LÓGICA MATEMÁTICA

Prezado (a) Aluno (a),

Seja bem-vinda ao aprendizado da disciplina Lógica Matemática que, por sua vez, faz parte da grade curricular de várias ciências, como informática, Engenharia, Matemática, Física etc. Sabe-se que quando há diálogo entre professor e aluno (vice-versa), o ensino-aprendizado flui tranquilamente, em decorrência disso, sempre que precisar entre em contato com o seu professor.

O conteúdo desse tópico da matemática objetiva auxiliar o alunado no desenvolvimento do raciocínio lógico, da compreensão de conceitos básicos e da verificação formal da linguagem matemática visando disciplinas futuras que utilizam algoritmo e programação.

Este guia está dividido em cinco unidades, nas quais damos ênfase nos estudos das tabelas-verdade.

Na primeira unidade utilizamos proposição, conectivos e tabela-verdade, que

permite uma boa informação teórica de lógica matemática.

Na segunda unidade apresentamos operações lógicas sobre proposições

visando à construção de tabelas-verdade para proposições compostas.

Na terceira unidade apresentamos teorias e aplicações sobre tautologias, Contradições, Contingências, Implicação e Equivalência Lógica, dando destaque as propriedades.

Na quarta unidade exibimos álgebra das proposições e método dedutivo, dando destaque a demonstração de implicação lógica sem o uso de tabela-verdade.

Na quinta unidade mostrar-se argumento, regras de inferência e quantificadores oferecendo destaque ao critério de validade de um argumento e aos Tipos de quantificadores.

É relevante observar que em todas as unidades são sugeridos ao alunado, exercícios de aprendizagem objetivando um conhecimento mais tranquilo.

Sabendo da importância que a lógica matemática tem para a informática e para outras ciências, como Engenharia, Física etc, espera-se que este trabalho seja um instrumento a mais para os estudos que você está realizando na área de informática.

Anicio Bechara Arero.

Introdução

Ao iniciar o estudo sobre Lógica Matemática, o alunado tem a curiosidade de querer saber o significado de lógica matemática e qual a sua aplicabilidade na informática. O que podemos responder em relação a essas indagações é que, até os dias de hoje, a lógica não apresenta uma definição exata. Alguns matemáticos a definem como “o estudo dos processos válidos que atinge a verdade”, ou simplesmente “a ciência das leis do pensamento”. Outra citação refere-se a lógica como sendo o estudo filosófico (estudo de problemas relacionados à existência, ao conhecimento, à verdade, à mente e à linguagem) do raciocínio válido. É importante salientar que a Lógica Matemática é estudada em várias disciplinas, principalmente em Matemática, Ciência da Computação, Filosofia e Semântica (ocorre sobre palavras, frases, sinais e símbolos).

O primeiro trabalho sobre Lógica está direcionado ao filósofo grego Aristóteles, nascido na cidade de Estagira (Macedônia), 384 a.C, hoje pertencente a Grécia. A Lógica Aristotélica foi amplamente aceita em matemática e ciências, sendo responsável pelos dois princípios da lógica que são a Lei da Não-Contradição (nenhuma afirmação pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo) e a Lei do Terceiro Excluído (toda proposição ou é verdadeira ou é falsa). O sistema lógico de Aristóteles introduziu o silogismo hipotético, lógica modal temporal e lógica indutiva.

A Lógica Matemática é aplicada na linguagem de programação lógica, onde a primeira linguagem de programação foi de Planner, em seguida foram desenvolvidas as linguagens de programação QA-4, Popler, Conniver, e QLISP. As linguagens de programação Mercury, Visual Prolog, Oz e Frill, foram desenvolvidas a partir do Prolog. Atualmente existem linguagem de programação lógica concorrente derivadas do Planner e derivadas de Prolog. É relevante observar que o sentido da programação lógica é trazer o estilo da lógica matemática à programação de computadores. Outra aplicabilidade da Lógica Matemática está relacionada à Ciência da Computação que abraça o estudo dos algoritmos, sua aplicação e de sua implementação, na forma de software, para execução em computadores elétricos. Como foi colocado na apresentação, distribuiremos nosso estudo sobre Lógica Matemática em 5 unidades que abrange todo o conteúdo da disciplina.

UNIDADE I – Proposição, Conectivos e Tabela-verdade.

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

- Citar os princípios da Lógica Matemática.

- Conceituar proposição.

- Definir valor lógico de uma proposição.

- Identificar os tipos de proposições.

- Definir conectivos.

- Construir tabela-verdade.

- Aplicar as operações lógicas sobre proposições.

Nessa unidade-I, abordaremos os princípios da Lógica Matemática, os tipos de proposições, os conectivos, o valor lógico de uma proposição, tabela-verdade e operações lógicas sobre proposições. Além disso, estão disponibilizados exercícios e atividades para facilitar o aprendizado.

01- PRICÍPIOS DA LÓGICA MATEMÁTICA

A Lógica Matemática é constituída de três princípios, cujo objetivo é de compreender as relações que se estabelecem entre as proposições. Esses princípios são:

10) Principio da Identidade: se um enunciado é verdadeiro, então é verdadeiro.

20) Princípio da Não-Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

30) Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se um destes casos e nunca um terceiro.

Para compreender melhor esses princípios da Lógica, devemos observar os seguintes conceitos.

02- Proposição: é o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.

03- Valor Lógico de uma Proposição: é a verdade (V) se a proposição é verdadeira e a falsidade (F) se a proposição é falsa.

Sobre o conceito do valor lógico de uma proposição, vamos resolver os seguintes exemplos determinando o valor lógico de cada proposição:

a) Belém é a capital do Estado do Pará.

b) Sen 300 = ½

c) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

d) 9 é primo.

e) < 3,34...

f) (a – b)2 = a2 – b2

g) Log3 81 = 4

h) 52/52 = 0

As respostas são:

a) verdade e) verdade

b) verdade f) falsidade

c) verdade g) verdade

d) falsidade h) falsidade

04- PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

4.1- Proposição simples (ou Atômica): apresenta apenas uma proposição, sendo representada por letras minúsculas denominadas de letras proposicionais.

Exemplo:

a) p: 3 é um número primo. b) √2 é um número racional.

4.2- Proposição Composta (ou Molecular): é formada por mais de uma proposição, sendo representada por letras maiúsculas denominadas de letras proposicionais.

Exemplo:

a) João é rico e José é estudioso.

b) Se Arero é Paysandu, então é feliz.

05- CONECTIVOS: são palavras, expressões ou símbolos usados para formar novas proposições a partir de outras.

Abaixo temos os conectivos na linguagem corrente (usual) e na linguagem simbólica, respectivamente.

não (~ ou ), e (, , ), ou- inclusive (), ou ... ou...- exclusive, mas não ambos (), se ... então ... () e, ... se e somente se, ... ()

Exemplo

a) Antonio não é gordo.

b) Paulo é rico e João é vaidoso.

c) Fátima é alegre e não é vaidosa.

d) Adolfo é médico ou José é professor.

