LÓGICA MATEMÁTICA

Prezado (a) Aluno (a),

Seja bem-vinda ao aprendizado da disciplina Lógica

Matemática que, por sua vez, faz parte da grade curricular de

várias ciências, como informática, Engenharia, Física etc.

Sabe-se que quando há diálogo entre professor e aluno (vice-

versa), o ensino-aprendizado flui tranquilamente, em

decorrência disso, sempre que precisar entre em contato com

o seu professor.

O conteúdo desse tópico da matemática objetiva auxiliar o

alunado no desenvolvimento do raciocínio lógico, da

compreensão de conceitos básicos e da verificação formal da

linguagem matemática visando disciplinas futuras que

utilizam algoritmo e programação.

• Sistemas numéricos

• Definição:

São sistemas de notação usados para representar

quantidades abstratas denominadas números. Um sistema

numérico é definido pela base que utiliza. A base é o

número de símbolos diferentes, ou algarismos,

necessários para representar um número qualquer, dos

infinitos possíveis no sistema. Por exemplo, o sistema

decimal, utilizado hoje de forma universal, utiliza dez

símbolos diferentes ou dígitos para representar um

número e é, portanto, um sistema numérico na base 10.

• Valores posicionais

• Em um sistema de número posicional, um número é

representado por uma seqüência de dígitos onde

cada posição de dígito tem um peso associado.

Tomando como exemplo o sistema decimal, ou base

10, que é sistema numérico que utilizamos

diariamente (0, 1, 2, ... 9), o valor D de um número

decimal de 4 dígitos d3d2d1d0 é D = d3*103 + d2*102+

d1*101 + d0*100. Cada dígito di tem um peso de 10i.

Por exemplo, o número 3.098.323 (base 10) é a

representação de 3*106 + 0*105 + 9*104 + 8*103 +

3*102 + 2*101 + 3*100.

Aritmética Binária

Esta seção apresenta as quatro operações básicas no

sistema binário: adição, subtração, divisão e

multiplicação.

• Sistema Binário

O sistema binário, ou base 2, apresenta unicamente

dois dígitos: 0,1. Neste sistema a contagem é

realizada como segue: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110,

111, 1000, ...

Conversão Binário para Decimal

Sendo binário um sistema de número posicional, o

valor B de um número binário de 7 dígitos

b6b5b4b3b2b1b0 é B = b6*26+ b5*2

5 + b4*24 + b3*2

3 +

b2*22+ b1*2

1 + b0*20. Cada dígito bi tem um peso de 2i.

Assim o valor binário 10101010b é calculado como

segue 10101010b =

0*20+1*21+0*22+1*23+0*24+1*25+0*26+1*27 = 170d. Esta

é a conversão de um número binário para decimal.

Outro exemplo 10011001b = 1+8+16+128=153d.

Conversão Decimal para Binário

No sistema decimal, por exemplo, o número 654 corresponde

a 4 unidades, 5 dezenas e 6 centenas. Para verificar isto,

divide-se o número pela sua base (que é 10):

654/10 = 65 Resto 4 (*1)

65/10 = 6 Resto 5 (*10)

6/10 = 0 Resto 6 (*100)

Para a conversão de decimal para binário utilizamos o mesmo

processo. Por exemplo, para obtermos o correspondente

binário do número 200d, dividimos primeiramente este valor

por 2 e anotamos o resto de cada divisão. Em seguida,

dividimos novamente o dividendo da operação anterior por 2

e anotamos novamente o resto da divisão. Isto é repetido até a

última divisão, conforme abaixo:

• 200/2=100 Resto 0

• 100/2= 50 Resto 0

• 50/2 = 25 Resto 0

• 25/2 = 12 Resto 1

• 12/2 = 6 Resto 0

• 6/2 = 3 Resto 0

• 3/2 = 1 Resto 1

• 1/2 = 0 Resto 1

• O correspondente binário de 200d é obtido unindo-se os restos

da divisão por 2 na ordem inversa, assim 200d=11001000b.

• Ex: 1) Transformar:

• a) 190d em binário b) 100101b em decimal

• c) 50d em binário d) 1100011b em decimal

• Sistema Octal

• O sistema binário ou base 8 apresenta oito dígitos: 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7. Neste sistema, a contagem é realizada

como segue: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15,

16, 17, 20,...

• Conversão Octal para Decimal

• Sendo o sistema octal um sistema de número

posicional, o valor O de um número octal de 4 dígitos

o3o2o1o0 é O = d3*83 + d2*8

2+ d1*81 + d0*8

0. Cada dígito

oi tem um peso de 8i. Assim o valor octal 1758 é

calculado como segue 1758 = 5*80+7*81 +1*82 = 12510.

