UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSACentro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCE

Departamento de Matemática

MAT096

Tutoria de Cálculo Diferencial e Integral

Apostila

DMA - UFV2010

Sumário

1 Função 41.1 Noções básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Domínio e imagem de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Funções pares e ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Função Crescente e Decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Funções inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Funções exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.10 Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.11 Exercícios de Geometria Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Limites e continuidade 202.1 Noção intuitiva de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Teorema do confronto (ou “do sanduíche") . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Derivadas 303.1 Coeficiente Angular da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Construção de Gráficos 394.1 Funções Crescentes e Funções Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Extremos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1 Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos . . . . . . . . 41

2

SUMÁRIO 3

4.3 Teste da Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.1 Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos . . . . . . . . 42

4.4 Assíntotas Verticais, Horizontais e Oblíquas . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Esboço de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Aplicações de Derivada 465.1 Taxas de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3.1 Diretrizes para a resolução de problemas de otimização . . . . . . . 49

6 Antiderivadas 536.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2.1 Integração por substituição ou mudança de variável . . . . . . . . . 546.2.2 Integração de potências de funções trigonométricas . . . . . . . . . 566.2.3 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2.4 Integração por Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.5 Integração por Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . 63

6.3 Integrais e expressões quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7 Integral Definida 707.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.2 Propriedades da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.3 Área entre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8 Aplicações de “Integrais” 778.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.2 Volume por fatiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.3 Sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.3.1 Seções transversais circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.3.2 Seções transversais em forma de arruela . . . . . . . . . . . . . . . 828.3.3 Modelando o volume usando anéis cilíndricos . . . . . . . . . . . . . 84

Capítulo 1

Função

1.1 Noções básicas

1. O que é uma função? Dê um exemplo. A equação satisfeita pelos pontos de umacircunferência é uma função?

2. O que são o domínio e a imagem de uma função?

3. O que é variável? Considere uma função em que a variável está indicada por x. Setrocarmos x por outra letra, por exemplo t ou s, a função muda? Estabeleça asdiferenças entre variável independente e variável dependente.

4. Quando duas funções são iguais?

5. O que é um par ordenado? Dê exemplos práticos.

6. O que se entende por plano cartesiano e coordenadas de um ponto no plano ?

7. O que se entende por gráfico de uma função?

8. O que entendemos por função polinomial?

Exercícios

1. Dadas as curvas representadas na figura 1.1, quais representam gráfico de função?Justifique sua resposta.

2. Dadas as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = −x2 + 2x− 1, pede-se

(a) Calcular f(0), g(0), f(2) e f(3) + g(2);

(b) f(1 + a) é igual a f(1) + f(a), onde a é um número real?

(c) Existe algum x que anula f ou g? Caso exista, determine-o(s).

4

Domínio e imagem de uma função 5

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

-2 2 4 6

500

x

y

-3 -2 -1 1 2 3-2

2

4

6

x

y

Figura 1.1: Exercício 1

1.2 Domínio e imagem de uma funçãoDomínio de uma função f

É o conjunto de todos os valores admissíveis de x (variável independente) e o deno-tamos por Df .Exemplo: Para f(x) =

√x2 − 1, temos

Df = {x ∈ R : x2 − 1 ≥ 0} = {x ∈ R : x ≥ 1 ou x ≤ −1}.

Imagem de uma função fÉ o conjunto Imf de todos os valores y tal que f(x) = y, para algum x no domínio

de f . Em notação de conjunto escrevemos

Imf = {y ∈ R : ∃ x ∈ Df com f(x) = y}.

Qual é o conjunto imagem da função f(x) =√

x2 − 1?

Exercícios

1. Seja f(x) = ax + b, onde a, b ∈ R. Esta é uma função polinomial de grau 1 (ouafim se b 6= 0 e linear caso b = 0). Seu gráfico é uma reta, que pode ser obtida comapenas dois pontos distintos. Pede-se:

(a) Df .

(b) Traçar os gráficos da função f , no mesmo plano cartesiano, para a = 2 e bassumindo os seguintes valores: −2, 0 e 3.

(c) Onde as retas obtidas acima interceptam o eixo y (eixo das ordenadas)? Háalguma relação com o valor adotado por b? Por que isto ocorre? Como o valor b échamado?

(d) Mantendo a fixo e variando o valor de b o que ocorre com as retas resultantes?Como o valor a é chamado?

(e) Traçar os gráficos da função f , no mesmo plano cartesiano, para b = 2 e aassumindo os seguintes valores: −5, 0 e 1.

6 Função

(f) Que característica observada nos gráficos deve-se ao valor 2 adotado por b?

(g) Descreva suas observações referentes à influência do valor adotado por a notraçado das retas. E, quando a = 0, qual o nome dado à função obtida?

(h) Calcule o valor em que cada reta, obtida no item (e), intercepta o eixo dasabcissas, ou seja, calcule as raízes das funções.

(i) Para que valores de x ∈ R temos f(x) > 0 ou f(x) < 0, considerando as funçõesobtidas no item (e). Estas funções são crescentes ou decrescentes?

2. Seja h(t) = at2 + bt + c, onde a, b, c ∈ R, com a 6= 0. Esta é uma função polinomialde grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. Pede-se:

(a) Traçar os gráficos da função h, no mesmo plano cartesiano, para a = 1, b = −2e c assumindo os seguintes valores: −3, 1 e 4.

(b) Considerando o item (a) responda, em que ponto cada curva intercepta o eixodas ordenadas? Comente a relação existente com os valores adotados por c.

(c) Determine, justificando suas respostas, para que valores de c a função h admite:

i. duas raízes reais;

ii. uma raiz real;

iii. nenhuma raiz real.

(d) Calcule as raízes das funções obtidas no item (a).

(e) Esboçar os gráficos da função h, no mesmo plano cartesiano, para b = 0, c = −3e a assumindo os seguintes valores: −1, 1 e 2.

(f) O valor de a pode influenciar o número de raízes reais de h? Justifique.

(g) Determine o intercepto das curvas com o eixo das ordenadas e verifique suarelação com os valores de c.

(h) Descreva a(s)característica(s) determinada(s) pelo valor de a.

(i) Para que valores de t ∈ R temos h(t) > 0 e h(t) < 0, das funções obtidas no item(a)?

(j) Determine o ponto de máximo ou de mínimo das funções obtidas no item (e) eavalie sua concavidade.

3. Faça um esboço do gráfico das seguintes funções e encontre o domínio e a imagemde cada uma:

(a) f(x) =

{1 + x, se x > 2

1− x2, se x ≤ 2

(b) f(x) =

9− x2, se x < 09, se 0 ≤ x < 3

16− x2, se x ≥ 3

Domínio e imagem de uma função 7

4. Qual o domínio das funções abaixo?

(a)f(x) =

√x + 2

x2 − 1(c)f(x) =

x4 + 2x

x2 + x + 1(e)f(x) =

√x2 − 2

x− 1

(b)f(x) = ( 3√

2x + 3)(√

x− 1) (d)f(x) =

√x− 1

x2 − 4

5. As funções reais f e g cujas leis de formação são f(x) =

√3x− 2

2x + 3e g(x) =

√3x− 2√2x + 3

são iguais? Justifique sua resposta.

6. Em um curso de cálculo é fundamental conhecermos os gráficos das funções e en-tender o que eles significam. Não precisamos conhecer o gráfico de todas as funçõesmas ao menos o das principais. Os gráficos das funções polinomiais de grau 1 e 2 jásão conhecidos (a reta e a parábola). É interessante conhecer também os gráficosdas funções de grau 3, mas mais importante é entender o que ele significa. Vamosestudar um pouco o gráfico de uma função cúbica (grau 3). Consideremos, porexemplo,

g(x) = x3 − 7x− 6 = (x− 3)(x + 1)(x + 2).

O gráfico de g está ilustrado na figura 1.2 abaixo:

-4 -2 2 4

-40

-20

20

x

y

Figura 1.2: Exercício 6

(a) Determine os valores para os quais g(x) = 0 (as raízes de g).

(b) Determine os subconjuntos dos números reais onde g(x) > 0 e onde g(x) < 0.

(c) Esboce o gráfico da função h(x) = −g(x).

7. Relacione as funções dadas abaixo com seus respectivos gráficos ilustrados na figura1.3 (basta estudar as raízes de cada função).

(a) f(x) = x4

(b) g(x) = x4 − 3x3 − 13x2 + 27x + 36 = (x− 4)(x− 3)(x−?)(x−?)

(c) h(x) = x5 − 8x4 + 2x3 + 92x2 − 99x− 180 = (x− 5)(x− 4)(x− 3)(x + 1)(x + 3)

8 Função

(d) p(x) = x2 + 2x

(e) r(x) = 5x− 3

-5

5

x

y

-4 -2 2 4

50

100

150

x

y

-4 -2 0 2 4

100

200

x

y

-3 -2 -1 1

-1

1

2

3

x

y

-2 2 4

-200

-100

100

200

x

y

Figura 1.3: Exercício 7

8. Dadas as funções f(x) =√

4− x2 e g(x) =√

x2 − 3x. Determine:

(a) (f + g)(x), (f − g)(x), (f · g)(x),(

f

g

)(x).

(b) Domínio de f , g, f + g, f − g, f · g, f

g.

9. Um estudo das condições ambientais de uma comunidade suburbana indica que ataxa média diária de monóxido de carbono (CO) no ar será de C(p) = 0, 5p + 1partes por milhão, quando a população for de p milhares. Imaginemos que, daqui at anos, a população da comunidade será de p(t) = 10 + 0, 1t2 milhares.

(a) Expresse a taxa de CO no ar como uma função do tempo.

(b) Quando o nível de CO atingirá 6, 8 partes por milhão?

10. A função f definida em R−{2} por f(x) =2 + x

2− xé inversível. O seu contradomínio

é R− {a}. Calcule a.

1.3 Funções pares e ímparesUma função f é dita:

• par se f(−x) = f(x) para todo x em seu domínio e

Função Crescente e Decrescente 9

• ímpar se f(−x) = −f(x) para todo x em seu domínio.

ExemplosA função f(x) = x2 é par, pois f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x) e a função g(x) = x é

ímpar, pois f(−x) = −x = −(x) = −f(x).O que você pode concluir com relação ao gráfico destas funções?Já a função h, dada por h(x) = x + 1 não é nem par nem ímpar (Verifique!).

Exercícios

1. Verifique se a função é par, ímpar ou nenhum destes dois.

(a) f(x) = 3

(b) g(x) = x4 + 3x2 − 1

(c) h(x) =x

x2 − 1

(d) q(t) = 2|t|+ 1

2. O produto de duas funções pares é par? E o produto de duas funções ímpares?Justifique suas respostas!

3. Uma função pode ser simultaneamente par e ímpar? Jusifique sua resposta!

1.4 Função Crescente e Decrescente

• Uma função é dita crescente no intervalo (a,b) se, e somente se,

∀ x1, x2 ∈ (a, b) com x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)

• Uma função é dita decrescente no intervalo (a,b) se, e somente se,

∀ x1, x2 ∈ (a, b) com x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)

1.5 Função Modular

É a função f : R → R definida por f(u) = |u|. Ela também pode ser escrita da

seguinte forma: f(u) =

{u, se u ≥ 0−u, se u < 0

Exemplo:

1. Seja f : R→ R definida por f(x) = |x2 − 1| ={

(x2 − 1), se x2 − 1 ≥ 0−(x2 − 1), se x2 − 1 < 0

.

10 Função

Logo temos f(x) = |x2 − 1| ={

x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1−x2 + 1, se −1 < x < 1.

Exercícios

1. Construa o gráfico de cada função modular dada abaixo e determine o seu domínioe sua imagem.

(a) t(u) =|u + 2|u + 2

(b) r(x) = |x− 1|+ |x + 2|

2. Considere a função f definida por

f(x) = |x2 − 2| − |x− 1|.

(a)Escreva f(x) eliminando o módulo, ou seja, escreva f(x) definida por váriassentenças.

(b)Faça um esboço do gráfico de f .

1.6 Composição de funções

Definição: Sejam f e g duas funções tais que Imf ⊂ Dg. A função dada por

y = g(f(x)), x ∈ Df

denomina-se função composta de g e f . É usual a notação g ◦ f para indicar a compostade g e f . Assim

(g ◦ f)(x) = g(f(x)), x ∈ Df .

Observe que g ◦ f tem o mesmo domínio que f .

O domínio de uma função composta f ◦ g é: Df◦g = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df}, ondeDg é o domínio de g e Df é o domínio de f .

Exercícios

1. Usando funções elementares, decomponha as funções abaixo, conforme pedido:

u(x) = (1 + 5x + x2)10 ⇒ u(x) = g(f(x)), onde f(x) = 1 + 5x + x2 e g(x) = x10.

(a) r(x) = 1 +√

1 + x (2 funções)

(b) f(x) =

(2

2x− 3

)2

(3 funções)

Funções inversíveis 11

2. Se f(x) = 4x− 5, g(x) = x2 e h(x) =1

x, resolva:

(a)f(g(0)) (b)g(f(0)) (c)h(f(g(x))) (d)h(h(g(x)))

3. Sejam as funções

f(x) =

x + 1 se x ≤ 0−x2

2se 0 < x ≤ 2

−x

4− 3

2se x > 2

e g(x) =√

x + 1

(a)Faça um esboço do gráfico de f .

(b)Encontre o domínio de g ◦ f .

(c)Encontre (f ◦ g)(x).

4. Sejam f e g funções tais que f(x) =1

x2 − 9e g(x) =

√x2 − 16.

(a)Encontre o domínio de f ◦ g.

(b)Encontre (f ◦ g)(x).

1.7 Funções inversíveis

Uma função f é bijetora quando para todo y em seu contra-domínio existe um únicox no domínio de f tal que f(x) = y.

Uma função f : X → Y se diz inversível se existe uma função g : Y → X, tal queg(f(x)) = idX(x), e f(g(y)) = idY (y), ou seja, a função g associa o valor y = f(x) aovalor g(y) = x. A função g é chamada de função inversa de f e é denotada por f−1.Uma função é inversível se, e somente se, for uma função bijetora.

