Investimento Sob Incerteza Em Mineração de Ferro

7/23/2019 Investimento Sob Incerteza Em Minerao de Ferro

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUO

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA DE PRODUO

Investimento sob incerteza em minerao de ferro: o valorda flexibilidade em decises de capacidade e escoamento

Caio Pereira e Maia

Belo Horizonte, Maro de 2011


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Caio Pereira e Maia

Investimento sob incerteza em minerao de ferro: o valorda flexibilidade em decises de capacidade e escoamento

Dissertao apresentada ao Curso de Mestrado emEngenharia de Produo da Universidade Federal deMinas Gerais, como requisito parcial para a obtenodo ttulo de Mestre em Engenharia de Produo.

rea de Concentrao:Produo e Logstica

Linha de Pesquisa:Modelos Estocsticos de Apoio

Deciso

Orientador:Leonardo Pereira Santiago -Departamento de Engenharia de Produo - UFMG

Belo Horizonte, Maro de 2011


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AGRADECIMENTOS

Sarah pelo apoio incondicional nessa jornada.

minha Me, rico, meus avs e familiares pelos incentivos.

Ao meu pai pela inspirao.

Suzana e ao Paulinho pela torcida.

Ao professor Leonardo Santiago pela orientao.

Ao Eloi pela ajuda sempre importante.

Ao Leo Tavares, pela fora mtua na largada e nesta reta final.

Aos companheiros do LADEC e do mestrado pela convivncia.


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RESUMO

A implantao de empreendimentos de minerao envolve investimentos de grande

montante de capital e possuem um elevado nvel de incerteza, principalmente

relacionados aos preos das commodities. Neste contexto, a literatura de anlise de

investimentos aponta a teoria de opes reais como a tcnica mais adequada de

avaliao de investimentos, por incorporar o valor da flexibilidade gerencial em

condies de incerteza ao valor do projeto. O problema abordado neste trabalho a

valorao das opes gerenciais de um empreendimento de minerao de ferro. Para

tanto, desenvolvemos um estudo de caso para avaliao de um projeto de minerao de

ferro sob a tica de opes reais. Construmos essa anlise atravs da modelagem de

incertezas inerentes indstria de minerao (i.e. modelagem do preo do minrio e

modelagem do lead time de implantao), principalmente motivados pelo contexto

macroeconmico afetado pela entrada da China no mercado transocenico de minrio

de ferro. Para modelar as incertezas, utilizamos processos estocsticos tais como

movimento geomtrico browniano e processo de reverso mdia histrica para

projetar o preo futuro do minrio de ferro, e modelamos a probabilidade de atraso na

implantao utilizando distribuio de probabilidades Beta. Avaliamos a coerncia de

nossa projeo de preos atravs do teste economtrico de raiz unitria de Dickey-

Fuller, aplicando-o srie histrica do preo do minrio de ferro. Analisamos tambm

as incertezas endgenas utilizando uma taxa de desconto e avaliamos o seu impacto no

valor das opes atravs de anlise de sensibilidade. Comprovamos o aumento de valor

ocasionado pela existncia da flexibilidade gerencial e discutimos a influncia das

variveis modeladas na definio das opes gerenciais que maximizam o valor do

projeto.

PALAVRAS CHAVE:valorao, opes reais, processos estocsticos, investimentossob incerteza e minerao de ferro.


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ABSTRACT

Mining projects implementation requires large amount of capital investment and has a

high level of uncertainty, mostly related to commodity prices. In this context, researchon investment analysis presents real options theory as the most appropriate method of

valuating investments, since it incorporates the value of managerial flexibility under

uncertainty in project value. The problem addressed in this paper is the valuation of the

managerial options of an iron mining project. We have developed a case study to value

an iron mining project using real options approach. We have built this analysis through

the modeling of uncertainties inherent in the mining industry (i.e. iron ore price forecast

modeling and project implementation lead time), mainly motivated by themacroeconomic effect related to China's entry into the seaborne market for iron ore. To

model those uncertainties, we have used stochastic processes such as geometric

brownian motion and mean reversion process to forecast iron ore price pattern, and

modeled the probability of delay in implementation using beta probability distribution.

We have validated the consistency of our forecasted prices by applying econometric test

for unit root, Dickey-Fuller test, on the iron ore prices time series. We have also

analyzed the endogenous uncertainties using a discount rate and evaluated its impact onthe value of the modeled options through sensitivity analysis. Therefore, we have

measured the increase in project value caused by the existence of managerial flexibility

and we have discussed the influence of the input variables on modeled options that

maximize the project value.

KEY WORDS: valuation, real options, stochastic process, investment underuncertainty, iron ore mining.


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Lista de Figuras ................................................................................................................. 8

Lista de Tabelas .............................................................................................................. 10Lista de Equaes ........................................................................................................... 11

1. Introduo .............................................................................................................. 13

1.1. Anlise de Investimento na Indstria de Minerao ............................................ 13

1.2. Objetivos do Trabalho ......................................................................................... 16

1.3. Indstria de Minerao de Ferro .......................................................................... 17

1.4. Panorama do Mercado de Minrio de Ferro ........................................................ 19

1.5. Estrutura da Dissertao ...................................................................................... 20

2. Reviso Bibliogrfica............................................................................................. 22

2.1. Definio de Flexibilidade Gerencial .................................................................. 22

2.2. Definio de Retorno, Incerteza e Risco ............................................................. 25

2.3. Anlise de Investimento: Comparao entre a abordagem da Teoria Clssica ea Anlise por Opes Reais ............................................................................................ 28

2.4. Opes Financeiras .............................................................................................. 31

2.5. Precificao de Opes Financeiras .................................................................... 35

2.6. Definio de Opes Reais .................................................................................. 43

2.7. Tipos de Opes Reais ......................................................................................... 46

2.8. Limitaes da Analogia entre Opes Reais e Opes Financeiras .................... 48

2.9. Aplicaes de Opes Reais ................................................................................ 50

2.10. Processos Estocsticos ........................................................................................ 52

2.10.1 Movimento Geomtrico Browniano ................................................................ 52

2.10.2 Processo de Reverso Mdia......................................................................... 54

2.11. Teste de Raiz Unitria Dickey-Fuller ................................................................. 55

2.12. Simulao de Monte Carlo .................................................................................. 57

3. Apresentao do Estudo de Caso ......................................................................... 61

3.1. O Problema .......................................................................................................... 61

3.2. Decises Gerenciais ............................................................................................. 62

3.3. Cenrios Analisados ............................................................................................ 65

3.4. Dados de Entrada ................................................................................................. 67

4. Resultados .............................................................................................................. 70

4.1. Modelagem das Opes Reais ............................................................................. 70


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4.2. Modelagem do Preo do Minrio ........................................................................ 76

4.2.1 Parmetros do Movimento Geomtrico Browniano .......................................... 77

4.2.2 Parmetros do Processo de Reverso Mdia................................................... 79

4.3. Anlise do Comportamento do Preo do Minrio ............................................... 82

4.4. Modelagem de Incerteza deLead Time............................................................... 85

4.5. Nmero de Simulaes ........................................................................................ 86

4.6. Valor do Empreendimento Cenrio Caso Base ................................................... 87

4.7. Valor do Empreendimento Cenrio Preo ........................................................... 91

4.8. Valor do Empreendimento Cenrio Tempo para Implantao ............................ 94

4.9. Valor do Empreendimento Cenrio Custo de Capital ......................................... 98

5. Anlises ................................................................................................................... 99

5.1. Anlise Comparativa: Cenrio Base x Cenrio Preo ......................................... 99

5.2. Anlise Comparativa: Cenrio Base x Cenrio Tempo para Implantao ......... 102

5.3. Anlises de Sensibilidade do Cenrio Custo de Capital .................................... 104

6. Concluso ............................................................................................................. 109

7. Referncias Bibliogrficas .................................................................................. 114

8. Apndice 1 ............................................................................................................ 124


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Figura 1 Diferencial da abordagem por Opes.......................................................................... 23

Figura 2 Prmio da Flexibilidade Gerencial................................................................................ 24

Figura 3 Diferena entre a Abordagem Tradicional e a Abordagem por Opes Reais.............. 30

Figura 4 Relao entre o valor da opo de compra e o preo do ativo-objeto........................... 35

Figura 5 Quadro comparativo - dimenses das Opes Financeiras X Opes Reais................ 45

Figura 6 Ilustrao das Opes nos respectivos perodos de deciso dos empreendedores........ 64

Figura 7 Ilustrao da Lgica de Funcionamento do Modelo..................................................... 65Figura 8 Srie histrica do Minrio de ferro, valores em centavos de dlar por unidade metlicade Fe no produto. (valores corrigidos pela inflao americana para 2008)................................ 68Figura 9 Comparativo valores aleatrios gerados na simulao de Monte Carlo e a distribuiobeta especificada.......................................................................................................................... 86Figura 10 Comparativo das Distribuies de Resultados do Modelo, Variando o nmero derodadas de simulao................................................................................................................... 87

Figura 11 Distribuio dos Valores de VPL do Modelo para o Cenrio Base............................ 88Figura 12 Distribuio dos Valores de VPL do Modelo para o Cenrio Base, com flexibilidadegerencial e sem flexibilidade gerencial....................................................................................... 89Figura 13 Grfico comparativo dos coeficientes de variao do modelo considerando aflexibilidade gerencial e desconsiderando a flexibilidade gerencial........................................... 89

Figura 14 Freqncia da melhor deciso do primeiro ponto de deciso..................................... 90

Figura 15 Freqncia da melhor deciso do segundo ponto de deciso...................................... 91

