Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Cadeira de ... · princípios básicos à resolução de problemas. ... Lei de Coulomb. Princípio de sobreposição. Nocão de campo

Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Cadeira de Electromagnetismo e Óptica

Licenciatura em Engenharia e Gestão industrial – Electromagnetismo e Óptica1º semestre de 2016/2017

Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Cadeira de Electromagnetismo e Óptica

Docentes: João Fonseca, [email protected] Malaquias, [email protected]


Cadeira de Electromagnetismo e Óptica

MetaReforçar a capacidade de entender os fenómenos electromagnéticosReforçar a capacidade de resolver problemas

Objectivo Esta disciplina apresenta os conceitos e princípios básicos do ElectromagnetismoE da Óptica, reforçando a compreensão desses conceitos através de aplicações ao mundo real.

Resultado desejadoOs alunos deverão ter a capacidade de aplicar esses conceitos e princípios básicos à resolução de problemas.


Bibliografia Principal

Physics for Scientists and Engineers R. A. Serway, J. W. Jewett ISBN: 0-53-440842-7 2004

Fundamentals of Physics D. Halliday, R. Resnick, J. Walker ISBN: 0-471-23231-9 2004

Physics for Scientists and Engineers P.A. Tipler ISBN: 0-71-674389-2 2003

ElectromagnetismoA.B. Henriques e J. C. RomãoISBN 872-8469-45-42006


http://www.brookscole.com/serway

http://he-cda.wiley.com/WileyCDA/HigherEdTitle.rdr?productCd=0471216437

http://bcs.whfreeman.com/tiplerphysics5e

Programa

1.Campo electrostático no vácuo. Lei de Coulomb. Princípio de sobreposição. Nocão de campo e de potencial. Dipolo eléctrico. Lei de Gauss. Condensador.

2.Campo electrostático na matéria. Dieléctricos. Polarização. Energia eléctrica.

3.Corrente eléctrica estacionária. Densidade e intensidade de corrente. Equação da continuidade da carga. Lei de Ohm. Lei de Joule. Leis de Kirchoff. Circuito RC.

4.Campo magnético no vácuo. Lei de Biot-Savart. Lei de Ampère. Força de Lorentz. Fluxo magnético. Coeficientes de indução. Bobina.

5.Campo magnético na matéria. Magnetização. Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo. Energia em magnetostática.

6.Indução electromagnética. Lei de Faraday. Motores e geradores eléctricos. Corrente de deslocamento. Energia electromagnética. Circuito RLC.

7.Equações de Maxwell. Ondas electromagnéticas. Ondas planas monocromáticas. Energia e intensidade das ondas electromagnéticas.

8.Carácter electromagnético da luz. Dispersão, polarização, reflexão, interferência e difracção. O limite da óptica geométrica e as leis de reflexão e refracção. Equações de Fresnel e princípio de Fermat.


equações de Maxwell

Onde

𝐸 é 𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜

𝐻 é 𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜휀 é 𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜𝜇 é 𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎

𝐷 = ε 𝐸 e 𝐵 = 𝜇 𝐻


equações de Maxwell

equações das ondas electromagnéticas

e

com


𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝜵 × 𝒂 ?


𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝜵. 𝒃 ?


𝜵. 𝒗 ≠ 𝟎

𝜵 × 𝒗 ≠ 𝟎Linhas de força de umcampo vectorial


campo gravítico da Terra campo magnético da Terra

AFINAL O QUE É UM CAMPO?


No estudo da Mecânica, podemos tirar partido das nossas experiências do dia-a-dia ...

Em última análise, essapossibilidade resulta dofacto de o nosso corpo

ter massa (gravítica e

Inercial)


diferença de potencialde 5000 V

No estudo do Electromagnetismo, acontribuição das nossasexperiências do dia a diaé mais limitada. Por exemplo, o que fazinclinar a chama entreas placas?


diferença de potencialde 5000 V

No estudo do Electromagnetismo, acontribuição das nossasexperiências do dia a diaé mais limitada. Por exemplo, o que fazinclinar a chama entreas placas?

De nada adianta colocarmos o nosso corpo nesse campo de forças


Efeitos da exposição a campos electrostáticos:“The results to date suggest that the only acuteeffects are associated with body hair movement

and discomfort from spark discharges.”Fonte: Organização Mundial de Saúdehttp://www.who.int/peh-emf/publications/facts/fs299/en/

E


E se em vez de massa M tivessemos carga Q?

E


Perder 1% da massa corporal (~0.7 kg) não é uma experiência muito radical.Quais seriam as consequências de perdermos 1% dos nossos electrões?


Problema:

Suponha que na sequência de um acidente o seu corpo perde 1% dos seus electrões.Calcule as consequências para o seu dia-a-dia.

Número total de electrões no corpo humano: ~2x10 28

Carga do electrão: 1.60×10−19 C (Coulomb)


Distribuição de cargas eléctricasnum condutor: junto à superfície,e concentradas nas zonas aguçadas(poder das pontas)

Problema:




Conclusão:a carga eléctrica adquirida pelo corpo é aprox. +3×107 C

Pergunta: qual a força que uma mão aplica sobre a outra?


++ +

+ +

++++

+++

+++

++ +

Problema:





Pergunta: qual a força que uma mão aplica sobre a outra?

Distribuição de cargas eléctricasnum condutor: junto à superfície,e concentradas nas zonas aguçadas(poder das pontas)


++ +

+ +

++++

+++

+++

++ +

Problema:





Pergunta: qual a força que uma mão aplica sobre a outra?Sabemos que é uma repulsão. Admitindo que cada mão recebe 10% da carga total (poder das pontas), a carga de cada mão será de 3×106 C.Sendo uma distância entre as mãos de um metro,a força repulsiva é de ~8×1022 N| 𝐹| = 𝟖. 𝟗𝟗 × 𝟏𝟎𝟗

𝑞1𝑞2

𝑑2(𝑁)

𝐹12 𝐹21


++ +

+ +

++++

+++

+++

++ +

Problema:





Pergunta: qual a força que uma mão aplica sobre a outra?Sabemos que é uma repulsão. Admitindo que cada mão recebe 10% da carga total (poder das pontas), a carga de cada mão será de 3×106 C.Sendo uma distância entre as mãos de um metro,a força repulsiva é de ~8×1022 N

Pergunta 2: Há mais forças para lá destas?Resposta: se estiver sobre um meio condutor(como a Terra), as cargas de sinal oposto sãoatraídas para a vizinhança. Resulta uma forçaatrativa (para o chão) de ~1025N

---

-- --

-----

MEIO CONDUTOR

𝐹


Gota de água sobre uma folha de lótus. A força de contacto que sustenta a gota é o resultado da interacção repulsivaentre os electrões das camadasexteriores dos átomos de um e de outro corpo. As distâncias são agora da ordem de 10-6 m.

Todas as forças de contacto que estudámosna Mecânica (atrito, reacção normal, tensão) resultam de repulsões electrostáticas entreelectrões dos átomos de dois corpos

| 𝐹| = 𝟖. 𝟗𝟗 × 𝟏𝟎𝟗𝑞1𝑞2

𝑑2(𝑁)


Decoberta da electricidade:Tales de Mileto, ~600 anos AC

Esfregando um pedaço de âmbar (resina vegetal endurecida) com pele de gato, o âmbar adquireum poder atractivo sobre pequenos fragmentos.Para os gregos da Antiguidade, esta propriedadeera semelhante ao magnetismo, já conhecido Devido às propriedades da magnetite (Fe3O4)


Um pouco de História:

William Gilbert

Em 1600, cunhou o termo“eléctrico”, a partir de elektron, que significa “âmbar” em grego. Gilbert foi o primeiro a perceber que a interacção magnética e a interacção electrostática tinham naturezas diferentes. Descobriu a existência de dois tipos de carga,a que chamou “resinosa” e vítrea”.

versorium



André Marie Ampére

Em 1820, a partir de uma descoberta feitaacidentalmente por Oersted no mesmo ano, na qual este verificou que uma corrente eléctrica num fio condutor deflectia uma bússola, Ampére estabeleceu a relação entre corrente eléctrica e campo magnético, conhecida como lei de Ampére. Esta descoberta permitiu o desenvolvimento teórico do electromagnetismo.



Michael Faraday

Em 1831, constatou que um campo magnético variável induz uma força electromotriz num circuito eléctrico, um fenómeno designa-se por indução electromagnética.



James Clerk Maxwell

Em 1861, Maxwell sintetizou as conclusões de Ampére (numa forma revista) e de Faraday em duas das suas quatro equações sobre o campo electromagnético:

(𝐷 = 휀𝐸)

(𝐵 = 𝜇𝐻)



Richard Feynman (1918-1988)

From a long view of the history of mankind, seen from, say, ten thousand years from now, there can be little doubt that the most significant event of the 19th century will be judged as Maxwell's discovery of the laws of electrodynamics.



Efeito triboelétrico:Transferência de cargas (electrões)entre dois corpos, por atrito.




Pergunta:Porque é que um electrão tem carga -e?

Resposta: porque sim

Pergunta:Porque é que dois electrões têm carga -2e?

Resposta: porque as equações de Maxwell são lineares


Efeito triboelétrico:Transferência de cargas (electrões)entre dois corpos, por atrito.



Usado para testar o efeito das descargas

electrostáticas do corpo humano sobre

equipamentos electrónicos sensíveis

vê


Como o vosso telemóvel vos vê vê



O que significa dizer que o corpo humanotem uma capacidade de 100 pF?