Exercícios

1. Determine a inversa f−1 e verifique que (f ◦ f−1)(x) = (f−1 ◦ f)(x) = x.

(a) f(x) = 2x + 3

(b) f(x) =2x + 1

x + 3

(c) f(x) = x3 − 1

(d) f(x) = ln(x− 2)

(e) f(x) = x2, x < 0

12 Função

2. Determine y nas seguintes equações:

(a) lny = 2t + 4

(b) ln(y − 1)− ln2 = x + lnx

3. Considere f(x) = ln(x− 2)

(a) Esboce o gráfico de f ;

(b) Justifique que f é inversível;

(c) Encontre a inversa de f exibindo seu domínio e sua imagem;

(d) Esboce o gráfico de f−1.

1.8 Funções exponenciais e logarítmicas

Se a for um número real positivo qualquer, a função f(x) = ax é chamada funçãoexponencial de base a.

O gráfico de uma função exponencial é crescente caso a > 1, figura 1.8 abaixo àesquerda, e decrescente para 0 < a < 1, figura 1.8 abaixo à direita.

-4 -2 0 2 4

2

4

6

x

y

-2 -1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

Figura 1.4: Representação gráfica da curva ax, a esquerda para a > 1 e à direita para0 < a < 1.

Se a e b forem números positivos e x e y números reais quaisquer, então

1. axay = ax+y

2. (ax)y = axy

3.ax

ay= ax−y

4. (ab)x = axbx

5. a0 = 1

Funções exponenciais e logarítmicas 13

A cada x positivo corresponde um único y tal que x = ay. Escrevemos y = logaxe chamamos y de logaritmo de x na base a. Conseqüentemente, y = logax tem omesmo significado que x = ay. Considerando isso, a função logarítmica de base a,g(x) = loga(x), tem as seguintes propriedades:

1. loga(xy) = loga(x) + loga(y)

2. loga

(x

y

)= loga(x)− loga(y)

3. loga(1) = 0

4. loga(xy) = yloga(x)

O gráfico de uma função logarítmica de base a é crescente se tivermos a > 1, videfigura 1.5 à esquerda, e é decrescente no caso de 0 < a < 1, vide figura 1.5 abaixo àdireita.

-1 1 2 3 4

-20

-10

xy

-1 1 2 3 4

5

10

x

y

Figura 1.5: Representação gráfica da curva logax, a esquerda para a > 1 e à direita para0 < a < 1.

Exercícios

1. Considere as funções f(x) = x2 e g(x) = 2x. O que as diferencia? As propriedadesde potências são válidas para ambas as situações?

2. Faça um esboço dos gráficos das funções: f(x) = 2x e g(x) =

(1

2

)x

e responda:

(a) Em que ponto cada gráfico corta o eixo das ordenadas?

(b) De modo geral, quando a função exponencial será crescente? E decrescente?

(c) Para que valores de x as funções acima estão definidas? Quais os valores quef(x) pode assumir?

3. Determine o domínio das funções definidas pelas expressões abaixo (e ∼= 2, 7182).

(a) f(x) = e

√√√√x−

1

x

14 Função

(b) f(x) = e

√4x− 3

x2 − 4

4. Faça um esboço do gráfico da função f(x) = log2x e responda às questões (a), (b)e (c) do exercício 2. Que conclusões pode-se retirar, observando-se os gráficos dasfunções f(x) = 2x e f(x) = log2x? Qual a relação entre as respostas do exercício 2com as dadas neste exercício?

5. Sabendo-se que loge2∼= 0, 69 e loge3

∼= 1, 09 calcule loge6 e loge

1

27.

6. Determine o domínio da função definida pela expressão:

(a)f(x) = ln(x2 + 1) (b)y = log(x2−1)(2− x)

7. Resolva as equações abaixo:

(a) 8x+1 = 4x+2

(b) x(log53x + log521) + log5

(3

7

)x

= 0

(c) 52x2−3x−2 = 1

(d) log5x + log5(x− 3) = log54

1.9 Funções trigonométricasConsidere uma circunferência com centro na origem do sistema de coordenadas e raio

1. Imagine agora um ponteiro preso no centro do círculo com extremidade final P , como odo relógio, mas girando no sentido anti-horário a partir do ponto D(1, 0). Se o ângulo queo ponteiro faz com o eixo das abscissas é x radianos, então as coordenadas da extremidadeP do ponteiro que está sobre a circunferência são exatamente (cosx, senx). Veja a figura1.6 abaixo:

1

A

B

C

D

P

x

O

r

Figura 1.6: figura ilustrativa do ciclo trigonométrico.

Assim, temos OA=cosx e OB=senx. Definimos a função seno como a função f de Rem R que a cada x > 0 faz corresponder o número real y =senx (abscissa de P ) e a cada

Funções trigonométricas 15

x < 0, faz corresponder a abscissa do ponto P , mas girando no sentido horário a partirdo ponto (1, 0).

Analogamente, definimos a função cosseno como a função f de R em R que a cadax ∈ R faz corresponder o número real y =cosx (ordenada de P ). O domínio da funçãocosseno é R e a imagem é o intervalo [−1, 1]. Na figura, a reta r é a reta tangente aocírculo no ponto D(1, 0).

Na figura 1.7 temos a função cosseno representada pela linha contínua e a funçãoseno pela linha pontilhada.

-4 -2 2 4

-1

1

x

y

Figura 1.7:

A tangente de x é a medida do segmento compreendido entre o ponto (1, 0) e o pontode interseção da reta que contém o ponteiro com a reta r, isto é, tgx = CD. O sinal datangente será positivo se o segmento em questão estiver acima do eixo x, e negativo casocontrário. É fácil ver que tgx =

senx

cosx.

Note que quando x =π

2,3π

2,5π

2, ... =

(2n + 1)π

2, com n = 0, 1, 2, 3, 4, 5... a função

g(x) =tgx não está definida (por quê?).O Gráfico da função tangente está ilustrado na figura 1.8 abaixo:

-4 -2 2 4

-2

2

x

y

Figura 1.8: Gráfico da função tangente

16 Função

Algumas relações trigonométricas

cos2 x + sen2x = 1 sen2x = 2senx · cos x cos 2x = cos2 x− sen2x

1 + cotg2x = cosec2x 1 + tg2x = sec2x tg(x) =sen(x)

cos(x)

sec(x) =1

cos(x)cossec(x) =

1

sen(x)cotg(x) =

cos(x)

sen(x)=

1

tg(x)

Exercícios

1. Calcule:

(a) o valor de x no triângulo tracejado da figura 1.9.

(b) Utilizando o item (a) mostre que sen45o =1√2, cos45o =

2

2√

2e tg45o = 1.

2

2

2

2

45

x

Figura 1.9: Exercício 1.

2. Usando as relações do seno, cosseno e tangente e observando o triângulo retângulotracejado na figura 1.10, mostre que:

(a) cos30o =cat.adjacente

hipotenusa=

√3

2

(b) tg30o =cat.oposto

cat.adjacente=

1√3·√

3√3

=

√3

3

(c) sen60o =cat.oposto

hipotenusa=

√3

2

(d) cos60o =cat.adjacente

hipotenusa=

1

2

Funções trigonométricas inversas 17

x22

1 1

Figura 1.10: Exercício 2.

3. Qual o domínio e a imagem da função seno?

4. Apenas observando o círculo trigonométrico (e sabendo que π radianos correspon-dem a 180o), dertemine:

(a) sen(0); cos(0);

(b) sen(π); cos(π);

(c) sen(π

2); cos(

π

2);

(d) sen(−π

4); cos(−π

4);

(e) sen(−3π

2); cos(−3π

2);

(f) sen(2π); cos(2π);

(g) sen(kπ), cos(kπ), k ∈ Z;(h) sen(x + 2π); cos(x + 2π);

5. Determine, se possível, tg(0), tg(π

4

), tg(−π), tg(2π), tg(kπ), k ∈ Z, tg

(π

2

)e

tg(−3π

2

).

1.10 Funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas não são inversíveis, pois não são bijetoras. Contudo, é fácil verque, restrita ao intervalo

[−π

2,π

2

]a função seno é inversível. Sua inversa é a função g(x) =

arcsen(x) chamada arco-seno, vide seu gráfico na figura 1.11 abaixo à esquerda. Como,sen

([−π

2,π

2

])= [−1, 1] então g(x) = arcsen(x) está definida no intervalo

[−π

2,π

2

]. Da

mesma forma, restringindo o domínio da função cosseno e da função tangente é possíveldefinir suas inversas, arccos(x) e arctg(x), vide seu gráfico na figura 1.11 abaixo à direita.

18 Função

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1

1

x

y

-10 -5 5 10

-1

1

x

y

Figura 1.11: Gráfico das funções arcsen(x) e arctg(x, respectivamente).

Exercícios

1. Calcule:

(a) arcsen(0) (b) arccos

(1

2

)(c) arcsen

(−√

3

2

)

(d) arccos

(− 1√

2

)(e) arctg(1) (f) arctg

(1√3

)

2. Mostre que:

(a) arccos(−x) = π − arccos(x)

(b) arcsec(x) = arccos

(1

x

)

(c) arcsec(−x) = π − arcsec(x)

1.11 Exercícios de Geometria Analítica

1. Determine as equações das retas que passam pelos pontos:

(a) P (2, 7) e Q(5, 6);

(b) P (3, 5) e Q(4, 8);

2. Determine se as retas do item a e b do exercício anterior cortam os pontos (1, 3) e(1, 5), respectivamente.

3. Determine se as retas abaixo são perpendiculares.

(a) 3y + 4x− 3 = 0 e 2y − 7x + 2 = 0

(b) 2y + 6x− 4 = 0 e 3y − x + 8 = 0

Exercícios de Geometria Analítica 19

4. Qual é o coeficiente angular da reta3y − 5

5x− 5= 3?

5. Determine o ponto de interseção das retas:

(a){

8x + y = 9x − y = 9

(b){

3x + y − 8 = 0−2y + 6y + 4 = 0

(c){

6x − 3y = 4y − 2x = 3

6. Determine as equações das circunferências:

(a) Raio = 4 e centro (3, 2).

(b) Raio = 1 e centro (0, 0)

7. Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto de interseção das retas3x + 4− y = 0 e x− y + 2 = 0, sendo o raio igual a 3.

8. Determine a equação da circunferência que corta os eixos coordenados nos pontos(0, 2) e (2, 0). (Sugestão: desenhe).

Capítulo 2

Limites e continuidade

2.1 Noção intuitiva de limite

Em geral, se uma função f é definida em todo um intervalo aberto contendo umnúmero real a, com a possível exceção que f(x) não precisa estar definida em a, podemosperguntar:

1. À medida que x está cada vez mais próximo de a (mas x 6= a), o valor de f(x) tendepara um número real L?

2. Podemos tornar o valor f(x) tão próximo de L quanto queiramos, escolhendo xsuficientemente próximo de a (mas x 6= a)?

Se a resposta a estas perguntas é afirmativa, escrevemos

limx→a

f(x) = L

e dizemos que o limite de f(x), quando x tende para a é L, ou que f(x) se aproxima deL quando x se aproxima de a. É possível também fazer essas perguntas considerando xsempre maior do que a, ou sempre menor do que a. O primeiro caso é chamado limitelateral à direita de a e o segundo é chamado limite lateral à esquerda de a. Se aresposta ainda é afirmativa escrevemos

limx→a+

f(x) = L e limx→a−

f(x) = L.

Considere uma função f(x) para a qual tem-se limx→0

f(x) = 0. O que se pode afirmar sobreos valores de f(x) quando x está próximo de 0? Analisemos, por exemplo, qual valor da

função f(x) =1− cos(x)

xquando x se aproxima de zero.

x -0,01 -0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01

f(x) =1− cos(x)

x-0,004999 -0,000499 -0,000049 0,000049 0,000499 0,004999

20

Noção intuitiva de limite 21

Vemos que ao aproximarmos o valor de x de zero (tanto pela direita quanto pelaesquerda), o valor da função se aproxima do valor zero. Que informação lim

x→0f(x) dá a

respeito da função f(x)?

Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto I contendo o ponto a,exceto possivelmente no ponto a. Escrevemos lim

x→af(x) = L, se para cada ε > 0, existir

um número correspondente δ > 0 tal que, para todos os valores de x, 0 < |x− a| < δ ⇒|f(x)− L| < ε.

Exemplos:

1. Mostre que limx→1

(5x− 3) = 2.

Resol.: De fato, observando a definição acima, dado qualquer ε > 0 tome δ =ε

5.

Daí,

0 < |x− 1| < δ =ε

5⇔ 0 < 5|x− 1| < ε ⇔ 0 < |5||x− 1| < ε

⇔ 0 < |5x− 5| < ε ⇔ |(5x− 3)− 2| < ε.

Logo,limx→1

(5x− 3) = 2.

2. Mostre que limx→1

(x2 − 1) = 0.

Resol.: De fato, observando a definição, seja ε > 0. Tomando δ = min

{1

2,2

5ε

}. Se

0 < |x− 1| < δ então

|x2 − 1− 0| = |x2 − 1| = |x− 1||x + 1| < 5

2

2

5ε = ε.

Portantolimx→1

(x2 − 1) = 0.

3. Mostre que limx→1

(x

x + 1

)=

1

2.

Resol.: Seja ε > 0. Tomando δ = min {1/2, 3ε} . Se 0 < |x− 1| < δ então temos∣∣∣∣

x

x + 1− 1

2

∣∣∣∣ =|x− 1|2|x + 1| ≤ 3ε

1

2

2

3= ε.

Logo

limx→1

(x

x + 1

)=

1

2.

Poderíamos ter tomado δ = 3?

22 Limites e continuidade

Propriedades: Se limx→p

f(x) = L e limx→p

g(x) = M , então:

1. limx→p

(f(x) + g(x)) = limx→p

f(x) + limx→p

g(x) = L + M

2. limx→p

(f(x).g(x)) = limx→p

f(x). limx→p

g(x) = L.M

3. limx→p

(k.f(x)) = k. limx→p

f(x) = k.L

4. limx→p

f(x)

g(x)=

limx→p

f(x)

limx→p

g(x)=

L

M, se M 6= 0

Exercícios

1. Dê a definição de:

(a) limx→a−

f(x) = L (b) limx→a+

f(x) = L (c) limx→a

f(x) = ∞ (d) limx→+∞

f(x) = L

(e) limx→−∞

f(x) = L

2. Mostre que limx→a

f(x) = L se, e somente se, limx→a+

f(x) = L e limx→a−

f(x) = L.