Figura 16 Distribuio dos Valores de VPL do Modelo para o Cenrio Preo........................... 92

Figura 17 Distribuio dos Valores de VPL do Modelo para o Cenrio Preo, com flexibilidadegerencial e sem flexibilidade gerencial....................................................................................... 92

Figura 18 Grfico comparativo dos coeficientes de variao do modelo considerando aflexibilidade gerencial e desconsiderando a flexibilidade gerencial para o caso preo............... 93

Figura 19 Freqncia da melhor deciso do primeiro ponto de deciso para o caso preo......... 93

20 ....... 94

Figura 21 Distribuio dos Valores de VPL do Modelo para o Cenrio Tempo de Implantao95Figura 22 Distribuio dos Valores de VPL do Modelo para o Cenrio Tempo de Implantao,com flexibilidade gerencial e sem flexibilidade gerencial........................................................... 96Figura 23 Grfico comparativo dos coeficientes de variao do modelo considerando aflexibilidade gerencial e desconsiderando a flexibilidade gerencial para o caso tempo deimplantao.................................................................................................................................. 96

Figura 24 Freqncia da melhor deciso do primeiro ponto de deciso para o caso tempo paraimplantao.................................................................................................................................. 97

Figura 25 Freqncia da melhor deciso do segundo ponto de deciso...................................... 97Figura 26 Grfico da Mdia de Preos projetadas conforme processo estocsticos do cenriobase e cenrio preo..................................................................................................................... 99Figura 27 Comparao da Distribuio dos Resultados entre os Cenrios: Caso Base e CasoPreo .......................................................................................................................................... 100

Figura 28 Comparao do Coeficiente de Variao dos Resultados entre os Cenrios: Caso Basee Caso Preo.............................................................................................................................. 100Figura 29 Comparao entre Caso Base e o Caso Preo da Distribuio da Melhor Opo para a

1a. Deciso................................................................................................................................ 101


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Figura 30 Comparao da Freqncia da melhor deciso do segundo ponto de deciso do CasoPreo e do Caso Base................................................................................................................. 102Figura 31 Comparao da Distribuio dos Resultados entre os Cenrios: Caso Base e CasoTempo para Implantao........................................................................................................... 103Figura 32 Comparao do Coeficiente de Variao dos Resultados entre os Cenrios: Caso Base

e Caso Tempo para Implantao............................................................................................... 103Figura 33 Comparao entre a Distribuio da Melhor Opo para a 1a. Deciso, Caso Base e oCaso Tempo para a Implantao............................................................................................... 104

Figura 34 Comparao do fator de desconto conforme o nmero de perodos......................... 105

Figura 35 Grfico Anlise de Sensibilidade Taxa de Desconto X Melhor Opo.................... 106

Figura 36 Fluxos Descontados comparados com Taxa de Desconto......................................... 107


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Tabela 1 Posies bsicas em Opes Financeiras...................................................................... 34

Tabela 2 Categorias Comuns de Opes Reais........................................................................... 48Tabela 3 Frmulas da Valorao de Sq....................................................................................... 71

Tabela 4 Frmulas da Valorao das opes A........................................................................... 72

Tabela 5 Frmulas da Valorao das opes B........................................................................... 73

Tabela 6 Frmulas da Valorao das opes C........................................................................... 75

Tabela 7 Frmulas da Valorao de D........................................................................................ 76

Tabela 8 Parmetros MGB para projeo do Preo do minrio de ferro..................................... 78

Tabela 9 Parmetros PRM para projeo do Preo do minrio de ferro..................................... 81Tabela 10 Resultados do teste Dickey-Fuller do logaritmo da srie histrica do Minrio de Ferrorealizados no Software Stata 11................................................................................................... 83


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Equao 1 Processo estocstico que governa a evoluo do preo de um ativo ......................... 26Equao 2 Valor esperado para a apreciao relativa do preo do ativo ..................................... 26Equao 3 Varincia do preo do ativo ....................................................................................... 27Equao 4 Equao do Valor Presente Lquido .......................................................................... 29Equao 5 Equao do custo mdio ponderado de capital .......................................................... 30Equao 6 Modelo CAPM (Capital Asset Price Model) ............................................................. 31Equao 7 Equao de Black e Scholes ...................................................................................... 39Equao 8 Frmula geral multiplicativa binomial de precificao de opes ............................. 42Equao 9 Equao do Movimento Geomtrico Browniano ...................................................... 53Equao 10 Equao da soluo analtica da Equao do Movimento Geomtrico Browniano . 53Equao 11 Equao do Valor esperado da Varivel aleatria do Movimento GeomtricoBrowniano ................................................................................................................................... 53Equao 12 Varincia da Varivel aleatria do Movimento Geomtrico Browniano ................. 53Equao 13 Equao do Processo de Reverso Mdia ............................................................. 54

Equao 14 Equao do Processo de Ornstein-Uhlenbeck ......................................................... 55Equao 15 Equao do Valor do Empreendimento ................................................................... 71Equao 16 Equao do Valor Presente da Opo Sq ................................................................. 72Equao 17 Equao do Valor Presente da Opo A .................................................................. 72Equao 18 Equao do Valor Presente da Opo B .................................................................. 74Equao 19 Equao do Valor Presente da Opo C .................................................................. 75Equao 20 Equao do Valor Presente da Opo D .................................................................. 76Equao 21 Equao com a transformao que descreve o comportamento de P ....................... 79Equao 22 Regresso para estimar os parmetros de reverso mdia .................................... 80Equao 23 Equao para clculo da mdia histrica ................................................................. 80

Equao 24 Equao para clculo da velocidade de reverso mdia ....................................... 81Equao 25 Equao para clculo da volatilidade ....................................................................... 81Equao 26 Equao de xtpara simulao dos valores de preos pelo processo de reverso mdia ........................................................................................................................................... 81Equao 27 Equao do valor esperado da distribuio beta ...................................................... 86


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a incerteza que nos fascina.Tudo maravilhoso entre brumas.

Oscar Wilde


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1. Introduo

1.1.Anlise de Investimento na Indstria de Minerao

A tcnica de avaliao de investimentos mais empregada no mundo corporativo

o fluxo de caixa descontado (FCD). Sua aplicao consiste na identificao de um

cenrio esperado, na estimativa dos fluxos de caixa peridicos e no emprego de uma

taxa de desconto1associada ao risco do projeto para calcular o valor presente do ativo.

Uma caracterstica da tcnica de FCD o fato da mesma considerar que a

empresa ir seguir uma estratgia esttica de operao at o trmino do

empreendimento. Em mercados estveis, onde as previses e os cenrios elaborados

pelos analistas possuem maior probabilidade de acerto e as estratgias estabelecidas na

etapa de planejamento podem ser implementadas como originalmente concebidas, essa

tcnica suporta adequadamente a tomada de decises dos gerentes (AMRAN e

KULATILAKA, 2000). Entretanto, nas ltimas dcadas, os mercados tm se mostrado

altamente volteis, a competio acirrada tem levado as empresas a implantar grandes

projetos, lanar novos produtos ou desenvolver novas tecnologias com uma freqncia

muito maior do que no passado. A tcnica de FCD, por no considerar as incertezas de

mercado e os possveis cursos de ao que a gerncia pode tomar em funo da

1Dois princpios esto por trs da taxa de desconto: primeiro, o princpio do valor do dinheiro no tempo,que diz que um dlar amanh vale menos que um dlar hoje; e o princpio embutido no conflito retorno

versos risco segundo o qual um fluxo de caixa seguro mais valioso que um fluxo de caixa arriscado nomesmo perodo de tempo. A taxa de desconto deve refletir o princpio que investidores requerem retornosmaiores para investimentos mais arriscados (DAMONDARAN, 1997).


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evoluo dos acontecimentos, no gera resultados adequados tomada de deciso de

investimento com as anlises tradicionais, argumentam Amran e Kulatilaka (2000).

Assim, a discrepncia entre os mtodos de avaliao de investimento

tradicionais como o Fluxo de Caixa Descontado (FCD) e a realidade corporativa, aliado

a um ambiente macroeconmico cada vez mais complexo so importantes fatores que

motivam a aplicao de metodologias de anlise de investimento que sejam capazes de

incorporar incertezas e flexibilidades gerenciais. Anlises baseadas simplesmente no

valor presente lquido (VPL) podem levar um tomador de deciso a aes que

impossibilitam a captura de valor de novas oportunidades que poderiam gerar ainda

mais valor e foram ignoradas previamente.

Decises gerenciais que posteriormente se mostram sub-timas podem resultar

em falncia das empresas, especialmente em indstria de capital intensivo como

minerao, siderurgia e petrolferas (TRIGEORGIS, 1996). Este tipo de indstria

necessita de grande volume de capital e longo perodo para implantao de novos

projetos, e est exposta a diversas fontes de incertezas, como, por exemplo, incerteza de

lead time2 de implantao, incerteza da estimativa do volume de investimento

necessrio construo e ainda incerteza sobre os preos das commoditiesque sero

produzidas.

A indstria de minerao de ferro se insere neste contexto. Em sntese, para

implantar um novo empreendimento necessrio um alto investimento. Normalmente, a

implantao de um projeto se inicia com pesquisas geolgicas, seguidas por um trabalho

de engenharia e processo, passando pela construo e em seguida o incio da produo.

