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9. Duas Funções de duas Variáveis Aleatórias. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com f.d.p.conjunta Considere ainda duas funções e tal que se define duas variáveis aleatórias - PowerPoint PPT Presentation
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9. Duas Funções de duas Variáveis Aleatórias
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com f.d.p.conjunta
Considere ainda duas funções e tal que se define duas variáveis aleatórias
Como determinar a f.d.p. conjunta de Z e W,
).,( yxf XY
).,(
),(
YXhW
YXgZ
),( yxg ),,( yxh
?),( wzfZW
wzDyx XYwz
ZW
dxdyyxfDYXP
wYXhzYXgPwWzZPwzF
,),( , ,),(),(
),(,),()(,)(),(
x
y
wzD ,
wzD ,
),(),( wzFwz
wzf ZWZW
DZ é a região de xy tal que:zyxg ),(
wyxh ),(
2
Exemplo 9.1: Suponha que X e Y são v.a. independentes uniformemente distribuídas no intervalo Define-se Determine Solução: Obviamente w e z variam no intervalo Então
Deve-se considerar dois casos : e uma vez que pertencem a diferentes regiões, como mostra a figura.
).,max( ),,min( YXWYXZ
.0ou 0 se ,0),( wzwzFZW
).,( wzfZW
).,0(
).,0(
. ),max( ,),min(,),( wYXzYXPwWzZPwzFZW
zw ,zw
X
Y
wy
),( ww
),( zz
zwa )(
X
Y
),( ww
),( zz
zwb )(
3
Para na Fig. 9.2 (a), a região DZW é representada pela área tal que:
e para tem-se:
como
obtém-se
Então
, , ),(),(),(),( zwzzFzwFwzFwzF XYXYXYZW
,zw
,zw
. , ),(),( zwwwFwzF XYZW
,)( )(),(2
xyyxyFxFyxF YXXY
.0,/
,0,/)(2),(
22
2
zww
wzzzwwzFZW
.otherwise,0
,0,/2),(
2 wzwzfZW
4
As f.d.p. marginais de Z e W são dadas por:
Se e são funções contínuas e diferenciáveis, então é possível desenvolver uma fórmula para obter a f.d.p. conjunta diretamente. Assim as equações
para um dado ponto (z,w), pode ter n soluções representadas pelos pares:
de modo que
,0 ,12
),()(
z
zdwwzfzf
z ZWZ
.),( ,),( wyxhzyxg
.0 ,2
),()(
0 2
w
wdzwzfwf
w
ZWW
),( yxg ),( yxh
),( wzfZW
),,( , ),,( ),,( 2211 nn yxyxyx
.),( ,),( wyxhzyxg iiii
5
Assim observando a figura a pode-se escrever
z
(a)
w
),( wz
z
www
zz
. ),(,),(
,
wwYXhwzzYXgzP
wwWwzzZzP
(b)
x
y1
2
i
n
),( 11 yx
),( 22 yx
),( ii yx
),( nn yx
.),(, wzwzfwwWwzzZzP ZW
Então
Agora é preciso escrever fZW(z,w) em função de fZW(z,w)
6
Após varias manipulações matemática chega-se a
,),(|),(|
1),(|),(|),(
iiiXY
iiiiiXYZW yxf
yxJyxfwzJwzf
Onde:
.det|),(|
11
11
w
h
z
h
w
g
z
g
wzJ |),(|
1 |),(|
ii yxJwzJ
.det),(
, ii yyxx
ii
y
h
x
h
y
g
x
g
yxJ
7
Exemplo 9.2: Suponha que X e Y são duas v.a.’s gaussianas, independentes, ambas com média zero e variância Define-se onde Determine Solução:
Se é uma par de solução então é também solução, pois
Substituindo y tem-se
),/(tan , 122 XYWYXZ .2
).,( wzfZW
.2
1),(
222 2/)(2
yx
XY eyxf
,2/||),/(tan),(;),( 122 wxyyxhwyxyxgz
),( 11 yx ).,( 11 yx
.tanou ,tan wxywxy
.2/|| w
.cos ou ,sec tan1 222 wzxwxwxyxz
.sentan wzwxy Então
8
Assim há dois conjunto de soluções
Calculando o jacobiano
w.zw, yzw, xzw, yzx sencossencos 2211 ).,( wzJ
,cossin
sincos),( z
wzw
wzw
w
y
z
y
w
x
z
x
wzJ
.|),(| zwzJ
),( yxJ
.11
),(22
2222
2222
zyx
yx
x
yx
y
yx
y
yx
x
yxJ
Calculando o jacobiano
9
Substituindo determina-se fZW(z,w)
que representa a f.d.p de uma v.a. de Rayleigh r.v com parâmetro As f.d.p. marginais de Z e W, são dadas por:
|,),(|/1|),(| ii yxJwzJ
.2
|| ,0 ,
),(),(),(
22 2/2
2211
wzez
yxfyxfzwzf
z
XYXYZW
,0 ,),()(22 2/
2
2/
2/
zez
dwwzfzf zZWZ
.2
,2
|| ,1
),()(
0
wdzwzfwf ZWW
,),(|),(|
1),(|),(|),(
iiiXY
iiiiiXYZW yxf
yxJyxfwzJwzf
10
Que representa uma v.a. uniformemente distribuída no intervalo Observa-se ainda que
assim Z e W são v.a.’s independentes.