3. Prove, por definição, que:

(a) limx→−1

2

x= −2 (b) lim

x→2(x2 − 4) = 0 (b) lim

x→4

√x = 2 (c) lim

x→0

1

x2= +∞

4. Para o limite limx→5

√x− 1 = 2, determine um δ > 0 que sirva para ε = 1.

5. Dada a função f(x) =2x + 2

x2 − 3x− 4, determine: lim

x→−1+f(x) e lim

x→−1−f(x). Existe

limx→−1

f(x)? Justifique.

6. Existe limx→0

|x|x? Por quê?

7. (a) Admitindo que 0 <| x− 1 |< δ ≤ 12, mostre que | x− 1 || 2x + 7 |< 10δ.

(b) Utilizando o item (a) mostre, pela definição, que limx→1

(2x2 + 5x− 3) = 4.

8. Prove que limx→+∞

−4x

4x− 3= −1, mostrando que para todo ε > 0, existe um número

real N > 0, tal que se x > N então | −4x4x−3

+ 1 |< ε.

Teorema do confronto (ou “do sanduíche") 23

9. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→−1

√x2 + 8− 3

x + 1(b) lim

x→−5

x2 + 3x− 10

x + 5(c) lim

x→−2

−2x− 4

x3 + 2x2

(d) limx→3

ln|x− 4| (e) limx→1

x3 − 6x2 + 11x− 6

x2 − 1(f) lim

x→0−

1

x2

(g) limx→−√2

x2 − 2

x +√

2(h) lim

x→4

3−√5 + x

1−√5− x(i) lim

x→0

√x + 2−√2

x

(j) limx→1

3√

x− 1

x− 1(k) lim

y→5

y − 5

y2 − 25(l) lim

t→1

t4 − 1

t3 − 1

(m) limx→0,5−

√x + 2

x + 1(n) lim

x→−2+

{(x

x + 1

)(2x + 5

x2 + x

)}(o) lim

x→−2−(x− 3)

|x + 2|x + 2

(p) limx→1−

√2x(x− 1)

|x− 1| (q) limx→1

x− 1√x + 3− 2

(r) limx→−3

x√

x2

(s) limx→0

√x + 1− 1

x(t) lim

x→−∞2x + 5√2x2 − 5

(u) limx→7

√x−√7√

x + 7−√14

(v) limx→p

n√

x− n√

p

x− p

10. Calcule os limites no infinito

(a) limx→∞

x5 + x4 + 1

2x5 + x + 1(b) lim

x→∞

√x2 + 1

3x + 2(c) lim

x→∞

3√

x3 + 2x− 1√x2 + x + 1

(d) limx→∞

√x + 3

√x

x2 + 3(e) lim

x→∞(x−

√x2 + 1) (F ) lim

x→∞(√

x + 1−√x + 3)

(g) limx→∞

(x− 3√

2 + 3x3) (h) limx→∞

√x + 1

x + 3(i) lim

x→∞(

√x +

√x−√x− 1)

2.2 Teorema do confronto (ou “do sanduíche")Suponha que as funções f , g e h estejam definidas num intervalo aberto I contendo

o ponto a, exceto possivelmente no ponto a e que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para qualquer xem I, com x 6= a. Se lim

x→ag(x) = lim

x→ah(x) = L, então lim

x→af(x) = L.

24 Limites e continuidade

Exercícios

1. Sendo 1− x2

4≤ u(x) ≤ 1 +

x2

2para qualquer x 6= 0, determine lim

x→0u(x).

2. Calcule limx→0

x3sen

(2

x

).

Obs: Note que não podemos utilizar a propriedade que limx→a

f(x)g(x) = limx→a

f(x) limx→a

g(x).Por quê?

3. Sejam f e g duas funções com mesmo domínio D tais que limx→a

f(x) = 0 e |g(x)| ≤ M

para todo x em D, onde M > 0 é um número real fixo. Prove que limx→a

f(x)g(x) = 0.

4. Calcule limx→0

x2g(x) onde g(x) =

{1 se x ∈ Q

−1 se x 6∈ Q .

2.3 Limites Fundamentais

limx→0

sen(x)

x= 1 lim

x→0

1− cos x

x= 0 lim

x→∞

(1 +

1

x

)x

= e limh→0

ah − 1

h= ln a Exercício

Determine o valor dos limites, caso exista:

(a) limx→∞

(2x

x + 1

)x

(b) limx→0

sen(3x)

sen(5x)(c) lim

h→0

ex+h − ex

h

(d) limx→π+

sen(x)

x− π(Sug.: faça t = x− π) (e) lim

x→0

(cos 2x− cos 3x

x2

)(f) lim

x→a

(cos(x)− cos(a)

sen(x)− sen(a)

)

(g) limx→0

(cos(5x)− cos(3x)

sen(4x)

)(h) lim

x→0

(x− sen(x)

x + sen(x)

)(i) lim

x→0

(x− 1 + cos(x)

x + 1− cos(x)

)

(j) limx→0

cos(x)− 1

x(k) lim

x→0

sen(2x)

5x

2.4 ContinuidadeDefinição: Dizemos que uma função f é contínua em um número x = a se as trêscondições abaixo forem satisfeitas:

(i) a ∈ Df

(ii) limx→a

f(x) existe(iii) lim

x→af(x) = f(a)

Continuidade 25

Exercícios

1. Determine se as funções abaixo são contínuas ou descontínuas no ponto dado. Nocaso de descontinuidade, verifique qual dos ítens da definição de continuidade não ésatisfeito.

(a) f(x) =1

x− 3; a = 3 (b) g(x) =

1

x + 3; a = −3

(c) h(x) =

{ −x + 1 x ≤ 0x2 x > 0

; a = 0 (d) h(x) =

{ −x2 + 4 x ≥ 2x2 − 4 x < 2

; a = 2

(e) P (x) =

−x + 2 x > 0

2 x = 0x + 2 x < 0

; a = 0 (f) f(x) =

{ 1

x− 3x 6= 3

0 x = 3; a = 3

(g) f(x) =

x2 + x− 2

x− 1x 6= 1

2 x = 1; a = 1 (h) f(x) =

2x2 + 1 x < 11 x = 1

x + 1 x > 1; a = 1

(i) f(x) = sen(x− sen(x)); a = 0 (j) f(x) = tan(π

4cos(senθ

13 )

); θ = 0

2. Dada a função f definida por

f(x) =

3x2 − 5x− 2

x− 2se x < 2

3− ax− x2 se x ≥ 2

determine a ∈ R para que exista limx→2

f(x).

3. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado.

(a) f(x) =

x3 − 8

x− 2se x 6= 2

L se x = 2em p = 2

(b) f(x) =

√x−√5√

x + 5−√10se x 6= 5

L se x = 5

em p = 5

4. Considere a função f dada por

f(x) =

x3−2x2+x−2x2−5x+6

, se x 6= 2, x 6= 3

5, se x = 2.3, se x = 3

f é contínua? Justifique.

26 Limites e continuidade

5. Determine, se possível, os valores das constantes a e b de modo que a função fabaixo seja contínua em R.

f(x) =

xsen 1x

+ b se x < 0a se x = 0

(1 + x2)

3x+1x se x > 0

6. Determine, se possível, um valor para a constante real a de modo que a função

f(x) =

{5x2 − ax se x ≥ −1

a(x− 1)2 + 3x se x < −1

seja contínua para todos os valores de x ∈ R.

7. Intuitivamente, dizemos que uma determinada função real f é contínua, se o gráficode f pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel. Observe os seguintes gráficos nafigura 2.1 e defina quais são contínuos e quais são descontínuos. Nota: este fato só ématematicamente correto quando o domínio da função é um intervalo (um conexo).Mas uma coisa curiosa sempre acontece: para uma função ser contínua, o númerode “pedaços"de seu gráfico precisa coincidir com o número de “pedaços"do domínio.

Figura 2.1: Exercício 7.

8. Sejam f, g contínuas em p e k uma constante. Mostre que f + g, f.g e k.f sãocontínuas em p, e que f

gtambém será, desde que g(p) 6= 0.

Teoremas 27

2.5 Teoremas

Teorema do Valor Intermediário: Uma função y = f(x) que é contínua em um in-tervalo [a, b] assume cada valor entre f(a) e f(b). Em outras palavras, se y0 for qualquervalor entre f(a) e f(b), então yo = f(c) para algum c em [a, b].

Teorema de Bolzano: Seja f um função contínua em um intervalo [a, b]. Sef(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um valor c em (a, b) tal que f(c) = 0, ou seja, se fmuda de sinal em [a, b] então f possui pelo menos uma raiz no intervalo (a, b).

Teorema do Ponto Fixo de Brouwer: Seja f : [a, b] → [a, b] uma função bijetorae contínua. Então existe pelo menos um ponto x em [a, b] tal que f(x) = x.

Excercícios

1. Usando o teorema do valor intermediário, prove que, se f é contínua, então qualquerintervalo que f muda de sinal contém uma raiz de f .

2. Algum número real somado a um é igual a seu cubo?

3. Se f(x) = x3− 8x + 10, mostre que há pelo menos um valor de c para o qual f(c) éigual a:

(a) π (b) −√3 (c) 0

4. Em quais intervalos as funções dadas abaixo são contínuas?

(a) y =1

x− 2− 3x (b) z =

t + 1

t2 − 4t + 3(c) r =

cos x

x(d) s =

√2v + 3

5. Suponha que f seja uma função contínua em [a, b] e que f admita uma única raizc ∈ [a, b]. Suponha que exista x0 em [a, b] tal que x0 > c, tal que f(x0) > 0. Proveque para todo x ∈ [a, b], com x > c, f(x) > 0.

6. Prove que a função f dada por f(x) = 3x7 − x− 1 tem (pelo menos) uma raiz em[0, 1]. Justifique sua resolução.

7. Determine um intervalo onde a função f dada por f(x) = (x3 − 3x2)23 .ln(x + 3)

tenha um zero. Justifique sua resposta.

2.6 Assíntotas

Definição: Seja f uma função e c um número. A reta de equação x = c se diz assíntotavertical de f se

28 Limites e continuidade

limx→c+

f(x) = +∞ou lim

x→c+f(x) = −∞

ou limx→c−

f(x) = +∞ou lim

x→c−f(x) = −∞

Definição: A reta y = L é dita uma assíntota horizontal do gráfico de f se pelo menosuma das seguintes afirmações for válida:

(i) limx→+∞

f(x) = L e existe N > 0 tal que se x > N , então f(x) 6= L.

(ii) limx→−∞

f(x) = L e existe N < 0 tal que se x < N , então f(x) 6= L.

Definição: A reta y = a x + b é denominada assíntota inclinada (ou oblíqua), ondea e b são dados por

a = limx→±∞

f(x)

xb = lim

x→±∞(f(x)− a x),

desde que os limites existam.

Exemplo:

1 2 3 4

-20

20

x

y

Figura 2.2: Exemplo

No gráfico acima a reta x = 2 é uma assíntota vertical e a reta y = 5 é uma assíntotahorizontal.

Exercícios

1. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas abaixo, caso existam.

(a) f(x) =x2 + 1

x2(b) f(x) =

2 + x

1− x(c) f(x) =

x2 − 2

x2 − x− 2

(d) f(x) = − 8

x2 − 4(e) f(x) = cotg(x) (f) f(x) = 2sen(x) +

1

x

Assíntotas 29

2. Encontre, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de

f(x) =4x +

√x2 + 1√

x2 − 4x + 4.

3. Encontre as assíntotas horizontais das funções f(x) =x

x2 + 2x− 3e f(x) =

√x2 + 1

3x− 5.

Alguma dessas funções possui assíntota vertical? Dê exemplo de uma função quepossua duas assíntotas verticais e uma horizontal.

4. Encontre, se existirem, as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função

f(x) =x2 + x

x− 1.

Capítulo 3

Derivadas

3.1 Coeficiente Angular da Reta

Dada uma reta y = ax + b, o termo a é denominado coeficiente angular da reta, e otermo b é o coeficiente linear da reta. Podemos definir o coeficiente angular m de umareta que passa pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) como:

m =∆y

∆x=

y2 − y1

x2 − x1

, com x1 6= x2 (3.1)

A equação da reta com coeficiente angular m e que passa pelo ponto (x1, y1) dadapor 3 é y − y1 = m(x− x1).

Nos exercícios a seguir, ache uma equação da reta que contenha os pontos P e Q.1. P (-2,1), Q(2,4) 2. P (2,2), Q(-5,2).Num gráfico de uma função f qualquer, a tangente num ponto é a aproximação

linear do gráfico neste ponto. Essa afirmação é exemplificada pela figura 3.1 abaixo:

Figura 3.1: Exemplo ilustrativo da tangente como aproximação linear do gráfico em umponto.

Para determinarmos a inclinação m do gráfico de f no ponto (x, f(x)), basta achar-mos o coeficiente angular da tangente em (x, f(x)), que é dado por:

30

Coeficiente Angular da Reta 31

m = limh→0

f(x + h)− f(x)

h, desde que o limite exista, ou seja, m ∈ R.

x

y

P

Q

x

f( ) - f( )f( )

x+h

x+h xx

h

Figura 3.2: Exemplo geométrico ilustrativo para um melhor entendimento da definiçãode derivada.

Desta forma, podemos definir uma nova função, a derivada de f em x, isto é,

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)

h

Obs: f ′(x) lê-se “f linha de x".Uma outra alternativa para o cálculo da derivada de f no ponto a é o limite

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a

Uma função é derivável em x se sua derivada existe em x. O processo de cálculo dederivadas é chamado derivação.

Notações para derivada de y = f(x): f ′(x) = Dxy = y′ =dy

dx=

d

dxf(x)

Exercícios

1. Aplique a definição de limite para achar a derivada das funções dadas.(a) f(x) = 3 (b) f(x) = x2

(c) h(t) =√

t− 1 (d) g(s) =1

s2

2. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto indicado.Em seguida, determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f nos mesmospontos.

32 Derivadas

(a) f(x) = 2x + 4 P (1, 6) (b) f(x) = x3 + 3 Q(−2,−5)

(c) f(x) =1

x + 1A(0, 1) (d) f(x) =

√2x− 2 B(9, 4)

3. Encontre as derivadas laterais em x1 se existirem e determine se f é derivável emx1.

(a) f(x) =

{x + 2 se x ≤ −4−x− 6 se x > −4

x1 = −4 (b) f(x) = 3√

x x1 = 0

(c) f(x) = |x| x1 = 0 (d) f(x) = 6− 2x x1 = 3

4. Sendo f(x) =√

x(x4 + 3) e g(x) = 12√

x, sabe-se que para um determinado pontox0, as tangentes aos gráficos de f e g são paralelas. Determine x0.

5. Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f(x) = x3−3x2 que passampelo ponto (0,1).

6. Considere a função f(x) =

{x

32 sen( 1

x2 ), x>0;0, x=0.

. Calcule pela definição f ′(0).

7. Determine o valor das constantes a e b de modo que a função f dada abaixo sejaderivável em todo número real.

f(x) =

{ −x2 + ax, x<=2;bx( − 1), x>2.

3.2 Regras de DerivaçãoAs regras de derivação abaixo não devem ser decoradas. A demonstração formal de

algumas delas certamente será feita em sala pelo professor de cálculo. Que tal tentardemonstrar as restantes? É só usar a definição!

Função Derivada Função Derivaday = c, c = cte y′ = 0 y = f(g(x)) y′ = f ′(g(x))g′(x)y = xn y′ = nxn−1 y = ax y′ = ax ln ay = f(x)± g(x) y′ = f ′(x)± g′(x) y = ex y′ = ex

y = f(x)g(x) y′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) y = loga x y′ =1

x ln a

y =f(x)

g(x)y′ =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

(g(x))2y = ln |x| y′ =

1

x

Exercício

Regra da Cadeia 33

Encontre a derivada da função dada aplicando as regras de derivação.

(a) y(x) = 2x(b) f(x) = −7x + 2(c) h(t) = 1− 2t− t2

(d) s(x) = x4 − 3x2 + 5

(e) y(t) = 4t23

(f) g(x) = 5 4√

x− x5

(g) f(x) =√

x(√

x + 2)

(h) h(p) =p3

3+

3

p3

(i)g(t) = (2t4 − 1)(5t3 + 6t)(j) g(w) = wew + ln(w)cos(w)

3.3 Regra da CadeiaFunção Composta

Imagine que uma indústria consiga vender tudo o que produzir. É claro que o lucroL da empresa depende de sua produção p. Ou seja, L é uma função de p (podemosescrever L(p)). Mas a produção, por sua vez, pode depender do tempo t durante o qualdeterminada máquina funciona. Isto é, p depende de t (escrevemos p(t)), e portanto,o lucro L também depende de t (escrevemos L(p(t))). Neste caso, o que temos é acomposição das funções L e p. Queremos introduzir agora o tipo de função que modelasituações como estas.

Definição 1 A função dada por (fog)(x) = f(g(x)) é a composta de f com g. O domíniode fog é o conjunto de todos os valores de x do domínio de g tais que g(x) está no domíniode f (Vide seção 1.2).

Exemplo: Expresse y = (2x + 5)8 sob forma de uma função composta. Suponha que,para um número real x, queiramos calcular (2x + 5)8 usando uma calculadora. Primeirocalcularíamos 2x + 5 e em seguida elevaríamos o resultado à potência 8. Isto sugere fazeru = 2x + 5 e y = u8, que é uma forma funcional composta para y = (2x + 5)8.Exercício

Determine uma forma funcional composta para y:

(a) y = (x2 + 3x)13

(b) y = 4√

x4 − 16(c) y =

√(senx2)3

34 Derivadas

Se y = f(u), u = g(x), e as derivadasdy

due

du

dxexistem, então a função composta

definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por

dy

dx=

dy

du

du

dx= f ′(u)g′(x) = f ′(g(x))g′(x)

Exercícios

1. Dadas as funções f e g abaixo, determine h(x) = (fog)(x) e os domínios de f , g eh. Calcule h′(x) diretamente e usando a regra da cadeia.

(a) f(x) = x2 + x e g(x) = 2

(b) f(x) = 3√

x e g(x) = x2 + 5x

(c) f(x) =x2

x + 1e g(x) = x2

(d) f(x) =1

xe g(x) = x

(e) f(x) = x2 + 1 e g(x) =√

x

2. Use a regra da cadeia para derivar as funções:

(a) f(x) = (x + 2)2

(b) f(x) =√

x(x2 + 1)

(c) f(t) =

√2t

4t + 1

(d) y =1

s− 2

(e) h(t) = 2t√

t + 6t

(f) g(s) =s4 − 3s2 + 1

(2s + 3)4

(g) f(x) =2

ex − e−x

(h) f(x) = log x2 + 6x

(i) f(x) = 42x−3

(j) f(x) = e1x

(k) g(w) = ew2

Funções trigonométricas 35

3.4 Funções trigonométricasA tabela abaixo não deve ser decorada. A dedução das fórmulas abaixo é simples e

seu tutor pode te ajudar a entender o processo.

No caso das funções trigonométricas, faça pelo menos os casos y = arcsen(x) e y =arctg(x) e os outros serão análogos. Os passos, no primeiro caso, são: aplique a função senoem ambos os lados, derive implicitamente em relação a x, use uma importante identidadetrigonométrica e pronto.

Derivada de Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas

Função Derivada Função Derivada

y = senx y′ = cos x y = arcsenx y′ =1√

1− x2

y = cos x y′ = −senx

y = tan x y′ = sec2 x y = arccos x y′ =−1√1− x2

y = sec x y′ = sec x tan x

y = csc x y′ = − csc x cot x y = arctan x y′ =1

x2 + 1

y = cot x y′ = − csc2 x

Exemplo: Encontre a derivada de arcsen x.Temos que a função seno,

sen :[−π

2,

π

2

]→ [−1, 1]

x 7→ y = senx

é inversível e sua inversa é definida por

arcsen : [−1, 1] →[−π

2,

π

2

]

x 7→ y = arcsen x

Calculemos então a derivada de y = arcsen x. Como y = arcsen x, segue que seny = x.Derivando em relação a x e lembrando que y depende de x temos: y′ cos y = 1. Então

y′ =1

cos y. Mas cos y =

√1− sen2y =

√1− x2. Portanto y′ = ( arcsen x)′ =

1√1− x2

.

Exercícios

1. Derive as funções:

36 Derivadas

(a) f(x) = e2xsen3x

(b) f(x) = x2 − cos x

(c) f(x) = ln | csc x− cot x|(d) f(x) = tan x− x

(e) f(x) = 5x sec x

(f) f(x) = sen2x + cos2 x

(g) f(x) =cos 2x

x

(h) f(x) = 12csc 2x

(i) f(x) = ex

x2+cosx

2. Derive as funções trigonométricas inversas

(a) f(x) = arctan x

(b) f(x) = arcsen√

x

(c) f(x) = arctan2x

1− x2

(d) f(x) = x2 arccos x

(e) f(x) = arcsec(x2 + 1)

(f) f(x) = arccos 12x

(g) f(x) = ln | arctan 3x|(h) f(x) = arccsc

√x2 + 4

(i) f(x) = arccos( 2−x√2x

)

3.5 Derivação Implícita

Dada a equação y = 3x2 − 5, costumamos dizer que y é uma função explícita de x,pois podemos escrever y = f(x) com f(x) = 3x2 − 5. A equação 6x2 − 2y = 10 define amesma função f , pois, resolvendo em relação a y, temos −2y = 10− 6x2 ou y = 3x2 − 5.Para o caso 6x2−2y = 10, dizemos que y é uma função implícita de x, ou que f é definidaimplicitamente pela equação.

O método da diferenciação implícita consiste em diferenciar cada termo da equaçãoem relação a x.Exercícios

Teoremas 37

1. Suponha y uma função de x. Derive implicitamente as seguintes equações.

(a) 4x2 − 9y = 1

(b)x√y− 4xy = x

(c) y3 + 2xy = ex4

(d) (x + y)2 − (x− y)2 = x3

(e) x3 + y3 = 8xy(f) 3

√x + 3

√xy = 4y2

(g) 4xy + ln(x2y) = 7(h) y = cos(x− y)(i) 5y2 + 3 = x2sen2y(j) xy + y cos x = 1(k) y = (1 + x)e−x

(l) cos y + ln(x2 + y2) = 2x

(m) y = tgh(x3) + log3

√x2 + 1

(n) y = (x2 + cos x)(1+senx)

2. Suponha que a equação x2

2+ y2

8= 1 defina, implicitamente, uma função diferenciável

tal que y = f(x). Determine a equação da reta normal à curva dada em um pontoP dessa curva de abiscissa x = 1, localizado no 4◦ quadrante.

3.6 TeoremasTeorema 1 (Teorema de Rolle) Se f : [a, b] → R é uma função contínua em [a, b] ederivável em (a, b) com f(a) = f(b), então existe c em (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Teorema 2 (Teorema do Valor Médio) Se f : [a, b] → R é uma função contínua em

[a, b] e derivável em (a, b), então existe c em (a, b) tal que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Exercícios

1. Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função f(x) =3cos2x no intervalo [π

2, 3π

2] e ache um valor adequado de c que satisfaça a conclusão

desse teorema.

2. Verifique que as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas pela funçãof(x) = x( 2

3) no intervalo [0, 1] e ache um valor adequado de c que satisfaça a con-

clusão desse teorema.

3. Mostre que:

38 Derivadas

(a) senx ≤ x, para todo x ≥ 1(b) lnx < x, para todo x ≥ 1(c) x ≤ x2, para todo x ≥ 1(d) x < tgx, para x ∈ [0, π

2)

(e)√

x ≤ x2, para todo x ≥ 1(f) tgx− 1 ≥ x− π

4, para todo x ≥ π

4

Capítulo 4

Construção de Gráficos

4.1 Funções Crescentes e Funções Decrescentes

Definição 2 Seja f uma função definida num intervalo I, e sejam x1 e x2 números emI(i) f é crescente em I se f(x1) < f(x2) quando x1 < x2;(ii) f é decrescente em I se f(x1) > f(x2) quando x1 < x2;(iii) f é constante em I se f(x1) = f(x2) para todos x1 e x2.

O a cb d h

f (a)>0f (c)

f (d)<0

f (e)=0

f (b)=0

e g

Figura 4.1: Relação entre uma curva e sua derivada.

Observe, na figura 4.1 acima , que quando a declividade da reta tangente ao gráficode f é positiva, a função é crescente. Quando a declividade da reta tangente é negativa,a função é decrescente. Isso é formalizado no teorema abaixo:

Teorema 3 Seja f uma função diferenciável no intervalo (a, b).(i) Se f ′(x) > 0 para todo x em (a, b), f é crescente em (a, b).(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x em (a, b), f é decrescente em (a, b).(iii) Se f ′(x) = 0 para todo x em (a, b), f é constante em (a, b).

39

40 Construção de Gráficos

Definição 4 Se f é definida em c e f ′(c) = 0 ou se f ′ não é definida em c, então c é umponto crítico de f .

Suponhamos que tivéssemos que determinar os intervalos em que a função contínuaf é crescente e decrescente. Para tanto, poderíamos levar em consideração os pontoscríticos de f .

Diretrizes para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento deuma função:

1. Achar a derivada de f .

2. Determinar os pontos críticos de f e utilizá-los para estabelecer os intervalos deteste.

3. Testar o sinal de f ′(x) para um valor arbitrário em cada um dos intervalos de teste.

4. Estudar o sinal de f ′(x) para decidir se f é crescente ou decrescente em cada inter-valo.

Obs.: Devemos tomar cuidado com os pontos onde a função é descontínua.

Exercícios

1. Encontre os pontos críticos e os intervalos abertos onde a função é crescente oudecrescente.

a) f(x) = −(x− 1)2 b) f(x) =√

4− x2

c) f(x) = cos(x) + sen(x); com x ∈ (0, 2π) d) f(x) = x + 1x

4.2 Extremos de FunçõesOs pontos em que uma função passa de crescente para decrescente, ou vice-versa

são chamados de extremos relativos da função, que podem ser mínimos relativos oumáximos relativos.

Definição 5 Seja f uma função definida num intervalo I tal que c ∈ I.(i) f(c) é um valor máximo relativo de f se existe um intervalo (a, b) ⊂ I contendoc tal que f(x) ≤ f(c) para todo x em (a, b). Neste caso, c é dito ponto de máximorelativo de f .(ii) f(c) é um valor mínimo relativo de f se existe um intervalo (a, b) ⊂ I contendoc tal que f(x) ≥ f(c) para todo x em (a, b). Neste caso, c é dito ponto de mínimorelativo de f .

Teorema 6 Se f tem um extremo relativo em um ponto c em um intervalo aberto, entãoc é um ponto crítico de f , isto é, ou f ′(c) = 0 ou f ′(c) não é definida.

Teste da Concavidade 41

Definição 7 Seja f uma função definida num intervalo I tal que c ∈ I.(i) f(c) é um valor máximo absoluto de f se f(x) ≤ f(c) para todo x em I.(ii) f(c) é um valor mínimo absoluto de f se f(x) ≥ f(c) para todo x em I.

Exercício

Determine os extremos relativos e absolutos da função f(x) = 12x2 − 2x em cada

intervalo.a) [0, 5] b) (0, 4)c) (0, 2) d) [2, 5]

4.2.1 Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos

Seja c um ponto crítico de f , e suponhamos f contínua em c e diferenciável em umintervalo aberto I contendo c, exceto possivelmente no próprio c.

1. Se f ′(x) passa de positiva para negativa em c, então f(c) é valor máximo relativode f .

2. Se f ′(x) passa de negativa para positiva em c, então f(c) é valor mínimo relativode f .

3. Se f ′(x) tem o mesmo sinal à esquerda e à direita de x = c no intervalo I, entãof(c) não é extremo relativo de f .

Exercícios

1. Determine os extremos relativos de f , os extremos absolutos de f e os intervalos emque f é crescente ou decrescente, utilizando o teste da derivada primeira.a) 5− 7x− 4x2 b) 2x

√3− x

c) f(x) = 2x16−x2 d) tan(x)− 2 sec(x); com x ∈ (−π

4, π

4)

2. Encontre a, b, c e d tal que a função f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenha extremosrelativos em (1, 2) e (2, 3).

3. Encontre a, b e c, tal que a função f(x) = ax2 + bx + c tenha um valor máximorelativo y = 7 em x = 1 e o gráfico de y = f(x) passe pelo ponto (2,−2).

4.3 Teste da ConcavidadeDefinição 8 Seja uma função f diferenciável em um intervalo aberto I. O gráfico de fé(i) côncavo para cima em I se f ′ é crescente em I.(ii) côncavo para baixo em I se f ′ é decrescente em I.