- ou inclusive: pode acontecer ao mesmo tempo.

e) Adolfo é paulista ou é mineiro.

- ou exclusive: não pode acontecer ao mesmo tempo.

f) Se Pedro é rico, então é feliz.

g) Log 5 = 0,699, se e somente se, 5 é um número ímpar.

06- TABELA-VERDADE

É um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se um fórmula é válida.

- Para construir uma tabela-verdade, utilizamos o seguinte procedimento:

1- Número de linhas de uma tabela-verdade (L) é calculado pela fórmula L = 2n, onde n é o número de proposições simples.

2- Colocam-se as proposições simples em colunas da seguinte maneira:

2.1- Tabela-verdade com uma proposição simples.

pVF

2.2- Tabela-verdade com duas proposições simples (proposição composta).

p qV VV FF VF F

2.3- Tabela-verdade com três proposições simples (proposição composta).

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

07- Operações Lógicas sobre Proposições.

Já estudamos a maneira de construir uma tabela-verdade, a partir de agora estudaremos as operações lógicas fundamentais. Essas operações obedecem as seguintes regras do cálculo denominado cálculo proposicional.

1ª) Negação (~): é uma proposição p representada por “não p” cujo valor lógico é a verdade quando p é falsa e a falsidade quando p é verdadeira.

Nota: A negação deve aparecer na frente do verbo.

p ~pV FF V

~V = F e ~F = VV(~p) = ~V(p)

Exemplos:

a) p: a derivada primeira da função do espaço representa a função velocidade (V).~p: a derivada primeira da função espaço não representa a função velocidade (F).V(~p) = ~V(p) = ~V = F

b) p: Log 1000 = 10 (F) e ~p: Log 1000 ≠ 10 (V)V(~p) = ~V(p) = ~F = V

2a) Conjunção (): conjunção de duas proposições p e q é a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos.

p q pqV V V

V F FF V FF F F

V V = V, V F = F, F V = F e F F = F

3a) Disjunção (): disjunção de duas proposições p e q é a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições é verdadeiras e a falsidade (F) quando ambas são falsas.

p q pqV V VV F VF V VF F F

V V = V, V F = V, F V = V e F F = F

4a) Disjunção Exclusiva (): disjunção exclusiva de duas proposições p e q é a proposição representada simbolicamente por p q, que se lê: “ou p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.

p q pqV V FV F VF V VF F F

V V = F, V F = V, F V = V e F F = F

5a) Condicional (): é a proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade nos demais caos.

p q pqV V VV F FF V VF F V

V V = V, V F = F, F V = V e F F = V

6a) Bicondicional (): é a proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ambas são verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade nos demais caso.

p q pqV V VV F FF V FF F V

VV = V, VF = F, FV = F e FF = V

Exercícios:

01- Sejam as proposições p: Diogo é estudioso e q: Igor é trabalhador. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:a) ~p q b) p q c) ~q p d) p q

02- Sejam as proposições p: Laura é forte e q: Laura é bonita. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:a) Laura é forte e bonitab) Não é verdade que Laura é forte ou bonitac) Laura é forte ou é fraca e bonita.

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você aprendeu os princípios da Lógica Matemática; verificou o que é proporção; calculou o valor lógico de uma proposição; identificou os tipos de proposições, definiu os conectivos, construiu tabela-verdade, identificou as operações lógicas. Logo, a partir desse momento você está capaz de iniciar a II unidade.

UNIDADE II – CONSTRTUÇÃO DE TABELAS-VERDADE

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

- Construir tabela-verdade de uma proposição composta.

- Calcular o valor lógico de uma proposição composta.

- Usar parêntesis na simbolização das proposições.

Nessa unidade-II, abordaremos a construção de tabelas-verdade utilizando proposição composta, o valor lógico de uma proposição composta e o uso de parêntesis nas proposições. É importante salientar que estão disponibilizados, nessa unidade, exercícios e atividades para promover o aprendizado.

01) CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE

1.1- Tabela-Verdade de uma Proposição Composta.- Para construir uma proposição composta devemos ajustar duas ou mais proposições simples pelos conectivos visto anteriormente. Por exemplo, P(p,q) = p (q ~p).

1.2- Número de linhas de uma tabela-verdade (L). - É calculado pela fórmula L = 2n, onde n é o número de proposições simples.

1.3- Construção de tabela-verdade de uma proposição composta.- Para construir uma tabela-verdade, inicialmente calcula-se o número de linhas, colocam-se as proposições simples em colunas e, em seguida, assentam-se, em colunas, as operações, como os exemplos abaixo:

1) Construir a tabela verdade da proposição p (q ~p).L = 2n = 22 = 4 linhas.

p q ~p (q ~p) p (q ~p)V V F F FV F F F FF V V V VF F V F VP(VV) = F, P(VF) = F, P(F,V) = V , P(FF) = V

P(p,q) : U {V, F}

VV P U VF F FV V FF

2) P(p,q,r) = (p ~q) (~p r)

L = 2n = 23 = 8 linhas

p q r ~p ~q (p ~q) (~p r) (p ~q) (~p r)V V V F F V F FV V F F F V F FV F V F V V F FV F F F V V F FF V V V F F V FF V F V F F F VF F V V V V V VF F F V V V F F

P(VVV) = F, P(VVF) = F, P(VF,V) = F , P(VFF) = F, P(FVV) = F, P(FVF) = V, P(FF,V) = V , P(FFF) = FP(p,q,R) : U {V, F}

02- Valor lógico de uma proposição composta.- É sempre possível conhecer o valor lógico de uma proposição composta P(p, q, r, ...), quando é conhecido o valor de cada proposição simples p, q, r, .... Observe os exemplos:

1) Sendo verdade o valor lógico de p e a falsidade o valor lógico de q, determine o valor lógico de P(p,q) = (p ~q) (~p q).

Solução:

P(p,q) = (p ~q)(~p q) = (V ~F)(~V F) = (V V)(F F) = VF = F

2) Dadas as proposições simples p: e q: Log 2 64 = 5. Encontre o

valor lógico da proposição composta P(p,q) = ~(p q) (p ~q).

Solução:

P(p,q) = ~(p q) (p ~q) = ~(V F) (V~F) = ~F(VV) = VV = V

03- Uso do Parêntesis.Observe a expressão p q ~p. Ao acrescentar parêntesis, podemos

transformar numa conjunção ou numa condicional, da seguinte maneira:

a) p (q ~p) b) (p q) ~p

Em a, temos uma proposição composta onde, o conectivo principal é e, em

b) Temos uma proposição composta em que, o conectivo principal é . É relevante entender que essas duas proposições não têm o mesmo significado.

Agora vamos identificar as proposições que podem surgir da expressão colocando parêntesis:

p q r s

a) ((p q) r) s Bicondicionalb) p ((q r) s) Condicionalc) (p (q r)) s Bicondicionald) p (q (r s)) Condicionale) (p q) (r s) Conjunção

Para encontrar o valor lógico das proposições identificadas acima, devemos agir da seguinte maneira:

a) ((p q) r) sResolve-se na ordem a condicional, a conjunção e a bicondicional.

b) p ((q r) s)Resolve-se na ordem a conjunção, a bicondicional e a condicional.

c) (p (q r)) sResolve-se na ordem a conjunção, a condicional e a bicondicional.

d) p (q (r s))Resolve-se na ordem a bicondicional, a conjunção e a condicional.

e) (p q) (r s)Resolve-se a condicional e a bicondicional e, em seguida, a conjunção.