Entre a fase de pesquisa geolgica e o incio da produo leva-se em mdia sete anos,

2 Lead time ou tempo de aprovisionamento, em portugus europeu, o perodo entre o incio de umaatividade, produtiva ou no, e o seu trmino. Nesta dissertao, a definio de lead timeest relacionada

com o tempo de implantao de projeto. A definio mais convencional para lead timeem gerenciamentode cadeia de suprimentos o tempo entre o momento de entrada do material at a sua sada do inventrio(LAMBERT et al., 1998)


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podendo chegar a uma dcada. Por todo este perodo o projeto fica exposto oscilao

do valor de investimento para construo e operao da planta, s incertezas do preo da

commodity e de lead time de implantao. Estas caractersticas resultam num longo

perodo entre o investimento e a gerao de caixa, o que pode levar um analista a

concluses equivocadas na avaliao da viabilidade do projeto caso utilize FCD

impossibilitando a captao dos recursos financeiros necessrios e at a inviabilizao

do empreendimento.

A abordagem tradicional do FCD imprpria ao tratar incertezas e capturar a

flexibilidade de se revisar decises na medida em que mais informaes so

naturalmente reveladas (DIXIT e PINDYCK, 1994). O FCD possui premissas que

indicam um horizonte de anlise esttico, onde os gestores possuem uma postura

passiva frente estratgia operacional os gestores no seriam capazes de mudar a

estratgia em caso de alterao das condies macroeconmicas ou surgimento de

oportunidades melhores de captura de valor (TRIGEORGIS, 1996).

Por no considerar as flexibilidades para a reviso das estratgias iniciais, o

mtodo do fluxo de caixa descontado pode subavaliar um projeto, pois as flexibilidades

gerenciais possibilitam capitalizar as oportunidades futuras favorveis empresa e

reagir a eventos adversos. Trigeorgis (1996) afirma que no caso de investimentos reais,

a inadequao bsica do FCD para oramento de capital que esta tcnica no

corretamente captura a flexibilidade para adaptar ou rever as decises posteriormente.

Neste contexto surge a Anlise por Opes Reais (AOR) como uma tcnica que

incorpora as incertezas inerentes a um projeto de investimento. A literatura apresenta

relatos de diversas aplicaes de AOR em projetos de minerao (e.g. (AKBARI e

SHIRAZI, 2009)), pesquisa e desenvolvimento (e.g. (SANTIAGO, 2006); (SANTIAGO

e VAKILI, 2005)), indstria petrolfera (e.g. (DIAS, 2005)), e mercado imobilirio (e.g.


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(JONES e NICKERSON,2002)). Em sntese, esta tcnica considera que o investidor

tem a opo de redirecionar o projeto de investimento por meio de aes gerenciais,

onde cada uma de suas possveis aes possui um custo - mas no possui obrigao de

investir. Esse investimento s pode ser exercido em um perodo especfico de tempo,

porm ser executado apenas se as condies futuras se mostrarem favorveis ao

investimento. Esta abordagem permite que a anlise incorpore as incertezas e a

flexibilidade gerencial.

1.2.

Objetivos do Trabalho

Esta dissertao tem como principal objetivo analisar a valorao da

flexibilidade gerencial de um projeto de minerao de ferro sob a tica de opes reais.

Esta anlise construda atravs da modelagem de incertezas inerentes indstria de

minerao, principalmente motivada pelo contexto macroeconmico afetado pela

entrada da China no mercado transocenico de minrio de ferro.

Os objetivos especficos so:

(i) Analisar e descrever a srie temporal do preo do minrio de ferro,

utilizando testes economtricos. Este objetivo embasa a definio da

modelagem estocstica das incertezas do preo do minrio de ferro no

modelo de valorao por opes reais.

(ii) Considerando que a estrutura de oferta e demanda no mercado de

minrio de ferro alterou profundamente na ltima dcada, investigaremos

se esta mudana suficiente para alterar a modelagem do preo. Em

outras palavras, analisar o que devemos alterar na modelagem estocstica

do preo do minrio de ferro com o aumento de demanda ocasionado


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pela entrada da China no mercado transocenico de minrio de ferro, e

quais os impactos esta alterao proporciona nas premissas clssicas

utilizadas atestadas para uma anlise por Opes Reais para esta

indstria.

(iii) Analisar qual o impacto das incertezas endgenas no modelo. Focamos

principalmente na incerteza de lead timede implantao e avaliamos o

impacto desta incerteza.

(iv) Avaliar, em nosso modelo de Opes Reais, o impacto das incertezas

endgenas modeladas por uma taxa de desconto determinstica.

Investigamos seu impacto utilizando anlise de sensibilidade.

1.3.Indstria de Minerao de Ferro

Embora o ferro seja o quarto elemento em abundncia relativa na crosta

terrestre, por ser um elemento muito reativo, este no encontrado na forma metlica,

ou seja, sem estar ligado quimicamente a outro elemento. Assim, destacam-se

mundialmente como principais minerais-minrios de ferro: a hematita, a limonita, a

magnetita e a siderita. No Brasil, a hematita (Fe2O3) sobressai-se como principal fonte

primria da cadeia de produo da Indstria Siderrgica conforme Departamento

Nacional de Produo Mineral (DNPM, 2007).A histria reconhece que o ferro j era manuseado pelos hititas egpcios e

chineses nos idos 1.500 A.C. No processo evolutivo tecnolgico de uso dos minerais

busca do aumento da resistncia geral dos metais e resistncia corroso, atribui-se a

Henry Bessener (1856) o procedimento para transformar ferro fundido em ao (ferro

com pequeno percentual de carbono), principal fator determinante Revoluo

Industrial.


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O ferro um mineral metlico, conceito o qual est estreitamente associado s

propriedades fsicas (mecnica, trmica e eltrica) e qumicas (resistncia corroso) do

material. A condutividade trmica e eltrica dos metais est ligada mobilidade dos

eltrons nos tomos em sua estrutura cristalina. Assim, os metlicos conduzem bem o

calor e a eletricidade.

Entre todos os metais, o ferro o mais produzido e o que est mais presente em

nossa vida. Inmeros minerais tm ferro como componente essencial, mas somente os

xidos apresentam grandes concentraes. Os principais minerais que contm ferro so:

hematita (Fe2O3), magnetita (Fe3O4), goethita (FeO(OH)) e siderita (FeCO3). As

formaes ferrferas compostas de hematita e slica, denominadas itabiritos, se

constituem nos maiores depsitos de ferro.

Cerca de 99,0% do minrio de ferro produzido no mundo so utilizados na

fabricao de ao e ferro fundido segundo o DNMP (2007). Outras aplicaes so as

indstrias de ferro-ligas e cimento. A produo de minrio de ferro no Brasil se

desenvolve em minas a cu aberto. A lavra em bancadas com desmonte por

explosivos, escavadeiras, carregamento em ps carregadeiras, transporte em caminhes

fora-de-estrada. O beneficiamento consiste de britagem, peneiramento, lavagem,

classificao, concentrao e pelotizao.

O minrio bruto (ROM) aps o beneficiamento gera produtos classificados como

granulados (acima de 6,3mm) e finos (sinterfeed entre 0,15 e 6,3mm e pelletfeed

abaixo de 0,15mm). Os granulados so utilizados diretamente nos altos fornos. Os finos

passam por processos de aglomerao (sinterizao e pelotizao), para posteriormente

serem adicionados nos fornos de reduo. A sinterizao consiste na adio de cal e

finos de coque ao minrio sinterfeed, resultando num produto aglomerado denominado


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sinter. O processo de sinterizao desenvolvido nas usinas siderrgicas. No processo

de pelotizao o minrio pelletfeed recebe a adio de insumos (cal, bentonita e finos de

carvo) e transformado em pelotas nos discos de pelotizao. Aps a sua formao as

pelotas so queimadas nos fornos de endurecimento.

1.4.

Panorama do Mercado de Minrio de Ferro

No incio da dcada atual, o impacto sobre o mercado mundial de minerao de

ferro causado pela crescente demanda chinesa, lastreada por forte crescimento

econmico daquele pas valorizou o minrio de ferro. Este fato, conseqentemente,

resultou em aumentos significativos de preo e margem para as mineradoras. O preo da

commodity aumentou sucessivamente a partir do ano 2000 no mercado internacional, e,

com isso, muitas jazidas e tratamentos de minrio que antes tinham um custo muito

elevado tornaram-se viveis, o que motivou tambm o desenvolvimento de diversos

projetos no mundo.

Este fato culminou numa mudana importante na lgica de precificao do

minrio de ferro. Desde 1980, o preo, que era definido com base anual nos contratos de

longo prazo (preo benchmarkanual) entre os fornecedores e os consumidores (em sua

maioria, siderrgicas do Japo, Coria do Sul e Europa Ocidental que dependem do

mercado transocenico). No sculo XXI, especificamente a partir de 2008, o mercadospot(contratos de compra e venda no vinculada a contratos de longo prazo) passou a

ganhar fora e o preo benchmark anual passou a ser revisado atravs de negociaes

trimestralmente. Esta caracterstica do mercado de precificao naturalmente afeta a

volatilidade do preo do minrio e motivou o desenvolvimento deste trabalho.

No mercado global de minrio de ferro, a China foi responsvel por 96% do

crescimento da demanda de minrio de ferro entre 2000 e 2009, em termos de consumo,


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este pas aumentou em quase 1,1 bilhes de toneladas no perodo, mais do que todo o

mercado mundial em 2000 (CRU ANALISYS, 2009). Da demanda chinesa por minrio

de ferro, 540 milhes de toneladas foram atendidas atravs da importao no mercado

transocenico. Hoje, a China responsvel por 61% do total de importaes de minrio

de ferro consumido no mundo, em comparao com apenas 15% em 2000.

