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JoAo Luis STIVAL
A INTERPRETAt;:Ao DA LEITURA MATEMATICA
NA LiNGUA MATERNA PARA A ARTE DE
RESOLUt;:AO DE PROBLEMAS
CURITIBA
2003
JOAO Luis STIVAL
INTERPRETA(,':AO DA LEITURA MATEMATICA
NA liNGUA MATERNA PARA A ARTE DE
RESOLU(,':AO DE PROBLEMAS
Monografia apresentada como requisitoparcial a obtenc;;ao do titulo de Especialistaem Educa~ao Matemcitica, Curso de P6s-Graduac;ao em Educac;ao Matematica,Universidade Tuiuti do Parana.
Orientador: ProF. M. CARLOS PRETONZELLI
CURITIBA
2003
Dedico este meu trabalho a duas paix6esda minha vida: a minha esposa DirleiMatias Stival e ao meu filho Joao VictorMatias Sliva! que nao mediram esforyosem me incentivar, apoiar e me esperar noretoma da faculdade para casa.
Agradet;:o a Deus, a todo 0 corpo deprofessores do curso de p6s-graduayao emEducayao Matematica - Faculdade Tuiutido Parana, pela dedicayao e esmero em nostransmitir seus conhecimenlOs, aocoordenador do curso, Professor Dr.Rubens Robles Ortega Junior, ao meuorientador Professor M. Carlos Petronzelli,aos colegas de c1asse e a todos osprofessores que direta ou indiretamentecolaboraram na execuyao deste trabalho.
iii
«Nao me ensine nada que eu possadescobrir.Provoque a minha curiosidade.Nao me de apenas resposta.Desarrume minhas ideias e me de so mentepistas de como ordena-lasNao me mostre exemplo.Antes me encoraje a ser exemplo vivo detudo que posso aprender.Construa comigo 0 conhecimento.Sejamos juntos invent ores, descobridores.navegantes piratas de nossaaprendizagem.Nao fale apenas de urn passado distante oude urn futuro imprescindivel.Esteja comigo hoje altemando as sensa~5esde quem ensina e de quem aprende."
iv
SUMARIO
LlSTA DE QUADRO.. vi
LlSTA DE SIGLAS.. vii
RESUMO .. viii
INTRODU<;:AO .. 01
1.COM PREEN DEN DO 0 QUE E UM PROBLEMA .... 03
1.1UM BREVE RELATO NA ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS. 03
1.2 UM APANHADO HISTORICO NO ENSINO DE MATEMATICA.. 06
1.3 OBJETIVOS DA RESOLUCAO DE PROBLEMAS.. 09
1.4 CARACTERisTICAS DE UM BOM PROBLEMA.. 10
1.5 FATORES QUE CONTORNAM DIFICULDADES DE UM PROBLEMA.. 10
1.6 TECNICAS E METODOS NA RESOLUCAO DE PROBLE.MAS . 10
1.7IMPORTANCIA DO TRABALHO.. 12
2. EMBASAMENTO TEORICO.................. ....
5OTIMIZA<;:AO .
15
23
26
26
27
31
31
34
36
37
3. COMO RESOLVER UM PROBLEMA ..
4. ANALISE DAS ENTREVISTAS ..
4.1 CARACTERisTICAS DOS PARTICIPANTES .
4.2 LEVANTAMENTO DOS DADOS ..
5.1 UM EXEMPLO A SER SEGUIDO ..
CONCLUSAO ..
ANEXO 01 - PROTOCOLO DE ENTREVISTA ..
REFERENCIAS .
LlSTA DE QUADRO
QUADRO 1 - ENTREVISTA COM PROFESSORES .. .... 19
vi
LlSTA DE SIGLAS
CEFET/PR - CENTRO FEDERAL E TECNOL6GICO DO PARANA
CL T - CONSOLlDAC;Ao DAS LEIS TRABALHISTAS
EN EM - EXAME NACIONAL DO ENSINO MEDIO
IBGE -INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATisTICA
PCN(s) - PARAMETROS CURRICULARES NACIONAIS
vii
RESUMO
Sendo a [eitura urn instrumento que abre as horizontes do leitar, Ihe proporcionandoo enriquecimento de conhecimento, auxiliado par sua analise e interpretac;ao,pretendeu-se com esta trabalho, pesquisar e analisar junto aos professores doensina fundamental e media da rede publica de ens ina, a questao da interpretavaoda [eitura matematica na lingua materna para a arte de resolut;ao de problemas.Este trabalho tera enorme relevancia na area educacional, podendo portanto sermais explorado e aprofundado, ista parquet pouea pesquisa hill sabre 0 assunto.A visao complexa e deturpada, que he par parte do aluno, na aprendizagem doscenteudos de matematica e certa incoerencia na didatica e metodologia de ensina,par parte do professorado, a qual nao vislumbra a sua aplicabilidade no cotidiano aucomo se usa modernamente: Ucontextualizar", permite realizar esta pesquisa decunho exploratorio e ao mesmo tempo propiciar discuss6es sabre 0 assunto.
viii
INTRODUr;:AO
o presente trabalho e dirigido aos professores de matematica, em especial,
aos professores do ensina fundamental e media, tanto da rede publica quanta
particular, e aos interessados em aprofundar esta pesquisa e tern par objetivo
identificar as metodos e recursos que os professores utilizam para trabalhar a
questao da resoluyao de problemas de matematica.
Nola-se que a questao da interpreta\'iio da linguagem matematica e hoje
muito estudada e pesquisada pelos educadores matematicos devido a sua grande
importancia no cenario academico e estudantil. Isto reflete 0 pensamento de Lester
Jr. "A razao principal de S8 estudar matematica e para aprender como S8 resolver
problemas." Dante (1998, p. 7).
Este trabalho concretizou-se atraves de entrevistas com professores de
matematica do ensino fundamental e medio da rede publica de ensino, sendo feitas
discussoes sobre os mecanismos utilizados na interpretac;ao da leitura matematica
por parte dos professores. A metodologia utilizada foi qualitativa e de natureza
interpretativa que, segundo SANTOS (1999, p. 26), "se fundamenta no levantamento
das caracterfsticas conhecidas do fato/fen6meno/problema" A tecnica de coleta de
dados utilizada foi a de entrevistas semi-estruturadas.
Ha tempo questiona-se a metodologia do professor em lecionar a disciplina de
matematica e, em especial, relacionada ao tema exposto neste trabalho.
Justificando-se desta forma, a utilizaC;8o de entrevistas com professores de
matematica, indagando sobre a interpretac;ao da leitura matematica na lingua
materna (Iinguagem corrente, como se conhece na matematica) para a arte na
resoluC;80 de problemas. Observando, entao, a inquietude de alguns educadores ao
lecionar esta disci pi ina e perceber a falta de interesse por parte dos alunos par tao
importante materia, resulta este estudo.
A partir de 1996, pesquisa-se e busca-se referencias que deem suporte para
a realiza980 deste trabalho, trazendo a luz da lingua materna uma interpreta9ao
clara e consistente dos conteudos abordados em sala de aula, seja mediante a um
planejamento pre-estabelecido ou a propria proposta do projeto politico pedagogico
da instituiy80 de ensino.
1. COM PREEN DEN DO 0 QUE E UM PROBLEMA
E muito comum nas pessoas a incompreensao e falta de significado das
palavras, tendo em mente que a referida palavra asta de fato afirmando e
confirmando 0 que S8 quer au S8 almeja. Ista ocorre tambsm entre 0 corpo docente,
como par examplo, quando urn professor de matematica solicita aos alunos que
resolvam um "problema" do lipo:
EUCOlIll"C 0 "esultado da cxprcssao fluJIlcric11 2. {42: (% + Y4 ) - IS)}
Na verdade 0 que professor esta solicitando e a resolu980 de um exercfcio
par meio de repeti98o, au do tipo 5iga a modelo, sem ser necessariamente urn
problema, servindo-se rnais para praticar au exercitar urn determinado algoritmo.
Mas afinal ha explicayao para t8is entendimentos? A resposta vern a seguir com as
conceitos abaixo:
1) 0 que e um problema?
E qualquer situ8c;ao que exige raciocinio per parte de alguem para resolve-Ia.
2) 0 que e um problema male matico?
E qualquer SitU8C;80 que exija a maneira matematica de pensar e as
conhecimentos matematicos para soluciona-Ios.
Convem fazer uma disting80 entre exercicio e problema na disciplina de
matematica para nao S8 pensar uma ideia equivocada deste trabalho.
Exercicio e para exercitar au praticar urn determinado algoritmo au processo.
Problema e a descriryao de uma situ8980 em que S8 procura algo
desconhecido.
1.1 UM BREVE RELATO NA ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS
Desde a antiguidade os problemas de matematica tem ocupado um lugar
central na vida dos homens. Encontra-se registros de problemas matematicos na
historia antiga egipcia, chinesa e grega e ainda em livros texto de matematica dos
seculos XIX e XX e, que segundo STANIC & KILPATRICK (1990, pA), citado por
Maria Ap' Viggiani BICUDO (1999, p. 199), "0 principal ponto a ser considerado, nos
exemplos par eles colocados, e que neles e assumida urna viseD muito limitada da
aprendizagem de resolug8o de problemas." Ate pouco tempo, ensinar a resolver
problemas tinha urn significado de propor situ8<;oes problemas, incluindo urn
examplo com SOlUg8o tecnica especifica e mais uma lista para resoluc;ao seguindo 0
modelo exemplificado. Esta metodologia de ensino tendeu a mudan~as, devido as
discussoes no campo da Educagao Matematica no Brasil e no mundo, em que
mostrou necessaria, a adequ8C;8o do trabalho escolar as novas tendencias de
ensine e aprendizagem da matematica.