Esta é a conversão de um número octal para decimal.

• Conversão Decimal para Octal

• Para a conversão de decimal para octal utilizamos o mesmo

processo da conversão do sistema decimal para binário. Por

exemplo, para obtermos o correspondente octal do número

200d, dividimos primeiramente este valor por 8 e anotamos o

resto de cada divisão. Em seguida, dividimos novamente o

dividendo da operação anterior por 8 e anotamos novamente o

resto da divisão. Isto é repetido até a última divisão, conforme

abaixo:

• 200/8= 25 Resto 0

• 25/8 = 3 Resto 1

• 3/8 = 0 Resto 3

• O correspondente octal de 200d é obtido unindo-se os restos da

divisão por 8 na ordem inversa, assim 200d=310o.

• Sistema Hexadecimal

• Na base hexadecimal tem-se 16 dígitos que vão de 0 à 9 e da letra

A até F. Estas letras representam os números 10d a 15d. Assim nós

contamos os dígitos hexadecimais da seguinte forma: 0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, ..., 19, 1A, 1B, 1C, 1D,

1E, 1F, 20, 21, ...

• Conversão Binário para Hexadecimal

• A conversão entre números binários e hexadecimais é simples. A

primeira coisa a fazer é dividir o número binário em grupos de 4

bits, começando da direita para a esquerda, os lugares que faltam

são complementados por zeros. Por exemplo, o número 101011b

(1+2+8+32 = 43d), nós dividimos este em grupos de 4 bits e nós

temos 10;1011. Nós completamos o último grupo com zeros:

0010;1011. Após nós tomamos cada grupo como um número

independente e nós convertemos estes em dígitos decimais:

• 0010;1011=2;11. Mas desde que nós não podemos

representar o número hexadecimal como 211 porque isto é

um erro, nós temos que substituir todos os números decimais

maiores que 9 pelas suas respectivas representações em

hexadecimal, com o que nós obtemos: 2Bh. A tabela abaixo

pode auxiliar na conversão de números binário para

hexadecimal

• Afim de obter um número hexadecimal em binário é

apenas necessário inverter os passos.

• Conversão Hexadecimal em Decimal

• Para converter um número hexadecimal em decimal, nós

utilizamos a mesma fórmula utilizada na conversão binário

para decimal, sendo que a base 2 é trocada por 16. Por

exemplo, para converter B2Ah em decimal:

• B -> 11*162 = 2816d

• 2 -> 2*161 = 32d

• A -> 10*160 = 10d

• 2858d

• Conversão Decimal para Hexadecimal

• Para converter um número decimal em hexadecimal,

nós utilizamos a mesma fórmula utilizada na

conversão de um número decimal para binário,

dividindo por 16 em vez de 2. Por exemplo, para

converter 1069d em hexadecimal:

• 1069/16= 66 Resto 13d = Dh

• 66/16 = 4 Resto 2d = 2h

• 4/16 = 0 Resto 4d = 4h

R) 069d = 42Dh

EXERCÍCIOS

• 01) Represente os números na forma decimal:

• a) 4.209 b) 25.895 c) 130.654 d) 3.569.345

• 02) Converter número binário em número decimal:

• a) 110 b) 10011 c) 110001 d) 101110011

• 03) Converter número decimal em número binário:

• a) 459d b) 34685d c) 224034d d) 10d

• 04) Converter número octal em número decimal:

• a) 32o b) 137o c) 2456o d) 124653o

• 05) Converter número decimal em número octal:

• a) 120d b) 324d c) 4576d d) 20304d

• 06) Converter número binário em número hexadecimal:

• a) 1001 b) 110101 c) 1001101 d) 11001101

• 07) Converter número hexadecimal em número decimal:

• a) 3AEh b) ADC2h c) 5FE3h d) 5A7Dh

• 08) Converter número decimal hexadecimal em número hexadecimal:

• a) 135d b) 1432d c) 2567d d) 35564d

Aritmética Binária

Adição

Para somar dois números binários, fazem-se as contas

coluna a coluna, da direita para a esquerda, como de

costume, fazendo o transporte de um (<e vai um>)

quando for o caso. Para isto, observe as seguintes

operações básicas:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 0 (1 mais 1 é igual a 0 e vai 1)

1 + 1 + 1 = 1(1 mais 1 mais 1 é igual a 1 e vai 1)

Exemplos:

*10,10012 + 110,012 = X2

10,10012

+ 110,01002

1000,1101 2

Converta para binário e efetue as seguintes operações:

a) 6810 + 4010 b) 9410 + 3210 c) 848 + 388 d) 488 + 298

e) B5D16 + A2C16 f) C4316 + 19516 g) E5D16 + 8F2A16

•As operações com números decimais segue o mesmo

princípio dos números inteiros, sendo necessário, agora, que

alinhem-se as “vírgulas” antes de fazer a operação.

