3 Integrais II Estratégias

8/17/2019 3 Integrais II Estratégias

1/36

M@tplus Integrais

Página 1 de 36

IV. Técnicas de integração

Quando o integral (definido ou indefinido) não é imediato ou quase imediato, recorremos a outras técnicas de integração.

Integração por substituição (mudança de variável)

Seja uma primitiva da função e uma função derivável tal que , , . Podemos então considerar a função composta , , .

Aplicando a Regra da Cadeia

logo,

, .

Para simplificar esta expressão podemos considerar e portanto (consultar guião M@t b_Complementos de Derivação).

Substituindo na igualdade anterior , . De

seguida

vamos

resolver

o exemplo

da

página

15

do

Guião

integrais

‐Parte

I, utilizando,

agora, o método de integração por substituição.

Exemplo

Calcule o integral 315 .

315 315 Fazendo

1 5 então

Integrais

Parte II

Recorde que:

Se é uma primitiva de temos

Passos auxiliares:

. Considera‐se a mudança de variável: 1 5

.

1 5

10. Calcular o integral em ordem a


2/36

M@tplus Integrais

Página 2 de 36

10. Para aplicar a fórmula é necessário introduzir o factor 10 no integrando, pelo que se

multiplicará o integral por , 315 1015 15 10 310 310

15 1

31045

38 . Repare que após a mudança de variável e a resolução do integral obtemos uma função na

variável

,

que

não

é

a

variável

inicial

da

função

que

estamos

a

integrar.

É

por

isso

necessário

voltar

a

efectuar uma mudança de variável.

Como 15, 315 38 15 , .

O Método de Integração por Substituição ou também designado por Mudança de

Variável é dado por

Para aplicarmos este método é necessário efectuarmos os seguintes passos:

I. Substitui‐se a variável dada por outra variável (função de substituição)

;

II.

Substitui‐se por dado que ; III. Integra‐se a função obtida em ordem à nova variável ; IV. Volta‐se à variável original substituindo por .

, .

Fazendo e substituindo por , obtemos

Sendo uma primitiva de .


3/36

M@tplus Integrais

Página 3 de 36

Exemplo 1:

Calcule .

ln ln 1 Fazendo ln então

1 .

ln 1 2

Como ln , 2 , .

Exemplo 2:

Calcule, por mudança de variável, o integral definido

. ./ Calculemos o integral indefinido . , utilizando a mudança de variável: . Então

. Substituindo vem:

. , .

.

Sendo uma função contínua no intervalo , , o cálculo do integral definido de em , efectua‐se, calculando o integral indefinido e no final aplicando o 1º Teorema Fundamental do Cálculo.

Cálculos auxiliares:

. Considera‐se a mudança de variável: ln . ln

. Calcular o integral em ordem a

. Depois de calculado o integral, substitui‐se novamente, desta vez por


4/36

M@tplus Integrais

Página 4 de 36

Substituindo novamente, desta vez por : . 7 , .

Assim, dado que o domínio da expressão integranda é

,

. .

7

/

.

Como alternativa à resolução apresentada, poderíamos ter utilizado o Teorema da Mudança

de Variável.

Vamos aplicar este teorema para resolver o exemplo anterior.

Utilizando a mudança de variável , e substituindo 0 0 0 0 e 1

.

7 17

,

Teorema

da

Mudança

de

Variável

Sejam

e

funções reais de variável real, e

uma função derivável, contínua e invertível em

,, com

derivada

contínua

em

,,

onde . Com a aplicação deste teorema não é necessário voltar à variável original após integração, no entanto, é necessário alterar os extremos de

integração.

e

Atenção:

Quando usamos o método de substituição

no cálculo de um integral definido , temos que ter o cuidado de efectuar a substituição dos extremos de

integração na primitiva da função, depois

desta estar na variável inicial.


5/36

M@tplus Integrais

Página 5 de 36

Exercícios

1. Calcule:

1.1. √ ; 1.2. ; 1.3. √ . 1.4. 1.5. √ 3 7 1.6. √ √ 1.7.