A capacidade é o cociente entre a cargaeléctrica de um condutor e o potencial a que ele se encontra:

𝐶 =𝑄

𝑉

E o potencial, o que é?


Linhas de força do campo 𝑬(𝒓) de uma carga pontual

Significado físico de 𝐸( 𝑟):

uma carga q colocada no ponto 𝑟 fica sujeita a uma força q𝐸( 𝑟)

𝐹=q´ 𝐸

q’ (> 0)

Um campo eléctrico pode ser representado pelas suas linhas de força



𝑠𝑒𝜕𝐵

𝜕𝑡= 0, é 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 0

𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑉 𝑟 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉

Por outras palavras o campo 𝐸é 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐

A função escalar 𝑉 𝑟 é 𝒐 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍.

Por exemplo, se 𝐸 =1

4𝜋 0

𝑞

𝑟2 𝑢𝑟

(campo de uma carga q na origem)o potencial será

𝑉(𝑟) =1

4𝜋 0

𝑞

𝑟+ 𝑐

Sendo a constante c arbitrária(verifique)

A opção c=0 corresponde a um potencial nulo no infinito.

𝐹=q´ 𝐸

q’ (> 0)



q’ (> 0)

Um campo eléctrico pode também ser representado pelo seu potencial

𝐹=q´ 𝐸


Linhas de força do campo 𝑬(𝒓) de um dipolo

Problema: Calcular o potencial de um dipolo.Vamos admitir que a carga q está em (x=d/2; y=0) e a carga –q em (x=-d/2; y=0). Num ponto genérico P de coordenadas (x,y) o potencial será a soma dos potenciais de cada carga (princípio da sobreposição, devido à linearidade do problema).As distâncias relevantes serão

((𝑥 −𝑑

2)2+ 𝑦2)1/2 e ((𝑥 +

𝑑

2)2+ 𝑦2)1/2

logo,

𝑉 𝑥, 𝑦 =𝑞

4𝜋휀0

1

((𝑥 −𝑑2)2+ 𝑦2)

12

−1

((𝑥 +𝑑2)2+ 𝑦2)

12

+ 𝑐

A opção c=0 corresponde a um potencial nulo no infinito.

P (x,y)

x

y


Potencial V(x,y) de um dipoloLinhas de força do campo 𝑬(𝒓) de um dipolo

Qual o significado físico de V(𝒓)?

P (x,y)


Potencial V(x,y) de um dipolo

O potencial´num ponto é o trabalho por unidade de carga que o campo realiza quando uma carga se desloca desde o infinito até esse ponto. Se deslocarmos uma carga q desde um ponto com potencial zero (infinito, Terra, etc) até um ponto onde o potencial é V, a energia potencial eléctrica da carga é qV.

Se a força exercida pelo campo sobre a carga q

é q𝐸, o trabalho realizado pelo campo quando a carga q se desloca de um ponto A para um ponto Bé

𝑊𝐴𝐵 = 𝐴𝐵

q𝐸. d 𝑟 = −𝑞 𝐴𝐵grad V. d 𝑟

= 𝑞 𝐵𝐴

(𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧𝑑𝑧) =

𝑞 𝐵𝐴𝑑𝑉 = 𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)

Se o ponto B estiver a uma distância infinita, onde ocampo se anula, podemos fixar o seu potencial em zero:

𝑉𝐵 = 𝑉∞ = 0Fica portanto

𝑉𝐴 =𝑊∞𝐴

𝑞 Qual o significado físico de V(𝒓)?



Implicações: - o potencial eléctrico é uma função contínua de 𝒓 (uma descontinuidade

implicaria um gradiente infinito, ou seja, uma força infinita).

- O potencial eléctrico do campo electrostático é constante no interior e à superfície dos condutores (senão, as cargas mover-se-iam)




Mais implicações: - o campo eléctrico pode ser uma função descontínua de 𝒓 (é

descontínuo à superfície dos condutores)

- O campo eléctrico (electrostático) é zero no interior e à superfície dos condutores (senão, as cargas mover-se-iam)



dS


Tendo em conta que 𝐶 =𝑄

𝑉𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠

imediatamente 𝑄 = 10−10 x 100 = 10−8𝐶

É muita ou pouca carga?Uma pilha AA armazena 2.4Ah de carga, o que equivale a (2.4 C/s)x3600s = 8640 C.

Problema:Que carga precisamos perder para que o nossocorpo fique a um potencial de 100 V?


dS


Tendo em conta que 𝐶 =𝑄

𝑉𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠

imediatamente 𝑄 = 10−10 x 100 = 10−8𝐶

É muita ou pouca carga?Uma pilha AA armazena 2.4Ah de carga, o que equivale a (2.4 C/s)x3600s = 8640 C.Ou seja, é muito pouca carga.

Problema:Que carga precisamos perder para que o nossocorpo fique a um potencial de 100 V?

Problema:Quando descarregamos essa carga para a Terra,qual o potencial a que a Terra fica (se considerarmos que inicialmente está a zero volts)? A capacidade do planeta Terra é 710 mF.

Resulta V =𝑄

𝐶= 10−8/7.10x10−4 = 1.4x10−5𝑉

= 14mV


dS

Problema:Porque é que usámos CT = 710 pF para a capacidade do planeta Terra?

Vamos usar o facto (a demonstrar mais tarde) de que o potencial criado por uma carga Qdistribuída na superfície da Terra é igual ao potencial criado pela carga Q colocada no centro da Terra:

𝑉 𝑟 =1

4𝜋 0

𝑄

𝑟

À superfície da Terra , este potencial terá o valor 1

4𝜋 0

𝑄

𝑅, sendo R o raio da Terra.

Podemos obter imediatamente a capacidade da Terra:

𝐶𝑇 =𝑄

𝑉= 4𝜋휀0𝑅 =

6.36x106

8.99x109 = 7.10x10−4 𝐹 = 710 𝜇𝐹

CT

V

R


dS

Vamos usar o facto (a demonstrar mais tarde) de que o potencial criado por uma carga Qdistribuída na superfície da Terra é igual ao potencial criado pela carga Q colocada no centro da Terra


Pergunta:

Conseguimos saber que cargas eléctricas se encontram no interior de uma superfície fechada fazendo observações apenas sobre essa superfície?

Resposta: sim, graças ao Teorema de Gauss.Vamos demonstrar para uma carga pontual (o princípio da sobreposição permite generalizar a qualquer distribuição de cargas).

𝐸

𝑛dS

𝑟

q

Temos que ter em conta que 𝐸. 𝑛 dS = 𝐸𝑑𝑆′onde 𝑑𝑆’ é a projecção de 𝑑𝑆 segundo a direcção radial. Essa projecção pode ser escrita em coordendas esféricas na forma 𝑑𝑆′ = 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃

Seja 𝐸 o campo eléctrico na superfície.

dS

dS’


Pergunta:

Conseguimos saber que cargas eléctricas se encontram no interior de uma superfície fechada fazendo observações apenas sobre essa superfície?

Resposta: sim, graças ao Teorema de Gauss.Vamos demonstrar para uma carga pontual (o princípio da sobreposição permite generalizar a qualquer distribuição de cargas).

𝐸

𝑛dS

𝑟

q

Temos que ter em conta que 𝐸. 𝑛 dS = 𝐸𝑑𝑆′onde 𝑑𝑆’ é a projecção de 𝑑𝑆 segundo a direcção radial. Essa projecção pode ser escrita em coordendas esféricas na forma 𝑑𝑆′ = 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃, logo

𝐸. 𝑛 dS = 1

4𝜋 0

𝑞

𝑟2 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜑𝑑𝜃 = 𝑞

4𝜋 0𝑑𝜑𝑑𝜃

Integrando 𝜃 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 𝑒 𝜋 𝑒 𝜑 entre 0 e 2 𝜋, resulta o teorema de Gauss:

𝐸. 𝑛 dS =𝑞

휀0Podemos saber qual a carga total dentro do saco

calculando o fluxo do campo 𝑬 através do saco

Seja 𝐸 o campo eléctrico na superfície.


O que resulta se aplicarmos o teorema da divergência aos dois lados da igualdade?

Teorema da divergência: F. n dS = divFdV

Do lado esquerdo, fica 𝑑𝑖𝑣𝐸𝑑𝑉 . 𝐷𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟 𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒

𝑞 = ρdV

sendo ρ a densidade volúmica de carga. Para que os integrais de volume sejam iguais Qualquer que seja V, tem que ser

𝑑𝑖𝑣𝐸 =ρ

휀0𝑜𝑢 𝑑𝑖𝑣𝐷 = ρ

onde 𝐷 = 휀0𝐸 é 𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜eléctrico (no vazio)

𝐸

𝑛dS

𝑟

q

𝐷. 𝑛 dS = 𝑞

Uma das equações de Maxwell

Versão integral da equação de Maxwell


Problema:Calcular o campo eléctrico à distância d de um fio rectilíneo de comprimento infinito(entenda-se, comprimento muito maior que d) com densidade linear de carga l.

𝑬


Problema:Calcular o campo eléctrico à distância d de um fio rectilíneo de comprimento infinito(entenda-se, comprimento muito maior que d) com densidade linear de carga l.