• Subtração

• Como o conjunto de símbolos contém apenas 2 dígitos, ao

se efetuar a subtração parcial entre 2 dígitos, um do

diminuendo e outro do diminuidor, se o segundo

(diminuidor) exceder o primeiro (diminuendo), subtrai-se

uma unidade ao dígito imediatamente à esquerda no

diminuendo (se existir e o seu valor for 1), convertendo-o a

0. Em seguida, substituímos o diminuendo por 2, que

corresponde à equivalência 1*2, da unidade extraída. Se o

dígito imediatamente à esquerda for 0, procura-se nos

dígitos consecutivos.

A segunda forma de realizar a subtração, por exemplo de a-b, e

realizar a soma de a por -b. Esta subtração é feita pelo chamado

método do complemento de dois. O complemento de dois transforma

um número positivo em negativo. Neste método, o diminuendo (a) é

somado com o complemento de dois do diminuidor (- b). Note que o

número de dígito dos operandos devem ser o mesmo: para isto

complemente o operando com menor número de dígitos com zeros a

esquerda (antes do complemento). Para realizar o complemento de

dois, basta trocar os uns pelos zeros e vice-versa e adicionar um ao

resultado. Por exemplo, a subtração de 1110-101 é feita da seguinte

maneira:

1 . Completa-se o número de dígitos do diminuidor: 0101

2. Realiza-se o complemento de dois do diminuidor: 1010+1=1011.

3. Soma-se os dois operandos 1110+1011=11001

4. Despreza-se o transporte final, pois, o resultado tem um bit a mais

que os dois operandos: 1001

• Uma subtração com números binários baseia-se em uma soma

(!) onde o segundo termo é um número negativo. Antes disto,

devemos entender o que é o “Complemento de um Número” e

“Complemento de 2 de um Número”.

• Complemento (ou Complemento de 1) de um Número é a

quantidade que falta para este número chegar ao maior valor da

atual potência.

• Vamos tomar como exemplo o número decimal 4178.

• Na atual potência – 103 – o maior valor é 9999. Para que o

número 4178 “alcance” o número 9999, faltam 5821 números,

ou seja, 5821 é o complemento de 4178.

• Tratando-se de números binários, para encontrarmos o

complemento de um número, basta invertermos todos os seus

bits.

• Tomando o número 101010112 como exemplo:

• Invertendo-se todos os seus bits descobrimos que o

Complemento de 101010112 é 010101002.

• Complemento de 2 de um Número nada mais é do que a

quantidade que falta para este número chegar à próxima

potência, ou seja, é o Complemento do número +1.

• Exemplo para o número 101010112 novamente:

• O seu Complemento é 010101002 e o Complemento de

2 é 010101002 + 1 = 010101012

• Vale alertar também sobre sinais em números binários. O sinal

é definido por um bit – o primeiro – que, quando ZERO quer

dizer que o número é positivo, e, quando UM, que o número é

negativo.

• Vejamos alguns exemplos:

• 2310 – 410 à 101112 – 1002 = X2

• Primeiramente, os termos devem ter a mesma quantidade de

bits e devemos achar o C2 do 2º termo, ou seja, seu oposto.

• 0 101112 – 0 001002 = X2

• C2(0 001002) = 111011+1 = 1 111002 Bit de Sinal

• 0 101112

+ 1 111002

10 100112

â

Overflow

• Em algumas subtrações pode acontecer um “Overflow”, ou seja,

ultrapassar o número de bits da subtração. O que devemos

fazer é desconsiderar este bit.

• Resultado: 0 100112 = 1910

• Um exemplo que dará resultado negativo:

• 9010 – 11610 = -11610 + 9010 = -2610

26/2=13 resto=0 13/2=6 resto=1 6/2=3 resto=0 3/2=1 resto=1 ½=0 resto=1

• 2610 = 1 110102

• (1 significa negativo e 0 positivo)

• Assim como na Soma, podemos fazer subtrações em

binário com números não binários. Para isso, basta

convertermos o número para a base binária antes de fazer a

operação.

• 25,468 - B,4916 = X2

• 25,468 à 0 10101,1001102

B,4916 à 0 01011,010010012 à C2 = 1

10100,101101112

0 10101,100110002

+ 1 10100,101101112

1 0 01010,010011112

• Ex.: Converta para binário e efetue as seguintes operações:

• a) 3710 – 3010 b) 8310 – 8210 c) 638 – 348

d) 778 – 118 e) BB16 – AA16 f) C4316 – 19516

g) 9810 – 14010 h) 24510 - 46410

•

• Multiplicação

• Deve-se realizar a operação semelhante à multiplicação decimal, exceto

pelo fato da soma final dos produtos se fazer em binário. Para tal, as

seguintes igualdades devem ser respeitadas:

• 0*0=0; 0*1=0; 1*0=0; 1*1=1

• Exemplos:

• - Multiplicar os números 1011 e 1101.

