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1 Unidade

Captulo I

Conjuntos_______________________________________________________________________3

Captulo IIFuno_________________________________________________________________________13

Captulo IIIFuno Afim e Sistema_____________________________________________________________23

Captulo IVFuno Quadrtica________________________________________________________________33

Captulo VFuno Exponencial_______________________________________________________________38

Questes do ENEM e Vestibulares__________________________________________________43

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Organizao: Apoio:

Durante todo o seu estudo de Matemtica, ao longo desse curso, voc ter a oportunidade de perceber que a Matemtica exige uma forma bem especfica de se expressar. a chamada linguagem Matemtica, que causa tantos apuros a alguns alunos mais desavisados. Essa linguagem Matemtica nada mais que a traduo da lngua portuguesa escrita em matematiqus, novo idioma que aprenderemos a partir dessa unidade. Voc ter a oportunidade de perceber que esse novo idioma mais fcil do que se imagina pois apenas utilizaremos letras e smbolos para denotar palavras ou expresses que seriam explicitadas literalmente se no fosse a Matemtica. Portanto, bons estudos e no deixe de fazer as questes do ENEM e vestibulares a fim de fixar tudo o que voc aprendeu.

Conjuntos

Iniciaremos nosso estudo com algumas noes da Teoria dos Conjuntos aprendendo alguns smbolos que nos ajudaro a nos expressar na linguagem Matemtica.

Primeiramente devemos ter a real noo de conjunto. Pode-se dizer que um conjunto pode ser considerado como qualquer coleo de objetos, apresentados ou caracterizados pela enumerao ou por uma propriedade que apresentem. Cada um desses objetos chamado elemento do conjunto e bem determinado, distinto dos outros, e satisfaz s condies do conjunto.

Por exemplo, podemos enumerar o conjunto dos pases da Amrica do Norte, o conjunto dos mveis em uma sala de estar, ou o conjunto das vogais. Para isso representaremos um conjunto por uma letra maiscula qualquer, que ser o seu nome (da mesma forma como nossos pais fazem quando nascemos: nos do um nome) sendo seus elementos com letras minsculas separados por vrgulas e colocados entre chaves.

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Captulo I

Assim:

P = {Estados Unidos, Canad}, l-se: conjunto P cujos elementos so os pases da Amrica do Norte;

M = {sof, mesa, cadeira, televiso, aparelho de som, aparelho de DVD}, l-se: conjunto M cujos elementos so os objetos em uma sala de estar;

V = {a, e, i, o, u}, l-se: conjunto das vogais cujos elementos so as vogais do alfabeto portugus.

Podemos dizer que esses elementos que fazem parte desses conjuntos, pertencem ao conjunto que determinam. Da podemos dizer que televiso pertence ao conjunto dos objetos em uma sala de estar, cama no pertence a esse conjunto.

Quando queremos indicar que um elemento k pertence a um conjunto P, escrevemos:

k P (l-se: k pertence a P)

Se k no for elemento de P, escrevemos:

k P (l-se: k no pertence a P)

Podemos tambm representar um conjunto por uma figura geomtrica e os elementos do conjunto por pontos no interior da figura. Essa representao conhecida como diagrama de Venn.

Por exemplo, o conjunto V das vogais formado por:

Por exemplo, no conjunto formado pelas letras da palavra Banana:

B = {b, a, n} e no B = {b, a, n, a, n,a}.

O conjunto das letras da palavra amap:

A = {a, m, p}

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a .u .

e .

i .

o .

V

Na representao do conjunto de letras de uma determinada palavra, no se escreve uma mesma letra duas vezes, ou seja, no se repetem letras. E esse conceito ainda pode ser estendido a qualquer tipo de conjunto em que no repetimos nenhum elemento ao representar esse conjunto.

Captulo I

Determinao

Um conjunto pode ser determinado de trs modos: por enumerao, por extenso ou por compreenso.

Enumerao - quando mencionamos todos os elementos de um conjunto. Por exemplo:

O conjunto das notas musicais

M = {d, r, mi, f, sol, l, si}

Extenso - quando no enumeramos todos os elementos de um conjunto, mas apenas citamos alguns, recorrendo s reticncias para representar os outros e citamos, ou no, o ltimo elemento. Por exemplo:

O conjunto das letras do alfabeto portugus:

P = {a, b, c, d, e, ....., z}

O conjunto dos nmeros mpares positivos:

I = {1, 3, 5, 7, 9, }

Compreenso - quando enunciamos ou citamos uma propriedade caracterstica que todos os elementos possuem, e somente eles. Esse tipo de determinao tem uma notao prpria.

Se o conjunto A dos elementos x tem uma propriedade P, vamos indic-lo pela notao:

A = {x / x P}, l-se: conjunto A constitudo dos elementos x tal que x satisfaz propriedade P.

Assim, se quisermos denotar o conjunto dos nmeros pares representamos por P = {x / x par}.

Vimos que os conjuntos podem ser definidos por trs maneiras: enumerao, extenso ou compreenso. Faamos agora, a representao de um mesmo conjunto dessas trs formas.

Por exemplo, seja o conjunto das consoantes. Vamos defini-lo por enumerao, extenso e compreenso.

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O conjunto das letras do alfabeto um conjunto finito, ou seja, tem um fim, diferentemente do conjunto dos mpares positivos que um conjunto infinito.

Captulo I

C = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} por enumerao.

C = {b, c, d, f, ..., z} definido por extenso.

C = {x / x consoante} por compreenso.

Igualdade

Dois conjuntos so iguais quando tem os mesmo elementos. Assim, se A = {x / x letra da palavra banana}, ou seja, se A = {b, a, n, a, n, a} e B = {b, a, n}, temos: A = B.

Se A no for igual a B, escrevemos: A B (l-se: A diferente de B).

Relaes e Operaes

Relaes

Para que consigamos entender as relaes entre os conjuntos importante que saibamos reconhecer todos os tipos de conjuntos existentes a fim de que possamos trabalhar perfeitamente com essas relaes.

O universo que conhecemos hoje pode ser designado como a totalidade de planetas, estrelas, buracos negros e quaisquer outros corpos csmicos encontrados no espao sideral. Essa noo tambm pode ser aplicada a um conjunto, que recebe o nome de conjunto universo quando formado pela totalidade dos elementos que esto sendo considerados, comumente representado pela letra U. Da mesma forma, quando um conjunto constitudo por apenas um elemento, ele chamado conjunto unitrio e quando ele no tem elemento algum, chamado conjunto vazio, que pode ser denotado por duas formas: { } ou .

Por exemplo:

O conjunto formado pelos insetos providos de nove patas um conjunto vazio.

O conjunto formado pelos satlites naturais da Terra um conjunto unitrio.

Subconjuntos

Um subconjunto um conjunto que est contido em outro conjunto. Assim como o conjunto A = {e, i, o} que um subconjunto do conjunto das vogais. Sendo assim, poderemos

6

Captulo I

formar muitos outros subconjuntos a partir dele. Se um subconjunto est contido em um conjunto qualquer, podemos ento dizer que esse conjunto contm aquele subconjunto. Analogamente, podemos pensar num copo com gua, em que a gua est contida no copo e o copo contm gua. Para denotar essas relaes utilizamos os smbolos para representar a expresso est contido e para representar a expresso contm, assim, se um conjunto A est contido ou subconjunto de B dizemos que A B ou que B A, agora, se A no est contido em B dizemos que A B ou que B A (l-se: B no contm A).