𝑬

L

r

Por simetria, o campo tem uma geometria radial. Usandouma superfície cilíndrica de raio

d e comprimento L, o fluxo de 𝑬através da superfície é fácil decalcular, porque o módulo do vector é constante (só depende de r) e a direcção é sempre Prependicular à superfície:

𝑬. 𝑛𝑑𝑆 = |𝑬| 𝑑𝑆 = 2𝜋𝑑𝐿𝐸

A carga no interior da superfícieé lL , pelo que concluímos que2𝜋𝑑𝐿𝐸= lL/휀0, ou

𝐸(𝑟) =l

2𝜋휀0𝑟


dS

Problema:

Vamos usar o facto (a demonstrar mais tarde) de que o potencial criado por uma carga Qdistribuída na superfície da Terra é igual ao potencial criado pela carga Q colocada no centro da Terra.

CT

V

R

𝑬

Q

Se a esfera que envolve a Terra tiver raio r, o fluxo do campo criado pela distribuição arbitrária da carga total Q será

𝐸. 𝑛 dS = 4𝜋𝑟2𝐸 =𝑄

휀0, logo

𝐸(𝑟) =𝑄

4𝜋휀0𝑟2

O campo é igual ao campo criado por uma carga Q no centro da Terra, logo o potencial também é igual.


Problema:

E se o fio tiver comprimento finito L, e carga total Q, como se pode calcular o campo 𝑬à distância y? É de esperar que agora o resultado dependa da coordenada a do ponto.

𝒅𝑬

L

Basta resolver no plano xy, porquea simetria axial do problema permitegeneralizar a todo o espaço. O elemento dx cria no ponto um campo

elementar 𝑑𝐸 com componentes

𝑑𝐸𝑥 =1

4𝜋휀0

l𝑑𝑥

(𝑎 − 𝑥)2+𝑦2 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

=1

4𝜋 0

l(𝑎−𝑥)𝑑𝑥

[(𝑎−𝑥)2+𝑦2]3/2

𝑑𝐸𝑦 =1

4𝜋휀0

l𝑑𝑥

(𝑎 − 𝑥)2+𝑦2 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

=1

4𝜋 0

l𝑦𝑑𝑥

[(𝑎−𝑥)2+𝑦2]3/2

y

a

dx

carga ldx

x

𝜃 = 𝑡𝑔−1(𝑦

𝑎−𝑥)

𝐸𝑥 =l

4𝜋휀0 0

𝐿 (𝑎 − 𝑥)𝑑𝑥

[(𝑎 − 𝑥)2+𝑦2]3/2

𝐸𝑦 =ly

4𝜋휀0 0

𝐿 𝑑𝑥

[(𝑎 − 𝑥)2+𝑦2]3/2


Problema:Calcular o campo eléctrico à distância z de uma placa plana infinita, carregada, com densidade superficial de carga s.

𝑬

s

r

Carga 𝜎𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑑𝐸

𝑑𝐸𝑧 =1

4𝜋휀0

𝜎𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑟2 + 𝑧

𝑧

𝑟2 + 𝑑2=

=1

4𝜋 0

𝜎𝑟𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃

𝑟2+𝑧 3/2


Problema:O mesmo, usando o teorema de Gauss:

-𝑬

s Carga 𝜋𝑟2𝜎

r

𝟐𝜋𝑟2𝐸 = 𝜋𝑟2𝜎/휀0

𝐸 = 𝜎/2휀0

𝑬


Problema:Calcular a capacidade de um condensador de placas paralelas. Considere que o raio das placas é muito maior que a distância entre elas.

s

+++++++++

+++++++

+++++

𝑬

O fluxo do campo eléctrico atravésda superfície cilíndrica de raio r é 𝜋𝑟2𝐸 , visto que na outra base o campo é nulo (está dentro do condutor)e na face lateral o campo é tangencial.Sendo R o raio da placa e Q a carga total,A densidade superficial de carga é

𝜎 =𝑄

𝜋𝑅2 e a carga dentro do cilindro

é 𝑞 = 𝜎𝜋𝑟2. Resulta do teorema de Gauss

que 𝜋𝑟2𝐸 =𝜎𝜋𝑟2

0, ou seja, 𝐸 =

𝜎

0.

Como o campo é uniforme, a relação com a diferença de potencial entre as placas

pode ser escrita na forma 𝐸 =∆𝑉

𝑑, logo,

∆𝑉 =𝜎𝑑

0=

𝑄𝑑

𝜋𝑅20=

𝑄𝑑

𝐴 0, sendo A a área de cada placa. Resulta 𝐶 =

𝑄

∆𝑉= 휀0

𝐴

𝑑


s

Imaginemos que construímos uma dada distribuiçãode cargas transportando cada carga individual desdeo infinito até à sua posição. Quando transportamos aprimeira carga não existe ainda campo eléctrico, pelo que o trabalho realizado é nulo. Quando transportamos a segunda carga, existe um campo eléctrico criado pela primeira carga, e o trabalho feito pelo campo sobre a segunda carga é, por definição, o produto 𝑞2𝑉 1 , sendo 𝑉 1 , o potencial

devido à carga 𝑞1na posição ocupada pela carga 𝑞2.Quando transportamos a carga n, o trabalho feito pelo campo será 𝑞𝑛𝑉(1…𝑛−1), onde 𝑉(1…𝑛−1)é o

potencial devido às cargas transportadas anteriormente.

Energia potencial electrostática ∞∞

∞∞

A energia potencial electrostática totalacumulada na distribuição de n cargas é dada por

𝑈 =1

2

𝑖=1

𝑛

𝑞𝑖𝑉𝑖

sendo 𝑉𝑖 o potencial criado na posição Da carga 𝑞𝑖pelas restantes cargas.


s

Calcule o trabalho do campo eléctrico quando duplicamos a distância entre duas cargas que formam um dipolo.

Na configuração inicial, o potencial criado pela carga positiva no ponto ocupado pela carga negativa é

𝑉1 =1

4𝜋 0

+𝑞

𝑑e o potencial criado pela carga

negativa no ponto ocupado pela carga positiva é

𝑉2 =1

4𝜋 0

−𝑞

𝑑. Resulta que a energia potencial é

𝑈𝑖 = −1

4𝜋 0

𝑞2

𝑑. O sinal (-) indica uma interacção

atractiva (as partículas ficam menos livres). Na nova configuração, basta substituir d por 2d:

𝑈𝑓 = −1

8𝜋 0

𝑞2

𝑑. O simétrico da variação ∆𝑈 é igual

ao trabalho do campo eléctrostático:

𝑊 = −∆𝑈 = −1

8𝜋 0

𝑞2

𝑑.

O sinal negativo indica que o campo electrostático se opôs ao afastamento (como era de esperar).

Problema

d2d

+q

+q

- q

- q


s

diferençade potencial

gravítico

+

-

Havendo uma ligação entre dois pontos com potencial gravítico diferente, o líquido flui do potencial mais elevado para o potencial menos elevado. A tubagem oferece tanto mais resistência ao movimento do líquido quanto menor for o diâmetro, quanto maior for o seu comprimento, e quanto maior for a viscosidade.

Corrente eléctrica: uma analogia



s

+ -

Mantendo uma diferença de potencial entre dois pontos de um corpo condutor, por exemplo com recurso a uma bateria, forma-se um gradiente do potencial no interior do corpo, do qual resulta um campo eléctrico. Os portadores de carga (electrões livres) deslocam-se por efeito do campo eléctrico, constituindo uma

corrente eléctrica. Para a generalidade dos condutores, a carga que atravessa a área elementar 𝑑𝑆 por

unidade de tempo é dada por dI = 𝑗. 𝑑𝑆. Convenciona-se que a corrente se desloca – como a água – do potencial mais elevado para o potencial menos elevado (mas nos condutores metálicos passa-se o oposto).

O vector 𝑗 designa-se por densidade de corrente, e verifica a relação 𝑗 = 𝜎𝐸, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜎 a condutividade do

material. A intensidade de corrente através de uma superfície finita S é dada por 𝐼 = 𝑗. 𝑑𝑆

𝑬𝑑𝑆

∆𝑉



s

+ -

Na situação mais habitual em que a corrente eléctrica circula num condutor filiforme, é mais conveniente trabalhar com a intensidade de corrente correspondente à secção do condutor. Resulta que a intensidade de corrente é a carga transportada por unidade de tempo através de uma secção do condutor. Num condutor dito linear, a intensidade da corrente e proporcional à diferença de potencial entre os seus extremos, e a constante de proporcionalidade designa-se por resistência. Esta relação constitui a

Lei de Ohm: ∆𝑉 = 𝑅𝐼. Num condutor filiforme, a resistência é proporcional ào comprimento, e inversamente proporcional à secção. A constante de proporcionalidade é característica de cada material, e

designa-se por resistividade (r). Se for L o comprimento do condutor e S a secção, será 𝑅 = 𝜌𝐿

𝑆Na analogia hidráulica, 𝜌 corresponde à viscosidade do líquido, L e S (do tubo) têm o mesmo significado.

∆𝑉

I


Lei de Ohm

s

Na situação mais habitual em que a corrente eléctrica circula num condutor filiforme, é mais conveniente trabalhar com a intensidade de corrente correspondente à secção do condutor. Resulta que a intensidade de corrente é a carga transportada por unidade de tempo através de uma secção do condutor. Num condutor dito linear, a intensidade da corrente e proporcional à diferença de potencial entre os seus extremos, e a constante de proporcionalidade designa-se por resistência. Esta relação constitui a

Lei de Ohm: ∆𝑉 = 𝑅𝐼. Num condutor filiforme, a resistência é proporcional ào comprimento, e inversamente proporcional à secção. A constante de proporcionalidade é característica de cada material, e

designa-se por resistividade (r). Se for L o comprimento do condutor e S a secção, será 𝑅 = 𝜌𝐿

𝑆Na analogia hidráulica, 𝜌 corresponde à viscosidade do líquido, L e S (do tubo) têm o mesmo significado.