6/36

M@tplus Integrais

Página 6 de 36

Tal como não é verdade que

não é verdade que

, .

Vamos trocar o papel das funções.

Façamos: e Temos que

Aplicando a fórmula de integração

por partes vem:

= Como podemos observar, neste caso é

imediato resolver

o

integral.

Repare que:

Nestes casos

apenas

precisamos

de

uma

primitiva

e não

da família de primitivas. Por uma questão de

sim li ica ão consideramos sem re 0.

2 ,

2.Integração por partesEste método é baseado na regra da derivada do produto. Dadas duas funções reais de variável real e , deriváveis, temos que:

logo,

.

Este método é aplicável sempre que estamos perante um produto de funções e se conhece

uma primitiva de pelo menos um dos factores.

Exemplo:

Calcule o integral

indefinido

. A função a primitivar é um produto de dois factores (método de integração por partes). Como sabemos integrar qualquer das funções, aparentemente, a escolha é indiferente.

Façamos e Aplicando a fórmula de integração por

partes vem:

. Integração por partes

Sejam

e

duas funções reais de variável real, deriváveis, então

Nota: pode ser uma qualquer primitiva de ′ .

O problema complicou‐se,

obtendo‐se uma nova primitiva produto da

exponencial por um polinómio do 2º grau.


7/36

M@tplus Integrais

Página 7 de 36

Exemplo:

Calcule o integral definido . Note que , e é continua em . Vimos no exemplo anterior que

.

Logo,

3 1 2 2.

Exemplo:

Calcule o integral indefinido

.

Cálculos auxiliares: 22 22 12

22 12

2 , .

22 4 , .

Se conhecermos a primitiva de ambos os factores, devemos escolher para derivar aquele que mais

simplifica por derivação.

.

O integral definido da função no intervalo , , sendo esta contínua nesse intervalo, é dado por:

Em

geral,

como

escolher

e

?


8/36

M@tplus Integrais

Página 8 de 36

Exemplo:

Calcule o integral indefinido . 1


1 , .

Exemplo:

Calcule o integral . Na primeira parte do guião resolvemos este integral recorrendo às fórmulas trigonométricas.

No entanto, este integral também pode ser resolvido utilizando o método de integração por partes.

Repare que:

. Aplicando o método de integração por partes vem:


Se o integrante for uma única função, que não sabemos integrar mas que se simplifica por derivação (como

o caso

do

logaritmo

e das

funções

trigonométricas

inversas),

escreve

‐se

1 e escolhe‐se obviamente a função para derivar e a função constante, 1, para integrar.

Se só um dos dois factores admite uma primitiva imediata, escolhemos esse para primitivar e o outro

para derivar. Por exemplo, as funções trigonométricas inversas (arcsen, arcos, arctg) e as logarítmicas

não admitem uma primitiva imediata logo, devem ser escolhidas para derivar.

Os

polinómios

devem

ser

escolhidos

para

derivar

quando

não

é

imediata

a

integração

do

outro

factor.

Neste caso temos apenas uma função

que não sabemos integrar, contudo esta

primitiva calcula‐se usando o método de

integração por partes uma vez que podemos

considerar


9/36

M@tplus Integrais

Página 9 de 36

1 1

2 2 , .

Exercícios

1. Calcule:

a. ;

b. ;

c. ;

d. √ ;

e. ; f.

.

Pela aplicação sucessiva da regra de integração por partes, pode aparecer no segundo membro um integral

igual

ao

que

se

pretende

calcular.

Isola‐

se

então

esse

integral

e

resolve‐

se

a

equação.


10/36

M@tplus Integrais

Página 10 de 36

3. Integração de funções racionais

Chama‐se função racional a qualquer função da forma , onde e são

polinómios em

e

0.

O cálculo da primitiva de algumas funções racionais é imediato ou quase imediato. Nestes casos incluem‐se as funções cujas primitivas são funções logarítmicas ou trigonométricas inversas. Vejamos alguns exemplos.

