Luís T. Magalhães - Integrais em Variedades e Aplicações

7/22/2019 Lus T. Magalhes - Integrais em Variedades e Aplicaes

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F


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c

e 5o : =DcD I D. i o

z o l o oag i ooot 0 I 2Do o | x d R

aOq = oI o o, El - oz toI 3 I x o

= 9O F =z | 3 u oD z oco g i o o ot D D 0 D

{ i x{ oo c z nt o { D I oo

2 | ou o | 3 D | I 0 | o | D oD o IT o

i o l C o, P 0 D

a F olno ot I l , o t o oo o1 oou | x o F o I o ou 0| 9ooo3 o l2, Dr o | x o

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*0 tal que qualquer que seja a partiode I de d imetro nfer ior a se tem, para t em cada um dost ; , ; * 1 J l l g ' ( t ) -g ' ( t ; *1l l


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Curvas e integrais de linham - ' l m - 1) , r r r 1 t , , . 1- r ( t ; ) l = I i l g l q ( t i +1 ) J - s t e ( t i ) l l li = 0 i = 0 o comprimentoda linha poligonal inscrita no caminho f quenos pontos f(t0),...,(tnr)e o lado direito o comprimentoda l inha poligonalg que passa os pontos g(q(to)),...,s(q(tm)) obtm-se ara osg , Lf < Ln. Analogamente,e S6o ara t no domnio de f , ento as unescomprimentode arco

1.3. Comprimento de curvas e de caminhos

Para cada curva seccionalmente egular recti ficvel no fechadarepresentaes annicas,dependendoda extremidade da curva a partir da qualcomprimentode arco. Por outro lado, se a curva fechada em infinitas reprcannicas: uaspara cadaponto da curva que se ome para extremidade.

1.4"Definio de integrais de linhaO integral de um campo escalar sobre uma curva r epresentada or gdefinido pelo integral do campo escalarconsideradosobre o int ervalo de vaparmetro, onderado elo factor de variaodo comprimentovarrido sobrearelao variaodo parmetro: S'9 = llg'll .

(I.18) Defnio: Se q um campoescalardefinido numa curva represum caminho seccionalmente C1 , g:l--+Fn, chama-se ntegral de linha de

para e parade forem

f +S; ( t ) l ' t ta

g coincidem em pontos correspondent es,.e., se os extremosda0para se J Conclu i -se ue g equG = g . 9 .

= f t "g ' t ta


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6

Proposio: Se : l -+Fn e g:J-+ff in so caminhos seccionalmente C1I i , p . t ; l t t ' t tJl

Como e g so equivalentes, xiste uma bijeco Cl y:l-+J tal que ry'(t)*0te e =g.V Tem-seento

l , {e ' r ) r ' t t

Curvas e integrais de linha

l"*=tambm esignar or J o ds ou lC *{*t ,...,xn) ds

importante assegurarque o int egral ass im definido seja independente daaramincaadoptada, esdeque se considerem epresentaes or caminhossto resulta da igualdade dos comprimentos de caminhos equivalentes

a Proposio 1.15).

Q.E.D.

Como se viu, uma curva seccionalment e egular rectificv el C admite duasannicas.Assim, quando a menoao caminho especfico g utilizado

ma curva seccionalmen teegular omitida no int egral l rp pode-seuma das representaesannicasde C ou, devido ao teoremaanterior,uma uma dessas epresentaesannicas.

Se q uma funo que d a densidadede massapor unidadede comprimento de umcom a configuraode uma curva CcF3 , define-se a massa total do filamento

t = lcda massa do filament o ento o ponto (x,V,Z), onde

M =lC x 9(x,y,z)s t t = t y < p ( x , y , z ) d s Z M = l a z e ( x , y , z )sde inrcia do filamento relativo a uma recta L

1.2f.Definio de integrais de l inhaonde (x,y,z)designa distncia o ponto (x,y,z) recta L .

A cargaelctrica de um fio condutor com a configurao de uma curva Chmbm ser calculadapelo integral de linha em relao ao comprimento de arcoque d a densidade e cargapor unidadede comprimento sobre C . O mesmo arelaoao clculo de qualquer grandeza scalarsobre C a partir da sua denunidadede comPrimento.

Interessaambmconsiderarntegraisde linha de camposvectoriais.Neorientao o campovectorial em relao curva em de ser omadaem contnaturalmente,da orientaodo campovectorial em rela o aos vectores angenem cadaponto. A contribuiopara o integral deve ser anto maior quantomacom vectores angentes curva estejao compo vectorial. E. portanto,naturacomprimento da projeco do campo ve,rtorial sobre a tangente curva em cadg:[a,b]-+Fn um caminho egularque representa ma curva C, o vecttangentea C no ponto x=g(t) e com o mesmo sentidodo percursodo camT(x) = T(S(t))= g'(t)/l lg'(t) l l para te (a,b) . A projeco de um camp definido em C e com valores em Fn sobrevectores angentes curva e comsentido que o sentido do percur so do ca minho g , para cada xe C , q(xInteressa,portanto, definir o integral de ao longo de g de forma a que, qua

de tnhq de q em retao ao comprimentode arco definido peto

J, , * "n) lg ' l r

l , ( q " g ) l l g ' t t

= J, e . s . v ) l g ' . y l ly ' l = | to .s ) l s ' l l contnua,se enhaI'on"-."=f ets r) l ' ( t ) t = I : ts t ) ld ih I rg t s t ) l . s ' ( t ) t(1.20)Definio: Seja g:l-+Fn um cominhoseccionalmente l que reprcurva C de Fn e I um campo vectorial definido ne cuI-va C e com valorChama-se ntegral de linha de t ao tongo do caminho g a

| l . - -J .dg= J , t tn t )1 . ' ( t ) tsemprequeo integral na direita ex ista.

Naturalmente, nteressaaveriguar at que ponto que o integral devectorialno dependeda representaoaramtricada curva.(1.21) Proposio: Sejam g1:l+ff in , 92,J--+ n caminhos seccionaleqUivalenes ue represenam m currya C e o,nsidere-se ma uno f:C*rf,. = l" 21x,y,2) (x,y,z) s


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8 Curvas e integrais de-linha

t ' .on Jj on l a r l d g 1 + . . + f n d g n .o caminho fechadoe vulgar usar-seo smbolo 4, "o' vez dea . No casode n=2 vulgar usar x=g1(t),y=g2(t) e designai o integral t t.On porf ldx+f2oy o, lc f1(x,y)dx+2(x,y)dy. nalogamente,paran=3 vulgar adoptarY=92(t), =g3(t) e escrevero inregralt t.on na forma I fl dx+f2dy+f3dzouf1 x , v , z ) d x + f 2x , y , z ) d+ s ( x , y , z ) d zo exemplo seguintemostra,como de esperarda definio, que os ntegraisde inhade dois caminhosque tm os mesmospontos nicial e final no so,em geral,Exemplo: consideram-se s caminhos91,92:[0,1]-+ff i2a isque 91(t)=( t , t )g2(t)=(t,t2) e o campovectorial t:F,2-->F,2 alque (x,y)=(1,x) Ento

.ds1 Jt t r , , t . t r , r l, ( 1+ t ) d t ;ze

| . ( 1 ' 1 ) . d s z = [ t , 1 . r ) . ( 1 , 2 t )t = | . t ( + 2 t 2 ) d t - 5J ( o , o ) ' J o - J g 3Apesardos caminhos 91 e 92 terem ambos (0,0) como ponto nicial e (1ponto inal (ver Figura 1.17), os ntegraisao ongo dos dois caminhos odifer

Note-seaindaque vulgar representar adaum dos ntegraisconsideradosespor, respectivamente, J"., "**ou " Icrdx+xdy importante observarque (x,y) usado nestas rmulas para ndicar um pontsobrea qual estdefinido o integral.em termosde uma representaoaramsubentendida. rata-sede ntegrais de inha e no lcito substitu -lospor integrcomoporexemplo. [1 ox + [1 xd v"0 '0

Uma das aplicaesmais requentes o integral de inha de camposvecclculo de trabalhode foras.Considere-se ma partculaque se move ao loncurva C sob a aco de um campo de foras | . Se a curva C parametricamentepor um caminho seccionalment e C1 , g , chama-se rafo ra ao longodocaminho a W=Jt .Og

(1.24)Exemplo: Trabalhode umafora consanteSe f constante om o valor ceFn em todosos pontose g:[a,b]-a=g(a) e b=g(b) (ver Figura 1.18)obtm-se ue o trabalhoda fora acaminho g w = [ r .os = f b c .s t ) t = " . [ o s ' ( t ) ta J aSe g seccionalmente 1 e a=x0


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Curvas e integrais de linhaw =Jt .os m" . n . , (s x)-e xp- J

W = c - ( b - a )Figura 1.18:Trabalhode fora constantenum deslocamento obre uma curva

No exemplo anterior, o trabalho dependeapenasdos pontos nicial e final e no docaminhoque os iga. Quando sto acontece iz-seque o campode foras conservativo. se viu no Exemplo (1.23) que sso nem sempreacontece.chama-se energia cintica de uma partcula de massa m num instante em que seove com uma velocidade v v 11 mu2 . o princpio do trabalho e energiao trabalhodo campode foras que causao movimento com a energiacintica noincio do movimento.

1.25)Proposio: Pnnc pio do Trabalhoe Energiase uma partcula de massa consta.ntem se move ao longo de um caminho gcz sob a aco de um campo de oras newtoniano I de tal forma que a posio da partcula no inslante t , ento o trabalho da fora I ao longo do igual diferenada energiacintcano im e no incio do movmenlo.Seja g:[a,b]-+ffin Ento a velocidadee a acelerao a partculanum instantea,b] so, espectivamente,g'(t) e g"(t) . A lei de Newtonl estabelece ma relaoa fora, a massae a acelerao a forma f[g(t)] = mS,,(t) Tem_seento para ode ao ongo do caminho gw =J r'os = Jj t'n(t)l 's'(t)t m s " ( t ) . 9 ' ( t ) t=lj f $ts' t , t .st) l t :^Jo ru'r,)r '0,v(t)=l lg '11;11 o valor escalarda velocidade o instante rC2 , existe uma partio finita de [a,b] definida

2 0 1.4. Definio de integrais de l inhaa=tg


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) ) Curvas e integrais de JinhaAlgumas das propriedades mportantes de conjuntos conexos so estudadasnoApndice 1.4, de forma a no quebrara continuidade a exposio elativa a integraisdelinha.

(1.27) Teorema fundamental do clculo para integrais de l inha:I) Se q um campo escalar continuamentediferencitvelnum conjunto abertoscFn.a,bes e g umcaminhoseccionalmene 1 comvaloresem s que emb como pontos nicial e inal, ento

[ o o* .on= e (b ) q(a)J 1 - / Y \ - ' '2) Se t um campo vectorial contnuo num conjunro abero conexo ScFn e ode ao longo de caminhosseccionalmenteC1 em S independente os e g:s-+ffi e tal que,plr){ t.dg, onde g um qualquer caminho

C1 em S de a a x, eno V


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2 4 Curvas e integrais de-linhaO trabalhoda fora gravitacional devida presenade uma massa M na origem aolongo da deslocao e uma partculade uma massa m de um ponto x1 para um pontox 2

onde 11 l lx l l l e r2=l lxr l l3. Princpio de conservao a energia mecrtica cam ponewtoniano)

Seja um campo de forasnewtonianoe contnuocom potencial g num conjuntoconexo aberto Scffin , W o trabalho de no deslocamentode uma partcula entre doispontosa e b aolongodeumcaminhoseccionalmente2 em s, g, deta l formaqueg(t) a posioda partculano instante t , e K(g(t)) a energia cinticada partculanoonto g(t) . Nestas condies habitual chamar energia potencial no ponto y aq(y) . Do Princpio do Trabalho e Energia sabe-se ue w=K(x)-K(a) e do teoremaundamentaldo clculo resul ta * = J: .dg =


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2 6 Curvas e integrais de linha( | .32) Teore ma: [Jma condio necesstiriapara que um campo :S-+Fn continuatnentediferencidvelnum conjunloaberto ScF,n eja um gradiante em S que sejafechado em S .Dem. Se =vtp , ento D;fj=D;Dja Como | C1 segue-se ue I C2 e, devidoao teoremade Schwarz, em derivadasmistasde 2uordem guais. Portanto, Difj=Djfi

Q.E,D.

