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INVERSÃO DE MATRIZES. DEFINIÇÃO. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A inversa da matriz A. é indicada por A -1. tem ordem n,. obedece a relação: A -1 . A = A . A -1 = I n. onde I n é a matriz identidade de ordem n. acx - bcz = - c acx + adz = 0. ax + bz = 1 cx + dz = 0. - PowerPoint PPT Presentation
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DEFINIÇÃO
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
A inversa da matriz A
tem ordem n,
é indicada por A-1
obedece a relação: A-1 . A = A . A-1 = In
onde In é a matriz identidade de ordem n.
A =a bc d
A-1 =x yz w
Por definição:a bc d
x yz w. =
1 00 1
Tem-se: (ad – bc)z = - c z = -c/(ad – bc)
(ad – bc)x = d x = d/(ad – bc)
ax + bz = 1cx + dz = 0
-acx - bcz = - c acx + adz = 0
INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2
Por processo semelhante se calcula: y = -b/(ad – bc) w = a/(ad – bc)
ad – bc = det(A) é o determinante da matriz A.
Deste modo:
A-1 = d/det(A) -b/det(A)
-c/det(A) a/det(A
ou
adx + bdz = d-bcx - bdz = 0
A-1 = 1det(A)
d -b
-c a
Em resumo:
Se
então
A-1 = 1det(A)
A = a b
c d
d
a
Troca de posição
-c
-b
Troca o sinal
Lembre-se que:
1 – o complemento algébrico do elemento aij é o elemento denotado por ai
j que se obtém por:
aij = (-1)i+j.(determinante da matriz obtida ao cortar a
linha i e a coluna j da matriz A)
2 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos dessa mesma fila obtém o determinante da matriz A.
3 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de uma fila paralela da mesma matriz o resultado é zero.
MATRIZ ADJUNTA
Se A =
a11 a12 a13 .....
a21 a22 a23 ...
a31 a32 a33 ...
........................................
A matriz adjunta, indicada por A de uma matriz A é formada pelos complementos algébricos dos elementos da matriz A.
então A =
a11 a1
2 a13 .....
a21 a2
2 a23 ...
a31 a3
2 a33 ...
........................................
A TRANSPOSTA DA MATRIZ ADJUNTA
Sendo A =
a11 a1
2 a13 .....
a21 a2
2 a23 ...
a31 a3
2 a33 ...
...................................
( A ) = Ta1
1 a21 a3
1 .....
a12 a2
2 a32 ...
a13 a2
3 a33 ...
...................................
O produto A. ( A ) será uma matriz C, tal que:T
Se i = j, cij = aik.aik = det(A).
K = 1
n
pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de igual fila.
Se i j, cij = aik.aik = 0
K = 1
n
pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de fila paralela.
Portanto, C =
det(A) 0 0 ... 0 det(A) 0 ... 0 0 det(A) .............................................
= Det(A).
1 0 0 ...0 1 0 ...0 0 1 .......................
A INVERSA DE UMA MATRIZ
Como foi visto:
A.( A )T = det(A).I
A. = I.( A )
T
det(A)
ou
Concluindo:
( A )T
det(A)
1
é a inversa da matriz A.
EXEMPLO:
Calcular a inversa da matriz A = 3 1 74 4 96 6 2
a11 = (-1)1+1.det = 1.(8 – 54) = - 46. 4 9
6 2
a12 = (-1)1+2.det = (-1).(4 – 54) = 50.
2 9
6 2a1
3 = 1. (12 – 24) = -12
a21 = (-1). (2 – 42) = 40
a22 = (1). (6 – 42) = - 36
a23 = (-1). (18 – 6) = -12
a31 = (1). (9 – 36) = - 27
a32 = (-1). (6 – 42) = 36
a33 = (1). (12 – 2) = - 27
Matriz adjunta
-46 50 -12 40 -36 -12-27 36 -27
A =
Determinante da matriz A
Det(A) = 3.(-46) + 1.50 + 7.(-12) = -172
Primeira linha de A e primeira linha de A.
Transposta da adjunta
-46 40 -27 50 -36 36-12 -12 -27
A = T
( )
INVERSA-46 40 -27 50 -36 36-12 -12 -27
A-1 = -1172