Como podemos acrescentar parêntesis a uma expressão, também podemos suprimi-los, a fim de simplificar as proposições simbolizadas.

A supressão dos parêntesis nas proposições é feita através de convenções, e entre elas destacam-se duas:

1a) Utiliza-se os conectivos numa ordem que vai do mais fraco ao mais forte da seguinte maneira:

Negação (~); Conjunção (); Disjunção (); Condicional (); Bicondicional ()

Observe, por exemplo, a proposição:p q r s

é uma bicondicional, pois, é o conectivo mais forte.

Para resolver essa proposição, devemos partir do conectivo mais fraco para o mais forte, isto é, resolve-se primeiramente a conjunção, depois a condicional e por último a bicondicional.

Usando parêntesis, temos: (p (q r)) s.

Para transformá-la numa condicional ou numa conjunção, utiliza-se parêntesis.

p (( q r) s) ou (p q) (r s)

2a) Suprimem-se os parêntesis da proposição quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, realizando-se a associação a partir da esquerda.

Note, por exemplo, a proposição:((~(~(p q))) (~q))

Podemos escrevê-la mais simples do seguinte modo:~~(p q) ~q

Exercícios:

1- Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:a) (p q) ~p b) (~p q) q c) p ~q p q d) (~p q) q q e) (p q) q r f) ((p q) r) ((p q) ~r)g) ~(p v ~q) h) ~(p ~q) i) p ^ q p v qj) ~p (q p) k) (p q) p ^ q l) ~p ^ r q v ~rm) p r q v ~r n) p (p ~r) q v r 0) (p ^ q r) v (~p q v ~r)

2) Dada a proposição P(p,q) = (p ~q) ((~p q) q), determine:a) P(VV) b) P(VF)c) P(FV) d) P(FF)

3) Determinar P (VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:

a) P(p, q) = ~(~q p) b) P(p, q) = ~p v ~q p c) P(p, q) = (p v q) ~(p q) d) P(p, q) = (p v ~q) v (~p v q) e) P(p, q) = ~((p v q) (p v ~q)

4) Determine P(VFV) em cada caso:a) P(p,q,r) = (p q) (r ~p) b) P(p, q, r) = ~p v (q ~r)c) P(p, q, r) = (p v q) (p v r) d) P(p, q, r) = (p v ~r) (q v r) (r ~p)

5) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p, q e r são respectivamente V, V e F, determine o valor lógico da proposição composta P(p,q,r) = ((p q) r) (p ~r).

6) Sabendo que a proposição P(p,q) = ~p q ~q r ~r é uma bicondicional. Converta-a, usando parênteses, em:5.1) Condicional.5.2) Disjunção.5.3) Conjunção.

7) Transformar a proposição P(p,q)=(((~p) q) (~q)) numa proposição mais simples (subtrair parêntesis).

8) Dadas as proposições: p: 2 .(5 – 4) = 2, q: 2 . 5 – 4 = 6 e r: 5 – 4 . 2 = 2. Construa a tabela verdade da das proposições compostas abaixo:a) A(p,q): (~p q) (~q p) b) B(p,r): ((~p r) ~r) (p ~r)c) C(p,q,r): ((p q) (~q r)) ~r d) D(p,q,r): ((~p q) r) (p ~r)

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você aprendeu a Construir tabela-verdade de uma proposição composta; a calcular o valor lógico de uma proposição composta e utilizar parêntesis na simbolização das proposições. Logo, a partir desse momento você está capaz de iniciar a III unidade.

UNIDADE III - TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES, CONTINGÊNCIAS, IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA:

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

- Definir tautologia, contradição e contingência.

- Definir Implicação Lógica.

- Identificar as propriedades da Implicação lógica.

- Definir Equivalência Lógica.

- Identificar as propriedades da Equivalência Lógica.

- Definir proposição associada a uma condicional.

- Definir negação conjunta de duas proposições.

Nessa unidade-III, abordaremos o estudo sobre a existência de tautologia, contradição ou de contingência numa proposição composta, citaremos as propriedades da Implicação e Equivalência Lógica, definiremos proposição associada a uma condicional e negação conjunta de duas proposições. Além disso, estão disponibilizados exercícios e atividades para facilitar o aprendizado.

Durante a utilização de tabelas-verdade, observamos que essas tabelas podem apresentar como resultado valor lógico verdade ou valor lógico falsidade ou ambos. Em decorrência disso, vamos definir Tautologia, Contradição e Contingência.

01- Tautologia: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade apenas o valor lógico verdade.Exemplo:- Verificar se a proposição P(p,q) = (p q) (p q) é tautológica.

Solução:p q (p q) (p q (p q) (p q)V V V V VV F F F VF V F V VF F V V V

Observe que a resposta apresenta somente valor lógico verdade, logo, P é uma tautologia.

02- Contradição: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade apenas o valor lógico falsidade.

Exemplo:- Verificar se a proposição P(p,q) = ~p (p ~q) é uma contradição.

Solução:p q ~p ~q (p ~q) ~p (p ~q)V V F F F FV F F V V FF V V F F FF F V F F F

Observe que a resposta apresenta somente valor lógico falsidade, logo, P é uma contradição.

03- Contingência: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade os valore lógicos verdade e falsidade.

Exemplo:Verificar se a proposição P(p,q) = (p q) (p ~q) é uma contingência.

Solução:p q ~q (p q) (p ~q) (p q) (p ~q)V V F V F VV F V F V VF V F F F FF F F V F V

Note que o resultado tem valor lógico verdade e falsidade, logo, P é uma contingência.

Exercício:

- Verificar se as proposições apresentam tautologia, contradição ou contingência.a) P(p,q) = (p q) (p ~q) b) P(p,q) = (q p) (p q)c) P(p,q) = ((p q) p) q d) P(p,q) = ((p q) ~p) ~q)e) P(p,q) = (p q) (p (q r)) f) P(p,q) = (p q) (p q)

04- IMPLICAÇÃO LÓGICA ()

Definição: a proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia.

Simbolicamente representamos a implicação lógica por P Q.

Exemplo:

- Dadas as proposições P(p,q): p q, Q(p,q): p q e R(p,q): q v p, verifique se:a) P Q b) P R c) Q R

- Construir a tabela-verdade das proposições P, Q e R, temos: P Q R

p q (q p) (p q) (p q) P → Q P → R Q → RV V V V V V V VV F F F V V V VF V F F V V V VF F F V F V V F

Note que as condicionais P → Q e P → R são tautológicas, logo, a proposição P implica tanto a proposição Q, como a proposição R (P Q e P R). Contudo, a proposição Q não implica a proposição R (Q R), pois a condicional Q → R não é tautológica.