O exemplo seguintemostra que nem todos os campos echadosso gradiantese,portanto, a condio necessria nterior no suficientepara que um campo C1 sejagradiantenum conjunto aberto S , mesmo que S sejaconexo.

1.6. Condies para um campo vectorial ser gradianteSe (r(x,y) ,e(x,y))e0,+-)x[0,2n) so as coordenadas o laresde

verifica-se verFigura .2l)(x,y) , . 2 . . . 2^ y

a c ta n7t2a c t a nTa c l a n

= {

I.ogo

pelo que VO=f- v ^ a 0*2*y2 y

u =S\{(x,y)efi2: y=6,

, s e x > 0 , y > 0, s e x = 0 , y > 0, s e x < 0, s e x = 0 , y < 0, s e x t 0 , y . 0x

* 2 * y 2x>0 ) (ver Figura

a,- r ,

{X

x

L + 2 nX(1.33) xemplo:SejaS-tr2yo] :S+ffi2 al/ -vf ( x , y ) = |\ x - + y -

queX

, 2 * y 2 ae=xno conjunto r.22nto

D 1 2 x,y)pelo que na origemoutro lado,

_ ^2*v2 -2 r2 _ v2-x2 n { / _ , , _ - ( *2*y2 \*zy2 _ v2-x2= 1r1 =$ \ y 2 )2 ' uz t 1 ( x 'Y ) $ , . y \ , =$ r . y r y um campo fechado em S . Considera-sea circunferncia de raio 1 e centrocom descrioparamricag:l},2nl-+F2 com g(O)=( os e, sen 0). Por

Jt .on= Jo'" - r"" 0,cos ) . ( -sen ,cos )d0zn =J ; ' ( s en2o c os 2e )de 2n + o

Logo, devido ao Teorema 1.29.3), t no um gradianteem S . Segue-se ue umcampo echadoem S que no um gradiantenesteconjunto. Figural.22:Conjwtos S e U (f no sradianteem

Apesar do exemplo anterior mostrar que a condio necessriapara um cserum gradianteestabelecida o Teorema 1.32) no ser,em geral,suficientequeo paraconjuntoscom propriedades eomtricas speciais.

ur{ x,U

) Definio: Dz-se que um conjunto ScFn um conjuntopeg tal que o segmentode recta cuios exrernossiio pem estrela

e qualqu

,:iiiil.'.'ii;':+iriiiiiie x,u }

Figura .2l: Grficosde r e o pontos de S est otalmentecontdo em S (ver Figura 1.23).


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8 Curvas e integrais de linha(1.35) Teoremat Seja SFI am conjunto aberto em estrela e f:S*rFn um campovectoriul de classe C1 . Ento t um gradiante em S se e s se fechad'aem S 'Dem. Do Teorema(1 32) se sabeque a condio no enunciad o necessria.Restaverificar que tambm suficiente.Assim, supe-se ue S um conjunto em estrelae quef um campo echadoem S . Sem perda de generalidade up e-se ue a origem dosistemade coordenadas st num ponto p com aspropriedadesda definio de conjuntoem estrela.O teorema undamental do clculo para n tegrais de linha sugereque se tomepara candidatoa potencialde f o campo escalardefinido em S por .p(x)=[ (tx).xdt .Para verificar se um gradiante,calculam-seas derivadasparciais de q e verifica-se seso iguais s componentesde . Aplicando a regra de Leibniz relativa troca dederivadascom integrais, obtm-se

1.6. Condies para um campo vectorial ser gradiantetopolgicas.Em particular,prova-sena seco .3 que estaequivalncia e vconjuntosabertos scF2 "sem buracos", i.e., para conjuntos simplesmenDiz-seque um subconjuntoScF2 simplesmente conexo se conexoe tfechadasimples contida em S fronteira de um conjunto limitado de H2contido em S (ver Figuta 1.24).

Figura 1.24: Conjuntosno simplesmente onexose conjunto simplesment*t t*ldx kComo f;/xt=ff/xi visto que

^ ( 'ft^ o t ( t x ) . x l = l ;dxk \ ' ^k( tx- t ^ 'I o* t

fu tt, 't. 't,campo echado, btm-se) t , . ) , . ' + 16( t x )

) { , r l , . r + f p ( t x ) t v r ( t x ) . x + f p ( t x )

rl I" 0 u m

f n, a dx k

t, 1 dX n

Com g(t)=fk(tx) segue-se ue,1 , - , = J ' t ,n t )+g( t ) l,= l ; I ts( t ) ] t= e(1) rk(x)

Portanto Vo=f .Q.E.D.

Figura 1.23:Conjuntoem estrela

A. caracenzao os conjuntos em que um campo ser echado equivalentea ser umgradiante uma nteressante uestoque pode ser resolvidaem termosde propriedades

5

.


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4pndice 1.A: Coniuntos conexos

Apndice 1.A: Conjuntos conexosNesteapndiceestudam-se lgumaspropriedades eraisdos conceito

introduzidosna Definio (l'26)'1 -tl ef iTeorema: Para subconiuntos e F,fr em-se:

I) Qualquerconiunto (onexopor arcos conexo- 2) Qualquerconiunlo abertoe conexo conexopor arcos-' 3) IJm conjuntopode ser conexo sem serconexopor arcos.

Dem. 1) Comea-sepor provar a afirrao para subconjuntosde F . Deviddo valor intermdio para funes contnuas, um subconjunto de F conexnecessariamentem intervalo | . Suponha-se ue | desconexo. nto lA e B so conjuntos disjuntos abertos relativamentea I e no-vazioconjunto finito de nmeros eais no aberto em relaoa um intervalo, A respectivamente,pontos a e b que no so extremos do intervalo | . Cuiao de todos os intervalos abertos ncludos em A e contendo a . Estintervalo aberto JcA majorado ou minorado por y e portanto tem supremcef f i , conformeab. Oponto c estentre e b, peloquepno um dos extremosdeste ntervalo. Como A aberto elativamenteao nno um dos extremos de | , se c pertencesse A teria de haver um intincludo em A e contendo c ; a unio deste ntervalo com J seria um intcontido em A e contendo a, e maior do que J, o que contraria a deconjunto. De forma anloga,se o ponto c pertencesse B teria de haveraberto ncludo em B e contendo c ; como nenhumponto de J poderiaumavez que A e B sodisjuntos,o ponto c no poderiaser o supremooJ , o que contrariaa definio de c . Em qualquercaso chegamosa umaLogo, o resultado vlido em F .

Suponha-se goraque S um conjunto arbitrrio conexopor arcosEnto S=Au,B, com A e B disjuntos abertos elativamente S. Seg:[a,b]-+S um caminho al que g(a)=a,g(b)=b,e C a curva descritaparapor g Consideram-se s dois conjuntosdo intervalo l=[a,b] l4={lg={tel :g(t )eB}. Ento l= lAulB e lgalg=Ai Oconjunto 14 aimageconjuntoA pelafuno g. Como g umafunocontnuacomvalore


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2 Curvas e integrais de linhaaberto relativamente a s , segue-seque 14 um conjunto abertoa | . De igual modo, conclui-se que lg um conjunto aberto elativamentel . Portanto, in tervalo | desconexo,oquecontradizaval idadedaafi rmaodo

para subconjuntos e F j estabelecida nteriormente, ois | conexoporSegue-se ue,se S conexopor arcos,enio conexo.2) A afirmao pode ser provada demonstrandoque qualquer conjunto aberto quearcos desconex o.Supe-se ue s um conjunto abertoque no Ento existem a,be s que no podem ser ligados por uma curvaem S . Designa-sepor u o conjunto dos pontosde S que podem ser igados aoa por arcoscontidosem s . Este conjunto contm o ponto a e, portanto,Como S aberto,para odo x U existeuma bola abertacontendo x e contida; como as bolas em Fn so convexas, odos os pontos desta bola podem sersegmentos e rectaa x , pelo que,se x pode ser igado por arcosao ponto, tambm todos os pontos da bola referida podem ser ligados ao ponto a por(verFigural.Al); portantou umconjuntoaberto.os\u tambm no-vazio,pois contm b . Nenhum ponto y de s\u pode serao ponto a por arcoscontidosem s . se existisse m sucesso e pontos x;.eupara y , para k suficientemente grande o ponto xk estariacontido numacentradaem y e contidaem s ; como asbolas em Bn so convexas,ose a poderiam ser igados por um arco contido em S obtido por concatenaoarco que iga a a x1 com o segmentode recta que iga xk a y, contrariando(ver Figura l.Al). portanto,no existe qualquersucesso e pontos de uparu y, pelo que h uma vizinhanade y contidaem s\u . Segue-se uetambm aberto.Como os conjuntos U e S\U so no-vazios,disiuntos eonclui-seque S desconexo.

fipndice 1.4: Conjuntos conexos3) Considere-se conjunto S=C1uC2 , onde C1 o segment

{(O,y) . f i2 : y l


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c ' { s }

6 Curvas e integrais de linha

Se c um segmentode recta de extremos a,beFn , a sua representaoo sentido de a para b da forma G(s)=a+s(b-a)/llb-all . Verifica_see G"(s)=O pelo que a curvaturade um segmento e recta nulaos pontos. Reciprocamente,se k(s)=l le',1s;11=gento por integraoG(s)=sas representa arametricamente m Segmento e recta.Convm observar que a curvatura num ponto de uma curva independentedaannicautilizada para a calcular. De facto, se H e G so epresentaesC2 de uma mesma curva rectificvel com sentidosopostos, ento se Lo comprimento dos caminhos H e G H(s)=e(L_s) , peloque= G"(L -s ) .Em pontos de uma curva com representao annica G onde a curvatura de zero pode-seconsideraro vector unitrio n(s)=G"(s)/l lG,,(s)l l Comoe m - s e2 G" (s ) .G ' ( s )( c ' ( s ) . c ' ( s ) ) '=r r c , l sy r r z ) '=,que n(s) um vector normal unitrio curva no ponto G(s) , conhecido porprincipal. Ao plano determinado pelos vectores angente unitrio G,(s) eunitrio n(s) chama-se rano osculador da curva no ponto G(s) (ver FiguraSe a curva consideradaest em ffi3 , em todos os pontos onde a curvatura ezetoovector b(s)=t(s)xn(s) uni tr ioeortogonalaoplanoosculadorem; conhecidopor vector binormal curva no ponto G(s) . A derivadade b

Apndice l.B: Teoria local de curvas

b ' ( s ) = t ' ( s ) x n s )

curva ao plano osculador com vari1 , b'(s) normal a b(s) . Por outro+ t ( s ) x n ' ( s ) = t ( s ) x n ' ( s )

normal a t(s) . Conclui-se que b (s) tambm ortogonal a t(s) e, pomltiplo de n(s) Estasobservaes ugerema definio seguinte.

Figura 1.82: Triedro de Frenet-Serrete plano osculador

{l:82) Deinio: Se G:l--+ffi3 uma represenla o annica C2 de uma curvh"1"1*o e se b(s) a binormal curvq no ponto G(s) , chama-se oro e1t) o t(s)e F a l que b '(s)=t (s)n(s) tacl observar que a toro permanece nvariante sob mudana de srepresentaoannica.A cadaponto G(s) de uma curva regular em F3 com representaoade classe C2 ficam associados s trs vectores unitrios ortogonais, t(s),Ao triedro formado por estes rs vectores chama-se riedr o de Frenetl-Seponto G(s) . Estesvectores elacionam-seentre si pelas rmulas

b= tx n n= b x t t = n x bAs derivadasdos rs vectores elacionam-se om osprprios vectorespelasequ

t ' = k nb ' = t nn ' = - k t - t b ,

mede a variao do afastamento dacomprimentode arco. Como l lb(s)l l=

I Frenet, eanFrdric 1S1 - 1900).z Serret, oseph lfred 1819-1885).

' { s }

Figura 1.8 1: Curvas com diferentescurvaturas

l) Definio: se G:l-+Fn uma representa o annicade uma curua c e c2 ,curvatura de C ern G(s) .