3 1 | | , .

1

12

2 1

12 |

1 | , .

1 1 , . Podemos ainda ter outra situação, como por exemplo:

1 1 1 , . Existem no entanto outras funções racionais em que estas regras não se aplicam.

Neste caso,

duas

situações

podem

acontecer:

Exemplo:

5 7 2 3

Exemplos:

1 3 4 4 2 3

I. o grau do polinómio do numerador é menor do que o grau do polinómio do denominador;

II.

o

grau do

polinómio

do

numerador

é

maior ou

igual

do

que

o

grau

do

polinómio

do

denominador.


11/36

M@tplus Integrais

Página 11 de 36

Quando nos encontramos na situação II, vamos simplificar a fracção racional aplicando o algoritmo da divisão aos polinómios.

A aplicação do algoritmo a divisão à nossa função racional (quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador) permite‐nos escrevê‐la como a soma de um polinómio com uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador.

Por vezes esta decomposição basta para resolver o integral.

Exemplo:

Calcule

1 . A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é maior que o grau do

denominador. Vamos por isso aplicar o algoritmo da divisão.

Algoritmo da

divisão

|

Assim,

1 1 1 1 1 1 1

3 , .

4 1 Então

Algoritmo da divisão

.


12/36

M@tplus Integrais

Página 12 de 36

Vamos decompor o polinómio 2 3 . Calculemos os zeros do polinómio.

Aplicando a fórmula resolvente:

Logo 2 3 1 3

2 3 0 2 2 4 1 32 1

2 √ 412

2

1 3.

encontra‐se na situação I, visto que ao efectuar o algoritmo da divisão o grau do polinómio é sempre menor do que o grau do polinómio . Exemplo:

Calcule

3 4 4 2 3 . Algoritmo da divisão

|

3 4 4 2 3 1 5 7 2 3

2

Decomposição em Fracções Parciais

A resolução do integral de uma fracção racional quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador é efectuada usando o método das fracções parciais.

Este processo consiste em separar uma dada fracção numa soma de fracções com denominadores mais simples.

Para tal, temos que factorizar o denominador.

3 3 2 4 42 2 3 1 5 7 2 2 3 Então

Factorizar o denominador

Factorizar um polinómio é decompô‐lo num produto de polinómios de grau inferior.

Ver mais Guião 2 do M@tb.

Não é um integral imediato/quase imediato. 5 7 2 3


13/36

M@tplus Integrais

Página 13 de 36

Para obter a decomposição em fracções parciais seguimos os seguintes passos.

Exprimir o denominador como produto de factores e/ou factores irredutíveis do tipo .

Caso

existam

factores

repetidos,

agrupamo‐los

de

modo

que

se expresse como o produto de factores diferentes da forma e/ou , onde , .

Aplicam‐se as seguintes regras:

Regra 1:

A cada factor da forma , 1, corresponde na decomposição às seguintes de fracções parciais:

onde cada é um número real.

,

Qualquer expressão racional (tal que o grau de é inferior ao grau de ) pode

escrever‐se como soma de expressões racionais cujos denominadores envolvam potências de polinómios de grau 1 ou de grau 2 sem raízes reais, então

onde

onde , e , , onde é irredutível (polinómio de grau dois que não admite raízes reais).

A soma

designa‐se por decomposição em fracções parciais de

e cada

é uma

fracção

parcial.

Passo 1

Passo

2


14/36

M@tplus Integrais

Página 14 de 36

Voltando ao último exemplo, pretendemos calcular

, para isso vamos escrever a

fracção como soma de fracções mais simples, utilizando o método de decomposição em fracções parciais.

Temos que 5 7 1 3 1 3 3 1

5 7 1 3 3 1 1 3 . Logo

5 7 1 3 7 5 7 3 3 2.

