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Marcia Takagui Ed. Ala 1

sala 216

ramal 6811

Introdução às Medidas em Física 3a Aula * http://fge.if.usp.br/~takagui/fap0152_2010/

* Baseada em Suaide/Munhoz 2006

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Experiência II: Densidade de Sólidos

!  Objetivos: – Medidas indiretas:

•  Medida da densidade de sólidos;

– Análise de dados: •  Propagação de Incertezas;

•  Compatibilidade entre medidas

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Consolidando o conceito de incertezas

!  Instrumentos de medição possuem limitações – Alguns instrumentos são mais recomendados que

outros para efetuar uma certa medida •  Ex: micrômetro é mais adequado que uma régua

para medir espessura de uma folha de papel –  Incerteza instrumental

•  Nenhum instrumento possui precisão infinita – Incerteza: em geral, metade da menor divisão

(cuidado com o paquímetro!)

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Consolidando o conceito de incertezas

!  Em alguns casos, o objeto a ser medido é construído de forma mais precisa que o instrumento utilizado para realizar a medida – Ex: medir o comprimento de uma folha de sulfite

com uma régua plástica •  O instrumento é um fator limitante: não detecta

variações nas medidas da folha de sulfite, e a incerteza da medida é limitada pela precisão do instrumento.

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Consolidando o conceito de incertezas

!  Em outros casos, o objeto a ser medido é construído de forma menos precisa que o instrumento utilizado para realizar a medida – Ex: medir a altura de uma mesa com a trena. As

flutuações na altura da mesa são maiores que a precisão da trena.

•  Qual é a altura da mesa?

•  Neste caso, a incerteza da medida é dominada pela incerteza estatística.

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Consolidando o conceito de incertezas

!  Há casos em que o instrumento é preciso, o objeto tem dimensões razoavelmente precisas mas há dificuldades experimentais para realizar as medidas –  Ex: Medir o período de oscilação do pêndulo. Nesse

caso, o cronômetro é um instrumento preciso e o período do pêndulo bem reprodutível. O fator limitante é a dificuldade experimental em registrar o início e fim do tempo de medida do período.

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Como estimar a incerteza?

!  Incertezas estão sempre presentes –  Limitações instrumentais...

–  Variações na grandeza medida...

–  Dificuldades experimentais

!  Muitas situações diferentes... –  Em muitos casos, várias das situações mostradas

estão presentes ao mesmo tempo. O que fazer?

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Tipos de incerteza

!   Instrumental –  Aquela associada à precisão do instrumento utilizado para

realizar a medida direta de uma grandeza

!  Estatística –  Incerteza associada à flutuação no resultado de uma mesma

medida

!  Sistemática –  Aquela onde a medida é desviada em uma única direção,

tornando os resultados viciados

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Incertezas instrumentais

!  Em geral é a metade da menor divisão –  Cuidado com instrumentos que possuem nônio (ex:

paquímetro) onde a incerteza é a menor divisão do mesmo

–  Em alguns casos, onde a definição do ponto do objeto a ser medido torna-se obscura pode-se considerar a incerteza instrumental maior que a menor divisão do instrumento de medida.

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Incertezas estatísticas

!  O que acontece se eu repito a mesma medida, de forma independente, de um objeto? –  Pode ser que cada medida apresente um valor

diferente.

–  Nesse caso, a medida é a média de todas as medidas efetuadas

–  A incerteza estatística é o desvio padrão da média.

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Incertezas sistemáticas

!  Aquelas que falseiam a medida –  Ex: uma régua onde o primeiro mm está faltando e o

experimentador não percebe. Todas as medidas serão 1 mm maiores do que deviam

–  Ex: uma balança descalibrada e/ou com o zero deslocado

!  Esse tipo de incerteza, em geral, só é percebida quando um resultado difere do esperado.

!  Uma vez detectado esse tipo de erro, as medidas devem ser corrigidas ou refeitas.

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Qual é a incerteza de uma medida?

!   Suponha que o experimentador realize várias medidas do tamanho de uma mesa com uma régua. –  Incerteza instrumental: σLinstr = 0,5 mm –  Incerteza estatística: σLestat

–  Caso um tipo de incerteza seja dominante, pode-se desprezar a outra.

•  Ex: Período do pêndulo medido com o relogio de pulso. Neste caso, a incerteza instrumental é muito maior que a estatística.

•  Ex: Período do pêndulo medido com cronômetro de 0,01s. Neste caso, a incerteza estatística é muito maior que a instrumental.