Mas a realidade ainda esta marcada pela inseguranva do novo, 0 que S8 tern
ainda e 0 velho e conhecido metoda tradicional de trabalhar os contaudos
matematicos e segundo os PARAMETROS CURRICULARES NACIONAIS -
PCN(s): MATEMATICA (1998, p. 19), " .. Em nos so pais 0 en sino de matematica
ainda e marcado pelos altos indices de reten~ao, pela formaliza~ao precoce de
concertos, pela excess iva preocupayao com 0 treino de habilidades e mecaniz8Ya.o
de processos sem compreensao." Entende-se que ha. muito 0 que fazer em termos
de educ8yao matematica, em especial, veneer velhos paradigmas, adaptar-S8 as
mudang8s, inserir mecanismos tecnol6gicos a nova postura didatica e metodol6gica
e Qutros mais como interdisciplinariedade etc.
A matematica passou par mudan98s, eta pas ou processos no decorrer do
seculo passado e, conforme descri~ao de BICUDO (1999,. p. 201), a "analise dos
movimentos de reforma do ens ina de matematica, no sEkula XXn, podem ser
identificados como:
• 0 ens ina de matematica par repeti<;ao;
• 0 ensina de matematica com compreensao;
• A matematica maderna;
• A resoluyao de Problemas.
Os movimentos de reforma concretiz8vam-se da mesma maneira que
qualquer outra moda da apaca e, neste aspecto, convam salientar 0 ens ina da
matematica, acordando com as movimentas citados para que 0 leitor tenha uma
idaia de como se difundiu, au ainda difunde-se, a ens ina de matematica nestes
ultimos anos.
o ensino de matematica por repetic;ao
Tradicionalmente este ensino tem side apoiado na repetiC;8o cujo professor
apresenta 0 conteudo oralmente, parte de definic;oes, exemplos, demonstraC;8o de
propriedades, seguidos de exercicios de aprendizagem, fixa~ao e aplica~ao,
pressupoe que 0 aluno aprenda pela reproduc,;:80. Media-se 0 conhecimento recebido
atraves de repetic;ao, com a aplicac;ao de testes em que se repetisse bem 0 que 0
professor havia feito, concluia-se que sabia ..
o ensino de matematica com compreensao
Neste caso, os alunos deveriam aprender matematica com com preen sao. As
tabuadas e seus treinos eram condenados. 0 aluno deveria 'entender' 0 que fazia.
Nesta situac;ao, 0 professor falava, 0 aluno escutava e repetia, porem nao
participava da construc;ao de seu conhecimento. 0 professor nao havia side
preparado para seguir e trabalhar as ideias novas que queriam implementar. 0
trabalho resumia-se a urn treinamento de tecnicas operatorias que seriam utilizadas
na resoluc,;:ao de problemas-padrao ou para aprender algum conteudo novo.
A matematica Moderna
Nas decadas de 1960-1970, 0 ensina de matematica no Brasil e em outros
paises do mundo foi influenciado por um mavimento de renovac,;:ao conhecido como
Matematica Moderna. Esta reforma tambem deixava de lade as anteriores.
Apresentando uma matematica estruturada, apoiada na logica, algebrica, topol6gica,
e de ordem, enfatizava a teoria dos conjuntos. Realgando muitas propriedades, tinha
preocupac,;:oes excessivas com abstrac,;:oes mate mati cas e apresentou uma
linguagem matematica universal, concisa e precisa. Entretanto, acentuou 0 ensino
de simbolos e uma terminologia complexa que cemprometia 0 aprendizada.
Nesta reforma 0 professor falava, porem muitas vezes inseguro daquilo que
dizia. 0 aluno nao percebia a ligac,;:ao que todas aquelas propriedades enunciadas
tinham a ver com a matematica dos problemas e, principal mente, com a matematica
usada fora da escola. Embora procurasse usa-I a em exercicios de aplicayao,
repetindo 0 que havia side feito em cia sse e dizendo 0 nome daqueles novos
simbolos mate maticos que Ihes eram apresentados, com freqOencia nao conseguia
dar-Ihes significados. Este ensina passou a ter preocupa9oes excessivas com a
formalizac,;:ao, distanciando-se das quest6es praticas.
A Resolu9ao de Problemas
A importancia dada a Resoluy80 de Problemas e recents, so mente nas
ultimas dekadas e que as educadores mate maticos passaram a aceitar a ideia de
que 0 desenvolvimento da capacidade de S8 resolver problemas merecia mais
atenc;8o. A caracteriz8g8o de Educac;ao Matematica, em termos de Resolugao de
Problemas, reflete uma tendemcia de reaC;8o a caracteriZ8c;oes passadas como urn
conjunto de fatos, dominic de procedimentos algoritmicos au urn conhecimento a ser
obtido par retina ou par exercicio mental. Hoje, a tendencia e caracterizar este
trabalho considerando as estudantes como participantes ativQs, as problemas como
instrumentos precisos e bern definidos e a atividade na resoluc;ao destes como uma
coordena9B1o complexa, simultanea de varios nfveis de atividades. 0 ensino de
Resolu980 de Problemas, enquanto campo de pesquisa em Educac;ao Matematica,
come90u a ser investigado de forma sistematica sob a influencia de Polya, nos
Estados Unidos, na decada de 60.
E de suma responsabilidade do professor propiciar ao aluno recursos para
que 0 mesmo encontre as ferramentas necessarias na resolu980 de problemas.
Deve-se come9ar par uma leitura investigativa do assunto, uma minuciosa
interpreta9B10 e dominio dos conteudos ja explanados, com os quais 0 aluno pod era
chegar a um resultado por si so, pois e atraves do dominio dos calculos matematicos
que 0 mesmo tera 90sto pela disciplina e estara apto a aplica-Ia no cotidiano.
1.2 UM APANHADO HISTORICO NO ENSINO DA MATEMATICA
o ensino da matematica passou por varias eta pas (cf. MIORIM, Ma Angela.
Introdu9ao a Historia da Educa9B10 Matematica, 1998, passim). 0 come90 foi
intencional, ligado as necessidades basicas, no contexte social e, em certas eta pas,
esteve associado a sua produ9ao e a medida que os conhecimentos eram
ampliados e as condi90es socio-polftico-economica passavam por transforma90es, 0
ensino da matematica desenvolvia-se independente. Nas civiliza90es orientais 0
ensino dos conhecimentos mate maticos come90u a concretizar-se de maneira
intencional, mas apesar de ter um carater pratico, desenvolvia-se em separado das
artes tecnicas por estar reservado apenas as categorias de privilegios: a nobreza,
aos escribas,
atividades manuais.
Na Grekia, devido as propostas filos6ficas dos pitag6ricos e dos platonicos,
intensificou-se a tensao entre as "artes manuais" e as "artes cultas" com 0
nascimento da matematica racional, com busca dos principios que regiam os
resultados matematicos, trazendo a tona a priorizag80 dos estudos te6ricos e a
desvalorizag80 das aplicagoes praticas.
Neste caso a matematica grega representou uma primeira mudan<;a de
perspectiva, rompendo com os metodos antigos e, entre os seculos VI a.C. e IV a.C.
os estudos, tanto da matematica quanto da educa<;ao, influenciaram todo 0
desenvolvimento futuro desta materia e de seu ensina.
Neste periodo a matematica passau a ser considerada um elemento
fundamental para a forma<;8o dos individuos, sendo incluido um cicio normal de
estudos.
Este valor de forma<;ao reconhecido pelos pitag6ricos, seria depois ampliado
pelos sofistas que associavam os conhecimentos de matematica as necessidades
da ret6rica que, para melhor dominar a arte da palavra, eram necessarios para
saber discorrer sobre tados os assuntos, inclusive os relativos a matematica.
Todos que intentassem ser bons oradores deveriam conhecer ao menos
alguns elementos basicos da matematica, devido ao raciocinio e desenvolvimento 0
pensamento humano, foi refor<;ado ainda mais 0 seu valor formativo na propasta
platonica
Dada a divergencia entre a corrente filos6fica pitag6rica e ados sofistas pela
ret6rica, a matematica fol reconhecida por todos como um elemento formativo
fundamental, com desenvolvimento do raciocfnio.
Com 0 ad vento de um ensino essencialmente religioso, na Idade Media, os
estudos mate maticos praticamente desapareceram do Ocidente. A Matematica
desenvolvida na Grecia ressurgiu associ ada as aplica<;oes praticas, as artes
produtivas e as artes mecanicas.
A justificativa dos resultados matematicos, as norteadores desta "modema
matematica", foram as aspectos praticos as novas necessidades impostas pelo
contexto s6cio-politico-economico que exigi a respostas praticas e aplicadas.
A separagao entre artes praticas e cultas intensificou-se e a ensino da
matematica assumiu um formato diferente.
o lado culto voltou-se ao desenvolvimento do raciocinio, baseado na proposta
plat6nica, interessado na formaC;ao das classes e privilegiando os estudos classicos.
Na arte pratica, dada a nova cia sse emergente, a burguesia, voltou 0 ensino
para 0 desenvolvimento das ciencias praticas. Estes dois tipos de en sino perduraram
ate 0 final do seculo XIX, tornando imposslvel mais esta convivencia, em virtude de
uma nova categoria, a industrial.
Na tensao estabelecida entre a ciencia dos antigos e a modern a e que se
encontram as rafzes para a modernizaC;ao do ensino de matematica, fornecendo
analise da situac;ao atual da Educac;ao Matematica.
A Educac;ao Matematica e um campo profissional e cientlfico e como campo
de atlvidade e antiga, pois tem sido ensinada desde que a matematica existe e como
um campo academico, suas raizes tem men os do que um seculo de exist€mcia.
Embora, por volta do seculo XVII, cadeiras de Educac;ao ja estivessem sendo
estabelecidas em diversas universidades da Europa, a Educac;ao Matematica teve
um processo lento. Perto do final do seculo XIX, quando a formac;ao dos professores
(secundarios) se tornou uma func;ao crescentemente importante das universidades,
a Educac;ao Matematica comec;ou a ser reconhecida como uma materia universitaria.