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8 Curvas e inlegrais de l inhaendoa ltima equao btida de

1 ' = ( b x t ) '= b ' x t + b x t ' = ( t n ) x t + b x ( k n ) = - t b - k t .conhecidaspor frmulas de Frenet-Serret, foram obtidas em

l82l e caacterizam o comportamento local da curva de forma intrnseca, isto ,de coordenadas onsideradopara o espaoque contm a

plano definido por t e b designadopor plano rectificador e o planopor n e b por plano normal da curva. Chama-seraio de curvatura daponto ao recproco da curvatura nesseponto, R=1/k . Por exemplo,se acircunfern ciade raio r centradana origem e contida no plano xy , uma

r s e n ( s / r ) , 0 ) ,q u e k ( s ) = l l G ( s ) l l = l l ( - ( 1 / r ) c o s ( s / r ) , - ( 1 / r ) s e n ( s / r ) , 0 ) l l 1 l r e ,da circunferncia constanteao ongo da curva e igual ao raio possv el estabelecer ue a curvatura e a toro descrevemcompletamenteoo ocal de uma curva regularem F3 . Mais precisamente, rova-seque,

diferenciveis k(s)>0 e t(s) definidas num intervalo aberto |, existecom uma representao annica G:l-+ffi3 tal que k(s) e c(s) so,curvatura e a toro da curva no ponto G(s) , e que, alm disso,duas curvas satisfazendoestascondies diferem por uma deslocaorgida;se G e G so representaes annicas de curvas com asndicadas, ento existem um vector c.ffi3e uma transformao inearU:ffi3-+ffi3cuja representaomatricial na base cannica em determinanteaisque Qs; = 9.61") + c . A demonstrao estes actos obtm-se acilmentes soluesdo sistemade equaes iferenciaisque definido pelas rsde Frenet-Serret. poss vel provar que essesistemade equaes iferenciais emcom base nos resultadosde existnciae unicidade de soluesde equaesque aparecemem quase odos os textos elementares a teoria de equaese a partir deste acto estabelecer existnciade curvascom este riedro de

Captulo 2Variedades diferenciais

2.L. lntroduoAs curvas egularessimplespodem ser vistas como deformaesde in

recta ffi e, como tal, so unidimensionais tm um "grau de liberdade"). Analog"superfcies"podem ser vistas como deformaesde subconjuntosdo planobidimensionais tm dois "grausde liberdade"). nteressageneralizar tornaideia geomtrica e curva e de "superfcie", onsiderandoambm situaes esuperiores. com este objectivo que se ntroduz o conceit o devariedadediferentem razesnos trabalhosde Gaussl. em 1827, e de Riemann2,em 1854.As diferenciaisde dimenso m so conjuntos que numa vizinhana de cadaupontosadmitem sistemas ocais de coordenadas artesianas m ffim que deposio dos pontos e a topologia nessavizinhana; assim, vulgar dizer-svariedadediferencial de dimenso m " localmentecomo Rm ".

Consideramos qui apenasvariedadesdiferenciais que so subconjunembora as variedades diferenciais possam ser definidas e estudadascgeneralidade,ndependentementee serem onsideradasomo subconjuntos eeuclideano, tal ser apropriadoem diversas ituaes, uer do mbito damatefsica, quer das suas apl icaes.Na verdade,a noo de variedadediferconsiderada orresponde noogeralde "variedade iferencialmergulhada3 m' Gauss, arlFriedrich 11'711855)." Riemann, emhard1326-1866).J Em nglsdiz-se mbedded.


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2 Variedades difernciaisdmite representaes aramtricas egulares simples definidas em intervalos abertos

Contudo, fcil verif icar que as semicircunf ernciasC1,2,C1,C4 a Figura 2.3vizinhanasde coordenadas uja unio S1 parametriz adas or, respectivamente,

9 t , 9 2 , 9 3 , 9 4 : ( - 1 , 1 ) - + f f i 2" o - s2(x )=(x , - {* I

paracada =1 2,9,4, tem-se Ci=S1^Ui com U;cF2 sendoos conjuntosy>0 }, U2={(x,y) : O }, U4={(x,y) : o } , que so v iz inhanas e coordenadasuj a 51 ( v e r F igu ra 2 .4 ) pa rametr i zadaspor 9 1 : ( 0 ,2 n ) + f r 2 erespect ivamente,om S;(e)=( os 0, sene) para i -1,2.

2.2. Definio de variedade diferencial

2. Astpeficie cirndrica Scffi3 de seco ectacircular de raio 1 e eixo coinco eixo dos zz em equao artesiana x2*y2=1 Com baseno exemplo anteser consideradas, ntre outras, vizinhanas de coordenadas aseadas m cocartesianas u em coordenadas ilndricas. Neste ltimo caso,podem consiv iz inhanas e coordenadasSt=S\{(r ,0,2)e 3 } e Sr=561(x,y,z)ef i3 :xunio S e que admitem parametrizaes 1:(0,2n)xffi-+F3e 92:(nl2,nl?respect ivamente,om 9;(e,z)=( os e, sene, z) paru i=1,2 (ver F igura2'verificar que as unes 9; so C- , injectivas e tm inversascontnuas,e qmatizes acobianas tm caracterstica 2 . Assim, a superfcie cilndrica variedade-2emF3.

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Figtra2.4: Possveis izinhanasde coordenadas ara a3. A superfcie sfrica S3-ffi4 de raio 1 e centro na.origem consisten(x1,x2,x3,x4)que satisfazema equaocartesiana Ii=1 *;2 =r . Os U , + = 1 1 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ef i 4 : x i t O e U ; - = { ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) e f i 4 : x i . Oi=1 2,3,4 , so conjuntos abertos que formam uma cobertura de 53V = { ( u , v , w ) e f f i 3 : 2 * v 2 * w 2 . 1 } , a s f u n e s g i + : V + F 4 e g ; - : V - Fi=1 2,3,4 tais que

,v )-y2s+ v)=(- {

g 1 + ( u , v , w 1 = 1 + {9 2 + ( u , v , w ) = t r , * {

1 - ( u 2 + v 2 + w 2 ; , u , v , w ; ,1 - ( u 2 + v 2 + w 2 ) , u , * ) ,

t -g 3 + ( u , v , w ; = 1 u , v , + t r- ( u 2 + v 2 + w 2 ) , * ) ,1 ( u , v , w ) = ( u , v ,

--\ \ \


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(D-

'o

6-

.D-=. sDo

()

o\ t PO


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6funo contnua e as imagens inversas de conjuntos abertos por uma funos abertos elativamenteao domnio da funo, segue-se ue

abertore lat ivamentea . Portanto,R aintersecodeSo abertode Fn . Conclui-seque existeuma vizinhana ucFn de a talR=MnU o grfico de f . Q.E.D.Antes de estabelecer resultado elativo descriode variedades iferenciaisporanalisarquando que conjuntosde nvel de funes soParaesteefeito, til definir ponto regulare valor regular de uma funo.

seja sc1n um conjunto beroe :s-+FP umalunode classe 1 .que x=s um ponto regular de I se a derivada '(x):Fn-+ffiP sobrejectiva): aumponlode s quenochama-se ponto crtico de t . Diz-se que um ponto yeFP um valorse o valordafun o t numponto crtico xe s; r/iz-seque yF,p untde i se no e um valor crtico de t (ver Figura 2.7).

* IFigura 2.7: Pontos rticose valores rticosde funode ffi2 em F

Proposio: se Scffin aberto, :s--+FP com p1 ento o subconjuntodo conjuntode nvel onde I loma o valor ceppf ( x ) = c e x u m p o n t o r e g u l a r d e f } , q u a n d o n a o - r o z t o , ,u , * odiferencal em F,n de dimenso n-p e crasse ck . Em particular, se c umde | , eno o conjuntod.envel t'111c11=1xe: f(x)=s l, quando no- uma variedadediferencial em F de dimenso n*p e classeQk

Variedades diferenciais 2.2, D"ft"io d" nuti"dud

Dem. Suponha-se ue o conjunto M" definido como no enunciado no-vaziopossvelse n>p , pois, caso contrrio,todos os pontos seriam crticos) e seaorno a um ponto regular de t , a der ivada ' (a) : f f in+FP sobre, portanto,a marizjacobiana Df(a) tem p colunas linearmente indepeReordenando s coordenadas, e necessrio, ode-sesupor que as ltimas p coDf(a) so linearmente ndependentes. epresentando s pontos de Fn poordenados x ,y ) com xeff in-P e ye f iP, e designando =(x ' ,Yg), seguejacobiano J (x ,y ) gro" t j j ' , r lsatisfaz Jt1x9,y9)+o Como Jt uma funo contnua,existe uma vizU,cffin de (xg.Vg) onde Jf+0 e, portanto, odosos pontosde uma tal vizinhpontos egulares e . O teoremada funo mplcita garanteque existeuma vizUcU, de (x0,y0) uma vizinhanaVcffin-P de xg e uma funo h:V-+ffiPdCk com h(xg)=yg ra i sque (x ,y ;= e6 (x ,y ) . U equ iva len teO resultado btm-se, nto'do Teorema 2'3)'

Sabe-se a proposioanteriorque se 0e fin-m um valor regular de umde c lassec k , F :S-+Fn-m, com scFn aber to , n t o r -11101 ;=1x ts : (uma variedadediferencial em Fn de dimenso m e classe CK; nestecasoaF(x)=q uma equaocartesianapa'iaa variedade.Nem sempre possvel oequaocartesianaglobal para toda uma variedade diferencial. Contudo, reproposioanterior e do Teorema(2.3) que uma variedadediferencial em ffin podserdescritaocalmentepor equaes artesianas, que atpode ser usadocomopartidaaltemativo para definio de variedadediferencial em Fn .(2.6)Teoremy (Jmconjunto no-vazio McFn uma variedaded'iferencialemdmenso m e de classe Ck , com k>1 , se e s se para cada aeM ex

o F:U-+Fn-mdeclasse Ck ta isque Oizinhana Ucffin de a e umafunum valor regularde F e tvl6u={xeU: F(x)=ODem. A suficinciada condioenunciada ara que M sejauma variedade ifefoi estabelecida a proposioanterior.Restaestabelecer necessidade.

Suponha-se ue McFn uma variedade iferencialem Fn de dimenclasseCk. Do Teorema 2.3)sabe-se ue paracada aeM existe UcFn aber, M.U o grfico de uma funo de classe CK definida num aberto VcFm

{ { * z )l:iir;+t (x r) i


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8 Variedades diferenciais ( x i t , . . . , " , r , , pa ra a lguma permutao ( i i , . . . , i n ) do m l t i p lo1 , . . . , n ) . funoF :U-+Fn-m a l que F (x )=(x in , ' , * . ,. . . , x i n ) _ ( x ; . ,. . . , x ; r )Ck e tal que x pertence o grfico de f se e sOs'F(x)=g Como F(a)=6F temcaracterst ica-m, poisassuascolunasn1*.,. . . , in oegue-se ue r-1 011+a, 0effin-m um valor regular dee MnU={xe U: F(x)=o . O.E.D.

Exemplos:esboadana Figura 2.2 e definida no texto junto a essa igura no umadiferencial. Na verdade,se osseuma variedadediferencial, paru cad,apontoda

uma vizinhana de coordenadas nde a poro da curva nessavizinhana deo grfico de uma funo de classe C1 definindo uma dascoordenadas moutra. No entanto, al impossvelparao ponto (0,0) : todasas vizinhanas(0,0) contm nfinitos pontos em cada um dos eixos coordenados ue pertencempelo quea poroda curva ncludaem qualquerdessas izinhanas o pode ser ode uma funo x=f(y) ou y=h(x) .

lm l : .1

2.2.Definio de variedade diferencial

variedade-2, visto que o grfico de uma funol ( x , Y ) = ( x 2 Y 2 ) 1 / 23. Consideram-se m F2 a hiprbole H de equaox2-y2=1 e a recta Lr dey= 'x , com mff i (verF igura 2.8).Eclaroquetanto H como Lt sovar ivisto que soconjuntosde nvel de camposescalares e classe c- definidos esempontoscrticos'

Por outro ado,para lml>1 o conjunto M=HuLm tambm uma variedafacto,dadoum ponto aeH existeuma vizinhanaque o cont m e no ntersecvice-versa, ado um ponto be L, existeuma vizinhanaque o contm e no H, peloque a porode M nessa izinhana uma variedade-1. e lml


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t Variedades diferenciais

Fgura2.12

A classificaode variedades-7 um problema bem mais complicado que ainda noresolvido e objecto de grande interesse em investigao corrente no mbito dade varedades de baixa dimenso". por exemplo, ainda no se resolveu a

2.2.Definio de variedade diferencialharn.da coniectara de Poincar que, no essencial, pergunta se Ltma varcompqcta, onexae sem "buracos" necessariameneomeomorfa uma esferaanto mais inrrigante quanto a questt io correspondent e ara dimensessupeesclarecidapela afinnativa (por StephenSmnlel para dimenses uperiores a 4 epor MichaelFreedmanz ara dmens1o em 98l).