2 2instr estatL L Lσ σ σ= +

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Medidas indiretas

!  Muitas vezes a medida em questão é feita de forma indireta –  Ex: Determinar o período do pêndulo a partir do seu

comprimento

–  Ex: Medir a área da sala a partir das medidas do comprimento e largura

–  Ex: Medir a velocidade de um carro a partir do tempo que o mesmo leva para percorrer uma determinada distância

!  Como eu avalio as incertezas em medidas indiretas?

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Medida da Densidade de Sólidos

!  O objetivo deste experimento é identificar os diferentes tipos de plásticos que compõem um conjunto de objetos.

!  Essa identificação pode ser feita medindo-se a densidade dos diferentes objetos, e considerando-se os valores obtidos com suas incertezas a fim de associar cada objeto com um tipo de plástico.

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Densidade de sólidos

!  Depende da massa e do volume

!  O Volume pode ser obtido pela medida das dimensões do objeto.

–  Exemplo, um cilindro de raio R e altura H

2V R Hπ=

mV

ρ = ?ρσ =

?Vσ =

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Atividades !  Equipes de 2 alunos. Anotem o número da caixa para

pegar a mesma caixa na aula que vem. !  Cada aluno da equipe escolhe 2 dos cilindros da caixa

(necessariamente o menor e o maior devem ser pegos – não pegar o cilindro escavado), medindo quantas vezes julgar necessário (justificando): –  A massa dos objetos

•  Utilizar a balança digital.

–  As dimensões dos objetos •  Medir as dimensões necessárias para o cáculo do volume utilizando uma

régua simples.

!  Anotar todos os valores com as respectivas incertezas !   Tabela na lousa

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Cálculo do volume !   Volume de um cilindro

!   Como calcular a incerteza do volume sabendo a incerteza de R e de H? –  Poderíamos calcular o volume do cilindro, fixando o diâmetro, e variando a altura,

para H + σH e H – σH, obtendo V(H+σH) e V(H-σH). Poderíamos dizer que a incerteza em V devido à incerteza em H é σV(H) = [V(H+σH) - V(H-σH)]/2.

–  Analogamente, calculando o volume do cilindro, fixando a altura e variando o diâmetro, para D + σD, D – σD, teríamos σV(D) = [V(D+σD) - V(D-σD)]/2.

A incerteza em V seria a combinação das duas contribuições:

2 2

4V R H D Hπ

π= =

( ) ( )22 )()( DH VVV σσσ +=

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Propagação de incertezas !   Volume de um cilindro

!   Como uma variação na medida de raio afeta o volume?

!   Essa variação é a mesma, independente da medida do raio?

2V R Hπ=

A mesma incerteza no raio acarreta em

incertezas diferentes no volume

RRVVR Δ∂

∂=Δ

( ) RV RVR σσ∂

∂=

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Teoria de erros

!  Teoria na qual estuda-se o comportamento das incertezas de medidas, como elas influenciam outras medidas, e como elas se propagam no caso de uma medida indireta.

!  Propagação de erros –  Método para calcular a incerteza de uma medida

indireta

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Propagação de erros: fórmula geral

!  Seja uma grandeza G, dependente de duas variáveis, A e B. O valor da incerteza em G, σG, pode ser expressa em termos das incertezas em A e B (σA e σB, respectivamente) através da fórmula:

2 2

G A BG GA B

σ σ σ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Derivada parcial de G em relação

a A

Não conte aos matemáticos puristas mas a derivada parcial nada mais é do que a derivada comum onde todo o resto da equação pode ser

considerado constante

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Vamos fazer um exemplo simples

!  Volume de um cilindro

!  O Volume depende tanto do diâmetro D , cuja incerteza é σD, e da altura H, com incerteza σH. Assim, a incerteza do volume é dada por:

2 2

V D HV VD H

σ σ σ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

4V D Hπ=

22

Como calcular as derivadas

!  Suponha que todo o resto da expressão é uma constante....

22

(2 )4 4

(4 2

)DV D H H H D DHD DD

π π π π∂

∂

∂ ∂ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

2 2 2 2

4 4( ) (1

4 4)V D H D D DH

HH Hπ π π π∂∂ ∂ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂

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Desse modo...

!   Incerteza do volume do cilindro

2 2

2 22 22

2

2

2

22 4 4

2

V D H

D H

D H

H

V

D

V D H

V VD H

DH D D HD H

σ σ σ

σ σ σ

σ σπ π πσ σ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

⎠ ⎝ ⎠

⎠

⎠ ⎝

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Será que preciso fazer esse montão de derivadas e contas toda vez?