No inicio, os educadores mate maticos, eram matematicos que se
preocupavam em como sua materia estava sendo ensinada. Ocasionalmente, eles
faziam pesquisa, mas, mais frequentemente, eles ensinavam e escreviam sobre
metodos de ensino da matematica.
Enquanto a Psicologia estava se tomando a "ciencia mestra" da esco/a, os estudantesuniversitarios se preparavam para ensinar estudando como as crianQas aprendiam.Matematica e Psicologia tomaram-se as disciplinas embrionarias, dando suporle ao novocampo da Educa9t}0 Matemafica; posteriormente, e/as se juntaram a outras disciplinas, comoa Antropofogia, Soci%gia, Epistem%gia, Ci{mcia Cognitiva, Semi6tica, e Economia.
BALACHEFF et al (1993, p. 183)
Investir em pesquisas, relacionar 0 campo da matematica com outras areas
do conhecimento tem se tornado um desafio sen do algo tao necessario e
indispensavel e 0 que se esta faltando, sao as estruturas institucionais, reconhecer
val ores e apoiar a Educac;ao Matematica. Em poucas decadas passadas tem-se
visto uma profissionalizac;ao crescente do ensino da matematica, com professores
de Educac;ao Matematica, mas 0 campo ainda esta enfrentando problemas de status
e identidade. Parece haver uma falta de consenso no que significa ser um educador
mate matico.
Convencer os matematicos de que eles tem uma posic;:ao de como a
Matematica e ensinada nas escolas e de como professores de matematica sao
formados nao e muito diffcil. Identificar matematicos que estao dispostos a dedicar
tempo trabalhando com educadores mate maticos no desenvolvimento do ensino e
da aprendizagem da matematica, entretanto, esta longe do trivial. Construir um clima
de confianc;:a e respeito mutuos entre matematicos demanda muito esforc;:o e nao se
con segue da noite para 0 dia.
Geralmente, aceita-se sem questionar, as verdades matematicas e acredita-
se estar fazendo descobertas quando engaja-se na atividade matematica. Embora
se possa distanciar da atividade matematica e especular que a matematica e uma
construc;:ao da mente humana, permanece 0 fato de que a verdade matematica e a
realidade matematica independente da mente humana pre-existem quando se faz e
se fala sobre matematica. A esse respeito, a experiemcia matematica e distinta da
reflexao filos6fica sobre essa experiencia. No primeiro caso, a matematica edescoberta e no segundo, inventada. A questao nao e obrigar a escolher entre
descoberta e invenc;:ao ou argumentar que se esta enganado, quando se assume
que a matematica e verdadeira. Trata-se de levar a serio a experiencia matematica e
explorar a atividade construtiva que acompanha nossa experiemcia matematica de
verdade e certeza matematica. Em resumo, a verdade matematica e um fen6meno a
ser explicado mais do que a ser negado.
1.3 OBJETIVOS DA RESOLUCAO DE PROBLEMAS
Objetivos a serem alcanc;:ados na resoluc;:ao de problemas:
• Propiciar ao aluno a raciocinio;
• Ensinar a aluno a enfrentar situac;:oes novas;
• Fazer com que as aulas de matematica sejam mais interessantes e
desafiadoras;
• Mostrar as ferramentas aos alunos para resoluc;:ao de problemas;
• Constituir nos educandos urna boa base matematic8.
10
1.4 CARACTERisTICAS DE UM BOM PROBLEMA
Convem salientar e expor as caracteristicas de como deve ser urn born
problema, estimulando a aluno a fazer usa da lingua materna (Ieitura da linguagem
corrente) para sua interpretayao e posterior resoluc;3o, necessitando:
• Ser desafiador;
• Ser ao mesma tempo real;
• Mostrar-se interessante;
• Ter como elemento central, 0 inusitado;
• Apresentar urn certa grau de dificuldade.
1.5 FATORES QUE CONTORNAM DIFICULDADES DE UM PROBLEMA
Relayao de itens que corroboram com 0 grau de dificuldade de urn problema:
• Linguagem usada na reda9ao do problema;
• Tamanho e estrutura das frases;
• Especificidade no vocabulario matematico;
• Complexidade dos numeros;
• Apresentayao do problema;
• Condicionantes satisfeitas e complexidade;
• Numero e complexidade de opera90es envolvidas.
1.6 TECNICAS E METODOS NA RESOLUCAo DE PROBLEMAS
Pretende-s8 aqui desenvolver uma metodologia com sequencia de conteudos
matemilticos adequados as reais necessidades do aluno em seu contexto historico,
social e auxiliar 0 professor de matemiltica em sua didiltica e metodologia de ensino.
E importante Gitar, neste trabalho, alguns tipos de problemas existentes que
na GonGep~iio de POL YA (1995, p. 118 a 129), tem-se:
• Problema auxiliar;
• Problema rotineiro;
II
• Problemas de determinay8o, problemas de demonstrac;ao;
• Problemas pn3ticos.
Cada urn dos tipos de problemas, os quais sao aplicados em sala, tern a sua
explica980 especffica como segue:
Problema auxiliar e aquele Que auxilia na resoluyao de Dutro problema. E 0 meio pete qualtenta-5e chegar ao objetivo proposto.
Exemplo. Calcular x, que satisfa~ a equBC;3o x4 - 13x2 + 36 = O.
Observa-se que x4 = (x~ 2, pode-5e ver a vantagem de introduzir y = x2.Oblem-5e assim um novo problema:
Calcular y que satisfa9a a equac;ao y2 - 13y + 36 = 0,o novo problema e auxiliar, pois pretende-5e ulilizil-lo como um meio de resolver 0 problemaoriginal.
Problema rotineiro pode ser considerado 0 que consiste em resolver a equaC;8o x2-3x +2 =0, casa a resoluc;ao da forma geral da equatyao quadratica haja sido previamente ensinada eexemplificada, de tal maneira que 0 aluno nada mais lenha a fazer do que substiluir algumastetras, que aparecem na solu.yao geral, petos numeros -3 e 2.Problemas de determina~ao, problemas de demonstra~ao. Tratya-se urn paralelo entreestes dois tipos de problemas.1. 0 objetivo de urn 'problema de determinatyao' e encontrar urn certo objeto, a incognita doproblema.2. 0 objetivo de urn 'problema de demonstrar;:ao' e mostrar conclusivarnenle que certaafirmativa, claramenle enunciada, e verdadeira ou, entao, que e falsa.As partes principals de urn problema de determinar;:ao sao a inc6gnita, os dados e acondicionante.
Se trac;ar um triangulo de lados a, b, c, a incognita sera urn Iriangulo, os dados serao os Irescomprimentos a, b, c, e 0 Iriangulo tera de satisfazer a condicionante de que seus ladostenham os comprimentos a, b, c, a incognita sera um objeto da mesma categoria precedente,os dados serao os mesmos anteriores, porem a condicionante, que relaciona a inc6gnita comas dados, sera diferente.
Se a problema de demonstrar;:ao for um problema mate matico comum, suas partes principaisserao a hip6tese e a conc/us/!10 do teorema que liver de ser provado ou refulado.
'Se os quatro lados de um quadrilatero forem iguais, entao as suas duas diagonais seraoperpendiculares entre si.' A segunda parte, que com etta por 'entao', e a conclusao; a primeiraparte, que cometta por 'se', e a hip6tese.
Problemas praticos sao diferentes, em diversos aspectos, dos problemas puramentematematicos, muito embora os principais motivos e processos sejam essencialmente osmesmos em ambos os casos. Os problemas pn31icos da Engenharia geralmenle envolvemproblemas maternalicos.
Um exemplo muito ilustrativo de problema pratico e a constru.yao de uma barragem sobre umrio. Nao e necessario qualquer conhecimento especial para compreende-Io. Em tempos quasepre-historicos, muito antes desta moderna era de teorias cientlficas, os homens construirambarragens no vale do Nilo e em outras partes do mundo, onde as lavouras dependiam deirriga.yao.
POLYA (1995, p. 118 a 129)
Estes problemas fazem parte das situa~6es reais, do dia a dia de qualquer
pessaa, seja individual au caletiva.
12
1.7 IMPORTANCIA DO TRABALHO E SEU PROGNOSTICO AVALIATIVO
Este trabalho tera relevancia na area educacional podendo, portanto, ser
ainda mais explorado e aprofundado, par tratar -se de uma pesquisa de campo.
A visao complexa e deturpada que ha, par parte do aluno, na aprendizagem
dos centeudos de matematica e a incoerencia na didatica e metodologia de ensina,
par parte dos professores, permite realizar esta pesquisa de cunha exploratorio e ao
mesmo tempo propiciar discussoes sobre 0 assunto.
Recentemente 0 IBGE divulgou pesquisa relatando que a maiaria dos
brasileiros oriundos de educ8gao escolar, sequer sabem usar os conhecimentos
matematicos adquiridos, ista porque, segundo a pesquisa, as centeudos aprendidos
naG tiveram uma explicaC;8o pn3tica. E, como prova, esta a fato das pessoas nao
saberem efetuar calculos de porcentagem, de jura au de descontos na compra de
um prod uta au mercadoria.
Entende-se, desta forma, que a professor tern sua contribuiC;;;ao negativa nesta
situayao, pais muitos alunos nao tem gosto pela disciplina, isto porque, as
educadores nao aguc;;;am a curiosidade e nem mesmo a criatividade, passam
grandes listas de exercicios de fixaC;ao descontextualizadas, nao dao vida aos
conteudos, nao se utilizam de situac;;;oes reais e nao propiciam a motivaC;;;ao e a
habito pela leitura.
Faz-se necessaria que as professores ensinem como se da real mente a
processo de aquisiC;;;ao do conhecimento da linguagem, em especial da linguagem
para a linguagem matematica.
