilíbrio devidos a cada onda individual estão em sentidos opostos. Se tiverem a mesma magnitude, a amplitude resultante é nula.

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Ondas estacionárias numa corda !   Quando uma corda presa nas duas extremidades é posta a vibrar, a

onda caminhando para a direita se reflete ao chegar na extremidade direita, originando uma onda caminhando para a esquerda. Pelo princípio da superposição, os efeitos das duas ondas se somam algebricamente.

!   Em determinadas frequências, alguns pontos da corda estão permanentemente em repouso.

São chamados nós. Entre os nós,

os pontos onde a amplitude é

máxima são chamados ventres.

As ondas são chamadas

estacionárias. As frequências,

modos harmônicos. 6

Ressonância numa corda

!   Quando forçamos uma oscilação na corda, apenas algumas frequências, que coincidem com as frequências normais de oscilação da corda, produzem ondas estacionárias e quando isto ocorre a amplitude é máxima: a corda está em ressonância.

!   As frequências são ditas frequências de ressonância.

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Modos de vibração de um fio

!   Fio preso nas duas extremidades –  Essa condição limita

as configurações possíveis de ondas estacionárias

–  Modos de vibração

!  Quais parâmetros influenciam a freqüência de vibração do fio?

nL

= 1 = 2λ

nL

= 2 = λ

nL

= 3 = 2 /3λ

L

ventre

nó

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As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?

!  Modo de vibração –  Aumento o n, diminuo o

comprimento de onda, e aumento a frequência

!  Comprimento do fio –  Aumento o comprimento,

maior o comprimento de onda para o mesmo modo de vibração, e diminuo a frequência

nL

= 1 = 2λ

nL

= 2 = λ

nL

= 3 = 2 /3λ

L

ventre

nó

vfλ

=

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As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?

!  Densidade do fio –  Fios de densidade

diferentes vibram em freqüências diferentes (violão)

!   Tensão aplicada ao fio –  Variando-se a tensão,

varia-se a freqüência (afinar um violão)

nL

= 1 = 2λ

nL

= 2 = λ

nL

= 3 = 2 /3λ

L

ventre

nó

vfλ

=

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As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?

!  Assim, os parâmetros principais são –  Modo de vibração (n) –  Comprimento do fio (L) –  Densidade (µ)

•  Vamos usar a densidade linear µ = m / L

–  Tensão aplicada (T)

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As frequências de ressonância dependem de que parâmetros?

!  Como correlacionar a freqüencia com esses parâmetros? –  Tomar os dados e analisá-los

–  Método

•  Fixar todos os parâmetros, menos um deles e, estudar como a freqüência depende do parâmetro que está variando

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Arranjo experimental

L f

T = m g

ρ

T=mg

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Procedimento experimental

!  Quatro parâmetros a serem estudados

–  n, L, µ e T. –  Variar um parâmetro de cada vez, fixando os outros.

–  Exemplo: Como a freqüência depende de n? •  Escolher um fio de nylon e montá-lo no arranjo experimental

•  Fixar (e anotar, com a respectiva incerteza) todos os outros parâmetros

•  Medir as freqüências de ressonância para vários valores de n •  Analisar os dados

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Atividades - I !   Estudar a dependência da frequência de ressonância com o modo de

vibração n: –  Montar o fio de nylon de φ=0.8mm tal que a distância entre a polia (fixa) e o alto-

falante (móvel) seja a máxima. Medir o comprimento L do fio = distância do ponto de tangência do fio com a polia ao ponto de fixação do mesmo ao alto-falante.

–  Tensionar o fio usando uma massa m de cerca de 250g, antes medindo-a juntamente com o suporte de massas.

–  Ligar o gerador de audio na faixa das dezenas de Hertz (Hz) e procurar a frequência que produz o primeiro harmônico (n=1) com a máxima amplitude.

–  Anotar a frequência e o modo de vibração numa tabela f versus n. –  Sucessivamente o mesmo aluno procura as frequências para os modos seguintes

até cerca de n=8, anotando os valores na mesma tabela. Em cada modo a frequência é sempre aquela de máxima amplitude.