42 Construção de Gráficos

Teste da Concavidade: Se a derivada segunda f ′′ de f existe em um intervalo abertoI, então o gráfico de f é

(i) côncavo para cima em I se f ′′(x) > 0 em I.(ii) côncavo para baixo em I se f ′′(x) < 0 em I.

Definição 9 Um ponto (c, f(c)) do gráfico de f é um ponto de inflexão se são verificadasas duas condições:(i) f é contínua em c.(ii) Existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em(a, c) e côncavo para baixo em (c, b), ou vice-versa.

Observação: Se (c, f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f , então ou f ′′(x) = 0 ouf ′′(x) não existe. Exercícios

1. Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo parabaixo.

a) f(x) =x2

x2 + 4b) f(x) =

√9− x2

c) f(x) = 2x− 3 d) f(x) =1

2x− sen(x); com x ∈ (0, 2π)

2. Determine os pontos de inflexão, se existirem, para as funções do exercício anterior.

3. Considerando a primeira figura deste capítulo, determine os intervalos onde f écôncava para cima e côncava para baixo.

4. Considerando o gráfico de f ′ na figura 4.2 abaixo determine os intervalos onde f écôncava para cima e côncava para baixo.

O a cb d

Figura 4.2: Exercício 4

4.3.1 Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos

Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c tal que f ′(c) = 0.

1. Se f ′′(c) > 0, então f(c) é mínimo relativo em c.

Assíntotas Verticais, Horizontais e Oblíquas 43

2. Se f ′′(c) < 0, então f(c) é máximo relativo em c.

Exercícios

1. Encontre os extremos relativos, usando o teste da derivada segunda, para as seguintesfunções:

a) f(x) =x2

x2 + 4b) f(x) =

√9− x2

c) f(x) = 2x− 3 d) f(x) =1

2x− sen(x); com x ∈ (0, 2π)

4.4 Assíntotas Verticais, Horizontais e Oblíquas

Definição 10 A reta x = a será uma assíntota vertical do gráfico da função f , se pelomenos uma das afirmativas for verdadeira:(i) lim

x→a+f(x) = +∞

(ii) limx→a+

f(x) = −∞(iii) lim

x→a−f(x) = +∞

(iv) limx→a−

f(x) = −∞

Definição 11 A reta y = b é denominada uma assíntota horizontal do gráfico dafunção f se pelo menos uma das seguintes afirmações for válida:(i) lim

x→+∞f(x) = b e para um número N , se x > N , então f(x) 6= b;

(ii) limx→−∞

f(x) = b e para um número N , se x < N , então f(x) 6= b.

Definição 12 A reta y = a x + b é denominada assíntota inclinada (ou oblíqua),onde a e b são dados por

a = limx→±∞

f(x)

xb = lim

x→±∞(f(x)− a x),

desde que os limites existam.

Exercícios

Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função.

a) f(x) =2√

x2 − 4b) f(x) =

4− 3x

x + 1

44 Construção de Gráficos

4.5 Esboço de GráficosPara obter um esboço do gráfico de uma função f , você deverá aplicar as propriedades

já discutidas e proceder da seguinte forma:

1. Achar o domínio de f.

2. Determinar se f é contínua em seu domínio e, caso contrário, achar e classificar asdescontinuidades.

3. Calcular os interceptos x e y. Os interceptos-x são as soluções da equação f(x) = 0;o intercepto-y é o valor f(0) da função, se existir.

4. Testar a simetria em relação ao eixo-y e a origem. Se f é uma função par, o seugráfico é simétrico em relação ao eixo-y. Se f é uma função ímpar, o seu gráfico ésimétrico em relação à origem.

5. Calcular f ′(x) e determinar os pontos críticos de f , isto é, os valores de x tais quef ′(x) = 0 ou f ′(x) não existe. Use o teste da derivada primeira para auxiliar napesquisa dos extremos relativos. Utilize o sinal de f ′(x) para achar intervalos emque f é crescente (f ′(x) > 0) ou decrescente (f ′(x) < 0).

6. Determinar f ′′(x) e usar o teste da derivada segunda sempre que adequado. Quandof ′′(x) > 0 em um intervalo I, o gráfico é côncavo para cima. Quando f ′′(x) < 0 ográfico é côncavo para baixo. Se f é contínua em c e se f ′′(x) muda de sinal em c,então (c, f(c)) é um ponto de inflexão.

7. Verificar a existência de possíveis assíntotas.

Exercícios

1. Esboce os gráficos das funções seguintes usando as diretrizes acima.

a) f(x) = x3 − 9 b) f(x) =2x2

9− x2

c) f(x) = exp x2 d) f(x) =−3x√x2 + 4

2. Leve em conta as informações abaixo e o gráfico da derivada f ′ de uma função f nafigura 4.3 para resolver esta questão.

(i) f(0) = 18, f(−1) = f(1) = 0

(ii) limx→+∞

f(x) = limx→−∞

f(x) = 12

(iii) limx→−2+

f(x) = −∞ e limx→−2−

f(x) = +∞(iv) lim

x→2+f(x) = +∞ e lim

x→2−f(x) = −∞

Esboço de Gráficos 45

2

-2-4

4

f

Figura 4.3: Exercício 2

a) Determine os pontos críticos de f .

b) Determine o(s) intervalo(s) em que f é crescente e decrescente.

c) Determine o(s) extremo(s) relativo(s) de f .

d) Determine o(s) intervalo(s) em que f é côncava para cima ou para baixo.

e) Determine o(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f , se existirem.

3. Considere a função f(x) = x3 − 3x− 2.

(a) Analise o crescimento;

(b) Ache os pontos críticos e classifique-os;

(c) Analise a concavidade;

(d) Esboce o gráfico.

Capítulo 5

Aplicações de Derivada

5.1 Taxas de VariaçãoAprendemos que a derivada de f é a função que a cada x de seu domínio associa a

inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)). Apresentaremos agora, umnovo conceito: a derivada de f é uma função que dá a taxa de variação de f(x) em relaçãoa x no ponto (x, f(x)). Existem inúmeras aplicações de taxas de variação na vida real:velocidade, aceleração, taxas de crescimento populacional, taxas de desemprego, taxas deprodução, taxas de fluxo de água, . . .Exercícios

1. (Eficácia de um remédio) A eficácia E de um remédio (em uma escala de 0 a 1)de um analgésico t horas após penetrar na corrente sanguínea é dada por E =1

27(9t + 3t2− t3), 0 ≤ x ≤ 4, 5. Determine a taxa de variação da eficácia E quando:

(a) t = 0 (b) t = 1 (c) t = 3

2. (Congelamento) A 0o Celsius, a perda H de calor (em quilocalorias por metroquadrado por hora) do corpo de uma pessoa pode ser dada por H = 33(10

√v− v +

10, 45), onde v é a velocidade do vento (em metros por segundo). Ache a taxa devariação de H quando: (a) v = 2 e (b) v = 5

3. (Velocidade) Deduza a equação da velocidade instantânea de um objeto cuja posiçãos (em metros) é s(t) = t2 + 2t, onde t é o tempo (em segundos).

4. O Modelo de Ebbinghaus para a memória humana é p(t) = (100− a)e−bt + a, ondep é a percentagem retida após t semanas - as constantes a e b variam de uma pessoapara outra. Se a = 20 e b = 0, 5, qual a taxa de retenção de informações após:(a) 1 semana e (b) 3 semanas

5. (Química) Os isótopos radioativos de einstenium têm uma meia-vida de 276 dias. Se1 grama de isótopos está presente em um objeto agora, a quantidade A (em gramas)

46

Taxas Relacionadas 47

presente após t dias é A(t) = 0, 5t/276. A que taxa a quantidade A está variandoquando t = 500 dias?

5.2 Taxas Relacionadas

Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t, x(t) = f(t) e

y(t) = g(t). Podemos interpretar as derivadasdx

dte

dy

dtcomo as taxas de variação de x e

y em relação a t. Em certas aplicações, x e y podem estar relacionadas por uma equação,

neste caso as derivadasdx

dte

dy

dtsão chamadas taxas relacionadas.

Diretrizes para resolver problemas de taxas relacionadas:

• Faça uma figura, se isto for possível.

• Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmentedependem de t.

• Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas emrelação a t.

• Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t.

• Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa anterior.

• Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa anterior eresolva em termos da quantidade desejada.

Exercícios

1. Nos exercícios a seguir admita que todas as variáveis sejam funções de t.

(a) Se A = x2 e dxdt

= 3, determinedA

dtquando x = 5.

(b) Se 2y3 − x2 + 4x = −10 edy

dt= −3 quando x = −2 e y = 1, determine

dx

dt.

(c) Se 3x2y + 2x = −32 edy

dt= −4 quando x = 2 e y = -3, determine

dx

dt.

(d) Se −x2y2 − 4y = −44 edx

dt= 5 quando x = −3 e y = 2, determine

dy

dt.

(e) Uma pessoa parte do ponto A em direção sul a 4m/s. Um minuto depois,outra pessoa parte de A em direção oeste a 3m/s. A que taxa está variando adistância entre elas 1min após a partida da segunda pessoa?

48 Aplicações de Derivada

(f) Joga-se uma pedra em um lago, produzindo ondas circulares cujos raios au-mentam a uma razão constante de 0,5m/seg. A que taxa está aumentando acircunferência da uma onda quando o raio é de 4m?

(g) Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sea base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6m/s, comque velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4m do solo?

(h) Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindoa direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul,a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro noinstante em que o primeiro carro está a 0,2km do cruzamento e o segundo a0,15km?

(i) Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio docírculo aumenta à razão de 1m/min. Determine a taxa à qual a área incendiadaestá aumentando quando o raio é de 20m.

(j) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m3/min, formandoum monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base,com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura?

(k) Suponha que os comprimentos dos segmentos OA e OB sejam, respectivamente,5cm e 3 cm. Suponha, ainda, que θ esteja variando a uma taxa de 1

2rad/s.

Determine a velocidade de A quando θ = π2rad.

(l) O café escoa de um filtro cônico de 10cm de raio e 10cm de altura para umacafeteira cilíndrica de 10 cm de raio e 15 cm de altura a uma taxa de 20cm3/s.A que taxa o nível no filtro diminuirá quando o café no filtro estiver a 6cm dealtura? A que taxa o nível na cafeteira aumentará nesse momento?

(m) O lado x de um triângulo está crescendo a 2cm/s e o lado y a 3cm/s. Suponhaque θ, o ângulo formado pelos lados x e y, decresça de tal modo que a área de4cm2 do triângulo permaneça constante. A que velocidade está diminuindo θquando x = y = 4?

(n) Uma fonte de luz move-se a 3 pés/s e se aproxima de um homem de 6 pésde altura a 12 pés de uma parede vertical. A luz está a 3 pés acima do níveldo chão. A que velocidade está se movendo o extremo superior da sombra dohomem sobre a parede quando a luz estiver a 24 pés da parede?

5.3 Problemas de OtimizaçãoEm aplicações, uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meio

de alguma função. Por exemplo, a função T pode representar a temperatura de um objetonum instante t. Se T é diferenciável, então a derivada T ′ pode ser útil na pesquisa demáximos e mínimos de T . A tarefa de determinar esses valores constitui um problema deotimização. Um resultado importante para trabalharmos com esse tipo de problema é oseguinte:

Problemas de Otimização 49

Teorema 13 (Weierstrass) Se f é uma função contínua no intervalo [a, b] então f possuium valor máximo e um valor mínimo em [a, b], ou seja, existem x1 e x2 pertencentes aointervalo [a, b] tal que f(x1) = m , f(x2) = M e m ≤ f(x) ≤ M , para todo x ∈ [a, b] .

a xx b12

m

M

Figura 5.1: Figura ilustrativa do teorema de Weierstrass.

5.3.1 Diretrizes para a resolução de problemas de otimização

1. Ler cuidadosamente o problema algumas vezes, refletindo sobre os fatos descritos eas quantidades desconhecidas a serem determinadas.

2. Sempre que possível, esboçar um diagrama e rotulá-lo adequadamente, introduzindovariáveis para representar as quantidades desconhecidas.

3. Registrar os fatos conhecidos juntamente com quaisquer relações envolvendo as var-iáveis.

4. Determinar qual variável deve ser maximizada ou minimizada, e expressar esta var-iável como função, f , de uma das outras variáveis.

5. Determinar o domínio e os pontos críticos da função, f , obtida no passo 4 .

6. Determinar os extremos da função f da seguinte forma:

(i) se o domínio for um intervalo aberto, utilizar os testes de derivadas primeira ousegunda.

(ii) se o domínio for um intervalo fechado e f for contínua neste intervalo, verificar ovalor de f nos pontos extremos do domínio e nos pontos críticos – o maior (menor)valor assumido será o máximo(mínimo).

Exemplo: Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolinade 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto dacartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho doquadrado que permite construir uma caixa com volume máximo. (Desprezar a espessurada cartolina).

50 Aplicações de Derivada

Solução:1) Ler o problema ao menos uma vez mais.2) Fazer um esboço da caixa como na figura 5.2 abaixo, introduzindo uma variável x paradenotar o lado do quadrado a ser cortado de cada canto.

Figura 5.2: Exemplo.

3) Dobrando-se a cartolina, a base da caixa obtida terá dimensões 52− 2x e 40− 2x.4) A quantidade a ser maximizada é o volume V da caixa. Com base na figura 5.2 acima,expressamos V como função de x:

V (x) = x(40− 2x)(52− 2x) = 4(520x− 46x2 + x3)

5) Para determinar o domínio de V , basta analisar as restrições do problema: as dimensõesx, 52− 2x e 40− 2x, bem como o volume, V , da caixa devem ser não negativos, isto é:

x ≥ 0 e (52− 2x) ≥ 0 e (40− 2x) ≥ 0 e x(40− 2x)(52− 2x) ≥ 0

Daí, resulta D(V ) = [0, 20]. E para encontrar os pontos críticos da função, diferen-ciamos V em relação a x:

V ′(x) = 4(520− 92x + 3x2)

Fazendo V ′ = 0, obtemos as raízes(aproximadas) 23, 19 e 7, 47, que são possíveispontos críticos. Como 23, 19 está fora do domínio da função volume V , o ponto crítico é7, 47.6) Uma vez que V possui como domínio o intervalo fechado [0, 20] e é continua nesteintervalo, basta calcularmos os valores que V assume nos extremos do domínio e nospontos críticos – o maior valor será o máximo e o menor, o mínimo: os pontos x = 0 ex = 20 dão o valor mínimo V (0) = V (20) = 0, já para o ponto crítico x = 7, 47, obtemosV = 15, 537cm3, que é o valor máximo.