As crianyas, desde cedo, precisam entender como se processa no cerebro a
armazenamento, par longo prazo, das informac;;;oes lingOisticas, imprescindiveis afala, a escrita, a leitura e a escuta.
Tal habito servira nae s6 para 0 ensine da lingua materna como tambem para
as demais disciplinas escolares (entre elas a matematica, tao necessaria para 0
cotidiano do ser humane).
Toma-se por exemple 0 calcule de 28X40, esse processe tern muito a ensinar
alem do seu produto final.
Alguns professores de matematica, ou lingua materna, concentram-se no
resultade da instruyae ou resolu<;ao da questao, no produte, enfim, esquecem-se de
~:~,LlH~~:~que 0 processo e a base mais legitima para urna avaliac;ao formativa, e ~~ue S9 \.~....
tOrial B'J.\valoriza cada etapa trabalhada e vencida pelo aluno.
A avaliar.;:ao formativa valoriza todas as partes do todo e volta-s8 para a
aprendizagem ou 0 reaprender da erianc;a.
Pensando-se em lectoescrita, uma opera980 elementar de multiplica980, por
exemplo, chega a ser reveladora do processo cognitiv~ a que as criang8s estaa
submetidas na hara de operar calculos na mente e no papal (esta, urna especie de
prolongamento da memoria operativa), posta que esla operac;.ao elementar efetiva-
S8 no calculo da soma de n parcelas iguais a urn numero m.
A matematica e a escrita estao bern pr6ximas neste ponto, ou seja, ambas
tern urna natureza processual e cognitiva.
No casa da multiplicacyao as procedimentas sao os seguintes:
a) Distribui980 espacial em diagrama dos latores que participam da
opera980 matematica, isto e, 28 e 40.
b) Eletua-se, no segundo momento, a opera980 entre multiplicador X
multiplicado.
Observar-se-a neste casa que 0 multiplicador e 0 fator que indica quantas
vezes deve-se tamar 0 outro para efetua-Io. 0 multiplicando e 0 numero que S8 tern
de tamar tantas vezes quantas forem as unidades do multiplicador.
c) Por lim chega-se ao produto, isto e, 0 resultado da opera9iio da "produ980"
do calculo. A dialetica, como fundamenta da metodalagia processual no
ensino aprendizagem das habilidades linguisticas e matematicas, esta
presente, partanto, na matematica elementar au na praduryaa de texto
discursivo ou dissertativo. Urn texto a guisa de uma opera980 elementar de
rnultiplica9ao e urn processo constituido tambern de fases:
• Introdu<;ao,
• Desenvolvimento e
• Conclusao.
Uma opera9ao de multiplicaryao de 28X40 poderia introduzir uma aula de
prodw;:ao escrita em que se ens ina e descreve, par analogia, a estrutura basica e
processual de um texto.
Nesta proposta tem-se a avaliayao como urn instrumento para ajudar 0 aluno
a aprender. Assim 0 educando reve as procedimentos que vern adotando e
14
replaneja sua atuac;ao enquanto vai, continua mente, dando-s8 conta de seus
avamros e dificuldades.
o processo avaliativo parte do pressuposto de que S8 defrontar com
dificuldades e inerente ao ato de aprencter, levantado algumas quest6es:
a) Que problemas a aluno vern enfrentando?
b) Por que nao consegue alcanc;ar determinados objetivos?
c) Qual 0 processo de aprendizagem desenvolvido?
d) Quais os resultados significalivos produzidos pelos alunos?
15
2. EMBASAMENTO TEO RICO
Apresentar-se-a a seleg80 de alguns autores que pod em dar suporte e
referencial aD tema de estudo e aD problema proposto para analise desta pesquisa.
Sabe-s8 que as verda des matematicas sao analiticas e podem ser aplicadas
a todas as Qutras cianci as, comunicando-Ihes 0 carater de precisao, pelo calculo e
pel a medida e segundo FROBEL, citado par SANTOS (1960. p.136 e 137), "a
aprendizagem da matematica e basica para a forma98.0 do esp[rito humano ... "
A necessidade de conhecimento de ordem matematica surge quando S8
precisa de objetos, reconhecer au utilizar formas, determinar dimensoes, superficies
au volumes etc. Para isto 0 professor deve fazer 0 trabalho didatico a partir de
situ896es reais da vida do aluno e que a leve "naturalmente" a ter prazer (interesse)
pela matematica pais, de acordo com SANTOS (1960, p. 152), "todo professor de
matematica e tambem um professor de linguagem em especial para as formas de
expressao e de pensamento quantitativos."
Nesta perspectiva, sendo 0 professor um agente mediador do conhecimento
do aluno e a palavra escrita 0 instrumento mais eficiente para a expressao e fixagao
da cultura e dos conhecimentos cientificos e tecnicos da sociedade, constitui-se a
leitura a mais importante atividade de aquisigao de saberes. E um dos efeitos da
leitura e 0 aprimoramento da linguagem da expressao nos nfveis individual e
coletivo. Para ANGELO, citado par SILVA (1985, p.59 e 60). "Ler e um ato
libertador. Quanto maior vontade consciente de liberdade, maior indice de leitura.
Uma sociedade que sabe se expressar, sa be dizer 0 que quer, e menos
manobravel."
Optar pela leitura e, entao, sair da rotina, querer participar do mundo criado
pel a imaginagao de um determinado escritor. Ler e basicamente abrir-se para novos
horizontes, e ter possibilidade de experimentar outras alternativas de existencia, e
concretizar um projeto consciente, fundamentado na vontade individual. Saber ler e
executar esse ato, de um modo critico e freqOente e, em ultima instancia, possuir
16
mais elementos para pensar sabre a realidade e sabre as condi90es de vida. Nesta
circunstancia passa erigir 0 dominic da lfngua escrita com urn dos fundamentos das
discussoes sabre educ8yao no Brasil enos demais paises latinos.
Seguindo este raciocinio, a leitura e a compreensao de uma mensagem
codificada em signos visuais (geralmente letras e cifras) e seu ens ina e incentivQ
representa, portanto, um objetivo basico de todo 0 sistema educativ~. Segundo
MIALARET, citado por BARBOSA (1994, p.110), "Ier e ser capaz de translormar
uma mensagem escrita numa mensagem sonora segundo certas leis precisas. Ecompreender 0 conteudo da mensagem escrita, e ser capaz de julga-Io e de apreciar
seu valor estetico."
Para SILVA (1991, p.42), "a leitura e uma atividade essencial a qualquer area
do conhecimento e, mais essencial ainda, a propria vida do S8 humano" Levando
em considerayao a sua importancia, entende-se que a falta de leitura pode causar
deficiencia na formac;:ao do aluno e assim a pro posta de que a leitura seja
reintroduzida na sala de aula significa a resgate de sua fungao primordial, buscando
sobretudo despertar 0 estudante para a plena leitura, exigindo-se mais do que
simples decifrayao dos caracteres, nao bastando apenas ler, mas sim criar a habito
da leitura. Oesta forma pode-se entender melhor 0 metodo do educador brasileiro
Paulo FREIRE (1997, p.500), em que diz: "a leitura do mundo precede a leilura da
palavra, dar que a posterior leitura desta nao pode prescindir da continuidade da
leitura daquele. Linguagem e realidade se prendem dinamicamente. A compreensao
do texto a ser alcangado por sua leitura crftica implica a percepgao das relac;:6es
entre 0 texto e a contexto". Entende-se que a vivencia e a pratica sao instrumentos a
serem usados em sala de aula, que 0 contexto esta basicamente nas entrelinhas de
um texto e que a sua extensao traduz-se numa situagao reflexiva, levando 0 lei tor a
uma interpretagao, nao pelo volume nela ocupado, mas pel a vi sao criada pelo leitor
e para 0 proprio FREIRE (1997, p.37), "a boa leitura nao deve nunca ser analisada
pela sua quantidade, mas sim pela capacidade que 0 leitor teve de adentrar 0 texto e
entender sua mensagem e significados, pOis ler e a 'decifragao de uma mensagem e
posterior meditagao sobre esta', a fim de compreende-Ia e depois expressa-Ia."
Pode-se concordar com a posigao de Paulo Freire, isto porque, na disciplina
de matematica, nao se tem algo pronto e acabado, e um processo, uma receita que
precisa ser Irabalhada e cada um tem dentro da sua realidade uma experi€mcia de
vida que pode ser utilizada, pois da base e que 0 ser humane constroe 0 seu
17
conhecimento a partir de suas experiencias e entendo-se, tambem, que ha Leis
Universals prontas que nac sao passive is de transforma~o e sim de compreensao.
Entao da-se 80 homem 0 que S8 pode transformar e 0 que S8 pode compreender.
A pratica da leitura e de fundamental importimcia na disciplina de matematica,
pois trabalha-se com a pratica da resolur;:BO de problemas, atividade que exige
leitura, diante disto cabe 80 professor, em conjunto com a equipe pedagogica,
mostrar ao aluno a importancia da leitura, ou seja, nas palavras de FILlPOVSKI
(1989, p.131), "a escola que assume para si a condi9ao de formar a habito de leitura
do estudante, estara garantindo, com certeza, a existencia de adultos com rica
imagina98o, amplos recursos lingufsticos e urna visao de mundo que em muito
ultrapassa ao imediato e proximo." Compartilha-se em semelhante acordo e
refon;ando 0 fato do dominio da lingua materna com 0 habito da leitura 0 que se
relata abaixo:
Entre a matematica e a lingua materna existe uma rela~o de impregna~o mutua. Aoconsiderarem-se esles dois lemas enquanto componentes curriculares, tal irnpregnac;ao serevela atraves de urn paralelismo nas func;5esque desempenham, uma complementaridadenas notas que perseguem, uma imbricac;ao nas quest6es basicas relativas ao ensino deambas. E necessario reconhecer a essencialidade dessa impregnac;ao e le-Ia comofundamenlo para a proposiyao de ayoes que visem a superac;ao das dificuldades com 0ensino de matemalica.