2.3. Mudanas de sistemas de coordenadasApesarde na vizinhanade cadaponto de uma variedade iferencialde dim

poderem ser definidos infinitos sistemasde coordenadas, odos eles esto forelacionados ntresi. Esta situao ode esumir-se izendoque as parametrizade uma variedade o dnticasa menosde uma mudanade parmetro. usuaeste acto em termos da noo de difeomorfismo.

(2.10) Teorema'. Seiam MnUl e MaU2duas vizinhanas e coordenadasvar iedade-m McFn e g1:V1--+MnU1g2:V2--+MnlJ2 parametr izaeseU2, respectivamente, efinidas em abertos Y1 e Y2 de ffim . Se U=UpU rao no-vados, ento existe um difeomoffismo g entre coniuntos abertotqI'que g2=gloq em V=92-1(MnU) (ver Figura 2.13).Dem. Seja


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4 Variedades diferenciais 2.4. Yectores tangentes e vectores normais a variedades, e bvio que esta uno a funo nversadedifeomorfismo entre os conjuntos abertos S2-1 M.,U; e


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6 0 Variedades diferenciaistgeFm, o volume V(D1g,...,D,.ng)o paraleleppedom T"M. de arestasD1g,...,Dpg,pelo que natural adoptara definioseguinte.

D2u t6) + J

Figura 2.16: Correspondncia ntre ntervalos em E Mffi2 e paraleleppedos em T"M

(2.18) Definio: Seja McF,n uma variedade-m, Mal) uma vizinhana de coordenadase g uma porametrzaode Mnu . Define-seo volume (m-dimensional) de umsubconjunto S de MnU como sendo o valor da integrat mikiptol ' . v (D1e ( r ) , . . . , Dm g( t ) )t's - ' (s )

Chama-se omprimento ao volume-l e rea ao volume -2.

o produto interno em Fn induz em cada espao angente T"M de uma variedade-mem Fn um produto nterno, permitindo associaruma estruturaeuclidiana ocal variedadeM ' Designa-seeste produto interno definido pela restrio a T"M do produto interno def f i n p o r ( , ) a .Interessa aber calcular v(D1g(t),...,Dmg(t)) a partir da matriz mxn A cujasl inhas so as componentes os vectores D1g(t),...,Drg(t) na basecannicade ffinSabe-seda tgebra Linear que, se B uma maftiz cujas linhas so as componentesdaquelesvectoresnuma base ortonormal de T"M em relaoao produto interno indicado,ento V(D1g(t),...,Dn9(t))=ldetl . Designa-se or e a marriz de mudanada basecannicade Fn para uma baseortonormal de ffin cujos primeiros m vectores soosvectoresdabasede "M usadanadefin iode . Ento,amatr izcujasl inhassoas componentes os vectores D1g(t),...,Dn.',g(t)a segunda asede Fn considrada a mariz tBlol que se obtm de B acrescentando-lhe n-m colunas nulas.

o 1 u ( t g l a x

Estrutura mtrica de variedades diferenciais

,peloque [Blo1t=q-1^1 como as colunas e Q so ortonormais, Q- l' ' r i=$,011r,61t=1noy1o-14t;=44t. Portanto, 16s1 l=(det B2)1t2- loet nR( 2 . 1 g ) v ( D 1 s ( t ) , " ' , D m s ( t ) ) l d e t A A t ; 1 / 2NOte-se que a maiz AA a mat\z dos produtos internos dos vD1s(r), . . . ,Dms(t),ais recisamente,nt=[Dig(t) '?,t ,1 l= ' frequti l observar ue no cas o rT=-1 vector u=I i=f (-1) '* r det A1e; ' oamatrizque se obtm de A suprimindo a coluna i e (e1,...,en)desig

ica de Fn, ortogonal Tgl t ;M e tem norma gual a V(D1g(t) ," 'pa r t i cu la r , o caso m=2 e r = 3 , V(D1g( t ) ,D29( t ) )= lD lg ( t )xD2

u pode ser obtido calculando formalmente o "determinante" da marizira linha formadapelos vectoresda basecannicade Fn , sendo asoutras

de cadaum dos vectores D19(t),...,Dn-t9(t) a basecannica e

.20)Exemplos: Consideram-se s vectoresde ffi4 seguintes:= ( 1 , i , 0 , 1 ) , v + = ( 0 , 0 , 1 ,v t = ( 0 , 1 , 2 ' o ) v 2 = ( , 0 , 2 , 0 ) v 3

V ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) | l - e.",1:illV ( v 1 , v 2 , v 3 ) - l l r i i r l - r ; i+1 etA; ; il

e 1 e 20 11 01 1

e 3 e 42 02 00 1

( l v 1 . v 1 v ' t ' v 2 l t "V ( v 1 v 2 )= [ o e t L u r . u . , , 2 . r 2 ) )

= l l 2 e 1 + 2 e 2 + ( - 1 ) e 3 + o e 4 l = r / = g

r=

r f 5 4 1 1 1 1 2= l d e t l l =\ 1 4 5 _ t . ) r /e=


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Variedades difereniaisE possvel exprimir o produto nterno ( , )a em termos de oordenadas m relaoD1g,. . . ,DrS)de T"M. Na verdade, endo (u1,. . . ,u , .n) ,v1 .. . ,v,n) s coorde-de, respectivamente, u,v TaM em relao base ndicada, verifica- se

( u , v ) a - I n i j u i v j ,r , Jg;1= o as componentes do produto interno < , )a em coordena-na base (D1g,...,DmS) Devido simetriado produto nterno g;1=g1;. odesignar E=911, F=g1Z=g21 G=g22.

O interessedo produto interno considerado em T"M resulta de permitir tratarmtricas na variedade sem outra referncia ao espao em que a variedade est

Assim:1) o comprimento da curva representada arametricamentepor um caminho regular| t -L o = J , l o ' l l = J f 1 < c r ' , c r ' ) o

coordenadas ocais.."=l{ I ; i o ' o,

L o =2) o ngulo 0 segundo o qual dois caminhos regulares simples a,B:l-+M senum ponto a=o(sg)=F(sg) obtm-sede

c o s 0 = < o ( ' ( s 0 ) , 8 ' ( s 0 ) > a_ < o ' ( s 0 ) , p ' ( s o ) > al l o ' ( s e ) l l l l p ' ( s o ) l t = 1 . ' 1 ,no caso m=2 , o ngulo


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Variedades diferenciais

da2 :da semiesfera e raio R em ffi3 4={(x,y,z)e ,3:x2*y2*22=R2, >Ofuno f:C-+ff i , com f(x,y)=(R2-x2-y2)112, nde C o crculox2*y2.R2 1 Resulta do Exemplo (2.21) que a rea da superfcie

rea(A)[ { ("rJL"rr'. dv L J}7o- our drdo=z*a1-tl-a+zy;N=znn2;'lJ Rl -" l R z rz

quea reade ma superfcie sfrica e raio R em ffi3 4nR2, confirmandoobtido no exemplo anterior.

de um toro bidimensionalT2cF3 (ver Figura 2.20) uma variedade-2 uecom trs vizinhanas de coordenadas om parametrizaes- > 6 , s z : (n ,n )2 - + * 3 e g3 ' . (n l2 ,3n l2 )2 - F 3 dadaspor 9 i (0 ,


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7 0 Variedades diferenciaiscontidas a catenide om, respectivamente, e u constante a pafie da helicideno eixodos zz transformadana circunfernciaque a interseco a catenidecom o plano xy ).

Figtra 2.22E tambmconsequncia a Proposio 2.24) que existeuma isometria ocal de Cpara H em todos os pontosda vizinhana de coordenadas orrespondente o


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\ N

x- I

I l l" lo l JF o t- | .a B(D o u (D - t (D (D - (D o C (D .+ (Dt

( 0 rD (D 0 tD ( J

) tJ x( O

O


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4 Variedades diferenciaisConsidera-se projecoestereogrfica efinida da superfcieesfrica S2-F3 comcartesiana x2+y2+(z-1)2=1 parao plano xy de F3 pela funo f queponto x*(0,0,2) de s2 no ponto de intersecodo plano xy com aque passapor (0,0,2) e x (ver Figura 2.A4). Designando o plano xy por p ,ue :S2-+P uma funo entre variedadesdiferenciais de dimenso 2 que. Esta funo bi ject iva e a sua inversaS 2 V ( O , O , Z ) ) a t i s f a z - 1 ( u , v , O ) =4 u , 4 v , 2 ( u 2 * r 2 , 1 1t 1 u 2 * u 2 * 4 ) p a r a

e >0, a funo cr:(-,)-+p al que a(0)=2a6y satisfaz 6;(O)=qpelo que a derivadade f-l em a=(a1 aZ,O) para v=(v1,v2,0) (ver

f t t r -1o(e)16=so [ ( + t a t+ 0 v 1 , 4 ( a 2 +v2 ) , 2 ( a 1 + e v) 2 2 ( a 2 + e vr y 2 , 1 lIt L (a1 ov1 2+(a2+ov2)2+ Je=o4 ( v 1 , v , a1 1+a2 v2 )@ 2 +a2 2+4 ) - 4 2 a1 , 2 a ,a1 2 u2 2 a1 1+a2 v2 )

G@22 2+4)v 1 -8a1a2v -8a1a2v1 ,1 (a1 1+a2v2) )

Figura 2.A4: Deivada da nversada projecoestereogrficaPor exemplo,o equador E={(x,y,i): x2+y2=1 de 52 transformadopor na(E)={(u,v,0)'. 2+v2=4} que separao crculo que a imagem doinferior do resto do plano que imagem do hemisfrio superior. Considerandodestacircunferncia a=(a1,a2,0)e(E) e o vector unitrio v=(a1,a2,e)12

Apndice 2.A: Derivadas de funes entre variedades diferenciaisdirigido da origem paa a, obtm-se a expresso alculada cima d-1"v=(portanto,a derivada de -1:P--+Snum ponto a, imagem de um ponto no eqS, calculadanum vector unitrio dirigido da origem pffa a um vector unitriodirigido no sentido'positivo do eixo dos zz (ver Figura2.A4).

Apndice 2.8: Teoria local de variedades diferenciais em nEste apndiceno necessriopara a continuaoda linha central de e

adoptadaneste texto. No entanto, oportuno neste ponto referir alguns aspgeomeffiadiferencial clssicade variedadesem ffi3 , relativa a propriedades ocais

A teoria local de variedades-1em F3 associada s noes de compcurvaturae toro,e ao triedro de Frenet-Senetj oi referida no Apndice 1.8.agoraconsiderara teoria local de variedades-2 m F3 .

A partir da mtrica riemanniana de M fica definida uma forma quadrticaI " { v ) = < v , v > a = l l v l l ?

1) Defnio: Chama-seprimeira forma fundamental de uma variedadponto aeW formaquadrttica l^ defunidaem T^M pela rmula preceden

Note-se que a mtrica riemannianafundamental, omose pode exprimir em termos da primeir

( u , v ) a = ( t " ( u + v ) - I " { u - " ) )Em termosde coordenadasocais na base (D1g,D2g) de T"M calculadantg=g-11a;, o valor da primeira forma fundamentalnum vector veT"M de coo(x,y) na baseconsiderada dadopor

f"{v; =


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Variedades difer.enciaisuma medida do desvio da variedadeem relao ao seu plano tangentenum

Isto equivale a medir a variao de vectores unitirios normais variedade numades eponto.

