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Aula 11
Mais Ondas de Matéria II
Física Geral F-428
1
http://www.bugman123.com/Physics/
2
O átomo de hidrogênio
segundo a Mecânica Quântica
Experimentos de espectroscopia
de átomos de H apresentavam
linhas (raias) espectrais discretas:
p. ex. Série de Balmer 656 486 434 410 (nm)
22
1
2
11
nRH
RH =109737,3 cm-1
n=3, 4, 5, ...
Recordando: O modelo atômico de Bohr (1913)
Motivação experimental: Niels H. D. Bohr
(1885 -1962) Prêmio Nobel de
Física: 1922
3
Considerando o experimento de espalhamento de Rutherford e
as ideias de “quantização” e da existência dos fótons, Bohr
introduziu o seu modelo para o átomo de hidrogênio, baseado
em quatro postulados:
1. O elétron se move em uma órbita circular em torno do
núcleo sob influência da atração coulombiana do núcleo,
(mecânica clássica).
2. O elétron só pode se mover em órbitas que apresentem
momentos angulares L “quantizados”:
,....,,nnL 321
O modelo atômico de Bohr (1913)
4
3. O elétron fica em órbitas “estacionárias” e não emite
radiação eletromagnética. Portanto, a sua energia total E
permanece constante.
4. Radiação é emitida se um elétron, que se move inicialmente
numa órbita de energia Ea , muda para uma órbita de energia
menor Eb. A freqüência f da radiação emitida é dada por:
Em outras palavras, na transição do estado a para o
estado b o átomo emite um fóton de frequência f.
h
EEf ba
O modelo atômico de Bohr (1913)
5
Considerando o núcleo em repouso, a força
elétrica no elétron é dada por
v
-e, m
+e 2
0
2 1
4 r
eF
r
vm
r
e 2
2
0
2 1
4
Para uma órbita circular:
nL
rmvL
rm
nv
2
2
0
2
nme
hr
n
Quantização das órbitas!
O modelo atômico de Bohr (1913)
Se
e 6
Assim, a energia total das diferentes órbitas será dada por:
Portanto, Bohr prevê que as órbitas têm raios:
eVnnh
meE
n 2222
0
4 6,131
8
2
2
0
2
nme
hr
n
5291,02
0
2
0me
hr
2
0nrrn
com
ou
Å (raio de Bohr)
O modelo atômico de Bohr (1913)
Mas: r
e
r
emvUKE
0
2
0
22
842r
vm
r
e 2
2
0
2 1
4
v
-e, m
+e
7
As freqüências emitidas nas transições seriam:
Portanto, Bohr prevê que:
sendo um êxito para a sua teoria!
1
32
0
4
1097378
cmch
meRH
22320
4 11
8 'nnh
me
h
EEf nn
'nn
O modelo atômico de Bohr (1913)
2222320
4
'
1
´
1
´
11
8
1
nnR
nnch
meH
nn
(constante de Rydberg)
222
0
4 1
8 nh
meEn
8
O modelo de Bohr explicou as raias espectrais conhecidas
para o átomo de hidrogênio e mostrou que deveriam existir
outras, fora do espectro visível.
Balmer
9
r
erU
1
4 0
2
O poço de potencial onde o elétron está
confinado (potencial coulombiano) tem
a forma:
A equação de Schrödinger para o elétron nesse potencial é:
)(E)()r(U)(m
rrr 2
2
2
A equação de Schrödinger e o átomo de H
10
11
,,rr
Coordenadas esféricas:
12
/iEtexpφθ,r,tφ,θ,r,Ψ
Lembre-se de que:
É esta a função que procuramos...
ΦΘrR,,r
l número quântico orbital
(Módulo do Momento Angular Orbital)
n número quântico principal
(Energia)
m número quântico
magnético (Orientação
do Momento Angular Orbital)
símbolo valores
n 1, 2, 3,
l 0,..., n-1
m -l,..., l
Como o potencial coulombiano só depende de r, a equação de
Schrödinger pode ser separada em três equações e a função de
onda pode ser separada (em coordenadas esféricas).
Isto produz três equações diferenciais separadas, uma em
cada variável (r, , ) !
A equação de Schrödinger e o átomo de H
13
14
mlmnlm,l,n ΦΘrR,,r
Para estes estados, as soluções da equação de
Schrödinger...
....... são bem comportadas!!
Para tal, impomos condições de contorno....
O número quântico orbital l corresponde aos estados:
(1,0,0)
(2,0,0) (2,1,0) (2,1,1) (2,1,-1)
l = 0, 1, 2, 3, 4,...