MACHADO (1998, capa)
o uso alegorico de expressoes matematicas sao comuns na linguagem
popular, conforme 0 exposto:
Na utilizac;ao cotidiana da lingua corrente, termos ou express6es da linguagem matematicasao freqi.ientemente ulilizados em sentido figurado. Em uma discussao, pode-se, por exemplo,concitar as partes a chegar a um denominador comum. Fala-se com naturalidade em perdasincalcultlVeis, em sair pela tangente, em retidlJo de carater, em ver de urn outro lmgulo, no xda questao, au ainda, na enigmatica expressao provar por a + b.
MACHADO (1995, p. 17 e 18)
Para analise deste trabalho que propoe a habito da leitura e interpretac;:ao de
problemas matematicos com 0 uso da propria "modelagem matematica", e
conhecendo-se a lingua materna com 0 usa dos signos para comunicar-se e
expressar-se, propoe-se no ensina da matemalica a usa de ferramenlas adequadas,
tais como: compreender 0 problema, levantar a hipotese, preyer a tese, procurar um
18
problema correlato, estabelecer um plano de resolu9ao do problema e execu960
deste plano.Nesta concepgao, usa-S8 as sugest6es de POL YA , argumentando-se que 0
professor deve auxiliar os alunos, com coeremcia, pratic8, dedic8c;ao e princfpios
firmes.
o professor deve auxiliar, nern demais nem de menos, mas de tal modo que ao estudantecaiba uma parcela razoavel do trabalho ...O melhor €I, porem, ajudar 0 estudante comnaturalidade. 0 professor deve colocar-se no lugar do aluno, perceber a ponto de vista deste,procurar compreender 0 que 5e passa em sua cabe<;8 e fazer uma pergunta ou indicar urnpasso que poderia fer ocorrido ao pr6prio estudante.
POLYA (1995, passim)
Entendendo este principia na resolugao de problemas com 0 uso de uma
leitura constante, conclui-se que isto so sera possivel, pois segundo GAZIRRE
(1988, p. 170). "Uma pessoa tem um problema quando, compreende a situa<;aoe
nao encontra solucyao obvia imediata e r conhece que a situacyao exige uma acyao
(que ou precisa agir sobre a situacyao)."
Um problema deve levar 0 aluno a uma situacyao desafiadora, a reflexao, ao
levantamento de hipoteses, a procurar meios para soluciona-los, a buscar novas
aplicacyoes de conceitos e aprofundar a compreensao dos mesmos, a exercitar a
criatividade, a generalizar propriedades, a descobrir outras solucyoes e a discuti-Ias,
verificando as condicyoes para que sejam valid as.
Para esta compreensao necessita-se de uma harmonia entre professor-aluno-
problema, para que 0 mesmo seja instigado a enfrentar os desafios nas resolucyoes
de problemas e, para tal, e necessario contrapor que a matematica surgiu da
necessidade do homem em enfrentar problemas de seu cotidiano. Ou seja, na media
em que novos problemas surgem em funcyao da propria dinamica de sobrevivemcia,
novos processos sao utilizados para supera-Ios. Assim:
A rnatematica erige-se, desde os primordios, como urn sistemas de representac;ao original,apreende-Io tern 0 significado de urn mapeamento da realidade, como no caso da LIngua.Muito rnais de que a aprendizagem de tecnicas para operar com simbolos, a matematicarelaciona-se de modo visceral com a desenvolvimento da capacidade de interprelar, analisar,sintetizar, conceber, transcender a imediatamente sensiveJ, extra polar, projetar.
MACHADO (1990, p. 96)
A concep<;ao que 0 professor tem da disciplina de matematica e de
fundamental import;mcia parque esta, explicita au implicitamente, sera 0 fio condutor
da sua propria ac;ao pedagogica em sala de aula.
19
Na perspectiva da resolugao de problemas, 0 professor deve proporcionar
condigoes para que, mediante a problema, possa-s8 instalar urn dialogo entre
professor-aluno, aluno-aluno, aluno-conhecimento e professor-conhecimento. 0
docente orienta, acompanha, analisa com as educandos as processos de resolugao,
encorajando-os a buscar noves caminhos casa a solugao encontrada nao satisfay8
as condigoes iniciais do problema. Resolver urn problema nao significa apenas
compreender a que e exigido, aplicar as tecnicas OU f6rmulas adequadas e obter a
resposta correta, mas tambem assumir uma atitude de "investigaCYElo" (par a prova 0
resultado, testar seus 8f8itos).
Entende-se que estudar matematica e resolver problemas e nesta
circunstancia compete ao professor ensinar a arte de resolver problemas, tomando
per via de regra, colocar 0 problema adequadamente.
Colocando como exemplo para questionamento 0 levantamento das duvidas,
formulou-se um problema, conforme abaixo:
Uma rede de supermercados precisa acondicionar e dar maior agilidade para
seus clientes com veiculos em seu estacionamento, 0 qual localiza-se no subsolo.
Qual a melhor maneira de acondicionar a maximo de vefculos possfveis com mais
agilidade, sendo que a area do estacionamento e de 1000 m2?
Este e um tipico problema aberto, isto e, da condi90es para que 0 proprio
aluno crie os seus meios de resoluy80, despertando no mesmo a curiosidade, alem
de requerer um desafio, pOis nao basta simplesmente ter uma resposta unica e
exclusiva, neste casa requer a modelagem matematica e, a principal, trabalho em
equipe, supervisionado e mediado pelo professor, pOis muitas indagagoes e duvidas
surgirao, como par exemplo:
• Qual a melhor maneira de se estacionar? De frente ou de Re? Num angulo
de 450 ou 900?
• Qual 0 espa90 (area) minima para cada vaga?
• Deve-se deixar areas para veiculos de pessaas portadaras de deficiencia?
• A area do estacionamento e de formato retangular?
• Qual a metragem entre comprimento e largura deste estacionamento?
• Neste caso deve-se usar eixo de simetria?
20
Estas sao apenas algumas indagayoes entre muitas que surgirao, mas 0 que
convem salientar e que neste problema muitos conceitos de conteudos
matem.aticos podem ser trabalhados, como par exemplo:
• peri metro e area;
• simetria;
• angulo;
• figuras planas e espaciais;
• equ8yao e fun<;8.o;
• numeros naturais, inteiros e racionais;
• fra<;ao e porcentagem;
• tempo e espago;
Este tipo de problema vern, passo a passo, substituindo velhos paradigmas,
ista e, exercfcios par repeti980 ou reprodugao,
A pralica do ensino par repetiyao e reproduyao tem sido ineficaz, sendo que a medida que seredefine 0 papeJ do aluno, diante do saber e a do professor, 0 mesmo deve considerar 0 alunocomo protagonista, ser organizador da aprendizagem, agente facilitador e mediador,incentivador e avaliador do processo ensino-aprendizagem,
PCN(s)(1997, p. 37 e 38)
Aproveitando a enfase que se esta dando a resolugao de problemas e
fazendo um paralelo entre a matematica e a lingua materna, entende-se que a
crianga aprende 0 alfabeto e os numeros antes do ingresso a escola, como uma
mescla simb6lica, estabelecendo fronteiras entre a Matematica e a LIngua. Machado
bem relata isto:
... as numeros nascem associ ados a classificac;:oes e contagens; par oulro lado, a ideia deordem fundamental para a construc;:ao da noc;:ao de numero surge tanto na organizayao doalfabeto quanta das seria90es numericas.Tambem a tempo, a espac;:o au as negocios servem, permanentemente, de mediad ores narevelaC;:80 desla mescla simbolica entre as dais sistemas de que estamos tratando. Em seuusa ordinaria, a relogio, a calendario, as medidas au a moeda corrente testemunham essacomunhao na representac;:ao da realidade. Embora se possa expressa-Io sem utilizar palavrasda Lingua Materna; costumamos dizer: 'sao 8 e meia', 'hoje e dia 10', 'quero 3 quilos', custa500 cruzados' etc.
MACHADO (1990, p. 97)
Com isto faz-se contraposigao em relagao as resolugoes de problemas que
sao encontrados na matematica escolar, os quais sao bem definidos, exigindo que 0
aluno traduza da lingua materna para a linguagem matematica, as caracterfsticas e
rela~6es dadas, explicita ou implicitamente,
casa, nao requer necessariamente 0 usa da modelagem matematica.
Oada a enrase a resoluyao de problemas, convsrn instigar a aluno a buscar
ou associar as conteudos matematico5 com a propria historia da matematica e,
neste caso, faz-se necessario que a professor e tambem pesquisador da
matematica, atenha-se para a propria historia desta disciplina. Muitos sao, nos dias
de hoje, as interessados e as fascinados na hist6ria da matematica, para responder
a algumas indagac;oes, como par exemplo: Como surgiu 0 sistema de numerac;.3o
decimal? Par que na base dez? Onde surgiu? Paf que surgiu? De quem foi a ideia?
o que levou 0 surgimento deste sistema de numerac;ao?
Para exemplificar destaca-se 0 relato de STRUIK (1985, p. 193). "Este
sistema de dez simbolos 0, 1, 2, 3, ... , 9, sao usados ou\ para ser historicamente
precisos, as nove simbolos 1, 2, ... , 9 com um marcador ° e a sistema de numeracyao
decimal."