Vejamos um exemplo grfico em que A subconjunto de B:

A U

B U

A B

Observemos aqui que qualquer conjunto est contido em si mesmo, ou seja, A A, qualquer que seja A. Na comunidade Matemtica admitido que o conjunto vazio esteja contido em qualquer conjunto, portanto A, qualquer que seja A.

Operaes Entre Conjuntos

Nessa parte do nosso estudo de conjuntos aprenderemos que eles tambm podem operar entre si. As operaes bsicas entre os conjuntos so: Unio, Interseo, Diferena e Complementao.

Unio - Dados dois conjuntos A e B, chamamos conjunto unio, ou reunio de A e B, ao conjunto C dos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

Simbolizamos a unio de A com B assim: C = A B. Por exemplo:

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Importante - Inicialmente, em nossos estudos da Teoria dos Conjuntos, vimos a relao entre elemento e conjunto em que usamos os smbolos e , e essas relaes recebem o nome de relao de pertinncia. A partir da, vimos a relao entre os conjuntos, que so as relaes de incluso (, ), excluso (, ) e igualdade (, =).

U

6.7.

1.

15.

6.

8.2. 4

.

10.

Captulo I

Se A = {1, 5, 6, 7, 8, 15} e B = {2, 4, 6, 7, 10}

Ento A B = C = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15}

Graficamente, a representao desse conjunto unio fica assim, em que C a rea em verde:

Interseo - Dados dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto interseo o conjunto formado pelos elementos comuns de A e B, ou seja, o conjunto C cujos elementos pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.

Simbolizamos a interseo de A com B assim:

C = A B.

Se A = {1, 5, 6, 7, 8, 15} e B = {2, 4, 6, 7, 10}

Ento A B = C = {6, 7}

Graficamente, a representao desse conjunto interseo fica assim, em que C a rea roxa:

Diferena - Dados dois conjuntos A e B, chamamos conjunto diferena A B ao conjunto C dos elementos de A que no pertencem a B e da mesma forma chamado conjunto diferena de B A ao conjunto D dos elementos de B que no pertencem a A.

Analogamente, podemos entender a diferena entre dois conjuntos da mesma forma que a diferena entre dois nmeros. Por exemplo, 5 3 = 2 pode ser compreendido da seguinte forma: de cinco unidades retira-se trs unidades e restam duas unidades. Em conjuntos, no exemplo A - B, de um conjunto A retira-se os elementos que tambm so de B e resta os elementos que pertencem apenas a A.

Por exemplo:

Seja A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}

A B = {1, 3, 5} (de A foi retirado os elementos que tambm pertenciam a B)

B A = {6, 8} (de B foi retirado os elementos que tambm pertenciam a A)

Na figura ao lado verificamos essas diferenas graficamente, em que a diferena representada pela parte em azul:

8

6.7.1.

15.

8.

5.2.

4.

10.

Captulo I

Complementao - Dados dois conjuntos A e B, com A B, chamamos conjunto complementar de A em relao a B diferena B A.

Em outras palavras, podemos definir o conjunto complementar de A em relao a B assim:

Definio 2 - Se um conjunto A est contido em um conjunto B sabemos que todo elemento de A tambm elemento de B, mas podem existir elementos em B que no esto em A. O conjunto formado por estes elementos chamando complementar de A em relao a B e sua representao C BA .

Em diagrama temos, em que a rea mais escura refere-se a C BA :

Conjuntos Numricos

O homem durante sua evoluo foi cada vez mais se aprimorando a fim de perpetuar sua existncia, ele logo criou utenslios para caa, inventou a roda, descobriu o fogo e com o passar do tempo ainda inventou smbolos para representar os nmeros. Mas e os nmeros, como nasceram? J se passou pela sua cabea como se deu isso? Bom, esse nascimento deu-se de forma natural, como no poderia ser diferente. Aquele que tenha um certo conhecimento de histria j deve ter percebido que desde o incio da civilizao a principal ocupao do homem era cuidar de seu rebanho para seu sustento. Mas como esse pastor iria saber se alguma ovelha tinha fugido ou sido raptada se no havia nmeros para que ele contasse quantas ovelhas tinha? Como iria comparar com a quantidade de ovelhas do dia anterior? O homem criou uma forma curiosa de contar suas ovelhas: para cada ovelha em seu rebanho, uma pedra ele adicionava em um saco, tendo certeza de que a quantidade de pedras no saco era a mesma de ovelhas em seu rebanho, podendo ainda conferir essa quantidade no dia seguinte, pois se sobrassem pedras no seu saco aps a conferncia, ele saberia que teria prejuzo.

Foi dessa forma que se iniciou o processo de contagem, da necessidade de se contar algo, e aps essa necessidade, paulatinamente, foram nascendo outros tipos de nmeros que

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Dois conjuntos que tem interseo vazia so chamados de conjuntos

disjuntos.

Captulo I

no fossem inteiros positivos, como o zero (0) e os nmeros negativos: -1, -2, -3, ...

Conjunto dos Nmeros Naturais ( )

O conjunto dos nmeros naturais formado pelos primeiros nmeros que nasceram naturalmente conforme dito no texto anterior, como o prprio nome sugere. Ele composto por todos os nmeros inteiros e positivos e representado pelo smbolo dessa forma:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Como podemos perceber este conjunto ordenado, ou seja, tem uma ordem definida e infinito.

Conjunto dos Nmeros Inteiros ( )

O conjunto dos nmeros inteiros contm o conjunto , dos nmeros naturais e ainda o oposto desses nmeros naturais mais o nmero zero. Eis o conjunto :

= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Repare que . No conjunto distinguimos dois subconjuntos:

Conjunto dos nmeros inteiros no negativos ( + )

+ = {0, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos nmeros inteiros no positivos ( - )

- = {..., -3, -2, -1, 0}

Repare que o zero elemento neutro, ou seja, no tem sinal, portanto no pode ser considerado nem positivo e nem negativo, por isso consta em ambos os subconjuntos do conjunto dos nmeros inteiros. Em geral convencionamos ainda o seguinte: um asterstico (*) acrescido letra que designa o conjunto, significa que o zero foi excludo do mesmo. Assim:

* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

+* = {1, 2, 3, 4, }

Conjunto dos Nmeros Racionais ( )

Pense um pouco, o que te lembra a palavra racional? Se voc pensou na palavra

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Muitos livros didticos incluem o zero no conjunto dos nmeros naturais, outros no. Esta apostila opta por incluir o nmero zero apenas a partir do prximo conjunto que veremos a seguir.

Captulo I

razo acertou, pois um nmero racional qualquer nmero que pode ser escrito como uma razo. Mas o que seria razo? Ser que podemos associar essa razo quela frase filosfica de Shakespeare em Hamlet: Ser ou no ser, eis a questo?

Em Matemtica, razo tem um sentido um pouco diferente daquela em filosofia, no tem nada a ver com o racional humano, mas com a razo entre dois nmeros. E para representarmos uma razo entre dois nmeros utilizamos a frao, que, por sua vez, alm de representar parte de um todo, tambm representa uma diviso. Ento, podemos dizer que um nmero racional, que um nmero que pode ser escrito como uma razo, qualquer nmero que pode ser representado atravs de uma frao. Portanto, se escolhermos qualquer nmero natural, esse nmero tambm ser um racional? A resposta sim, pois o que nos impediria de

escrever 63 ao invs de 2 seno a facilidade em escrever mais rpida e sucintamente?

