\jNIVERSIDADE DE SO PAULO

INSTITUTO DE FSICA

A ELETRODINMICA ESTOCSTICA E OS

ASPECTOS CLSSICOS DA TEORIA QUNTICA

Kaled Dechoum

Tese apresentada. ao Instituto de Fsica da \,;niverSidade de So Paulo como parte dos requisitos para obteno

do ttulo de Doutor em Cincias

SBI-IFUSP

Banca examinadora:

~=h~('\Prof. Dr. Humberto de Menezes Frana (orientador) -IF{USP

Profa. Dr . Coroei Pereira Malta - IF{USP

Prof. Dr. Djalma Mirabem Redondo - lFQ{USP-So Carlos

Prof. Dr. Antonio Vidiella Barranco - IF{UNICAMP

Prof. D~.os ~la - IF{UFRJ ",,J",,g;

i\ r!/J'Cf ~,j SO PAULO ,'\) ",. 1998

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pequena e bela Mariam l a Nelson Mandela

e ao Z Roberto (o cego).

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Agradecimentos

So muitas as pessoas com quem convvi neste instituto nos muitos anos que passei por aqui.

Agradeo a todos indistintamente por terem propiciado roda essa histria, Em particular,

preciso citar:

O Prof. Humberto M. Frana, que me fez olhar para o \'azio e suscitou-me o gosto por \'cstir

fantasmas, sou~lhe muito grato.

O Dr, Bolina e a bela Thas, pelas leituras atentas,

O CNPq: pelo suporte financeiro.

I'I'

li!

/

resumo

Apresentamos uma tentativa de estender o alcance da teoria clssica na previso de fenmenos

microscpicos. Baseamos nosso enfoque na hiptese de que a mecnica quntica uma teoria

estocstica cujas origens so as flutuaes eletromagnticas de ponto zero.

Discutimos uma abordagem nm'a para a descrio do movlmemo browniano, clssico e quntco.

I ,

atravs de uma equao clssica estocstica do tipo Schrdinger. :\ eficincia dessa equao

testada para sistemas lineares em contato com diferentes reservatrios de rudos. Ambientes

diferentes do espao vazio levam naturalmente a interaes do tipo fora de Casimir.

Para a descrio de rotaes intrnsecas introduzimos na teoria clssica a representao espinorlal

e obtemos uma equa~o do tipo Pauli-Schrooinger, com flutuao e dissipao, que nos permite

gerar distribuies no espao de fase para partculas com spin arbitrrio.

Conclumos que a eletrodinmica estocstica uma teoria clssica apta a descrever os processos

qunticos que se originam das flutuaes do vcuo.

lV

I

J

.,

abstract

\Ve present a.n attempt to e.xtend the range of the classic:al theory in the description af micro

scopic phenomena. 'We base our point of view in the hypothesis that quanturn mechanics is a

stochastic theory whose origin s in lhe electromagnetie zero~point Huctuations.

vVe discuss a new approach for the descnption of Brownian motioDl borh clnssical and quantum.

'\vith a stochastc Schrodinger type equation, The effect'renes.'5 af this equation is tested for lnear

systems lU contact with different noise reservoirs. Environments different frem the vacuum lead

naturaUy to the Casimir force interaction.

For the description of particles with spin we introduce in the dassical theory a spinorial rep

resentation for rotations and obtain a Pauli-Schrdinger type equatioll, with fiuctuation and

dissipatiou j that allow8 us to generate phase space distributions for partlcles with arbitrary spin.

Vie condude tnat stochastic electrodynamics is a dassical tneory that 15 able to describe those

quantum processes whose Qrigins are in the vacuum fiuctuatons,

v

Contedo

1 INTRODUO 3

2 A ELETRODINMICA ESTOCSTICA 7

2.1 Flutuaes Eletromagnticas de Ponto Zero 8

2.1.1 Ca.mpos Eletromagnticos Aleatrios la 2.1.2 Analogia com a Eletrodinmca Quntca , 12

2,2 Mtodos Mat,emticos na SED , 14

2,2,1 A Equao de Langevin 14

2,2,2 A Equao de Fokker-Planck ' 16

2,2,3 A Equao de Schrdinger Estocstica , , , , , 18

3 EVOLUO CLSSICA DE SISTEMAS QUNTICOS SIMPLES 21

3,1 o Oscilador Harmnico na SED , , 22

3,1.1 Evoluo no Espao de Fase 23

3,1.2 Relaes de Comutao, , , 26

3,2 O Mtodo da Equao de Schrdinger Estocstica , 28

3,2,1 Anlise Perturbativa ' , , , , , , , , , , , 30

3,2,2 Soluo Exata e Estados No-Heisenberg , 34

4 ELETRODINMICA DE CAVIDADES NO CONTEXTO DA SED 38

4.1 Caracterizao do Sistema Dinmico 39

4,1.1 Equaes de Movimento , , , 40

1

4.1.2 Flutuaes e Espectros ....... , . , .. 11

4,2 Estudo da Interao do Solenide com o Oscilador. 44

4.2.1 Propriedades Relath'as ao Oscilador. 45

4,2.2 Emisso Espontnea 47

4.2.3 Fora de Casimir .. 50

4.2.4 Distribuio Espeetral das Flutuaes d. ,"alt.gem no CirCUIto 52

4.3 O Mtodo da Equao de Schriidinger Estocstica 54

4.3,1 Anlise Perrurbativa ......... , , 55

4.3.2 Flutuaes das Correntes e o Efeito Aharonov-Bohm 56

5 PARTCULAS CLSSICAS COM MOMENTO ANGULAR INTRNSECO 60

5,1 Teoria Clssica . , ' . , . , 61

5.Ll Precesso de Larmor 62

5.L2 Incluso da Flutuao e Dissipao 65

5.2 Evoluo no Espao de Fase ....... . 67

5.2.1 Equao Clssica do Tipo Pauli-Schr6dinger (Parteulas Neutras) 67

5.2.2 Descrio Clllsica do Experimento de Stcrn-Gerlach 69

6 CONCLUSES E PERSPECTIVAS 73

A Deduo da Equao do Tipo Schrdinger Estocstica 76

B Clculo Perlurbativo da Emisso Espontnea de um Oscilador Eletrizado 81

C Campos de Interao do sistema Dipolo Eltrico-Solenide 86

D Clculo da Energia e da Fora de Casimir 89

E Momento Magntico Anmalo 98

Bibliografia 102

Figuras 109

2

Captulo 1

-INTRODUAO

Toda boa teoria fsica deve fazer predies detalhadas. Para uma dada experincia bem definida.

a teoria deve especificar corretamente o resultado ou ao menos revelar as probabilidades corretas

de todos os resultados possveis. Espera-se ainda que essa teoria traga alguma compreenso

sobre os eventos fsicos que presumivelmente sustentam os resultados observados. Desse ponto

de vista, apesar de ser uma teoria muito bem sucedida, a mecnica quntica e, em particular,

a eletrodinmica quntica tem suscitado enormes debates, desde suas origens, acerca de suas

interpretaes.

Ainda que at o presente momento no haja contradio entre os resultados experimentais

e as previses tericas da mecnica quntica, inmeros autores sentem a necessidade de estudar

teorias clssicas alternativas teoria quntica, tanto para tentar estender o universo previsvel

da teoria clssica, quanto para buscar bases epistemolgicas consistentes teoria quntica. Em

geral essas teorias alternativas trazem um carter incompleto e, fenomenologicamente, so to

obscuras quanto a prpria teoria quntica. o caso, por exemplo, da mecnica estocstica

de Nelson (1], que impe ao espao uma propriedade difusiva para o movimento clssico das

partculas, ou da teoria de Bohm [2], que introduz na teoria clssica o potencial quntico para

preservar o conceito de trajetria e ao mesmo tempo gerar a "difuso quntica". O "rudo"

includo no definido de forma nica nem independente do estado do sistema e, portanto,

no tem carter universal.

Dentre as teorias estocsticas alternativas teoria quntica ressurgiu, na dcada de sessenta, a

3

eletrodinmica estocstica (SED} [31, que na verdade um resgate das idias originais de Planck

(1911), Einstein (1913) e "erast (1916), entre Outros [4]. Xessa teoria a origem do carter

probabilstico dos processos microscpicos vem do fato de haver um campo eletromagntico de

fundo, presente em todo universo e que equh'ale verso clssica do campo de vcuo da

eletrodinmica quntica [31, que surge mais tarde. nO final da dcada de 1920. O elemento

central dessa teoria (SED) a radiao eletromagntica de ponto zero~ que considerada real

e puramente aleatria e cuja intensidade das flutuaes medida em termos da constante de

Planck, que aparece corno uma nova constante unycrsal da natureza.

A introduo consistente do campo de radiao do vcuo ampliou o alcance da teoria clssica

sem contradizer seus fundamentos, A hiptese dos fenmenos qunticos terem sua origem na

interao da matria com 11 radiao eletromagntica de ponto zero tem sido nvestigada pela

teoria da eletrodinmica estocstica com relati\"o grau de sucesso [3:,

O objetivo dessa tese mostrar que a teoria clssica quando formulada adequadamente e

quando acrescida de novos elementos da realidade fsica (radiao de ponto zero nesse caso), pode

ser usada para exibir propriedades da mecnica quntica no relativstica. Muitos problemas

complexos em mecnica quntica podem ser resolvidos dentro de uma formulao completamente

clssica (veja referncia 3] e referncias internas).

A maneira que usamos para aproximar a mecnica quntica de uma descrio clssica mais

intuitiva baseada numa modificao apropriada da representao de \Vigner, que nos permite

expressar a mec.nica qu.ntica no formalismo do espao de fase [6]. Essa descrio utiliza o

mximo da linguagem clssica permitindo lidar COm "nmeros clssicos'> em vez de operadores

e a reside o seu grande apelo. Para potenciais quadrticos, com coeficientes dependentes do

tempo, a dinmica descrita pela equao de Schrdnger idntica dinmica descrita pela

equao de Liouville para a funo de densidade de probabilidades no espao de fase. ?\fesse

caso, a abordagem clssica simplifica enormemente a compreenso de problemas qunticos, pois

so usadas equaes clssicas mais intuitivas.

Em certas circunstncias1 a correspondncia entre a equao de Louville e a representao de

Wigner da mecnica quntica pode ser estendida para qualquer potencial. Mostramos tambm

que, para sistemas abertos, uma equao de Liouville que carrega as efeitos de flutuao e

4

I I

dissipao leva a uma formulao da mecnica quntica cuja descrio feita por uma equaiio

do tipo Schrdinger dssica estocstica.

A exposio dessas idias e algumas aplicaes so organizadas na seguinte forma. :\0

Captulo 2, fazemos uma breve introduo eletrodinmica estocstca. Mostramos como se

introduzem a.t; flutuaes eletromagnticas de ponto zero na teoria clssica a.travs de um campo

aleatrio de mdia nula. e de distribuio espectral conhecida. Apresentamos o enfoque padro

para o movimento browniano e desenvolvemos uma nova tcnica, a partit dS idias de vVigner.

para deduzir uma equao do tipo Schrdinger estocstca~ que se mostra til no tratamento de

sistemas microscpicos em presena de rudos eletromagnticos de espectro arbitrrio.

No Captu)o 31 discutimos os papis exercidos pelas flut-ua3es trmicas e de ponto zero. e ,, pela dissipao por reao da radao em sistemas lneares. clssicos e qunticos, mostrando a i,

similaridade entre as descries e como a teoria clssica pode gerar corretamente os resultados da .;

mecnica quntiea, Uma clara distino entre as incertezas geradas peias flutuaes do vcuo, I associadas ao princpio de incerteza de Heisenberg, e as incertezas associadas ao "ensemble1l no

seu estado inicial, feita verificando que a primeira a que pre"!'aiece no estado de equilbrio.