Aproveitou-se entao para fazer urn resumo de como surgiu 0 sistema de
numera9ao decimal usado em nossos dias. Os numeros sao escritos com a
convencyao de que se tern unidades, dezenas, centenas e assim sucessivamente,
isto e, 0 valor posicional. Originou-se na india, nos primeiros anos da era crista com
ou sem (provavelmente sem) inspira9210 da China. Viajou para 0 Leste, para a
Indochina e para 0 Oeste atraves das caravanas e do trafego costeiro, para as
paises do Islao. Ali, ao redor do ano 825, urn matematico charnado Muhamed AI-
Khuwarizmi ou Muhamed de Chiwa, onde e atualmente 0 Usbequistao, escreveu um
livro, em arabe, sobre estes numeros hindus; esta livro foi traduzido para 0 lalim,
quando entao estes numeros viajaram para 0 Oeste ate a Espanha e as cidades
italianas na Idade Media. Ali urn italiano, rnercador e rnatematico, Leonardo de Pisa,
escreveu urn vastissimo tomo em lalim a respeito do uso desses numeros e 0 que se
pode fazer com eles, livro datado de 1202. Atraves de Leonardo e outros
mercadores, professores e sabios, nos lugares onde cristaos e islamicos
encontravam-se, a difusao do sistema de numera9ao decimal, encontrou 0 seu
caminho atraves da Europa mercantil, bern como da Europa letrada. Nao sem
alguma oposicyao daqueles que preferiram 0 uso dos tradicionais quadros de contas,
ou abacos, nos quais trabalhava-se com fios em que estavam presas contas como
naqueles brinquedos ainda vislos nos ber~os e cadeirinhas de bebes, com bolinhas
presas com arame ou com fios. Os resultados de computa9ao eram entao escritos
22
em numeros remanos. A oposir;ao tinha algum senti do; podia-s8 facilmente cometer
urn erro, OU mesma lapear com esses simbolos sarracenos, mudar 0 1 para 7 au a 0
para 9. Ainda toma-S8 precau96es contra estas trapac;as quando S8 escreve urn
cheque, par exemplo. A longo prazo, 0 sistema decimal posicional conseguiu veneer
e no final do sE3cula XV, quando apareceram as primeiros livros impressos sabre 0
calculo, usavam simbolos 0, 1,2, .... , 9, com 0 mesmo desembara~o com que se faz
hoje
Ha muitos outros exemplos agradaveis a relatar: a hist6ria da inven9c3o do
calculo, do axioma das paralelas e a descoberta da geometria nao-8uclidiana, ou as
origens da teori8 matematica da probabilidade. Mas 0 intuito e levar a reflexao de
que naG basta propor quest6es inumeraveis para que as alunos as resolvam, como
se fossem maquina, ou como se usa na cibernetica, urn robe control ado por alguem,
no caso 0 professor, mas faz-se necessario trazer a luz a reflexao do seu hist6rico,
da sua aplicabilidade, dos seus metodos e alternativas de resoluc;ao e tambem sua
contextualiza~ao, indo de encontro aos ditames dos PCN(s).
23
3. COMO RESOLVER UM PROBLEMA
Anteriormente foi citado como deve ser a escolha de um bom problema 0 qual
provoca no aluno 0 interesse em interpreta-Io e resolve-Io e, neste casa, pretende-S8
aproveitar algumas ideias de POL YA (1995, p. 25 a 27), na arte de resolu9ao de
problemas, as quais sao:
Familiariza~aoo problema tern que ser vista como um todo, para 5e familiarizar, tendo inlcia pela enunciadopara compreensao e estimulo d a memoria e recordar de ponlcs relevanles.
Aperfei~oamento da CompreensaoOeve-se come<;af novamente pelo enunciado do problema, verificando as partes principais deum problema, considerando-8s uma a uma em vanas combinar;;:oes, relacionando cadadelalhe com ou aulros detalhes e cada um destes com a totalidade do problema.
Procura da Ideia ProveitosaComeee pela exame das partes principais de seu problema, quando estas esliveremnilidamenle dispostas e claramente concebidas, grac;;as ao seu trabalho anterior, e quando asua memoria estiver receptiva.Tome 0 seu problema por diferentes lados. Destaque as diferentes partes, examine osdiversas detalhes, examine repel ida mente os mesmos detalhes, mas de maneiras diferentes,combine-os diferentemente, aborde-os par diversos lados. Procure perceber algum significadonovo em cada detalhe, alguma nova interpretac;;ao do conjunto.Busque contata cam as seus conhecimentos anteriormente adquiridas. Pense naquilo que jaserviu de auxilio em situac;Oes semelhantes. Tente reconhecer alguma coisa de familiar noque examina e perceber algo de util naquilo que reconhecer.Com sorle e surgimento de uma ideia, 0 leve diretamente a resoluc;;ao. Talvez se faznecessario mais algumas ideias proveitosas. Algumas delas talvez 0 levem por oulrocaminho.
Execul;ao do PlanoInicie com a ideia que 0 levou a resoluc;;ao. Assegure 0 seu dominio. Realize detalhadamentetodas as operac;Oes algebricas e geometricas que ja verificou serem vj~lVejs. Verifique acorre<;:ao de cada passo, pelo raciocinio formal QU pela intui<;:ao, ou de am bas as maneiras. Seo seu problema e muito complexo, pode distinguir passos 'grandes' e 'pequenos',conslituindo-se cada grande passo de diversos pequenos. Verifique primeiro os grandes epasse depois para as pequenos.Considere a resoluc;;ao por diversos lados e busque cantatas com seus conhecimentosadquiridos.Considere os delalhes da resoluc;;ao e procure torna-Ios tao simples quanta possivel; examineas partes mais amplas da resoluc;;ao e procure abrevia-Ias, tenle perceber !oda a resoluc;;aonum relance. Procure modificar vantajosamente as partes maiores e menores da resolw;:ao,melhora-Ia !oda e inseri-Ia tao naturalmente quanta for possivel, nos seus conhecimentosanteriormente adquiridos. Examine 0 metodo que a levau a resolu<;:ao, para caracteriza-Io euliliza-Io em oulros problemas. Examine 0 resuttado e procure utiliza-IO em oulros problemas.E passivel que encantre uma outra resolw;:aa melhor, que descubra fatos nov os einteressanles. De qualquer maneira, se adquirir 0 habilo de verificar e examinar desse modoas suas resolw;:6es, obtera alguns conhecimenlos bern ordenados e prontos a seremutilizados e assim desenvolvera a sua capacidade de resolver problemas.
24
Para melhor esclarecer as ideias aeirna a respeito de resolu980, ou seja, uma
tecnica de resolver problemas, a melhor e expor alguns, sejam abertos au fechados
e resolve-los passo a passo, fazendo alguns comentarios que S8 f898m necessariospara uma melhor compreensao do aluno ou de quem queira participar e aprofundar
este trabalho.
1) Encontrar as dimensoes de urn terreno, conforme abaixo:
2x+2y= 18xy= 20
Resposta: 4m par Sm
Para cerear urn terreno retangular com 20 m2 de area, Joao gastou 36 m de
arame, dando duas voltas completas. Quais sao as suas dimens6es?
Para este case faz-s8 necessaria recordar de alguns principios, como a area
de urn retangulo, 0 perimetro, 0 conceito de retangulo e 0 usa da algebra parasolucionar urn sistema de equa9~1O. Neste caso 0 problema e simples pois sua
traduc;ao e literal nao dando margem a questionamentos, simples mente 0 que se
pede e a dimens80 do terreno, seja em comprimento ou largura.
2) Encontrar dois numeros cuja soma e 78 e cujo produto e 1296.
Neste caso 0 procedimento e mais simples, pois exige conhecimentos de
algebra, de equa90es e sistemas de equa90es para sua resolu980. 0 que se pode
fazer e transcrever da linguagem corrente para a linguagem matematica que, no
caso especifico, e a lingua gem algebrica, conforme abaixo:
Formula98o do Problema
linguagem corrente
encontrar dois numeros
cuja soma seja 78 e
cujo produto seja 1296
linguagem algebrica
x, y
x + y = 78
xy = 1296
25
Percebe-se que 0 enunciado verbal divide-se, quase automaticamente, em
partes sucessivas, cada uma das quais pode ser imediatamente escrita em simbolos
matematicos,
3) Ache a area da figura.
Percebe-se neste caso que a figura nao e bern definida, 0 que requer
modelagem. Deve-s8 forrnular hip6teses e fazer aproximac;oes simples para S8 obter
multiplas respostas, sem que haja a necessidade de escolher uma me thor resposta.
Qutros casas que envolvem, a modelagem matematica e justamente 0
levantamento de problemas/casos/situ890es no cotidiano do aluno seja na escola,
em casa, no seu bairro etc.
26
4. ANALISE DAS ENTREVISTAS
Foram entrevistados onze professores de matematica da rede estadual de
ensina, conforme protocolo de entrevista em anexo, nos meses de outubro e
novembro de 2002, com a inten980 de levantar uma pequena analise do referido
tema.
4.1 CARACTERisTICAS DOS PARTICIPANTES
Foi elaborado urn protocolo de entrevista com algumas quest6es do tema e
aproveitando-se para tra9ar urn pertil das caracterfsticas de cada professor de
matematica que participou do processo de entrevista, conforme exposto no
QUADRO 1, possibilitando assim uma analise individual de cada entrevistado.
QUADRO 1
REDE PUOLJCA DE ENSlNO
Nola: Entrevistas realizadas por meio de protocolo anexo a este Irabalho
Obs.: Superior Completo com F. P. significa com Forma98o Pedag6gica ministrado pelo CEFETIPR.
I~\." <y"\
(;- n~7"c", C\Observa-se que a media de idade dos professores entrevistados e\i~:,;:',."V........;..•ritJl~
anos, comprovando ser urna nova safra de educadores, sendo que dos o~e-entrevistados tres tem habilita9ao em matematica pelo programa de forma9ao
pedagogica do CEFET/PR 8, apenas dais tern curso de p6s-graduac;ao, mesma
assim nao esta voltado especificamente para a matematic8. Quanta ao n.o de aulas
nota-s8 que a maioria dos entrevistados tern aeima de 20 haras/aula par semana,
sendo que a metade tern aeima de 33 haras/aula, isto signifiea tempo integral em
sala de aula, que se traduz em dois ou tres periodos de trabalho. Dos entrevistados,
oito lecionam apenas em urn estabelecimento escolar e tres em dois, 0 que signifiea
exclusividade a urna instituiC;8.o de ensina.