Dada uma parametrizaode uma vizinhana de coordenadas de uma variedade-2, g:V-+F3 com VcF2 aberto,em cadaponto x da vizinhana de coordenadas

onsiderarum vector normal unitrio associado g definido por2) n ( x ) = D 1 9 x D 2 9 ( s -1 ( r ) ) para xe g (V )l l D 1 9 x D 2 9 l l

n:g(V)-+F3 assimdefinida de classe C1 .Apesarde em cadavizinhana de coordenadasicar definido da maneira ndicada um

vectorial C1 de vectores normais unitrios, nem sempre possveldefinir umvectorial contnuo de vectores normais unitrios globalmente em toda uma

Por exemplo, al no possvelparaa banda de Mbius (ver Figura 2.Bl)colando os a dos de uma fita rectangularapsmeia toro.Na verdade,definindo um

unitrios sobre a curva a meio da fita a partir dode colagem, apsuma volta inteira num dos sentidoso campo teria valor igual ao

considerada inicialmente nesse segmento, o que contradiz ade o campo sercontnuo em toda a banda de Mbius.

Figura 2.81: Bandade MbiusQuando uma variedade-2 McF3 tal que existeum campo contnuo de vectoresunitrios n:M+ffi3 , diz-se que a variedade orientvel e que o campo n orientao de M . A orientabilidade claramenteuma propriedade global quea considerao a variedade omo um todo; por exemplo,uma bandade Mcjbius orientvel,mas odasas variedades-2 m F3 soorientveis ocalmente.Uma orientao n de uma variedade-2 Mcffi3 induz uma orientaoem cadaespaoT"M , com aeM . As orientaes e um espao inearpodem ser ndicadasporrdenadas. ssim, define-se orientao e T"M induzidapela orientaon de Muma baseordenada (v1 v2) de T.M tal que o produto misto vlxv2.n positivo.

Apndice 2.8: Teoria local de t.tt"dadet dtf""

claro que uma variedade-2orientvel com orientao n tem exactamenorientaes ossveis:+n e -n .

esfricaunitria bidimensionalem n3, S2={(x,y,z)eF3: x2+y2iiverFigura .81).

n_---+

i2.83) Definio: Seja McF3 uma variedade-2orientdvel com uma orie'*r,nn-nt Chamale aplicao de Gaussde M funo n:M--+S'o, o *o*o

Figura 2.82: APlicaode Gauss

Visto que para uma variedade-Zorientvel M com orientao n:M-+ffiS paeM osespaosT"M e Tn(")S2 soambossubespaoslinearesde3 dedimortogonaisa n(a) , concLui-se ue T"M=Tn(a;S2 Como a aplicaodediferencivel, a derivada dn" em cadaponto aeM uma transformao inearem T"M . Esta derivada quantifica o afastamentode n em relao a n(a) em tvizinhana de coordenadas e M em tolo de a , o que equivale a quantificar o dsuperfcie em relaoao plano tangenteem a em toda a vizinhana de coordenadcurvas,estepapel desempenhado m cada ponto por um escalar(a curvatuvariedades-2 desempenhado ela transformao inear que a derivada da apliGauss.

Assim como a primeira forma fundamental uma forma quadrticaque d amtricade uma variedade,nteressa onsideraruma outra associada estruturvariedade ue pode serdefinida com basena aplicaode Gauss.De facto, se guma parametr zao deuma vizinhana de coordenadas e M contendoo pontocampo de vectoresnormais unitrios definidos nessavizinhana de coordenfrmula (2.82), N=nog e =(Ff P2):(-,)+V com >0 um caminhoemF(0)= tO=g-1 (a ) o = g " p , ve r i f i ca -sed '0)='"i'^:,1;iJ:;, ' ; ::,

"; (o)=N' ere


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0 Variedades diferenciaisDefinio: Diz-se que uma uno definida numa variedade diferencial e comem FN, tr:V-FN, umameri ito se di[erencivele a sua derivaclq

injectvaem odos os pontos aeM. Diz-se que uma varedadeM pode ser mersa ern ffiN se existe uma imerso h:M-+ffiN e diz-se,ento,imersa ern FN .

tJmmergalho tuma imerso h:M-+ FN qu e , tambm, um homeomorfismode l,/i. Diz-seque umt variedadedfurenciat M pode sermergulhad.a em FN s"um mergulho h:M-+FN , e diz-se, eno, que h(M) uma variedqdem FN .

um importante eoremade whitney, estabelecido m 1936, garanteque qualquerde dimenso n pode ser mergulhadaem p2n+1 e, at, que oa variedade mergulhadaseja C- . Embora haja variedadesdeser mergulhadasem FN com N inferior a 2n+1 (mas >n ) ,tal possvel; por exemplo, existem variedades-2 que no podem serm F3.

ntegraisscalaresde' camposem variedades

IntroduoAlm de ntegrais sobre inhas, nteressaconsiderar ntegrais sobresuperfcie

L, obre variedadesem ffin . Nestecaptulo estende-se noo de ntegral definse entendepor integral de um campo escalarem subconjuntosde uma var

ial em Fn .

Integrais em vizinhanas de coordenadasNa seco 2.5 viu-se que s e g uma paramerizaode uma vizinhan

as MnU de uma variedade-mMcffin, o volume (m-dimensional)dunto S de MnU dado pelo ntegral mltiplo

v o l u m e ( S ) =| . v ( D 1 g ( t ) , . . . , D r s ( t ) ) d t"s - ' (s )em analogia com a situa ode mudanade variveis de integrao em inte com a definio de integral de linha de campos escalares, natural adoseguinte.


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2 Integrais de campos escalares em variedadesSeja M uma variedade-mem F,n, MnU uma sua vzinhanadeg uma parametrizao de MaU. Se ScMnU e uma uno definidaS e com valores em F,, chama-se ntegral de t em S a

Jr , = Jn-r tsyr ts l t l l(Dr ( t ) , . . Dm (t ) ) t ,que o integral mhplo no lado direito exista.Diz-se que S mensurvelt se oIr1 existe,no sentido anerior, e chama-semedida-m2 ou volume-mde S= rt . Para o integral de em S tambmse usamqs notaes

J t ov, , Jrr(x) V, x) J r ov , J, (x) v(x)caso n=3, m=2 tambmse escreve a t os e j, t1x,y,z) dvz.Como para cada conjunto ScM contido numa vizinhanade coordenadas e M considerar uma infinidade de parametrizaes, nteressaverificar que o integral

i, t nao se altera com mudanasde sistemasde coordenadas.

Teorema: Sejamg1:V1-+MnU e 92:V2-+MnU duas parametrizaes e umavizinhana de coordenadas MnU de uma variedade-m McFn e seja= g-1o g2 . Ento.

V I D 1 9 2 ( t ) , . D m s 2 ( r ) ] = V l D 1 9 t ( q ( t ) ) , . . . , D m s r ( e ( t ) ) l I J < p ( r ) .lev2, onde J


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94 Integrais de campos escalares em variedades3. Se g:s-+ffi uma funo c1 definida num conjunto aberto scffim , o seu grficoM={(t,


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8 Integrais de campos escalares em variedadespode sergeneralizado ara ntegrais mltiplos em subconjuntos imitados decuja fronteira uma variedade-(n- 1, no sentidoda definioseguinte.

D

Figura 3.4: Conjuntosque no sodomnios regularesPara o teorema undamental do clculo convm uma outra descriodos domniosque pe a nfaseno facto de, ocalmente na vizinhana de cada ponto fronteiro,conjuntosabertos imitados por uma variedade-1m-1)compactaue s tm pontosum dos adosda fronteira.

+(x) = g

DDFigura 3.3: Domnios regularesDefnio: Diz-se que um cortjunto qberto DcFn y' um domnio regular (verse D uma variedade-(n-1) ompactae D= .A definio anterior elimina conjuntoscomo os esboados a Figura 3.4.

Figura3.5: Domnio regular l iga x a y emdoiscasos:

3.4. Teorema fundamental do clculo para integrais mltiplosDcF,n limitado e aberto um domnio reguxgeD existeuma vizinhana U de xg e um

VO(X)+O ara xel) ei DnU= {xeU: o(x) = I }ii Dr-,U {xe U: O(x) < 0 }Dem.1) Suficincia:Suponha-se ue DcFn um conjunto imitad o e aberto al que pxgeffin existeumavizinhanaU de xg eumafuno @:U-+ffi declasse Clpropriedades o enunciado. chro que D satisfaz ocalmente,na vizinhana dedosseus ontos,equaes artesia nas o tipo (x)=0, com D(D de caracterstque D uma variedade-(m-1). omo D limitado, D compacto.Visto qvizinhana U de cada xge D se em 3pg[J={xe U: o(x)=0} e DrU={x Uverifica-seDnU=. Conclui-seque D um domnio regular.2) Necessidade:Suponha-se ue D um domnio regular. Como D um compacto, egue-se ue D limitado. Visto que D uma variedade-(m -1),ona vizinhana de cada ponto x0 D o grfico d e uma funo escalar Cl qucomponente e x=(x1,...,xn)e D como funo dasrestantesn-1 componereordenao das compo nentes, se necessrio, pode-se supor que xn fu(x1,. . . ,xn-1). Mais precisamente, ode-sesupor que existem ntervaloVcBn-l s l=(a,b)cffi e uma funode classe C1 h:V-+ffi tais que xgeV

{ x e V x l : x e a D = { x = ( x 1 , . . . . x n ) :n = h ( x 1 , . . . , x n _ 1 )o m ( x 1 , . . . , x nAssim, o grfico de h a parte da fronteira de D que est contida na vizinhanx0. Considere-se m intervalo imi tado e fechado de Fn- l , WcV,xge( in t W)x l e se ja M=max{h ( i ) : i eW } e m=min { h ( i ) : i e W } . Dg : ( i n tW)x l -+ f f i ta l que q (x )=xn-h (x1 , . . . ,xn -1 ) , = {xe ( in tW)x l : a -m


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t o2 Integrais de campos escalares em variqdadesapontar a necessidade e demonstrareste esultado, anteriormente omndo como evidente,foi Camitte Jordan. Ele prprio e outros matemticospublica.ram "demonstraes,,incompleasna parte J'ina do sculo XIX, mas a primeira d.emonstrao ue se consideracompleta oi apresentadaem 1905 or Oswald Veblent

Figura 3.8: Curva de Jordane conjunto limitado pela curvaNa fronteira de um domnio regular possveldefinir uma normal exterior unitria.

3.f 0) Definio: seTa Dc1,n um conjunto cuja fronteira uma variedade-(n-1).um vector n uma normnl exterior frontera de D num pontu x se n ao espqo angente variedadeD no ponlo x e existe >o, al que x+tneD

.Iet-,01 e x l tne F,n\D para te 0,) (ver F igura 3.9) . Chama-se ormalunitrin fronteira de D em x a uma normal exterior fronreira de D nox com notrna gual a1: quandoexiste nicae designa-se or vD(xl ou v(x)

Figura 3.9:Normal exterior unitiria na fronteira de um domnio regularVeblen, swald 1880-960)

(a) Figura3.10 (b )

3.4. Teorema fundamental do clculo para integrais mrltiplos

i .tt) teo.ema: Se DcHn y' um domnio regular' entdopara cada xeDuTror*olexteriorunitdria v(x) e v umafunocontnuade D em F,n.Dem. Como D um domnio regular, para ada e D existe uma vizinhanx e uma funo :U-+ff i de classeC1 e com VO(x)+o para xeU, 396u={xeU: o (x )=O e DnU={xeU:


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Integrais de campos escalares em variedadesvariedades Mi que define a orientao dessas

nduzidapela parametrizao g. Entoro t (xo1n(xs) lT_"2(r , l l u r , r .dp i

Bi so caminhos regulares simples que representam os bordos Mi com aconsislente om a orienao das variedades Mi definida por n.forma anlogaao ema delocalizao 3.15) prova-seque

ro t (xs) n(xe) lT-%o^J r , ,o , . ndV2que a funo ntegranda contnua. O resultad o segue-se a Proposio 3.26).

Q.E.D.