A este método chama‐se Método dos Coeficientes Indeteteminados. Por este ser um sistema de equações lineares, pode ser resolvido pelo Método de Eliminação

de Gauss‐Jordan ou regra de Cramer.

O cálculo

das

constantes

e pode ainda ser feito tomando‐se valores de que anulem os respectivos coeficientes, que neste caso são 1 e 3. 1. Fazendo 1 na igualdade 5 7 1 3, temos

5 1 7 1 1 1 3 12 4 124 3. 2.

Fazendo 3 na igualdade 5 7 1 3, temos 5 3 7 31 33 8 4 2.

Regra 2:

A cada factor da forma , onde n 1 e é irredutível, corresponde na decomposição

,

às seguintes

fracções parciais,

onde, para cada , e são números reais.


15/36

M@tplus Integrais

Página 15 de 36

Esta regra é compensatória quando os valores de que anulem os coeficientes não são repetidos.

Determinados A e B tem‐se 5 7 1 3

3 1

2 3.

Logo 5 7 2 3 3 1 2 3

3 1 1 2 1 3 3 ln| 1| 2 ln| 3| , . Assim, voltando ao cálculo do integral da página 12, temos

3 4 4 2 3 1 5 7 2 3 2 3ln | 1| 2 ln| 3| , . Exemplo:

Calcule . A

função

integranda

é uma

função

racional

cujo

grau

do

numerador

é menor

que

o grau

do

denominador. Então vamos exprimir o denominador como um produto de factores de grau 1 e/ou grau 2 sem raízes reais.

Factorizando o denominador escrevemos

1. Como o factor aparece repetido,

1.

Neste caso, como os factores são todos da forma , aplicamos a regra 1.

0. 0

1 0

1 0 0 1 0 0 0 1 1 1

Vamos decompor o polinómio . Calculemos os zeros do polinómio.

Colocando em evidência o termo em , Aplicando

a lei

do

anulamento

do

produto:

Logo

Passo 2

Passo

1


16/36

M@tplus Integrais

Página 16 de 36

Portanto, temos uma decomposição da forma

2 1

2 1 1

1,

onde , e são constantes a determinar. Para determinar essas constantes utilizamos o Método dos Coeficientes Indeterminados:

2 1 1 1

2

1 1 1 1

1

logo 2 1 1 1 2 1 2 0 1

1 1 3 . Assim

2 1 1 1 1 3 1. Temos portanto

2 1 1 1 1 3 1 || 1

3 | 1| , .

Já estudamos os casos em que a factorização de resulta num produto de polinómios de grau 1. Vamos agora analisar situações em que na factorização de estão presentes polinómios irredutíveis de grau 2.


17/36

M@tplus Integrais

Página 17 de 36

Exemplo:

Calcule .

é uma função racional, em que o grau do polinómio numerador é menor que o grau do polinómio

denominador.

Passo 1

Decompor o polinómio num produto de polinómios de grau 1 e/ou em polinómios de

grau dois irredutíveis (polinómio de grau dois

sem raízes reais)

Agrupar os factores repetidos, se existirem.

Passo 2

Escrever a função como soma de fracções

parciais (neste caso, são duas).

Determinar as incógnitas

Calcular cada

uma

das

primitivas

1

3 1

1

1 1

3 1 1 1 1 3 1 1 1

3 1 0 3 1 1 3 1

3 1 1 1 1 3 1

Método dos Coeficientes Indeterminados.

Assim

3 1 1 1 3 1 || 1 3 1 1 || 1

2 2

1 3 || 1

2ln| 1 | 3 , .

3 1 3 12 1 2 1 Regra 1 Regra 2


18/36

M@tplus Integrais

Página 18 de 36

Regra

1 Regra

2

Exemplo

Calcule . A

função

integranda

é

uma

função

racional

cujo

grau

do

numerador

é

menor

que

grau

do

denominador.