Analisando 0 grau de ensina, cinco lecionam para 0 ensina fundamental de 5a
a sa serie, apenas dais para 0 ensina medic e 0 restante para ambos. Todos os
entrevistados lecionam apenas em institui980 publica e sao contratados pelo regime
CLT. Quanto a media de alunos por turma, verifica-se atraves do quadro que todos
tern acima de 30 alunos em sal a de aula.
Pelo quadro verifica-se tambem que esta equilibrado a quantidade de
professores por sexe, e que a media do tempo de magisterio e de 4,9 anes, sendo
nove anos de casa para deis dos entrevistados, sendo a E21 eo E9.
4.2 LEVANTAMENTO DE CASOS
Foram entrevistados onze professores de matematica para levantamento de
quest6es relacionadas ao tema deste trabalho, conforme protocole em anexo.
Indagados, quanto a lecionar a disciplina de matematica, houve unanimidade
na resposta, isto €I, por ter facilidade em calculo, apenas 0 E5 relatou estar
insatisfeito profissionalmente e, por recomenda9ao dos colegas, optou pela
graduac;ao em matematica. Dos onze entrevistados, quatro tin ham outra forma980,
sendo que tres licenciaram-se em matematica pelo programa de Forma98o
Pedagogica no CEFET/PR.
No relata sabre a interpreta9ao da leitura matematica na lingua materna, as
respostas sao um tanto que descompromissadas, limitando-se a dizerem da sua
I E2, qucr dizcr, cnlrcvislado 2. Adotou-sc cslu simbologiu para facilit:lr a lei lura dos entrcvislados qucparticiparam dcsla pcsquis:l c tralxllho.
28
importancia, dificuldade, diversidade, precariedade, fragilidade e dais dos
entrevistados nada responderam a esta questao. Na sequencia da indagayao do
porque e de citar urn exemplo, observou-se incerteza e duvida quanta a esta nova
metodologia pais, pelas respostas, pode-s8 afirmar que 0 professor de matematica
esta centrado no tradicional, com quest6es fechadas, res pastas (micas, sem
margem de indagar;6es e hipoteses e com exercicios de repeti9fia. Isto impede urn
avan90 na aplicabilidade das sugestoes dos peN's, em que se propoe 0 usa das
competencias e habilidades par parte do aluno e, neste caso, 0 professor torna-S8
agente e mediador deste processo. Portanto convem lembrar as palavras de
Machado, em que:
a malem.'ltica erige-se, desde os primordios, como urn sistema de representayao original,apreende-Io tern a significado de um mapeamento da realidade, como no caso da Lingua.Muito rna is de que a aprendizagem de tecnicas para operar com slmbolos, a maternaticarelaciona-se de modo visceral com 0 desenvolvimento da capacidade de interpretar, analisar,sintetizar, conceber, Iransceder 0 imediatamente sensivet, extra polar, projetar.
MACHADO (1990, p. 96)
Analisando a forma de trabalho dos professores e questionados sobre 0
interesse dos alunos par qualquer material literario, seja didatico, paradidatico ou
outros que contenham assuntos mate maticos e se os mesmos estimulam 0 aluno a
tal habito, observa-se ainda que a maioria dos professores limita-se aos conteudas
de planejamento e execu9aO de exercicios por repetic;::ao ou reproducyao. 0 que
chamou a aten980 loi 0 exemplo citado pela E1, a qual relatou ter trabalhado 0
Teorema de Pitagoras com os alunos de oitavas series, para construir um palco
(apesar de nao especificar qual 0 utilidade do palco e nem as suas dimens6es). 0
argumento e que 0 entrevistado, no caso uma professora, saiu do tradicional e foi a
campo com os alunos, isto e, exercitou as habilidades dos mesmos e testou as suas
competencias, ere-se que tenha feito um feedback na geometria e nas medidas
(propriedades dos triangulos, retas paralelas, perpendiculares, transversa is,
congruencia de lados e angulos, angulos complementares, suplementares, opostos
pelo vertice, correspondentes, perlmetro, area). Observa-se aqui uma aplicabilidade
pratica de uma teo ria, possibilitando elaborar problemas que contenham respostas
reais e objetivas quanto a constru98o deste palco. Esta aplicabilidade relaciona-se
com os problemas matematicos, citados par POLYA (1995), em que argumenta que
o professor deve auxiliar os alunos, com coerencia, pratica, dedica9aO e postura
29
firme. Ja foi citado na revisao de literatura e esta reforc:;ando-se nesta analise em que
S8 propoe 0 habito da laitura e interpretac;ao de problemas matematicos, com 0 usa
da propria umodelagem matematica", isto e: compreender 0 problema, levantar
hip6teses, preyer a tese, procurar urn problema correlato, estabelecer urn plano de
resolu(:8o e execu(:8o deste plano, traduzido nas palavras de FILlPOVSKI (1989, p,
131): "a escola que assume para 5i a condic;:ao de formar 0 habito de leitura do
estudante, estara garantindo, com certeza, a existencia de adultos com rica
imaginac;:ao, amplos recursos lingOfsticos e uma visao de mundo que em muito
ultrapassa ao imediato e proximo."
Na abordagem da hist6ria matematica, a E1 pronunciou-se favoravel e a
transmite nos conteudos lecionados e que segundo as suas palavras u .•• para que os
alunos aeompanhem 0 desenvolvimento da humanidade e os motivos que os
levaram a este conhecimento~ Dois professores relataram nao abordar a hist6ria
dos conteudos ministrados aos alunos e os demais pronunciaram-se favoraveis por
deixar a aula mais interessante, 0 E5 lembrou do aparecimento e surgimento das
eoisas, citando como exemplo 0 sabio alemao Leibniz, que sugeriu e introduziu 0
sinal . indicar multiplicayao e : para indicar divisao, indo de encontro ao que disse 0
E7: " ... , pois e muito importante 0 resgate culturaL" Seguindo esta linha de
pensamento, segue 0 raciocinio descrito no marco te6rico em que 0 intuito e levar areflexao de que nao basta propor questoes inumeraveis para que os alunos
resolvam como se fossem maquinas, ou como se usa na cibernetica, um roba
controlado par alguem, no caso a professor, mas faz-s9 necessario trazer it luz a
reflexao do seu historico, da sua aplicabilidade, dos seus metodos e alternativas de
resoluyao e tambem sua eontextualizac;ao, indo de encontro aos metodos dos
peN's,
Quanto aos metodos ou reeursos usados na elaborac;ao e resoluc;ao de
problemas, as respostas foram diversas, seja raciocinio logico, livre didatico,
interpreta9ao, aplica9ao de formulas, ideias novas, explica90es, jornais, revistas com
anuncios comerciais, resolu9ao com interar;ao e metodo indutivo. Os entrevistados
E1, E6 e E8 nao responderam a esta indagac;ao. A ideia neste questionamento era a
de levantar de fato se os professores estao se adaptando a atual conjuntura
educacional, cujo aluno tern que ser vista, nao como urn roba, urn agente passivo a
ser control ado e, sim como cidadao de sensa critico e criativo, a ser preparado para
a vida. Chamou a atentyao na entrevista do E5, quanta a maneira que as alunos
30
conseguem resolver problemas, ap6s leitura e interpretay80, argumentou sabre os
mecanismos, em suas palavras, '"... atraves de Qutros recursos au Qutros
mecanismos como: Artes Plasticas, nos mais diversos momentos, atividades que
resultam em desenhos bern interessantes, que visam as rela90es entre matematica
e artes visuais, realizado junta mente com 0 professor(a) de educ8y80 artistica." Este
relato exposto pelo E5, faz relembrar 0 argumento de SANTOS (1960, p. 152), "todo
professor de matematica e tambem um professor de linguagem em especial para as
formas de expressao e de pensamento quantitativos." e a grande escritor e educador
brasileiro Paulo FREIRE, relatou que:
A boa leitura nao deve nunca ser analisada pela sua quantidade, mas sim pela capacidadeque 0 leitor teve de adentrar 0 texto e entender sua mensagem e significados, pois ler e a'decifrayao de uma mensagem e posterior rneditayao sobre esta', a fim de compreende-Ia edepois expressa-Ia.
FREIRE (1997, p. 37)
Finalizando a entrevista, foi questionado se a professor usufrui de testes de
concursos publicos, particulares, testes do ENEM, testes de vestibulares au outros
para trabalhar com 0 aluno em sala de aula, a maioria disse utilizar, pois como disse
a E4, observa-se:
NBO podemos desconsiderar atividades e testes seletivos. NBO podemos esconder dosnossos alunos a realidade 0 qual esta inserido. Com certeza sera uma experiencia nova, urnconhecimento novo. E preciso preparar 0 mesrno para mais essa etapa da vida. E assimestaremos contribuindo para sua forma~Bo profissional e como urn cidadao atualizado epreparado para a 'vida'
o E3 disse que alem do livro didatico, utiliza jogos e video, a E9 que "existem
muitos subsidios similares aos quais foram citados, em resposta pode-se afirmar que
as alternativas sao muitas e acredita-se que todos as professores que lecionam
matematica, devem aderir a todas as alternativas para 0 melhor desempenho dos
alunos.w
Na introdugao, dentro do item 1.2, foi abordado esta situagao,
responsabilizando 0 professor de matematica em propiciar ao aluno recursos para
que 0 mesmo encontre as ferramentas necessarias na arte de resolver problemas.
31
5. OTIMlZAC;:AO
Ensinar matematica tern sido, frequentemente, uma tarefa dificil. As
dificuldades intrinsecas somam-se as decorrentes de uma viseD distorcida da
materia, estabelecida muitas vezes pelo despreparo do professor, naD que sle seja a
unico culpado, mas pel a propria grade de disciplinas na gradu8<;8o de matematica
em que as mesmas nao estao voltadas para a formayao pedag6gica do professor e
sim numa visao tecnicista e burocn3tica, habilitando simplesmente para a
matematica pura, no seu modo mais complexo e prefixa, vetanda ao professor
enxergar a realidade dos fatos reais e corriqueiros.