Discutimos no Captulo 4 a interao de um indutor COm partculas polarizveis como

prottipo de um problema de eletrodinmica de circuitos ou de cavidades resolvido no con~

texto da eletrodinmica estocstica, O solenide (indutor) pertence a um circuito RLC que

est sujeito a fiuturu;es trmicas e de ponto zero (rudo de Nyquist). A partcula polarizvel

colocada na regio externa ao solenid~ e modelada como um dipolo eltrico oscilante. Observa

se que o espectro eletromagntico} que surge quando o sistema se acopla, diferente daquele

observado quando as partes do sistema se encontram separadas) o que gera uma interao do

tipo fora de Casimir entre os constituintes do sistema. Um vasto conjunto de fenmenos

descrito como l por exemplol a alterao da. ..'ida mdia dos estados excitados do osciladorr fora

de Casimir entre o dipolo e o solenide e a alterao do espectro do rudo do circuito (rudo

de Nyquist anmalo). Esses fenmenos podem vir a ser observados experimentalmente e so

previses novas e originais da SED.

Usamos tambm o enfoque da equao de Schrdinger estocstica para descrever os mesmos

fenmenos, deduzindo solues exatas e perturbativas dessa equao. Tambm so feitas con

5

,,.

sideraes a l'espeto do efeito Aharonov~Bohm tendo em conta as flutuaes reais na corrente

do circuito. 1;tilizamos O dipolo eltrico como detector de campos eletromagnticos provenientes

do solenide. Mostramos que estes campos existem mesmo no lmiw de o solenide ser infinito.

.:I No Capitulo 5, introduzimos o conceito de espinor para descrever, do ponto de dsta Op". eracional, a interao de partculas que tm momento magntico com o campo magntico e:XM

terno. Deduzimos uma equao do tipo Pauli-Schridinger no espao de configuraes a partir

da equao clssica de Liouville para partculas com "spin" e momento de dipolo magntico de

magnitude arbitrria, Interpretamos classicamente os resultados de experincias do tipo Stern~

Gerlach e feixes moleculares de Rabi em termos de trajetrias contnuas e bem definidas. e

tambm de variaes contnuas do ngulo formado entre o vetor de momento angular inttinSCo

e o campo magntico externo,

Verificamos ainda que os campos de flutuaes de ponto zero e reao da radiao exercem

uma influncia fundamental quando fi partcula se encontra em estado de equHbrio, sugerindo a

idia de "quantizao do espao1~ e explicando o comportamento paramagntico das partculas

dotadas de dipolo magntico, Apresentamos tambm j no apndice final, uma deduo clssica

do momento magntico anmalo do eltron) num clculo no relativstico) onde as flutuaes

eletromagnticas de ponto zero so, de novo, o ingrediente essencaL

I I

1

6

Captulo 2

A

A ELETRODINAMICA

ESTOCSTICA

A teoria clssica da eletrodinmica, com a hiptese da existncia de um campo de radiao

de fundo (flutuaes de ponto zero ou flutuaes do vcuo) de carter aleatrio, universal e

atrmico! cujo espectro invariante por tranformaes de Lorentz, chamada de eletrodinmica

estocstica (SED) [3,7, 8].

A SED permite ampliar os domnios de previsibldade da teoria c1ssc para escalas antes

exdusi vas da teoria quntica, Foras de van der ',\laals entre partculas polarizveis ou entre

corpos neutros macroscpicos (foras de Casimir)) o comportamento "qunticol' de sistemas

simples) como partcula livre e oscilador hannnico, propriedades magnticas da matria, como

o diarnagnetismo e o paramagnetismot entre vrios outros fenmenos (veja referncia [3] e re~

ferncias internas), podem ser explicados no mbito da fsica clssica desde que se incluam nessa

teoria as flutuaes eletromagnticas de ponto zero,

Do lado conceitual a SED oferece uma explicao elementar e coerente de certos proces

sos fundamentais da mecnica quntca (MQ). O princpio da incerteza associado interao

incontrolvel entre a matria e o campo aleatrio de ponto zero. a estabilidade do estado fun

damental de sistemas atmicos pode ser entendida como resultado do equilbrio dinmico entre

a potncia emitida pela matria por irradiao e a potncia absorvida das flutuaes de pOnto

7

zero. H ainda uma perspectiva de se responder a questes de natureza fsica com interesse

crescente na ~\IQ como a dinmica de transio para o equilbrio de sistemas abertos, que talvez

seja um dos resultados mais importantes que a SED pode oferecer.

A viso conceitual oferecida pela SED e seus resultados concretos sugerem a possibilidade

de se ter uma teoria alternativa :"IQ ou, mais precisamente, eletrodinmica quntica no

relativstica, com a vantagem de termos clculos mais simplificados em certos casos particulares.

Na seo 2.1, introduzimos o postulado fundamental da existncia das flutuaes de ponto

zero e suas propriedades estatsticas. Veremos como a constante de Planck entra na teoria como

escala das flutuaes do vcuo. ~IIostramos como a densidade espectral dessas flutuaes coincide

com a previso da QED para o estado do campo no excitado. Na seo 2.2 descrevemos alguns

mtodos matemticos da SED e veremos que a distribuio de equilbrio no espao de fase de um

Hensemble" na SED coincide com a representao de \Vigner da ~vIQ, surgindo a uma deduo de

uma equao do tipo Schr6dinger, a partir da equao de Liouville estocstica, que chamaremos

de equao de Schr6dinger estocstica.

2.1 Flutuaes Eletromagnticas de Ponto Zero

Uma das conseqncias mais intrigantes na teoria do corpo negro desenvolvida por Planck (1911),

em sua segunda teoria [9], foi o aparecimento do termo que no dependia da temperatura na

funo de densidade espectral (e que mais tarde apareceria tambm na teoria quntica)

w' (/,) /,)) (2.1)p(w,T) = ,,'CJ 2" + exp (~)-1

o pr-fator no segundo membro refere-se densidade de estados numa cavidade (nmero de modos normais do campo eletromagntico, dentro da cavidade, por unidade de volume e por

intervalo de freqncias) e o termo entre parnteses representa a energia mdia, do modo normal

de freqncia w do campo eletromagntico, temperatura T. O primeiro termo da expresso

acima refere-se ao espectro de ponto zero e o segundo termo est associado parte trmica do

espectro. temperatura zero, cada modo normal do campo eletromagntico possui uma energia

mdia de /,) /2.

8

Mesmo sem ir alm da. termodinmica e da teoria clssica da radiao, possvel inferir a

existncia do espectro de flutuaes de ponto zero a partir da Iei de deslocamento de \Vien, Essa

lei diz respeito ao comportamento da funo densidade espectral que descreve a radiao contida

num recipiente: com paredes perfeitamente refletoras, onde se realiza uma compresso adiabtica

quase esttica. Para que a funo densidade espectral seja coerente com a termodnmic31 ela

deve obedecer equao diferencial:

f)P(w, T) ~ 3 ( T) _ i'!p(w, T)T (2,2)8T P w, w i'!w

cuja soluo geral da forma p(w, T) = w' f(w/T), sendo f uma funo arbitrria,

Em temperatura nula, a soluo (alm da tri\'ial p(w', T = O))

nw'p(w,T = O) = nw" =-- (2.3)

~ 2n2c3

Nesse contexto, a constante de Planck sera um fator de escala das flutuaes do campo eletro

magntico que ocorrem mesmo em temperatura nula,

O prprio espectro de Planck foi deduzido por argumentos inteiramente clssicos l sem a

hiptese da quantizao dos nveis de energia do oscilador. Essa deduo [10, 11] baseada na

seguinte frmula de Einstein-Gibbs para as flutuaes da energia trmica de um sistema fechado

em contato diatrmico com um reservatrio temperatura T:

kT,8) = I(.?) - (e)'] . = [() - (,f] - [I"~) - (e)'] . (2.4)T tcrmtt tctlll ponto zero Onde {tO} a energia mdia de um dos osciladores que compem as paredes da cavidade. Essa

energia proporcional funo densidade espectral que descreve a radiao no interior da

cavidade 37T2C3

(,) = -,-p(wo, T) (2.5)Wo

sendo W{J a freqncia de ressonncia do oscilador tridimensional.

ainda possvel mostrar que a mdia quadrtica das flutuaes da energia dos osciladores

em equilbrio com a radiao tal que [11]

1(e') _ (e)' = -(e)' (2.6)

3

9

I '1

Substituindo as equaes (2.511 (2.6) em (2.4), obtm-se a seguinte equao diferenciai para a

funo densidade espectral total:

kT'p(wo, T) ~ ,,'2 ['(' 1') _ ( Iiw~ ) 2J,,,y. 2 P iAJ, 2-'-' (2.7) Wo " Cr

onde se utiiizou a expresso (2.3) para as flutuaes de ponto zero. .-\ equao adma pode Ser

facilmente integrada, e o resultado ser a frmula de Rayleigh-Jeans quando rt = O. ou seja, vcuo sem radiao, mas ser. a frmula de Planck (eq.(2.1) se o espectro de radiao de ponto

zero for levado em conta.

Vale ressaltar que, como o espectro de radiao de ponto zero isotrpico e homogneo em

todos os sistemas de referncias inerciais1 a expresso (2.3) invariante por transformaes de

Lorentz [101. Isso no ocorre com Q espectro trmico.

Para um observador em um referencial movendo~se com acelerao constante, o espectro de

ponto zero se transforma em espectro trmico associado a um corpo negro temperatura T

que se relaciona com a acelerao a do referencial pela expresso kT = ftaj2rrc [12]. Esse o

mesmo efeito trmico gerado por referenciais acelerados descoberto por Davies [131 e Unruh [14]

no contexto da teoria quntca de campos.

2,1.1 Campos Eletromagnticos Aleatrios

Caracterizamos o campo de radiao eletromagntica aleatrio, de origem trmica e de ponto

zero, no espao livre ou dentro de uma cavidade, da maneira introduzida por Einste1n e Hopf [4],

cujo objetivo era estudar a interao entre a matria e a radiao gerada por um nmero muito

grande de fontes emitindo incoerentemente.

O campo eletromagntico no espao livre satisfaz as equaes homogneas de Maxwcll, por

tanto permite uma expanso em termos de ondas planas transversais de freqncias w ::::: clkl sendo k o vetor de onda. A componente eltrica do campo num dado ponto f num instante t dada pela expanso:

E(f',t) = L2 / d'k [ c, p(~,T)1t (k,)cos[k.f'-wt+8(k,l] (2.8) ),=1 w

10

onde (k,>.) o vetor de polarizao de cada onda satisfazendo as condies:

k.(f, >') = O

,(f, ),).(k,)!) = '

, - - kkE 'i(k, A)j(k, A) = iiij - ~/ (2.9) ,\=l

:':a expanso (2.8) todos os comprimentos de onda esto presentes com fases aleatrias O(f, A)

uniformemente distribudas de O a 211', e p(w. T) a funo de densidade espectral da cavi

dade considerada. que caracteriza a distribuio de energa eletromagntica por intervalo de

freqncias (expresso {2.1)).A componente magntica B(r, t) desse campo de radiao obtida por relao semelhante.

As propriedades estatsticas dos campos so devidas ao carter aleatrlQ das fases pois as

fontes so incoerentes (estatisticamente independentes), Propriedades fskas importantes sero

obtidas calculando mdias no uensembl' de todas as possveis realizaes do campo estocstico

(fl t), o que corresponde a calcular mdias sobre as fases aleatrias O(k. ).