Observaes:jaM..dBi dd a circulao do carnpo vectorial ao longo do

echado Mi. Estadesignao em origem na situao sica do movimentoJtuictoem que t o campo de velocidadesdo luido. Portantorot (xs) n(xs) ly-rrri" t lur, ,o, . ndV2 com M;l-+o.

medida r)acirculao de I ao longo de caminhosechadosdelimtandoporesdeontendo xg, convergindopara esleponto e normais em xg ao vecor, avaliada por unidadede trea das pores de variedade.Fica. assim.usrificado o"rolacional".

de um campo vectorial em F,3 foi definido em tennos de derivadasdas componentesde I e, portanto, a, u*n for*o d"p"ndente do sistema cle

Figura .16

3.5. Fluxos de campos vectoriais em F3

coord.enadas doptado.A proposio anterior mostra que se t de classe C1pnlo xO, ento rot (xg) independentedo sistema de coordenadas'

Interessa gora ormular o teorema undamentaldo clculo para variedadesffi3 . para sso necessrio sclarecero que que se entende,em geral, pela orientabordo de uma variedade-2 onsistente om a orientao a variedade.Seja McF3 variedade-2orientvel, AcM um domnio regular e n:M+F3 um campo de nounitriasque define uma orientaode M . Para cadavizinhanade coordenadasu podem-seconsiderarparametrizaes g que induzem a orientaodefinida por n .vizinhana de coordenadasntersectao bordo de A , g-1 AAU) uma curva resimplesque s tem pontos d" g-1(A) para um dos ados(ver Figura 3.17). Se crcaminhoregular simplesque parametriza g-1(annU) com o sentidopositivocontrrioao dosponteirosdo relgio)em relaoa g-1(A) ento p=go* um camregular simplesque parametrizaapatte do bordo de A na vizinhanade coordeconsiderada , portanto,defineuma orientaodessaparte do bordo. Se considertodas as possveis paramerizaes e vizinhanas de cooidenadasde M que induorientaodefinida por n verifica-seque as orientaesde poresde A definidasfoi indicado so compatveisentre s\, i.e.,na vizinhanade qualquer dos pontos dobtm-sea mesmaorientaodestavariedade. Esta orientaodo bordo de A conhpor orientao de aA consistente com a orientao de A definida poGeometricamente, rata-Seda orientao que corresponde ao sentido em quobservador o lado de A para onde apontamas normais dadaspor n v o borpercorridono sentidocontrrioao dos ponteirosdo relgio,ou seja,v o domnioficar esquerda o caminhoque epresenta A (ver Figura 3'17)'

s-

Figura3.17

S- 1{*,-, 'U}


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124 lntegrais de campos escalares em variedadesDem. Para comearsupe-se ue S um conjunto compacto.Ento existe um asubcobertura inita {U1,...,U5} de S . Basta construir uma partioda unidadesubordinadaa esta cobertura.Procura-se ncontrarconjuntos compactos K;cU; cujosinteriores ubram S . O conjunto C1=SVU2u...uU5)cU1 compacto U1 aberto,elo que existe um compacto K1 tal que Clcint K1 K1 U, . Analogamente,para oonjunto compactoCZ=S\[ nt K1 u U3 u ... u Up Jc U, existeum compacto K2 ta lue C2cint K2, K2cU2, e, procedendo sucessivamentede forma anloga,onsideram-se onjuntos compactos Ci = S\[( j ., 'n, Kj ) u ( ,1ri Ui )] c U; e K;ais que C;cint K;, K;cU; (ver F igura 3.Al ) . Do lema que se segue a esrao, abe-se ue paracadaum dos conjuntoscompactos K; existeuma funoy;:ffin-->ffi+ com suportecontendo K; e contido em U; . Resulta que existe umaberto U:S onde ),y;>0 . Definem-se em U as funes gi= Vi/IiV i .:U-+[0,1] uma funo C- igual a 1 em S e nula fora de um conjuntocontido em U , obtm-se ue O={f91,...,fqru} uma partioda unidadeem S coberturadada.

Supe-se goraque S uma unio numervelde conjuntos ompactosS=u- ',Skc int S1*1 (ver Figura3.A2). Cadaconjunto Bk=Sk\int t_t compacto,de conjuntos abertos fL={un(int s1*1\s1_2): uef | uma cobertura aberta81 . J ficou provado que existe uma partio da unidade finita em 81 subordinadaf f . Consi r lera-seafunodefin idaem por o=%.(Dr- .kefNg, emqueasomanum aberto contendo qualquer ponto xe S , pois t *e S1 , ento g(x)=Oi+2 . Paracada g pertencente qualquerdas partiesda unidadedefine-se g-=rplo . Ento {g.: g


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t2 6 Integrais de campos escalares em variedades

Figura 3.45(3.A4) Lema: Sela UcFn um conjunlo aberto, Kct J um conjunto compa(to e F umconjuntofechadocom K c int F cFc U (ver Figura 3.A4). Ento existe mafunoC* tp:ffin-+10,11 comvalotr 1 em K e suporte contido em F .Dem. Comea-sepor construir funes C- cujos suportescontm um intervalo abertocentrado m qualquer onto a=(a1,. . . ,an), g(a)=(a1-e,a1+e)x.. .x(an-e,an+),oms>0 .

Supe-se n=1 . Obser va-seprimeiro que a funo definida em F porf " - , t * ' , se x+ot t " ) = o , s e x = o C- , anula-sea origem positiva m odos soutros ontosverFigura .A5).Emparticular,

- 1 1 x 211x2f ' ( 0 ) = l i m 9 = l i mx-+o x x-+o " 1 / x 2 z / x g )l4 = r i ,.1 lxa x-> O

- l i mx-+0 - n, " 1 l x 2Analogamente,pode-seprovar por induo que t0)10;=q Ento, a funo definidaem F por

s(x) , s e x e ( - 1 , 1 ), s e x ( - 1 , 1 )

C- e tem por suporteo intervalo [-1 ] (ver Figura 3.45). Segue-se ue a funoh(x)=g((x-a)/) C- e tem por suporteo intervalo [a-e,a+e]Considera-segora n arbitrro.Define-se m cadaponto x=(x1,...xn)de Fna funo

h(x) n , *L " t n m\ , i \ e )Esta uno C- e o seusuporte o fecho d" ., .Sejam K,F,U conjuntosarbitririoscom as propriedades ndicadasno enunciado.Cobre-se K por intervalos abertoscentradosem pontos de K cujos fechos estejam

( ^ - t t 1 ^ - 1 ) 2- 1 ( x + 1 ) 2l e e- l L O

- 1 (x+1)2Apndice 3.4: Parties da unidadecontidosem F (ver Figura 3.46). Como K compacto,existeuma subcober{ 1 1 , . . . 1 p } .oque j fo ip rovadosabe-sequeparacada in te rva lo1 ex i s teumhi definidaem Fn, C* com suportegual ao feo de l1 ResultaqueOef in iOaem n por k= : ;=1h j emsupor te igua lao fechode j=1 l i cF '

Restamodificar a funo k de forma a que enhavaloresno intervalo [0igtala 1 em K. Comoafuno k contnuanoconjuntocompactoK, oteWeierstrassgaraie que tem um mnimo m nesseconjunto. Uma vez que K estno interior do suportede k resultaque m>0 . Viu-se na parte nicial destademque qualquer que seja o intervalo [a-e,a+e] existe uma funo h definidque C- e cujo suporte esse ntervalo.Em particular,existe uma funo tem F que c- e cujo suporte o intervalo [o,m]

. Ento, a funo defs(x)=(Ji t l l1 j I t ) e C*, tem valores o ntervalo 0,1], anula-se m (tem o valor 1 em [m,+-) . Resultaque a funo q=3"k satisfaz as proprieenunciado.

Figura .A6


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2 Aplicaes do teorema da diverg&rciqH ( s , a ) = H ( s , b ) a r a s e 0 , 1 ] e H ( 1 , t ) = 9 1 ( t ) , ( o , t ) = g g ( t )p a r a e a , b ]ue

l u * to .+Qdt J t .on . , J t .onoH=,o toH).H ( "H) #s s Atu^?,otoH)+ -t ( "H)3#t a t s

satisfaz a condio de igualdade de derivadas cruzadas,a matrizDfsimtrica e, portanto, quaisquerque sejam os vectoresu,v de F2 1DoH;u.v=, o que garante que os primeiros termos das duas frmulas anterioressocomo H de classe c2, verifica-sea igualdadedas derivadasobtm-se, portanto, Q/s=p/tem R e, em

Jr.on, Jr.ono _(f H) dtds o,I tJ t .osr = J f .dso

Q.E.D.O resultadoanterior pode ser usadocomo basepara provar um resultado dnticohomotopias, custa de aproximar os caminhoshomotpicos e a homotopiacaminhos homotpicos- c2e por uma homotopiade classe 2 . Lpossibilidade de

funes contnuas por funes com derivadas contnuas de ordemelevada garantida por uma tcnica geral de regularizao de utilidadecircunstncias ue descritano Apndice 4.A. Aplicando esta cnicapode-sea generalizao a Proposio (4.3) para caminhos fechados seccionalmentehomotpicos.

Teorema: se :s-+ffin um campo vectorial echado num conjunto abero scffin,integrais de tinha de ao longo de caminhos echados seccionalmenle egulares em S so iguais.Se jam g ,h : [a ,b ] -+Scaminhos fechados secc iona lmen te esu la res ema homotopiaern S entre g e h.

l-(f #)o'0"Invarincia de integrais sobre caminhos fechados homotpicos 13As funes g e h podem ser estendidasde forma a ficarem definidas e ser

nuas em ffi por exemplo definindog(t)=g(a) para t 1--'a) e g(t)=g(b) pa(b,+-;, e analogamentepara tr . A funo H pode ser estendidade forma a ficinida e ser contnua em ffi2 e a sef uma funo peridica de perodo (b-a) n

gunda varivel, por exemplo definindo primeiro para cada te [a,b] fix( s , t ) = H 0 , t ) p a r a s e ( - - , 3 ) e H s ' t ) = H 1 t ) p a r a s e ( b , + - ) , e d e pf in indo para cada se F f ixo H(s,t )= H(s,t-k(b-a)) ara te a+k(b-a) 'b+k(b

keZ\{ol. Aplicando o lema de regularizao o Apndice 4.4 a g, h e Hm-se sucesses e aproximaesde classe C- paru cadauma destas unes,q

ignamos por {g i } , {h1} tH;} . As restr iesdas funes H; ao interv,1lx[a,b] so homotopias de classe C- em Fn entre os caminhos fechad; , o ; : a ,b ] + f f i n ta i s q u e o ; ( t ) = H ; ( 0 ,t ) o ; ( t ) = H ; ( 1 , t )

Como g, h e H so unes contnuasdefinidas em conjuntos compactose cono conjunto aberto S , os SeuS ontradomniosso subconjuntoscompactosdeo, existe >0 tal que as vizinhanas-de cada um destes ontradomniosest

em S . Visto que as sucesses e approximaes {g;}, h;}e {H;} convergn i fo rmemente para g , h e H em [a ,b ] , [ a , b ] , [ 0 , 1 ] x [ a ,b ] ,espec t i vamen

i-se que para i suficientementegrande os contradom nios de 91,h; e H; esem S e, ento, Hi uma homotopia de classe C- em S entre os caminh

ados o1e rol Conclui-se ambm que os contradomniosde 9;,cr1 de h;contidos nasvizinhanas-dos contradomniosde g e h , respectivamente'A f u n o G ; : [ 0 , 1 ] x l a , b l + n t a l q u e G ; ( s , t ) = ( 1 - s ) g ; ( t l t s d ; ( t ) u m

ia de classe C- em S entre g; e o; (ver Figura 4.3)' e de forma anlolui-se que h; e o; so homotpicos-C- em S . Como, para i suficientem e

'ande,os pares (g1,o;) ,o; ,ro;) (h;,ro;)so homotpicos-C- m S e u.mpovectorial fechadoem S , pode-seaplicar a Proposio 4.3) paraconcluir queJt.on, Jt.oo;Jt.o, '= r .on,Visto que g um caminhoseccionalmenteegular,o integralde inha j.dg po

serobtido como uma soma inita de k integrais da formaI t ; . ' t 'n t ) t 's ' ( t ) t

com g continuamentediferencive l em [t1,t1+tl.Para >0 suficientementepequeo fecho da vizinhana-do contradomnio de g um conjunto compacto contido em A funo f contnuanesse onjuntocompacto,pelo que a sua norma limitada neconjunto por algum M>o Como a funo g de classe C1 em cada um d


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13 4 Aplicaes do teorema da diver$ncinsubintervalos compactosde uma partio finita de [a,b] , a sua derivada existe e imitada por algum N>o em todosos pontosde [a,b] exceptonos pontosde subdivisoos ntervalosda partio.visto que estes ontos ormam um conjuntode medidanua,oregrilarizaono Apndice 4.A implica que tambm as funes regurarizadasg,limitada por N>0 em [a,b] eualquer que seja e>0 existem pontos' c o m t ' < s ' < s 1 + 1 < t1 + i , a i s que 1s1- t1 ) , ( t1+ t -s j+1 )


