Trabalho Computacional - Geração de Variáveis Aleatórias

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA

CURSO DE ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES

GERAÇÃO E OBSERVAÇÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Aluno: Jessé Robson Araújo Leite - 375149

Professor: Dr. Charles Casimiro Cavalcante

Disciplina: Estatística para Engenharia

FORTALEZA

2016

SUMÁRIO

1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO UNIFORME .............................. 2

2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL ....................... 4

3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY ............................ 6

4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO GAUSSIANA ............................ 9

REFERÊNCIAS ................................................................................................................ 12

1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO UNIFORME

Para a geração de variáveis aleatória uniformes, utilizou-se o método congruencial

misto. Que usa a seguinte equação.

x (n )=[ax (n−1 )+b ] modulo m (1)

Os parâmetros a e c e m foram escolhidos obedecendo as seguintes regras.

a<m e c<m (2)

Além disso, a constante a foi escolhida de tal forma que fosse igual a 1 em aritmética

de módulo 4, a = 1, 5, 9, 13, ...., e a constante c foi escolhida como um número ímpar.

Os valores de a e de c escolhidos para a geração de variáveis aleatórias distribuídas

uniformemente foram 13 e 7 respectivamente.

Para x(0), tentou-se tornar a sua escolha de forma aleatória. Logo, foi-se utilizado o valor

do relógio do momento que o programa rodou como sendo a semente.

Foi criada uma função no software MATLAB para gerar um histograma para esta

distribuição uniforme, assim não foram utilizadas as funções prontas que o software

disponibiliza. O gráfico obtido para a variável aleatória uniformemente distribuída no

intervalo de [3,7] que foi gerado está disposto na Figura 1.

Figura 1 – Gráfico gerado para uma distribuição uniforme.

Fonte: Elaborado pelo autor

A média e variância para a distribuição gerada foram 4,9980 e 1,3423

respectivamente. Como podemos ver, os valores experimentais são bem próximo dos valores

teóricos – média 5,0 e variância 1,33. Os valores obtidos são diferentes dos teóricos devido

que os valores teóricos são calculados para um intervalo com infinitas amostras e também por

casos ideais onde as variáveis são de fato aleatórias. Para o nosso caso, as variáveis geradas

são pseudoaleatórias.

Também foi gerado a CDF da distribuição uniforme utilizando a seguinte equação.

F ( x )= x−AB−A

(3)

Onde A e B são os limites do intervalo [A,B].

A partir da Eq. (3), foi criado um programa para gerar o gráfico da CDF para a

distribuição uniforme. O gráfico gerado está disposto na Figura 2.

Figura 2 – Gráfico de CDF uniforme.

Fonte: Elaborado pelo autor.

2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL

Para a geração de variáveis aleatórias com distribuição exponencial, utilizou-se o

método da FDA inversa. A partir da função de densidade de probabilidade (FDP), integrou-se

a função para obter-se a função de densidade acumulada (FDA) e depois se obteve a inversa

da FDA obtida.

f ( x )= λ e−λx , x≥ 0 , λ>0 (4)

F ( x )=∫0

x

λ e−λu du(5)

Posteriormente, aplicou-se o método da FDA inversa na Eq. (5) e obteve-se a seguinte

expressão.

F x−1 ( y )=1

λ∗log (1− y ) (6)

Onde y são números aleatórios uniformemente distribuídos, gerados pelo método

congruencial misto, no intervalo de [0,1].

A partir da Eq. (6), foi criado um programa para gerar variáveis aleatórias com

distribuição exponencial, utilizando λ = 4. O gráfico gerado está disposto na Figura 3.

Figura 3 - Gráfico gerado para uma distribuição exponencial.


A média e variância para a distribuição gerada foram 0.2486 e 0.0604


teóricos – média 0,250 e variância 0,0625. Os valores obtidos diferenciam-se dos teóricos

porque os valores teóricos são calculados para um intervalo com infinitas amostras e também

por casos ideais onde as variáveis são de fato aleatórias. Se fosse possível efetuar interações

infinitas, poderia ser possível analisar os valores teóricos.

Também foi gerado a CDF da distribuição exponencial utilizando a seguinte equação.

F ( x )=1−e−λx (7)


distribuição exponencial, λ = 4. O gráfico gerado está disposto na Figura 4.

Figura 4 – Gráfico de CDF exponencial.