Propriedades da Implicação Lógica: Seja P, Q e R proposições compostas:1a) Reflexiva: P Q2a) Transitiva: Se P Q e Q R, então P R

Exercícios:

1) Dadas as proposições P(p,q) = p q, Q(p,q) = p → q e R = p V q, verificar se:

a) P Q b) P R c) Q R

2) Verifique se P = (p q) ~p implica Q = q.

05- EQUIVALÊNCIA LÓGICA ()

Definição: Uma proposição composta P é equivalente a uma proposição composta Q, se as tabelas-verdade de ambas as proposições são idênticas, ou se a bicondicional P Q é tautológica.

P(p,q, ...) Q(p, q, ...)Exemplo:

Verifique se as proposições P(p,q): p (p q) e Q(p,q): p q são equivalentes.

Solução: P Q p q (p q) p (p q) (p q) P QV V V V V VV F F F F VF V F V V VF F V V V V

Note que as proposições P e Q além de apresentarem tabelas-verdade idênticas, a bicondicional entre elas (P Q) é tautológica, logo, estas proposições são equivalentes.

p (p q) p q

Nota: os símbolos , , e são distintos, onde os dois primeiros fazem parte de operação lógica, enquanto os dois últimos de relação.

Propriedades da Equivalência Lógica: Seja P, Q e R proposições compostas:1a) Reflexiva: P Q2a) Transitiva: Se P Q, então Q P3a) Simétrica: Se P Q e Q R, então P R

Exercícios:

1) Verifique se P: p (p q) e Q: p p são equivalentes.

2) A condicional P: p q é equivalente a conjunção Q: ~p q?3) Sabendo que P: p q, Q = (p q) (p q) e R: (p q) (q p), verifique se:

3.1) P Q 3.2) P R b) R Q 4) Sabendo que k é uma proposição que encerra somente valor lógico falsidade, P(p,q): (p ~q) k e Q(p,q): p q, verifique se as proposições P e Q são equivalentes, ou seja, se a bicondicional P Q é tautológica.

5) Construa a tabela da bicondicional (((p q) r) (p (q r))), verificando se existe equivalência entre as condicionais ((p q) r) e (p (q r)).

06- Proposições Associadas a uma Condicional.- Denominam-se proposições associadas a condicional p q as três seguintes proposições condicionais que contêm p e q:1- Proposição recíproca de p q: q p.2- Proposição contrária de p q: ~p ~q.3- Proposição contrapositiva de p q: ~q ~p.

Exemplo:Construindo a tebela-verdade das proposições p q, q p, ~p ~q e ~q ~p, temos:

p q ~p -q p q q p ~p ~q ~q ~pV V F F V V V VV F F V F V V FF V V F V F F VF F V V V V V V

- Observe que as condicionais p q e ~q ~p são idênticas, logo, são equivalentes.

p q ~q ~p

- Também as condicionais q p e ~p ~q são idênticas, logo, são equivalentes.

p q ~p ~qExercícios:

1- Encontre a contrapositiva da condicional p q: Se Paulo é Paysandu, então

é feliz.

A contrapositiva da condicional p q é ~p ~q: Se Paulo é infeliz, então

não é Paysandu.

2- Encontre a contrapositiva de p ~q.

3- Encontre a contrapositiva da recíproca de p q.

07- Negação Conjunta de duas Proposições

- Denomina-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição “não p e não q”, representada simbolicamente por “~p ~q” ou “p q. Logo:

p q ~p ~q.p q p q

V V F

V F F

F V F

F F V

08- Negação Disjunta de duas Proposições- Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não

p ou não q”, representada simbolicamente por “~p ~q” ou “p q. Logo:p q ~p ~q.

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F V

Os símbolos “” e “” são chamados “conectivos de SCHEFFER”.

Exercícios:

1- Verifique as equivalências abaixo utilizando tabela-verdade:1.1- ~p p p1.2- p q (p q) (p q)1.3- p q (p p) (q q)

2- Se o valor lógico da proposição p é a falsidade e os valores lógicos das proposições q e r são verdades, encontre o valor lógico das seguintes proposições:2.1- (p ~q) (q ~r)2.2- (~p ~q) ((q p) (r p))2.3- (r q) (p ~q)

3- Verifique se a proposição (p (q ~p)) (~q p) é tautológica.

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você definiu Implicação Lógica; Identificou as propriedades da Implicação lógica, definiu Equivalência Lógica, identificou as propriedades da Equivalência Lógica, definiu proposição associada a uma condicional e conceituou negação conjunta de duas proposições. Logo, a partir desse momento você está capaz de iniciar a IV unidade.

UNIDADE I V – ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

- Citar as propriedades da conjunção, da disjunção e da conjunção e disjunção.

- Negar a condicional e a bicondicional.

- Empregar o método dedutivo.

- Reduzir o número de conectivos.

- Definir forma normal das proposições.

- Conceituar Princípio da Dualidade.

Nessa unidade-IV, abordaremos as propriedades da conjunção, da disjunção e da conjunção e disjunção utilizando tabelas-verdade, demonstraremos as implicações e equivalências por meio do método denominado Método Indutivo, usaremos técnicas para reduzir o número de conectivos e aplicaremos o Princípio da Dualidade. Além disso, estão disponibilizados exercícios e atividades para facilitar o aprendizado.

01- Álgebra das Proposições

1.1- Propriedades da Conjunção

1a) Idempotente: p p p (p uma proposição simples)

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p pp pppV V VF F V

As tabelas-verdade das proposições p e p q são idênticas, ou seja, a bicondicional é tautológica, logo, (p q) é equivalente a p.

p q pExemplo: a = 7 a = 7 a = 7

2a) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples)

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p q p q q p p q q pV V V V VV F F F VF V F F VF F F F V

As tabelas-verdade das proposições p q e q p são idênticas, ou seja, a bicondicional p q q p é tautológica, logo, (p q) é equivalente a (q p).

p q q pExemplo: x = 2 + 3 x < 7 x < 7 x = 2 + 3

3a) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples)- Observe a tabela-verdade abaixo.

p q r (p q) (p q) r (q r) p (q r) (p q) r p (q r)V V V V V V V VV V F V F F F VV F V F F F F VV F F F F F F VF V V F F V F VF V F F F F F VF F V F F F F VF F F F F F F V

As tabelas-verdade das proposições (p q) r e p (q r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p q) r p (q r) é tautológica, logo, (p q) r é equivalente a p (q r).

(p q) r p (q r)

Exemplo: (x = 3 x > 1) x < 5 x = 3 (x > 1 x < 5)

4a) Identidade: (p a) p e (p b) b (a e b proposições simples, onde a encerra somente a verdade e b a falsidade).

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p a b (p a) (p b) (p a) p (p b) bV V F V F V VF V F F F V V

- Observe que as proposições a e b são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente da conjunção.