As fases O(k, A), corresponrlentC".5 aos diferentes modos do campo livre, so estatisticamente

independentes com mdia nula

- ,Ir'"(cos 8(k, A = (sin O(k, = 2" 10 cos Od8 = o (2.10) Em conseqncia, o valor mdio (primeiro momento da distribuio) do campo aleatrio (f, t)

i nulo ((f, t = O (2.11)

As flutuaes do campo eletromagntico podem ser em parte caracterizadas pela. funo

de correlao calculada em dois pontos diferentes do espao e do tempo para as diferentes

componentes do campo. Usando o espectro de ponto zero na expresso (2.8) obtm-se

(Ei(f" t,)Ej(f" 1,)) = Jd'i< (Oii - k~~j) ~ cos [k. (f, - f,) - w(t, - I,)] (2.12) I onde se utilizaram as relaes (2.9) e as seguintes mdias (ver reI. [8])

..... -- ... - 1 3- ....I (cosO(k" ,) cosO(k" A,)) = (sinO(k" -',J sinO(k" ,\,)) -> 28"",5 (k, - k,) (2.13)

i 11

II;

I

I.

e tambm

(cosO(kl,dsinO(k2,,)) =0 (2.14)

Supondo que a direo do eixo polar do vetor kcoincide com a direo de r1-r2 1 a integrao angular na expresso (2.12) realizada com o auxlio da expresso

k.k) 8"6 _..!...2. dn k = -6 (2.15)1I] k2 3 ]f ( sendo dOk o elemento de ngulo slido no espao dos vetores de ondas. Obtemos, aps a mudana

de varivel w = ck, a funo de correlao de dois pontos

- - r= 21iw 3 [( 11'1 - 1',1)](Ei(rl, tdEj(r" t,)) = ij 10 dw 37rc' cos W tI - t2 - C (2.16) Na aproximao no relativstica, quando o efeito de retardo pode ser desprezado, a expresso

(2.12) acima pode ser aproximada para

(Ei(rt, tl)Ej(1'" t,)) = ij ;,= dwS(w) cosw (tI - t,) (2.17) Essa uma forma particular do teorema de vViener-Khintchine, que relaciona o espectro de

freqncias S(w) = 2&i/37rc3 com a transformada de Fourier da funo de correlao de dois

pontos.

possvel mostrar que o campo (r, t) fica completamente determinado pelos seus dois

primeiros momentos [15], caracterizando assim um processo estocstico gaussiano de mdia nula.

2.1.2 Analogia com a Eletrodinmica Quntica

Para se fazer uma comparao entre os campos descritos na SED com os operadores de campos

da QED, escrevemos a expresso (2.8) na forma simtrica (ver ref. [16])

E(r, t) = L H(k, T)i(k, ) [ak)' ei(k.i'-wtl + a), e-i(k'i'-wtl] (2.18) f,>'

e resultado similar para B(r, t). A amplitude H(k, T) est relacionada com a funo densidade

espectral (veja eq.(2.8)) e, por simplicidade, para T = O temos

H(k, O) = Ho(k) = C7l'~kf' (2.19) 12

I, 1'1' . ,

j I

onde 11 representa o volume da cavidade e os coeficientes a;;l. e af so definidos em termos das

fases aleatrias

. a), = iiJ(k,),} ah = e-tQ(k,) (2.20)I e satisfazem as seguintes relaes

(O'O",,) = (a~a~'') =O

(aji),(l.f'') = {aha;?.\'> = t5kk,t}:..>! (2.21 )

Essas expresses so interessantes porque levam a considerar as amplitudes a e a~ como sendo

os anlogos e,;:;tocstieos dos operadores de criao e aniquilao usados na QED,

A energia mdia do campo eletromagntico no interior da cavidade dt> volume F

1 h"-(" ') '" '(- 11 , '" 8- . a'r E- + B = -2 ,t..., Ho k)ah"k (2.22) .. v 'R'_X

De (2.21) e (2,22) podemos escrever a energia mdia do campo em temperatura nula COmo

V-I (,) = 2" ~ H~(k)(a~ak) = ~ 21iw, (2.23)

k:" k),

que o mesmo resultado da QED para o valor esperado da hamiltoniana 11 do campo no estado

I de vcuo ! ,,' 1 (011110) = ~ 21iw. ' (2.24)

X

A funo de correlao na SED coincide com o valor esperado no vcuo do produto simetriza

do da funo de dois pontos das componentes do operador de campo eltrico [16]

(Ol~ I,(r" t , )j (T2, 1,) + j(r" t,)i(r" ti)] 10) = (Ei(r!> t,JEAr" t, , (2.25)

onde o Sllgundo membro dado por (2.12).

Em geral as funes de correlao de N-pontos dos campos livres) ordenados de forma

simetrizada na QED, coincidiro com todos os correspondentes momentos da distribuio dos

campos aleatrios da SED [15, 16].

13

.

i I

2.2 Mtodos Matemticos na SED

Apresentamos nessa seo algumas tcnicas usuais no tratamento do movimento brO\vniano e

sugerimos uma nova tcnica que pode mostrar-se til dentro do contexto da teoria dos processos

estocstitos bem como da mecnica quntica de sistemas abertos. ::'",lostramos qlle~ nesse caso.

a teoria quntica, dinamicamente representada por uma equao tipo Schrodnger estocstica,

no necessariamente markoviana, revela duas fontes de indeterminao, uma ligada ao descon~

hecimento das condies iniciais (distribuio inicial do "ensemble") e outra de carter aleatrio,

ligada aos rudos trmico e de ponto zero,

2.2.1 A Equao de Langevin

A interao entre a radiao e a matria na eletrodinmica estocstica inteiramente clssica.

Os campos so descritos pelas solues das equaes de Maxwell, incluindo as flutuaes de

ponto zero e o movimento das partculas por meio da equao de Newton com a expresso da

fora de Lorentz.

No caso de uma das foras que agem sobre a partcula ser aleatria, a .equao de Newton

d origem a uma equao estocstica conhecida como equao de Langevln. A soluo de uma

, equao desse tipo fornece meios para calcularmos mdias e varincas associadas posIo e ao

I momento da partcula l os quais so utilizados para determinarmos a distribuio de probabiliI dades no espao de fase.

A abordagem via equao de Langevin largamente usada com o propsito de se encontrar

efeitos de flutuaes em sistemas mesoscpicos ou em sistemas microscpicos sujetos a processos

radiativos em que a funo de correla.o do rudo conhecida.

O movimento unidimensional no relativstico de uma partcula de carga e e massa m) sujeita

a um potencial externo determinstico) descrito pela equao de Abraham-Lorentz f17]

mi; = I(x) + mT X +eEz(t) (2.26)

onde T = 2e2/3mdJ e o termo mT X representa a fora de reao da radiao para uma partcula

extensa, muito pequena [11, 171, A aprmdmao de dipolo e a no incluso da fora magntica so

14

I

consistentes com o tratamento no relativstico e, portanto) a componente x do campo eltrico

aleatrio E,,r. funo apenas do tempo~ cujas propriedades estatsticas foram desenvolvidas na

seo anterior.

Embora a equao (2.26) contenha derivadas temporais de ordem superior a dois, gerando

possveis solues indesejadas, possYel aproximar essa equao para obter u'ma outra de segun

da ordem, que descreve as correes radioativas de forma a apresentar aproximaes sucessivas

ao termo de reao da radiao.

A equao (2.26) pode ser integrada mediante o uso de um fator integrante, fazendo

!l(I) = x(l) = e'/

1

I

. l

I '

Essa densidade espectral menos divergente quando w -+ 00. Entretanto a equao (2,30)

apenas aparentemente causal "sto que Em{l) definido por (2.31). Por isso muitos autores [3, 11)

usam ('2.30} com E;r(t) no lugar de Em(t)j e consideram Tnr 1;~ T:i:J'(X) como aproximao para

a reao da radiao. Acreditamos que o procedmemo mais adequado considerar a carga

extensa [11]. ~ess caso no h dh'ergncias nem violao da causalidade.

2.2.2 A Equao de Fokker-Planck

Desejamos agora conrruir uma descrio estatstica em termos de uma equao do tipo Fokker

Planck para a densidade de probabilidades no espao de fase, A equao de Fokker-Planck

um tpo especial de equao mestra, O problema de construir a equao de FQkker-Planck na

SED torna-se muito dflcil pa.ra o caso geral de foras arbitrrias devido ao carter forternenre

colorido do rudo de ponto zero (as freqncias no contribuem igualmente para a funo de

correlao), que acaba gerando processos estocstic-os gaussianos no markovianos,

Em problemas nos quais possvel fazer a aproximao markoviana para a distribuio de

probabilidade (foras determinsticas lineares, partcula carregada no campo magntico uni

forme), pode-se utlizaT os mtodos desenvolvdos por Chandrasekhar [18], que obtm a equao

de Fokker-Planck como resultado de uma generalizao do teorema de Liouville com incluso

do movimento browniano\ gerado por flut.uaes, onde cada partcula tem seu movimento regjdo

por uma equao de Langevin do tipo (2.30).

Supondo que o movimento browniano pode ser idealizado como um processo markovanoj

a distribuio de probabilidade no espao de fase no instante futuro W (x j p, t) derivada da

distribuio no instante inicial 'VV(xo, Pc) por meio da integral

W(x,p, t) = f: dx, f: dp" Q(x,p, t!x"p,,) IV(xo, po) (2.33) onde Q(x, p, tlxo, po)dxdp probabilidade de transio dos valores iniciais Xo e Pu para os valores

x e p, decorrido um intervalo de tempo t, Essa transio se d devido ao de todas as foras

(aleatrias e determinsticas) que atuam na partcula. O conhecimento da funo Q(x, p, tlxo, po)

possibilita uma descrio completa do problema,

16

I,

Essa probabilidade de transio satisfaz a equao de Fokker~Planck no espao de fase, con

hecida tambm como equao de Liom'me generalizada. Para o caso unidimensiona11 pode~se

mostrar (18J que ela escrita como

Q p Q a [ T, 1 iJ2Q-+--+- f(x) +-f (x)p Q=D-. (2.34)IJI m 8x {}p m 1Jz;i' com a constante de difuso D definida por

.2 1 Io~L lo.J.t " " D = -, lim " dt' dt (E,(I'lEr(t )) (2.35) :. .:lt_O ~t o ti

A obteno da equao de Fokker-Planck geral na SED I para processos que possuem memria

(no markoyianos), foi desenvolvida por de la Pena e Cetto [191 20]. O ponto de partida para

construir a equao de Fokker-Planck a equao da continuidade

&11' +!!... (xW) +!!... (pW) = O (2.36)lJt x op

sendo p dado pela equao de AbrnhamLorentz (2.30)

p=m:r 1> = l(x) + rf'(x)p + eEr(t) (2.:l7)

onde tomamos Er(t) no lugar do campo modificado (no causal). A equao (2.36), com a

expresso (2.37)~ pode ser reconhecida como uma equao de Liouville estocstica, A equao

de FokkerPlanck derivada da equao (2.36) por la Peni!. e Cctto 119] tem a seguinte estrutura

fJQ poQ [ r, 1 8' . o' &t + mx + fJp fez) + m1 (x)p Q = p,DppQ - x&pD"Q (2.38) com a condio Q(x,p, t = 0lxo,p.) = (x - x,)(P - Pu).

Na expresso acima Dw e D:rp so operadores integrais chamados de operadores de difus.o e so definidos pelas expresses

D""Q(x,p, t) = .' [00 dt'{E.(t)Ez(t') :g:) Q(x, p, t') .. DzpQ(x,p,t) =e' [00 dt'(Ex(t)Ex(t'):;(~:iQ(X,p,t') , (2.39)

I

onde x(t') e p(t') representam variveis causais (no estocsticas) que se obtm a partir de x(t)

e p(t) fazendo anular a fora estoestica eEz(t) na expresso (2.37). Como se pode ver, os

I, 17 , I, ,

. 'j

"

I,

operadores de difuso so dependentes da histria do sistema. ::\0 caso em que a funo de

correlao uma funo delta de Dirac (rudo brancoL a expresso (2.38) d origem equo

(2.34L que descreve processos markovianos.

O carter no markoviano da equao (2.38) est associado ao fato de uma mudana em Q

no instante t depender de valores prvios de Q como mostram as relaes (2.39), que envolvem

integrao sobre o passado. Esse carter no markoviano uma conseqncia direta da durao

finita da autocorreiao do campo explicitado na equao (2.16).

Uma desorio detalhada no espao de fase baseada na equao (2.38) deve envolver difi

culdades matemticas sras para o caso de uma fora f(x) qualquer. :",luitas propriedades do

sistema, porm! podem ser investigadas fazendo uma conexo direta entre a equao (2.36) com

uma equao do tipo Schrodinger em vez da equao de Fokker-Planck (2.38): o que possibilita

utilizar tcnicas da :'..!Q para resolyer a equao de Liouyille estocstica (2.36}, como veremos a

seguir.