C∆𝑉

I (>0)


A relação entre diferença de potencial (ou tensão) e correnteé sempre tão simples?Exemplo: carga de um condensador

s

Tendo em conta que a diferença de potencial é igual ao simétrico do trabalho feito pelo campo para transportar a carga unitária positiva entre os dois pontos, podemos concluir que−휀 + 𝑉𝐶 + 𝑉𝑅 = 0, sendo𝑉𝐶e 𝑉𝑅 as diferenças de potencial entre os terminais do condensador e da resistência respectivamente. Admitindo que no instante t=0 á carga do condensador é zero, ele acumulará ao fim de um tempo t uma

carga dada por 𝑄 𝑡 = 0𝑡𝐼(𝑡)𝑑𝑡 (recordar que I é carga por unidade de tempo), e a tensão entre as placas

do condensador será 𝑉𝐶 =1

𝐶 0𝑡𝐼 𝑡 𝑑𝑡. Resulta que 휀 = 𝑅𝐼 𝑡 +

1

𝐶 0𝑡𝐼 𝑡 𝑑𝑡. Derivando ambos os lados em

ordem a t e tendo em conta que ∆V se mantém constante, obtém-se:

𝑅𝑑𝐼

𝑑𝑡+

1

𝐶𝐼 𝑡 = 0

𝑑𝐼

𝐼= −

1

𝑅𝐶𝑑𝑡 𝐼 𝑡 = 𝐼0𝑒

−𝑡/𝑅𝐶 com 𝐼0=휀/𝑅

C

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0 2 4 6 8 10

corrente de carga de um condensadorI(A)

T(s)

𝑅 = 1 𝐾Ω

C= 1 𝑚𝐹Δ𝑉 = 12𝑉

I (>0)

휀


A relação entre diferença de potencial (ou tensão) e correnteé sempre tão simples?Exemplo: carga de um condensador

s

Conseguimos saber qual a tensão aos terminais do condensador?Podemos tirar partido de que na resistência a tensão será 𝑉𝑅 = 𝑅𝐼 = 휀𝑒−𝑡/𝑅𝐶 , logo,

𝑉𝐶(𝑡) = 휀[1 − 𝑒−𝑡/𝑅𝐶]

C

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0 2 4 6 8 10

corrente de carga de um condensador

R = 1K ΩC=1 𝑚𝐹𝜀=12𝑉

I(A)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10

tensão de carga de um condensador𝑉𝐶(𝑉)

T(s)T(s)

R = 1K ΩC= 1 𝑚𝐹휀 = 12𝑉

I (>0)

휀


Exemplo: descarga de um condensador

s

Agora, a carga do consensador obedece a 𝑄 𝑡 = 𝑄𝑚𝑎𝑥 − 0𝑡𝐼(𝑡)𝑑𝑡, logo,

𝑉𝑐 =𝑄𝑚𝑎𝑥

𝐶−

1

𝐶 0𝑡𝐼(𝑡)𝑑𝑡, e −RI t − [

𝑄𝑚𝑎𝑥

𝐶−

1

𝐶 0𝑡𝐼 𝑡 𝑑𝑡] = 0.

Derivando em ordem a t, obtém-se 𝑑𝐼

𝑑𝑡+

1

𝑅𝐶𝐼 𝑡 = 0,

𝑑𝐼

𝐼= −

𝑑𝑡

𝑅𝐶, 𝑙𝑛

𝐼

𝐼0= −

𝑡

𝑅𝐶, e 𝐼 𝑡 = 𝐼0𝑒

−𝑡/𝑅𝐶

As condições iniciais vão determinar 𝐼0: 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 = 0 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑉𝐶 é 𝑉0 = 12𝑉,pelo que aos terminais da resistência a tensão inicial é também 𝑉0. A corrente através da

resistência tem que ser 𝐼0 = -𝑉0/R (o sinal tem em conta o sentido da corrente). A corrente será

𝐼 𝑡 = −𝑉0

𝑅𝑒−𝑡/𝑅𝐶

C

I (<0)

+ -

-0,014

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0 2 4 6 8 10

corrente de descarga de um condensador

T(s)

I(A)

R = 1K ΩC= 1 𝑚𝐹휀 = 12𝑉


Polarização de um dieléctrico (ou isolante)



Quando um material dieléctrico é sujeito a um campo eléctrico exterior

𝐸, os seus átomos transformam-se em pequenos dipolos eléctricos.

Chamando momento dipolar 𝑝 ao produto 𝑞 𝑑 (ver figura), define-se

polarização 𝑃 do meio como o momento dipolar por unidade de

volume: 𝑃 =𝑑 𝑝

𝑑𝑉

Num dieléctrico linear e isótropo, é válida a relação 𝑃 = 𝜒𝑒휀0𝐸sendo 𝜒𝑒 a susceptibilidade eléctrica do dieléctrico.

+q

-q

𝑑



Ao simétrico da divergência de 𝑃 chama-se densidade de carga de

polarização 𝜌′: 𝜌′ = −𝑑𝑖𝑣 𝑃Num ponto da superfície do dielétrico com normal exterior 𝑛, a

densidade superficial de carga de polarização é dada por 𝜎′ = 𝑃. 𝑛Num dieléctrico, o Teorema de Gauss deve ter em conta também 𝜌′:

𝑬. 𝑛𝑑𝑆 = 𝑉 ( 𝜌 + 𝜌’)dV=1

0 𝑉 ( 𝜌 − div𝑃)dV. Pelo teorema da

divergência, 𝑑𝑖𝑣(휀0𝑬 + 𝑷)= 𝜌, ou 𝑑𝑖𝑣𝑫 = 𝜌 com 𝑫 = 휀0𝑬 + 𝑷

O vector𝑫 designa-se por deslocamento eléctrico.

+q

-q

𝑑

Licenciatura em Engenharia e Gestão industrial – Electromagnetismo e Óptica1º semestre de 2016/2017d

Forma geral do teorema de Gauss: 𝑫. 𝑛𝑑𝑆 = Q, sendo Q a carga “livre” no interior da

superfície (ou seja, não contando com as cargas de polarização).Aplicação ao cálculo da capacidade de um condutor esférico:A esfera interior, de raio R1, tem carga total +Q e a casca esférica exterior, de raio interno R2, tem carga total -Q. O espaço entre as “placas” está preenchido com um dieléctrico com permitividade relativa εr. Podemos calcular o módulo do deslocamento

eléctrico a uma distância r do centro com 𝑅1<r<𝑅2: 𝑫. 𝑛𝑑𝑆 = 4π𝑟2𝐷 = Q, logo

D =𝑄

4𝜋𝑟2 . O campo eléctrico será E(r) = D/ε =𝑄

4𝜋𝜖𝑟2. O potencial, tendo em conta que

𝐸𝑟 = −𝑑𝑉

𝑑𝑟, será V(r)=

𝑄

4𝜋 𝑟+ 𝑘

A diferença de potencial entre R1 e R2 será em módulo ΔV =Q

4πε(

1

R1−

1

R2) e a

capacidade será dada por C = Q

ΔV= 4𝜋휀

11

𝑅1−

1

𝑅2

. Como 휀 > 𝜖0, conclui-se que a presença

do dieléctrico aumenta a capacidade do condensador.

Licenciatura em Engenharia e Gestão industrial – Electromagnetismo e Óptica1º semestre de 2016/2017d

Forma geral do teorema de Gauss: 𝑫. 𝑛𝑑𝑆 = Q, sendo 𝐷 = 휀𝐸 e Q a carga “livre” no

interior da superfície (ou seja, não contando com as cargas de polarização). Nesta

forma, o teorema de Gauss é a versão integral da equação de Maxwell 𝑑𝑖𝑣𝑫 = 𝜌

Aplicação ao cálculo da capacidade de um condutor de placas paralelas:O fluxo do vector deslocamento eléctrico através do cilindro é DS, e a carga no Interior do cilindro é 𝜎𝑆, logo 𝐷 = 𝜎, e 𝐸 = 𝜎/휀. A diferença de potencial é

Δ𝑉 = 𝐸𝑑 =𝜎𝑑

. Como 𝜎 =𝑄

𝐴sendo A a área da placa, fica Δ𝑉 =

𝑄𝑑

𝐴e 𝐶 = 휀

𝐴

𝑑

-Q

-Q+Q 휀

dieléctrico 𝐷

++++++

+S

d


Conservação da carga eléctrica: A taxa de variação da carga total no interior de uma superfície fechada tem que ser igual ao simétrico do fluxo da densidade de corrente através da superfície (considerando que a normal positiva é dirigida para o exterior), ou seja, o fluxo é

positivo quando é dirigido para o exterior): 𝑗. 𝑛 𝑑𝑆 = 𝐼 = −𝜕𝑄

𝜕𝑡

Aplicando o teorema da divergência e introduzindo a

densidadede carga 𝜌, obtem-se 𝑑𝑖𝑣 𝑗𝑑𝑉 = − 𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑𝑉 ou

𝑑𝑖𝑣 𝑗 +𝜕𝜌

𝜕𝑡= 0

uma relação importante designada por equação da continuidade.