O domnio de uma nao como o principal importador de minrio de ferro levou

mudanas estruturais no mercado: Primeiro, transformou o mercado do Pacfico no

maior mercado mundial de minrio de ferro (anteriormente, antes do ano 2000, o

volume consumido no Pacfico era inferir ao volume consumido na Europa). Isso levou

ao surgimento de um mercado spot, atravs da venda de minrio de ferro da ndia

(especialmente proveniente de Goa) para a China. Esses fatores tm contribudo para

uma mudana fundamental na forma em que o preo do minrio de ferro negociado

atualmente.

Outra particularidade do mercado de minrio de ferro a ausncia de um

mercado futuro organizado em bolsa de valores. Ao contrrio dos minrios como ouro,

cobre, alumnio e zinco, que so commodities negociadas em contratos a futuro, o

minrio de ferro apresenta basicamente duas formas de negociao entre os

fornecedores e consumidores: preo de referncia, que atualmente passou de anual para

trimestral e o preo spot, o qual surgiu recentemente e j responde por uma parcela3

importante dos negcios das grandes mineradoras (CRU ANALISYS, 2009).

1.5.

Estrutura da Dissertao

3A proporo de vendas de minrio de ferro pelo preo de referncia e preospotno so divulgadas

pelas mineradoras.


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21

O trabalho encontra-se dividido em 6 captulos. O primeiro contm as

justificativas, os objetivos e a contextualizao as quais levaram a realizao do mesmo.

Alm da organizao de toda a dissertao, no primeiro captulo discutimos o panorama

geral da indstria de minerao de ferro.

No segundo captulo, apresentamos a reviso bibliogrfica ressaltando os

principais conceitos relacionados aplicao de anlises por opes reais. Iniciamos

com a definio de flexibilidade gerencial, em seguida, definimos retorno, incerteza e

risco. A partir da, apresentamos o comparativo entre as tcnicas clssicas de valorao

de investimentos e opes reais. Definimos ento opes financeiras, e sua valorao.

Em seguida, explicamos a analogia entre a valorao de opes financeiras e opes

reais. Definimos opes reais e apresentamos diversas aplicaes na literatura. Ainda na

reviso bibliogrfica apresentamos as metodologias que normalmente esto relacionadas

aplicao de anlises por opes reais: Simulao de Monte Carlo, Processos

Estocsticos e testes economtricos em sries temporais.

No captulo terceiro descrevemos o estudo de caso construdo para ilustrar a

anlise por opes reais. Definimos o problema, apresentamos as decises gerenciais,

definimos os cenrios a serem analisados e os dados de entrada.

No quarto captulo apresentamos os resultados do modelo implementado no

estudo de caso. Apresentamos os resultados da modelagem do minrio e do lead time de

implantao. Alm disso, discutimos os resultados de cada cenrio modelado.

No captulo cinco efetuamos uma anlise comparativa entre os cenrios com o

objetivo de mensurar o efeito e o comportamento das variveis de entrada do modelo

em nossa anlise.


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22

No sexto captulo apresentamos as concluses de nossa anlise. Discutimos as

limitaes da abordagem e sugerimos temas a serem desenvolvidos em trabalhos

futuros.

2. Reviso Bibliogrfica

2.1.

Definio de Flexibilidade Gerencial

A flexibilidade gerencial definida por Aggarwal (1997) como sendo a

habilidade para mudar decises estratgicas em resposta s mudanas exgenas e

endgenas do ambiente competitivo4. Ela pode propiciar s empresas a capacidade de

reverter, modificar ou alterar decises feitas em perodos anteriores, oferecendo uma

maior capacidade de resposta a uma variedade de possveis resultados oriundos da

incerteza do mercado (KULATILAKA e MARKS, 1988).

Em outras palavras, Trigeorgis (1996) define a flexibilidade gerencial como a

capacidade que permite o gestor tomar decises ao longo da vida do projeto de acordo

com as necessidades que surgem, como, por exemplo, postergar o investimento.

O conceito de flexibilidade gerencial foi crucial para que a AOR se tornasse uma

ferramenta importante, uma vez que a flexibilidade possibilita ao gestor rever a

estratgia inicial tendo condies de alterar o plano de investimento, de forma que as

perdas sejam minimizadas e os retornos esperados maximizados.

4 Conforme Amram e Kulatilaka (1999), as incertezas endgenas so aquelas associadas aos riscos

privados do negcio (i.e. incerteza tcnica, incerteza de custo de produo e investimento). Ao contrrio,as incertezas exgenas esto relacionadas ao risco de mercado (i.e. incerteza de preo da commoditie,incerteza de taxa de cmbio).


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23

Segundo Copeland e Antikarov (2002), o valor da flexibilidade gerencial

demonstrado na figura 1:

Figura 1 Diferencial da abordagem por Opes

Fonte: Adaptado de Copeland e Antikarov (2002)

A existncia da flexibilidade gerencial em projetos de investimento consiste na

possibilidade que os gestores possuem em adaptar suas futuras aes em resposta s

futuras alteraes do mercado e de informaes internas do negcio. Isto proporciona

um aumento do valor da oportunidade do investimento pela melhoria do potencial de

ganhos, enquanto limita as perdas s expectativas iniciais da administrao sob uma

gerncia passiva. Segundo Trigeorgis (1996), a assimetria resultante criada pela

adaptabilidade requer uma regra para um VPL expandido que reflita os dois valores

componentes: o VPL tradicional (esttico ou passivo) e o valor da opo de operao e

adaptabilidade estratgica (ver Figura 2). Desta forma tem-se:

VPL expandido = VPL tradicional + Valor flexibilidade gerencial


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A Figura 2 ilustra a assimetria causada pela flexibilidade gerencial sobre a

distribuio dos resultados. A distribuio em pontilhado referente a avaliao sem

considerar a flexibilidade gerencial. J a distribuio em negrito refere-se avaliao

considerando a flexibilidade gerencial. Nota-se que a flexibilidade gerencial modifica a

curva de distribuio, aumentando o valor esperado deste projeto. O grfico da figura 2

uma forma de ilustrar a mudana de posio do cone da incerteza.

Figura 2 Prmio da Flexibilidade Gerencial

Fonte: Adaptado de Trigeorgis (1996)

Em outras palavras, a flexibilidade gerencial permite tomar aes em resposta a

mudanas de mercado ou a iniciativas de concorrentes. Podem-se aproveitar condies

ambientais favorveis e elevar o valor presente dos fluxos de caixa esperados do

projeto, por meio de uma expanso, por exemplo. Em condies desfavorveis, podem-

se limitar possveis perdas tomando aes como a reduo de escala, a interrupo ou o

abandono do projeto. Essa flexibilidade gerencial, que se assemelha a uma opo

financeira, introduz uma assimetria na distribuio de probabilidades do valor presente

Prmio da

Flexibilidade

Gerencial


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25

lquido (VPL) de um empreendimento. Desta forma, pode-se dizer que um projeto

possui um valor expandido que corresponde soma do valor da opo a seu VPL

esttico (TRIGEORGIS e MASON, 2001).

A AOR leva a valores substancialmente diferentes dos gerados pelas tcnicas de

FCD quando 3 fatores se combinam Copeland e Antikarov (2002):

1. Incerteza elevada: quando a incerteza baixa, a probabilidade de ocorrncia

de cenrios distintos do previsto pequena, logo no haver necessidade de se lanar

mo da flexibilidade gerencial.

2. Existncia de flexibilidade gerencial: se no h alternativas de ao a serem

tomadas na ocorrncia de condies diferentes das previstas inicialmente, no haver

opes que possam aumentar o valor do projeto.

3. VPL do projeto prximo de zero: se o valor presente do projeto for muito

negativo, a flexibilidade provavelmente no ser suficiente para viabilizar o projeto. Em

casos de VPL altamente positivos, o projeto aprovado mesmo sem a incorporao de

opes na anlise.

2.2.Definio de Retorno, Incerteza e Risco

Quando tratamos de anlise de investimento, precisamos entender trs conceitos

chaves: retorno, incerteza e risco (DAMONDARAN, 1997). Retorno pode ser entendido

como a apreciao de capital ao final do horizonte de investimento. Existem incertezas

associadas ao retorno que efetivamente ser obtido ao final do perodo de investimento.

Qualquer medida numrica desta incerteza pode ser chamada de risco.

O ambiente em que as decises de investimento so tomadas caracterizado

pela existncia de risco e incerteza. Segundo Trigeorgis (1996), a incerteza


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26

tipicamente solucionada com o passar dos perodos, uma vez que o futuro incerto se

transforma em presente, e o fluxo de caixa previsto (quando os fluxos no so

contratualmente garantidos) imperfeito e sujeito a erro.

Por exemplo, denotemos por o processo estocstico que governa aevoluo do preo de um ativo. Suponhamos que a equao diferencial estocstica que

rege a dinmica deste processo (para uma aproximao em um intervalo de tempo )

E 1

Onde e so parmetros, e segue uma distribuio Normal padro (aqui,apenas como exemplo, pois outras distribuies podem reger a parte estocstica). O

valor esperado para a apreciao relativa do preo do ativo :

E 2

Ou seja, espera-se uma apreciao relativa de (por unidade de tempo) para opreo do ativo sob anlise. Entretanto, no se pode ter certeza hoje de qual ser o preo

unidades de tempo adiante. Assim, existe uma incerteza associada a quanto o ativo

ter apreciado ao final do intervalo de tempo . Sob incerteza, uma varivel futura no um valor nico, mas definido pela distribuio de probabilidade de ocorrncia de seus

valores. Se calcularmos a varincia para a variao relativa do preo do referido ativo

obteremos:


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E 3

Vemos que enquanto o parmetro est relacionado com o retorno esperado doativo, o parmetro est relacionado com a incerteza associada variao do preo doativo. No caso particular da equao diferencial estocstica apresentada, o parmetro chamado de volatilidade do preo do ativo considerado, sendo comumente usado

como uma medida de risco.