2.2.3 A Equao de Schrdinger Estocstica

A descrio dos fenmenos pela mecnica estatstica clssica baseada no conceito de espao de

fase. A distribuio de probabilidades W(x,p,t) obedece equao (2.36) e o valor mdio de

qualquer varivel A(x,Plt) calculado de acordo com a re]ao

(A) = / A(x,p, t)W(x,p, t)dxdp (2.40)

Muitas vezes esbarramos em dificuldades srias ao tentarmos resolver a equao Liouville

(2.36) ou .. equao de FokkerPlanck (2.38) para potenciais arbitrrios, que so mais facilmente

resolvidos pela MQ. Devido similaridade entre as teorias, natural pensarmos em usar tcnicas

matemticas da IvIQ para resolver problemas da SED.

Com o intuito de mostrar que a dinmica fornecida pela equao de Liouvlle pode incorpo

rar a dnmica quntica como aproximao (no limte de tempos longos os resultados da SED

forneceriam os resultados da QED), iremos apresentar uma deduo simples de uma equao

do tipo Schrdinger) que nos permitir ntercambiar tcnicas de ambas as teorias. Por intro

duzir transientes com decamento para o equilbrio, a equao a ser deduzida torna possvel

18

Ii

! I

1

'1 ,

compreender melhor os conceitos de limite clssico e limite quntico.

A partir da equao de Liouvlle construiremos uma equao generalizada de Schrodinger1

que inclu efeitos de dissipao por reao da radiao e flutuaes trmkas e de ponto zero ou

qualquer outra forma de rudo (hmco, por exemplo). Iremos tambm distinguir, claramente,

incertezas sstemticas relacionadas com a distribuio indal do ;:ensemble", cujas varineias

satisfazem a relao

..x.:..p = fi' (2.41 )

sendo fi' um parmetro livre com dimenso de ao, de incertezas de origem no controladas,

aleatrias1 geradas pelas flutuaes do vazio e que satisfazem, no equiHbrio1 a desigualdade de

Heisenberg

!lx:::'p "h . (M2)

sendo ti a constante de Planck que atua como esca!a das flutuaes do vcuo. :Jotc que o limite

fi --,I- O pode Sr tomado, j que 1;\ SED uma teoria clssica.

Para isso conveniente introduzir a transformada de Fourier da densidade de probabilidades

W(xlP, t) em relao varivel p

_ (00 ( 2iPY )W(x,y,t) '" J_=dpW(x,p,t)exp -7 (2.43)

onde y uma coordenada. auxiliar. Vale lembrar que a constante de Planck li aparece no termo

do campo flutuante e li' est relacionado distribuio inicial do ':ensemble" clssico. fcil ver

que a equ~o satisfeita por l-V(x, v, t), uma vez que W(x,p, t) satisfaz a equao da continuidade (2.36),

W (li)' IJ2 - -Ui' t + 2m Elxy W + 2y[eE>(t) - V'(x)]W = O (2.44)

onde usamos a equao de movimento unidimensional

1> = mit = -V'(x) .;. e [Evp(t) + ERR(t)] = -V'(x) + e E>(t) (2.45)

sendo que EvF a componente x do campo eltrico proveniente das flutuaes do vcuo e eERR

representa a fora de reao da radiao.

19

A equao (2.44) pode ser colocada nnma forma similar equao de Schrodinger. Para isso

necessrio introduzir funes complexas auxiliares 1p(x, t). Vamos considerar apenas transfor~

madas de Fourier TV(x 1 y\ t). que podem ser escritas na forma

11'(,;, y, t) '" v'(x +!J, t)1ft(x - y, t) (246)

Fazendo urn. mudana cle varivels

S=1:-Y r=x+y (2.41)

a equao (2,44) torna-se

8 (11')' f fP {)2) [r+s 1-itt'--!1jJ'(r)1J'(sl]+- i -, - - ",'(r)";(8)+(r-s) eE(t) - V'(-) w'(r)w(s) = Oat' 2m \8r' 8s' 2

(248)

Para o caso particular em que o potencial quadrtico com coeficientes dependentes do tempo

V(x) = a(t)x' (t)x + clt) (2A9)

que engloba uma vasta gama de problemas importantes em fsica, incluindo o oscilador

paramtrica ou qualquer problema que possa ser modelado pelo potencial acima (inclusive o

tomo de hidrognio [21]), obtm-se exatamente, aps fatorao

'N8>/! = _ (li')' &'>/! + V(r)1J' - er [Evp(t) + ERn(t)] 1/J (2,50)'8t 2m Dr'

Alguns autores [22, 23] utilizam procedimentos parecdos para incluir potenciais mais gerais. No

apndice A, feita uma deduo mais completa da equao de Schrdinger estocstica vlida

para uma fora no linear qualquer. Isso possvel porque o parmetro f' pode ser tomado

arbitrariamente pequeno.

A descrio via equao de Schrdnger estocstica incorpora em seus fundamentos o aspecto

estatstico da teoria quntica, reconhecendo nas flutuaes do vcuo o rudo fundamental, gerador

do princpio de incerteza de Heisenberg) e inclu tambm o desconhecimento do estado iniciai do

~ensemblen que descreve o sistema. Veremos nos prximos captulos algumas solucs de (2.50)

para o caso de potenciais quadrticos e para diferentes rudos.

20

Captulo 3

EVOLUO CLSSICA DE ~

SISTEMAS QUANTICOS SIMPLES

Salientamos no capitulo anterior que h uma correspondncia exata. para sistemas lineares.

entre a descrio clssica de um "ensemble" de partculas~ que evolui segundo a equao de

Liouville, e a descrio quntica via equao de Schrdnger para o movimento de uma partcula.

Neste captulo discutimos como os resultados da SED para o oscilador harmnico coincidem

exatamente com a descrio da QED quando levamos em conta os efeitos das flutuaes do

vcuo e da reao da radiao.

Desenvolvemos uma nova descrio baseada na equao de Schrorlnger estocstica, corrob

orando resultados anterores e mostrando aspectos novos que transcendem alguns resultados

da. MQ. Estados proibidos pela MQ podem ser reconhecidos nessa nova abordagem uma vez

que h uma clara distino entre as incertezas associadas construo do 4tensemble'l inicial e

as incertezas geradas pelas flutuaes de ponto zero (e trmica}l esta ltima determinando a

distribuio final de equilbrio.

O oscilador harmnico fornece uma oportunidade nica de estudar. sem grandes dificuldades

matemticas, as propriedades adquiridas por um sistema mecnco em contato permanente com

as flutuaes do vcuo mostrando como uma partcula c1sska "torna-se", com essa interao,

um Uobjeto quntiCO!l.

21

Os sistemas lineares podem ser resolvidos exatamente pelos trs mtOdos descritos no

Captulo 1. Na seo 3.l! mostramos a soluo tradicional do oscilador na SED pelo mtodo

da equao de Fokker~Planck: e nessa perspecth'a fazemos uma reletur das relaes de co

mutao e do princpio de incerteza de Heisenberg atra\"s da anlise do papel exercido pelos

campos acoplados partcula. r.;a seo 3.2: apresemamos a equao de Schrdinger estocstica

do oscilador e sua soluo exata. Uma anlise perturbath'a tambm obtida para descrever a

transio de um estado excitado para o estado de equilbrio, de forma ti tornar a descrio da

SED bem prxima li da QED.

3.1 O Oscilador Harmnico na SED

o objetivo principal desta seo descrever a evoluo temporal de 11m ;'ensemble'; de osciladores harmncos carregados l todos com a mesma massa m e freqncia natural de oscilao Wo j que

se encontram acoplados ao campo eletromagntico de ponto zero e aos campos prprios de

radiao) usando a estrutura da teoria eletromagtica clssica.

Cada representante do ~'ensemblejj tem seu movimento unidimensional descrito pela equao

no relativstica de Abraham-Lorentz, que pode ser aproximada por

mX = -mw~x - m')'x + eEv'p(t) (3.1 )

A fora dissipativa m'Y'x : a aproximao para a fora de reao da radiao 24] e a constame -/

dada por (2e' /3md')wiJ, Aqui Evp(t) representa a componente x do campo eltrico de ponto

zero na origem do sistema de coordenadas,

A partir de uma distribuio inicial no espao de fa..

3.1.1 Evoluo no Espao de Fase

omtodo empregado aqui ser o da equao de Fokker-Planck [25, 26], muito utilizado em teorias sobre o movimento browniano t27J. Apesar do espectro do rudo de ponto zero ser proporcional

w3a 1 constituindo assim um rudo co)ordo. o oscilador harmnico carrega a peculiaridade de

ter uma freqncia natural ":0 e) dentre todos os modos do campo eletromagntico presentes,

haver ressonncia apenas num intervalo muito curto de freqncias em torno de wo. Dessa

forma pode-se fazer uma aproximao markoviana para esse processo estocstco, o que viabiliza

o uso dessa tcnica,

A equao de Fokker-Planck para a probabilidade de transio Q(xptlxoPul (ou abreviada

mente Q) de o sistema evolur de um ponto do espao de rase (xo,Pu) para outro ponto (z,p)

aps um inte"'alo de tempo t (veja eq. (2.3-1

~ + :x (~q)+ :p [- (7P+ mwXT ) + D:p] Q=O (3.2) sendo D o coeficiente de difuso dado por (reja equao (2.35) e ref. i3])

D = nm'iWo (3.3)2

quando T = O.

A evoluo temporal descrita pela equao {3.2) tem soluo bem conhecida e seu procedi

mento pode ser encontrado em textos clssicos [27], A probabilidade de transio que descreve

a soluo exata de (3.2) dada pela expresso (ver, por exemplo, o artigo de Wang e Uhlembeck

n. referncia [27])

I Q(xptlxoPol = 2~"'''2 " ,.,

(P - p,)' (x - Xd)' e.,xp- 2 (3.4), , { + 2 - ,,~~ (p - Pd)(X - xdll! 2(1- el}[ i 0;2II

Trata-se de uma gaussiana bidimensional correlacionada centrada na trajetria determinstical 1 ' i isto ~ Xd a soluo da equao (3.1) quando se faz EVF ;:;;; O. Para o oscilador submetido

a uma fora externa com dependncia temporal arbitrria, o resultado acima continua vlido,

23

apenas exigindo que X seja a soluo determinstica do oscilador forado. As condies iniciais

XI) e Po entram nas solues: Xli e Pd

A varincia relativa ao momento, definida por a~ = p - Pdj2) , dada pela expresso[28]

ai(t) = -D { 1- [1 + "2'/ sin'(w,l)

I

,,,

, j,

Vamos aqui discutir uma situao um pouco mais simples porm rica o suficiente para mostrar

evolues para o regime quntico. Vamos supor que lVin(xot!Jo) dada pela expresso

1 [mWQX P5]H"in{X01PO) = _t;' exp - r;/ - 1:.' (3.11 ) Jilt IL ml~wo

onde o parmetro livre ti est associado distribuio inicial atravs da seguinte relao

ti)2ill.:ol')2l.p,,)') = (2 (3.12) Vale salientar que ii' pode assumir qualquer valor, inclusive zero, pois. em principio, pode-se

construir qualquer distribuio inicial, inclusive a que viole o princpio de incerteza de Heisenberg.