• Converta para binário efetue as seguintes operações:

Resolva:

a) 13610 * 4210 b) 9610 * 8210 c) 638 * 348 d) 748 * 128

• Divisão

• A operação de divisão de binário pode ser feita de maneira idêntica à

divisão decimal, exceto pelo fato das multiplicações e subtrações

internas ao processo serem feitas em binário.

• Exemplo:

• Dividir 11011 por 101.

• Converta para binário (quando necessário) e efetue as seguintes

operações:

• a) 1010102 / 1102 b) 3710 / 410 c) 110011102 / 11012

ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE

CIRCUITOS LÓGICOS.

• Existem duas constantes booleana: 0(zero) ou 1(um).

• Variável booleana é representada por letras que pode assumir valor

0 ou 1.

• Expressão booleana é uma expressão matemática envolvendo

constantes e/ou variáveis booleanas e seu resultado assume dois

valores 0 ou 1.

• Exemplos: a) S = A.B B) S= A + B.C

• Existem propriedades da negação (complemento, inversor),

multiplicação(PORTA AND = E) e soma (porta OR = OU)

• Demonstra-se cada uma através de tabelas-verdade, constatando a

equivalência lógica.

Propriedades

1ª) Absorção:

1.1) A + (A.B) = A 1.2) A . ( A+ B) = A

2ª) Outras Identidades:

2.1) A + Ᾱ . B = A + B 2.2) (A + B) . ( A + C) = A + BC

3ª) Regras de Morgan:

3.1) (A . B)’ = A’ + B’ 3.2) (A + B)’ = (A . B)’

3.3) (A.B.C. ... .N)’ = A’+B’+C’+ ... + N’

3.4) (A+B+C+ ... +N)’ = A’.B’+C’. ... . N’

Eemplo: Utilizando transformações algébricas, mostre as

identidades:

a) A + A.B =A b) A . (A + B) = A

c) (A+B) . (A + C) = A + B.C d) A.B.C+.A.C’+A.B’ = A

FORMAS NORMAIS (CANÔNICAS)

- Toda expressão booleana pode ser escrita em forma

padronizada denominada de Forma Normal ou Forma

Canônica, que se apresentam de duas maneiras:

- 1ª) Forma Normal Conjuntiva (FNC): Produto de Somas

ou Produto de Maxtermos.

- 2ª) Forma Normal Disjuntiva (FND): Soma de Produtos ou

Produto de Mintermos.

- Maxtermos: sua negação e variáveis de uma mesma linha

são conevariável com valor 0 é deixada intacta; com valor

1 é alterada pela ctadas por adição (+).

- Mintermos (ou minitermos): variável com valor 1 é deixada

intacta; com valor 0 é alterada pela sua negação e

variáveis de uma mesma linha são conectadas por

multipicação (.).

• A B C Maxtermo Mintermo

• 0 0 0 A + B + C A’ . B’ . C’

• 0 0 1 A + B + C’ A’ . B’ . C

• 0 1 0 A + B’ + C A’ . B . C’

• 0 1 1 A + B’ + C’ A’ . B . C

• 1 0 0 A’ + B + C A . B’ . C’

• 1 0 1 A’ + B + C’ A . B’ . C

• 1 1 0 A’ + B’ + C A . B . C’

• 1 1 1 A’ + B’ + C’ A . B . C

• Obs.: FND só trabalha com saída 1 (soma dos produtos) e

FNC só com saída 0 (produto das somas).

MAPAS DE VEITCH-KARNAUGH

É outro método (grupos de mintermos) de simplificação das

expressões booleanas.

DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS:

Ex.: 1) Simplifique usando Karnaugh.

a) A B S b) A B S

0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 1 0

S = A + B S = A’ + B’ = (A . B)’

a) A B S b) A B S

0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 1 0

S = A + B S = A’ + B’ = (A . B)’

S = A + B S = A’ + B’

A / B 0 1

0 1

1 1 1

A / B 0 1

0 1 1

1 1

• c) A B C S d) A B C S

• 0 0 0 1 0 0 0 0

• 0 0 1 0 0 0 1 1

• 0 1 0 1 0 1 0 0

• 0 1 1 1 0 1 1 1

• 1 0 0 1 1 0 0 1

• 1 0 1 0 1 0 1 1

• 1 1 0 1 1 1 0 1

• 1 1 1 0 1 1 1 0

• S = C’ +A’.B S = A’.C + A.B’ + A.C’

• S = B.’C’ + A’.B + B.C’ S = A’.C + A.B ’ + B’.C

• S = C’ + A’.B

A/BC 00 01 11 10

0 1 1 1

1 1 1

A/BC 00 01 11 10

0 1 1

1 1 1 1

• - PRICÍPIOS DA LÓGICA MATEMÁTICA

• A Lógica Matemática é constituída de três princípios, cujo

objetivo é de compreender as relações que se

estabelecem entre as proposições. Esses princípios são:

• 10) Principio da Identidade: se um enunciado é verdadeiro,

então é verdadeiro.