5.1 UM EXEMPLO A SER SEGUIDO
o metoda de ensino proposto pelo peN em matematica e a da Resolu~ao de
problemas e segundo Thomas BUTTS (p. 32) "0 verdadeiro prazer em estudar
matematica e 0 sentimento de alegria que vern da resoluyao de um problema -
quanta mais difieil a problema, maior a satisfa~ao."
o interessante e que 0 professor formule situa96es problemas de modo a
maximizar a motivagao do aluno e para isto e necessario 0 usa da "modelagem
matematica", permit indo aD professor:
•mudar a enfase do ensinar para 0 aprender;
• encorajar seus alunos para a pesquisa, discussao, questionamento e,
'negociadores' do conhecimento matematico;
• voltar as aulas para exploragao e 0 dialogo;
• incentivar os alunos a construirem 0 seu pr6prio conhecimento;
• transformar os alunos de passivos para ativos, tidos apenas como mero
expectadores, repetidores/copiadores, que apenas ouviam e respondiam as
32
quest6es prontas e abordadas, para cidadaos que refletem a sua pratic8, atuam
como mediadores do conhecimento, opinam sabre suas 890es, tomam decis6es e
mais, elaboram suas proprias perguntas;
• dinamizar as aulas, saindo do individual e passando para 0 coletivD, onde 0
espaC;o de aprendizagem nao e somente a sala de aula, mas tambem 0 patio da
escola, a praya, 0 bairro e etc.
Formular e reformular problemas e uma tarefa dificil e a resoluyao de alguns
deles, como par exemplo algebra, requer a traduy8.o de palavras em portugues para
termos matematicos - habilidade decisivamente necessaria em qualquer disciplina
que use matematica. Para BUTTS (p. 48). "Estudar matematica e resolver
problemas. ConseqOentemente, cabe aDs professores de matematica, em todos os
niveis, ensinar a arte de resolver problemas. 0 primeiro passo e formular 0 problema
adequadamente."
o auter supra citado levanta os tipos diferentes de problemas matematicos,
os quais sao:
1. Exerdcio de reconhecimento, 0 qual reconhece ou recorda um fato
especffico, uma definigao ou enunciado de um teerema;
2. Exerdcios algorftmicos, que podem ser resolvidos com um procedimento
passo a passo, freqOentemente um algoritmo numerico;
3. Problemas de aplicagao, envolvendo algoritmos aplicativos. Os problemas
tradicionais caem nesta categoria, exigindo sua resolug8o, com formulagao
do problema simbolicamente e manipulagao dos simbolos mediante
algoritmos diversos.
4. Problemas de pesquisa aberta, em que nao ha uma estrategia para
resolve-los, usando express6es tais como: 'Prove que ... ', 'Encontre todos
.. .' ou 'Para quais ... e .. .';
5. Situa<;oes-problema, em que envolvem identifica<;ao para pensar sobre
elas."
Segue uma sugestao de situag8.o-problema em que 0 aluno apropriar-se-a da
sua criatividade e das ferramentas necessarias para a sua realizayao.
Uma Rede de Supermercados afim de maximizar a demanda por produtos
que levam sua marca, pretende lanqar um pacote promocional conforme
segue:
33
a) Na compra de cinco itens com a marca da rede, 0 c/iente tera 5% de
desconto;
b) Na compra de dez itens com a marca da rede, 0 cliente tera 10% de
desconto;
c) Na compra de mais de onze itens, 0 c/iente a/(!!m dos 10%, ganhara um
brinde surpresa.
Ajude esta rede de supermercado a otimizar esta promoqBo, levando em
conta, 0 prazo de duraqBo da mesma, 0 perfil de sua clientela e os tipos de
produtos com a sua marca, bem como fazer uma projeqBo de ganhos eestimativa de fucros esperados.
34
CONCLUSAO
Este trabalho, foi fruto de urn questionamento proposto em Faxinal do Ceu em
1997, quando questionou-se a necessidade do usa de urna boa leitura de conteudos
mate maticos. A preocupa<;ao, de 18 para ca, e aprofundar ests estudo, culminando
uma pesquisa intitulada "0 Habito da Leitura Matematica", realizada em 2001, junto
a outros professores do curso de Forma,ao Pedagogica no CEFET/PR.
Aproveitou-se 0 ensejo para desenvolver esta monografia e posterior avanc;o
e, quem sabe, numa dissertayao de mestrado, depois numa tese de doutorado,
alE~m de abrir urn leque para discussao com a corpo docente da disciplina de
matematica com Qutras areas do conhecimento, alam da comunidade estudantil , a
maior interessada par inovac;6es e mudanc;as na didatica e metodologia de ens ina
da matematica. A propos ito, comec;ou-se este trabalho, apresentando 0 abjetivo do
mesma, apresentancto urn relato na arte de resolver problemas e suas tecnicas e de
que maneira foi organizado.
Con vern salientar que foi feito um bom apanhado em termos de revisao de
literatura, au como melhor pode-se chamar, embasamento teorico, 0 que deu
suporte para a analise de algumas entrevistas feitas com professores de matematica
da rede publica de ensino e que foram necessarias, para S8 encaixarem no tema
preposte nesta monografia.
Expo-se alguns metodos de come resolver um problema, aproveitanda as
ideias de POL YA - na arte de resolu~ao de problemas, passando para analise das
entrevistas com levantamento de dadas necessarios para trac;:ar um perfil de cada
entrevistado, posteriormente pela otimizac;:ao e um exemple a ser seguido, isto quer
dizer, inovac;:ao.
Contudo e preciso dar destaque ao fato de que por menor que tenha side a
amostragem, isto e, apenas onze entrevistados, nota-se que na maioria, pode-se
dizer, segundo os PARAMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCN):
MATEMATICA,
35
as movimentos de reorienta(f80 curricular .,"' nao tiveram fOfy8 suficiente para mudar a praticadocente dos professores para eliminar 0 carater elitista desse ensino, bern como melhorar suaqualidade. Em nosso pais 0 ensino de matematica ainda e marcado pelos altos indices de reteny8o,pela formaliz89ao precoce de conceitos, pela excessiva preocupa<;:ao com 0 treino de habilidades emecanizac;ao de processos sem compreensao.
PARAMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCN): MATEMATICA (1998, p. 19)
Pelo perfil trac;ado dos professores nota-s8 tambem que fazem parte de uma
nova safra, que apresentam uma media de idade de 33,9 anos e, apenas, 4,9 anos
em media de tempo de magisterio e que a maioria tem acima de 20 horas/aulas
semanais, 0 que indica urn avanc;o em termos de mudanC;8 na metodologia de
ensina, principal mente proposto pel os peN ·s. 0 esfon;o para isto, vai da vontade e
dedicaC;ao de cada um e espera-se que nao se tenha apenas um dador de aula, mas
sim um agente facilitador no processo-ensino-aprendizagem.
Espera-se ainda uma sintonia nos model os propostas pelo ENEM,
vestibulares, peN(s) e livro didatico, para que 0 professor possa realizar um
trabalha voltada a aprender como preparatorio e tambem uma fonte de informac;6es
necessarias ao contexto do aluno. Em suma, este trabalho teve seu objetivo
atingido, 0 de buscar sensibilizar a todos os interessados de que se faz necessaria
uma interpretac;ao da leltura matematica na lingua materna para resolver
problemas.
36
PROTOCOLO DE ENTREVlSTA (ANEX001)
1) Caracteristicas dos Participantes
NOME: COOlGO:
INSTITUICAO: ( ) PLIBLICA ( ) PARTICULAR ( )AMBAS
IOADE: SEXO:
TEMPO DE MAGISTER10:GRAOUACAO:
IPOE AULAS:
2) Do papel do Professor.
EM QUANTAS ESCOLAS LECIONA: _
LECIQNA PARA 0 ENS1NO: ( ) FUNDAMENTAL () MEDIO () AMBOS
2.1) Voce poderia nos dizer 0 que 0 levou a leeionar a disciplina de matematica?
2.2) Como voce va a questao da interpretagao da leitura matematica na linguamaterna?2.2.1) Por qUE'?2.2.2) Voce poderia me dar um exemplo.
3) Da Forma de trabalho do Professor.
3.1) Voce nota interesse par parte do aluno em ler qualquer material quecontenham conteudos da matematica?
3.2) Voce tem estimulado esse tipo de leitura?3.2.1) Se sim -+ Como voce tem trabalhado?
Voce relaciona a matematica com 0 cotidiano de seus alunos?Voce poderia me dar urn exemplo?
3.2.2) Se nao -+ Voce tern a intengao de utilizar este recurso?
3.3) Voce aborda a hist6ria da matematica nos conteudos lecionados? Por que?
3.4) Quais os metodos e ou recursos que voce usa na elabora9ao e resolu9ao deproblemas matematicos?3.4.1) Desses metodos, quais os que voce considera os mais eficientes?3.4.2) Os alunos leem os problemas, interpretam-os e conseguem resolve-los?3.4.2.1) Se sim -+ De que maneira eles conseguem resolve-los?
Os recursos de resolu9ao sao pr6prios ou outros mecanismos?Se nao -+ Voce estimula os alunos nestas resolu96es de problemas?
3.5) Voce tem usufruido de provas nos ultimos concursos do Correio, testes doEN EM, testes de vestibulares e outros para trabalhar em sala com os alunos?3.5.1) Se sim -+ A experiencia tem propiciado um melhor rendimento econhecimento no saber matematico?
Se nao -+ Quais recursos, al8m do livro didatico, voce usa nesta nova visaodos PCN'S (habilidades e competencias)?
37
REFERENCIAS
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