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Observaes: ';. ;;r; ;;;rar qLLe rn F,2 um conjunto aberto s smptesmente onexo se esubconiunto.dl F,2 limitado por cada curva de Jordan contida em S ede s . Tambmse pode provar que em F,2 um conjunto aberto s conexose e s se S e F2\S so ambos conexos.2. Ficou estabelecido ue uma condiosurtcientepara que um campo vectorial t cleser gradiante num coniunto aberto ScFn seTa quivalentea I serfechado ent que L sla sir.nrtesmenleonexo. Fica ainda em abeno a possibilidadede enfraquecere obter uma condionecesstiriae surtciente ara a equivalncia eferida entde S . [Jma condio necessririae surtcientedeste ripopocleser

em remos de propriedades topolgircs de s , atravs do teorema de deestabelecido a dcadtde t g50,masest ora do mbito destadsciplina. Trara-seaplicao da Toporogia Argbrica, rea da matemIica jd referida nu

13 8 Aplicaes do teorema da divergncia

Nmero de rotao de umo a um ponto caminho fechado em F2 em rela-Esta seco dependentedo teoremada curva de Jordan.Apesar deste eoremanosido demonstrado este exto, admite-seaqui a sua validade.podem ser encontradasm livros de Topologia (ver, por exemplo, J.R. Munkres, Toporogv,Course,Prentice-Halt,gj 5).A propsitodo teoremada divergnciaem F2 (teoremade Green)viu-secomo sedefinir o sentidode percursode um caminho regular fechadoe simplesem termos daunitiria exterior ao domnio regular que a curva delimita. Seria nteressante oderdirectamenteo sentido de percursoavaliando um integral sobre o caminho. Issoconseguira partir da noode nmero de rotaode um caminho em reaoa umDefinio: Sela g:[a,b]-+F2 um caminhofechado seccionalmeneegular eum potto que no perrena curva c=g[a,b] Chama-se mero dede g em relao a pg a

N(g;po) *J r "o .on R o ( z ) = f g ( z - P g ) e f g ( x , v ) = ( y , x ) / l x 2 + y 2 lGeorges 1901-1990)

4.3. Nmero de rotao de caminho fechado em relao a um ponto

A motivaio paraestadefiniodecorrede se er observado o captuloo gradianre da funo e(x,y) que definida em F2\11x,0): >0] e d o n0e(0,2n) correspondente cada ponto (x,y) Assim, de esperar ue o percursodo caminhoesteja elacionadocom o sinal do nmero de rotao.

Antes de estudarpropriedadesdo nmero de rotao prova-se um reinvarincia de integrais de linha de campos echados sobre caminhos seccregulares echadose simplesem ffi2. Este resultadopoderia ser estabelecidem homotopias,mas requeriaestabelecer existnciade homotopiasentre curvasimplesdistintas.

Figura4.6

(4.10) Proposio: Sejamg1 gZ:[a,b]-+ ,2caminhos secconalmentfrrlro,ao, e simpl'es ai, )u, o )*) ,, Jordan c2=g2la,bl esti contida no sabertode F2 limitadopela curva de Jordan C1=g1[a,b] e seia D o fecho dque o complementardo subconjuntode F2 timitado pela curva de Jordsubconiuntode F,2 limirado pela curva de Jordan C1 .

Se | um campofechadonum coniunloaberlo contendo D' entoJ,.on' , tJ,-os,

ondeo sinal - ou + conforme 91 e 92 descrevem_1e c2. respe'iio mes*o sentido em relao ao domnio regular D=int D ou em sentidos oFtgura 4.6).


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140 Aplicaes do teorema da divergncia

Dem. Do teoremada divergnciaem F2 (teoremade Green),com =(p,e) tem-se[ ( f 3?)o.0" Joeds+Qdt

como =(P,o) um campo fechado num aberto contendoD, o integralduplo naexpresso nterior nulo. Por outro lado, o integral de linha nessaexpresso ode serexpresso m termosdos caminhosg1 e g2 , j que D=C1uC2.Se 91 e g2 descrevem C1 e C2, respectivamente, o mesmo sentidoemrelaoao domnio regular D, tem-se

o = Jt .os1 | . r .on ,se 91 e g2 descrevem1 e c2, respectivamJnr" ,"- sentidos postos m elao odomnio egular D tem-seQ,E.D.

Pode-se gora estabelecer lgumaspropriedadesdo nmero de rotao.

o = Jt.on., Jt.on,GG(u; o.1 +1 N{g;eo)= tFigura 4.7: Nmero de rotaode um caminho echadoem relaoa um ponto

(4.1 ) Proposio: seTa g:[a,b]-+F2 um caminho seccionalmene egular fechqdo eimplese Pg um ponto de n2tg1a,O1 Ento (ver Figura 4.7):,- , ,r^t, .PO.pertenceao exterior do subconiuntode F2 limitado pela curva cleC=gla,bl ento N(g;pg)=0

2) se Pg pertenceao conjunto DcFZ timitado pelacurva de Jordan e=g[a,b]N(g;Pg)=t1 + ou - conforme g descreve c no sentido positivo ou negativoa D.

, ncit verificar ,em s=F2\{po1" o "u-oo po da definiode nmerode rotao um campo

N(0;Po)= 0

4.4.Nmero de rotao de um caminho fechado em P2 .. .Se Pg um ponto exterior ao subconjunto limitado

6;=g[a,b] ento pO um campo fechado.noconjunto DcF2que o teoremade Gren,com pO=(P,O) do = Jo( '#-#)o"ou = JuoPdx+QdYEm consequncia em-senestecaso N(g;Pq)=OS e P g u m p o n t o i n t e r i o r a o s u b c o n j u n t o l i m i t a d o p e l a c u r v aC=g[a,b] existe uma circunfernciaCg centrada em Pg e contida ndo subconjunto de F 2 limitado por c (ver Figura 4.8). uma reppararntricade C6 pode ser dada pelo caminho 9g:[0,2n]-+m2 tal qPg+(Rcos(e),Rsen(0)), nde R o raio de Cg ' Devido proposioanteN(g;Po)+| . t ro 'ono = t+J t to 'ono

, - , r n = t 2 . .J : " # ( -R sen 0 'R cos 0) ' (Rcos 0 'R sen 0 ) d 0=

Como gg descreve Cg no sentido negativo em relao ao domnio regulacomplementar do sutcnjunto de F2 ii-i,uoo por Cg no subconjunto de fp o r C , c o n c l u i - s e qu e o s i n a l + o u- c o n f o r m e g d e s c r e v eC n o s e n tno sentidonegativo em relaoa D

Como aplicao desteresultado,o sentido de percursode um camseccionalmente egular fechado e simples em

relao ao conjunto limitado pJordanquee ledescrevepodeserca l cu ladope lo in teg ra lde l i nhaqurotao do caminho em relaoa um ponto qualquer do subconjuntode F2 lcurva.

pela curval imitado po

. o gJ t 'o

Figura 4.8


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42 Aplicaes do teorema da divergncis

A equao a continuidade uma equao iferencialque raduza conservao egrandeza scalarcaractersticade um fluido, como, por exemplo, a massaou a cargano decursodo movimento do fluido.considera-se movimento de um fluido num conjuntoabertoDgcFS , designa-sea velocidadedo fluido no ponto x e no instante t e por p(x,t) a densidadepor unidade de volume. Supe-seque v e p so unes de classec1 em, onde | um intervalo de nmerosreais.A massa otal do fluido contido, no, num domnio reguar D com O.OO e

m ( t )= l _ p ( x , t ) d x .J D 'de m(t) podeser calculadapor trocada derivadacom o integral,com basena, m t)= [^ ufi (x,t)dxJ P o tao princpio de conservao a massa, em de ser gual entradade massaporde tempo em D, atravsda fronteira,a qual pode ser calculadapelo fluxo doatravsde D Im ' ( t ) _ I p ( x , t ) v ( x , t ) . v ( x )O V 2 ( x )"aDas duas rmulas anteriorese aplicandoo teoremada divergnciaem F3

I r ' l = J-o'uouy( p u ) ) = o

p/t+ div (pv) uma funo contnua em Dg , e esta rmula vlida paraos domnios regulares D com -Dg , o lema de localizaoestabelecido mgarante ue em cadaponto (xg,t)eDgxlse verifica0pat = _ div (pv)A estaequao iferencialparcial chama-se quao da continuid ade. Exprimeae massaduranteo movimento de um fluido. A equa odntica,mas comsendo a densidadede carga ercricapor unidade de volume no ponto x e not , exprime a conservao e carga eIctrica.Costuma-se essecasochamara

Goufried Wilhelm (1646_17l.

L (%i. '"

4.5. Equao da continuidade

J=pvforma

densidade e correnteelctrica,pelo que a equaoda continuidade oma

A equao a continuidade um casoparticular de uma importante classede eqdiferenciais parciais conhecidaspor leis de conservaoque no caso no-lineainda hoje em dia, um importante tpico de investigaona Teoria de EqDi erenciai Parciais.4.6. Equao de Laplace em escoamentode fluidos

Na secoanteriorobteve-sea equaoda continuidadepara a consewaodduranteo movimento de um fluido num conjunto abertoconexo D6cFn

# = -d i v (pv )Nestaseco onsidera-se movimento de um fluido incompressvel,estaci

com campo de velocidadesgradiante.Diz-se que o,fluido incompressvdensidadep constante.Note-seque a equaoda continuidade mplica que se oincompressvel,ento div v = 0. Diz-se que o fluxo do fluido estacionvelocidade v(x,t) independentedo tempo. Como natural, diz-se que ode velocidades gradiante se existe uma funo escalar


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2 Aplicaes do teorema da divergqisParapontos na fronteira de E obtm-sedesta orma a fora aplicadapelo ambiente

no instante t por unidade de superfcie da sua fronteira, a que se costumatraco na superfcie

[ ^ s(v) ov2t tstO ambiente ambm pode exercer oras volumt ricas em pontos nterioresao corpo,

que exemplo o caso da fora da gravidade.Estas oras podem ser expressas mde um campo vectorial b , em que b(x,t) d,a fora por unidade de volumeem x no instante , pelo que para cadadomnio regular DcB se obtma forapelo ambientee no devida a contactona fronteira por

I oour.,D tDe acordocom as consideraes nteriores, esignando or (o conjuntode odos

unitrios,chama-se istema de foras para E duranteum movimento com' a um par (s,b) de funes s:n[0 e considere-se tetraedroT6 (ver Figura 4.15) cujas acomo normais exterioresos vectores k, -u1 , -u2 e -u3 , com o vrtice oposnormala k coincidentecomoponto eta lqueadistnciadex aessaface


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5 4 Aplicaes do teorema da divergUciasuficientemente equenoT6 estcontido em Br. Como a funo p-O contnua

, ela limitada em T6 e a lei de conservao o momento inear dI f__s(v )v2) = I l__ o-o)dv2) | < c vo rr5 )" d l " d l

uma constantepositiva. Designa-sepor A() a rea da face normal a k .proporcional a 2 e vol(T6) proporcional a 3 tem-seUiO Irru"tv)dV2 +o ' quando -+o

s contnua, o integral de s(k) sobre a face normal a k dividido por A()para s(k,x) quando --+0 e, analogam ente, integral de s(-ui) sobrea facea u; dividido por A() convergepara (k.u;)s(-u;) quando -+0 portanto,

s ( k , x )que s(k,x) l inearem k, para k num conjuntode pontos, al que k.u;>o

uma base ortonormal{u1,u2,u3} Escolhendobasesdiferentesobtm-sequ eem v para todo veN. Em particular, fica provada a lei de ac o eNewton: s(v,x)=-s(-v,x) .

Seja T(x,t) a transformao inear que transforma v em s(v,x,t) e represente-seChama-sea T tensor das tensesde Cauchy e supe-se ue

ento, escrevera conservao o momento inear na formaL, oou,

div T designa campovectorialcujascomponentes oas divergncias ecadaumae T . como a equao nterior vlida qualquerque sejao domnioDcE e as funes ntegrandas o contnuas,obtm-sedo lema de localizao(3 .15 )P v = d i v T + b

conhecida or equao do movimento e mais um exemplo mportanteda classediferenciais parciais conhecida por leis de conservao a que pertencea equao a continuidadeconsiderada nteriormente.