Alm do preo do ativo, existem diversas fontes de incerteza que podem sermodeladas na anlise de projetos. Por exemplo, a incerteza quanto ao lead timepara o

start-up das operaes; incerteza quanto s projees de custos operacionais; incerteza

relativa ao valor do investimento.

O risco do ttulo (ou ativo) consiste de dois componentes risco diversificvel e

no-diversificvel. Ross, Westerfield e Jaffe (2005) afirmam que o risco diversificvel,

s vezes chamado de risco no-sistmico, representa a parcela do risco de um ativo que

pode ser eliminada pela diversificao (i.e., investimento em outros ativos). Este resulta

da ocorrncia de eventos randmicos, tais como greves, processos, aes reguladoras,

perda de cliente especial e assim por diante. Os eventos que levam as firmas a

enfrentarem riscos diversificveis variam de empresa para empresa e so, portanto,

especficos de cada empresa.

O risco no-diversificvel, tambm chamado risco sistmico, atribudo as

foras que afetam o mercado como um todo. Por exemplo, fatores como guerra,

inflao, incidentes internacionais, eventos polticos, fazem parte do risco no

diversificvel. Este risco pode ser avaliado em relao ao risco de uma carteira

diversificada de todos os ativos comumente chamados de carteira do mercado ou o

mercado.


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2.3.Anlise de Investimento: Comparao entre a abordagem da

Teoria Clssica e a Anlise por Opes Reais

Dixit e Pindyck (1994) citam que a maioria das decises de investimentos possui

trs importantes caractersticas que se interagem para determinar a deciso tima de

investimento. Primeiro, a irreversibilidade: um investimento parcialmente ou

completamente irreversvel, ou seja, o custo inicial do investimento pelo menos

parcialmente perdido e no pode ser recuperado totalmente caso haja mudana de idia.

A segunda a incerteza: existem incertezas sobre futuros retornos pelo investimento.

Portanto, o melhor que pode ser feito avaliar as possibilidades de diferentes

resultados, os quais significam maiores ou menores retornos e at mesmo, perda parcial

ou total do investimento. E por ltimo, o momento de investir: existe alguma

flexibilidade em relao ao tempo do investimento? Pode-se adiar a ao at obter mais

informaes que subsidiem a tomada de deciso?

Mun (2006) ressalta o valor da abordagem de opes reais, pois a mesma

incorpora a capacidade de aprendizagem dos gestores, a qual os mesmos so capazes de

efetuarem melhores decises estratgicas uma vez que os nveis de incerteza so

resolvidos atravs da passagem do tempo. A anlise do fluxo de caixa descontado

pressupe uma deciso de investimento esttica, e assume que as decises estratgicas

so feitas inicialmente com nenhum recurso para escolher outros caminhos ou opes

no futuro.

Luehrman (1997) argumenta que a maioria das empresas executa valorao de

projetos e de ativos atravs de fluxo de caixa descontado seguindo a seguinte

abordagem. Primeiro, so projetados os itens que compem os fluxos de caixa anuais,


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como, por exemplo, receitas, custos, despesas, capital de giro, impostos e investimentos.

Porm, os analistas excluem os fluxos de caixa associados aos programas de

financiamento da empresa. Em seguida, a taxa de desconto em que este fluxo de caixa

ser descontando ajustada pelos custos financeiros: neste ponto so incorporados tanto

os impactos positivos quanto os negativos provenientes da estratgia de financiamento.

Ainda segundo Luehrman (1997), a metodologia do custo mdio ponderado de

capital (CMPC5) o mtodo mais comum de determinao de taxa de desconto. O

CMPC taxa de desconto que ajusta a ganho fiscal referente ao pagamento de juros das

fontes de financiamento da empresa. A aplicao do mtodo simples, porm, esta

facilidade possui um custo para a qualidade da anlise: a aplicao do CMPC s

efetiva para as estruturas financeiras mais simples e estticas existentes, o que diverge

da realidade corporativa.

Basicamente, a anlise pelo fluxo de caixa descontado tradicional se d pela

equao:

Valor Presente = E 4 E

Onde,

representa o fluxo de caixa esperado para o perodo tK representa a taxa de desconto que o fluxo ser descontado (i.e, WACC)

t representa o perodo

N representa o nmero de perodos

5A sigla em ingls para CMPC WACC(Weighted Average Cost of Capital). O termo em ingls citado

em diversas passagens desta dissertao.


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Figura 3 Diferena entre a Abordagem Tradicional e a Abordagem por Opes Reais

Fonte: Adaptado de Luherman (1997)

Segundo Copeland e Antikarov (2002), o custo mdio ponderado do capital a

mdia ponderada dos custos marginais do capital aps o desconto dos impostos que

incidem sobre o mesmo, e pode ser resumido pela frmula:

E 5 E

onde o custo do capital prprio, custo de capital de terceiros, capitalprprio, Kt capital de terceiros e ir o imposto de renda. Para calcular o custo de

capital prprio , utilizamos o modelo CAPM (Capital Asset Price Model),desenvolvido por Sharpe (1964):

B

B

B

A :

A :

,

,

.

.

,

.

.


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E 6 CA (C A )

Onde

a taxa livre de risco, o risco sistmico do ativo que corresponda

ao risco do capital prprio e o retorno esperado da carteira de mercado.Segundo Damondaran (1997), o CAPM mede o risco em termos de varincia

no-diversificvel e relaciona os retornos esperados a essa medida de risco. O risco no-

diversificvel medido pelo , que uma medida de volatilidade das taxas de retorno

do ativo analisado em relao s taxas de retorno do mercado como um todo.

A utilizao de Anlise de Sensibilidade e de Cenrios, de Simulao de Monte

Carlo e de rvores de Deciso buscou contornar as restries da anlise de FCD.

Entretanto elas tambm apresentavam suas limitaes. A Anlise de Sensibilidade, a

Anlise de Cenrios e a Simulao de Monte Carlo pura buscam incorporar a incerteza

no modelo de anlise, mas no consideram a flexibilidade gerencial, isto , a

possibilidade de tomar aes corretivas ao longo do projeto. J as rvores de Deciso

falham ao utilizar a mesma taxa de desconto para trazer a valor presente fluxos de caixa

gerados por cursos de ao que apresentam riscos distintos. A utilizao de taxas de

desconto diferentes para cada ramo da rvore de Deciso torna extremamente complexa

sua utilizao conforme Copeland e Antikarov (2002).

2.4.Opes Financeiras

A teoria das opes financeiras fundamenta os conceitos da teoria das opes

reais. Conforme Minardi (2004), uma opo o direito de comprar ou vender uma

quantidade especfica de um bem ou ativo por um preo fixo em uma determinada data

prefixada ou at esta data. O fato de ser um direito e no uma obrigao gera uma


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assimetria benfica ao proprietrio da opo, j que o exerccio somente ser feito no

caso da oscilao no preo do ativo objeto ser favorvel ao seu detentor.

O preo fixo para a compra ou venda do ativo objeto chamado de preo deexerccio. A data prefixada para o exerccio da opo conhecida como data de

expirao, data de vencimento, ou maturidade da opo.

H dois tipos de opo (Minardi (2004); Hull (2005)):

(i) Opes de compra (call): do a seu detentor o direito de comprar uma

quantidade pr-determinada de um ativo por um preo especificado em contrato (preode exerccio) definido em (ou antes de) uma data de exerccio estipulada (data de

vencimento ou de maturidade da opo). O ativo objeto pode ser uma ao de

determinada firma, um contrato futuro sobre outro ativo ou uma commodity, entre

outros.

(ii) Opes de venda (put): do a seu detentor o direito de vender uma

quantidade predeterminada de um ativo por um preo de exerccio em (ou antes da) data

de maturidade.

A opo de compra pode ser interpretada por sua analogia com uma

oportunidade de investimento. J a opo de venda pode ser entendida como um seguro,

pois o detentor da opo, que tambm detm a ao, limita as suas perdas. Assim, caso

o valor da ao caia, pode-se exercer a opo e vender a ao por um preo pr-

determinado como o mnimo adequado.

Quanto data de exerccio, as opes podem ser classificadas em:

(i)Opes Americanas: podem ser exercidas a qualquer momento at a data de

vencimento.

(ii)Opes Europias: s podem ser exercidas na data de vencimento.


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O investidor pode assumir duas posies ao negociar opes:

(i) Posio comprada (long): o investidor adquire uma opo, obtendo o direito,

mas no a obrigao de exerc-la na (ou antes da) data de vencimento.

(ii) Posio vendida (short): o investidor emite (vende) uma opo, recebendo

uma quantia na venda, mas assume a obrigao potencial futura de comprar (ou vender)

o ativo pelo preo de exerccio, se o comprador desejar exercer a opo.

Os resultados financeiros das duas partes de um contrato de opo so

diametralmente opostos. Se o comprador tem resultado positivo, o vendedor tem perdas

e vice-versa. O quadro abaixo apresenta as quatro posies bsicas em opes e o

retorno (payoff) para exerccio imediato, que funo do preo do ativo (St) e do preo

de exerccio da opo (X).