(s, p, d, f, g)
0E
4/0
E
9/0
E
(3,1,0) (3,0,0) (3,1,-1) (3,1,1) (3,2,1) (3,2,0) (3,2,2) (3,2,-1) (3,2,-2)
)(rnlm
(n,l,m)
1s
2s 2p
3s 3p 3d
A equação de Schrödinger e o átomo de H
2
1
nEn
15
)r(ER)r(R)r(Udr
)r(dR
rdr
)r(Rd
m
2
2 2
22
•Para o estado fundamental (n = 1, l = 0, m = 0) temos a equação radial
(sem dependência em e ) :
0rr
0
er
r2
3100
1é o raio de Bohr
0; r
• A função de onda do hidrogênio no estado fundamental (1,0,0):
A equação de Schrödinger e o átomo de H
16
17
Algumas funções de onda mais para outros estados do H:
0r/aAqui a0 é o raio de Bohr e
18
Interpretação:
Vale a condição de normalização da densidade de probabilidade:
1
0
dr rP
1dV,,r ,,r*
espaço o todo
Para a densidade de
probabilidade em
todo o espaço:
Para a densidade de
probabilidade radial:
• A densidade de probabilidade associada à função de onda:
Probabilidade de medir
no volume dV
à distância r
densidade de probabilidade
| (r)|2
à distância r
dV =
0
22
3
0
4 rr
err
rP
drrrdVrdrrP 2224
então:
A equação de Schrödinger e o átomo de H
[ p. ex., para o estado fundamental: (n,l,m) = (1,0,0) ]
0
23
0
100
1 rr
er
r
19
z
x
y
Átomo de H: Densidade de Probabilidade Radial
0
22
3
0
4 rr
err
rP
(n,l,m) = (1,0,0)
20
21
P(r)
r
r
r
Átomo de H: Densidade de Probabilidade Angular
22
Construindo os orbitais.......
cos2
0° 1
30° 3/4
45° 1/2
60° 1/4
90° 0
120
°
1/4
135
°
1/2
150
°
3/4
180
°
1
25
htt
p:/
/sev
enco
lors
.org
/post
/hyd
rogen
-ato
m-o
rbit
als
Estado 1s
n=1, l=0, m=0
Estado 2s
n=2, l=0, m=0
Estado 2p
n=2, l=1, m=0
Estado 2p
n=2, l=1, m= 1
Átomo de H: Densidade de Probabilidade Radial
)(112 rP
)(012 rP
26
27
Resumo da aula: Para o átomo de hidrogênio vimos:
• As soluções da equação de Schrödinger;
• Os estados quânticos permitidos,
caracterizados pelos números n, l, m;
• A interpretação probabilística da densidade
de probabilidade | * | e da P(r);
• Representação de alguns orbitais.
Probl. Cap. 39; No. 34:
Um átomo de hidrogênio, inicialmente em repouso no estado n = 4, sofre uma transição para o estado fundamental, emitindo um fóton no processo. Qual é a velocidade de recuo do átomo de H?
Conservação: ;:ouc
Evmpp
foton
recpfotonrec
onde: mH mp (massa do próton)
eV 12,75eV1
1
4
16,13
2214 EEE foton
m/s 08,4)103/(10938
75,12
/ 862 ccm
Ev
p
foton
rec
onde: m/s 103 c e MeV 938 82cm p28
Probl. Cap. 39 No. 35:
No estado fundamental do átomo de hidrogênio, o elétron possuiu uma energia total de -13,6 eV. Quais são (a) a energia cinética e (b) a energia potencial do elétron a uma distância do núcleo igual ao raio de Bohr?
m
CCmN
r
erU
Bohr
Bohr 11
219229
0
2
10292,5
10602,1/.1099,81
4
eVJrU Bohr 2,271036,4 18
eVUEKUKE 6,13)2,27(6,13
b)
a)
29
Probl. Cap. 39; No. 43:
As funções de onda dos três estados cujos gráficos de pontos aparecem na figura abaixo, para os quais n = 2, l = 1 e ml = 0, +1 e -1 são:
;cos24
1),( 2/2/3
210
area
rar ;sen
8
1),,( 2/2/3
112
iar eea
rar
.sen8
1),,( 2/2/3
112
iar eea
rar Observe que a primeira função
de onda é real, mas as outras são complexas. Determine as densidades de
probabilidade radial P(r) e verifique que são consistentes com os gráficos
mostrados: (a) para e (b) para e .
(c) Some as três funções densidade e mostre que o resultado depende
apenas de r, ou seja, que a densidade de probabilidade radial total tem
simetria esférica.
210 112 112
pz px, py
n = 2, l = 1
ml = 0 ml =
1 30
(a)
(b) 2*
211211112112 4),,(),,(,),( rrrrPrP
2/
5
4
112112 sen16
,),( area
rrPrP
;sen16
4sen64
2/
5
422/
5
2arar e
a
rre
a
r 1ii eepois:
2/
5
222
sen16
)( 22 ayxe
a
yx
n = 2, l = 1
ml =
0
ml =
1
pz px, py 31
(c)
= 1
ar
total ea
rrP /
5
4
8)( é independente de e , portanto é
esfericamente simétrica.
2/
5
422
210 cos8
)4( area
rr
2/
5
422
121
22
121 sen16
)4()4( area
rrr
32