Vamos agora calcular a energia mdia E(t) como funo do tempo definida pela expresso

E(I) = 00 dp 100 dx (p'~ + :-mw5x'1 ) lV(x.p. t)1-00 -00 2m..2 p' 1-2+- mw '1 2 (3.13)rn 2 o x

sendo W(x,p,t) dada por (3.10), com a soluo (3.4) e a distribuio inicial (3.11). Assim,

obtm-se [281

- = li! [cos'(w,!) + (/') 'in'(w,!) + -'- sin(2w,!)1e~"' +x' -- 1 + 4w' ~ 2mwo 1 2Wl

2':0 {1- [1 + ;:1 sin'(w,!) + 2Wl S;n(2w,:)] e~o,} (3.14) ~ expresso anloga para Jl. Note que o ltimo termo depende da constante de Planck n.

x2 interessante observar que = li'/2mwfJ para t = O. No entanto, para it 1 obtm-se x2 = nj2mwo, como esperado pela MQ, ou seja, aps O transiente ''lt 1, estabelece-se o regime IJquntico" regido pelo princpio de incerteza de Heisenberg,

.6.x)')(.6.p)') = (1/2)' (3.15)

o resultado final, para a energia mdia do oscilador como funo do tempo, dado pela expresso

I':(t) = '""o + (Il' - fi)wo [1 + "[' sin'(w !)] e-o' (3.16)2 2 2W6 o 25

!

onde se desprezaram potncias maiores que ,,(4JW) visto que ~l/WO : 1. fcil observar que

&(t) varia de &(0) = tiwo/2, quando t = O, para &(00) = hwo/2, que a energia mdia de equilbrio do oscilador no excitado (T::; O). ainda importante perceber que essa transio

pode ser lenta, pois "< wo. Esse transiente no previsto pela ~\IQ pois nessa teoria se supe que o princpio da incerteza de Heisenberg vale sempre. Isso corresponde a observar apenas o

estado de equilbrio. ignorando completamente como o sistema relaxa para esse estado.

3.1.2 Relaes de Comutao

Uma das bases fundamentais da ?vlecnica Quntica , sem dvida, o prncipio de incerteza,

proposto inicialmente por Heisenberg, e que diz repeito impossibilidade de determinao si

multnea da posio e do momento conjugado. A hiptese aceita pelos representantes da escola

de Copenhagen de que o princpio de incerteza o resultado da interao incontrolvel entre o

objeto de estudo e o aparelho de medida, ou ento, de que esses operadores so associados a

medies incompatveis, no revela o significado fsico dessa importante relao.

A obteno da relao de comutao a partir da soluo da equao de operadores de Heisen

berg, para o caso particular do oscilador harmnico, foi sugerida por Wigner [32] e por Sokolov

e Tumanov [30] e posteriormente por vrios outros autores (veja [9] e referncias internas).

O ponto de partida para a obteno da relao de comutao a equao de Heisenberg para

o operador de posio

i(t) + wix(t) - r i (t) = ~Ex(t) (3.17) m

sendo Ex(t) a componente x do operador de campo eltrico quantizado que, na aproximao

de dipolo, dada por

1/2 _ [ -iw' t iW']Ex(t) = iI;_ (2"~f ,x(k, ) afAe - afAe (3.18)) k,A

Aqui ak>. e at representam os operadores de aniquilao e de criao de ftons cujo vetor de onda k e cujo ndice de polarizao . Esses operadores obedecem s seguintes relaes de comutao:

[ak>., arI>.'] = >,>,'kkl 26

, I

I, [uk,\,afi,v] = [a1.,.,ab.v] =0 , (3.19)

Para percebermos como a.s flutuaes do campo eletromagntico de ponto zero geram as

incertezas qunticas, veremos como o comutador [x(t) ,m{t)} c\'o]ui no tempo a partir de uma

situao hipottica em que os operadores de posio e momento mecnico comutam em t = O . Uma soluo da equao (3.17), com a aproximao - T X~ TW~:i: \ dada pela e.xpresso

x(t) = .:. r' G(t - t')Ex(t')dt' , (3,20)mio

sendo G(t-t') a funo de Green do oscilador subamortecido. Dessa forma, a soluo para (3,17)

dada por (, = TW~) r

_e_ t dt'e--rf'l(t-i') [eWo(t-t ) - e-i~Il{t-t'jlx(t)

T1lWO lI) 2i: x

11221rflwC" - , ,

x i'" ti (k ) [e- t1.JJ; l a . -~ e1Wj,':tat 1 (3,21)~ ( II ) x, k), },:>. k

Integrando em t' e agrupando os termos, obtemos o seguinte resultado para o operador x(t)

,

i x(t) = _e '" (21r1!w

A relao (3.23) sugere, portanto, que a origem do principio de incerteza est diretamente

ligada estrutura do vcuo eletromagntico e essa mesma expresso mostra, em aproximao

0(,'(2/W ) , de que forma uma partcula newtoniana inicialmente localizada (no caso um oscilador)

atinge o regime quntico.

A relao de comutao entre o operador de posio e o momento cannico mostra que

as flutuaes associadas ao campo eletromagntico so as fontes das incertezas qunticas. Da

soluo estacionria de (3.17) mostra-se que (cEAt) = -.4vFlt)

. e .)_ e ...1 .2x,mx+~AFF-3clx = [x.mx][

.87re21O wpo(w) . = ,-- dw . ="l1i (3.25)

3m o (w' - W)' + (2e':.:3/3mCl)'

As fontes das flutuaes qunticas do operador x(t) vm do campo EFF(t), que depende

da constante de Planck. Observe que a ltima igualdade em (3.25) s ser vlida se a fora de

reao da radiao for exatamente 2e2 i /3c3 Esse resultado bastante comentado por :\Elonni

na referncia [9] no que se refere necessidade de se incluir as flutuaes de ponto zero do campo

eletromagntico na equao de movimento de Heisenberg (eq. (3.17)), de maneira a preservar a

relao de comutao (eq. (3.25)) em todos os instantes.

3.2 O Mtodo da Equao de Schrdinger Estocstica

Iremos agora utilizar as tcnicas da equao de Schrdinger estocstica como um novo mtodo

matemtico para resolver o mesmo problema da seo anterior, tendo em vista a possibilidade

de introduzir na MQ efeitos de flutuao e dissipao, to importantes em teorias de sistemas

abertos [33, 34, 35, 36]. Esse problema tem sido analisado extensivamente na teoria quntica

onde se tomam por base as equaes de movimento de Heisenberg desempenhando o papel

de equao de Langevin quntica (ver (3.17)). No entanto o mesmo problema no tem sido

tratado via equao de Schrdinger. Dessa forma, mostraremos que, assim como ocorre uma

correspondncia entre as equaes de Heisenherg e a equao clssica de Langevin, o mesmo

ocorre entre a equao de Liouville e a equao de Schrdinger.

28

A transformao da equao de Liouville em outra equao do tipo Schrdinger conhecida

desde os trabalhos de vVigner [61. :Xosso propsito discutir os efeitos dos campos flutuantes

(rudos) e da reao da radiao (dissipao) na evoluo dos estados de um sistema micro.'ioopico.

no espao de fase t usando as idias de \Vigner num contexto diferente.

De acordo com a SED, a equao clssica estcstica. transformada a partir da equao

de LouvHle. tem a forma da equao de Schrdinger (yeja eq. (2.50)) e dada~ para o caso

particular do oscilador harmnico, com potencial \f(x) = ~rnw5 Xl ~ pela expresso

8>/1 [ (I')' 8' 1 1il'-= --- + -mw~,,'-ex(Evp(t)+ERR(t)) 1j; . (3.26)8t 2m 8x' 2

Desejamos tomar 11} # li para salientar que Tt' no tem nenhum significado dinmico, Kesse caso

particular. essa COnstame apenas um parmetro associado distribuio inicial. enquanto que

n (constante de Planck), que aparece no termo EVF{t) , tem significado dinmico e determina o estado de equilbrio do sistema.

A funo auxiliar 1;b{x, t} depende da varivel aleatria x. uma vez que EVF(t) representa

j' o campo aleatrio de ponto 'Zero. Deve-se impor a.tgumas restries a 1/;(x, t) uma vez que a

quantidade relevante l{,(x, p, t) ) distribuio de probabilidades no espao de fase, que se: constri , a partir das equaes (2.43) e (2.46), deve ser uma funo positiva.

Veremos adiante que essa restrio nos faz considerar fuoes w(xt t} com a forma de dis

tribuies gaussianas deslocadas da origem (estados coerentes). Conseqentemente, no h nen

huma perda de generalidade associada a esse enfoque, uma vez que os estados coerentes formam

um conjunto completo de estados para o oscilador harmnico.

Vale ressaltar que a observao acima no nos impede de usarmos uma base completa qual

quer para construir os estados fsicos e assim todo conhecimento adquirido anteriormente pela

teoria quntica pode ser til na resoluo de problemas no contexto da SED.

Certamente uma base natural para se construrem solues da equao de Schrodinger es

tocstica dada pelos auto-estados da harniltoniana do oscilador harmnico

( fflWo 3:') ({ffiW)4;n(3:) = (mwo) 1/4 exp - 2i1" Hn;1: Vti! (3.27),,11 (2" n.1)'/2 29

I

sendo H.(x) as funes de Hermite. Esses estados o.(x) formam um conjuuto completo e

ortonormal de funes, satisfazendo a condio

L00

",~(x) 0.(1/) = "(I - Y) (3.28) 1l={1

As funes 4l.(x) exp( -i'ntlh'} so solues da equao (3.26) quando e = O, com o conjunto

de "energias" n dadas por , ( 1\

n=n,t,'o n+;;1 (3.29) -I

Podemos. portanto} escrever as solues da equao de Schrdinger eStocstlca na forma

, : 1i:(x. t) = L

00

o.(t) "'.(x) ,-i'"'/h' (3.30) 11=0

e determinar os coeficientes un(t) substituindo (3.27) em (3.26). Iremos a seguir discutir as

solues exatas e aproximadas da equao (3.26).

3.2.1 Anlise Perturbativa

Na teoria quntica de Schr6dillger l os auto~estados das hamiltonianas que descrevem sistemas

fsicos (oscilador, tomos,,..) so estados estacionrios estveis. Um sistema excitado, portan

to, no deveria decair segundo essa aproximao da teoria quntca, Quando se quer observar

transies entre estados ou decaimento para o equilbrio j invocam-se potenciais pertl.1rbativos ou

dissipao includos ad hoc, que geram problemas com a conservao da Corrente de probabili

dades [36].

Na SED no h sistemas isolados, Os tomos encontram-se COnstantemente acoplados

aos campos trmicos, aos de ponto zero c tambm aos campos prprios de irradiao, e ainda

a alguma outra fonte de rudo gerado pela presena de ambientes circundantes diferentes do

espao vazio. Para se compreender melhor o mecanismo responsvel pela emisso espontnea

ou forada de um sistema excitado e comparar os resultados da SED com a QED j faremos

aqui uma anlise que torna prximos os enfoques entre as teorias.

Estudaremos a transio para o equilbrio de um \lensemble" de osciladores harmnicos car

regados) todos identicamente preparados no mesmo estado de ((energia1) 4>l no instante t = O.

30

. J

. , I

A partir desse instante: "ligamosl1 os campos E\"p(t) e Enn(t). que sero tratados pert.urbati

vamente, e observaremos o papel que cada um desses campos desempenha.

Vamos ento introduzlr a hiptese de que para t = O a funo w seja dada por

,p(x, O) = 'Mxl (3.31)

onde q>l(X) dado por (3.27} sendo e um inteiro arbitrrio. O procedimento padro em tenria de perturbao dependente do tempo [37] fornece-nos a seguinte equao para os coeficientes

an(t) que aparecem na expanso (3.30)

iean(t) "'" !n + Jjl Xnl II dr !EVF{T) + ERR(r)1 efw"rr + ... (3.32)10'

onde se definiu fi'Wni =n - ~t e InE a notao para a expresso

Ini "" Joo dx 4>~(xl x ,;,tix) __ xn; (3.33) -/XI Wu

A aproximao em (3.33) vlida se considerarmos a fora harmnica muito maior que as

foras eletromagnticas que comparecem na equao (3.1). Note que o limite hl ~ O no pode

ser tomado nesse tratamento perturbativo (veja expresso (3,32)).