Seguindo esse raciocnio, qualquer nmero inteiro, quer seja positivo ou negativo, pode ser escrito como uma frao, incluindo o zero. Da se segue que . Mas esse conjunto dos racionais tem outros representantes alm de , pois se estamos contando com os nmeros inteiros em forma de frao para compor , devemos tambm incluir qualquer nmero fracionrio, positivo ou negativo, incluindo as dzimas peridicas (que tambm podem ser escritas em forma de frao). Por fim, os nmeros decimais com um nmero finito de casas decimais tambm devem constar em , pois estes tambm podem ser representados em forma de frao. Assim, o conjunto dos nmeros racionais representa-se dessa forma:

= {nmeros decimais finitos, fraes, , dzimas peridicas}

Formalmente, devemos dizer que todo aquele que pode ser representado na

forma fracionria pq com numerador e denominador inteiros e o denominador diferente de

zero. Em linguagem Matemtica:

= {x / x = pq com p , q , q 0}.

Conjunto dos nmeros irracionais ( ou I)

Ao contrrio dos nmeros racionais, os irracionais so aqueles nmeros que no podem ser representados como uma razo, ou seja, no tem como coloc-los em forma de frao. E a esse grupo de nmeros chamamos de nmeros irracionais. Voc deve estar tentando imaginar algum nmero que voc conhea que seja irracional, mas eles so mais comuns que se imagina. Tente com uma calculadora encontrar os seguintes resultados e procure algo em comum entre esses resultados: 2 ,3 ,5 , 37 , 510 . Voc deve ter percebido que o resultado desses nmeros foi um nmero com vrgula e infinitas casas decimas, apesar de voc ter apenas conseguido enxergar algumas casas em sua calculadora. Voc deve ter percebido tambm que no existe nenhum padro entre os algarismos decimais, ao contrrio das dzimas peridicas, que recebem esse sobrenome peridica justamente pela existncia desse padro ou perodo. E justamente este padro que possibilita essa dzima a ser escrita como uma frao, portanto se esses nmeros citados acima tem como resultado um nmero com infinitas ordens decimais sem padro algum, ou seja, no peridicos, eles no podem ser representados por uma frao, ento so irracionais.

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Captulo I

Por incrvel que parea, existem infinitos nmeros irracionais, e essa qualidade atribuda , por exemplo, raiz quadrada de qualquer nmero que no seja um quadrado perfeito (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ....). Outros nmeros irracionais, como so frequentemente usados na Matemtica, recebem representaes como = 3,1415926535..., e = 2,718...(usado em bases logartmicas) etc.

Conjunto dos Nmeros Reais ( )

Podemos perceber que um nmero no pode ser racional e irracional ao mesmo tempo, ou seja, ou um ou outro, e se unirmos e em um nico conjunto formaremos o conjunto dos nmeros reais. Formalmente dizemos que =

Unindo todos os conjuntos em um s diagrama e ainda lembrando que temos:

12

Captulo I

Produto Cartesiano, Relao e Funo

Antes de entrarmos no estudo de Produto Cartesiano necessrio alguns conhecimentos de par ordenado.

Par Ordenado

Denominamos par ordenado a um par de elementos (a,b) em uma ordem pr-fixada, sendo a o primeiro elemento e b o segundo elemento.

Ex.: Vamos distribuir trs bolas idnticas dispostas em duas caixas numeradas (caixa I e caixa II).

Os resultados possveis dessa distribuio so representadas por (0,3), (1,2), (2,1) e (3,0), em que particularmente (0,3) indica nenhuma bola na caixa I e trs bolas na caixa II; (3,0) indica trs bolas na caixa I e nenhuma na caixa II.

Repare que no foram usadas as tradicionais chaves, mas sim parnteses.

Denominamos par todo conjunto formado com dois elementos. Eis alguns exemplos: {0,3}, {1,2}, {a,b}.

De acordo com a noo de igualdade de conjuntos, se invertermos a ordem dos elementos, o par continuar o mesmo.

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Caixa I Caixa II

(0,3)

Caixa I Caixa II

(1,2)

Caixa I Caixa II

(2,1)

Caixa I Caixa II

(3,0)

Captulo II

{0,3} = {0,3}, {1,2} = {2,1}, {a,b} = {b,a}.

Em muitos problemas, como no exemplo acima, temos a necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Nesses casos, em que a ordem importante, usamos pares ordenados. Assim, com o par {0,3} podemos formar dois pares ordenados: (0,3) e (3,0).

Um par ordenado (x,y) igual ao par (a,b) se, e somente se, x = a e y = b, isto ,

Isso quer dizer que dois pares ordenados so iguais se, e somente se, os elementos correspondentes tambm o forem.

Ex.: (a,b) = (3,2) a = 3 e b = 2.

Produto Cartesiano

Dados os conjuntos A = {1,2} e B = {1,2,3}, vamos obter os pares ordenados (x,y) tais que xA e yB :

Observe que, de cada elemento de A, saem 3 setas. Isto porque cada elemento do 1 conjunto se corresponde com todos os trs elementos do 2 conjunto.

Quando relacionamos cada um dos elementos de um conjunto com todos os elementos de outro conjunto, encontramos o produto cartesiano entre esses dois conjuntos. Isto , o conjunto {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}, formado por todos os pares com primeiro elemento em A e segundo em B, denominado produto cartesiano de A por B e indicado A x B (l-se: A cartesiano B).

O nome Produto Cartesiano se deve ao fato de que para se descobrir o nmero de elementos de A x B, ou seja, o nmero de pares ordenados no conjunto A x B, deve-se

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1

2

1

2

3

A B

Em geral, temos: A x B = {(x,y)/ xA e yB }

x , y =a , b x=a e y=b

Captulo II

multiplicar o nmero de elementos de A pelo nmero de elementos de B. No exemplo acima, A tem 2 elementos e B tem 3, ento o produto cartesiano tem 6 elementos, isto , n(A x B) = 2 x 3 = 6

Obs.: No, necessariamente, A x B ser igual a B x A. Ainda no exemplo inicial, B x A = {(1,1), (1,2), (2,1),(2,2), (3,1), (3,2)} diferente de A x B.

Exemplo

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. Determine os produtos cartesianos A x B e B x A, verifique se so iguais e determine o nmero de elementos desses produtos cartesianos.

A x B = {(1,5), (1,6), (1,7), (2,5), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6), (3,7), (4,5), (4,6), (4,7)}

B x A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (7,1), (7,2), (7,3), (7,4)}

A x BB x A

n(A x B) = n(B x A) = 3 x 4 = 4 x 3 = 12 elementos

Representao grfica do produto cartesiano

O produto cartesiano pode ser representado por meio de flechas (Diagrama de Venn) ou pelo plano cartesiano.

A representao por meio de flechas est representada no exemplo anterior.

Representao no meio cartesiano:

Podemos representar os pares ordenados de um produto cartesiano em um grfico denominado plano cartesiano, que assim construdo:

15

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Captulo II

da reta horizontal (x), tambm chamada eixo das abscissas, saem as linhas perpendiculares referentes aos valores de A;

da reta vertical (y), ou eixo das ordenadas, saem as linhas perpendiculares referentes aos valores de B.