Posio Payoff(Retorno) Grfico doPayoff

Compra de opo decompra

(Long in a call)Max (St X, 0)

Compra de opo devenda

(Long in a put)Max (X St, 0)


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Posio Payoff(Retorno) Grfico doPayoff

Venda de opo de

compra(Short in a call)

Max (St X, 0) =

Min (X St, 0)

Venda de opo devenda

(Short in a put)

Max (X St, 0) =Min (St X, 0)

Tabela 1 Posies bsicas em Opes Financeiras

Fonte: adaptado de Hull ( 2005)

O ndice t da varivel Stdenota que o valor do ativo varia com o tempo, ao passo

que o preo de exerccio (X) constante. Os grficos mostram a variao do retorno em

face de variaes no valor do ativo-objeto, sem considerar os custos de comercializao.

A relao entre o valor do ativo (St) e o preo de exerccio (X) pode levar uma opo a

trs situaes em termos de gerao de Caixa.

Conforme Trigeorgis (1996), a figura 4 apresenta o formato caracterstico da

curva de valor de uma opo de compra (C), em uma data qualquer menor ou igual

data de vencimento, que uma funo do preo do ativo-objeto (S) na data especfica,

do tempo para a maturidade () e do preo de exerccio (X). So apresentados, tambm,os limites para o valor da opo. O limite superior dado pelo preo do ativo-objeto

(S), que alcanado quando . Como o investidor no obrigado a exercer aopo, o limite inferior o valor intrnseco da opo dado por Max (S-X,0). A curva de

valor da opo se situa acima da reta S-X devido ao valor tempo.


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Figura 4 Relao entre o valor da opo de compra e o preo do ativo-objeto


2.5.Precificao de Opes Financeiras

2.5.1 Portflio equivalente: ambiente neutro ao risco

Black e Scholes (1973) identificaram a possibilidade de construir um portfolio

que gere o mesmo retorno que uma opo em qualquer estado, denominado portfolio

equivalente. Se os retornos so os mesmos, o valor da opo deve ser igual ao valor do

portflio equivalente, que conhecido. Esse portflio composto de N aes de um

ativo-objeto e de um emprstimo de uma quantia $B remunerado taxa livre de risco.

Trigeorgis (1996) apresenta o seguinte exemplo para ilustrar o mecanismo de

precificao de opes: Suponhamos que o preo de uma ao seja $100 e que, no

prximo perodo, possa valer $180 com probabilidade q ou $60 com probabilidade 1-q.

O preo de exerccio (X) $112 e a taxa livre de risco (r) 8%. As representaes


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grficas dos estados atual e futuro da ao e do valor da opo na data de vencimento

so:

A compra de uma opo equivalente ao investimento na compra de um

determinado nmero de aes (N), com uma parte da quantia tomada emprestada (a ser

paga no prximo perodo). No pior cenrio, com a venda das aes pelo seu valor

mnimo, obtm-se um ganho nulo, exatamente como no investimento na opo. Caso

contrrio, se a ao se valorizar, o emprstimo ser pago e haver um lucro na operao.Se esse lucro for igual ao ganho proporcionado pelo investimento na opo, o retorno da

carteira ser igual ao da opo, possibilitando determinar o valor atual (C) da opo.

Sendo N a quantidade de aes a serem compradas, a representao da carteira referente

aos estados atual e futuro da carteira seria:

= 100

1

= 180

= 60

1

= ( ,0) = 68

+

+ +

= ( ,0) = 0


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37

Sendo S o preo atual da ao, N o nmero de aes e r a taxa de juros a ser paga sobre

o emprstimo de B. Como o portflio deve gerar o mesmo retorno que a opo, temos:

Resolvendo o sistema com duas equaes, tem-se:

O nmero de aes do ativo-objeto (N) que necessrio comprar para criar o

portflio equivalente denominado taxa de hedge da opo e obtido dividindo o

spread de preo da opo pelo spread de preo da ao. Substituindo N e B na equao

C = NS-B, temos:

Intuitivamente, a equao C = NS-B pode ser rearranjada para NS-C = B. Isto ,

criando-se um portflio composto por N aes do ativo-objeto e da venda de uma opo

B

1

(1+) B+ +

(1+) B


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de compra, gera-se um retorno de (1+r)B no perodo seguinte, independente de haver

um aumento ou uma reduo no preo do ativo.

Dessa forma, se o preo da ao for mnimo, ganha-se na venda da opo de

compra. Se for mximo, perde-se na venda da opo. Os resultados opostos da venda da

opo de compra e de deteno da ao geram uma situao de risco nulo. Isto permite

que a taxa de juros usada para o clculo do valor da opo seja a taxa livre de risco, cujo

proxy a taxa paga por ttulos pblicos de longo prazo. Ao se construir um hedge para o

investimento, pode-se calcular o valor da opo assumindo que estamos em um mundo

livre de risco. Sendo o retorno do ativo dado por u e d calculado:

Existe um nmero p que, se utilizado para ponderar os retornos do ativo, gera um

retorno igual taxa livre de risco.

p denominado probabilidade neutra ao risco, embora no seja realmente uma medida

de probabilidade. No exemplo acima, a probabilidade neutra ao risco calculada por:

= B

1

=(1+) B+

(1+) B

+

0,56 (100) 25,19 = 31,48

0,56 (180) 68 = 34

0,56 (60) 0 = 34


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39

Assim, ponderando-se o retorno da opo em funo de p, o retorno esperado da

opo deve ser igual taxa livre de risco:

Uma opo de venda pode ser precificada de maneira semelhante, alterando-se o

portflio equivalente para a venda de N aes do ativo-objeto e a tomada de um

emprstimo de $B taxa livre de risco.

2.5.2 Equao de Black & Scholes e rvore Binomial

Em 1973, Fischer Black e Miron Scholes, utilizando o conceito de portflio

equivalente, desenvolveram um modelo para precificao de opes europias sobre um

ativo que no distribui dividendos. Nesse modelo, o preo da ao segue um processo

estocstico denominado Movimento Browniano Geomtrico. A equao de Black e

Scholes (1973) para a opo de compra dada por:

E 7 E B

Onde:


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N(dn) representa a

dn. Scorresponde ao preo

rcorresponde taxa livre

ativo e t o tempo at a dat

Posteriormente, Co

o processo estocstico de

substitudo por um de tem

aleatrio (random walk),

infinito, aproxima-se da sol

denominado rvore Binom

De acordo com o c

multiplicado por um fator

probabilidade 1-q. Esse mo

Os fatores u e d rep

retorno do ativo, sendo d

Conforme Trigeorgis (199

infinito, entre o processo bi

e ddevem ser:

40

robabilidade de uma varivel aleatria ser

atual do ativo,X corresponde ao preo de ex

e risco anual, 2 representa a varincia anu

a de exerccio.

, Ross e Rubinstein (1979) desenvolveram

tempo contnuo (Movimento Browniano

o discreto, o processo binomial multiplica

que, no limite, quando o nmero de inte

uo dada pela equao de Black & Schole

ial.

minho aleatrio, o preo do ativo (S) pode

u, para uS, com probabilidade q ou reduz

vimento pode ser representado graficamente

esentam a taxa logartmica (ou continuame

= 1/u. Para evitar arbitragem sem risco,

), para que haja convergncia, no limite, qu

nomial discreto e o Movimento Browniano,

enor ou igual

erccio do ativo,

al do retorno do

m modelo onde

Geomtrico)

ivo ou caminho

valos tende ao

. Esse modelo

aumentar, sendo

r para dS, com

por:

te composta) de

> 1 + r > d.

ando n tende ao

os parmetros u


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41

Onde: o desvio-padro do retorno do ativo,

t o incremento de tempo.

Substituindo u e d nas equaes de clculo do nmero de aes e do valor de

emprstimo do portflio equivalente, tem-se:

A probabilidade neutra ao risco, p, dada por:

O valor da opo dado por:

Estendendo-se o modelo de um perodo para mltiplos perodos (n), temos a

frmula geral multiplicativa binomial de precificao de opes Cox, Ross e Rubinstein

(1979).


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42

E 8 F

Conforme Trigeorgis (1996), a primeira parte da equao a frmula da

distribuio binomial, que fornece a probabilidade do preo do ativo dar j saltos para

cima em n passos, com probabilidade neutra ao risco p. O termo de maximizao da

equao fornece o valor da opo na data de expirao condicionada ocorrncia de j

saltos para cima segundo o fator u e n-j movimentos descendentes de acordo com o

fator d. O somatrio de todos os possveis valores da opo na data de vencimento

multiplicados pela probabilidade de ocorrncia nos d o valor na data final, que

descontado taxa livre de risco por n perodos.

As opes americanas so em geral resolvidas numericamente ou usando

aproximaes analticas. Em alguns casos, o valor da opo europia usado como um

dos parmetros para avaliar a opo americana atravs de relaes do tipo:

Opo Americana = Opo Europia + Prmio de Exerccio Antecipado.

A avaliao de opes americanas requer a determinao de uma poltica tima de

investimento, ou seja, deve-se determinar a partir de qual valor do preo do ativo objeto

a opo deve ser exercida, de modo a maximizar o valor presente de sua remunerao.

Para a teoria das opes reais, a determinao desta poltica o fator central, j que

pode estar sendo determinado o melhor momento para se investir em um projeto.


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2.6.Definio de Opes Reais

Em uma definio restrita, a abordagem de avaliao atravs de opes reais

uma extenso da teoria das opes financeiras, aplicada avaliao de ativos reais, ou

"no-financeiros", tais como investimentos em novas plantas, em pesquisa e

desenvolvimento ou expanso da capacidade produtiva, conforme Mun (2006). Assim,

enquanto as opes financeiras so detalhadas atravs de contratos, as opes reais

esto embutidas em investimentos estratgicos, e por este motivo, necessitam de um

cuidadoso trabalho de anlise para serem corretamente identificadas e especificadas.