• 20) Princípio da Não-Contradição: uma proposição não

pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

• 30) Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é

verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se um destes casos e

nunca um terceiro.

• Para compreender melhor esses princípios da Lógica,

devemos observar os seguintes conceitos.

- Proposição: é o conjunto de palavras ou símbolos que

exprimem um pensamento de sentido completo.

03- Valor Lógico de uma Proposição: é a verdade (V) se a

proposição é verdadeira e a falsidade (F) se a proposição é

falsa.

Ex.: Determine o valor lógico de cada proposição:

a) Belém é a capital do Estado do Pará.

b) Sen 300 = ½

c) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

d) 9 é primo.

e) < 3,34...

f) (a – b)2 = a2 – b2

g) Log3 81 = 4

h) 52/52 = 0

As respostas a) V; b) V; c) V; d) F; e)V; f) F; g) V; h) F

• - PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES

COMPOSTAS

• - Proposição simples (ou Atômica): apresenta apenas

uma proposição, sendo representada por letras minúsculas

denominadas de letras proposicionais.

• Exemplo:

• p: 3 é um número primo. b) √2 é um número racional.

• - Proposição Composta (ou Molecular): é formada por

mais de uma proposição, sendo representada por letras

maiúsculas denominadas de letras proposicionais.

• Exemplo:

• João é rico e José é estudioso.

• Se Arero é Paysandu, então é feliz.

• CONECTIVOS: são palavras, expressões ou símbolos

usados para formar novas proposições a partir de outras.

• Abaixo temos os conectivos na linguagem corrente (usual)

e na linguagem simbólica, respectivamente.

• não (~ ou ), e, mas (, , ), ou- inclusive (), ou ...

ou...- exclusive, mas não ambos (), se ... então ... ()

e, ... se e somente se, ... ()

• a) Antonio não é gordo. b) Paulo é rico e João é vaidoso.

• c) Fátima é alegre e não é vaidosa. d) Adolfo é médico ou

José é professor. - ou inclusive: pode acontecer ao mesmo

tempo.

• e) Adolfo é paulista ou é mineiro.

• - ou exclusive: não pode acontecer ao mesmo tempo.

• f) Se Pedro é rico, então é feliz.

• g) Log 5 = 0,699, se e somente se, 5 é um número ímpar.

• LÓGICA DOS PREDICADOS:

• 1) Qualquer que seja; Todo →

• 2) Existe pelo menos um, alguns ᴲ

• 3) Existe um e um só ᴲΙ

• Ex.:

• 1) Qualquer que seja o número, sete é primo.

• 2) Existe pelo menos um número par entre 3 e 7.

• 3) Existe um e um só número ímpar pertencente ao conjunto A=

{0,2,5,8}.

• TABELA-VERDADE

• É um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se

um fórmula é válida.

• - Para construir uma tabela-verdade, utilizamos o seguinte

procedimento:

• Número de linhas de uma tabela-verdade (L) é calculado pela fórmula

L = 2n, onde n é o número de proposições simples.

•

• OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES

• Negação (~): é uma proposição p representada por “não p” cujo valor

lógico é a verdade quando p é falsa e a falsidade quando p é verdadeira.

• Nota: A negação deve aparecer na frente do verbo.

• p ~p palavra não (~) uso para proposição simples (frente o verbo)

• V F palavras Não é verdade que /É falso que simples ou composta.

• F V (na frente da proposição)

• ~V = F e ~F = V

• V(~p) = ~V(p)

• Exemplos:

• a) p: a derivada primeira da função do espaço representa a função velocidade

(V).

• ~p: a derivada primeira da função espaço não representa a função velocidade

(F).

• V(~p) = ~V(p) = ~V = F

• b) p: Log 1000 = 10 (F) e ~p: Log 1000 ≠ 10 (V)

• V(~p) = ~V(p) = ~F = V

• Exemplo:

• a) p: Maria é feliz ~p: Maria não feliz o ou Não é verdade que

maria é feliz .

• b) p: Lobo é feroz e Carneiro é dócil. ~p: Não é verdade (ou É falso

que) que o Lobo é feroz e o Carneiro é dócil.