Exercícios

Problemas de Otimização 51

1. Resolva os seguintes problemas :

(a) Um fazendeiro tem 200m de cerca para construir três lados de um cercadoretangular. Um muro longo e retilíneo servirá como o quarto lado. Que dimen-sões maximizarão a área do cercado?

(b) Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção dolado ao longo rio. O custo do material é de R$12 por metro linear no ladoparalelo ao rio e R$8 por metro linear nos dois extremos. Ache a maior áreapossível do campo que possa ser cercado com um custo de R$3600 de material.

(c) Sendo 5832 cm3 o volume de um reservatório de base quadrada, R$ 3,00 porcm2 o preço do material da tampa e da base e R$ 1,50 por cm2 o valor domaterial para os lados, calcule as dimensões desse reservatório de modo que ocusto total do material seja mínimo.

(d) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375πcm3.O custo do material usado para base do recipiente é de 15 centavos por cm2

e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2 . Senão há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo domaterial.

(e) Numa determinada vila, a taxa segundo a qual um boato se espalha é conjunta-mente proporcional ao número de pessoas que ouviram o boato e ao número depessoas que não ouviram. Mostre que o boato será espalhado com velocidademáxima, quando a metade da população já o escutou.

(f) Para um pacote ser aceito por um determinado serviço de entrega de encomen-das, a soma do comprimento e do perímetro da seção transversal não deveser maior que 100cm. Se um pacote tiver o formato de uma caixa retangularcom uma seção quadrada, ache as dimensões do pacote, tendo o maior volumepossível, que possa ser despachado.

(g) Uma pessoa se acha em um bote a 2km de distância do ponto mais próximoem uma praia retilínea, e deseja atingir uma casa a 6km praia abaixo. Se apessoa pode remar à razão de 3km/h e andar à razão de 5km/h, determine otempo mínimo que a pessoa levará para atingir a casa.

(h) Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de 30m3, tetoplano e base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custodo material, por m2, é de R$36.000,00 para o chão, R$204.000,00 para os ladose R$102.000,00 para o teto. Que dimensões minimizarão o custo?

(i) Corta-se em duas partes um pedaço de arame de 100 cm. Com um pedaçoforma-se um círculo, e com o outro, um quadrado. Onde se deve cortar oarame original para maximizar a soma das áreas do quadrado e do círculo? Epara minimizar essa soma?

(j) Um cone circular reto deve ser inscrito numa esfera com um raio dado. Achea razão entre a altura e o raio da base do cone de maior volume possível.

52 Aplicações de Derivada

(k) De um ponto A situado numa das margens de um rio de 100 m de largura,deve-se levar energia elétrica ao ponto C situado na outra margem do rio. Ofio a ser utilizado na água custa R$5,00 o metro, e o que será utilizado fora,R$3,00 o metro. Como deverá ser feita a ligação para que os gastos com o fioseja o menor possível? (Suponha as margens retilíneas e paralelas.)

Capítulo 6

Antiderivadas

6.1 IntroduçãoAté aqui nossa atenção esteve voltada essencialmente para o seguinte problema: dada

uma função, achar a sua derivada. Muitas aplicações importantes do Cálculo envolvem oproblema inverso: determinar uma função, dada sua derivada. Esta operação, que consisteem determinar a função original a partir de sua derivada, é chamada antidiferenciaçãoou integração.

Como estas operações são inversas, algumas aplicações da integração são imediatas.Por exemplo, a integração de uma função aceleração gera uma função velocidade. Aintegração pode ser utilizada para achar a área de uma região, o valor médio de umafunção ou o volume de um sólido.

Definição 14 Uma função F é uma antiderivada de uma função f se, para todo x nodomínio de f , temos F ′(x) = f(x).

Se F (x) é uma antiderivada de f(x), então F (x) + C também o é , onde C é umaconstante arbitrária. Assim, o processo de antidiferenciação não define uma únicafunção, e sim uma família de funções que diferem entre si por uma constante.Notação: O símbolo

∫denota a operação de antidiferenciação e escrevemos

∫f(x)dx = F (x) + C,

onde f(x) é o integrando e C é a constante de integração. A diferencial dx naequação acima identifica a variável de integração. Ou seja, o símbolo

∫f(x)dx denota a

“antiderivada de f em relação a x”(ou integral indefinida de f em relação a x).Exercícios

1. Verifique se F1(x) = x2−2x, F2(x) = x2−2x−1 e F3(x) = (x−1)2 são antiderivadasde f(x) = 2x− 2. Faça o gráfico de F1, F2 e F3 no mesmo plano coordenado. Comose relacionam estes gráficos? Que podemos dizer sobre o gráfico de qualquer outraantiderivada de f ?

53

54 Antiderivadas

2. Utilize as regras básicas de integração para resolver a integral indefinida e verifiqueo resultado por diferenciação.

(a)∫

1dx (d)∫

3x5 dx (g)

∫sec u · tgu du (j)

∫(4 + 4tg2v)dv

(b)∫

1tdt (e)

∫[sen(t) + cos(t)]dt (h)

∫(x4 + 5x2 − 3)dx (k)

∫t2+2

t2dt

(c)∫

etdt (f)∫

x3−1x−1

dx (i)∫

3√

x2dx (l)∫

1sen2z

dz

3. Resolva os problemas seguintes utilizando seus conhecimentos de derivação e inte-gração.

(a) (Movimento Vertical) Joga-se uma bola para cima, de uma altura inicial de 80m, com uma velocidade inicial de 64 m/s. Deduza a função que dê a altura h(em metros) como função do tempo t (em segundos). Em que instante a bolaatinge o solo? (Considere a gravidade g = 10 m/s2).

(b) (Consumo de Gás Natural) O consumo S (em quatrilhões de m3) de gás naturalaumentou consistentemente entre 1986 e 1992. A taxa de aumento admite comomodelo dS

dt= −0, 175t2+0, 4t+0, 81, com 0 ≤ t ≤ 6 onde t = 0 representa 1986.

Em 1986, o consumo foi de 16,7 quatrilhões de m3. Estabeleça um modelo parao consumo de 1986 a 1992 e determine o consumo em 1992.

(c) (Custo) O Custo Marginal* da fabricação de x unidades de um produto temcomo modelo dC

dx= 32 − 0, 04x. A produção de uma unidade custa R$ 50,00.

Ache o custo total da produção de 200 unidades.*Custo Marginal é a taxa de variação do custo em relação ao número x deunidades produzidas ou vendidas.

6.2 Métodos de Integração

6.2.1 Integração por substituição ou mudança de variável

Esta técnica utiliza a Regra da Cadeia para a Antidiferenciação. Considere a integralindefinida

∫f(g(x))[g′(x)dx]. Fazendo u = g(x) e, conseqüentemente, du = g′(x)dx,

fazemos as substituições e obtemos:

∫f(g(x))[g′(x)dx] =

∫f(u)du = F (u) + C = F (g(x)) + C.

Esta técnica só é possível se o integrando for do tipo f(g(x))g′(x), ou seja, deve conteruma função composta e a derivada da função interna da composta. Pode ser necessáriaa introdução de constantes no integrando a fim de ajustá-lo para que esteja na formaf(g(x))g′(x). Quando fazemos uma substituição, o objetivo é obter um integrando f(u)que é facilmente integrado através das regras básicas de integração.

Métodos de Integração 55

Diretrizes para a integração por substituição:

1. Analisar o integrando e decidir se é possível obter uma função u = g(x), dependendode x , conveniente.

2. Derivar a função u em relação a x e destacar o diferencial du.

3. Fazer os ajustes necessários no integrando para proceder a substituição.

4. Escrever todo o integrando em função da variável u e procurar adaptá-lo a uma oumais regras básicas de integração. Se nenhuma se ajustar, tentar outra substituição.

5. Após efetuar a integração, escrever a antiderivada como função de x.

Exemplo: Para calcular a integral indefinida∫

x√

x2 + 1dx,

considere a seguinte substituição u = x2 − 1. Assimdu

dx= 2x, ou seja, du = 2xdx. Para

fazer com que 2xdx faça parte do integrando, sem alterá-lo, multiplicamos e dividimospor 2 como segue:

∫x√

x2 + 1dx =1

2

∫ √x2 + 1 · 2xdx =

1

2

∫u

12 · du =

1

2

u32

32

+ C =1

3(x2 − 1)

32 + C.

Exercícios

1. Identifique f(g(x))g′(x) no integrando, faça a substituição u = g(x) e reescreva aintegral em termos de u e du. Depois calcule as integrais indefinidas a partir dasintegrais obtidas após a substituição.

(a)∫√

1− 3xdx (b)∫

2xe−x2dx (c)

∫1√

t− 1dt

(d)∫

e4x

1− e4xdx (e)

∫12x + 2

3x2 + xdx (f)

∫ln t

tdt

2. Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de mudança de variáveis.

(a)∫

x2 − 1√2x− 1

dx (b)∫

6x +√

2x

xdx (c)

∫3x2

√3− x3dx

(d)∫

x2

(x + 1)2dx (e)

∫3t√

1− t2dt (f)

∫x2√

1− xdx

3. Determine as integrais indefinidas.(a)

∫tgx · sec2 xdx (b)

∫(senx + cos x)2dx (c)

∫7

csc xdx

(d)∫

x · sen(x)2dx (e)∫

ecos xsenxdx

56 Antiderivadas

6.2.2 Integração de potências de funções trigonométricas

Convém relembrar as seguintes relações trigonométricas:(a) sen2x + cos2 x = 1 (b) sen2x = 2senx · cos x (c) cos 2x = cos2 x− sen2x(d) sec2 x = 1 + tg2x (e) sen2x = 1

2(1− cos 2x) (f) cos2 x = 1

2(1 + cos 2x)

Diretrizes para calcular∫sennxdx :

1. Se n é um número inteiro positivo ímpar, fazemos

∫sennxdx =

∫senn−1x · senxdx

Como o inteiro n − 1 é par, podemos utilizar a identidade sen2x = 1 − cos2 x parachegar a uma fórmula fácil de integrar.

2. Se n é um inteiro positivo par, aplicamos sen2x = 12(1− cos 2x), fórmula de ângulo-

metade, para simplificar o integrando.

A fórmula de ângulo-metade sen2x = 12(1 − cos 2x) pode ser obtida da seguinte

maneira: De sen2x + cos2 x = 1 obtemos cos2 x = 1 − sen2x. Sabemos que cos 2x =cos2 x−sen2x. Daí, temos que cos 2x = (1−sen2x)−sen2x. Portanto, sen2x = 1

2(1−cos 2x).

Diretrizes para calcular∫

cosn xdx:

1. Se n é um número inteiro positivo ímpar, fazemos

∫cosn xdx =

∫cosn−1 x · cos xdx

Como o inteiro n − 1 é par, podemos utilizar a identidade cos2 x = 1 − sen2x parachegar a uma fórmula fácil de integrar.

2. Se n é um inteiro positivo par, aplicamos a fórmula cos2 x = 12(1 + cos 2x) , ângulo-

metade, para simplificar o integrando.

Já a fórmula de ângulo-metade cos2 x = 12(1 + cos 2x) pode ser obtida da seguinte

maneira: De sen2x + cos2 x = 1 obtemos sen2x = 1 − cos2 x. Sabendo que cos 2x =cos2 x − sen2x, temos cos 2x = cos2 x − (1 − cos2 x). Assim, cos2 x = 1

2(1 + cos 2x).

Exercício

Calcule as integrais indefinidas.(a)

∫sen3xdx (b)

∫sen4xdx (c)

∫cos4 xdx (d)

∫cos3 xdx

Métodos de Integração 57

6.2.3 Integração por Partes

Se duas funções f e g deriváveis, então

Dx[f(x)g(x)] = f(x)g′(x) + g(x)f ′(x)

ou ainda,f(x)g′(x) = Dx[f(x)g(x)]− g(x)f ′(x).

Integrando ambos om membros, teremos,∫

f(x)g′(x)dx =

∫Dx[f(x)g(x)]dx−

∫g(x)f ′(x)dx

∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)− ∫

g(x)f ′(x)dx

Esta equação denominamos integração por partes, uma fórmula alternativa é uti-lizada quando tomamos u = f(x) e v = g(x), e daí obtemos, du = f ′(x)dx e dv = g′(x)dx.Portanto,

∫udv = uv − ∫

vdu

Observações:

1. Para os casos onde se desejar aplicar a técnica de intergração por partes, ao seescolher a função de substituição para u, o restante do integrando obrigatóriamenteserá designado como dv.

2. Devemos ter em mente que ao escolhermos u, precisamos encontrar a sua derivadadu, por outro lado, para encontrarmos v precisaremos integrar dv. Logo é viávelescolher para dv termos que saibamos integrar, pois independente de qual seja uhaverá uma regra para derivá-lo.

Exemplo: Desejamos calcular∫

x cos xdx.

Neste caso conhecemos tanto a derivada quanto a integral dos membros do produto,todavia se integramos o polinômio dado neste caso por x, estaremos aumentando o seugrau do polinômio e conseqüentemente a complexidade de nosso problema, isso portantosugere:

u = x e dv = cos xdx ⇒ du = dx e v = senx.

Assim,∫

x cos xdx = xsenx−∫

senxdx

e por fim,

58 Antiderivadas

∫x cos xdx = xsenx + cos x + C

Exemplo: Desejamos calcular∫

exsenxdx.

Neste exemplo se adotarmos u = ex e dv = senxdx, teremos du = exdx e v = − cos x,por outro lado se adotarmos u = senx e dv = exdx, teremos v = cos x e v = ex, ou seja,independente do que escolhermos o resultado será semelhante. Neste caso adotaremos aprimeira escolha, daí teremos:

∫exsenxdx = ex(− cos x)−

∫(− cos x)exdx

∫exsenxdx = −ex cos x +

∫ex cos xdx

Esta última se assemelha a inicial, porém em termo de cosseno, logo devemos aplicarintegração por partes novamente. Escolhendo u = ex e dv = cos x, teremos du = exdx ev = senx, logo,

∫exsenxdx = −ex cos x + (exsenx−

∫exsenxdx)

Porém o último termo foi o nosso ponto de partida, portanto podemos fazer,

2

∫exsenxdx = exsenx− ex cos x

E finalmente,∫

exsenxdx =1

2ex(senx− cos x) + C

Observação: Caso fizemos a seguinte escolha u = cos x e dv = exdx, teríamos du =−senxdx e v = ex, e no final encontraríamos a identidade,

∫exsenxdx =

∫exsenxdx.

