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2a prova de Geometria Plana — MA-520

16 de maio de 2012

NOME: Turma: RA: .

Responda a cinco das questoes abaixo e marque aquela que excluir com × no quadro acima.Toda solucao deve ser justificada.

1. (a) [10 pontos] Enuncie os casos de congruencia LAL e ALA.

(b) [10 pontos] Enuncie as propriedades de “transporte de segmentos” e “transporte de angulos”da geometria plana.

2. [20 pontos] Prove que a congruencia LLL implica LAL.

3. [20 pontos] Enuncie e demonstre o teorema do angulo externo.

4. (a) [10 pontos] Mostre que a soma das medidas de quaisquer dois angulos de um triangulo einferior a 180o.

(b) [10 pontos] Mostre que se `1 ⊥ r e `2 ⊥ r, entao `1 ‖ `2.

5. Seja P um ponto interior do triangulo ABC;

(a) [8 pontos] Mostre que [CP ) ∩ [AB] 6= ∅.

(b) [12 pontos] Mostre que BPC > BAC.

NB.: Voce pode assumir, sem demonstrar, que int ABC ⊂ int ACB.

6. Considere uma reta ` e pontos A,B /∈ `;

(a) [15 pontos] Construa P0 ∈ ` que minimize o comprimento do “caminho passando por `”:

k : ` → RP 7→ k(P ) = AP + PB.

(b) [5 pontos] Proponha um contra-exemplo (ou seja, um arranjo de pontos A,B, P0 e P ), mos-trando que o angulo AP0B do item (a) nao e necessariamente maximo para P ∈ `.

NB.: Em outras palavras, a solucao do Problema de Heron nao e necessariamente solucao doProblema do Cinema.

Notacao :

• [AB] e o segmento fechado determinado por A e B, e AB = m[AB] e a medida de [AB].

• [AB) e a semi-reta por B com origem em A; o mesmo que SAB .

1. (a) Dados dois triangulos ABC e DEF . Dizemos que eles sao congruentes pelo caso LAL se elespossuem dois lados e o angulo compreendido entre esses lados ambos congruntes.Ainda nos referindo aos triangulos acima, dizemos que eles sao congruentes pelo caso ALA,se eles possuem um lado congruente e possuem tambem congruentes os dois angulos internosformados por este lado.

(b) Dado um segmento qualquer [AB]. O transporte do segmento [AB] consiste na construcao deuma semirreta [OX), e em tal, construir um ponto P , tal que OP = AB.Dado um angulo qualquer ABC. O transporte de tal angulo se da ao construirmos duassemirretas, [OX) e [OY ), tal que mAbB = mXOY .

2. Considere os triangulos ABC e DEF tais que AB = DE, A ∼ D e AC = DF . No mesmosemiplano determinado por [DE] onde se encontra F , determine G tal que DF = DG e queBC = EG. Basta usar intersecao de arcos. Pelo caso LLL, sabemos que 4ABC ∼ 4DEG. DaiA = EDG,e por hipotese temos ainda que A = D, logo EDG = D. Entao F e G devem ser omesmo ponto por unicidade da medida de angulo. Logo os triangulos sao congruentes.

3. Teorema do Angulo Externo: Um angulo externo de um triangulo e maior que qualquer dos seusangulos internos nao adjacentes.Seja ABC um triangulo qualquer.

Seja D um ponto tal que C esta entre B e D; vamos mostrar que ACD > A e que ACD > B.Seja E o ponto medio de [AC] e seja F o ponto da semirreta oposta a [EB) tal que EF = EB.Temos que 4BEA ∼ 4FEC por LAL (verifique). Portanto A ∼ ECF .Disso, e verificando que o ponto F e ponto interior do angulo ACD, usando tambem o postuladoda adicao de angulos aplicados aos angulos ACD, ACF e FCD, obtemos ACD > B.Analogamente ve-se que ACD > B.

4. (a) Observe a figura a seguir.

Pelo teorema do angulo externo sabemos que b < C. No entanto c+ C = 180. Adicionando-se

c na primeira equacao temos:b + c < C + c = 180

Assim b + c < 180. Analogamente vemos que a + c < 180 e que a + b < 180.

(b) Suponha que `1 nao seja paralela a `2. Logo elas possuem um ponto em comum, digamos P .Considere tambem `1

⋂r = R e `2

⋂r = Q. Dai temos o 4PQR onde Q = 90 e R = 90. Logo

a soma dos dois angulos internos e exatamente igual a 180. Absurdo pois viola o resultado doitem (a) acima.

5. Observe a figura:

(a) Veja Teorema de Crossbar.

(b) Seja E = [BP )∩ [AC]. Usando o teorema do angulo externo no 4ABE sabemos que CEB >

BAC. Novamente utilizando o teorema do angulo externo no 4CEP sabemos que CPB >

CEP . Das duas conclusoes tiramos facilmente o resultado.

6. (a) Considere primeiramente A e B em lados opostos em relacao a `. Assim P0 = [AB]⋂

`.Suponha agora que os pontos se encontram em lados opostos em relacao a `. Considere r areta passando por A e perpendicular a `. Seja O = r

⋂`. Cansidere A′ ∈ r tal que OA = OA′.

Afirmamos que P0 = [A′B]⋂

`. Tal afirmacao se baseia no seguinte: pelo caso LAL, sabemosque 4AOP0 ∼ 4A′OP0, assim AP0 = A′P0 (*). Como d(A,B) = AP0 + P0B podemosanalisar a distancia AP0 com auxilio de A′. Suponha que P0 nao seja como descrito acima.Suponha que seja um outro ponto P ∈ ` qualquer. Dai temos o 4A′PB. Pela desigualdadetriangular sabemos que A′P +PB > A′B. Por (*), AP +PB > A′B, ou seja, a distancia queencontramos nao e a mınima.