Exemplo: x 2 /x/ ≥ 0 x 2x 2 /x/ < 0 /x/ < 0

1.2- Propriedades da Disjunção

1a) Idempotente: p p p (p uma proposição simples)

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p p p p p pV V VF F V

As tabelas-verdade das proposições p e p q são idênticas, ou seja, a bicondicional é tautológica, logo, (p q) é equivalente a p.

p q pEx: 0 < x < 2 0 < x < 2 0 < x < 2

2a) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples)

- Observe a tabela-verdade a seguir:

p q p q q p p q q pV V V V VV F V V VF V V V VF F F F V

As tabelas-verdade das proposições p q e q p são idênticas, ou seja, a bicondicional p q q p é tautológica, logo, (p q) é equivalente a (q p).

p q q p

Exemplo: a = 4 - 5 a < 2-3 a < 2-3 a = 4 - 5

3a) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples)

- Observe a tabela-verdade abaixo.p q r (p q) (p q) r (q r) p (q r) (p q) r p (q r)V V V V V V V VV V F V V V V VV F V V V V V VV F F V V F V VF V V V V V V VF V F V V V V VF F V F V V V VF F F F F F F V

As tabelas-verdade das proposições (p q) r e p (q r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p q) r p (q r) é tautológica, logo, (p q) r é equivalente a p (q r).

(p q) r p (q r)

Exemplo: (x 3 x > 4) x < 6 x 3 (x > 4 x < 6)

4a) Identidade: (p a) a e (p b) p (a e b proposições simples, onde a encerra somente a verdade e b a falsidade).

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p a b (p a) (p b) (p a) a (p b) bV V F V V V VF V F V F V V

- Observe que as proposições a e b são respectivamente elemento absorvente e elemento neutro da disjunção.Exemplo: x 2 /x/ ≥ 0 /x/ ≥ 0

x 2 /x/ < 0 x 2

1.3- PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO

1a) Distributiva: Dadas as equivalências lógicas abaixo, onde p, q e r são proposições simples.

1.1- p (q r) (p q) (p r)1.2- p (q r) (p q) (p r)

- Observe a tabela-verdade da proposição p (q r) (p q) (p r).

p q r (qr) p(qr) (pq) (pr) (pq)(pr) p(qr)(pq)(pr)V V V V V V V V VV V F V V V F V VV F V V V F V V VV F F F F F F F VF V V V F F F F VF V F V F F F F VF F V F F F F F VF F F F F F F F V

As tabelas-verdade das proposições p (q r) e (p q) (p r) são idênticas,

ou seja, a bicondicional p (q r) (p q) (p r) é tautológica, logo, p (q r) é equivalente a (p q) (p r).

p (q r) (p q) (p r)

- Note a tabela-verdade da proposição p (q r) (p q) (p r).

p q r (qr) p(qr) (pq) (pr) (pq)(p’r) p(qr)(pq)(pr)V V V V V V V V VV V F F V V V V VV F V F V V V V VV F F F V V V V VF V V V V V V V VF V F F F V F F VF F V F F F V F VF F F F F F F F V

As tabelas-verdade das proposições p (q r) e (p q) (p r) são

idênticas, ou seja, a bicondicional p (q r) (p q) (p r) é tautológica, logo, p (q r) é equivalente a (p q) (p r).

p (q r) (p q) (p r)

Observe que as bicondicionais p (q r) (p q) (p r) e p (q r) (p q) (p r) são tautológicas, portanto, a equivalência 1.1 explica que a conjunção é distributiva em relação à disjunção e a equivalência 1.2 explica que a disjunção é distributiva em relação à conjunção.

Exemplo:

1- A proposição “João pratica esporte e Carlos estuda ou passeia” é equivalente a proposição “João pratica esporte e Carlos estuda” ou “João pratica esporte e Carlos passeia”.2- “chove ou faz vento e frio” é equivalente a “chove ou faz vento” e “chove ou faz frio”

02) Absorção:

2.1- p (p q) p

p q p q p (p q) p (p q) pV V V V VV F V V VF V V F VF F F F V

Observe que as proporções p (p q) e p apresentam tabelas-verdade idênticas, ou seja, a bicondicional p (p q) p é tautológica, logo, a equivalência p (p q) p existe.

2.2- p (p q) p

p q p q p (p q) p (p q) pV V V V VV F F V VF V F F VF F F F V

Observe que as proporções p (p q) e p apresentam tabelas-verdade idênticas, ou seja, a bicondicional p (p q) p é tautológica. Logo, a proposição p (p q) é equivalente a proposição p.

Regras de Morgan:1ª) A negação de uma conjunção entre duas proposições simples é equivalente a disjunção das negações das proposições.~(p q) ~p ~q “é inteligente e estuda” é equivalente a não é inteligente ou não estuda”

2ª) A negação de uma disjunção entre duas proposições simples é equivalente a conjunção das negações das proposições.~(p q) ~p ~q “é médico ou professor” é equivalente a “não é médico e não é professor”

p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~qV V F F V F F V

V F F V F V V VF V V F F V V VF F V V F V V V

Observe que as proporções ~(p q) e ~p q apresentam tabelas-verdade idênticas, ou seja, a bicondicional ~(p q) ~p ~q é tautológica. Logo, a proposição (p q) é equivalente a proposição p ~q.

Note que as Regras de Morgan demonstram que a negação transforma a

conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção.

03- Negação da Condicional

Já vimos que a condicional p q é equivalente a (~p q), logo, negando a condicional temos:

a) p q ~p q ~( p q) ~(~p q) ~~p ~q p ~qb) ~( p q) p ~q

Observe as tabelas-verdade das proposições (~( p q) e (p ~q))

p q ~q ( p q) ~( p q) p ~q ~( p q) p ~qV V F V F F VV F V F V V VF V F V F F VF F V V F F V

Como as proposições (~( p q)) e (p ~q) são idênticas, ou seja, a bicondicional (~( p q) (p ~q)) é tautológica, a equivalência lógica (~( p q) (p ~q)) existe.

04- Negação da Bicondicional

Vimos anteriormente que p q (p q) (q p), logo: a) p q (p q) (q p) b) p q (~p q) (~q p)

Negando, temos:~(p q) ~( (~p q) (~q p)) ~(~p q) ~(~q p) (p ~q) (~p q)Logo:

c) ~(p q) (p ~q) (~p q)

Observe as tabelas-verdade das proposições ~(pq) e (p~q) (~pq)

p q ~p ~q ( pq) ~(p q)=A p~q (~pq) (p~q)(~pq)=B ABV V F F V F F F F VV F F V F V V F V VF V V F F V F V V VF F V V V F F F F V

Como as proposições ~(pq) e ((p~q) (~pq)) são idênticas, ou seja, a bicondicional (~( p q) (p ~q)) é tautológica, a equivalência lógica ~(p q) (p ~q) (~p q) acontece.

Exercício:

- Verificar através de tabela-verdade se existe as equivalências:a) p q (p ~q) b) p (q r) (p q) rc) (~p ~q) r (p q) (p r) d) p (p q) qe) ~(p q r) ~p ~q ~r (Regra de Morgan)

Resposta:a) não b) sim c) não d) não e) sim

05- MÉTODO DEDUTIVO

Utilizamos até o momento, tabelas-verdade para demonstrar as implicações e equivalências. A partir de agora, vamos demonstrar essas implicações e equivalências por meio do método denominado Método Dedutivo.