Os pares ordenados so representados pela interseo das paralelas aos eixos, traadas a partir dos pontos que representam os elementos de A e de B. Por exemplo: Sejam A = {1,3,5} e B = {2,4,6}

A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)}

O grfico que representa o produto cartesiano de A x B assim representado:

Os pares ordenados, localizados no plano cartesiano, so chamados de coordenadas cartesianas.

Relao

Consideremos os conjuntos: A = {1,2} e B = {3,4,5} e determinemos o produto cartesiano A x B.

A x B = {(1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5)}

Vamos escolher alguns subconjuntos de A x B.

R1 = {(2,5)} Repare que R1AxB , porque R1 uma relao do par ordenado

16

-2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

(x,y) = (1,2) (x,y) = (3,2) (x,y) = (5,2)

(x,y) = (1,4) (x,y) = (3,4) (x,y) = (5,4)

(x,y) = (1,6) (x,y) = (3,6) (x,y) = (5,6)

Captulo II

(2,5) que est contido no produto cartesiano A por B.

R2 = {(1,3), (1,4)} Aqui, tambm, R2AxB , porque R2 uma relao dos pares ordenados (1,3), (1,4) que esto contidos no produto cartesiano A por B.

R3 = {(2,3), (2,5)} R3AxB , porque R3 uma relao dos pares ordenados (2,3), (2,5) que esto contidos no produto cartesiano A por B.

Qualquer desses subconjuntos uma relao de A x B. Em outras palavras:

Simbolicamente: R relao de A em B RAxB

Para que haja relao, necessrio que x , y AxB , ou seja, que o 1 elemento (x) do par ordenado pertena ao conjunto A e o 2 elemento (y), ao conjunto B. Assim:

x , y AxB xAe yB

H, ainda, outras condies a que as relaes devem obedecer.

Exemplo: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5,6}, R = { x , y AxB / y = 2x}.(L-se: R a relao constituda pelos pares ordenados (x,y), pertencentes ao produto cartesiano de A por B, tal que o 2 elemento do par (y) seja o dobro do 1 elemento (x), ou seja, y = 2x)

O produto cartesiano : {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}

Mas os pares ordenados que satisfazem relao de y = 2x so (1,2), (2,4), (3,6), pois nenhum dos outros pares ordenados tem o segundo elemento como o dobro do primeiro.

Domnio e Imagem de uma relao

Domnio de uma relao o conjunto formado pelo primeiro elemento de cada par ordenado (x) que satisfaz a essa relao. O domnio est contido no conjunto A. Simbolicamente, escrevemos: D RA .

Imagem de uma relao o conjunto constitudo pelo segundo elemento de cada par ordenado (y) que satisfaz relao. A imagem est contida em B. Simbolicamente, escrevemos: Im(R) B.

Exemplo:A = {0,2,4,6,8,10} e B = {1,3,5,7,9,11}

R = { x , y AxB /x-1 = y}

Apesar do produto cartesiano A x B conter 36 elementos, R = {(2,1), (4,3), (6,5), (8,7),

17

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um conjunto R a relao de A em B, se R for um subconjunto de A x B.

Captulo II

(10,9)} pois satisfaz condio x-1 = y.

Ento, D(R) = {2,4,6,8,10} e Im(R) = {1,3,5,7,9}

Em diagrama:

Veja que a imagem da relao o conjunto {1,3,5,7,9} que est contido no contradomnio.

Funo

Podemos dizer que toda funo uma relao. Mais ainda, um caso particular de relao.

Podemos ainda afirmar que uma relao R de A em B uma funo ou aplicao quando para cada elemento de A corresponder um nico elemento de B. Vejamos um exemplo:

Observe que para cada elemento do conjunto A corresponde um nico elemento do conjunto B.

18

0

4

86

2D(R)

1

10

Im(R)

97

35

AB

11

A B

O conjunto D(R) A chamado domnio ou conjunto de partida; o conjunto B chamado contradomnio ou conjunto de chegada. No exemplo dado, o domnio tem os seguintes elementos: {2,4,6,8,10}; o contradomnio consta dos seguintes elementos: {1,3,5,7,9,11}

Captulo II

Levando em considerao este critrio, analisaremos as seguintes relaes:

Esta relao no uma funo,pois existe um elemento em A que no tem correspondente em B.

Esta relao funo, pois a cada elemento de A corresponde um nico elemento de B.

Esta relao tambm funo, pois a cada elemento de A corresponde um nico elemento de B.

Esta relao tambm uma funo, pelo mesmo motivo que as anteriores.

Esta relao no funo, pois existe um elemento em A que tem dois correspondentes em B.

Esta relao tambm funo.

19

A B

A B

A B

A B

A B

A B

Captulo II

Podemos concluir que:

Para representarmos uma funo f de A em B utilizamos as seguintes notaes:

f : AB ou f

AB f: f : x y ou f(x) = y

Ento podemos concluir que:

Dados dois conjuntos A e B e uma relao f de A em B, dizemos que f uma funo de A em B se todo elemento x de A estiver associado a um nico elemento y de B, tal que (x,y) f.

Domnio e conjunto-imagem de uma funo

Consideremos os conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,2,4,6,8}.

Associemos os elementos de A aos de B de acordo com a seguinte relao R = {x , y AxB /y = 2x}.

Ento, Para x = 1, temos y = 1 . 2 = 2

Para x = 2, temos y = 2 . 2 = 4

Para x = 3, temos y = 3 . 2 = 6

Utilizando diagramas com flechas, temos:

D(f) = A = {1,2,3}

20

A B12

3

0

42

68

ou

y imagem de x pela relao ff de A em B

Para que uma relao seja funo necessrio partir uma flecha de todo elemento de A.

Captulo II

Observamos que esta relao uma funo f de A em B e podemos represent-la assim: f : x y , definida por f(x) = 2x. A funo f(x) = {(1,2), (2,4), (3,6)}.

O conjunto B (de chegada) o campo de variao da funo, assim representado C(f), e lemos contradomnio da funo.

No exemplo dado, temos:

C(f) = B = {0,2,4,6,8}

A imagem B constituda pelo segundo elemento de cada par ordenado que satisfaz a funo.

Em diagrama:

Representao grfica de uma funo

Daremos apenas alguns exemplos de representao grfica de funo, porque j fizemos a representao grfica de relao e, como voc j sabem, funo um caso particular de relao. Portanto, as representaes so as mesmas.

Exemplos

Dados, A = {1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,5,6,7}, vamos construir os grficos da funo f: AB, definida por f(x) = 3x-2.

Plano cartesiano

x f(x) = 3x-2

y

1 3 . 1 - 2 12 3 . 2 - 2 4

3 3 . 3 - 2 7

Vejam que D(f) = {1,2,3} = A e Im(f) = {1,4,7}

21

123

A

D(f)246

8

Im(f)

0 B = C(f)

No domnio:

no sobra elemento

no parte mais de uma flecha de cada elemento

1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Captulo II

Representao sagital ou em flechas (Diagrama de Venn)

Se fosse uma funo f de em , o grfico cartesiano seria diferente. Veja:

O grfico de uma funo real, que tem por imagem qualquer nmero real, formado por todos os pares (x,y), onde x e f(x) = 3x-2. por isso que traamos a reta.