Opes Reais vem sendo considerado nas duas ltimas dcadas como o novo

paradigma para a anlise econmica de projetos. O termo real options (expresso em

ingls para opes reais) foi cunhado pelo professor Stewart C. Myers do MIT em 1977,

quatro anos aps a publicao do artigo de Black & Scholes (1973). Myers (1977)

caracterizou as oportunidades de investimento das firmas em ativos reais (e.g. projetos

de investimento) como sendo anlogas a opes de compra sobre esses ativos.

Assim, a teoria das Opes Reais reconhece e valoriza o fato de que as firmas tm o

direito, mas no a obrigao, de investir D em um projeto que vale V.

Conforme Copeland e Antikarov (2002), a anlise de investimento num projeto

pela teoria da opes fornece basicamente dois resultados: o valor da oportunidade de

investimento (ou da opo de investimento) e a regra de deciso, atravs do valor

crtico ou de gatilho da varivel estocstica (preo do minrio, por exemplo) a partir

do qual deve-se realizar o investimento.

No caso do valor da oportunidade de investimento, esse sempre maior ou igual

ao VPL, j que pode incluir opes gerenciais embutidas no projeto, que no foram

includas no VPL tradicional. No livro-texto de Van Horne (1992) a questo colocada


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44

na forma de uma equao: Valor do Projeto = VPL + Valor da Opo. Tambm

Trigeorgis (1996) se expressa de forma anloga: VPL expandido (estratgico) = VPL

esttico (passivo) dos fluxos de caixa + valor das opes da gesto ativa. A idia a

mesma: necessrio adicionar o valor da opo (ou das opes) seno se subavaliar o

valor da oportunidade do investimento.

Esta basicamente a razo pela qual o FCD subestima (ou subavalia) os

investimentos. Por exemplo, quando se considera apenas o valor da opo de espera

(timing) o valor da oportunidade de investimento igual ao VPL tradicional (se

positivo ou, em caso contrrio, zero) mais o valor da opo de espera. Quando se tem

duas ou mais opes geralmente elas no so aditivas devido s interaes entre as

opes.

Quando o foco da anlise a regra de deciso, o valor crtico ou de gatilho

da varivel estocstica o indicador que define a ao gerencial. No exemplo do preo

do minrio, esse o valor mnimo necessrio para que seja timo o investimento. Como

afirma Mun (2006), o preo crtico sempre maior do que o custo unitrio de produo

ou break-even price (valor no qual o VPL seria igual a zero), usado na anlise do

FCD.

O ferramental da Teoria de Opes Reais permite uma anlise mais profunda de

investimentos, procurando associar, ao valor total de uma operao, suas diversas

opes embutidas de tomada de deciso, as quais agregam grande valor a um

investimento por possibilitar a reduo de riscos frente s condies de incerteza do

mercado (DIXIT e PINDYCK, 1994).

A AOR consiste na aplicao dos conceitos e tcnicas utilizados na precificao

de opes financeiras para avaliar investimentos em ativos reais como projetos e

empresas. Traando um paralelo entre o investimento em um projeto e uma opo


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financeira, pode-se dizer q

de exerccio o investim

paralelo entre opes finan

Figura 5 Quadro comparativo - di

Fonte: Adaptado de Leslie e Mich

Do mesmo modo qusando tcnicas de anli

considerados neutros ao ris

carteira dinmica, neutra

ferramentas do clculo est

ser resolvida analiticamen

limitado, pois medida qu

complexas, o processo de

intratvel algebricamente.

Tcnicas de trata

Programao Dinmica Es

Simulao Monte Carlo n

45

e o projeto corresponde a uma opo de co

ento necessrio para realiz-lo. A figura

eiras e opes reais.

enses das Opes Financeiras X Opes Reais

els (1997)

e uma opo financeira, uma opo real pse de direitos contingenciais. Se os inv

co, ento o valor da opo pode ser obtido

ao risco, que replica o valor do ativo

cstico, obtm-se uma equao diferencial

e ou atravs de mtodos numricos. Este

as incertezas sobre as variveis subjacentes

avaliao pode tornar-se oneroso comput

ento de incerteza, como Simulao de

tocstica, podem ser utilizadas para a avali

rmalmente utilizada para avaliao de o

pra cujo preo

5 apresenta um

de ser avaliadaestidores forem

ontando-se uma

real. Utilizando

arcial que pode

todo muito

tornam-se mais

cionalmente ou

Monte Carlo e

ao de opes.

es Europias,


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46

devido caracterstica de prazo determinada que esses ttulos derivativos possuem. J

Programao Dinmica Estocstica utilizada para avaliar opes americanas, j que as

mesmas devem ser avaliadas com um algoritmo capaz de avaliar um ativo cuja data de

expirao no fixa no tempo. A combinao da simulao de Monte Carlo e a

Programao Dinmica Estocstica permite desenvolver mtodos para avaliao de

opes americanas, conforme os trabalhos de Grant et al. (1997), Ibes e Zapatero

(1999) e Longstaff e Schwartz (2001).

As limitaes da anlise por opes reais sero detalhadas na seo 2.8.

2.7.Tipos de Opes Reais

Traduzir as flexibilidades gerenciais existentes em termos da terminologia de

opes financeiras uma capacidade que o analista deve desenvolver. Isto facilita a

anlise do investimento e o dilogo com investidores. Deve-se selecionar o tipo de

opo financeira (call,put, americana, europia) e as variveis utilizadas na precificao

de opes (ativo-objeto, preo de exerccio, tempo de maturidade, volatilidade, etc)

devem ser identificadas, quantificadas e modeladas. A literatura apresenta uma relao

extensa de aplicaes de opes reais e analogias com as opes financeiras. Conforme

Trigeorgis (1996), os tipos mais comuns esto sintetizados na tabela 2.

Categoria DescrioAplicaes importantesem

Opo de diferimento

Uma empresa detm o direito sobreterrenos, recursos naturais ou outroativo de valor e pode aguardaralgum tempo para verificar se ascondies de mercado tornamvivel a implementao doempreendimento (um imvel, umafbrica, uma mina ou estao de

extrao de petrleo, por exemplo).

Indstrias de extrao derecursos naturais,empreendimentosimobilirios, agropecuriae produo de papel ecelulose.


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Opo deinvestimento emestgios (time to

build)

O investimento realizado em

estgios, formando uma srie dedesembolsos. Tem-se a opo deabandono caso novas informaessejam desfavorveis.

Indstrias intensivas emP&D, especialmente asfarmacuticas; projetos de

longo prazo e intensivosem capital (construo degrande porte ou usinas degerao e energia);investimentos em start-ups.

Opo de alteraoda escala de operao(expanso, contrao,

fechamento ereabertura)

Expanso da produo ouacelerao do uso de recursos emcondies de mercado favorveis.Reduo da escala em condies

desfavorveis. Em casos extremos,interrupo e retomada da

produo.

Indstrias de recursosnaturais (ex: minerao),

planejamento econstruo de fbricas emindstrias cclicas, setor

de moda, setor de bens deconsumo,empreendimentosimobilirios comerciais.

Opo de abandono

Abandono do empreendimento,com venda dos ativos no mercadode segunda mo, quando ascondies de mercado sedeterioram significativamente.

Indstrias de capitalintensivo (ex:empresasareas, ferrovias),servios financeiros,introduo de novos

produtos em mercadosincertos.

Opo de Troca

Possibilidade de alterao do mixde produtos em funo devariaes de preo e demanda(flexibilidade de produto) ou

possibilidade de alterao de

insumos em funo de variaesde preo (flexibilidade deprocesso).

Alterao de produtos:bens produzidos empequenos lotes ou sujeitosa demanda voltil (ex:equipamentos eletrnicosde consumo, brinquedos,

papis especiais, peas demaquinrio, automveis).Alterao de insumos:fbricas dependentes de

matrias-primas de preosvolteis que possuemsubstitutos (energiaeltrica, qumica,

produtos agrcolas).Fbricas comfornecedores alternativos

para o mesmo insumo.


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Opes de Expanso

Quando um investimento (ex:P&D, aquisio de direito deexplorao de reservas de petrleo,

sistemas de informao) pr-requisito ou faz parte de umacadeia de projetos inter-relacionados e abre oportunidadesde crescimento futuro (ex: novos

produtos ou processos, reservas depetrleo, acesso a novos mercados,fortalecimento de competnciasessenciais).

Indstrias de infra-estrutura ou de altatecnologia, P&D(indstrias que gerammltiplos produtos ouaplicaes a partir de umalinha de pesquisa),operaes multinacionais,fuses e aquisies.

Opes cominteraes mltiplas

Opes de alavancagem emcondies favorveis e de proteo

em condies adversas estopresentes em conjunto. O valor doconjunto de opes pode diferir dasoma dos valores isolados devido interao entre elas.

Projetos reais na maioriadas indstrias

Tabela 2 Categorias Comuns de Opes Reais


2.8.

Limitaes da analogia entre opes reais e opes financeiras

Algumas propriedades das opes financeiras no so observadas no caso de

opes reais. Miller e Park (2002) apresentaram uma anlise dessas diferenas.

Primeiro, na anlise de opes financeiras que tm como ativo-objeto uma ao

e, em geral, o retorno desta ao modelado como um movimento browniano

geomtrico. Entretanto, o retorno de ativos reais pode apresentar comportamento mais

complexo, exigindo a adoo de processos estocsticos alternativos para cada fonte de

incerteza a ser modelada.