Inicialmente definimos como Método Dedutivo a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinada(s) premissa(s).

A Dedução é uma espécie de argumento no qual a forma lógica válida garante a verdade da conclusão se as premissas forem verdadeiras. Por exemplos:

1) A: “Todos os homens são mortais"B: “João é homem"Logo, C: “João é mortal”

Agora apresentemos uma forma lógica válida: x = homem, y = mortal e z = joão."TODO x é y.z é x.Logo, z é y"

Veja que as duas premissas obedecem a uma forma lógica válida. Se a conclusão for "Logo, Sócrates é mortal (Logo, z é y)", então temos uma dedução.

2) Modus ponens:

"Se P, então Q.

P.

Portanto Q."

Modus tollens:

"Se P, então Q.

Q é falso.

Logo, P é falso." 2

Exemplo de modus ponens que

No emprego do Método Dedutivo, as proposições simples p, q, r, s (apresentam valor lógico verdade) e t, valor lógico falsidade, devem ser substituídas respectivamente por proposições compostas P, Q, R, S (tautologia) e T (contradição).

ExemploSabendo que p é uma proposição qualquer e c e t proposições cujos valores lógicos são respectivamente, F e V.- Constatar as implicações e equivalências sem a utilização das tabelas-verdade.

1) c p 2) p tObserve quec p ~c p t p tp t ~p t t

2) (p q) ~q ~p (Modus tollens)(p q)~q(~pq)~q(~p~q)(q~q)(~p~q)T~p~q~p

3) (p q) p q (Modus ponens)(p q) p p (~p q) (p~p)(pq) T(pq) pq q

4) (p q) ((p ~q) t)p q ~p q ~p~~q ~(p~q) ~(p~q)t p ~q t

5) p (q r) (q q) r p(p r)~p(qr)~p(~qr)(~p~q)r~(pq)rpqr

- É relevante notar que tendo três conectivos, podemos traduzir os mesmos em dois e, todos os conectivos exprimem-se em termos de ou :a) , e traduz em ~ e .a1) p q ~~p ~~q ~(~p ~q)a2) p q ~p qa3) (p q) (p q) (q p) ~(~(~p q) ~(~q p))b) , e traduz em ~ e .b1) p q ~~p ~~q ~(~p ~q)b2) p q ~p q ~(p ~q)b3) (p q) (p q) (q p) ~(p ~q) ~(~p q)

c) , e traduz em ~ e .c1) p q ~(~p ~q) ~(p ~q)c2) p q ~~p q ~p qc3) (p q) (p q) (q p) ~((p q) ~(q p))

- Qualquer proposição pode ser transformar em uma forma denominada Forma Normal (FN). Esta forma é identificada quando a proposição contém os conectivos que representam negação (~), conjunção () e disjunção (). Se a proposição apresentar conectivo que representa condicional () ou bicondicional (), decompõe-se as mesma como segue: (p q) por (~p q) e (p q) por (~p q) (p ~q).

Uma proposição pode se apresentar na forma normal denominada Forma Normal Conjuntiva (FNC) ou na forma normal denominada Forma Normal Disjuntiva (FND).

Dizemos que uma proposição encontra-se na FNC quando:a) É literal: qualquer proposição na formula atômica ou sua negação (p, ~q, r).b) Apresenta os conetivos ~, e .c) A negação, não deve incidir nela mesmo (~~) e nem sobre a conjunção ()

e disjunção ().d) A disjunção não apresenta abrangência sobre a conjunção, ou seja, não

deve ter p (q r). Exemplos de FNC:

a) p ~qb) (p q)

c) ((p ~q) ~r)

Não são exemplos de FNC:a) ~(~p) (não é literal)b) ((p ~q) ~q) (está havendo repetição da fórmula atômica)

Dizemos que uma proposição encontra-se na FND quando:a) A proposição é uma conjunção.b) Contém os conectivos ~, e .c) A negação, não deve incidir nela mesmo (~~) e nem sobre a conjunção ()

e disjunção ().d) A proposição é uma disjunção de duas ou mais conjunções, onde

nenhuma delas está contida nas outras.

Exemplos de FND:a) (p q) rb) ~pc) (~p q) (~r)d) (p q) (~p r)

Exercícios:

1o) Determinar a Forma Normal Conjuntiva (FNC) da proposição ~((p q) p).Solução:

~((p q) p) ~(p q) ~p ~p ~q ~p

- Utilizando tabela-verdade:

p q ~p ~q ( pq) (p q) p ~((p q) p) ~p ~q ~p ~q ~pV V F F V F F F FV F F V V V F F FF V V F V V V F VF F V V F F V V V

2o) Determinar a Forma Normal Disjuntiva (FND) equivalente a proposição: (~q → r) ↔ (~p ˄ q).

Solução:

Inicialmente construímos a tabela-verdade que representa a proposição.p q r ~p ~q ~q → r ~p ˄ q (~q → r) ↔ (~p ˄ q)V V V F F V F FV V F F F V F FV F V F V V F FV F F F V F F V

F V V V F V V VF V F V F V V FF F V V V V F FF F F V V F F V

A maneira para obter uma forma equivalente a FND é a seguinte:Separa-se as linhas 4, 5 e 8 cujo valor lógico é a verdade (V), e nelas podemos escrever as formas conjuntivas fundamentais da seguinte maneira:Linha 4: como p é verdadeira, permanece p, porém, q e r são falsas, logo, ~q e ~r. (p ˄ ~q ˄ ~r)Linha 5: como p é falsa, utilizamos ~p, porém, q e r são verdadeiras, logo, permanece q e r. (~p ˄ q ˄ r)Linha 8: como p, q e r são falsas, escrevemos ~p, ~q e ~r. (~p ˄ ~q ˄ ~r)

Logo, a proposição equivalente é: (p˄~q˄~r) ˅ (~p ˄ q ˄ r) ˅ (~p ˄ ~q ˄ ~r) = T

Agora, vamos verificar se existe a equivalência:(~q → r) ↔ (~p ˄ q) (p ˄ ~q ˄ ~r) ˅ (~p ˄ q ˄ r) ˅ (~p ˄ ~q ˄ ~r)

p q r ~p ~q ~r p ˄ ~q ˄ ~r (~p ˄ ~q ˄ ~r)

T

V V V F F F F F FV V F F F V F F FV F V F V F F F FV F F F V V V F VF V V V F F F V VF V F V F V F F FF F V V V F F F FF F F V V V F V V

Exercício:

- Utilizando tabela-verdade, encontre uma FND das seguintes proposições:a) (p → ((q → q) ˅ (p → p)))b) ~p ↔ ((p → (q ˅ r)

07- PRINCÍPIO DE DUALIDADE

- Uma proposição composta S que apresenta apenas negação, conjunção e disjunção, se trocarmos conjunção por disjunção e disjunção por conjunção, temos uma proposição que denominamos de a DUAL de S.