A potncia mdia absorvida ou emitida pelo oscilador, devido ao acoplamento com os campos

de radiao. expressa por

,,,(e) "" U: dx i:dpW(x,p, t)~ e [EvF(t) + EitR(tl]) = vF+RR (3.34)

A distribuio clssica lV(x, P, t} , soluo da equao de Liouville; obtida a partir da funo

auxiliar 'IjJ(x, t) calculada pelo mtodo perturbativo. A mdia no !\ensemble", indicada por {) 1

tem exatamente o mesmo sentido daquele introduzido no captulo 2, ou seja, so mdias nas

fases aleatrias que aparecem na expresso para EVF'(t) e nas expresses qllee dependem desse

campo. Nessa anlise aprox.lmada, iremos obter Et9t (t) at ordem e2 na srie perturbativa. A fora de reao da radiao ser aproximada por [24]

2 .2 ___2 e2 2' eER1I.(t) '" 3 tfl x- 3 tflw. x -"IV . (3.35)

31

2Portanto, at ordem e , a potncia emitida pelo oscilador devido ao acoplamento deste com seu

campo prprio de radiao ser dada por (veja 11 expresso (3.34))

iR.; (_jOO dxjOO dp .lp'W(x,p, tJ) = -21' (jOO dxj"" dp .p' 1-I'(.'.p, t l) (3.36) -OQ -00 m -00 -00 2m

Conclumos~ ento, que a potncia &RR pode ser expressa na seguinte orrna simplificada

. P ')2 e 22 " '>(- ') = -27 (1 ) = 2' 00 dxx~l

Definimos a correme de probabilidade .. J(x, t) e, com o auxlio de (2.43) e (2.46), obtemos

(ver apndice B)

J(x,t) =1: dpp W(x,p, t) = Re ["'(x. t) (-ih'!) 0(x, t)] (3.40) e, portanto, a potncia associada s flutuaes do vcuo ser dada por (ver C 1 , pode-se fazer a seguinte substituio

rdT e'r{w-w"d --t ('Xi dT eiT(I.1-w.,d ::.: ~ + ?r (w - {.:.'nt) (3.44)}o }o W - Wnt

c, portanto, a expresso (3.42) a.sume a seguinte forma (detalhes no apndice B) :

2 . 2e 1[ ]

&YF = 3C' li' E XtnXn' - E J:",x", (3.45) n(>i:) n{

desde que a aproximao (3.33) seja vlida e lembrando ainda que wnl = -Wln .

Combinando as equaes (3.39) e (3.45), pode-se expressar a equao (3.34) na seguinte

forma

2e' [( tt) '" .... (1 /j) '" .. .. 1t'o,(f) '" -:3 c3 1 + h' L... XlnXnl + - li' L... XlnXnt (3.46) nl) ~ n(>t)

que o principal resultado desta seo.

O primeiro termo da expresso (3.46) representa transies de um "nvel" e para outros "nveis" n de menor ;lenergia" tn < fi = h'Wo (e +~) (transies para baixo). Por outro lado, uma vez que h' um parmetro livre, ambos os tipos de transies so permitidos. No entanto,

se em particular h' = h, obtm-se: ,I 2 ? 2 2

;. (I) ,e '" .... - e Wo () ( _Ctot = -:3 c3 L.., XnXnl = -:3 7 ti - tO 3..lr)

ni) m

que um resultado conhecido na QED obtido por Dalibard et aI. [38]. atravs de um clculo

perturbativo, onde se usa o quadro de Heisenberg e h' = h.

Clculos exatos (no perturbativos), para o caso geral de temperatura diferente de zero,

admitem transies para cima e para baixo [40, 41]. Encontram-se, por exemplo, solues do

tipo estados coerentes comprimidos (squeezed states) com dissipao, para o caso em que li' < h

(estados sub-Heisenberg) [421.

ainda possvel concluir que o nico estado estacionrio o de energia t = fu.uo/2 e que

no pode ser estvel na ausncia das flutuaes de ponto zero, que exatamente contrabalanam

a energia perdida devido reao da radiao. Assim, percebemos que a energia do vcuo que

probe que o oscilador (tomos) colapse para o ncleo.

3.2.2 Soluo Exata e Estados No-Heisenberg

Vamos agora verificar como possvel encontrar um conjunto de solues exatas (no perturba

tivas) da equao de Schrdinger estocstica (3.26).

Usando um procedimento bem conhecido [43], procuramos solues da equao (3.26) na

forma de estados gaussianos

1/J,(x, t) = t/>o(x - x,(t)) exp [~, (xp,(t) - g(t))] (3.48)

34

onde consideramos que n'

Note que 1j!,(x, t) e 1J!(x,p, t) so funes flutuantes (estocsticas) para t > O, j que x,(t)

depende explicitamente de EVF(t) (veia (3.52)).

Uma vez que h' , at essa altura, um parmetro livre, podemos considerar: por exemplo; o

caso particular

lm W(x,p, t = O) = (x - 'co) (p - 1'0) (3.54)h'-tO

que representa uma situao tipicamente deterrnnistica. Porm, com o passar do tempo~ pode-se

mostrar a partir da equao (3.53) que as mdias estatsticas tlx)') e tlp)') so tais que

tlx)')tlp)') = (h/2)' (3.55)

para t --1- 00 ! onde h a constante de Planck, somente se fil --t O. Para compreendermos isso.

basta calcularmos o valor mdio {Xl) defindo por

(x') '" (f: dxx'I1iJ(x,t)!') '" mwo) 1/2 (!~ [-2mwo(X - X,)'] [ , )2

( T -00 d:rexp li' (x - xc) -.- 2xx - x~]

li'2m:;' .;. (X;) = (li' +h) (3.56) o 2mw,

j que tPO(X)l definido em (3,21)1 um estado normalizado, Esse resultado somente coincide com

o valor correto tempera.tura zero (n/2mwo) se tomarmos fi' -t O, O mesmo raciocnio vale

par. O clculo de (p') = m'w5(x').

Esse resultado sugestivo e pode mostrar a eorrespondnda que existe entre a descrio

de Schrdinger da MQ e a equao do tipo Schrdinger estocstica, deduzida da equao de

LiouvHle com termos de flutuao e dissipao. A primeira foi construda para fornecer a evoluo

temporal das ondas de de Broglie e a segunda para fornecer~ atravs de uma transformao de

Wigner1 a evoluo temporal no espao de fase de um Hensemble1l de partculas.

O fato de tomarmos o limite de !tI tendendo a zero na equao do tipo Schrdinger estocstica

corresponde) tornando por base a MQl a eliminar o carter ondulatrio da partcula e os efetos

qunticos que surgem do conceito de onda de de BrogHe porm1 preservando os efeitos qunticos,

dependentes da constante de Planck, que surgem do termo de flutuao do vcuo. O fato de

36

I

vrios resultados, no caso de sistemas lineares, coincidirem nS dua... descries sugere fortemente

que as ondas de de Broglie podem ter suas origens nas flutuaes eletromagnticas de pomo zero.

como tem sido sugerido por de la Pena e Cetto [46J.

, "

37

Captulo 4

A

ELETRODINAMICA DE

CAVIDADES NO CONTEXTO DA

SED

Efeitos da existncia de um vcuo eletromagntico no trivial tm sido extensivamente estuda

dos desde sua concepo no incio deste sculo [41 at os dias atuais. Foram descobertos [471

importantes efeitos da radiao de ponto zero em sistemas fsicos: como as correes radiativas

nos nveis de energia dos tomos (deslocamento Larnb), O momento magntico anmalo [47, 48]

e o efeito Casimir [49] - foras trocadas por tomos e objetos macroscpicos, intermediadas

pelas flutuaes do vcuo - que tem sido comprovado experimentalmente [50].

No final da dcada de quarenta, surge uma das principais idias do que hoje chamamos

eletrodinmica de cavidades [51J. Purcell [52] sugere que a taxa de emiso espontnea associada

a transies atmicas significativamente estimulada na regio da radiofreqncia, quando se

acopla o tomo a um circuito eltrico ressonante. Dessa maneira) conelui, os modos de radiao

so modificados! em relao ao espao livre, devido presena do "ambiente" (circuito eltrico).

Em 1954, Bloembergen e PQund previram que o mesmo mecanismo dev-eria estimular as

taxas de emisso espontnea coletiva em experincias de ressonncia magntica onde momen

tos magnticos so acoplados ao circuito reSSOnnte (ou cavidade) [53]. Nesse mesmo ano l foi

38

descoberto o maser ao se fazer um feixe de molculas de anlnia passar por uma cavidade resso

nante [54}. A partir de ento, nota-se um interesse crescente no estudo da interao de tomos

com campos eletromagnticos em cavidades, onde se estudam as modificaes nas propriedades

radiativas dos tomos e as alteraes produzidas no campo eletromagntico, tornando-se hoje

uma rea especfica da QED r;5, 561

Um clculo recente na SED~ em eletrodinmica de cavidades, surgiu num artigo intitulado

I1Spontanoous Emission in Confine

os autores estudam o comportamento de tomos excitados entre espelhos (cavidade retangular),

obtendo as modificaes na emisso espontnea provocadas pelos novos contornos {diferentes

do espao livre), Uma comparao com resultados recentes [58] mostra perfeito acordo entre os

resultados tericos clssicos [57j e experimentais [58]. importante lembrar que alguns clculos

apresentados na referncia !,ji] j haviam sido obtidos na SED num contexto mais geral [59L

assim como a prpria fora de Casimir entre placas [60] e foras de van der \Vaals (retardadas e

no-retardadas) entre partculas polarizveis e paredes metlicas (e tambm dieltticas) [61,62]

Neste captulo estudaremos um problema tpico de eletrodinmica de cavidades, modvados

pelo sucesso da abordagem da SED e por um interesse (talvez novo) em se tentar controlar

a emisso 1!espontnea'l de tomos a partir de correntes macroscpicas externas geradas por

circuito simples [63]. Analisaremos o problema segundo a teoria da SE.D com um enfoque

t.radicional baseado na equao de Langevin [6311 utilizando uma linguagem dssica e fornecendo

durante os clculos urna imagem fisicamente transparente, e tambm a partir do novo enfoque

baseado na equao de Schrdinger estocstica, ,

I I

4.1 Caracterizao do Sistema Dinmico

I osistema fsico que vamos estudar consiste em um longo solenide (indutor) interagindo COm um I dipol0 eltrico (tomos ou molculas, por exemplo). O dipolo eltrico um oscilador microscpico

unidimensional (a extenso para trs dimenses natural) carregado com carga e e com massa

m , que os

,,, ,,,.

L cujo eixo orientado paralelamente direo z, Iremos considerar o solenide constitudo

por um nmerO grande N de espiras circulares de raD a que se estendem de -l/2 a ej2 na

direo z. O solenide (L = 47f2N2a"I)c2f.) parte integrante de um circuito RLC, Vamos

ainda supor que a < y f., isto 1 o solenlde pode ser considerado muito longo ("infinito':) do ponto de vista do oscilador (veja Fig. 1).

O sistema se ncontra imerso em radiao eletromagntica de origem trmica e de ponto

zero. Para incorporar os efeitos radiativos presentes no sistema, usaremos o enfoque da SED

que, par sistemas lineares. fornece resultados em acordo com a QED (ver captulo 2).

4.1.1 Equaes de Movimento

A equao clssica, no relativstica. que determina o movimento do o.::;c:ilador microscpiro ti

dada por'

mx ::;: -mw5 x + e Ex(t) + ror i (4.1)

Dnde T -:::;:- 2ez/3mc3 e Ex(t) a componente x do campo eltrico externo lotal, na aproximao

de clipolo, e independente da posio x da carga (estamos supondo Ixl

sendo I{t) a corrente eltrica de origens determinsticas e estocsticas. Isso ocorre porque a

fora eletromotrz total, que denotamos por

&(t) =&.'u(l) + 5..,(t) + .,,(t) (4.4)

tem essas duas origens.

Na ausncia de uma fora eletromouiz advinda de uma bateria. t'dett) = O, temos duas

contribuies. uma gerada pelas flutuaes trmicas e de ponto zero. conhecida como rudo de

Nyquist-Jonhson [64], que denotamos por NAt) , e oUtra, Eind{t). que a fora eletromotriz

induzida pelos campos gerados pelo dipolo oscilante em cada espira do solenide.