22

1

2

3

A B4

51

6

320

7

-2 -1 1 2 3

-9

-8

-7

-6

-5-4

-3

-2

-1

1

2

3

45

6

7

8

x

y

0

Captulo II

Funo Afim

Jos Roberto toma um txi comum que cobra R$ 2,60 pela bandeirada e R$ 0,65 por quilmetros rodados. Ele quer ia casa de um amigo que fica a 10 km dali. Quanto Jos Roberto vai gastar de txi?

Ele ter de pagar os 10 x R$ 0,65 pela distncia percorrida e mais R$ 2,60 pela bandeirada, ou seja, R$ 6,50 + R$ 2,60 = R$ 9,10.

Se a casa do seu amigo ficasse a 15 km de distncia, o preo da corrida (em reais) seria: 0,65.15 + 2,60 = 9,75 + 2,60 = 12,35.

Enfim, para cada distncia x percorrida pelo txi h certo preo c(x) para a corrida. O valor c(x) uma funo de x.

Podemos encontrar facilmente a lei que expressa c(x) em funo de x: c(x) = 0,65 . x + 2,60, que um caso particular de funo polinomial do 1 grau, ou funo afim.

Chama-se funo polinomial do 1 grau, ou funo afim, a qualquer funo f de em dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a0.

Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficiente de x ou coeficiente angular e o nmero b chamado termo constante ou coeficiente linear.

Exemplo:

Na funo f(x) = 2x 3, o coeficiente angular o 2 e o linear o -3.

Na funo f(x) = -3x + 4, o coeficiente angular o -3 e o coeficiente linear o 4.

Vamos obter o grfico da funo afim f(x) = 2x + 1

23

Captulo III

x f(x) = 2x + 1 y

-2 2 . (-2) + 1 -3

-1 2 . (-1) + 1 -1

0 2 . 0 + 1 1

1 2 . 1 + 1 3

2 2 . 2 + 1 5

Zero da funo afim: y = ax + b

O zero (ou raiz) da funo afim, assim como de qualquer outra funo, o valor para o qual a funo f(x) = ax + b se anula. Determinar esse valor nada mais do que resolver a

24

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

y = 2x+1

Voc dever ter observado que o ponto (0,1) o ponto em que a reta corta o eixo y. O valor da ordenada nesse ponto 1.

Tambm deve ter percebido que 1 o coeficiente linear (valor de b) da equao. Coincidncia?

Encontre os grficos das equaes: y = 3x 2, Y = -2x + 1 e y = x - 1 e tire suas prprias concluses.

Captulo III

equao ax + b = 0.

Portanto, o zero da funo f(x) = 2x 8 vale 4, pois fazendo 2x 8 = 0 obtemos x = 4.

Desafio: Encontre as razes das funes y = 2x + 4, y = -x + 1 e y = x - 2 e compare, graficamente, esses resultados com o ponto em que a reta intercepta o eixo das abcissas (eixo x).

Sistema de Equaes

Vimos no incio do captulo que o valor y, do preo da corrida, depende do valor x, da quantidade de quilmetros rodados.

Analisando essa funo (y = 0,65x + 2,60) chegamos a concluso que s possvel resolv-la se conhecermos uma das duas incgnitas, ou seja, no temos informaes suficientes para saber os valores corretos de x e y caso ambas tenham um valor fixo desconhecido.

Ento precisaremos de outra equao envolvendo essas incgnitas afim de que consigamos encontrar esses valores. Da, com duas equaes envolvendo as mesmas incgnitas, teremos um sistema de duas equaes.

Exemplo

Os alunos do 2 ano de uma escola do interior organizaram uma festa junina no ptio da escola. Havia vrias opes de divertimento: quadrilha, bingo, gincanas, etc. Trs barracas, B1, B2 e B3, distribudas no ptio, ofereciam exatamente as mesmas opes de alimentao: churrasco, quento e pastel; cada uma dessas trs opes tinha o mesmo preo nas trs barracas. Ao final da noite, encerrada a festa, fez-se um balano sobre o consumo nas barracas e verificou-se que:

na barraca B1, foram consumidos 28 churrascos, 42 quentes e 48 pastis, arrecadando um total de R$ 102,00;

na barraca B2, foram consumidos 23 churrascos, 50 quentes e 45 pastis, arrecadando um total de R$ 95,00;

na barraca B3, foram consumidos 30 churrascos, 45 quentes e 60 pastis, arrecadando um total de R$ 117,00

Qual o preo de um churrasco? E de um quento? E de um pastel?

Vamos usar a seguinte denominao:

a) x o preo unitrio do churrascos;

b) y o preo unitrio do quento;

25

Captulo III

c) z o preo unitrio do pastel;

Com essa notao, vemos que:

a) O total arrecadado em B1 dado por:

28 . x + 42 . y + 48 . z

Assim, 28x + 42y + 48z = 102,00 (I)

b) O total arrecadado em B2 dado por:

23 . x + 50 . y + 45 . z

Assim, 23x + 50y + 45z = 95 (II)

c) Analogamente, em B3 segue que:

30x + 45y + 60z = 117 (III)

Considerando, simultaneamente, (I), (II) e (III), obtemos o sistema que um sistema linear, objeto de nosso estudo nesse captulo.

Resolvendo um Sistema

Como j pudemos verificar no exemplo anterior, um sistema pode aparecer em qualquer situao do nosso cotidiano. Vejamos mais um exemplo:

Pedro e Paulo conversam despreocupadamente quando chega Jos, um amigo comum, que est para se aposentar. Jos fala sobre as idades das pessoas que se aposentam e percebe que os dois amigos ainda esto longe da aposentadoria. Ento, ele pergunta:

- Que idade vocs tem?

Pedro, o mais velho, percebendo um pequeno erro na pergunta, responde:

- Ns temos 72 anos.

26

28x + 42y + 48z = 10223x + 50y + 45z = 95 , 30x + 45y + 60z = 117

Observe que o sistema acima tem 3 incgnitas (x, y e z) e 3 equaes. Voc acha que seramos capazes de resolver esse sistema se tivssemos apenas 2 equaes e ainda mantendo as 3 incgnitas?

Captulo III

A conversa, ento, segue assim:

Jos: - Como? Voc est brincando comigo. Esse a no passa de um garoto e voc certamente no chegou aos 50.

Pedro: - Da maneira que voc perguntou, eu respondi. Ns, eu e Paulo, temos juntos 72 anos.

Jos: - Est bem, eu errei. Eu devia ter perguntado que idades vocs tem. Mas, pela sua resposta, eu no consigo saber as idades de cada um.

Pedro: - claro que no. Voc tem duas coisas desconhecidas e apenas uma informao sobre elas. preciso que eu lhe diga mais alguma coisa e, a sim, voc determina nossas idades.

Jos: - Diga.

Pedro: - Vou lhe dizer o seguinte. A minha idade o dobro da de Paulo. Agora, Jos, voc tem duas coisas desconhecidas, mas tem tambm duas informaes sobre elas. Com a ajuda da matemtica, voc poder saber nossas idades.