Factorizando o denominador escrevemos

2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2, logo

3 2 2 2 3 1 12 2 2 2 2 2 . Analisando os factores repetidos, agrupam‐se de modo a que se expresse como o

produto de factores diferentes da forma e/ou , onde , logo, 3 2 2 2 3 1 2 2

Neste caso,

temos

a decomposição

da

forma

3 2 2 2 1 1 2 2 2 2

onde ,1,2, 1, 2, 1e são constantes a determinar. Após determinar as incógnitas, temos que integrar cada uma das parcelas.

Polinómio Parcelas

1 1 1 2 2 2 2 2 2

Passo

2

Passo 1


19/36

M@tplus Integrais

Página 19 de 36

No cálculo de integrais de funções racionais aplicamos normalmente as seguintes regras: , , . || , . , .

Exercícios

1. Calcule:

a.

;b. ; c. ; d. ; e.

.

Resumo:

Considere a função racional , com 0.

Se o grau

de

for maior ou igual ao grau de efectua‐se a divisão dos polinómios, aplicando‐se posteriormente, se necessário, o processo de decomposição de fracções parciais.

Se

o

grau

de for menor ao grau de utiliza‐se, se necessário, o processo de decomposição em fracções parciais.

Processo de decomposição em fracções parciais


20/36

M@tplus Integrais

Página 20 de 36

4. Outras mudanças de variável

Uma das principais dificuldades na integração por substituição reside na escolha da mudança

de variável.

Quando as funções a integrar têm determinadas características, podem ser utilizadas

mudanças de variável aconselhadas, como apresentamos a seguir. Muitas destas mudanças de

variável produzem o integral de uma função racional.

Exemplo

Calcule √ √ .

√ 1√

2 / 1/ 2

Como o menor múltiplo comum dos índices das raízes, 2,4 4 , efectuamos a substituição: 4 .

Assim temos

√ 1√ 2 / 1/ 2 4 1 2 4 4 2 .

/ , / , … Para

calcular

o integral

de

funções

que

resultam

de

operações

racionais

de expressões do tipo

deve‐se calcular o mínimo múltiplo comum entre , …. .. ,,… . Então a mudança de variável aconselhada é

. Após esta mudança de variável temos o integral de uma função racional.


21/36

M@tplus Integrais

Página 21 de 36


|

4 2 4 2 5 10 20 40 2

4 2 5 10 20 40 1 2

45 24 53 102 20 40ln | 2| 4 5 2 203 20 80 160ln | 2| , .

Para voltamos à variável original, neste caso , temos que: √

√ 1√ 1 4 √ 5 2 √ 20√ 3 20 √ 80 √ 160ln √ 2 4 √ 5 2 20√

3 20 √ 80√ 160ln √ 2 , .

5 3 2 40 Então


22/36

M@tplus Integrais

Página 22 de 36

Exemplo

Calcule

√ .

Calculemos o integral indefinido

1 1 √ 1 11 / 1 / .

Como o menor múltiplo comum dos índices das raízes é 2,3 6 , efectuamos a substituição:

1

.

Assim temos

1 6 .

11 1 1

6 6 6 1.

/ ,

/ , … Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais de

expressões do tipo

deve‐se calcular o mínimo múltiplo comum entre , …. .. ,, … . Então a mudança de variável aconselhada é

. Após esta mudança de variável temos o integral de uma função racional.


23/36

M@tplus Integrais

Página 23 de 36


|

Voltando ao cálculo do integral:

6 1 6 1 1 1

6 1 1 1 62 ln | 1| , . Para voltarmos à variável original, neste caso , temos que:

√ 1 1 1 √ 1 6 √ 1

2

√ 1 ln √ 1 1 , . E assim, como a função

√ é contínua no intervalo 3,5,

1 1 √ 1 6 √ 1 2 √ 1 ln √ 1 1

6√ 62 √ 6 ln √ 6 1 6 √ 42 √ 4 ln √ 4 1.

Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais

de expressões do tipo , , … , ,… deve‐se calcular o máximo divisor comum entre , …. .. ,,… . Então a mudança de variável aconselhada é

.

