1. Introdução

Qualquer movimento que se repete a intervalos de tempos iguais, constitui um movimento periódico. Se a partícula em movimento periódico se move para diante e para trás na mesma trajetória, seu movimento é denominado oscilatório. A oscilação é um movimento que ocorre em diversos campos. Em toda parte podem se encontrar alguns exemplos. O movimento dos planetas, as marés, a vibração das cordas de um violão, entre tantos outros.

Embora estas forças todas tenham expressões matemáticas diversas, em muitos casos podemos proceder a uma aproximação de primeira ordem, obtendo uma força que é diretamente proporcional ao deslocamento do corpo em relação ao ponto de equilíbrio.

O Movimento Harmônico Simples é um tipo de movimento oscilatório bastante comum. O MHS apresenta algumas características que facilitam seu estudo: em condições ideais, isto é, sem forças dissipativas, a amplitude e o período deste movimento são constantes.

1.1 O Movimento Harmônico Simples (MHS)

O pêndulo simples, constituído de uma linha com uma extremidade fixa e uma massa presa à outra, quando oscila com pequena amplitude descreve um MHS. Pode-se estudá-lo usando as leis de Newton.

      A solução das equações acima, considerando que a aceleração a depende do ângulo q e que este é pequeno (cos q » 1 e sen q » q), é:

q = q osen (w t + d)

onde W = ( g/L )1/2 é a freqüência angular do movimento, qo é a amplitude (valor máximo do ângulo) e d é uma fase inicial que é igual a zero quando a velocidade inicial do pêndulo for zero. Lembrar que a posição S da massa está relacionada com o ângulo (q) e o comprimento do fio (L) pela própria definição de ângulo:

q = S/L

      O período (T) de oscilação de pêndulo é igual ao tempo gasto para completar um ciclo. A freqüência (f) do movimento corresponde ao número de oscilações em um dado tempo fixo. Em outras palavras, a freqüência é dada pelo inverso do período: f = 1/T. A relação entre freqüência angular e período é determinada sabendo-se que a função seno tem período 2p, assim: w.T = 2p, ou seja, W = 2p/T = 2pf.       Igualando as relações obtidas para a freqüência angular obtém-se que: ( g/L )1/2 = 2p/T

ou ainda g = L (2p/T) 2. Portanto, determinando o período T e o comprimento L é possível encontrar o valor da aceleração da gravidade local.

Um outro exemplo para o MHS é o constituído pelo sistema massa mola. O corpo irá executar um movimento harmônico simples se a força elástica for a única

força que atua no corpo (eventualmente se houver outras forças, estas devem se anular),. Para tanto, a força resultante deve ser da forma:onde k é a constante elástica da mola.

Por definição, um corpo executa um MHS, para o caso do movimento unidimensional, quando o seu deslocamento x, em relação a um sistema de referência com origem na posição de equilíbrio, é dado como função do tempo pela relação:

A : é a amplitude máxima da oscilação : é a pulsação (ou freqüência angular) : é a fase inicial da oscilação (quando t=0).

A função cosseno se repete cada vez que o ângulo varia de 2. Logo o deslocamento da partícula repete-se após um intervalo de tempo 2/. Diz-se então que o período do MHS é

Tomando a segunda derivada da equação de x(t), para calcular a aceleração de um corpo que executa um MHS, tem-se que:

Utilizando a 2a Lei de Newton, F(t)=ma(t), chega-se à equação:

Logo, pode-se afirmar que, num MHS, a força que atua sobre o corpo é diretamente proporcional ao deslocamento e aponta para o ponto de equilíbrio (força restauradora).

Como as forças elásticas são conservativas, podemos definir uma energia potencial:

Lembrando que a energia cinética é:teremos:

que é constante ao longo do tempo.

2 – Lei de Hooke

2.1 – Objetivo:

- Verificar a validade da Lei de Hooke para um oscilador massa-mola.- Observar o oscilador massa-mola, a fim de comprovar que executa um M.H.S.

2.2 – Material Utilizado:

Escala vertical com cursores 2 molas Massas aferidas Porta-peso Trena Balança analógica

2.3 – Procedimento Experimental e Medições:

Na montagem encontrada na bancada, colocou-se uma das molas penduradas, de modo que ela ficasse em equilíbrio. Com um dos cursores da escala vertical, fixou-se a posição de equilíbrio da extremidade inferior da mola, que foi tomada como referência. Depois, foi adicionada uma massa ao porta-peso de modo que, quando a massa entrou novamente em equilíbrio, foi anotado seu deslocamento. Tal procedimento foi repetido cinco vezes para cada mola, resultando nas seguintes tabelas:

m ± m [kg] x ± x [m]1 (10,1 ±0,1) · 10-3 (28 ±5) · 10-3

2 (20,1 ±0,1) · 10-3 (58 ±5) · 10-3

3 (30,1 ±0,1) · 10-3 (86 ±5) · 10-3

4 (40,3 ±0,1) · 10-3 (116 ±5) · 10-3

5 (50,4 ±0,1) · 10-3 (146 ±5) · 10-3

Tabela 1: mola 1

m ± m [kg] x ± x [m]1 (10,1 ±0,1) · 10-3 (15 ±5) · 10-3

2 (20,1 ±0,1) · 10-3 (26 ±5) · 10-3

3 (30,1 ±0,1) · 10-3 (39 ±5) · 10-3

4 (40,3 ±0,1) · 10-3 (55 ±5) · 10-3

5 (50,4 ±0,1) · 10-3 (66 ±5) · 10-3

Tabela 1: mola 5

Com a mola menos rígida, foi montado outro arranjo com uma massa de 50g, adotando como referência a posição de equilíbrio da extremidade da mola. Deslocou-se a massa em cerca de 1 cm para baixo, soltando-a em seguida. Observou-se que a massa oscilava com pequena amplitude em torno do ponto de equilíbrio.

2.4 – Questões

2.4.1 – Para cada massa das Tabelas 1, calcule a força exercida pela massa. Monte novas tabelas com seus cálculos. Não se esqueça de calcular a incerteza na determinação da força mola.

Para o cálculo da força exercida pela massa, foi utilizada a seguinte equação:

F = P = mg,

onde g = (8,55 ± 0,41) m/s2.

F ± F [N]1 (86,4 ±4,2) · 10-3

2 (171,9 ±8,3) · 10-3

3 (257,4 ±12,4) · 10-3

4 (344,6 ±16,6) · 10-3

5 (430,9 ±21,0) · 10-3

Tabela 2: mola 1

F ± F [N]1 (86,4 ±4,2) · 10-3

2 (171,9 ±8,3) · 10-3

3 (257,4 ±12,4) · 10-3

4 (344,6 ±16,6) · 10-3

5 (430,9 ±21,0) · 10-3

Tabela 2: mola 5

F foi calculado da seguinte maneira:

2.4.2 – Construa com seus dados um gráfico da força das molas em função de suas elongações, em papel milimetrado.

Em anexo.

2.4.3 – Determine, a partir das duas retas, a constante de elasticidade de cada mola, com a respectiva incerteza.

A partir da reta obtida no gráfico, força em função da elongação, é possível obter a constante de elasticidade de cada mola, a partir do coeficiente angular de cada reta, bastando pegar dois pontos quaisquer da reta.

E a incerteza da constante elástica da mola é calculada através da fórmula do erro em medidas indiretas, que é dada por:

Para a mola 1, temos:

k1 = (F2 – F1)/ (x2 – x1)k1 = (0,460 – 0,100)/(0,148 – 0,036)

k1 = 3,214 N/m

k1 = 0,183 N/m

Logo para a mola 1, k1 = (3,214 ± 0,183) N/m

Para a mola 5, temos:

k5 = (F2 – F1)/ (x2 – x1)k5 = (0,420 – 0,100)/(0,064 – 0,017)

k5 = 6,809 N/m

k5 = 0,773 N/m

Logo para a mola 5, k5 = (6,809 ± 0,773) N/m

2.4.4 – Determine a constante de mola equivalente para as seguintes situações:

As duas molas em série, sustentando um corpo na vertical;

ksérie = 2,183 N/m

A incerteza de ksérie é dada por:

ksérie = 0,116 N/m

Portanto,

ksérie = (2,183 ± 0,116) N/m

As duas molas em paralelo, sustentando um corpo na vertical;

kparalelo = k1 + k5

kparalelo = 10,023 N/m

A incerteza de kparalelo é dada por:

kparalelo = 0,794 N/m

Portanto,

kparalelo = (10,023 ± 0,794) N/m

As duas molas, sobre um plano horizontal, presas nos extremos, com um corpo entre elas;

De forma análoga à associação das molas em paralelo, vem que:

kplano horizontal = (10,023 ± 0,794) N/m

2.4.5 – Porque, ao colocar a massa suspensa em movimento, ela não pára no ponto de equilíbrio do sistema massa-mola?

A massa em movimento não pára no ponto de equilíbrio do sistema massa-mola porque, embora neste ponto a resultante seja nula, o sistema possui uma velocidade oriunda do estágio anterior e pela lei da inércia, tende a continuar em movimento até que a mola aplique uma força contrária a este. Assim, essa força provoca um movimento oposto ao anterior, repetindo o processo. Dessa maneira, a massa fica oscilando em torno do ponto de equilíbrio.