–  Retornar o gerador para a frequência inicial e agora o outro aluno da equipe procura e anota as frequências para os diversos modos de vibração desde n=1 até o máximo enxergado anteriormente.

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Atividades - II !   Estudar a dependência da frequência de ressonância

com o a tração T no fio: –  Manter o fio de nylon de φ=0.8mm e o mesmo comprimento L

do fio. –  Variar a massa m de tração entre 100g e 500g (5 pontos), não

esquecendo de considerar a massa do suporte de massas. –  Para cada massa procurar a frequência de ressonância do modo

n=2. Em cada massa os dois alunos da equipe procuram a frequência de ressonância anotando na tabela f versus m. Os outros parâmetros mantidos constantes devem ser reescritos próximos à tabela ou, melhor ainda, na legenda da tabela, incluindo o modo de vibração.

Preparação dos dados

!   Em cada tabela, determinar os valores médios das frequências medidas e suas incertezas = soma quadrática da incerteza estatística com a instrumental. Atribuir como incerteza estatística a diferença entre os dois valores lidos dividida por 2. A incerteza instrumental será fornecida em aula.

!   Certificar-se que as incertezas de todas as outras grandezas estejam anotadas.

!   Anotar o valor da densidade linear µ do fio utilizado, afixado na sala de aula.

!   Certificar-se que os valores dos parâmetros mantidos fixos (com as incertezas) estejam mencionados na legenda das tabelas.

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Análise dos dados experimentais

!  Como obter uma expressão para a freqüência de ressonância?

!  Hipótese –  Supor que a freqüência depende de um parâmetro como uma

potência deste parâmetro

–  No caso dos nossos parâmetros, supor uma combinação de potências

( ) bf x Ax=

δγβα µ= TLCnfn

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Atividades (casa) !  Supondo que a expressão abaixo seja suficiente para

determinar as freqüências de ressonância, faça uma análise dimensional e obtenha os valores dos coeficientes α, β, γ e δ

!  Dica: Lembre-se que a unidade de freqüência é Hz (1/s) e a unidade de tensão (N) pode ser dada em termos da massa e aceleração. Para saber se as potências são positivas ou negativas, lembre-se do violão, e que notas musicais mais agudas correspondem a frequências mais altas.

δγβα µ= TLCnfn

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Como obter os valores destes coeficientes experimentalmente

!  A partir dos dados

!  Para um determinado parâmetro, com todos os outros fixos, podemos escrever que

!  Por exemplo: para todos os parâmetros fixos e variando apenas n

( ) bf x Ax=

δγβα µ=== TCLcteBBnfn onde ,

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Exemplo: determinar B e α

!   Fixar todos os parâmetros e variar somente n

!  Como determinar B e α? –  Extrair log da expressão

δγβα µ=== TCLcteBBnfn onde ,

log( ) log( )log( ) log( ) log( ) reta!!!!

log ; ; log( )

n

n

n

f Bnf n B

y ax by (f ) a b B

α

α

α

=

= + ⇒

= +

= = =

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Solução elegante: papel di-log

!  Usado para fazer gráficos do tipo

– y = axb

!  O papel di-log já tem as escalas proporcionais a log(x) •  Dividido em décadas

–  Cada década representa uma ordem de grandeza

•  Leitura direta dos valores –  Coeficiente angular é a inclinação do gráfico –  Coeficiente linear diretamente lido da escala

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Década (igualmente válido para o eixo X)

1 2 3 10 20 ... 10 20 30 100 200 ...

0,1 0,2 0,3 1 2 ...

ESCALA (sempre múltipla de 10)

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10 10

100

1 n

fn

B Δx (cm)

Δy

(cm

)

1 2

1 2

/log loglog log /

y

x

y Ly yx x x L

αΔ−

= =− Δ

Retas auxiliares para estimar incertezas

(x1, y1)

(x2, y2)

Ly

Lx

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Atividades: determinando as potências

!   Fazer o gráfico di-log das frequências de ressonância como função dos parâmetros medidos –  f vs n –  f vs m

!  Os dados realmente são uma reta no papel di-log? –  Quais os coeficientes angulares das retas com as suas

incertezas? Os valores obtidos são compatíveis com a análise dimensional realizada?