• c) p: Maria é bonita ~p: Maria é feia.

• Conjunção (): conjunção de duas proposições p e q é a proposição

representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as

proposições são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais

casos. Coloca-se as palavras e ou a palavra mas entre as proposições

• p q p ^ q p: Lobo é feroz e Carneiro é dócil

• V V V q: Paula é bonita, mas é gorda

• V F F

• F V F

• F V F

• V V = V, V F = F, F V = F e F F = F

• Disjunção (): disjunção de duas proposições p e q é a proposição

representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando

ao menos uma das proposições é verdadeiras e a falsidade (F)

quando ambas são falsas.

• p q pq

• V V V p: Saulo é rico ou é feliz

• V F V

• F V V

• F F F

• V V = V, V F = V, F V = V e F F = F

• Disjunção Exclusiva (): disjunção exclusiva de duas

proposições p e q é a proposição representada

simbolicamente por p q, que se lê: “ou p ou q”, cujo

valor lógico é a verdade (V) somente quando p é

verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são

ambas verdadeiras, e a falsidade quando p e q são

ambas verdadeiras ou ambas falsas.

• p q p v q

• V V F p: ou Igor é paraense ou paulista

• V F V

• F V V

• F F F V V = F, V F = V, F V = V e F F = F

• Condicional (): é a proposição representada por “se p então

q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é

verdadeira e q é falsa e a verdade nos demais caos.

• p q p q

• V V V p: Se Igor é paraense, então é feliz;

• V F F p (antecedente) e q (conseqüente)

• F V V

• F F V

• Bicondicional (): é a proposição representada por “p se e

somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ambas são

verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade nos demais caso.

• p q p q

• V V V VV = V, VF = F, FV = F e FF = V

• V F F p é condição necessária e suficiente para q

• F V F q é condição necessária e suficiente para q

• F F V

• Exercícios:

• 01- Sejam as proposições p: Diogo é estudioso e q: Igor é

trabalhador. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes

proposições:

• ~p q b) p q c) ~q p d) p q

• 02- Sejam as proposições p: Laura é forte e q: Laura é bonita.

Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

• Laura é forte e bonita

• Não é verdade que Laura é forte ou bonita

• Laura é forte ou é fraca e bonita.

• Utiliza-se os conectivos numa ordem que vai do mais fraco ao mais

forte da seguinte maneira: ~, ˄v, → e ↔. O conectivo v deve

acompanhar parêntesis para identificar como sendo forte ou fraca.

• Uso do Parêntesis.

• Observe a expressão p q ~p.

• Ao acrescentar parêntesis, podemos transformar numa conjunção ou

numa condicional, da seguinte maneira:

• p (q ~p) conjunção b) (p q) ~p condicional

• Modificando as proposições através do uso do parêntesis;

• p q r s

• A proposição predominante é a última a ser resolvida.

• a) ((p q) r) s Bicondicional

• b) p ((q r) s) Condicional

• c) (p (q r)) s Bicondicional

• d) p (q (r s)) Condicional

• e) (p q) (r s) Conjunção

Obs.:Podemos também suprimir parêntesis de uma proposição, para simplificar

• Valor lógico de uma proposição composta.

• - É sempre possível conhecer o valor lógico de uma proposição

composta P(p, q, r, ...), quando é conhecido o valor de cada

proposição simples p, q, r, .... Observe os exemplos:

• 1) Sendo verdade o valor lógico de p e a falsidade o valor lógico de q,

determine o valor lógico de P(p,q) = (p ~q) (~p q).

• Solução:

P(p,q)=(p ~q)(~p q)=(V ~F)(~V F)=(V V)(F F)=VF = F

• 2) Dadas as proposições simples p: -2+6=4 e q: Log 2 64 = 5. Encontre

o valor lógico da proposição composta P(p,q) = ~(p q) (p ~q).

• Solução:

• P(p,q) = ~(p q) (p ~q) = ~(V F) (V~F) = ~F(VV) =

VV = V

Exercícios:

1- Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:

a) (p q) ~p b) (~p q) q c) p ~q p q

d) (~p q) q q e) (p q) q r f) ((p q) r) ((p q) ~r)

g) ~(p v ~q) h) ~(p ~q) i) p ^ q p v q

j) ~p (q p) k) (p q) p ^ q l) ~p ^ r q v ~r

m) p r q v ~r n) p (p ~r) q v r 0) (p ^ q r) v (~p q v ~r)

2) Dada a proposição P(p,q) = (p ~q) ((~p q) q), determine:

a) P(VV) b) P(VF)

c) P(FV) d) P(FF)

3) Determinar P (VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:

a) P(p, q) = ~(~q p) b) P(p, q) = ~p v ~q p c) P(p, q)=(p v q) ~(p q)

d) P(p, q) = (p v ~q) v (~p v q) e) P(p, q) = ~((p v q) (p v ~q)

4) Determine P(VFV) em cada caso:

a) P(p,q,r) = (p q) (r ~p) b) P(p, q, r) = ~p v (q ~v r) r)

c) P(p, q, r) = (p v q) (p v r) d) P(p, q, r) = (p v ~r) (q (r ~p)

5) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p, q e r são

respectivamente V, V e F, determine o valor lógico da proposição composta

P(p,q,r) = ((p q) r) (p ~r).