6 1 6 6 6 1 6 1 1 1. Então


24/36

M@tplus Integrais

Página 24 de 36

Exemplo

Calcule . Como o

1,2 1, efectuamos a substituição:

. Assim temos . Logo, ln 1 .

1 1 . 1

1

1 1 1 1 | 1| || | 1|+c || 1 2 | 1| , .

Para voltamos à variável original, neste caso , temos que:

1 || 1 2 | 1 | 1 2 | 1 | , .

Recorde:

ln , 1 .

Repare que no integral

não é possível

colocar em

evidencia

o factor

e portanto não podemos substituir o por . Nesta situação resolvemos em ordem a ,

ou seja,

e assim,

Deste modo já é possível substituir no integral por e por .

1

1 1.

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

0 0 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1.

1 1 1 1 1 1 || 1 | 1| , .

Calculo auxiliar

A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador.

Neste caso,

como

os

factores

são

todos

da

forma

, aplicamos a regra 1. Portanto, temos uma decomposição da forma ,

onde , e são constantes a determinar.Para determinar essas constantes utilizamos o Método dos

Coeficientes Indeterminados:

logo

Assim

Temos portanto

Passo

1

Passo

2


25/36

M@tplus Integrais

Página 25 de 36

Exemplo

Calcule . Como o 2,4 2 , efectuamos a substituição:

2 2 . Estamos na mesma situação que no exemplo anterior, uma vez que não podemos substituir

no integral . Assim,

2 2 2 , logo, 2 .

2 4 222 2 2 2

2 .


|

Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais

de expressões

do

tipo

ln , ln ,… , ,… deve‐se calcular o máximo divisor comum entre , …. .. ,,… . Então a mudança de variável aconselhada é .

Recorde:

2 1 2 2 Então


26/36

M@tplus Integrais

Página 26 de 36

2 1 2

2

1 2 2 2 1 2

2 | 2 | , . Para voltarmos à variável original, neste caso , temos que:

2.

24 2 2|22| , .

[PISK] Chama‐se binómio diferencial à expressão

em que , ,,,, são constantes. O integral do binómio diferencial pode ser reduzido, se ,, forem números racionais, ao integral duma função racional nos

seguintes três casos:

1)

é um número inteiro, isto é,

;

2)

é um número inteiro; 3)

é um número inteiro.


27/36

M@tplus Integrais

Página 27 de 36

Em qualquer um dos casos referidos, devemos proceder, inicialmente, à mudança de

variável seguinte:

dz zn

dx z x nn111 1

, −== .

Desta resulta o seguinte:

( ) ( ) dzbza zn

dxbxa x pq pnm +=+ ∫∫

1 onde 1

1−

+=

n

mq .

A segunda mudança de variável aconselhada depende do caso em nos encontramos,

assim,

1) se p é um número inteiro, e sendo q o número racional s

r q = , devemos efectuar a

substituição

st z = ;

2)

se n

m 1+ é um número inteiro e sendo p o número racional

μ

λ = p , devemos

efectuar a substituição

μ t bza =+ ;

3) se pn

m+

+1 é um número inteiro, isto é, pq + é inteiro, façamos primeiro a

seguinte modificação

( ) dz z

bza zdzbza z

p

pq pq⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+ ∫∫

+ ,

e, de seguida, consideremos a substituição

μ t z

bza=

+ (

μ

λ = p ).

Exemplo 1

Calcule .

1 1 ; 1; 3

1ª mudança de variável

, logo Como

, mas

0 ,

encontramo‐nos

no

2º

caso.