Corrente eléctrica estacionáriaO adjectivo “estacionário” significa neste contexto que não há acumulação de cargas em

nenhum ponto do condutor, ou seja, é em todos os pontos 𝜕𝜌

𝜕𝑡= 0. Esta condição tem uma

consequência importante: num circuito eléctrico com corrente estacionária, tem que ser𝑑𝑖𝑣 𝑗 = 0, ou, pelo teorema da divergência, 𝑗. 𝑛 𝑑𝑆 = 0. Este último integral representa a

corrente total através da superfície fechada, que tem que ser nula. Fica implícito que a intensidade da corrente que entra na superfície é negativa.

𝑗

𝑛


Aplicação:Num circuito com corrente eléctrica estacionária, a soma das intensidades de todas as correntes que convergem num nodo é zerolei dos nodos, ou primeira lei de Kirchhoff

𝐼3

𝐼1 (< 0)


A segunda lei de Kirchhoff, ou lei das malhas, resulta da natureza conservativa

do campo electrostático, a qual implica que o trabalho do campo seja zero quando uma carga descreve uma trajectória que termina no mesmo ponto onde começou.Sigamos a carga unitária positiva desde o ponto A até regressar ao ponto A, no sentido convencional da corrente. Ao atravessar a fonte de alimentação o campo eléctrico faz um trabalho negativo igual a 𝜺 (desprezando a resistência interna); ao atravessar a resistência 𝑅1o campo faz um trabalho positivo igual ao simétrico da variação do potencial, que é 𝑅1𝐼 lei de Ohm . Igualmente na resistência 𝑅2 o trabalho do campo será 𝑅2𝐼. Resulta que

휀 = 𝑅1𝐼 + 𝑅2𝐼

Numa malha fechada, é sempre 𝑖 휀𝑖 = 𝐼 𝑗 𝑅𝑗. Se surgir uma fonte de alimentação que se opõe

à circulação da corrente, o seu sinal será negativo.

𝑅1

𝑅2𝜺

A

I


Exemplo de aplicação: tendo em conta que 휀1=12V, 휀3 = 3𝑉, 𝐼1 = 2𝐴, 𝑅1 =

𝑅4 = 1Ω, 𝑅2 = 5Ω 𝑒 𝑅3 = 3Ω, calcule as correntes 𝐼2 e 𝐼3, e a fem 휀2.

Em primeiro lugar, é necessário identificar as correntes independentes, e arbitrar sentidos para essas correntes. Se no final o sinal da intensidade for (-), significa que o sentido é o oposto.A lei dos nodos no ponto P permite concluir que −𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 0 (note que no outro nodo daria o mesmo resultado).A lei das malhas para amalha da esquerda, nosentido horário, dá휀1 − 휀2 = 𝑅1𝐼1 + 𝑅2𝐼2e na malha da direita, nosentido horário, dá−휀3 + 휀2 =𝑅3𝐼3 + 𝑅4𝐼3 − 𝑅2𝐼2(notar o sinal de 𝐼2)As 3 equações permitemcalcular as três incógnitas:𝐼2 = 0,25𝐴, 𝐼3 = 1,75𝐴, 휀2 = 8.75V

Nota: verifique que a equação para a malha exterior é a soma das outras duas.

𝑅1

𝑅2휀1

A

𝐼1

휀2𝑅3

휀3

𝑅4

𝐼2

𝐼3𝑃


Alguns tópicos adicionais:

- Associação em série e em paralelo de resistências e condensadores- Energia electrostática



- Associação em série e em paralelo de resistências e condensadores

As leis de Kirchhoff permitem analisar circuitos como o da figura, e aplicámos também a lei das malhas ao estudo daCarga e descarga do condensador.

Um circuito pode por vezes ser simplificado se substituirmos um conjunto de resistências por uma resistência equivalente, ou um conjunto de condensadores por uma capacidade equivalente.

Vamos considerar duas situações: associação em série

associação em paralelo




Associação de resistências em série

Sabemos que a intensidade da corrente i que atravessa as resistências é a mesma (conservação da carga) e que a diferença de potencial ∆𝑉 entre os extremos do conjuntoé a soma das diferenças de potencial individuais: ∆𝑉 = ∆𝑉1 + ∆𝑉2+∆𝑉3. Como pela lei de Ohm tem que ser ∆𝑉𝑘= 𝑅𝑘𝑖 (𝑘 = 1,2,3), resulta

∆𝑉 = (𝑅1+𝑅2+𝑅3)i

logo 𝑅𝑒𝑞 = ∆𝑉/𝑖 = 𝑅1+𝑅2+𝑅3 Resistências em série somam-se

Associação de resistências em paralelo

Sabemos que a intensidade da corrente i que chega ao nó do lado esquerdo tem que se dividir pelas trêsresistências: 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2+𝑖3. Por outro lado, sabemosque a diferença de potencial aos terminais de qualquerresistência é igual:

A resistência equivalente será

∆𝑉 = 𝑅1𝑖1 = 𝑅2𝑖2 = 𝑅3𝑖3

𝑅𝑒𝑞=∆𝑉

𝑖=

∆𝑉

𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3=

∆𝑉

∆𝑉𝑅1

+∆𝑉𝑅2

+∆𝑉𝑅3

ou seja,1

𝑅𝑒𝑞=

1

𝑅1+

1

𝑅2+

1

𝑅3




Os inversos das resistências em paralelo somam-se

Resistências em série somam-se




Os inversos das resistências em paralelo somam-se

Associação de condensadores em série




carga +Qcarga -Q

carga +Qcarga -Q

carga +Q

carga -Q

Associação de condensadores em série

A diferença de potencial aos terminais de cada

consensador será ∆𝑉𝑘=𝑄

𝐶𝑘

A diferença de potencial entre os extremos será

e a capacidade equivalente será

∆𝑉 =𝑄

𝐶1+

𝑄

𝐶2+

𝑄

𝐶3

𝐶𝑒𝑞= 𝑄/∆𝑉 =𝑄

𝑄𝐶1

+𝑄𝐶2

+𝑄𝐶3

ou seja,1

𝐶𝑒𝑞=

1

𝐶1+

1

𝐶2+

1

𝐶3

Os inversos das capacidades em série somam-se




Associação de condensadores em paralelo



- Associação em série e em paralelo de resistências e condensadorescargas -𝑄𝑖cargas +𝑄𝑖

Associação de condensadores em paralelo

A carga total acumulada na associação de condensadores é Q = 𝑄1 + 𝑄2+𝑄3

e a diferença de potencial é a mesma em todos:

A capacidade equivalente será

∆𝑉 =𝑄1

𝐶1=

𝑄2

𝐶2=

𝑄3

𝐶3

𝐶𝑒𝑞= 𝑄/∆𝑉 =𝐶1∆𝑉 + 𝐶2∆𝑉 + 𝐶3∆𝑉

∆𝑉ou seja,

𝐶𝑒𝑞= 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3




As capacidades em paralelo somam-se

Os inversos das capacidades em série somam-se




As capacidades em paralelo somam-se



- Associação em série e em paralelo de resistências e condensadores- Energia electrostática


s

∞∞

∞∞

Energia electrostática

Podemos generalizar a expressão anteriormente deduzida, para uma distribuição contínua de cargas

num volume v: 𝑈 =1

2 𝑣 ρVd𝑣

A energia potencial electrostática total acumulada na distribuição de n cargas é dada por

𝑈 =1

2

𝑖=1

𝑛

𝑞𝑖𝑉𝑖

sendo 𝑉𝑖 o potencial criado na posição Da carga 𝑞𝑖pelas restantes cargas.


s

∞∞

∞∞



Num volume v: 𝑈 =1

2 𝑣 ρVd𝑣

Tendo em conta que 𝑑𝑖𝑣 𝐷 = ε div𝐸 = 𝜌, resulta que

ρV = ε div𝐸 V

Usando a relação geral

𝑑𝑖𝑣 𝐸V = Vdiv𝐸 + gradV. 𝐸

conclui-se que:

𝑈 =1

2 𝑣

ε div𝐸 V d𝑣 =ε

2 𝑣

[div 𝐸V + 𝐸. 𝐸]d𝑣

=1

2 𝑣

𝐷. 𝐸d𝑣 +1

2 𝐸V. 𝑛 𝑑𝑆

Considerando que a superfície S está suficientemente afastada das cargas para V ser nulo sobre ela, resulta:

𝑈 =1

2 𝑣 𝐷. 𝐸d𝑣

∞

∞∞

∞


s

∞∞

∞∞



Num volume v: 𝑈 =1

2 𝑣 ρVd𝑣

Tendo em conta que 𝑑𝑖𝑣 𝐷 = ε div𝐸 = 𝜌, resulta que

ρV = ε div𝐸 V

Usando a relação geral

𝑑𝑖𝑣 𝐸V = Vdiv𝐸 + gradV. 𝐸

conclui-se que:

𝑈 =1

2 𝑣

ε div𝐸 V d𝑣 =ε

2 𝑣

[div 𝐸V + 𝐸. 𝐸]d𝑣

=1

2 𝑣

𝐷. 𝐸d𝑣 +1

2 𝐸V. 𝑛 𝑑𝑆

Considerando que a superfície S está suficientemente afastada das cargas para V ser nulo sobre ela, resulta:

𝑈 =1

2 𝑣 𝐷. 𝐸d𝑣

ou seja,

𝑢 =1

2𝐷. 𝐸

é a 𝐝𝐞𝐧𝐬𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 de energia electrostática


s


Aplicação: calcular a energia electrostática acumulada entre as placas de um condensadorplano cujas placas têm área A e estão à distância d, estando o espaço entre elas preenchido por um dieléctrico de permitividade 𝜺.

