-
8/17/2019 Limites de Funções de Duas Variáveis
1/6
, ,
. , . A
.
: : D P 0 ( x0 , y0 )
∈ R2
r ,
B( P 0,r ), P 0
r , P ( x,y)
∈ R2 P 0 r , ,
P ( x,y)
| P – P 0 | <
r .
, B (P 0 , r)
P 0 .
:
})()(|),{(),( 202
0
2
0
r y y x x R y xr P B
-
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1) A xy
1 . , ,
A, B.
2) A = { ( x, y, z )
∈ R3 / x > 0, y > 0, z > 0 },
A ,
A.
3) D = {( x, y ) ∈ R2 / y
≥ 2x + 1} ∪ { ( 0, 0 )}, D
.
: A R2 .
D A
,
A.
A,
R3
; , .
: A R2 .
D P´ ∈ R2 A
P´ A.
, P´ A
A P´ , P´
.
:
1) }1)()(0|),{(2
0
2
0
2
-
8/17/2019 Limites de Funções de Duas Variáveis
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: A ⊂ → ( x0 ,y0)
A. D f(x,y) (x,y) ( x0 ,y0)
, ε > 0,
δ > 0 | f(x,y) – L | < ε
(x,y) ∈ A 0 < (x,y)
( x0 ,y0) < δ.
:
lim(x ,y)→( x0 ,y0 )
f ( x, y) = L ou
lim x→ x0 y→ y0
f ( , y) = L
A
.
: 1) C :
a) lim x→2 y→−1
( x 3 y + x 2 y 3 − 2xy + 4) =
b)lim x→0 y→2
x + y = c) lim x→−1 y→1
x 3 y + 4
x + y − 2
=
, x0,
x
x0
.
, ,
.
),(lim),(),( 00
y x f y x y x →
.
A .
x0
(x0 ,y0 )
y
x
y
(x,y)
-
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: D1 D2 f, D(f),
(x0 ,y0 ) . f(x,y) (x,y)
( x0 , y0 ) D1 D2, ,
lim x→ x0 y→ y0
f ( , ) = L
.
C .
, , , ,
(x0 , y0 ) ,
.
:
1)
D1 x,
f(x,y) (x,y) (0,0)
D1 :
lim x→0 y=0
( x, ) = lim x→0
( ,0)
2) D2
f(x,y) (x,y) (0,0) D2
:
lim x→0 y= 2 x
(x,y) = lim x→0
(x,2x)
3) D3 ,
f(x,y) (x,y) (0,0)
D3 :
lim y→0+ x=0
( x, ) = lim y→0+
(0, )
4) :
lim(x ,y)→(0,0)
2xy
x 2 + y 2
=
D1: x
D2: y
D3: A y = x
A
, ,
. A,
),(lim),(),( 00
L y x f y x y x
=→
-
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f(x,y) L
( ε L) (x,y) ( )
(x0 ,y0 ), :
: f ,
),(lim),(),( 00
L y x f y x y x
=→
ε>0, δ>0 f(x,y)
f(x,y)-L|
-
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: f : A ⊂ R2 → R (
x0 , y0 ) A. D f (
x0 , y0 ) :
lim(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) = f (x0 , 0 )
A , f R ,
f R. A,
.
: 1) D :
f ( x, y ) = x 2 + y
2+ 1, se x
2+ y
2≤ 4
0, se x 2 + y 2 > 4
:
1. f g (
x0 , y0 )
) f+g ( x0 , y0 );
) f-g ( x0 , y0 );
) f.g ( x0 , y0 );
)
f/g ( x0 , y0 ) )
fog ( x0 , y0 );
: D :
)4ln(),()
2233
1),()
252),()
22
22
22
+=
++−−+
−+=
−+=
y x y xhc
y x xy x y x
y x y x g b
xy y x y x f a