Vamos pensar um pouco na situao apresentada. Jos tem duas coisas a descobrir: a idade de Pedro e a idade de Paulo. Essas so suas incgnitas. Podemos ento dar nomes a essas incgnitas:

idade de Pedro = x

idade de Paulo = y

A primeira informao que temos que os dois juntos possuem 72 anos. Ento, nossa primeira equao :

x + y = 72

A outra informao que temos que a idade de Pedro o dobro da idade de Paulo. Com isso, podemos escrever a nossa segunda equao:

x = 2y

Essas equaes formam o sistema

Esse sistema, pela sua simplicidade, pode ser resolvido sem necessidade de nenhuma tcnica especial. Se a segunda equao nos diz que x igual a 2y, ento substituiremos a letra x da primeira equao por 2y. Veja:

x + y = 72

2y + y = 72

3y = 72

27

x + y = 72x = 2y

Captulo III

y = 723 y = 24

E como x = 2y, ento x = 2 . 24 y = 48. Dessa forma, conclumos que Pedro tem 48 anos e Paulo 24 anos.

Mas, nem sempre os sistemas so to simples assim. Nesta parte deste captulo, vamos aprender dois mtodos que voc pode usar na soluo dos sistemas:

Mtodo da Substituio

O sistema do problema anterior foi resolvido pelo mtodo da substituio. Vamos nos deter um pouco mais no estudo desse mtodo prestando ateno na tcnica de resoluo.

Agora, vamos apresentar um sistema j pronto, sem a preocupao de saber de onde ele veio. Vamos, ento, resolver o sistema:

Para comear, devemos isolar uma das letras em qualquer uma das equaes. Observando o sistema, vemos que o mais fcil isolar a incgnita y na segunda equao; assim:

4x y = 11 4x 11 = y ou y = 4x 11

Isso mostra que o valor de y igual a 4x 11. Assim, podemos trocar um pelo outro, pois so iguais. Vamos ento substituir y por 4x 11 na primeira equao.

3x + 2y = 22

3x + 2(4x 11) = 22

Temos agora uma equao com uma s incgnita, basta resolv-la. Desenvolvendo a equao temos:

3x + 2(4x 11) = 22 3x + 8x 22 = 22 11x = 44 x = 4

J temos o valor de x. Repare que logo no incio da soluo tnhamos concludo que y = 4x 11. Ento, para obter y, basta substituir x por 4.

y = 4x - 11 y = 16 - 11 y = 5

A soluo do nosso sistema , portanto, x = 4 e y = 5.

28

3x +2y = 224x y = 11

Captulo III

Mtodo da Adio

Para compreender o mtodo da adio, vamos recordar inicialmente o que significa somar duas igualdades membro a membro. Se temos:

A = B e C = D

podemos somar os dois primeiros termos e os dois segundos termos das duas equaes, ou seja, os dois lados esquerdos e os dois lados direitos, para concluir:

A + C = B + D

Consideremos agora o seguinte problema:

Encontrar 2 nmeros, sabendo que sua soma 27 e que sua diferena 3.

Para resolv-lo, vamos chamar os nmeros desconhecidos de x e y. De acordo com o enunciado, temos as equaes:

Veja o que acontece quando somamos membro a membro as duas equaes:

x = 15

Encontramos o valor de x. Para encontrar o valor de y vamos substituir x por 15 em qualquer uma das equaes. Por exemplo, na segunda:

15 y = 3

29

Ao resolver um sistema, sempre aconselhvel conferir a resposta encontrada para ver se no erramos na soluo. Os valores de x e de y encontrados estaro certos se eles transformarem as duas equaes em igualdades verdadeiras.

x + y = 27x y = 3

No mtodo da substituio pode-se isolar qualquer uma das duas incgnitas em qualquer das equaes e, depois substituir a expresso encontrada na outra equao.

x + y = 27 + x y = 3 x + x + y y = 27 + 3

2x = 30

Captulo III

y = 15 3

y = 12

A soluo do problema , portanto, x = 15 e y = 12.

Desafio: Resolva o seguinte sistema pelo mtodo da adio:

Dica: Em qualquer equao, podemos realizar a mesma operao aritmtica nos 2 membros. Por exemplo:

a + b = c d k.(a + b) = (c d).k ka + kb = kc kd

ou

a + b = c d ab

n=cd

n a

nbn= cn dn

Interpretao Geomtrica de um Sistema

Vejamos uma situao em que podemos aplicar sistemas para resolver problemas:

A Mercearia A, uma concorrente da Mercearia B, estava cobrando por certa mercadoria o dobro do preo que a outra pedia. Percebendo que isso impressionava mal a clientela, o dono da Mercearia A decidiu dar um desconto de R$ 10,00 no seu preo. Seu concorrente rebateu, ento, dando o mesmo desconto de R$ 10,00 na mercadoria. Desse modo, o preo na Mercearia A ficou agora o triplo do preo na Mercearia B! Quanto cada mercearia estava pedindo pela mercadoria?

Podemos extrair duas informaes desse problema:

I. A Mercearia A cobrava o dobro do preo de uma mercadoria que a Mercearia B cobrava.

II. Aps os descontos de R$10,00 das duas mercearias, o preo na Mercearia A

30

8x + 3y = 215x + 2y = 13

O mtodo da adio consiste em somar membro a membro as duas equaes, com o objetivo de eliminar uma das incgnitas. No sistema que resolvemos, a incgnita y foi eliminada quando somamos membro a membro as duas equaes. Mas isso, frequentemente, no acontece dessa forma to simples. Em geral, devemos ajeitar o sistema antes de somar.

Captulo III

ficou o triplo do preo na Mercearia B.

Vamos chamar de x o valor cobrado antes do desconto na Mercearia B e de y o valor cobrado antes do desconto na Mercearia A.

Podemos resumir os valores da mercadoria antes e depois do desconto numa tabela:

Mercadoria Mercearia B Mercearia APreo antes do desconto x y

Preo depois do desconto x - 10 y - 10

Portanto, escrevendo em linguagem matemtica, de I temos que y = 2x, e de II temos que y 10 = 3(x 10).

Podemos montar um sistema:

Antes de continuarmos, devemos arrumar a equao y - 10 = 3(x 10). Ento:

y 10 = 3x 30

y = 3x 30 + 10

y = 3x - 20

Assim, o sistema fica:

Resolvendo por substituio temos:

2x = 3x 20 20 = x ou x = 20 .

Da, y = 2.20 = 40 y = 40

Ento, a Mercearia B estava cobrando R$ 20,00 pela mercadoria, enquanto que a Mercearia A cobrava R$ 40,00 (o dobro). Os preos caram aps os descontos para R$ 10,00 e R$ 30,00 (o triplo).

Visualizando o Problema

Aprendemos no captulo 2 que o plano cartesiano usado em problemas que envolvem no mximo duas grandezas.

Nele, essas grandezas podem ser interpretadas como duas variveis, x e y, cada qual sendo representada em um dos eixos. O que fazemos, em cada problema, ento, representar graficamente as relaes existentes entre x e y, para da procurar no grfico a soluo que o problema pede.

31

y = 2xy - 10 = 3(x - 10)

y = 2xy = 3x - 20

Captulo III

No problema que acabamos de resolver, encontramos essas relaes entre x e y, expressas num sistema de duas equaes:

O grfico de y = 2x uma reta. Nela esto contidos pontos (x, y) como os encontrados por esta tabela, e que esto assinalados no grfico:

x y = 2x

0 05 10

10 2014 28

Repare que no grfico foram contemplados todos os infinitos pontos (x,y) de y = 2x e no apenas aqueles encontrados na tabela.

Mas, esse mesmo x e esse mesmo y que satisfazem primeira equao, tambm devem satisfazer segunda equao, afinal de contas eles representam a mesma coisa nas duas equaes, os valores da mercadoria nas duas mercearias.