Verifique! Exercício

Resolva as integrais a seguir utilizando a técnica de integração por partes.

(a)∫

xe3xdx

(b)∫

ln xdx

(c)∫

x arctan xdx

(d)∫

x sec2 xdx

Métodos de Integração 59

(e)∫

x2 cos xdx

(f)∫

senx ln(cos x)dx

(g)∫

ex cos xdx

(h)∫

sec3 xdx

(i)∫

sen ln xdx

(j)∫

x(2x + 3)99dx

(k)∫

xex

(x + 1)2dx

6.2.4 Integração por Frações Parciais

Nesta seção estamos interessados em calcular integrais do tipo∫

P (x)

Q(x)dx,

onde P (x) e Q(x) são polinômios. Se o grau do numerador for maior do que o grau dodenominador, temos uma fração imprópria, e, nesse caso, dividimos o numerador pelodenominador até obter uma fração própria, isto é, uma fração cujo grau do numeradorseja menor do que o grau do denominador. Por exemplo,

x4 − 10x2 + 3x + 1

x2 − 4= x2 − 6 +

3x− 23

x2 − 4

Em geral é necessário escrever o quociente P (x)/Q(x) como a soma de frações par-ciais. Os denominadores das frações parciais são obtido por meio da fatoração de Q(x)em produtos lineares de primeira e segunda ordem, sendo que os de segunda ordem nãoapresentam raízes reais.

Após fatorar Q(x) num produto de fatores, o método de determinar as frações irádepender da natureza dos fatores.Caso 1: Os fatores de Q(x) são todos lineares e nenhum é repetido. Ou seja,

Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)...(anx + bn)

Podemos escrever,

P (x)

Q(x)=

A1

a1x + b1

+A2

a2x + b2

+ ... +An

anx + bn

Onde A1, A2, ..., An são constante a definir.

60 Antiderivadas

Exemplo: Desejamos calcular∫

1

x2 − 4dx.

Fatorando o denominador, teremos o seguinte produto notável,

1

x2 − 4=

1

(x− 2)(x + 2)

Assim, fazemos a separação em frações parciais,

1

x2 − 4≡ A

(x− 2)+

B

(x + 2)

Temos portanto, a partir do mínimo comum, a identidade a seguir,

1 = A(x + 2) + B(x− 2)

Para encontramos os valores das constantes faremos as seguintes suposições. Primeiro,vamos adotar x = 2, pois assim teremos,

1 = A(2 + 2) + B(2− 2) ⇒ A =1

4.

Posteriormente, faremos x = −2, e teremos,

1 = A(−2 + 2) + B(−2− 2) ⇒ B = −1

4.

Substituindo os valores das constantes na fração parcial teremos,

1

x2 − 4=

14

(x− 2)+

−14

(x + 2).

Assim a integral dada pode ser representada da seguinte forma:∫

1

x2 − 4dx =

1

4

∫1

x− 2dx +

∫1

x + 2dx

=1

4ln |x− 2| − 1

4ln |x + 2|+ C

=1

4ln

∣∣∣∣x− 2

x + 2

∣∣∣∣ + C

Caso 2: Os fatores de Q(x) apresentam algumas raízes repetidas, mas são lineares.Suponha que o fator linear (aix + bi) se repita por p vezes. Então este fator será repre-sentado por:

A1

(aix + bi)p+

A2

(aix + bi)p−1+ · · ·+ Ap−1

(aix + bi)2+

Ap

(aix + bi)

Métodos de Integração 61

Exemplo: Desejamos calcular a integral a seguir:∫

3x2 − x + 1

x3 − x2dx

A fração do integrando pode ser escrita pela fração parcial a seguir:

3x2 − x + 1

x3 − x2=

3x2 − x + 1

x2(x− 1)≡ A

x+

B

x2+

C

x− 1

Através do mínimo comum teremos:

3x2 − x + 1 = Ax(x− 1) + B(x− 1) + Cx2

Seguindo o raciocínio do exemplo anterior, vamos assumir x = 0,

1 = B(−1) ⇒ B = −1

Para x = 1, teremos,3− 1 + 1 = C ⇒ C = 3

Por não ter um valor real que explicite o termo em A, adotaremos um valor qualquercomo, por exemplo, x = −1, daí,

3 + 1 + 1 = A(−1)(−2) + B(−2) + C ⇒ 5 = 2A− 2(−1) + 3 ⇒ A = 0

Assim, podemos representar nossa integral como,∫

3x2 − x + 1

x3 − x2dx = −

∫1

x2dx +

∫3

x− 1dx

=1

x+ 3 ln |x− 1|+ C

Caso 3: Os fatores de Q(x) são lineares e quadrática, porém os fatores quadrático nãopossuem termos repetidos. Para os fatores quadráticos temos uma fração parcial na forma:

Ax + B

ax2 + bx + c.

Exemplo: Calcular∫

x + 1

x3 + xdx.

Vamos desmembrar o integrando em em frações parciais:

x + 1

x3 + x≡ A

x+

Bx + C

x2 + 1

Através do mínimo comum temos:

x + 1 = A(x2 + 1) + x(Bx + C)

62 Antiderivadas

Adotando x = 0, teremos que A = 1. Agora para encontrar o valor das demais constantesadotaremos x = 1 e x = −1. Primeiramente, vamos obter

2 = 2 + B + C ⇒ B + C = 0,

e depois,0 = 2 + B − C ⇒ B − C = −2

Por fim tem-se que B = −1 e C = 1 e, assim, poderemos escrever:∫

x + 1

x3 + xdx =

∫1

xdx +

∫1− x

x2 + 1=

∫1

xdx +

∫1

x2 + 1dx−

∫x

x2 + 1dx

= ln |x|+arctan x− 1

2ln |x2 +1|+C = ln |x|+arctan x− 1

2ln(x2 +

1) + C

Nota: Para calcular a integral∫

x

x2 + 1dx utilizamos substituição simples. Tomando

u = x2 + 1 teremosdu

2= xdx. Logo

1

2

∫du

u=

1

2ln |u| = 1

2ln(x2 + 1) + C.

Exercícios

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

(a)∫

5x− 2

x2 − 4dx

(b)∫

t2 + t + 1

(2t + 1)(t2 + 1)dx

(c)∫

1

x2(x + 1)2dx

(d)∫

3x + 1

(x2 − 4)2dx

(e)∫

x2 + 4x− 1

x3 − xdx

(f)∫

x4 + 1

x4 − 1dx

(g)∫

1

x3 + x2 + xdx

(h)∫

6x2 − 2x− 1

4x3 − xdx

(i)∫

e3x

(ex + 1)(e2x + 1)dx

Métodos de Integração 63

(j)∫

1

16x4 − 8x2 + 1dx

(k)∫

4x− 2

x3 − x2 − 4dx

(l)∫

2x3 + 9x

(x2 + 3)(x2 − 2x + 3)dx

(m)∫

1− x

x2 + 3x + 2dx

(n)∫

1

9x4 + x2dx

6.2.5 Integração por Substituição Trigonométrica

Vamos aprender agora uma poderosa técnica de integração que nos auxiliará a resolverintegrais que contenham em seu integrando as seguintes expressões:

√a− u2,

√a + u2 e√

u2 − a, essa técnica se chama substituição trigonométrica.As substituições trigonométricas nos permitem substituir os binômios a + x2, a− x2

e x2 − a pelo quadrado de um único termo e, portanto, transformar várias integrais quecontém raízes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente. Para efeito desimplificação vamos considerar cada forma como um caso separado.

Para fazer uma escolha adequada da substituição que utilizaremos podemos procederde duas formas:

Para efeito de visualização, imagine que queremos resolver uma integral com a forma∫ √

a− x2 dx

1) Podemos olhar para o famoso teorema de Pitágoras que diz

h2 = co2 + ca2,

onde h é a hipotenusa, co é o cateto oposto e ca é o cateto adjacente de um triânguloretângulo. E reescrevê-lo na forma

ca2 = h2 − co2

que comparando coma− x2

nos induz a identificar h ∼ √a e co ∼ x, e da figura 6.1 vemos que senθ = x√

a⇒ x =√

a senθ.2) O segundo método consiste em identificar a semelhança do integrando com uma

das formas abaixo:Para todo θ ∈ IR, tem-se

64 Antiderivadas

Figura 6.1: Figura ilustrativa para auxiliar na escolha da substituição trigonométrica

sen2θ + cos2θ = 1 ⇒{

cos2θ = 1− sen2θsen2θ = 1− cos2θ

(6.1)

tan2θ + 1 = sec2θ ⇒ tan2θ = sec2θ − 1 (6.2)

Nosso integrando tem a forma a− x2 que pode ser escrita como

a

[1−

(u√a

)2]

que comparando com (6.1) e (6.2) vemos que é razoável identificar u√acom senθ ou seja

u =√

a senθ, que é a mesma substituição que havíamos chegado no primeiro método.Comparando a última expressão com (6.1) e (6.2) a única substituição possível é a queescolhemos?

Então, para resolver a integral vamos tentar a seguinte mudança de variável

x =√

a senθ ⇒ dx =√

a cosθ dθ

daí ∫ √a− x2 dx =

=

∫ √a− asen2θ

√a cosθ dθ = a

∫ √cos2θ cosθ dθ = a

∫|cosθ|cosθ dθ (6.3)

Você consegue justificar porque em (6.3) as três últimas passagens são verdadeiras?√a.b =

√a√

b e√

a2 = a é sempre verdadeiro?Note que na última integral temos |cosθ|. Como faremos para resolvê-lo? Vamos

analisar com bastante cuidado o intervalo onde θ varia, pois é isso que nos dará a respostade como ficará esse módulo.

Métodos de Integração 65

Olhando para a figura 1 parece bastante óbvio que θ está entre 0 < θ < π2, mas

cuidado! É importante ter em mente que a figura 1 é apenas um desenho que foi feitosomente com o intuito de nos auxiliar na escolha da substituição mais propícia pararesolver nossa integral. O que eu quero dizer é o seguinte: a figura 1 poderia ter sidofeita em qualquer quadrante que chegaríamos ao mesmo resultado em (6.3), no entanto,o intervalo onde θ varia será diferente para cada quadrante, e consequentemente |cosθ|também poderá ser diferente.

Como escolheremos o intervalo onde θ varia então? É importante ter em menteque queremos que toda substituição que usarmos em uma integração seja reversível demaneira que possamos voltar para a variável original posteriormente. Por exemplo, sex =

√a tgθ, queremos poder estabelecer que θ = arctg x√

aapós a integração ter ocorrido.

Se x =√

a senθ, queremos poder estabelecer que θ = arcsen x√ano final, o mesmo valendo

para as demais substituições trigonométricas.Para garantir a reversibilidade temos que:

x =√

a tgθ exige θ = arctg x√acom −π

2< θ < π

2

x =√

a senθ exige θ = arcsen x√acom −π

2≤ θ ≤ π

2

x =√

a secθ exige θ = arcsec x√acom

{0 ≤ θ < π

2se x√

a≥ 1

π2

< θ ≤ π se x√a≤ −1

Como ficam esses intervalos para as outras substituições? Esses intervalos são os únicospossíveis?

Com isso, vemos que em nosso problema inicial θ varia de −π2

< θ < π2e como

x =√

a senθ devemos pegar 0 < θ ≤ π2se x > 0 e −π

2≤ θ < 0 se x < 0. Senda assim,

podemos concluir com segurança que |cosθ| = cosθ.

Caso 1 O integrando contém uma expressão da forma√

a− u2.

Vamos introduzir uma nova variável θ tomando u =√

a senθ, onde 0 ≤ θ ≤ π2se u ≥ 0 e

−π2≤ u ≤ 0.

Então du =√

a cosθ dθ, e √a− u2 =

√a− asen2θ

√a(1− sen2θ) =

√a√

cos2θ

como −π2≤ θ ≤ π

2, cosθ ≥ 0. Então

√cos2θ = cosθ, e

√a− u2 =

√a cosθ

como senθ = u√ae −π

2≤ θ ≤ π

2,

θ = sen−1 u√a

.

Exemplo 1 Calcule ∫ √5− x2

x2dx

66 Antiderivadas

Solução: Seja x =√

5 senθ, onde 0 < θ ≤ π2se x > 0 e −π

2≤ θ < 0 se x < 0. Então

dx =√

5 cosθ dθ e√

5− x2 =√

5− 5sen2θ =√

5√

cos2θ =√

5 cosθ

Logo, ∫ √5− x2

x2dx =

∫ √5 cosθ(

√5cosθ dθ)

5sen2θ

=

√5√

5

5

∫cotg2θ dθ =

∫(cosec2θ − 1) dθ

= −cotgθ − θ + C

Como senθ = x3e −π

2≤ θ ≤ π

2, θ = arcsenx

3. Para encontrar cotgθ, consulte as Figuras

6.2 (a) (para x > 0) e 6.2 (b) (para x < 0). Observe que em ambos os casos cotgθ =√

5−x2

x.

Logo, ∫ √5− x2

x2dx = −

√5− x2

x− arcsen

x

3+ C

Figura 6.2: (a)Figura ilustrativa para o caso x > 0 (b) Figura ilustrativa para o casox < 0

Caso 2 O integrando contém uma expressão da forma√

a + u2

Agora vamos introduzir uma nova variável θ fazendo u =√

a tgθ, onde 0 ≤ θ < π2se u ≥ 0

e −π2

< θ < 0 se u < 0 então du =√

a sec2θ dθ, e

√a + u2 =

√a + atg2θ =

√a

√1 + tg2θ

Métodos de Integração 67

√a√

sec2θ

Como −π2

< θ < π2, secθ ≥ 1. Assim

√sec2θ = secθ, e

√a + u2 =

√a secθ

Como tgθ = uae −π

2< θ < π

2, θ = arctg u

a

Exemplo 2 Calcule ∫ √x2 + 6 dx

Solução: Substituímos x =√

6 tgθ, onde 0 ≤ θ < π2se x ≥ 0 e −π

2< θ < 0 se x < 0.