!  A rigor deve-se sempre calcular as derivadas

!  Na prática, com o tempo, desenvolve-se técnicas que simplificam a nossa vida

!  Alguns casos muito comuns: –  Soma e subtração

–  Multiplicação e divisão •  Multiplicação ou divisão por constante

–  Potenciação

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Alguns casos comuns

!   Soma e subtração –  A incerteza da soma (ou

subtração) é a raiz da soma dos quadrados das incertezas individuais

!   Multiplicação e divisão –  A incerteza percentual do

produto (ou divisão) é a raiz da soma quadrática das incertezas percentuais individuais

2 2

, ou

C A B

C A B C A B

σ σ σ

= + = −

= +

2 2

, ou

C A B

AC AB CB

C A Bσ σ σ

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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Alguns casos comuns

!   Multiplicação ou divisão por constante –  A incerteza do resultado fica

multiplicada ou dividida por aquela constante.

!   Potenciação –  A incerteza percentual do

resultado é a raiz da soma quadrática das incertezas percentuais dos potenciandos multiplicadas pelas potências..

cAB

cAB

cA

BcAB

AAB

AA

B

σσσ

σσ

σ

==→=

==→=

.

..

22

.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=

BAC

BAC

BAC σβ

σα

σ

βα

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Aplicação: obtenção de σρ

€

ρ =mV

σρ = ρσm

m⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

+σV

V⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

cilindro : σV

V⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

= 2σD

D⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

+σ H

H⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

e σρcilindro = ρ

σm

m⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

+ 2σD

D⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

+σ H

H⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

28

Atividades

!  Obtenha a densidade do plástico e a sua incerteza para cada cilindro medido.

!  Complete a tabela na lousa.

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Quando medidas são compatíveis entre si?

!  Intervalo de confiança –  Significa o intervalo onde o experimentador espera

que o valor verdadeiro de uma medida esteja situado.

–  Duas medidas são compatíveis quando os seus intervalos de confiança [x-σx, x+σx] se superpõem.

•  O Intervalo de confiança não é absoluto. Lembre-se que, em uma distribuição aleatória de dados que podem ser descritos por uma função de Gauss (ver aula passada) somente ~70% das medidas vão cair nesse intervalo.

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Distribuição Normal de erros

212( ) y y

G y e σ⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

−

∝

Média

2σ

Max

0,

6 M

ax

[ ][ ][ ] %

% %

7,993,3952,2

68,

=+−

=+−

=+−

σσ

σσ

σσ

oo

oo

oo

xxPxxPxxP

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Como comparar os resultados de duas medidas?

!   É preciso se levar em consideração sempre a incerteza de medida.

!   Como devemos considerar a incerteza, nos perguntamos se as medidas são compatíveis ao invés de “iguais”;

!   Por exemplo, 2,74 ± 0,02 mm é compatível com 2,80 ± 0,05 mm ?

2,70 2,75 2,80 2,85

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Exemplo: diâmetro de um fio de cobre

!  Quais medidas são compatíveis entre si?

!  Quais medidas são compatíveis com o valor nominal fornecido pelo fabricante?

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Atividades

!  Gráfico da densidade em função da peça, incluindo as barras de incerteza.

!  Quantos grupos diferentes conseguimos identificar?

!  Para as peças do mesmo grupo, como obter um valor representativo da densidade?

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Média ponderada

!  Em situações onde eu tenho um conjunto de medidas com incertezas diferentes o valor médio é calculado através da média ponderada pelo inverso da incerteza quadrática.

!  Média para um conjunto de n medidas yi + σi.

12

1 1

1 1 e com

n

i ii

y in ni

i ii i

y py p

p pσ

σ=

= =

= = =∑

∑ ∑

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Densidade de sólidos

Material Densidade

(g/cm3)

Acrílico 1,17 – 1,20

Nylon 1,09 – 1,14

Polietileno 0,941 – 0,965

PVC 1,35 – 1,45

Polipropileno 0,900 – 0,915

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Próxima Aula

!  Trazer gráfico da densidade em função da peça, incluindo as barras de incerteza.

!  Quantos grupos diferentes de peças conseguimos identificar na sala toda?

!  Cada equipe: para as peças da sua caixa, obter um valor representativo da densidade com a respectiva incerteza.

!  Pensar numa forma de se melhorar a incerteza.