3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY

Para a geração de variáveis aleatórias com distribuição de Cauchy, utilizou-se o

método da FDA inversa. A partir da função de densidade de probabilidade (FDP), integrou-se

a função para obter-se a função de densidade acumulada (FDA) e depois se obteve a inversa

da FDA obtida.

f ( x )=

απ

x2+α2 , −∞<x<+∞ , α>0

(8)

F ( x )=∫−∞

xαπ

u2+α2 du

(9)

Posteriormente, aplicou-se o método da FDA inversa na Eq. (9) e obteve-se a seguinte

expressão.

F x−1 ( y )=α∗tang ( y∗π−π

2) (10)

Onde y são números aleatórios uniformemente distribuídos, gerados pelo método

congruencial misto, no intervalo de [0,1].

A partir da Eq. (10), foi criado um programa para gerar variáveis aleatórias com

distribuição exponencial, utilizando α = 3. O gráfico gerado está disposto na Figura 5.

Figura 5 – Gráfico gerado para uma distribuição de Cauchy.


Também se utilizou o método da divisão de gaussianas independentes para simular a

distribuição de Cauchy. O gráfico gerado está disposto na Figura 6.

Os dois gráficos gerados são bem parecidos, apesar da dispersão aparentemente um pouco maior dos resultados na Figura 6, a maioria dos resultados estão concentrados próximo de 0.

A distribuição de Cauchy não possui média definida, logo também não possui variância.

Figura 6 - Gráfico gerado para uma distribuição de Cauchy por divisão de gaussianas.


Também foi gerado a CDF da distribuição exponencial utilizando a seguinte equação.

F ( x )= 1π∗arctg ( x

α )+ 12

(11)


distribuição de Cauchy, α = 3. O gráfico gerado está disposto na Figura 7.

Figura 7 – Gráfico de CDF de Cauchy.


A seguir estão dispostas ampliações da Figura 7.

Figura 8 – Ampliações da CDF de Cauchy.


4. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO GAUSSIANA

Para a geração de variáveis aleatórias com distribuição gaussiana, utilizou-se o

Teorema Central do Limite (TCL). Para gerar uma distribuição gaussiana de média μ = 0 e

σ = 1 soma-se 12 distribuições uniformes de [0,1] e subtrai-se o valor 6 dessa soma, de acordo

com a Eq. (12).

Z12=∑i=1

12

X i−6(12)

Para deslocar a distribuição gaussiana basta multiplicar a distribuição pelo desvio

padrão e somar a média, de acordo com a Eq. (13).

Z '12=μ+σ∗Z12 (13)

Posteriormente, foi gerada a distribuição gaussiana utilizando média μ = 2 e variância

σ2 = 3 aplicando a Eq. (13). O gráfico gerado está disposto na Figura 9.

Figura 9 – Gráfico gerado para uma distribuição gaussiana.


A média e variância para a distribuição gerada foram 1.9711 e 3.0943


teóricos – média 2,0 e variância 3,0. Os valores obtidos diferenciam-se dos teóricos porque os

valores teóricos são calculados para um intervalo com infinitas amostras e também por casos

ideais onde as variáveis são de fato aleatórias. Se fosse possível efetuar interações infinitas,

poderia ser possível analisar os valores teóricos.

Foi gerado um gráfico de comparação da distribuição gaussiana gerada utilizando a

função histfit do software MATLAB. O gráfico gerado está disposto na Figura 10.

Figura 10 – Gráfico de comparação da distribuição gaussiana.


Também foi gerado a CDF da distribuição gaussiana somando a probabilidade de cada

número. O gráfico gerado está disposto na Figura 11.

Figura 11 – Gráfico de CDF gaussiana.


REFERÊNCIAS

Autor não explicitado. Guia de Normalização de Trabalhos Acadêmicos Da Universidade

Federal Do Ceará. 2013.

Devore, Jay L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo: Cengage

Learning. 2011. p 85 – 152.

Pratap, Rudra. Getting Started with MATLAB: A Quick Introduction for Scientists and

Engineers. New York, USA: Oxford University Press, Inc. 2010. p 5 – 129.

SITES, consultas realizadas no período de 06 de Janeiro a 24 de Janeiro de 2016 nos

endereços eletrônicos abaixo.

https://pt.wikipedia.org/

http://www.portalaction.com.br/

http://www.wolframalpha.com/

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