Outra limitao da analogia diz respeito ao ativo-objeto: uma das premissas da

precificao de opes financeiras a possibilidade de negociar o ativo-objeto em um


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mercado eficiente6. Entretanto a maioria dos ativos reais no negociada, assim

algumas premissas adicionais so utilizadas para permitir o uso da tcnica para avaliar

opes reais.

Neste contexto, Trigerogis (1996) prope utilizar um ativo financeiro gmeo ou

adjacente (twin security) altamente correlacionado no clculo do valor da opo e

considerar esse fato ao interpretar os resultados. Em outras palavras, o ativo gmeo

utilizado em trs situaes: na anlise de empreendimentos envolvendo recursos

naturais devido existncia do mercado futuro; na avaliao de uma rea de negcio

quando h uma empresa do mesmo setor com aes negociadas em bolsa; quando o

projeto contribui significativamente para o valor de mercado da empresa e, assim, pode-

se utilizar a ao da prpria empresa como ativo financeiro gmeo.

Para Copeland e Antikarov (2002), o valor do ativo real perfeitamente

correlacionado com ele mesmo e, por isso, a melhor estimativa no tendenciosa do

valor de mercado do ativo real se este fosse negociado. Assim, o valor do ativo real

(projeto sem flexibilidade) pode ser usado como ativo-objeto.

Na precificao de opes financeiras, parte-se da premissa de que possvel

criar um portfolio equivalente que funciona como hedge do valor da opo. Assim,

pode-se utilizar a taxa livre de risco como taxa de desconto. Como o ativo real no

negociado, essa premissa prejudicada. Hull (2005) argumenta que, se o ativo no

negociado, deve-se adicionar um prmio de risco7(relacionado volatilidade do ativo e

ao preo de mercado do risco) taxa de desconto.

Segundo a teoria financeira, riscos privados podem ser eliminados pela adoo

de um portflio diversificado. Entretanto, na anlise de opes reais, quando os riscos

6O mercado eficiente aquele onde os preos dos ativos refletem totalmente as informaes disponveis

(ROSS, WESTERFIELD e JAFFE, 2005).7Copeland, Koller e Murrin (1995) argumentam que, em termos tericos, a melhor estimativa parauma taxa livre de risco seria o retorno de um portflio com beta igual a zero.


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privados so significativos, aplicar uma a taxa de desconto livre de risco superestima o

valor do empreendimento. Assim, a parte privada do risco deve ser descontada a uma

taxa maior.

Outra diferena apresentada por Miller e Park (2002) com relao

volatilidade. Muitos ativos reais no possuem informaes sobre seu retorno histrico,

inviabilizando uma medida direta da volatilidade. As alternativas utilizadas so a

utilizao de dados do ativo financeiro gmeo, a gerao de uma estimativa de

volatilidade do projeto em anlise por meio de Simulao de Monte Carlo, equaes

que estimam a volatilidade do retorno do projeto a partir de dados da volatilidade do

preo do produto.

2.9.Aplicaes de Opes Reais

A utilizao da tcnica de AOR na indstria de explorao de recursos naturais

data da dcada de 1980. Segundo Dias (2005), o mais antigo registro do uso da teoria

das opes reais em empresas data de 1985 quando a estudante de doutorado e

consultora A. Kemna iniciou um longo trabalho na Shell holandesa, que durou at 1990,

desenvolvendo AOR em petrleo. Trs dessas aplicaes foram reportadas em Kemna

(1993).

Diversas publicaes focam a indstria de petrleo, como o valor daflexibilidade em operaes de arrendamento conforme Paddock et al. (1988) e tambm

na estratgia de licitao de reas governamentais na Noruega para desenvolvimento de

projetos da indstria de petrleo (SUNNEVAG, 1998).

Em se tratando de aplicaes de opes reais em minerao, um dos primeiros

estudos de valorao utilizando AOR objetivou a valorao de uma mina de cobre

proposto por Brennan e Shwartz (1985), focando nos conceitos de incertezas e


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flexibilidade operacionais. Moyen et al.(1996) desenvolveu comparaes entre minas

de cobre no Canad onde demonstra que o FCD subestima o valor dos projetos em

relao aplicao de AOR. Tambm nas minas de cobre do Canad, Slade (2001)

props um trabalho onde o foco est na flexibilidade operacional das minas,

considerando as incertezas de custos, reservas e preo do cobre modelado, concluindo

que, quanto mais incerteza incorporado ao modelo, maior o valor do projeto

analisado.

Kelly (1998) aplicou o modelo binomial para valorao de minas de ouro.

McCarthy and Monkhouse (2003) desenvolveram um modelo trinomial, considerando

opes de espera e abandono em minas de cobre, considerando processo de reverso

mdia para a projeo do preo do metal.

Teoria de opes reais tambm j foi utilizada para anlise do melhor plano de

lavra a partir dos dados de pesquisas geolgicas do ativo como no trabalho de Akbari,

Osanloo e Shirazi (2009). Normalmente os planos de lavra so escolhidos com FCD nas

simulaes operacionais de mina. Porm, o FCD ignora as opes de abandono que

possuem este item especfico, uma vez que melhor cava dimensionada num

planejamento de mina evita perdas nos perodos de flutuao do minrio proposto por

Dimitrakopoulos e Sabour (2007). Outras aplicaes na indstria de mineradora

incluem Trigeorgis (1993), Tufano e Moel (1999), Kamrad e Ernst (2001), Cortazar,

Schwartz e Casassus (2001), Moel e Tufano (2002), Abdel Sabour e Poulin (2006),

Samis et al. (2006) e Abdel Sabour e Wood (2009).

Outro foco encontrado nos trabalhos de aplicao de AOR aplicados

explorao de empreendimento de recursos naturais est nas opes de expanso em

seqncia conforme o trabalho desenvolvido por Arnold, Crack e Schwartz (2007).

Adquirir uma propriedade cria a opo de pesquisa geolgica, a informao proveniente


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da pesquisa cria a opo de desenvolvimento do projeto, e implantar o projeto cria a

opo de extrao do recurso natural: aps o incio da operao, o empreendedor possui

a opo de paralisar a operao nos perodos de crise da commodityextrada como no

trabalho apresentado por Mayer e Kazakidis (2007). Muitos trabalhos na literatura de

finanas abordam a valorao neste contexto.

2.10. Processos Estocsticos

Processos estocsticos so definidos como um modelo matemtico de um

experimento probabilstico que evolui com o tempo e gera uma seqncia de valores

numricos. Cada valor numrico da seqncia modelado por uma varivel aleatria,

logo um processo estocstico simplesmente uma seqncia, finita ou infinita, de

variveis aleatrias conforme Bertsekas e Tsitsiklis (2000).

Na rea financeira e econmica, por exemplo, processos estocsticos so usados

para gerar uma seqncia de preos de ativos financeiros como aes, ttulos pblicos,

preos de commodities, valores presentes de fluxos de caixa de projetos, valorao de

derivativos entre outros conforme Glasserman (2003).

Nesta dissertao utilizamos o Movimento Geomtrico Browniano (MGB) e o

Processo de Reverso Mdia (PRM). Focamos nestes processos porque ambos so

bastante utilizados em modelos de anlises por opes reais, (DIXIT e PINDYCK,

1994).

Assim, nas prximas subsees (2.10.1 e 2.10.2) detalharemos estes processos.

As mesmas foram construdas fundamentadas no trabalho de Dixit e Pindyck (1994).

2.10.1 Movimento Geomtrico Browniano


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O movimento geomtrico browniano (MGB) o processo estocstico mais

utilizado para modelar variveis econmicas como preos de aes, taxas de juros e

preos de produtos. Seu comportamento aleatrio se assemelha ao comportamento de

aes em bolsa de valores reflete o comportamento especulativo do mercado

financeiro (DIXIT e PINDYCK, 1994). O MGB regido pela seguinte equao, onde

(taxa de drift) e (taxa de volatilidade) so constantes:

E 9 E G B

Onde Wt um movimento browniano ou processo Wiener. Para qualquer valor

inicial X0, a equao tem a soluo analtica:

E 10 E E G B

Que uma varivel aleatria com distribuio log-normal com valor esperado:

E 11 E G B

E varincia:

E 12 G B


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A demonstrao desta soluo pode ser verificada com a utilizao do lema de

It8. A varivel aleatria log normalmente distribuda com mdia ( 2/ 2)t evarincia 2t, refletindo o fato de que incrementos de um MGB so normais relativos ao

preo atual, causa pela qual o processo leva o nome de 'geomtrico'.

2.10.2 Processo de Reverso Mdia

O Processo de Reverso Mdia, ou Processo Autorregressivo de Primeira

Ordem (AR1) um processo estocstico de tempo discreto e estado contnuo que tem

uma caracterstica peculiar: a varivel que segue esse processo tende a retornar ao valor

esperado de longo prazo. Por isso classificado como um processo de reverso mdia

(DIXIT e PINDYCK, 1994). A equao que modela esse processo :

E 13 E

Onde uma constante, uma constante cujo valor -1 < < 1, e umavarivel aleatria que segue uma distribuio normal com mdia igual a zero e desvio

padro igual a 1. O processo estacionrio e o valor esperado de xt no longo prazo /(1-).

O processo de reverso mdia (PRM) em tempo contnuo mais simples o

processo de Ornstein-Uhlenbeck, dado pela seguinte equao:

8

Dixit e Pindyck (1994) afirmam que o Lema de It comumente chamado de teorema fundamental doclculo estocstico. Seu resultado permite diferenciar e integrar funes em clculo estocstico. Paramaio

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Investimento Sob Incerteza Em Mineração de Ferro