4.1.2 Flutuaes e Espectros

A funo de corre~ao associada s flutuaes trmicas e de ponto zero dada pela mdia no

"ensemble~l

hw (EVF(t) EVF(O)) = 4" J~ dw o"":'. ccth (2kT1e'~' (4.5)3 -00 _7f C I

onde T a temperatura de todo o sistema (radiao e circuito),

Vamos denotar a transformada de Fourier de EVF(t) por EVF(W)

EVF(t) =J2 dwEvF(w)e-iw' (4.6) A funo de correlao da transformada de Fourier de (4.6) , ento, dada por

- _ ,) Ilw' (hw\ ,(EVF(W) EVF(W) = 3,,2 coth \2kT) (w+w) . (4.7)

A funo de correlao asso

onde Z(w) = R - i (WL - w~) a impedncia do circuito e NJ(w) a transformada de Fourier do rudo &l'olJ(t) . Supondo que o comprimento de onda caracterstico da radiao emitida

( = 2JrcvLC) seja grande comparado s dimenses do circuito, possvel mostrar [64], com

base no teorema flutuao-dissipao [25], que relaciona as flutuaes nas correntes com as

propriedades dissipativas do sistema (com a resistncia R do circuito) e no fato de o circuito

RLC ser um oscilador eltrico n- 1 = VLC, cuja energia mdia a temperatura zero n~ , que o espectro das flutuaes da voltagem (rudo de Nyquist-Jonhson) expresso por

(- - ) RI,; (I,;) ( 4.9) &NJ(W) &NJ(W') = 211" coth 2kT (w + w') Quando se acoplam os elementos do sistema (dipolo e circuito), esses objetos "percebem" que

esto imersos num rudo alterado pelos novos contornos. O rudo adicional sentido pelo dipolo

vem dos campos irradiados pelo solenide (Esot(t) em (4.2)).

A componente x do campo eltrico retardado que se origina das flutuaes na corrente do

solenide (veja Apndice C para detalhes) dada por

E",(t) = _~ DA",(t) = (00 dwl(w)(-iw) b(w,y) e-iw' (4.10) c & Loo c

onde

22T N a fl/2y ( wy )2I b(w, y)"'" n. 10 da exp i C" VI + 0. X i

x [(1 +",ti' - i w: (1 + ,,'r] '" 2TNa2 2nNa2

(4.11)- y";f' + 4y' '" ----;;ey-

A integrao em (4.11) aparece porque supusemos que as espiras circulares podem ser con

sideradas como uma linha de dipolos magnticos uniformemente distribudos (de -e/2 a P/2)

ao longo do solenide. A primeira aproximao em (4.11) vlida quando a y, a segunda quando ew c (desprezam-se os efeitos de retardo) e o ltimo quando y I!. No entanto pode-se mostrar que a ltima expresso tambm vlida para qualquer razo y/a > 1. Com

essas aproximaes, o resultado para Esol(t) adquire uma forma simples e familiar

42

" E",(t) = _~ 8.4", 2"j,", t) (4.12)

c TI '" c2y Na expresso acima I (t) representa a corrente de origem determinstica e estocstica, e N/ I a

densidade de espiras do solenide.

A distribuio espectral das flutuaes do \'cuo (4.5) ser modificada pela presena do

solenidc. Vamos calcular essa modificao na hiptese de que as flutuaes na corrente e as

flutuaes eletromagnticas de ponto zero so estatisticamente independentes. ~a ausncia de

interao (dipolo eltrico removido), as propriedades estatsticas de Esol(t) podem ser obtidas

de (4.8), (4.9) e (4.12). Nesse caso, a funo de correlao da parte flutuante do campo eltrico

total, Ef = EVF + Eso] , tal que

4" joo .(EI(t) EI(O)) = - dw p(w. y) e'"' (4.13)3 -00

e caracterizada pela distribuio espectral p(w, y). Supondo que (Evp(w) Eso!{w' O

mostra-se, usando (4.5), (4.8), (4.9) e (4.10), que

= hw' coth (hw) (4.14)p(w, y) 2".'c' 2kT [1 + f3(w, y)[ onde

('-No' )'3 Rlb(w,y)I' _ ~ R T (4.15)f3(w, y) = 2 cIZ(w)I' - 2 cIZ(w)I'

A distribuio espectral (4.14) muito diferente daquela observada no espao livre devido

presena do solenide. A modificao em p(w, y) significante em freqncias w prximas

freqncia de ressonncia n do circuito. Essa modificao essencial para entender a interao de Casimir entre o dipolo e o solenide (veja [9] para outros exemplos de interao de Casimir).

Vamos considerar agora a fora eletromotriz Eind(t) induzida pelos campos gerados pelo

dipolo eltrico em cada espira do solenide. Consideremos o dipolo eltrico na origem do sistema

de coordenadas a uma distncia y do solenide. A carga oscilante gera campos eletromagnticos

que se propagam no espao e atingem o solenide. A componente z do campo magntico no

ponto (O, y, z) dada por [171

B ye(t-r(c) yei(t-r(c) z ~ 3 + _? 2 (4.16)cr c-r

43

I sendo r' = y' + z' e x(t) a soluo da equao (4.1).

De acordo com a lei de Faraday: esse campo magntico dependente do tempo produzir

uma voltagem flutuante elh cada espira do solenide devido s flutuaes em :c(t). Como con

seqncia~ a fora eletromotTz que age no circuito ser diferente de ENJ ( t). A fora eletromotrz

flutuante total ser a soma de eNAt) com a eontribuio proveniente da ta."(R de variao tem

poral do fluxo magntico que vem de (4.16) em cada espira. Cm clculo padro da variao

temporal do fluxo fornece (veja Apndice C)

E(!) = ENJ(t) +er: dwx(w) b(~;y) (-iw)'e I I (4.li)

onde a funo b(;;...',y) a mesma introduzida em (4.11) e -i:..:Jx{w} ti a transformada de Fourier

de x(t). Uma expresso Simplificada de 6(t)

2r.a2 N . ECt) = &NJ(t) + C' fy d(t) (4.18)

que pode ser usada quando os efeitos de retardo so desprezados e y t.

4.2 Estudo da Interao do So}enide com o Oscilador

Se denotarmos por l(w),f(w), EVF(w), f,(w) e x(w) as transformadas de Fourier das respecti

vas grandezas, obtemos equaes algbricas acopladas para o sistema interagente. Para o dipolo,

a equao (4.1) se transforma em

( ' 2 3) e [- - iwb(w y) - 1W - W -'TW x(w) = m Evp(w)+Ed(W)- ",' I(w) (4.19)o onde o ltimo termo corresponde transformada de Fburier de E:;;

4.2.1 Propriedades Relativas ao Oscilador

A partir da soluo das equaes acopladas (4.19) e (4.20). poss"el determinar diversas pro

priedades do oscilador que eventualmente se diferenciam daquelas obtidas quando o dipolo se

encontra no espao livre. De (4.19) e (4.20) obtm-se

~ - .wb(w.y) - 1 e(- - wo-)EFF(W) + E,(",) -, o' Z(w) &(w) - EFF+E,-i~ee\ [ m c1.Z

x(w) = ( m) (4.21 ) 3b'(w y)] D(w)w-w2-ivrT 1+ ' [ I 2 cZ(w) J

A funo D(w). introduzida acima, pode ser escrita COmO

D(",) = w~ + rw'!.,(w, y) - w' - irw'[1 +!., (w. y)] (4.22)

ande !.dw, y) e LlZ(W, y) so funes reais definidas pela e.xpresso !., +d, =30'/20'Z ande 3 a2 c R

/j, Q.:

,(w,y) 2 y2 !,

i

'i ,

' " 'I' 2 e' li:voE,1aCl ver que Wo ~ Wo uma vez que 7Wfl = -3 .. --2 : 1. ne me No caso limite em que o. oscilador est muito distante do circuito) ou seja,

,8(w, y -+ 00) = O= L).1 (w, Y -t 00), a expresso (4.24) torna-se o resultado familiar de (x2 ) associado co.m o oscilado.r livre~ isto , interagindo. com as flutuaes do vcuo (trmicas e de ponto

. ! zero), ainda possvel r",unhecer em (4,24) que a presena do solenide modifica a distribuio

espectral das flutuaes eletromagnticas. Essa modificao aparece no fator 1 + fJ(w, y) no numerador de (4,24), 1'0 eutauto, uma vez que as equaes (4.19) e (4.20) so acopladas, tambm

a dissipao do sistema (oscilador mais solenide) afetada pela presena da funo .6., (w, y).

Essa a razo pela qual o fator 1 + ~l aparece no denominador de (4.24). Por Outro lado. como TWo muito pequeno, o denominador ma funo fortemente concentrada em w~ ~ do

e assim aproximaes de ressonncia podem ser usadas [16], Fazendo .::1 1(w;y) ~ ';~'i(wo.y) e

:J(w, y) '" B(wo, y), obtemos com boa aproximao

,," '" ,,'2 [ p(wo,y) ]_ ~ coth (I!wo) 1 + :3(WO,Y) 1 (4.26)( ) - mwJ 1 + il,(wQ,y) - 2""-'0 2kT [ 1 + ~.(WO,y) Essa expresso pode ser simplificada se wyJc ~ I! de maneira que os efeitos de retardo so

completamente desprezados, Ento

3 R '" P(w, y) , (4.27)Al(W,y) ::: 2 c[Z(w)l' ( 2"Na'Y Cy j como pode ser facilmente visto. partir de (4.23), (4.15) e (4.11), Isso implica que (4.26) pode

ser escrita como

, li (I!wo) (4.28)(x ) '" 2mwQ coth 2kT A energa mdia de ponto zero do osclador microscpico pode ser calculada a partir da

! expressoi .

[ : (U) = (~m:i;2 + ~_~x') . (4.29)

Essa energia pode ser expressa por uma integral sobre freqncia."l

(U) = f' dw(w' +w~)S(w). (4.30) 46

onde a expresso para a funo espectral S(u... ) definida por

= hw'r[l + .B(w,y)] h (rIM})S( ) (4.31)w 21rID(w)12 COt 2kT

A integrao de (4,30) feita at ordem mais baixa de i = rUJo no Apndice D fornecendo

1 (U) '" 2hwo [1 + 0(,)) (4.32)

quando T = O. Esse essencialmente o resultado para o oscilador no espao livre em equilbrio

com a radiao de ponto zero.

Esse exemplo mUlto parecdo com aquele encontrado quando o oscilador se acha entre dois

espelhos perfeitos e paralelos [571. "'esse caso h uma mudana drstica na distribuio espectral

dentro da cavidade provocada pelos contornos, );0 entanto a mesma mudana aparece na dis

sipao do osclador, Como resultado, energia e a distribuio de probabilidades do oscilador

mantm-se quase as mesmas do espao livre, Ocorrem; todavia, importantes modificaes no

tempo de vida mdia dos estados excitados do oscilador. Essas modificaes, COmO anisotropia

dos campos rradiados com estimulao ou supresso na emisso espontnea, tm sido obser

vadas experimentalmente [58] e explicadas teoricamente [57}, Ns sugerimos que um fenmeno

anlogo deve ocorrer quando tomos so colocados prximos a um longo solenide.

4.2.2 Emisso Espontnea

o ponto de partida para o estudo detalhado da excitao e decaimento dos estados excitados do oscilador nossa equao (4.21) onde observamos que existem dois tipos de excitao deter

minstica do oscilador. Vamos chamar de ((excitao externa" a excitao determinstica gerada

por Ed(W) na equao (4.21). Um segundo tipo de excitao obtido quando adicionamos

uma voltagem determinstica na expresso para l(w) em (4.21). Voltagens determinsticas com

dependncia temporal aplicadas ao circuito geram campas eletromagnticos que se propagam

para fora do circuito. Esses campos podem excitar o oscilador como mostra a equao (4.12).

Vamos chamar esse processo de excitao de ue:xcitao voltaicall , Vamos a seguir discutir esses

dois tipos de excitao.

47

j

)Jo espao livre a fora de reao da radiao que age sobre o oscilador pode ser aproximada

por 2e2 x /32 ::::= -mf. Portanto f =2e2:.:;3f3m2 a constante de amortecimento do oscilador no espao livre (aqui r ="'I do captulo anterior). Quando o oscilador est prximo ao indutor e sofre uma excitao externa gerada por um simples pulso determinstico tal que

E.(!) = a(t) , a posio mdia do oscilador pode ser facilmente obtida.