Exemplo: a dual de S: ~p ˄ (q ˅ r) é ~p ˅ (q ˄ r)

De posse dessa informação, podemos anunciar o Princípio de Dualidade: se, duas composições compostas P e Q formadas por apenas negação, conjunção e disjunção são equivalentes, logo as duais de P e Q também são equivalentes.

Exemplo: a equivalência p (p q) p, pelo Princípio de dualidade, é deduzida da equivalência p (p q) p.

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você citou as propriedades da conjunção, da disjunção e da conjunção e disjunção, negou a condicional e a bicondicional, empregou o método indutivo, reduziu o número de conectivos, definiu forma normal das proposições e conceituou Princípio da Dualidade. Logo, a partir desse momento você está capaz de iniciar a V unidade.

UNIDADE V – ARGUMENTOS E REGRAS DE INFERÊNCIA

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

- Definir argumento.

- Conceituar validade de um argumento.

- Citar o critério de validade de argumento.

- Verificar a associação da condicional a um argumento.

- Citar os argumentos válidos fundamentais.

- Identificar e usar as regras de inferência.

- Conceituar quantificador

- Identificar os tipos de quantificadores.

Nessa unidade-V, identificaremos e aplicaremos argumento, usaremos as regras de inferência e identificaremos os tipos de quantificadores. É relevante lembrar que nessa unidade estão disponibilizados exercícios e atividades para gerar, com mais facilidade, o aprendizado.

01- Argumentos- Denomina-se argumento toda seqüência de proposições (simples ou compostas) que, no final ocasiona uma proposição Q. Observe:P1, P2, P3, ..., Pn Ⱶ Q (n ≥ 1)Onde, P1, P2, P3, ..., Pn são as premissas do argumento e Q a conclusão.

O argumento do tipo P1, P2, P3, ..., Pn Ⱶ Q é lido da seguinte maneira: “P1, P2, P3, ..., Pn ocasionam Q” ou “Q deriva de P1, P2, P3, ..., Pn”

Denomina-se Silogismo a todo argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão.

02- Validade de um ArgumentoConsidera-se um argumento válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, P3, ..., Pn são verdadeiras.Quando o argumento não é válido denominamos, o mesmo, de Sofisma (incorreto)

03- Critério de Validade de um Argumento

- Dizemos que um argumento P1, P2, P3, ..., Pn Ⱶ Q é válido se e somente se a condicional abaixo é tautológica.

(P1 ˄ P2 ˄ P3 ... ˄ Pn) → Q

É relevante notar que numa condicional associada a um argumento, denominamos de antecedente a conjunção de premissas (P1 ˄ P2 ˄ P3 ... ˄ Pn) e de consequente a conclusão Q (condicional associada ao argumento dado).

Exemplo:- Dado o argumento (p → q ˅ r), ~s, (q ˅ r → s) Ⱶ (s → p ˄ q). A condicional associada a esse argumento é representada por (p → q ˅ r) ˄ ~s ˄ (q ˅ r → s) → (s → p ˄ q).

04- Argumentos Válidos Fundamentais

4.1- Adição (AD): 4.2- p Ⱶ p ˅ q 4.3- p Ⱶ q ˅ p

4.2- Simplificação (SIMP):4.2.1- p ˄ q Ⱶ p4.2.2- p ˄ q Ⱶ q

4.3- Conjunção (CONJ):4.3.1- p, q Ⱶ p ˄ q4.3.2- p, q Ⱶ q ˄ p

44- Absorção (ABS):p → q Ⱶ p → (p ˄ q)

4.5- Modus Ponens (MP):p → q, p Ⱶ q

4.6- Modus Tollens (MT): p → q, ~q Ⱶ ~p

4.7- Silogismo Disjuntivo (SD):4.7.1- p ˅ q, ~p Ⱶ q4.7.2- p ˅ q, ~q Ⱶ p

4.8- Silogismo Hipotético (SH):p → q, q → r Ⱶ p → r

4.9- Dilema Construtivo (DC): p → q, r→ s, p ˅ r Ⱶ q ˅ s

4.10- Dilema Destrutivo (DD):p → q, r→ s, ~q ˅ ~s Ⱶ ~p ˅ ~r

05- Regras de Inferência- Colocam-se as premissas sobre um traço horizontal ew a conclusão sob o mesmo traço.1a) Adição (AD): de uma proposição, pode-se deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição.

1.1- 1.2- 1.3- 1.4-

2a) Simplificação (SIMP): de uma conjunção de duas proposições dadas, pode-se deduzir cada uma dessas proposições.

2.1- 2.2- 2.3- 2.4-

3a) Conjunção (CONJ): de duas proposições dadas, pode-se deduzir a sua conjunção. As duas proposições dadas são as premissas e a conjunção, a conclusão.

3.1- 3.2- 3.3-

4a) Absorção (ABS): de uma condicional de duas proposições dadas, pode-se deduzir uma outra condicional com o mesmo antecedente, contudo, como consequente a conjunção das duas proposições pertencentes a premissa.

4.1- 4.2-

5a) Modus Ponens (MP): de uma condicional, pode-se deduzir a conclusão q a partir das premissas p → q e p.

5.1- 5.2-

6a) Modus Tollens (MT): tendo como premissas a condicional p→q e a negação do consequente ~q, pode-se deduzir como conclusão a negação do antecedente ~p.

6.1- 6.2-

7a) Silogismo Disjuntivo (SD): de uma disjunção de duas proposições p ˅ q e da negação de uma delas (~p ou ~q), pode-se deduzir como conclusão q ou p.

7.1- 7.2- 7.3-

8a) Silogismo Hipotético (SH): das premissas p → q e q → s, pode-se deduzir a conclusão p → s.

8.1- 8.2-

9a) Dilema Construtivo (DC): apresenta como premissas duas condicionais p→q e r→s e a disjunção de seus antecedentes (p→q) ˅ r e, como conclusão, a disjunção dos consequentes destas condicionais.

9.1- 9.2-

10a) Dilema Destrutivo (DD): apresenta como premissas duas condicionais p→q e r→s e a disjunção da negação dos seus consequentes ~q ˅ ~s e, como conclusão, a disjunção da negação dos antecedentes destas condicionais.

10.1- 10.2-

Exercícios:

01) Através da regra do Silogismo disjuntivo, complete:

a) b)

02) Arquitetar a condicional associada a cada um dos argumentos:

a) p → q Ⱶ p ˄ ~q b) a = b → a = 4, a = 4 → a < c Ⱶ a = b → a < d

03) Construir o argumento correspondente a cada uma das seguintes condicionais:

a) (p ˅ q) ˄ ~p → q b) (p ˄~q) ˄ (p → q) → t

04) Através da regra Modus Tollens, complete:

06- Validade de um Argumento Mediante Tabelas-Verdade

- Para verificar a validade do argumento P1, P2, P3, ..., Pn Ⱶ Q utilizando tabela-verdade, deve-se:1- Construir uma tabela-verdade com uma coluna para cada premissa e uma para a conclusão.2- Identificar as linhas onde os valores lógicos das premissas são verdades.3- O valor lógico da conclusão nessas linhas também tem que ser verdade para que o argumento seja válido. Se, em alguma dessas linhas o valor lógico da conclusão for falsidade, dizemos que o argumento não é válido (sofisma).Outra maneira de verificar se o argumento P1, P2, P3, ..., Pn Ⱶ Q é válido está em construir a condicional associada (P1 ˄ P2 ˄ P3 ˄ ... ˄ Pn ) → Q, verificando se essa condicional é tautológica.