Resumo: Se X e Y são variáveis aleatórias gaussianas e independentes, com média zero e com variâncias iguais, então as variável aleatórias têm respectivamente, distribuições Rayleigh e uniforme.
Se X e Y são variáveis aleatórias independentes então
Z=g( X,Y ) e W=h( X,Y ) são ainda independentes.
).2/,2/(
)()(),( wfzfwzf WZZW
),/(tan , 122 XYWYXZ
11
Exemplo 9.3: Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuições exponenciais ambas com parâmetro . Define-se U = X + Y, V = X - Y. Encontre a f.d.p. conjunta e as marginais de U e V. Solução:
Como u = x + y, v = x - y, implica que sempre e portanto, há somente um par de solução.
assim:
.0 ,0 ,1
),( /)(2
yxeyxf yxXY
.2
,2
vuy
vux
,|| uv
2 11
1 1 ),(
yxJ
, || 0 ,2
1),( /
2 uvevuf u
UV
,0 ,2
1),()( /
2
/2
ueu
dvedvvufuf uu
u
uu
u UVU
. ,2
1
2
1),()( /||
||
/2
||
vedueduvufvf u
v
u
v UVV
12
Variáveis Auxiliares:
Suponha que Z = g( X,Y )
onde X e Y são duas variáveis aleatórias. Neste caso pode-se determinar a f.d.p. da v.a. Z, usando uma variável auxiliar, definida por W = X ou W = Y. A f.d.p. Z pode ser obtida integrando-se .
Exemplo 9.4: Suponha que Z = X + Y e seja W = Y tal que a
Tem-se
),( wzfZW
. , 11 wzxwy
)(zfZ
1 1 0
1 1 ),( yxJ
),(),(),( 11 wwzfyxfyxf XYXYZW
,)()()( dwwfyzfzf YxZSe x e Y são independentes
,),(),()( dwwwzfdwwzfzf XYZWZ
13
Exemplo 9.5: Sejam e variáveis aleatórias independentes. Define-se
Encontre a f.d.p. da v.a. Z.
Solução: Usando a variável auxiliar W = Y, tem-se
)1,0( UX )1,0( UY
).2cos(ln2 2/1 YXZ
,, 12/)2sec(
1
2
wyex wz
.)2(sec
10
)2(sec
),(
2/)2sec(2
12/)2sec(2
11
11
2
2
wz
wz
ewz
w
xewz
w
y
z
y
w
x
z
x
wzJ
,10 ,
, )2(sec),( 2/)2sec(2 2
wz
ewzwzf wzZW
14
Encontre a função densidade de Z. Solução: Podemos fazer uso da variável auxiliar W = Y neste caso. Temos então a solução única:
e usando
Fazendo as devidas substituições, obtemos
,
,
1
2/)2sec(1
2
wy
ex wz
.)2(sec
10
)2(sec
),(
2/)2sec(2
12/)2sec(2
11
11
2
2
wz
wz
ewz
w
xewz
w
y
z
y
w
x
z
x
wzJ
,10 ,
, )2(sec),( 2/)2sec(2 2
wz
ewzwzf wzZW
(9-58)
PILLAI
15
Agora para encontrar fZ(z) integra-se fZW(z,w) em relação a z
fazendo então
Como w varia de 0 a 1, u varia de
que representa a f.d.p. de uma variável aleatória gaussiana com média zero e variância unitária.
. )2(sec),()(1
0
2/)2tan(22/1
0
2 2
dwewzedwwzfzf wzzZWZ
)2tan( wzu .)2(sec2 2 dwwzdu
.a
, ,2
1
2
2
1)( 2/
1
2/2/ 222
zedu
eezf zuzZ