28/36

M@tplus Integrais

Página 28 de 36

( )

( )

( )

( ) ( )

( )C

x

x x

x

C t

t t

t

C t t t t

dt t t

t

dt t t

t

dt t

t

tdt t t

dz z z

dz z z z

dx x x

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

−++++

+=

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−++=

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−++=

+

−+

−++=

+−++=

−=

−=

+=

+=

+

∫

∫

∫

∫∫

∫

∫

−

−

−−

−

11

11ln

2

11

3

1

3

2

1

1ln

2

1

33

2

1ln2

11ln

2

1

33

2

1

21

1

211

3

2

)1)(1(

11

3

2

13

2

213

1

13

1

3

11

1

3

33

3

3

3

2

2

2

4

21

2 v.m.ª2

2

31

3

2 v.m.ª1

31

2

3

23

2

331

2

3

Exemplo 2

Calcule √ .

√ 1 1

Note que 12

4

−t

t é uma função racional à variável

Algoritmo da

divisão

1

1

1

2

2

224

24

+−

++−

−

t

t

t t t

t |t

Decompondo em fracções

simples….

2

1 e

2

1

)1()1(1

11)1)(1(

1

−==⇒

−++=⇒

++

−=

+−

B A

t Bt A

t

B

t

A

t t

Para voltar à variável : 311 x zt +=+=

;

2; 21ª mudança de variável

, logo

Como , , mas 0 , encontramo‐nos no 3º caso.

1

2ª mudança de variável

‐1, logo 2


29/36

M@tplus Integrais

Página 29 de 36

( )

( )

( )

( )

( )( )

C

x

x

x

x

x

x

C t t t

C t t t

dt t t

dt t t

dt t

t

dt t

t t t

dz z

z z

dz

z

z z z

dz z z

dz z z z

dx x x

+

++

−+

−+

−=

++

−−−=

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−+−=

+

−+

−+−=

+−+−=

−−=

−

−−=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

+=

+=

+=

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−−

−−

11

11

ln2

11

11ln

21

1ln2

11ln

2

1

1

21

1

211

)1)(1(

11

1

1

21

2

1

1

2

1

1

2

1

121

2

11

1

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2 v.m.ª2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

11

v.m.ª1

2

122

1

Note que 12

2

−t

t é uma função racional à variável


1

1 1

1

2

22

+−

−

t

t |t

Decompondo em fracções

simples….

21 e

21

)1()1(1

11)1)(1(

1

−==⇒

−++=⇒

++

−=

+−

B A

t Bt A

t

B

t

A

t t

Para voltar à variável : 2

211

x

x

z

zt

+=

+=

1 1 1 1 1 1 2

2ª mudança de variável (após a modificação efectuada)

Logo,


30/36

M@tplus Integrais

Página 30 de 36

Na tabela

seguinte

temos

um

resumo

de

cada

uma

das

mudanças

de

variável

anteriores.

Expressão Substituição a efectuar Cálculo do integral Para voltar à

variável inicial · || 1 ·

Simplificar usando a relação trigonométrica 1

·

|| 1 · Simplificar usando a relação trigonométrica 1

· || 1 ·

Simplificar usando a relação trigonométrica

1

Para

calcular

o

integral

de

funções

que

envolvem

expressões

radicais

do

tipo

Efectuamos respectivamente a mudança de variável (substituição

trigonométrica)

, .

Estas mudanças de variável também se

aplicam se no lugar de estiver uma função linear


31/36

M@tplus Integrais

Página 31 de 36

Exemplo

Calcule √9 .1.

Função irracional quadrática incompleta da forma

√ .

Substituição: 3 3 cos . 2. Substituindo, integra‐se a função obtida em ordem à nova variável .

9 9 3 · 3 cos 99 · 3 cos 91 · 3 cos 3 3√ · cos 9 · cos 9 9

921 9422 92 94 2 92 942 92 92 , .

3. Como . No nosso caso

• 3 , , 3 , 2 , 2

• Para calcular cos usamos a relação trigonométrica

1

1 1 1 1 , ,

1 √

1 22

9 Substituindo

Como , , estamos no 1º ou 4º quadrante onde o cosseno é positivo.