Exemplos:

1) Verificar se o argumento p ˅ q, ~p Ⱶ p é válido.

p q ~p p ˅ qV V F VV F F VF V V VF F V F

Observe que as premissas p ˅ q e ~p apresentam valor lógico verdade na 3a

linha, porém, a conclusão p apresenta valor lógico falsidade, logo, o argumento não é válido (sofisma).

2- Constatar se o argumento p → q, ~p ˅ q Ⱶ p → ~q é válido.

p q ~p ~q p → q ~p ˅ q p → ~qV V F F V V FV F F V F F VF V V F V V VF F V V V V V

Observe que as premissas p → q e ~p ˅ q apresentam valor lógico verdade nas linhas 1, 3 e 4, porém, a conclusão p → ~q valor lógico falsidade, logo, o argumento não é válido (sofisma).

3- Averiguar se o argumento p → r, p ˅ q, ~q Ⱶ r é válido.

p q r ~q p → r p ˅ qV V V F V VV V F F F VV F V V V VV F F V F VF V V F V VF V F F V VF F V V V FF F F V V F

Observe que as premissas p → r, p ˅ q e ~q apresentam valor lógico verdade somente na 3a linha, e a conclusão r também apresenta valor lógico verdade logo, o argumento é válido.

4- Verificar a validade do argumento:Se 5 não é primo (~p), então 7 não é ímpar (~q)

mas 5 é primo (p)logo, 7 é impar (q)

Colocando na forma simbólica: 5 é primo (p), logo, 5 não é primo (~p) e 7 é impar (q), logo, 7 não é ímpar (~q), temos:

~p → ~q, p Ⱶ q

p q ~p ~q p → qV V F F VV F F V FF V V F V

F F V V VObserve que as premissas p → q e p apresentam valor lógico verdade somente na 1a linha, e a conclusão q também apresenta valor lógico verdade, logo, o argumento ~p → ~q, p Ⱶ q é válido.

07- Quantificadores

Note que 2x + 7 = 9 representa uma sentença aberta, logo, não temos condições de considerar como proposição verdadeira ou falsa, contudo, se atribuídos valores à variável x, passa-se ter condições de considerar como proposição verdadeira ou falsa. Observe que quando escrevemos “Para todo valor x, temos 2x + 7 = 9 '' ou “Existe um valor x, tal que 2x + 7 = 9 '', podemos afirmar que a primeira é uma proposição falsa e a segunda uma proposição verdadeira.

Seja o conjunto Vp = {x| x ϵ A ˄ f(x)}, onde A representa um conjunto não-vazio, f(x) uma sentença aberta e Vp o conjunto-verdade. Quando Vp = A, podemos afirmar:

1- “Para todo x de A, f(x)”2- “Qualquer que seja x de A, f(x)”

Na lógica matemática representa-se este fato da seguinte maneira:x A, f(x)

Quando temos uma sentença aberta f(x) em um conjunto A, o símbolo , citado à variável independente (x), representa uma operação lógica que transforma essa sentença aberta numa proposição que pode apresentar valor lógico verdade ou falsidade, conforme f(x) exprime ou não uma condição universal no conjunto A. Esta operação lógica recebe o nome de Quantificação Universal e o símbolo de Quantificador Universal.

Quando temos um conjunto verdade do tipo Vp = {x| x ϵ A ˄ f(x)} (não-vazio), onde f(x) representa uma sentença aberta e A um conjunto não-vazio, podemos dizer que pelo menos um elemento do conjunto A satisfaz a sentença f(x), logo, podemos assegurar:

1- “Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto A tal que f(x) é uma proposição verdadeira (v)”

2- “Para algum x pertencente ao conjunto A, f(x) é uma proposição verdadeira (v)”

Na lógica matemática representa-se este fato da seguinte maneira:x A, f(x)

Quando temos uma sentença aberta f(x) em um conjunto A, o símbolo , citado à variável independente (x), representa uma operação lógica que transforma essa sentença aberta numa proposição que pode apresentar valor lógico verdade quando Vp ou falsidade quando Vp = . Esta operação lógica recebe o nome de Quantificação Existencial e o símbolo de Quantificador Existencial.

Exemplo:

- Encontre o valor lógico de cada uma das proposições:a) x Z, x + 3 > 5 (Z conj. dos inteiros)b) x Z, x + 3 > 5 (Z conj. dos inteiros)c) x R, x2 - 3x +2 = 0 (R conj. dos reais)

Solução:

a) x = -1 b) x = 4 c) x = 1-1 + 3 > 5 4 + 3 > 5 12 – 3.1 + 2 = 02 > 5 (F) 7 > 5 (V) -2 + 2 = 0

0 = 0 (V)Exercício:

- Encontre o valor lógico de cada uma das proposições, sendo R o conjunto dos reais:a) x R, 3x - 4 = 11b) x R, x2 = 2xc) x R, x2 = 2xd) x R, 3x - 4 = 11

Solução:a) para x = 4 b) para x = -2 c) para x = 2 d) para x = 5

3.4 – 4 = 11 (-2)2 = 2.(-2) 22 = 2.2 3.5 – 4 = 1112 – 4 = 11 4 = -4 (F) 4 = 4 (V) 15 - 4 = 11 8 = 11 (F) 11 = 11 (V)

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você definiu argumento, conceituou validade de um argumento, citou o critério de validade de argumento, verificou a associação da condicional a um argumento, alegou os argumentos válidos fundamentais, identificou e usou as regras de inferência, conceituou quantificador e identificou os tipos de quantificadores.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Caros estudantes, Chegamos ao final do nosso curso sobre Lógica Matemática. Esperamos

que os objetivos da disciplina tenham sido alcançados por vocês. É importante

lembrar que esses assuntos estudados serão de grande importância para a continuação dos seus estudos.

Queremos, nesse momento, agradecer o esforço de todos para que o aprendizado da disciplina Lógica Matemática fluísse normalmente.

Caríssimos discentes, apesar do término da nossa disciplina, estaremos sempre à disposição de vocês. Desejamos muito sucesso na continuidade do seu curso.

Anicio Bechara Arero.

BIBLIOGRAFIA

FEITOSA, Hércules de Araújo. PAULOVICH, Leonardo. Um Prelúdio à Lógica. São Paulo: Editora UNESP, 2005.

ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2008.

GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. Ed. LTC, 2004.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico. Rio de Jameiro: Editora Campus, 2005.

CASTRUCCI, Benedito, Introdução à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1984.

http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/nocoes-de-logica/implicacao-logica.html#ixzz3QmLUZqWbhttp://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dedutivo