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Exerccios Resolvidos de MA 11

Unidades 1 e 2

A seguir, apresentamos alguns exerccios resolvidos de forma completa.Cabe observar, que existem outras maneiras de se resolver um mesmo exerccioe, assim, as solucoes apresentadas nao sao unicas.

Exerccios Recomendados

3. Para provarmos as equivalencias propostas, basta provarmos que

A B =BABA B =AA B =B.Antes, observemos que se A= ou B = , entao as implicacoes acima saoverdadeiras. Suponhamos, entao, ambos A e B nao vazios.

AB =BAB : TomexA. Entao,xAB. ComoAB =B ,segue que xB . Isto mostra que AB .

ABAB =A: Para provarmos queAB =A, temos que mostrarAB A e A AB . Sendo a primeira implicacao clara, provemos asegunda. De fato, tome x A. Por hipotese, A B. Assim, x B.Portanto,xA e xB , ou seja, xA B, provando o desejado.

A B = AA B = B: Para provarmos queA B = B, temos queprovarA BB eBA B. Como a segunda implicacao e clara, vamosprovar a primeira. De fato, tomex A B. Entao, x A ou x B. SexB , ja temos o desejado. Se xA, entao xA B, por hipotese. Da,xB .

4. Claramente, ambos os itens (a) e (b) se verificam para A = ouB = .Suponhamos, entao, ambosAe B nao vazios.

(a) Como

x(A B)c x /(A B) x /A e x /B xAc e xBc xAc Bc,

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segue que (A

B)c =Ac

Bc.

(b) Como

x(A B)c x /(A B) x /A ou x /B xAc ou xBc xAc Bc,

segue que (A B)c =Ac Bc.

7. Um exemplo de:

implicacao verdadeira, com recproca verdadeira: Se x e um numeroreal tal que que x2 = 0, entao x e o numero real 0;

implicacao verdadeira, com recproca falsa: SeQe um quadrado, entaoQ e um polgono regular.

implicacao falsa, com recproca verdadeira: Se x e um numero com-plexo, entao x e um numero real.

implicacao falsa, com recproca falsa: Se R e um retangulo, entao R eum polgono regular.

8. Inicialmente, observemos que para a equacao

x + 2 =x ter sentido em

R, devemos assumir x0. Assim, (x)2 =|x|= x. Entao:

x + 2 =x x= x 2(x)2 = (x 2)2 x = x2 4x + 4x2 5x + 4 = 0x = 1 ou x= 4.

Uma verificacao facil mostra que x= 1 e a raiz estranhaa que o enunciadodo exerccio se refere. De fato, a equacao

x+ 2 = x nao e satisfeita para

x = 1. Isto se explica, pois a implicacao

x = x 2 (x)2 = (x 2)2nao e reversvel, ja que

(x)

2

=

(x 2)2

x=|x 2|e nao igual x 2.

2

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Exerccios Suplementares

2.

(a) 1: A= U. (a) 2: A= .(b) Negacao de 1: Existe algum x que nao satisfaz a condicao P(x). Equiva-lentemente,Ac = .(b) Negacao de 2: Para todo x, x nao satisfaz a condicao P(x). Equivalente-mente, A= .

(c) 1: Falso (Pois, x2 0 para todo xR);2: Falso (Tome n= 1);

3: Falso (Tome x= 1);4: Verdadeiro (De fato, N e ilimitado);

5: Falso (Pois, R e ilimitado).

Negacao de

1: Para todo numero real x, x2 =1;2: Existe um numero inteiro n tal que nn2;3: Existe um numero real x tal que x1 e x2 1,4: Existe um numero realxtal que para todo numero naturalntemosnx.

5: Para todo numero natural n, existe um numero real x tal que nx.6. Suponhamos que exista uma tal funcao, ou seja, que exista uma funcaof : A (A) sobrejetiva. Considere B ={x A; x / f(x)}. ComoB(A) ef e sobrejetiva, existe bA tal que f(b) =B . Pode bpertencera B? Se b B, entao b / f(b) = B, o que e um absurdo. Entao, deve sero caso de b / B. Mas, neste caso, b f(B) = B, um absurdo novamente.Portanto, devemos admitir que uma tal funcao nao existe.

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