2.4.6 – Como você justifica a presença de um sinal negativo na expressão matemática da Lei de Hooke, com base nas suas observações?

Tal sinal indica que a força descrita na lei de Hooke é do tipo restauradora e, portanto, contrária ao movimento.

3 – Pêndulo Simples

3.1 – Objetivo:

Utilizar o movimento de um pêndulo simples para a determinação do valor experimental do módulo da aceleração da gravidade próxima à superfície terrestre em Itajubá.

3.2 – Material Utilizado:

Haste 2 fixadores Massas aferidas Fio Trena Balança analógica Cronômetro

3.3 – Procedimento Experimental e Medições:

Com o auxílio da trena, foi determinado o comprimento L do fio do pêndulo e, em seguida, provocada sua oscilação. Registrou-se o tempo de 5 oscilações e calculado o tempo de cada oscilação. O procedimento foi repetido 5 vezes de modo a preencher a tabela abaixo com sua média, sendo o comprimento do fio variado de 10cm a cada medição.

± [s] L ± L [m]1 0,8±0,1 (97±5) · 10-3

2 1,1±0,1 (202±5) · 10-3

3 1,3±0,1 (303±5) · 10-3

4 1,4±0,1 (394±5) · 10-3

5 1,7±0,1 (493±5) · 10-3

Tabela 3

3.4 – Questões:

3.4.1 – Escreva as equações do movimento (radial e tangencial).

m.an = T - mg.cosθ    (radial)

mat = mg.senθ  (tangencial)3.4.2 – Deduza a relação entre o período do movimento, comprimento do fio e a aceleração da gravidade para o regime de pequenas oscilações.

A fim de se determinar a relação entre o período de oscilação, o comprimento do fio e a aceleração da gravidade, partiu-se da seguinte igualdade do eixo tangencial:

mas a aceleração tangencial pode ser escrita como , então:

Para que o movimento seja considerado um MHS, deve-se ter:

θ << 1 , sen θ= θ

mas como , então:

Além disso, pode-se tirar as seguintes igualdades do movimento circular uniforme:

Com estas equações e com o valor considerado acima para ω, tem-se:

como quería-se demonstrar.

3.4.3 – Faça o gráfico 2 x L.

Em anexo.

3.4.4 – Calcule g ± g.

2 ± [s2] L ± L [m]

1 0,64±0,10 (97±5) · 10-3

2 1,21±0,10 (202±5) · 10-3

3 1,69±0,10 (303±5) · 10-3

4 1,96±0,10 (394±5) · 10-3

5 2,89±0,10 (493±5) · 10-3

Tabela 4

Através do coeficiente angular da reta formada pelos pontos do gráfico T2 x L, é possível determinar o módulo da aceleração da gravidade. Da relação:

tem-se que o coeficiente angular da reta do gráfico T2 x L será igual a .

Denotando o coeficiente angular por m, tal que , e considerando dois

pontos convenientes do gráfico:

Ponto 1: L1 = 0,040[m] T 21 = 0,40 [s2]

Ponto 2: L2 = 0,500 [m] T22 = 2,52 [s2]

Encontra-se o seguinte valor para m:

Da relação anteriormente estabelecida, tem-se que:

Para se calcular a incerteza Δg, tem-se a seguinte fórmula obtida através da propagação de erros:

Substituindo os valores na fórmula, encontra-se a incerteza:Δg = 0,41 [m/s2]

Portanto,

g = (8,55±0,41) m/s2

3.4.5 - O que acontece com o período quando alteramos a massa do corpo?

A equação que rege o período do pêndulo simples é a seguinte:

Percebe-se que o período para este tipo de oscilação não é função da massa. Portanto, variando-se a massa, o período permanece constante.

3.4.6 - Por que não fazemos somente uma medida do comprimento e do período na determinação do g?

Foram feitas mais de uma medida do comprimento e do período para que, na construção do gráfico ² x L, possibilitasse a obtenção de uma reta que mais se aproxime da ideal. Quanto maior o número de medições realizadas, mais confiável é o gráfico construído, o que contribui para a redução da incerteza e uma melhor aproximação do valor médio de g.

4 – Conclusão

Através desse experimento, foi possível visualizar os conceitos estudados da Lei de Hooke. Porém, na parte destinada ao Pêndulo simples, o valor obtido para a aceleração da gravidade não foi muito satisfatório, devido a erros observacionais e instrumentais.

5 – Bibliografia

NUSSENZVEIG, Herch Moysés; Curso de Física Básica, volume 2 São Paulo, Editora Blücher, 1983.

RESNICK, R. e HALLIDAY, D.; Física, volume 2 Rio de Janeiro, LTC, 1983.