De acordo com (4.21), obtm-se

en 100 e-u.:t ~ et> x - -- dw- mWfl sn(wot) e-!;f (4,33)( ) - 21rm -00 D(w) onde D(w) foi introduzido em (4.22) e r' definida como

r' '" r [I + ""("'0. y)] '" [[1 + fl(wo. Y)] (4,34 )

o resultado acima para a integral (4.33) foi obtido tomand-se em conta o valor aproximado Wo - i ['/2 para os plos do integrando. Isso est de acordo com (4.26) onde se usou a

hiptese de que .6.1(W, y) uma funo suave em ~ e de que Wo a freqncia relevante para

o oscilador mecnico.

Essa nova constante de amortecimento r' difere do valor encontrado para o espao livre

pela presena da funo LldwGl y). Assim. O tempo de vida mdia dos estados exdtados ser

diferente dependendo da distncia y que o dipolo se encontra em relao ao soIenide e tambm

da orientao do dipolo, causando um estmulo e anlsotropia na emisso espontnea. Essa

uma nova previso que pode ser eventualmente teStada em laboratrios.

Faremos uma estimativa da ordem de magnitude desse efeito considerando uma situao

concreta, A ordem de grandeza de Ll i pode ser obtida usando como exemplo reaJstico o

solenide de Mllenstedt e Bayh [65] para mostrar O efeito Aharonov-Bohm [66] (discutiremos

esse efeito adiante). Nesses expermentos [65] a resistncia do solenide aproximadamente

4 x 10-10 s/em (quase 400 ohm), i! "" O, 5em, N '" 1000, a '" 7 x 1O-4cm e a indutncia

L ~ 5 X 10-20 S2Jcm. Assim l introduzindo esses \-alores em (4.27) e considerando Wo = fi,

obtm-se Q valor mximo para -., que

3cJ.2cL a2 (4,35)b.1 = 2y'eR '" 10 y'

48

i

I

c, portanto, para a nova constante de amorte

i Para se ter uma idia qualitativa da vida mdia associada ao primero termo em (4.39), quando comparado ao espao livre1 ,'amos considerar que Wo ::::: 1011 Hz e TWI):::::::: 10-16 , Esses

dois valores so caractersticos das oscUaes associadas molcula de amnia, Usando os valores

numricos para R e L considerados acima, obtemos RILr = RIL7"'~ '" 10'. Esse valor

surpreendentemente grande! obtido para esse e."'\cmplo particular, revela um novo mecanismo

para estimular a emisso espontnea dos tomos que se encontram prximos ao solenide. Em

nossa opinio, essa previso terica muito intere&"iante e deve merecer alguma ateno no

mbito e'qmimental (veja referncia (63]).

4.2.3 Fora de Casimir

!

-!

Como temos visto 1 devido interao entre o dipolo eltrico e o indutor do circuito RLC. rudos

adicionais so gerados permeando todo o sistema e variando com a distncia entre os objetos,

Quando estes esto muito afastados. prevalece o rudo de ponto zero convencional (Planck 1911),

Estamos, portanto, diante de um novo exemplo de nterao de Casmir.

A fora eletromagntica trocada entre o solenide e o dipolo eltrico microscpico p(t)

dada pela mdia no Hensemble" [62]

- ... - p(- )F = ((ji. V )E,ol) + ;; x B"" (4.40) Somente a componente x do momento de dipolo eltrico Px(t} = ex(t) ir interessar-nos pois

o dipolo se encontra. orientado nessa direo, A transformada de Fourier de x(t) dada pela

expresso (4.21), O campo eltrico gerado pelo solenide Eoo!(t) foi obtido anteriormente) com

sua componente x dada por (4.12), e 8$ot = V X soJ tem a direo z. Pode-se mostrar que IB,,,I = 1.8,,,1 e que f tem a direo do eixo y (veja Fig.1).

O primeiro termo em (4.40), que chamaremos de Fi; a contribuio devido ao campo

eltrico gerado na parte exterior ao solen6ide. FI dada por

( __ ) a'N

FI:; (ji. V)Ewl = -2" 'l'.y' e(xI) (4.41)

parae':i>y.

50

I .

! I

A corrente I(t) tem sua transformada de Fourier dada pela soluo do sistema de equaes

algbricas (4.19) e (4.20) para O caso em que os campos detcnnnsticos so nulos, ou seja,

Ed = d= 0, - ;.; - 0)2 - lTlJ.i - 3 cbrw2

i Z(w) f(",) = D(w) E(w) - 2 D{w) Evp{w) (4.42)

, Substituindo (4.21) e (4.42) em (4.41) e ainda lembrando dos n"mlrados (4.5) e (4.9), mostra-se que F, dada pela seguinte integral

(CR) w3coth (Iw)N"a" f~mo, 2l(}' XFI = 3r.(rwo)(liwol-12, dw -, (4.43)Y -;.1_;: W(j IcZ(w)i'ID(w)I'

x [(w.l- ",') rw7/. (n' - ",')1

sendo Wllll\.X a freqncia m.xima. compatve1 com a aproximao de comprimento de onda longo

(Wm", "" c/i).

O resultado adma a prindpal contribuio para a fora de Casimir. Pode-se mostrar quei

o segundo termo da expresso (4.40), a componente magntica da fora) torna-se irrelevante

1 numa a.nlise no relativstica, como a que empregamos aqui. Alm disso, como essa fora 1 P.ffi

primeir& aproximao, proporcional a (x(t)j(t , pois "" proporcional a j, pode-se mostrar

que essa mdia igual a zero.

A integral na expresso (4.43) pode ser calculada para qualquer valor de temperatura T.

Vamos primeiro comentar o resultado para kT : /in e kT nwo 1 que pode ser obtido trocando w' coth(Iiw/2kT) por Iwl'. Nesse caso, o resultado ser

1. 3 a' (cr) { ( c ) ..(1 - "l) ., F = - 4" 11" (liwo) e 2,

,

I

.! ,

Esse resultado vlido em primeira ordem de f :::: TWo com a condio de W(l e n serem muito menores que cli. Veja Apndice D para os detalhes dos clculos.

No caso particular F/ 1 ; circuito com. alto fator de qualidade, a expresso entre colchetes

em (4.44) assume uma forma simples

3 0 2 (CT)F = - - (Iiwo) -

4 y' e [ ..2 11+ '

1+7 (4.46)

ainda notvel que o resultado acima j para baixas temperaturas, seja vlido para 11 - "11 ~ fi

-11-11::d .

Outro caso interessante ocorre quando a temperatura ta1 que kT 4> nwmax Podemos substituir na expresso (4.42) liw coth(r!W j2kT) por kT. e a fora de Casimir ser dada por

uma expresso muito mais simples (ver Apndice D)

3 a' (Te)F= -4y' T kT (4.4i)

t 1,

De acordo com esse resultado, a fora e repulsiva, cresce linearmente com fi temperatura e independente da freqncia Wo do oscilador mecnico. Finalmente, se Wo : Wmax 1 a fora calculada em (4.44) muito pequena.

4.2.4 Distribuio Espectral das Flutuaes da Voltagem no Circuito

De acordo com a expresso (4.18), as flutuaes espontoeas da fora eletromotriz e(t) quc atua

no circuito tm duas contribuies fundamentais. A primeira indicada por NJ(t) simples-.

mente devida ao rudo trmico e de ponto zero em circuitos resistivos, e sua densidade espectral

dada por (4.9). A segunda contribuio gerada pelas flutuaes do dipolo eltrico, e

proporcional a :;;(t) , de acordo com (4.18).

De acordo com o teorema de Wiener-Khintchine, o espectro de freqncias Sv(w) dado

em termos da transformada de Fourier da funo de correlao de e(t)

(l(w)l(w')) = Sv(w) (w + w') . (4.48)

As duas contrbuies para Sv(w) discutidas acima podem facilmente ser obtidas a partir

52

'1 ,

'I,

das expresses (4,9), (4,18) e (4,21), Um clculo dreto nos fornece

s w ~ fIM} coth (1iw) {R+ (7W)' ~ (2;ra' .v)' ",'[I + Ll,(w,y)] }

v( ) - 2". 2kT c 2 ~ fy - (w'~ - ,-,')' + ,.'w'[l + Ll, (w, y)]'

(4.49)

sendo que W ~ Wo foi introduzida anteriormente na expresso (4.25). O segundo termo em (4.49) provm das flutuaes do campo magntico geradas pelo movi

mento aleatrio do dipolo oscilante, Essa contribuio para a densidade espectral Sv{w)

pequena num grande intervalo do espectro devido ao fator (n.;))2, Vale mencionar. entretanto,

que, para freqncias muito prximas de w'o (ou wo), o segundo termo em (4.49) tem um pico

acentuado de ordem zero em 1", gerando no crcuito um rudo intenso nessa freqncia [68]. l:'ma

possvel observao axperimental desse pico merece ser comentada uma vez que o espectro (4.49),

sem o segundo termo, foi meddo com bastante preciso (veja R.H. Koch et aL na referneia

[641 e a Fig,2),

Como o produto rc.....'o extremamente pequeno, podemos usar a seguinte aproximao

w4[1+Ll,(w,y)] -~w-w. (4.50)(w2 -w)'+r'w'll+Ll,(w,y)l- 2r ( )

~J\ssim, o espectro (4.49) poder ser escrito como

1iw ( 1iw ) {, 3" w.ca' } (4,51)Sv(w) '" 2" coth 2kT LQ ,+ 4(rwo) !lIy' (w - w.l '

o pico acentuado no espectro de freqncias do rudo no circuito eltrico na freqncia Wo tem uma largura e uma intensidade que devem ser determinadas pela resoluo do aparelho de

medida. Se 8w for a resoluo) devemos observar a mdia do termo entre chaves da expresso

(4,51) no intervalo [w. - (ilwl/2,w, + (l>w)/2], o que fornece

31r WIj -=-~. (4,52),,+ 4(Two) (Llw) !li y' 2 para w dentro desse intervalo, Mesmo quando o oscilador se encontra muito prximo do solenide

(lJ '" al, obtemos para o segundo termo em (4,51) um valor em lorno de 10-'4 se comparado com

comprimento de onda ;;:;:; 1.3cm. Podemos considerar, tod!l\'a1 no uma nica molcula mas

um solenide imerso num clindro de raio l e altura l COm gs amnia. f"esse caso) um clculo

direto mostra que o segundo ,ermo de (4.52) deve ser multiplicado por

21r , (I)3"na lln :;: , (4.53)

onde n o nmero de molculas por unidade de volume (2.7 x lO'9cm-3 em temperatura ambi

ente). Prevemos um pico pronunciado em torno de cinco vezes maior do que o rudo de fundo

(trmico e de ponto zero) para freqncias prximas da inverso da amnia (veja Fig. 2).

4.3 O Mtodo da Equao de Schrdinger Estocstica

Tratamos aqui o problema da. nterao entre o dipolo eltrico e o solenide com o enfoque

da equao de Schrdinger estocstica. Sabemos que a descrio completa do sistema se faz

pelo conjunto das equaes acopladas (4.19) e (4.20). No entanto. possvel obter os efeitos

I do solenide sobre o oscilador utilizando uma nica equao efetiva. (fenomenolgica) para o I

oscilador

p= mx = -,,",,~x + e [Ex(t) + E.(!)] + 'in'" x (4.54)

onde ,.' = 1'[1 + L>,(w",y)] sendo mr' x= eERR(t) a fora de reao da radiao efetiva que substitui a. expresso para o espao livre m1' x. O campo eltrico flutuante Ex(t) = EVF(t) + E",(t) tem sua funo densidade espectral dada por (4.14) e E.(t) o campo determinstico controlveL

Conforme vimos nas sees 2.2.3 e 3.2, a equao de Schrdinger estoclStC:a. que descreve a

(~ampHtude" de probabilidades de um lIensemble" de oscladores (interagindo com o solende)