3

√ 9

Em alternativa, repare que:

se tivermos o triângulo rectângulo, em que um

dos ângulos tem amplitude , o cateto oposto a esse ângulo mede e a hipotenusa do triângulo mede 3, temos, pelo Teorema de Pitágoras, que o

cateto adjacente ao ângulo é igual a √9.

Temos então que

e que

9 3

Cateto adjacente

Cateto oposto

Hipotenusa


32/36

M@tplus Integrais

Página 32 de 36

Assim

9 92 3 92 3√93 92 3 √99 , .

Exemplo

Calcule √ .Comecemos por transformar

3 2 numa diferença de quadrados. Como o coeficiente

de é negativo, teremos que colocá‐lo em evidência e seguir o processo descrito ao lado para transformar 3 2 na diferença , em que é uma função linear de .

3 2 3 2 3 2 3 4 1 2 1

Seja 1 e 2. Como 1, temos e 2 3 e portanto,

2√ 3 2 1 2 4 1 3√2 √2 3 1√2

1224 3 1√2 12 4

12 1

3 2 4 3 2 , .

2 4 .

Passos:

1. Identificar . 2. Considerar

.

3. Somar e subtrair a o valor obtido no passo anterior, ou seja,

. 4. Escrever na forma


33/36

M@tplus Integrais

Página 33 de 36

Para voltamos à variável original, neste caso , temos que: 2√ 3 2 4 1 3 12

3 2 3 12 , .

Na tabela seguinte temos um resumo da mudança de variável anterior.

Expressão Substituição a efectuar Utilizar Para voltar à

variável

inicial 2 2 21 2 21 2

21 2

2 2 21 1 21 2 1 1

2

Exemplo:

Calcule o integral . 1.

É uma função que envolve funções trigonométricas.

2.

Comecemos por fazer a mudança de variável. Tal como referido anteriormente:

2 21 , cos 1

1 e 21 dt.

Qualquer função trigonométrica ,,,… pode exprimir‐se à custa das funções e . Para calcular o integral de funções que envolvam a funções e ,

efectuamos a mudança de variável

.


34/36

M@tplus Integrais

Página 34 de 36

Calculando o integral por mudança de variável:

11 1 21 1 1 1 21

1 21 1 1 1

21 2 1 1

1 1 2 1

1 2 1

1 2 1 | 1 | , . Para voltamos à variável original, neste caso , temos que:

2

11 2 2 1

2 2 , .


35/36

M@tplus Integrais

Página 35 de 36

Exercícios

1. Calcule:

a.

√

√

√

;

b. √ ;

c. √ ;

d. √ ;

e. ;

f. √75 ; g.

; (Sugestão: Faça 1 .) h.

;

i. ( ) dx x x∫ +3 235 1 ;

j.

( )∫

+ 23

22 1 x x

dx;

k. ∫

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +14

143

x x

dx;

l.

dx x

x∫ +3 4

1 .

2.

Num certo subúrbio de uma metrópole, a concentração de Ozono no ar, , é de 0, 25 partes por milhão () às 7. De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de Ozono t horas mais tarde varia à razão de 0,240,03

√ 36 16 /

Determine a função que devolve a concentração de Ozono horas após as sete da manhã.


36/36

M@tplus Integrais

Bibliografia

[LH] Larson,

R.,

Hostetler,

R.

e Edwards,

B.,

Cálculo,

Mc

Graw

Hill,

2006.

[ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.2, Projecto Euclides, Nona Edição, 1999.

[CUV] Malta I., Pesco, S., Lopes,H.; Cálculo a uma variável, Vol. II, Derivada e Integral ;

Editora PUC Rio, 2002.

[CGA] Swokowski; Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1 , Makron Books, 1991.

[MA] Harshbarger, R. J. , Reynolds, J. J. , Matemática Aplicada – Administração,

Economia e Ciencias Sociais e Biológicas, Mc Graw Hill, 2006.

[PISK] Piskounov, N. ; Cálculo Diferencial e Integral , Vol. I e Vol. II, Ed. Lopes da Silva,

18ª edição.

Documents

3 Integrais II Estratégias