O campo 𝑬 tem módulo uniforme e igual a ∆𝑽

𝒅, ou seja, 𝐸 =

∆𝑽

𝒅=

𝑸

𝑪𝒅

Resulta que 𝑢 =1

2𝐷. 𝐸 =

1

2휀𝐸2 =

1

2휀(

𝑸

𝑪𝒅)2. A energia total obtem-se

multiplicando u pelo volume Ad:

𝑈 =1

2휀𝐴𝑑(

𝑸

𝑪𝒅)2

finalmente, tendo em conta que 𝐶 = 휀𝐴/d, vem

𝑈 =𝑸

𝟐𝑪

2=

1

2𝐶(∆𝑉) 2

𝑈 =1

2휀𝐴𝑑(

𝑸

𝑪𝒅)2 𝑈 =

1

2휀𝐴𝑑(

𝑸

𝑪𝒅)2

A


Vimos que uma carga eléctrica q colocada num ponto onde existe um campo electrostático 𝑬

fica sujeita a uma força 𝑭 = 𝒒𝑬. 𝐀 𝐪𝐮𝐞 𝐨𝐮𝐭𝐫𝐚𝐬 𝐟𝐨𝐫ç𝐚𝐬 𝐩𝐨𝐝𝐞 𝐮𝐦𝐚 𝐜𝐚𝐫𝐠𝐚 𝐞𝐥é𝐜𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚 𝐟𝐢𝐜𝐚𝐫sujeita?

Um raio catódico é um feixe de electrões. Obtém-se aplicando uma tensão muito elevadaentre dois eléctrodos próximos, sendo o eléctrodo positivo (ou ânodo) perfurado. Os electrõesSão arrancados ao eléctrodo negativo (ou cátodo). Verifica-se experimentalmente queos electrões são deflectidos da suatrajectória rectilínea quando entramnuma região do espaço em queexiste um campo magnético. Paraexplicar a trajectória, é necessárioadmitir a existência de uma força

dada por 𝐹 = 𝑞 𝑣x𝐵 , chamadaforça de Lorentz.A força de Lorentz é perpendicular àvelocidade, logo, é centrípeta. Sendo

𝑣 e 𝐵 perpendiculares entre si, resulta 𝑚𝑣2

𝑅= 𝑒𝑣𝐵, sendo R o raio da trajectória.

A 𝐞𝐱𝐩𝐞𝐫𝐢ê𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐞 𝐓𝐡𝐨𝐦𝐩𝐬𝐨𝐧 1º trabalho lab. consiste em calcular𝑒

𝑚através de

𝑣

𝐵𝑅.

S

N

𝑩


600 BC – Relatos das propriedades magnéticas de algumas rochas (Fe3O4)

1175 – Primeira referência na Europa ao funcionamento da bússola (Alexander Neckem, Inglaterra)

1269 – Primeira descrição detalhada do funcionamento de uma bússola (Petrus Peregrinus de Marincourt, França)

1600 - De Magnete (Gilbert, Inglaterra) Magnus magnes ipse est globus terrestris(Primeira explicação científica para o funcionamento da bússola)

1750 – Primeiro tratado sobre o fabrico de imans. (John Michell, Inglaterra)

“If there should really exist in nature any bodies, whose density is not lessthan that of the sun, and whose diameters are more than 500 times the

diameter of the sun, since their light could not arrive at us, we could have no information from sight; — John Michell, 1784


1820 –Hans Oersted (Dinamarca) observa que uma corrente eléctrica desvia uma bússola, originando o electromagnetismo.

1827 – Andre-Marie Ampére (França), partindo da observação de Oersted e da sua própria observação de que dois fios condutores atravessados por correntes se repelem ou atraem consoante os sentidos das correntes, publicou os fundamentos da electrodinâmica.

1831 – Michael Faraday (Inglaterra), observa que consegue criar correntenum fio fazendo deslocar uma bobine com corrente junto ao fio. O mesmo

acontecia com um iman permanente.


Experiência de Faraday (1831) – verificouque circulava uma corrente no fio da esquerda,Quando a bobine pequena se movia.

Experiência de Ampére (1825) – verificouque dois fios próximos, percorridos por correntes, se atraiam ou repeliam, consoante os sentidos.

Experiência de Oersted (1820) – verificouque a passagem de correne num fio deflectiaA agulha de uma bússola


𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐵𝑖𝑜𝑡 𝑒 𝑆𝑎𝑣𝑎𝑟𝑡:

𝑼𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒊 𝒏𝒖𝒎 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒊𝒕𝒐 𝒅𝒍 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂 𝒏𝒖𝒎 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 à 𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒓𝒖𝒎 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒖çã𝒐 𝒎𝒂𝒈𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒂𝒅𝒐 por

𝑑𝐵 =𝜇0𝑖

4𝜋

𝑑𝑙x 𝑢𝑟

𝑟2

𝑑𝑙

𝑢𝑟

𝑑𝐵

𝑟

Unidade SI da indução magnética: Tesla (T)


𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐵𝑖𝑜𝑡 𝑒 𝑆𝑎𝑣𝑎𝑟𝑡:

𝑼𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒊 𝒏𝒖𝒎 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒊𝒕𝒐 𝒅𝒍 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂 𝒏𝒖𝒎 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 à 𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒓𝒖𝒎 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒖çã𝒐 𝒎𝒂𝒈𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒎𝒂𝒈𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒂𝒅𝒐 por

𝑑𝐵 =𝜇0𝑖

4𝜋

𝑑𝑙x 𝑢𝑟

𝑟2 𝐵

Quando circula uma corrente num condutor vizinho, cada carga q animada de velocidada 𝑣 fica sujeita à força

𝐹 = 𝑞 𝑣x𝐵chamada força de Lorentz


𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎:Calcular o campo de indução magnética à distância R de um fio infinito, rectilíneo e uniforme, onde passa uma corrente i.

𝑑𝑙

𝑢𝑟

𝑑𝐵

𝑟𝑅

𝑧


0

5

10

15

20

25

30

0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10 10 a 12 12 a 14 14 a 16 16 a 18 18 a 20

Notas do primeiro teste de EO

Média: 13.0; desvio padrão: 4.0(67% das notas entre 9.0 e 17.0)


𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎:Calcular o campo de indução magnética no centro de um anel onde está a circular uma corrente i.

𝑑𝑙

𝑢𝑟

𝑑𝐵

𝑅

𝐵 =𝜇0𝑖

2𝑅 𝑢𝑧

𝑧

𝑑𝐵 =𝜇0𝑖

4𝜋

𝑑𝑙x 𝑢𝑟

𝑟2 →

(lei de Biot e Savart)


𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎:Calcular o campo de indução magnética num ponto do eixo de um anel onde está a circular uma corrente i.

𝑑𝑙

𝑢𝑟

𝑑𝐵

𝑅

𝑑𝐵 =𝜇0𝑖

4𝜋

𝑑𝑙x 𝑢𝑟

𝑟2

(lei de Biot e Savart)

𝑟

𝑑𝐵𝑧 f

qf

𝑧


𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎:Calcular a força aplicada por um fio rectilínio infinito onde está a circular uma corrente i sobre outro fio rectilínio infinito paralelo ao primeiro, à distância d, no qual está a circular uma corrente i’.

𝑑𝑙′

𝑑𝐵 =𝜇0𝑖

4𝜋

𝑑𝑙x 𝑢𝑟

𝑟2(lei de Biot e Savart)

𝑑

𝑖′

𝑖

𝐵 (devido a i)

𝑑𝐹 = (𝑑𝑞) 𝑣x𝐵 = (𝑑𝑞)𝑑𝑙′

𝑑𝑡x𝐵 = 𝑖′𝑑𝑙′x𝐵

Usando 𝐵 =𝜇0𝑖

2𝜋𝑟e tendo em conta que 𝑑𝑙′ e 𝐵 são perpendiculares, obtem-se que o

módulo da força por unidade de comprimento é

𝑑𝐹

𝑑𝑙′=

𝜇0𝑖𝑖′

2𝜋𝑟

Expressão usada para definir o Ampére (unidade SI para a

intensidade)


𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝é𝑟𝑒

𝐵 =𝜇0𝑖

2𝜋𝑟

𝑖

𝐵 (devido a i)

𝑟


𝑷𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢çã𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 à 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 onde circula uma corrente i

A lei de Ampére diz que 𝐵 =𝜇0𝑖

2𝜋𝑟

A lei de Biot e Savart diz que 𝐵 =𝜇0𝑖

4𝜋𝑟(𝑠𝑒𝑛∅2 − 𝑠𝑒𝑛∅1)

A lei de Biot e Savart dá o resultado correcto. Num fio finito (excepto se formar um circuito fechado) não é possível manter uma corrente estacionária, pelo que não se pode aplicar a lei de Ampére.

𝑖

𝐵

𝑥 = 0 𝑥 = 2𝑎

𝜃2𝜃1


𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦

휀 = −𝑑Φ

𝑑𝑡sendo Φ o fluxo de

𝐵 através de uma espira, e 휀 a força electromotriz induzida nessa espira

Φ = 𝑆

𝐵. 𝑛𝑑𝑆 ,

sendo 𝑆 qualquer superfície apoiadana espira.


휀 = −𝑑Φ



Conseguimos tirar partido do campo magnético terrestre para produzir energia eléctrica?

𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦(verificação experimental feita no anfiteatro, videos na página da cadeira)


휀 = −𝑑Φ



Campo magnético terrestre no Taguspark, Novembro de 2016

Fonte: http://www.ngdc.noaa.gov/geomag-web/#igrfwmm




휀 = −𝑑Φ



𝑩

𝐵 = 4.4𝑥10−5 𝑇S t = 𝑛𝑆0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑛 = 9, 𝑆0~3𝑚2 𝑒 𝜔~6 𝑟𝑎𝑑 𝑠−1

𝑙𝑜𝑔𝑜 휀 = −𝑑Φ

𝑑𝑡= 𝑛𝐵𝑆0𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

휀𝑚𝑎𝑥 = 𝑛𝐵𝑆0𝜔 ~ 7𝑚𝑉


𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑢çã𝑜 𝑚ú𝑡𝑢𝑎:

1 2

i1𝐵

Φ = 𝐵. 𝑛𝑑𝑆 𝑛

Φ2 = L12 i1

( L12 = L21)


𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑡𝑜 − 𝑖𝑛𝑑𝑢çã𝑜:

1

i1𝐵

Φ1 = 𝐵. 𝑛𝑑𝑆

Φ1 = L11 i1


𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎: 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑡𝑜 − 𝑖𝑛𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑁 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠, 𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑆 𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙

i

𝐵 = 𝜇0

𝑁

𝑙𝑖

Φ = 𝐵. 𝑛𝑑𝑆 = 𝜇0

𝑁2

𝑙𝑖S

𝐿11 =Φ

𝑖= 𝜇0

𝑁2

𝑙S = 𝜇0𝑛

2𝑙𝑆

𝑐𝑜𝑚 𝑛 =𝑁

𝑙(𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)


i

Consequência importante:Quando uma bobine é percorrida por uma corrente i variável no tempo,surge entre os seus terminais uma força electromotriz dada por

휀 = −𝑑𝜙

𝑑𝑡= −

𝑑

𝑑𝑡𝐿𝑖 = −𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡, pelo que a diferença de potencial

aos terminais de uma bobine pode ser calculada por

∆𝑉 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎: 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑡𝑜 − 𝑖𝑛𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑁 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠, 𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑆 𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙


𝑣barra

Problema: mostre que na espira da figura , situada numa região do espaço

onde existe um campo externo 𝐵 se verifica a Lei de Lenz

𝐵

R

𝐹𝑒

Quando v = 0 não há corrente a circular na espira. Quando a barra se desloca para a direita,os seus electrões ficam sujeitos a uma força dirigida para cima, e ganham velocidade que se soma à velocidade da barra, sendo inclinada para a direita. Por isso, a força sobre os electrõesé para cima e para a esquerda. A componente “para cima” da força induz uma corrente na

espira que cria um campo oposto a 𝑩 , como previsto pela Lei de Lenz. A componente “para a esquerda” da força trava o movimento da barra, como previsto pela Lei de Lenz.

𝑣e 𝑣e/barra


Efeito do campo magnético sobre uma espira de corrente e sobre os materiais:A espira fica sobre o efeito de um binário de forças, que só se anula quando a normal à

espira e o campo 𝐵 ficam alinhados. É este processo que conduz ao alinhamento dos momentos magnéticos microscópicos no interior dos materiais, originando a sua magnetização:

𝐵

𝑛

𝐹1

𝐹2i

i

i

Momento magnético de uma espira de área S e normal 𝑛, percorrida por uma corrente i: 𝑚 = 𝑖𝑆 𝑛

A magnetização 𝑀 de um material é o momento magnético por unidade

de volume: 𝑀 =𝑑𝑚

𝑑𝑉


Domínios magnéticos

𝑀 = 𝑀0 + 𝜒𝑚𝐻

𝜒𝑚é a susceptibilidade magnética.

Se 𝑀0 = 0 , 𝐵 = 𝜇0(𝐻 + 𝑀 )= 𝜇0(1 + 𝜒𝑚)𝐻= μ 𝐻

Comμ = 𝜇0(1 + 𝜒𝑚) - permeabilidade magnética do meio


Tipos de materiais, consoante as propriedades magnéticas

Materiais ferromagnéticos (Ferro, Cobalto)

Materiais anti-ferromagnéticos

Materiais ferrimagnéticos

Materiais paramagnéticos (Alumínio)𝑀0 = 0, 𝜒𝑚 > 0 (~10−6)


Electrostática Magnetostática

Polarização e susceptibilidade eléctrica:

𝑃 = 𝜒𝑒휀0𝐸

Magnetização e susceptibilidade magnética:

𝑀 = 𝑀0 + 𝜒𝑚 𝐻

Permeabilidade eléctrica:

휀 = 휀0(1 + 𝜒𝑒)

Permeabilidade magnética:

𝜇 = 𝜇0(1 + 𝜒𝑚)

Deslocamento eléctrico:

𝐷 = 휀0𝐸 + 𝑃 = 휀𝐸

Indução magnética (se 𝑀0 = 0):

𝐵 = 𝜇0(𝐻 + 𝑀) = 𝜇𝐻

Densidade de energia:

𝑢 =1

2휀𝐸2

Densidade de energia:

𝑢 =1

2𝜇𝐻2

Campos ´no interior da matéria


Histerese magnética


Transformações de energia num circuito eléctrico

Energia de outro tipo(mecânica, etc...) é transformada em energia eléctrica, sendo a potência (energia eléctrica gerada por unidade de tempo) dada por𝑷𝒈 = 𝑽𝟎𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕)

Energia eléctrica é transformada em energia térmica, sendo a potência dissipada dada por

𝑷𝒅 = 𝑹𝒊𝟐

Energia eléctrica é armazenada nocampo eléctrico, com densidade deenergia

𝒖 =𝟏

𝟐𝜺𝑬𝟐

Energia eléctrica é armazenada no campo magnético, com densidade deenergia

𝒖 =𝟏

𝟐𝝁𝑯𝟐


Energia acumulada num campo magnético

Vimos já que a energia por unidade de volume acumulada num

campo electrostático era dada por 𝑢 =1

2휀𝐸2. Vamos calcular

agora a energia armazenada num campo magnético, usando o exemplo de uma bobina de secção S, comprimento d e N espiras. 휀

Condensador

𝑢 =1

2휀𝐸2 =

1

2𝐶𝑉2

No instante t=0 a corrente é nula, pelo que não existe campo magnético no interior do solenóide. Num

intervalo t a corrente é i e portanto existe um campo B de módulo 𝜇𝑁

𝑑𝑖. Por outro lado, a diferença de

potencial entre os extremos da bobine é 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡. Teremos agora em conta que o trabalho feito pelo campo

eléctrico quando uma carga dq atravessa a bobina é 𝑑𝑊 = Δ𝑉𝑑𝑞 = Δ𝑉 𝑖𝑑𝑡. Resulta que 𝑑𝑊 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡𝑖𝑑𝑡,

ou seja, 𝑑𝑊 = 𝐿 𝑖 𝑑𝑖. Integrando entre 0 e t obtem-se a energia acumulada na bobine:

U =1

2𝐿𝑖2

Tendo em conta que B = 𝜇𝑁

𝑑𝑖 e 𝐿 = 𝜇

𝑁

𝑑

2𝑆𝑑, resulta U =

1

2𝜇𝐵2𝑆𝑑, ou, tendo em conta que o volume é

Sd, 𝑢 =1

2𝜇𝐵2 ou 𝒖 =

𝟏

𝟐𝝁𝑯𝟐 densidade de energia num campo magnético


Fluxo de energia num campo electromagnético (Teorema de Poynting)Admitamos que numa dada região do espaço existe um campo eléctrico 𝐸 e um campo

magnético 𝐻 ligados pelas equações de Maxwell

𝑟𝑜𝑡 𝐸 = −𝜕𝐵

𝜕𝑡; 𝑟𝑜𝑡 𝐻 = 𝑗 +

𝜕𝐷

𝜕𝑡

Se não existem correntes de condução nessa região do espaço (j = 0), e se as permitividades ε e 𝜇 do meio puderem ser tratadas como constantes, podemos fazer

𝑟𝑜𝑡 𝐸 . 𝐻 = − 𝜇𝜕𝐻

𝜕𝑡. 𝐻 e 𝑟𝑜𝑡 𝐻 . 𝐸 = 휀

𝜕𝐸

𝜕𝑡. 𝐸

Logo, 𝑟𝑜𝑡 𝐸 . 𝐻 − 𝑟𝑜𝑡 𝐻 . 𝐸 = −(휀𝜕𝐸

𝜕𝑡. 𝐸 + 𝜇

𝜕𝐻

𝜕𝑡. 𝐻)

Usaremos agora a relação vectorial 𝑑𝑖𝑣 𝐸𝑥𝐻 = 𝐻. 𝑟𝑜𝑡𝐸 − 𝐸. 𝑟𝑜𝑡𝐻 e o facto de que 휀𝜕𝐸

𝜕𝑡.

𝐸 =𝜕

𝜕𝑡

1

2휀𝐸2 e 𝜇

𝜕𝐻

𝜕𝑡. 𝐻 =

𝜕

𝜕𝑡[1

2μ𝐻2] para obter

𝑑𝑖𝑣 𝐸x𝐻 = −𝜕

𝜕𝑡[1

2휀𝐸2 +

1

2휀𝜇𝐻2] = −

𝜕𝑢

𝜕𝑡,

Sendo u a densidade de energia electromagnética. Finalmente, introduzindo o vector de

Poyntng 𝑺 = 𝑬𝐱𝑯 e aplicando o teorema da divergência,

𝑺. 𝑛𝑑𝑆 = −𝜕𝑈

𝜕𝑡

Sendo U a energia electromagnética total no interior da superfície em que se calcula o fluxo.O fluxo do vector de Poynting mede a energia electromagnética que passa através de uma superfície.