Portanto, podemos concluir que o ponto (x, y), que representa o valor das incgnitas x e y, deve tambm estar sobre y = 3x 20.

Concluso: o ponto (x, y) procurado deve estar sobre as duas retas. Logo, deve ser o ponto de interseo delas! Veja no grfico:

32

y = 2xy = 3x - 20

10 20

-10

10

20

30

40

x

y

(x,y) = (20,40)

y = 3x - 20

y = 2x

Soluo: As retas do grfico, nesse exemplo, na realidade, so semirretas, j que x e y representam preos, que no podem ser negativos. Portanto, temos mais uma restrio para x em y = 3x 20. Fazendo 3x 20 0 obtemos x 20/3.

Captulo III

Um clube dispe de um capo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurana, decidiu cerc-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 3 m de largura. Qual a rea do terreno limitado pela cerca?

A rea da regio cercada : (100 + 2 . 3)(70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8056 m2.

Se a largura da pista fosse de 4 m, a rea da regio cercada seria: (100 + 2 . 4)(70 + 2 . 4) = 108 . 78 = 8424 m.

Enfim, a cada largura x escolhida para a pista h uma rea A(x) da regio cercada. O valor de A(x) uma funo de x. Procuremos a lei que expressa A(x) em funo de x:

A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x) = 7000 + 200x + 140x + 4x = 4x + 340x + 7000

33

Campo de futebol

3 m

3 m

Campo de futebol

x

x

Captulo IV

Este um caso particular de funo polinomial do 2 grau, ou funo quadrtica.

Chama-se funo quadrtica a toda funo definida por f: ou f(x) = ax + bx + c, onde a, b e c e a 0, pois se a = 0, temos uma funo do 1 grau. O nome quadrtica deve-se ao fato da varivel de maior expoente aparecer elevada ao quadrado.

Grfico da Funo do 2 Grau

Do mesmo modo como construmos o grfico das funes de 1 grau, construiremos tambm o grfico da funo do 2 grau.

O grfico da funo quadrtica uma curva aberta chamada parbola.

Exemplo

Vamos representar o grfico da funo f(x) = x 4x + 3

Atribumos valores quaisquer a x e achamos y.

x f(x) = x 4x + 3 y

-1 (-1) 4(-1) + 3 8

0 0 4 . 0 + 3 3

1 1 4 . 1 + 3 0

2 2 4 . 2 + 3 -1

3 3 4 . 3 + 3 0

4 4 4 . 4 + 3 3

5 5 4 . 5 + 3 8

Zeros (Razes) da Equao do 2 Grau

Assim como na equao do 1 grau, os zeros ou as razes da funo do 2 grau f(x) = ax + bx + c, com a 0, so os nmeros reais x tais que f(x) = 0. Mas se tentarmos resolver a equao do 2 grau de forma trivial, como estamos acostumados, no conseguiremos. Ento, um indiano chamado Bhskara desenvolveu uma frmula que determina as suas razes, em que a, b, e c so os coeficientes do polinmio. A frmula recebe seu nome e assim representada:

34

x=bb24ac

2a

Captulo IV

Exemplo 1

Vamos obter os zeros da funo f(x) = x 5x + 6. Temos que a = 1, b = -5 e c = 6.

Ento,

x=bb24ac

2a=52524

2=51

2, e as

razes so 2 e 3.

Ex2: Vamos calcular as razes da funo f(x) = 4x 4x + 1:

Temos que a = 4, b = -4 e c = 1

Ento,

x=bb24ac

2a= 41616

8=4

8=1

2 e as razes so

12 e

12 .

Exemplo 2

Vamos calcular os zeros da funo f(x) = 2x + 3x + 4:

Temos que a = 2, b = 3 e c = 4. Ento,

x=bb24ac

2a=3932

4=323

4 .

35

x = 3

x = 2

ou

-1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Captulo IV

Portanto, essa funo no tem razes reais.

Coordenadas do Vrtice da Parbola

Quando a>0, a parbola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mnimo V; quando a0, essa parbola tem ponto de mnimo. O valor de mnimo a ordenada yv do vrtice.

Devemos ter:

yv = -12 4a = -12

6442m14

= 12 m =32

36

x

y

0-b/2a

-(b-4ac)/4a

a>0

V

x

y

0 -b/2a

-(b-4ac)/4a

a0, h duas razes reais e distintas;Quando =0, h s uma raiz real; Quando

Exemplo 2

Uma bala atirada de um canho de brinquedo (como mostra a figura) e descreve uma parbola de equao y = -3x + 60x (onde x e y so medidos em metros).

Vamos determinar:

a) a altura mxima atingida pela bala;

b) o alcance do disparo.

a) Como a = -3

Otvio e Rose formam um casal muito diferente: em suas famlias as pessoas vivem bastante tempo. Vamos calcular quantos bisavs e bisavs tem conjuntamente Otvio e Rose?

De incio, contamos os ascendentes de Otvio e os de Rose e, em seguida, os somamos:

pais 2 + 2 = 4 = 2

avs/avs 4 + 4 = 8 = 2

bisavs/bisavs 8 + 8 = 16 = 24

Podemos observar que, a cada passo dado para uma gerao anterior, o nmero de ascendentes dobra. Se calculssemos o nmero de ascendentes de quinta gerao (trisavs/trisavs) de Otvio e Rose, encontraramos:

6 + 16 = 32 = 25

Enfim, para cada gerao x que se escolha h um nmero f(x) de ascendentes. O valor de f(x), portanto, uma funo de x, e a lei que expressa f(x) em funo de x f(x) = 2x, que um caso particular de funo exponencial.

38

Chamamos funo exponencial a qualquer funo f de em dada por uma lei da forma f(x) = ax, onde a um nmero real dado, a>0 e a 1.

Para descobrir o significado da restrio a 1, faa a verificao na funo exponencial para a = 1 e depois construa seu grfico.

Captulo V

Representao Grfica

Vamos construir os grficos de algumas funes exponenciais e observar algumas propriedades.

Exemplo

Vejamos como construir o grfico da funo y = 2x:

Atribuindo valores para x, obtemos valores para y = f(x) = 2x.

x y = 2x

-318

-214

-112

0 11 22 43 8

x y = 12 x

-3 8-2 4-1 2

39

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

y = 2 x^

Captulo V

0 1

112

214

318

Propriedades

Na funo exponencial y = ax, temos: x = 0 y = a0 = 1, ou seja, o par ordenado (0,1) satisfaz a lei y = ax para todo a (a>0 e a 1).

Isso quer dizer que o grfico de qualquer funo exponencial corta o eixo dos y no ponto de ordenada 1.

Se a>1, ento a funo f(x) = ax crescente. Portanto, dados os reais x1 e x2, temos:

So crescentes, por exemplo, as funes exponenciais f(x) = 2x, f(x) = 3x, f(x) = 32 x

,

f(x) = (1,2)x.

40

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

y = (1/2)^x

se x1x2ento ax1a x2

Captulo V

Se 00 e todo x real, temos ax>0; portanto, o grfico da funo y = ax est sempre acima do eixo dos x.

Se a>1, ento ax aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez menores.

Se 0

Vamos desenvolver as equaes do exemplo anterior:

1. 2x = 16 2x = 24 x = 4 S = {4}

2. 127 x

= 81 133 x

= 34 (3-3)x = 34 3-3x = 34 -3x = 4 x =43 S = {43 }

3. 4x 2x = 12 22x - 2x = 12 2 x 2 - 2x -12 = 0, fazendo 2x = y temos y y 12 = 0 y = 4 ou y = -3.