6) Sabendo que a proposição P(p,q) = ~p q ˅ ~q r ˄ ~r é uma

bicondicional. Converta-a, usando parênteses, em:

6.1) Condicional.

6.2) Disjunção.

6.3) Conjunção.

7) Transformar a proposição P(p,q)=(((~p) ˅ q) ˄ (~q)) numa

proposição mais simples (subtrair parêntesis).

8) Dadas as proposições: p: 2 .(5 – 4) = 2, q: 2 . 5 – 4 = 6 e r: 5 – 4 . 2

= 2. Construa a tabela verdade da das proposições compostas abaixo:

a) A(p,q): (~p q) (~q p) b) B(p,r): ((~p r) ~r) (p ~r)

c) C(p,q,r): ((p q) (~q r)) ~r d) D(p,q,r):((~pq) r)(p ~r)

• CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES C0MPOSTAS

• Tautologia: é toda proposição composta que apresenta na última

coluna da sua tabela-verdade apenas o valor lógico verdade.

• Contradição ou Contraválida: é toda proposição composta que

apresenta na última coluna da sua tabela-verdade apenas o valor

lógico falsidade.

• Contingência ou Indeterminada: é toda proposição composta

que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade os valore

lógicos verdade e falsidade.

• Exemplos:

• - Classifique as proposições em tautológica, contradição (ou

contraválida) e contingência (ou indeterminada):

• 1) P(p,q) = ~p (p ~q) 2) P(p,q) = (p q) (p ~q)

• 3) P(p,q) = ~p (p ˅~q) 4) P(p, q): ~p v (~q v p)

• - IMPLICAÇÃO LÓGICA ()

• Definição: a proposição P implica a proposição Q, quando a

condicional P → Q for uma tautologia.

• Simbolicamente representamos a implicação lógica por P Q.

• Ex.:1) Verifique se existe equivalência lógica entre as proposições

compostas:

• a) P: p; Q: q p b) P: q; Q: p ^ q p c) (p↔q)→(~p ˄~q)

2) Propriedades da Implicação Lógica.

i) Reflexiva: P Q

ii) Transitiva: P Q e Q R; P R

• Exemplos:

• 1) Dadas as proposições P(p,q): p q, Q(p,q): p q e R(p,q): q v p,

verifique se:

• a) P Q b) P R c) Q R

• 2) Verifique se P = (p ˅ q) ˄ ~p implica Q = q→~p.

→

• EQUIVALÊNCIA LÓGICA ()

• Definição: Uma proposição composta P é equivalente a uma

proposição composta Q, se as tabelas-verdade de ambas as

proposições são idênticas, ou se a bicondicional P Q é tautológica.

• P(p,q, ...) Q(p, q, ...)

• Exemplos:

• 1) Verifique se as proposições P(p,q): p (p q) e Q(p,q): p q são

equivalentes.

• 2) A condicional P: p q é equivalente a conjunção Q: ~p q?

• Nota: os símbolos , , e são distintos, onde os dois primeiros

fazem parte de operação lógica, enquanto os dois últimos de relação.

•

• Propriedades da Equivalência Lógica: Seja P, Q e R proposições

compostas:

• 1a) Reflexiva: P Q

• 2a) Simétrica : Se P Q, então Q P

• 3a) Transitiva : Se P Q e Q R, então P R

• Proposições Associadas a uma Condicional.

• - Denominam-se proposições associadas a condicional p q as

três seguintes proposições condicionais que contêm p e q:

• 1- Proposição recíproca de p q: q p.

• 2- Proposição contrária de p q: ~p ~q.

• 3- Proposição contrapositiva de p q: ~q ~p.

• Exemplo:

• 1- Construindo a tebela-verdade das proposições P: p q, Q:q

p, R: ~p ~q e S: ~q ~p, verifique se existe equivalência.

• 2- Encontre a contrária e a contrapositiva da condicional P: Se

Paulo é Paysandu, então é feliz.

R) A contrária da condicional p q é ~p ~q: Se Paulo não é

Paysandu, então é infeliz.