Histerese magnética

Cálculo da energia magnética acumulada no interior do solenóide na evolução de A para B para C

Tendo em conta que a densidade de energia magnética é 𝑢 =1

2𝜇𝐻2, resulta que

𝑑𝑢 = 𝜇𝐻𝑑𝐻 = 𝐵𝑑ℎ

No troço ABC a energia acumulada por unidade de volume é u = 𝐴𝐶𝐵𝑑ℎ , quantidade

representada pela área a verde. Cálculo da energia magnética a dissipada no interior do solenóide na evolução de C para D para ANo troço CDA a energia perdida (dh<0) por unidade de volume é a área sob essa trajectória.

Conclusão: a energia magnética dissipada por unidade de volume num ciclo completo é dada pela área entre as duas curvas.

A

C

B

D


Fluxo de energia num cabo coaxial


Ondas electromagnéticas

Uma onda consiste na propagação de uma perturbação u(x,y,z,t) de uma propriedade do meio(pressão, velocidade, etc), segundo a equação

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑦2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑧2 =1

𝑣2

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2

A constante v é a velocidade de fase.



Uma onda consiste na propagação de uma perturbação u(x,y,z,t) de uma propriedade do meio(pressão, velocidade, etc), segundo a equação

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑦2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑧2 =1

𝑣2

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2

A constante v é a velocidade de fase.

Problema: mostrar que a expressão geral da equação das ondas a uma dimensão é

𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝐹 𝑥 ± 𝑣𝑡

sendo F uma função qualquer. A função F determina a forma da onda.

Problema: mostrar em que condições a função

𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝐹 𝑘. 𝑟 − 𝜔𝑡

é solução da equação das ondas. Esta solução designa-se por onda plana, e o vector 𝑘é o número de ondas angular.

Neste caso, a altura da água é ℎ 𝑥, 𝑦, 𝑡 = ℎ𝑜 + 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑡

e a perturbação u propaga-se apartir do ponto de impacte.



Tirando partido do teorema de Fourier, é conveniente estudar a propagação de ondas planas monocromáticas, dadas pela solução

𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘. 𝑟 − 𝜔𝑡

A função a vermelho é a soma das funções harmónicas a azul





Atendendo à relação geral 𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃, e tendo em conta a facilidade em derivar ou primitivar a função exponencial, podemos escrever a onda plana monocromática na forma

𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝐴 exp 𝑖 𝑘. 𝑟 − 𝜔𝑡

ficando implícito que apenas se está a considerar a parte real da função. Se a perturbação afectar uma grandeza vectorial, a expressão da onda será

𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝐴 exp 𝑖 𝑘. 𝑟 − 𝜔𝑡

Problema: mostrar que, numa região do espaço em que não existem cargas ou correntes eléctricas, uma perturbação do campo eléctrico se propaga como onda, e calcule a velocidade de fase. Mostre que o mesmo se pode afirmar quanto ao campo magnético, e calcule a velocidade de fase.

Resposta: Velocidade das ondas electromagnéticas:

𝑣 =1

𝜇휀Velocidade das ondas electromagnéticas no vazio:

𝑐 =1

𝜇0휀0







Problema: mostrar que numa onda electromagnética o campo eléctrico e o campo magnético são prependiculares entre si, e prependiculares à direcção de propagação.

Sugestão: considere ondas planas e tenha em conta que não há carga logo 𝑑𝑖𝑣𝐸 = 𝑑𝑖𝑣𝐻 = 0.

Problema: mostrar que numa onda electromagnética o campo eléctrico e o campo magnético estão relacionados por

𝐸 = 𝑍𝐻x 𝑛

sendo 𝑍 = 𝜇/휀 a impedância do meio (unidade SI: Ohm) e 𝑛 o vector unitário da direcção de

propagação, ou seja, 𝑛 = 𝑘/|𝑘|. Nota: para o vazio, 𝑍0 = 𝜇0/𝜖0 = 377Ω.

Problema: mostrar que numa onda electromagnética o campo magnético pode ser calculado a partir do campo magnético por

𝐻 =1

𝑍 𝑛x𝐸

Nota:

Basta recordar que E = ZH, ou alternativamente, E = vB (verifique)

e que a direcção de propagação é a do vector 𝐸x𝐻, para passar de 𝐸 a 𝐻e vice versa.



Problema: mostrar que numa onda electromagnética o vector de Poynting é dado por

𝑆 = 𝐸x𝐻 =1

𝑍𝐸2 𝑛 = 𝑣휀𝐸2 𝑛

Ou alternativamente, por 𝑆 = 𝑍𝐻2 𝑛 = 𝑣𝜇𝐻2 𝑛

Sendo v a velocidade de fase dada por 1

𝜇. No vazio será 𝑣 = 𝑐 =

1

𝜇0 0

As expressões acima implicam a igualdade entre a densidade de energia eléctrica e a densidade de energia magnética numa onda electromagnética:

𝑢𝑒 =1

2휀𝐸2 =

1

2𝜇𝐻2 = 𝑢𝑚

logo, pode-se concluir que 𝑆 = 𝑣𝑢𝑒𝑚 𝑛

sendo

𝑢𝑒𝑚 =1

2휀𝐸2 +

1

2𝜇𝐻2

a densidade de energia electromagnética.



Problema: calcule a intensidade (fluxo de energia por unidade de tempo e por unidade de área) de uma onda electromagnética monocromática plana definida pelo campo eléctrico

𝐸𝑥 = 𝐸𝑜 exp 𝑘. 𝑟 − 𝜔𝑡

Solução: teremos que considerar o valor médio do módulo do vector de Poynting:

< 𝑆 > =< 𝑣휀𝐸2 = 𝑣휀𝐸02 < 𝑐𝑜𝑠2 𝑘. 𝑟 − 𝜔𝑡 > =

1

2𝑣휀𝐸0

2

ou equivalentemente

< 𝑆 > =1

2𝑣𝜇𝐻0

2

Nota: o factor ½ dá a amplitude eficaz, ou amplituderms, do vector de Poynting. Para o campo eléctrico oumagnético, a amplitude eficaz vem afectada de um

factor 2

2:

𝐸𝑟𝑚𝑠 =2

2𝐸𝑜; 𝐻𝑟𝑚𝑠 =

2

2𝐻𝑜

logo< 𝑆 > =𝐸𝑟𝑚𝑠𝐻𝑟𝑚𝑠


Polarização das ondas electromagnéticas

Vamos considerar apenas o campo eléctrico, sabendo que está presente um campo magnético a 90º com o campo eléctrico e a 90º com a direcção de propagação. Vamos considerar que a

propagação se faz segundo o eixo Oz no sentido positivo, e que as componentes do campo 𝐸são dadas por

𝐸𝑥 = 𝐸𝑥𝑜𝑒𝑖(𝑘𝑧−𝑤𝑡); 𝐸𝑦 = 𝐸𝑦𝑜𝑒

𝑖(𝑘𝑧−𝑤𝑡+𝛿)

Por outras palavras, existe uma diferença de fase 𝛿 entre as duas componentes do campo.

1º caso: 𝜹=0 𝑬𝒙 e 𝑬𝒚 𝐞𝐬𝐭ã𝐨 𝐞𝐦 𝐟𝐚𝐬𝐞 𝐸𝑦 𝑡 = (𝐸𝑦0/𝐸𝑥0) 𝐸𝑥(𝑡)

Polarização linear

x

y

𝐸𝑥0

𝐸𝑦0





𝐸𝑥 = 𝐸𝑥𝑜𝑒𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡); 𝐸𝑦 = 𝐸𝑦𝑜𝑒

𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡+𝛿)


2º caso: 𝜹 =𝝅

𝟐𝑬𝒙 e 𝑬𝒚 𝐞𝐬𝐭ã𝐨 𝐞𝐦 𝐪𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚

𝐸𝑥 𝑡

𝐸𝑥0

2+

𝐸𝑦 𝑡

𝐸𝑦0

2

= 1

Polarização elípticacom rotação no sentido horário

x

y

𝐸𝑥0

𝐸𝑦0








3º caso: 𝜹 = −𝝅

𝟐𝑬𝒙 e 𝑬𝒚 𝐞𝐬𝐭ã𝐨 𝐞𝐦 𝐪𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚

𝐸𝑥 𝑡

𝐸𝑥0

2+

𝐸𝑦 𝑡

𝐸𝑦0

2

= 1

Polarização elípticacom rotação no sentido anti-horário

x

y

𝐸𝑥0

𝐸𝑦0








4º caso: −𝝅

𝟐< 𝜹 <

𝝅

𝟐

𝐸𝑥 𝑡

𝐸𝑥0

2+

𝐸𝑦 𝑡

𝐸𝑦0

2

− 2𝐸𝑥𝐸𝑦

𝐸0𝑥𝐸0𝑦cos 𝛿 = 𝑠𝑖𝑛2𝛿

Caso geral de polarização

http://www.androidcentral.com/smartphone-futurology-2-displayhttps://www.youtube.com/watch?v=8YkfEft4p-w

x

𝐸𝑥0

𝐸𝑦0

(𝛿 > 0)

http://www.androidcentral.com/smartphone-futurology-2-display

https://www.youtube.com/watch?v=8YkfEft4p-w

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Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Cadeira de ... · princípios básicos à resolução de problemas. ... Lei de Coulomb. Princípio de sobreposição. Nocão de campo