Da se segue que 2x = 4 ou 2x = -3.

Para 2x = 4 temos 2x = 2 x = 2.

Para 2x = -3 temos que no existe x que satisfaa a equao S = {2}

4. 53x-2 = 125 53x-2 = 53 3x 2 = 3 x =53 S = {53}

5. 12 x

= 132 12 x = 125 x = 5 S = {5}6. 2 x=64 212

x

=26x2=6 x = 12 S = {12}

7. 22x+1. 43X+1 = 8x-1 2 2x+1. 223x1 = 23x1 2 2x+1. 26X+2 = 23x-3 2 8x+3 = 23x-3 8x + 3 =

3x 3 x=65 S = {65 }

8. 9x+1 4 . 3x 69 = 0 9 . 9x 4 . 3x 69 = 0

Chamando 3x de y, vem:

9y 4y 69 = 0 y = 3 ou y=239

Como y = 3x, vem:

3x = 3 3 x =3 x = 1

ou

3x =239 no existe x que satisfaa a equao S = {1}

42

Captulo V

(ENEM 2007) Uma equipe de paleontlogos descobriu um rastro de dinossauro carnvoro e nadador, no norte da Espanha.

O rastro completo tem comprimento igual a 15 metros e consiste de vrios pares simtricos de duas marcas de trs arranhes cada uma, conservadas em arenito.

O espao entre duas marcas consecutivas mostra uma pernada de 2,5 metros. O rastro difere do de um dinossauro no-nadador: so as unhas que penetram no barro e no a pisada , o que demonstra que o animal estava nadando sobre a gua: s tocava o solo com as unhas, no pisava, afirmam os paleontlogos.

Qual dos seguintes fragmentos do texto, considerado isoladamente, varivel relevante para se estimar o tamanho do dinossauro nadador mencionado?

A) O rastro completo tem 15 metros de comprimento

B) O espao entre duas marcas consecutivas mostra uma pernada de 2,5 metros

C) O rastro difere do de um dinossauro no-nadador

D) so as unhas que penetram no barro e no a pisada

E) o animal estava nadando sobre a gua: s tocava o solo com as unhas

(ENEM 2007) A diversidade de formas geomtricas espaciais criadas pelo homem, ao mesmo tempo em que traz benefcios, causa dificuldades em algumas situaes. Suponha, por exemplo, que um cozinheiro precise utilizar exatamente 100 ml de azeite de uma lata que contenha 1.200 ml e queira guardar o restante do azeite em duas garrafas, com capacidade

para 500 ml e 800 ml cada, deixando cheia a garrafa maior. Considere que ele no disponha de instrumento de medida e decida resolver o problema utilizando apenas a lata e as duas garrafas. As etapas do procedimento utilizado por ele esto ilustradas nas figuras a seguir, tendo sido omitida a 5 etapa:

43

Questes

Qual das situaes ilustradas a seguir corresponde 5.a etapa do procedimento?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

(ENEM 2008) A figura abaixo representa o boleto de cobrana da mensalidade de uma escola, referente ao ms de junho de 2008.

Se M(x) o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x o nmero de dias em atraso, ento:

A) M(x) = 500 + 0,4x

B) M(x) = 500 + 10x

C) M(x) = 510 + 0,4x

D) M(x) = 510 + 40x

E) M(x) = 500 + 10,4x

(ENEM 2009) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idnticas em um copo com gua at certo nvel e medir o nvel da gua, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nvel da gua funo do nmero de bolas de vidro que so colocadas dentro do copo.

O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado:

Qual a expresso algbrica que permite calcular o nvel da gua (y) em funo do nmero de bolas (x)?

44

Questes

A) y = 30x

B) y = 25x + 20,2

C) y = 1,27x

D) y = 0,7x

E) y = 0,07x + 6

(ENEM 2009) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por at oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos trs primeiros dias, a diria custaria R$ 150,00, preo da diria fora da promoo. Nos trs dias seguintes, seria aplicada uma reduo no valor da diria, cuja taxa mdia de variao, a cada dia, seria de R$

20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preo do sexto dia. Nessas condies, um modelo para a promoo idealizada apresentado no grfico ao lado, no qual o valor da diria funo do tempo medido em nmero de dias.

De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preo que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoo, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias far uma economia de:

A) R$ 90,00

B) R$ 110,00

C) R$ 130,00

D) R$ 150,00

E) R$ 170,00

(ENEM 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um oramento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas.

Quem no havia ainda contribudo pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.

De acordo com essas informaes, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

A) R$ 14,00

B) R$ 17,00

C) R$ 22,00

D) R$ 32,00

E) R$ 57,00

(ENEM 2005) O gs natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou lcool nos veculos automotores. Nas grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, principalmente, pelos txis, que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito com a converso por meio da economia proporcionada pelo uso do gs natural. Atualmente, a

converso para gs natural do motor de um automvel que utiliza a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,20, enquanto um metro cbico de GNV permite percorrer cerca de 12 km e custa R$ 1,10. Desse modo, um taxista que percorra 6.000 km por ms recupera o investimento da converso em aproximadamente:

A) 2 meses

45

Questes

B) 4 meses

C) 6 meses

D) 8 meses

E) 10 meses

(ENEM 2000) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que so roubados, em mdia, 150 carros por ano. O nmero de carros roubados da marca X o dobro do nmero de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados.

O nmero esperado de carros roubados da marca Y :

A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

(ENEM 2009) Um posto de combustvel vende 10.000 litros de lcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietrio percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preo do lcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preo de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do lcool, ento a expresso que relaciona V e x

A) V = 10.000 + 50x x

B) V = 10.000 + 50x + x

C) V = 15.000 50x x

D) V = 15.000 + 50x x

E) V = 15.000 50x + x

(ENEM 2009) A populao mundial est ficando mais velha, os ndices de natalidade diminuram e a expectativa de vida aumentou. No grfico seguinte, so apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organizao das Naes Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os nmeros da coluna da

direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhes de pessoas com 60 anos ou mais nos pases desenvolvidos, nmero entre 10% e 15% da populao total nos pases desenvolvidos.

46

Questes

Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y a populao em milhes de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa populao com 60 anos ou mais de idade nos pases em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a populao com 60 anos ou mais estar, em 2030, entre:

A) 490 e 510 milhes

B) 550 e 620 milhes

C) 780 e 800 milhes

D) 810 e 860 milhes

E) 870 e 910 milhes

(ENEM 2007) A durao do efeito de alguns frmacos est relacionada sua meia-vida, tempo necessrio para que a quantidade original do frmaco no organismo se reduza metade. A cada

intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de frmaco existente no organismo no final do intervalo igual a 50% da quantidade no incio desse intervalo.

O grfico ao lado representa, de forma genrica, o que acontece com a quantidade de frmaco no organismo humano ao longo do tempo.

A meia-vida do antibitico amoxicilina de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibitico for injetada s 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que restar em seu organismo s 13 h 30 min. ser aproximadamente de:

A) 10%

B) 15%

C) 25%

D) 35%

E) 50%

47

Questes

1 UnidadeCaptulo IConjuntosRelaes e OperaesConjuntos NumricosProduto Cartesiano, Relao e FunoFuno Afim