A contrapositiva da condicional p q é ~q ~p: Se Paulo é

infeliz, então não é Paysandu,

• Negação Conjunta de duas Proposições

- Denomina-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição “não

p e não q”, representada simbolicamente por “~p ~q” ou “p q. Logo:

• Negação Disjunta de duas Proposições

- Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não p

ou não q”, representada simbolicamente por “~p ~q” ou “p q.

• Exercícios:

1- Verifique as equivalências abaixo utilizando tabela-verdade:

1.1- ~p p p

1.2- p q (p q) (p q)

2- Se o valor lógico da proposição p é a falsidade e os valores lógicos das

proposições q e r são verdades, encontre o valor lógico das seguintes

proposições:

2.1- (p ~q) (q ~r)

2.2- (~p ~q) ((q p) (r p))

3- Verifique se a proposição (p (q ~p)) (~q p) é tautológica.

- Álgebra das Proposições

1.1- Propriedades da Conjunção

1a) Idempotente: p p p (p uma proposição simples)

Exemplo: a = 7 a = 7 a = 7

Idempotência: é a propriedade que algumas operações têm de poderem ser

aplicadas várias vezes sem que o valor do resultado se altere após a aplicação

inicial.

2a) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples)

Exemplo: x = 2 + 3 x < 7 x < 7 x = 2 + 3

3a) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples)

Exemplo: (x = 3 x > 1) x < 5 x = 3 (x > 1 x < 5)

4a) Identidade: (p a) p e (p b) b (a e b proposições simples, onde a

encerra somente a verdade e b a falsidade).

Exemplo:

x 2 /x/ ≥ 0 x 2

x 2 /x/ < 0 /x/ < 0

1.2- Propriedades da Disjunção

1a) Idempotente: p p p (p uma proposição simples)

Ex: 0 < x < 2 0 < x < 2 0 < x < 2

2a) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples)

Exemplo: a = 4 - 5 a < 2-3 a < 2-3 a = 4 – 5

3a) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples)

Exemplo: (x 3 x > 4) x < 6 x 3 (x > 4 x < 6)

4a) Identidade: (p a) a e (p b) p (a e b proposições simples, onde a encerra somente a verdade e b a falsidade).

Exemplo: x 2 /x/ ≥ 0 /x/ ≥ 0

x 2 /x/ < 0 x 2

1.3- PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO

1a) Distributiva: Dadas as equivalências lógicas abaixo, onde p, q e r são

proposições simples.

– p (q r) (p q) (p r)

– p (q r) (p q) (p r)

Exemplo:

1- A proposição “João pratica esporte e Carlos estuda ou passeia” é

equivalente a proposição “João pratica esporte e Carlos estuda” ou “João

pratica esporte e Carlos passeia”.

2- “chove ou faz vento e frio” é equivalente a “chove ou faz vento” e

“chove ou faz frio”

02) Absorção:

2.1- p (p q) p

2.2- p (p q) p

Regras de Morgan:

1ª) A negação de uma conjunção entre duas proposições simples é

equivalente a disjunção das negações das proposições.

~(p q) ~p ~q

“é inteligente e estuda” é equivalente a não é inteligente ou não estuda”

2ª) A negação de uma disjunção entre duas proposições simples é

equivalente a conjunção das negações das proposições.

~(p q) ~p ~q “é médico ou professor” é equivalente a “não é

médico e não é professor”

• 03- Negação da Condicional

• Já vimos que a condicional p q é equivalente a (~p q), logo,

negando a condicional temos:

• p q ~p q

• ~( p q) ~(~p q) ~~p ~q p ~q, logo:

• ~( p q) p ~q

• 04- Negação da Bicondicional

• Vimos anteriormente que p q (p q) (q p), logo:

• p q (p q) (q p)

• p q (~p q) (~q p)

• Negando, temos:

• ~(p q) ~( (~p q) (~q p)) ~(~p q) ~(~q p) (p ~q)

(~p q)

• Logo: ~(p q) (p ~q) (~p q)

• Ex- Verificar através de tabela-verdade se existe as equivalências:

a) p q (p ~q) b) ~(p q r) ~p ~q ~r (Regra de Morgan)

• FEITOSA, Hércules de Araújo. PAULOVICH, Leonardo. Um

Prelúdio à Lógica. São Paulo: Editora UNESP, 2005.

• ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São

Paulo: Nobel, 2008.

• GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da

Computação. Ed. LTC, 2004.

• ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico. Rio de Jameiro: Editora

Campus, 2005.

• CASTRUCCI, Benedito, Introdução à Lógica Matemática. São

Paulo: Nobel, 1984.

• http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/nocoes-

de-logica/implicacao-logica.html#ixzz3QmLUZqWb

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dedutivo

• https://pt.wikipedia.org/wiki/Idempot%C3%AAncia