= lo,t" dV2 lo,oou'da divergncia,obtm-se

l fJ . , .odv 3 l_ ( o , u r+b ) dV 3 ,u t - J n . " t

4.9. Equao do calor

4.9. Equao do calorConsidera-se gora um problema de distribuio da temperaturanum corpo c

de calor representado or um conjunto aberto DgcF3. Designa-sepor utemperaturano ponto x e no instante t e supe-seque u uma funo de classeDgxl , onde | um intervalo em ffi .

A Lei de Fourierl paa a propagaodo calor estabeleceque o calordirecodo gradianteda temperatura,no sentido contririo a estegradiante do queo frio) e proporcionalmente norma do gradiante da temperatura,com uma consproporcionalidade K(x,u) a que se chama condutividade trmica no potemperaturau e que se supede classe Cr em D6xffi+. Em consequncia, fcalor por unidade de tempopara ora de um domnio regular DcDg

[ - n g r a d u . v d V 2JA DO aumento de calor do corpo por unidade de temperaturae de voume no po

temperaturau o calor especfico, C(x,u) , que se supecontnuoem DO aumentodo calor no domnio regular D por unidade de tempo , ento,

lc i J D U IA soma do aumento de calor em D por unidade de tempo com o fluxo de ca

fora de D atravsde D por unidade de tempo igual produo de calor por unitempono domnio D . Estapode sercalculadaa partir da densidade e produopor unidade de volume e unidade de tempo f(x,t) no ponto x e no instante t ,supeseruma funo contnuaem Dgxl obtendo-se

O teoremada divergnciagarantequef| - r g r a d u . v d V 2r 1 ^J d U

peloquea equao nterior eescreve

J," aK g r a d u . v d V 2 = | f- " D[ ' "% - d i v (K s radu ) - r ]= o

% u. l,o=Joo ' " (Ksradu)dv3 ,

I Fourier, oseph1768-1830).


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1 5 6 Aplicaes do teorema da divergnciaComo a fun o integranda cont nua em D6 , considerandodomnios regulares Dincluidos em D6 contendo um ponto fixo arbitrrio xge Dg e com dimetrosconvergindoparazeto, obtm-sedo lema delocalizao em (3.15) que em cada ponto( x g , t ) eD g x l

c # - d i v (K s radu )= fEsta equao conhecidapor equao do calor e tambm uma importanteequaoestudada o mbito da Teoria dasEquaesDiferenciaisParciais.No casoem que C e Kso funes constantes,designandoa=KlC e g(x,t)=f(x,t)/C pode-seescrevereouaco nteriorna forma

uO L - a l a p u = 9

4.10. Frmulas de Green, princpio de mximo e soluesda sequaesde Laplace e de PoissonSeja DcFn um domnio regular, f uma funo escalarde classe C2 em edesigne-se or fu(x) a derivadadireccionalde f na direcoda normal exterior unitria

em xeD , nomeadamente ,,(x)=vf(x).v(x) Seja g uma outra funo de classeC 2 e m . C o m odiv (g Vf) = Vg.vf + g lap ,

obtm-se do teorema da divergncia a primeira frmula de Greenf l| . 9 v dVn_1 l_ ( v g . v t + g tap ) dvn .JD- J pSubtraindo a esta frmula a frmula idntica obtida trocando g com f , obtm-seasegunda frmula de Greenl ll ^ ^ ( S f u - f 9 u ) d V n _ r = l ^ ( g t a p - t a p ) d V n ..,AD J DSe uma funo harmnicaverifica-se lap - g e a primeira frmula de Green,c o m g = f , d| , ,u oun-. ,= [ r rv t r r2vnJ a o v r r - ' J D

Em aplicaes m Fsica,por exemplono mbito da mecnica u do electromagnet ismo,lado direito destaequao frequentemente ma energia,a menos de uma constantemultiplicativa.

4.10. Frmulas de Green, princpio a" -atirnrr " "q"t0ffios resultados eguintes oconsequnciasas rmulasde Green.

(4.15) Teorema: Se uma uno escalar t de classe2 no fecho de umregular Dcffin I soLuo a equaode Laplace em D e se anula em D , ent' t=Q ern D , se tem r-,g em D , onde v designaem D. Se' em vezdeunitriria exterior a D eno constanteem cada componente onexa le DDem. Se f=0 ou tem-se

Id V . = | f f , , d v n - 1 = 0' ' J A DComo llVl l uma funo contnuaem_D , obtm-seVf=0 emconstante m cadacomponente onexade D .

Se =0 em D , devido continuidadede f, o valor da constante uede em cadacomponente onexade teInde serzero,pelo que f nula e

t4.t61 T*or"ma: Se e g so soluesde classe C2 de uma equaodfaptp= nofechodeumdomnioregularDcFn e set e g soiguaiseme g so guaisem . Sr. em vez de =9 em D se tem r=9, em D ' onormal unitria exterior a D defindana sua ronleira, entoem cadq componde D as unes I e g dderemde umaconstanle-Dem. O resultado btm-se plicandoo teoremaanteriora -g'

Este esutado arante unicida4ede soluo m C21;do problema defronteira para a equaode Poisson

l a p , p = P e m D< p ( x )= u ( x ) P a r a x e D

v = 0 e m D ,

J rrorrr2 Por


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62 Aplicaes do teorema da divergnciaftctl determinaroluesa equaoe Laplace m Fn com smetriaadia:n>2 e In paran=2, onde a distncia um ponto ixo de Fn. parayeFn fixo define-se soluo undamentalnormalizadaa equaoeLapacen\1y1por

f * - 1 , ^ i l x - y r 1 2 - n , n > 2f ( x - y ) = r ( 1 x - y 1 ) = l n ( 2 - n ) o r n ( t t 1 , tl 1I t l n l l x - Y l l , n =281 a bolaunitria m ffin Tem-seDir (x -y ) *d (a1 ) (x ; -y ; )x -y l - n

Dij r (x-y) " " fu t [11 t tx -y i l2n (x ; - v ; )1x ; - v1 )Jx-yt1-n-2,se i=j e ;'1=0 e i*j , pelo que se obtm as desigualdadeslD ; r ( x -y ) t" "d , r i l i l x - y t11-nrD;yr(x-y) lu" iEt i lx-y i l -n

plicar segundarmulade Green om g=f . Como tende ara nfinitotoma-se frmulade Green umdomnioD\B, onde D um domnioObtm-se'' . . l . Il ^ , . lap dvn= l_^ r . lu-efv) dvn-1 f __ t r . lu-efu) dvn_1" D \ B r " J A D - d "

I J._ ru oun-.,= | r1aI ou Vn_1" d r J A B ,< lr l r ; l n votn(81)n-1suplV


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64 Aplicaes do teorema da divergpciaA existnciade funesde Greenno seraqui considerada om toda a generalidade.em que D uma bola em Fln. Seja BR=B*(O) e paraBp\{0} defina-se n=R2xlllxll2 . nA verificar que a funo

c( . ,y )=] r ( r rx -v r r )r (T rx- t r ) , yot r ( l l x l l ) * r ( R ) , y = 0funo de Greenpara Bp , G(x,y)=a1y,;; "Gv(x ,v )ru(x-y)+r r ,u(x)u f l f , ,= , . * , rx-y1-n o

candidara . c21o;oc01) a soluo a equao e Laplaceem Bp dos seus valores na fronteira de Bp pela frmula integral dee(Y)=.T- l ' : "? | . e(x) n v o l n ( 8 1 ) R J a B R 1 r _ y 1 " d v n - 1 ( x )

que azendo y=0 se ecupera teoremade valor mdio parasolues a equaoque tinhasido estabelecido o Teorema 4.17).Paraestabelecer existnciaem c21o;nc01o; pa.uo problemade Dirichlet na bola D=BR basta erificara funo definida na ltima frmula , de facto, soluodo problema.

Teorema: seja B=Bg(O)cFn e u Ltmauno contnuaem Bg. Enoode Dirichlet para a eepaode Laplacel a p r p - 0 e m Bq ( y ) = u ( y ) p a r a y e Buma soluo em c2111nca1a1, doda po,

n2 * l l v t t 2 f u x| ; ; f l . - - - dV "_1 (x ) y eBe(y)=1 v;r)nJu,uf f i , dVn-1(x)Yel r t r ) , yeBComo a funo de Green G e, portanto, tambm Gu , satisfaza equaodeem B conclui-seda frmula de representao e q em termosda funo deG que I soluoda equao e Laplace. se sabegue 0 arbi trr ioe ygeB Como u contnua m 8, existe>0,lu (y ) -u (yg ) l ce ara ye8 , ta l que l l y -yg l l


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0 Aplicaes do teorema da divergneiad i v ( xg ) = ( r o t ) .9 - . ( ro t g )

r o t ( x g )= f (d i v g ) - (d i v )g + (g .g rad) ( f . g r a d ) ggrad( .g ) ( .g rad )g+ (g .g rad) + x ( r o t g ) + g x ( r o t ) ,

q,V camposescalares ,g campos ectoriais, odos C1 num abertode F3 ,(.grad)g designa o operador diferencial (1 /x)+f2(/y)+f3(/z))s .Os trs operadores iferenciais ndicados m relaesentre si que convm conhecer.ar, se e um campo escalar C2 num conjunto aberlo de F3 , ento

div gradI = lap gr o t g r a d Q = 0q designao laplaciano de e ,2q a2g a2ql apq=*2*av r * i r 2 . usual designarpor ^q ou v2g . ncl ver que o laplaciano ambmmas agoraem espaos e funes escalares efinidase de classenum subconjuntoaberto de ffi3. Por outro lado, se um campo vectorial c2aberto de ffi3 , ento

d i v r o t = 0r o t o t - g radd iv - Lap ,t=( t1,12,g) Lap = ( lap 1, lap 2, lap 3) ,

tambm usual designarpor ^ ou V2 . Note-se que a ltima frmula relacionasi os quatrooperadores ivergncia, otacional, gradiantee laplaciano.A anulaodo rotacionalde um campo vectorial l=(1,r2,f3) num conjunto

scffi3 equivalente igualdadedas derivadasparciaiscruzadas Difj=Djfii , j=1,2,3, ou seja,ao campovectorial er echado m S .Definio: seja :s-+F3, com scF3 aberto.Diz-seque o cqmpovectoria |se tem rotacional nulo; diz-se que solenoidat se tem divergncia nula.

com baseno Teorema 4.7)pode-se nto ormularo resultado eguinte.seja :s-+F3 , com scffi3 aberto,um campode classec1 . o fechadoseesseinotacional.Se urngradianteem S, enoS umconjuntosimplesmenteconexoe rrotacionalem S, ento

4.11. Propriedades de divergncia, rotacional e gradiante

| um gradiante em S , i.e.. existeum campo escalar


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Figura .1 6como se sabe, e -grad


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(a) )Figura4.18

Adoptando sistemas e unidadesapropriados, stas eis podem ser expressas omoSe McD uma variedade-2 e classe c2 em F3 com orientaodefinida pelode normaisunitrias n, AcM um domnio egularem M, 0 um caminhosimples que representa curva fechada A com a orientao onsistente om ae A, ento:

[^ eou- d A =-: #[ B+'nv24 n l - += Jo J n dV2 rE( s e = o )' d -)H . d B

a derivadaem ordem a t com o integral na primeira equaoe aplicandoode Stokesnas duasprimeiras equaes o teorema da divergncia nas duasobtm-se

a- + lD . nd V 2 +n l ^p d V eJ DB ' . n d V r = 0 .

[ ^l"[ ,

4.12. Equaes de Maxwell para o electromagnetismo

. n d V 2-)d V . ( s e = 0 )d I

Notando que as funes ntegrandasso contnuas,o lema de localizao garante qfunes ntegrandas o lado direito e no lado esquerdode cada uma das equaeiguaisem cadaponto de D , quaisquer ue sejamos vectoresunitrios n . Comofrmulas se verificam para todos os vectorusunitrios n , conclui-seque em verifcam as equaes eguintes _). 1 A Br o t E + ; ; = 0

rot =+ 1r"S=o;

Jo ,o , .n dV2=- : [ ' *J,.o,.ndV2

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Luís T. Magalhães - Integrais em Variedades e Aplicações