Entãão dx =√

6 sec2θ dθ e √x2 + 6 =

√6tg2θ + 6

= √6√

sec2θ =√

6 secθ

Logo, ∫ √x2 + 6 dx =

∫ √6 secθ(

√6 sec2θ) dθ

= 6

∫sec3θ dθ

Usando o resultado do exercício 8 da secção 4.2.3 (que esperamos que você tenha feito!),temos ∫ √

x2 + 6 dx =6

2secθtgθ +

6

2ln |secθ + tgθ|+ C

Determinamos secθ das Figuras 6.3 (a) (para x ≥ 0) e 6.3 (b) (para x < 0), ondetgθ = x√

6. Em ambos os casos vemos que secθ =

√x2+6√

6. Logo,

∫ √x2 + 6 dx = 3

√x2 + 6√

6

x√6

+ 3 ln |√

x2 + 6√6

+x√6| +C

=x

2

√x2 + 6 + 3 ln |

√x2 + 6 + x | − 3 ln

√6 + C

=x

2

√x2 + 6 + 3 ln (

√x2 + 6 + x) + C1

Observe que substituímos −3 ln√

6 + C pela constante arbitrária C1. Além disso, como√x2 + 6 + x > 0, retiramos as barras de valor absoluto.

Caso 3 O integrando contém uma expressão da forma√

u2 − a.

68 Antiderivadas

Figura 6.3: (a)Figura ilustrativa para x > 0 (b) Figura ilustrativa para x < 0

Agora faremos a seguinte substituição u =√

a secθ, onde 0 ≤ θ < π2se u ≥ √

a eπ ≤ θ < 3π

2se u ≤ −√a.

Então du =√

a secθ tgθ dθ e√

u2 − a =√

asec2θ − a

√a(sec2θ − 1) =

√a

√tg2θ

Como 0 ≤ θ < π2ou π ≤ θ < 3π

2, tgθ ≥ 0. Assim,

√tg2θ = tgθ, e temos

√u2 − a =

√a tgθ

Como secθ = u√ae θ está em [0, π

2]⋃

[π, 3π2

],

θ = arcsecu√a

Exercícios

Calcule as integrais indefinidas:

(a)∫ √

4− x2

x2dx

(b)∫ √

x2 − 4

x2dx

Integrais e expressões quadráticas 69

(c)∫

x2

√x2 + 6

dx

(d)∫

dx

(16 + x2)3/2

(e)∫ √

16− e2x

exdx

(f)∫

dx√x2 − 4

6.3 Integrais e expressões quadráticasA decomposição em frações parciais, vista anteriormente, pode conduzir a integrandos

que contêm uma expressão quadrática irredutível como ax2 + bx+ c. Se b = 0 é necessárioàs vezes completar o quadrado como segue:

ax2 + bx + c = a

(x2 +

b

ax

)+ c = a

(x +

b

2a

)2

+ c− b2

4a

A substituição u = x + b2a

pode então conduzir a uma forma mais fácil de integrar.

Exercício

Calcule as integrais.

(a)∫ √

x2 + 10xdx (b)∫

2x

(x2 + 2x + 5)dx (c)

∫1

(x2 − 6x + 34)32

dx

(d)∫

x + 5

9x2 + 6x + 17dx (e)

∫1

x2 − 2x + 2dx (f)

∫1

(7 + 6x− x2)12

dx

Capítulo 7

Integral Definida

7.1 IntroduçãoA figura 7.1 abaixo exibe uma região delimitada pelo eixo x e o gráfico da função

f definida em [a, b], a qual desejamos encontrar a sua área através de aproximações porretângulos. Para isso, particionaremos o intervalo [a, b] em n partes.

Da x1x2 x3 xi=

... ... b xn+1=

f f

D ...i x...

2xDD1 x nx

Figura 7.1: Figura ilustrativa da aproximação de uma área por retângulos.

A soma das áreas destes n retângulos é dada por:

Sn = f(x1)∆1x + f(x2)∆2x + f(x3)∆3x + · · ·+ f(xn)∆nx

ou, como somatória, cuja soma é denominada Soma de Riemann,

Sn =n∑

i=1

f(xi)∆ix

Por sua vez, se fixarmos o incremento de ∆x, ou seja, consideremos uma partiçãoregular, teremos:

Sn =n∑

i=1

f(xi)∆x

70

Introdução 71

Definição 15 Se f for uma função definida no intervalo fechado [a, b], então a integraldefinida de f de a até b, denotada por

∫ b

af(x)dx, será dada por

∫ b

a

f(x)dx = lim∆x→0

n∑i=1

f(xi)∆x

se o limite existir.

Obs: Note que à medida que ∆x decresce, n cresce.

Na notação de integral definida,∫ b

af(x)dx, f(x) é chamada de integrando, a de

limite inferior e b de limite superior.

Se uma função for contínua no intervalo fechado [a, b], então ela será integrável em [a, b].

Definição 16 Seja f uma função contínua em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b].Seja R a região limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = bcomo mostra a figura 7.2. Então, a medida A da área da região R é dada por

A = lim∆x→0

n∑i=1

f(xi)∆x ⇔ A =

∫ b

a

f(x)dx

R

a bO

f

x

yx=bx=a

Figura 7.2: Área da região limitada pela curva f e pelas retas x = a e x = b e pelo eixox.

Propriedades:

1. Sendo a > b, se∫ b

a

f(x)dx existir, então∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx.

2. Se f(a) existe, então∫ a

a

f(x)dx = 0

72 Integral Definida

7.2 Propriedades da Integral Definida

Teorema 3 Se k for qualquer constante, então∫ b

akdx = k(b− a)

Exemplo: Calcule∫ 5

2

2dx. Pelo Teorema 3, temos:∫ 5

2

2dx = 2(5− 2) = 6

Teorema 4 Se a função f for integrável no intervalo fechado [a, b] e se k for uma con-

stante qualquer, então∫ b

a

kf(x)dx = k

∫ b

a

f(x)dx.

Exemplo:∫ 5

2

7x2dx. Pelo Teorema 4, temos:

∫ 5

2

7x2dx = 7

∫ 5

2

x2dx.

Teorema 5 Se as funções f e g forem integráveis em [a, b], então f + g será integrável

em [a, b] e∫ b

a

[f(x) + g(x)]dx =

∫ b

a

f(x)dx +

∫ b

a

g(x)dx.

Exemplo:∫ 5

2

(x2 +

1

x

)dx. Pelo Teorema 5, temos:

∫ 5

2

(x2 +

1

x

)dx =

∫ 5

2

x2dx +

∫ 5

2

1

xdx.

Teorema 6 Se a função f for integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b], então∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx, onde a < c < b.

Exemplo:∫ 5

2

4x3dx. Pelo Teorema 6, temos:∫ 5

2

4x3dx =

∫ 3

2

4x3dx +

∫ 5

3

4x3dx.

Teorema 7 Se as funções f e g forem integráveis no intervalo fechado [a, b] e se f(x) ≥g(x) para todo x em [a, b], então

∫ b

a

f(x)dx ≥∫ b

a

g(x)dx.

Exemplo: Sejam as funções f e g dadas, respectivamente, por f(x) = x3/2 + 1 e g(x) =√x, como podemos visualizar na figura 7.3 abaixo, temos que f(x) ≥ g(x) no intervalo

fechado de [0, 2]. Daí, pelo Teorema 7, teremos∫ 2

0

(x3/2 + 1

)dx ≥

∫ 2

0

√xdx.

Propriedades da Integral Definida 73

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

x

y

Figura 7.3: Exemplo

Teorema 8 (Teorema do Valor Médio para Integrais) Se a função f for contínua

no intervalo fechado [a, b], existe um número c em [a, b] tal que∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a).

Teorema 9 (Teorema Fundamental do Cálculo-Parte 1) Se f for contínua em [a, b],então a função F definida por

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt, a ≤ x ≤ b (7.1)

é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b) e F ′(x) = f(x).

Teorema 10 (Teorema Fundamental do Cálculo-Parte 2) Se f for contínua em [a, b],então ∫ b

a

f(x)dx = G(b)−G(a)

onde G é qualquer antiderivada de f , isto é, uma função tal que G′ = f.

Exercícios

1. Calcule a integral definida:

(a)∫ 1

0

z

(z2 + 1)3dz

(b)∫ 5

4

x2√

x− 4dx

(c)∫ 1

0

√x

√1 + x

√xdx

74 Integral Definida

(d)∫ 1

0

t

t3 + 1dt

(e)∫ π/6

0

sen2θ

cos2 2θdθ

(f)∫ 6

3

|x− 4|dx

(g)∫ 1

0

x3e−x2

dx

(h)∫ 3

−1

|x2 − 2x|dx

(i)∫ 4

−2f(x)dx, onde f(x) =

{x3, x ≤ 1;|x− 3|, x > 1.

(j)∫ 1

0x2(2− 4x3)3dx

2. Calcule a derivada:

(a)d

dx

∫ tan x

2

2

t2 + 4dt

(b)d

dx

∫ x3

1

√t2 + 1dt

3. Afirmar que∫ 1

−1

3

4x2dx = −3

2é uma verdade? Justifique sua resposta.

4. Se f for contínua e∫ 4

0f(x)dx = 7, calcule

∫ 2

0f(2x)dx.

5. Se x sen(πx) =∫ x2

0f(t)dt, onde f é uma função contínua, ache f(4).

6. Explique por que∫ 3

1

1

x2dx = −x−1

∣∣∣∣3

1

=−1

x

∣∣∣∣3

1

=−1

3−

(−1

1

)=

2

3está certo, e

∫ 3

−1

1

x2dx = −x−1

∣∣∣∣3

−1

=−1

x

∣∣∣∣3

−1

=−1

3−

(−1

−1

)=−4

3está errado.

7.3 Área entre Curvas

Se f e g são funções contínuas em [a, b] e f(x) ≥ g(x) para todo x no intervalo, entãoa área da região delimitada pelos gráficos de f e g, e as retas x = a e x = b é dada por

A =

∫ b

a

[f(x)− g(x)] dx.

Área entre Curvas 75

Obs: É possível que os gráficos das duas funções f e g se interceptem em alguns pontos eque a área procurada corresponda à região entre estes dois gráficos. Observe a figura 7.4abaixo. Neste caso, devemos encontrar os pontos de interseção das funções f e g, fazendof(x) = g(x). Os valores de x obtidos correspondem aos limites de integração.

a c b x

y

AA

12

f(x)

g(x)

Figura 7.4: Ilustração de duas curvas que se interceptam.

A1 =

∫ c

a

[g(x)− f(x)]dx

A2 =

∫ b

c

[f(x)− g(x)]dx

Exercícios

1. Faça o esboço da região cuja área é representada pela integral definida.

(a)∫ 4

0

[(x + 1)− x

2

]dx

(b)∫ 1

−1

[(1− x2)− (x2 − 1)

]dx

2. Faça um esboço região delimitada pelos gráficos das funções e calcule a área daregião.

(a) f(x) = x2, g(x) = 4x

(b) y =√

x, y = −x, x = 1, x = 4

(c) y = x3, y = x2

(d) f(x) = senx, g(x) = cos x, −π ≤ x ≤ 2π

(e) f(x) = e0.5x, g(x) = −1

x, x = 1, x = 2

76 Integral Definida

(f) f(x) = x2, x = 1, x = 2

(g) y = sec2x; eixo x; eixo y; y = π4

(h) x2 + y + 4 = 0; y = 8

3. Ache a reta horizontal y = k que divide a área entre as curvas y = x2 e y = 9 emduas partes iguais.

4. Ache a área da região destacada no gráfico da figura 7.5 a seguir.

-1 1 2 3

-1

1

2

3

x

yx-2x+1

-x+3

2 2

x

Figura 7.5: Exercício 4

Capítulo 8

Aplicações de “Integrais”

8.1 Introdução

Muitos problemas de engenharia, física, computação e claro matemática, podem serresolvidos com o auxílio de integrais definidas. Como por exemplo o volume de sólidos,o comprimento de curvas, a quantidade de trabalho necessário para bombear líquidos dosubsolo, as forças exercidas contra comportas, as coordenadas dos pontos onde objetossólidos estarão em equilíbrio (centro de massa) etc.

O nosso objetivo agora é estudar uma dessas aplicações, a saber, o volume do sólidode revolução. Eles recebem esta designação porque se originam por “revolução” de umacurva ou uma reta em torno de um eixo. Se a reta que gira está inclinada determinando umtriângulo com o eixo y e o eixo x, obtemos o cone, se a reta é paralela ao eixo y, obtemosum cilindro e se é uma semicircunferência, o objeto obtido é uma esfera. Esferas, cones,bolas de futebol e pneus são sólidos de revolução. O volume da esfera já era conhecidodesde o século III A.C., quando Arquimedes empregou uma forma primitiva, bonita eengenhosa de integração para calculá-lo. Neste capítulo, usando integrais, vamos deduzirum método geral para calcular o volume de qualquer sólido de revolução.

Há muitos objetos nos quais não são possíveis calcular seu volume exato, ou mesmoárea, usando de métodos simples, como “base x altura”, porque há “curvas”, “deformações”,inclinações, entre outros, de modo que, o mais próximo seria aproximar de modo “adinfinitum” do seu volume exato. Com a evolução da matemática, especialmente comIsaac Newton, o qual consolidou melhor o cálculo diferencial e integral, hoje, podemosencontrar precisamente a área e volumes de tais objetos, usando-se integrais definidas.

8.2 Volume por fatiamento

Suponha que desejamos determinar o volume de um sólido como o da figura 8.1 . Aseção transversal do sólido em cada ponto x no intervalo [a, b] é uma região R(x) de áreaA(x). Se A é uma função contínua de x, podemos usá-la para definir e calcular o volumedo sólido como uma integral, da seguinte maneira: dividimos [a, b] em subintervalos de

77

78 Aplicações de “Integrais”

comprimento4x e fatiamos o sólido (como se faz com um pão) por planos perpendicularesao eixo x nos pontos de partição. A k-ésima fatia, que está entre os planos por xk−1 e xk,tem aproximadamente o mesmo volume que o cilindro compreendido entre os dois planoscom base na região R(x). Sabemos que o volume do cilindro é

Figura 8.1: Figura de um sólido com seção transversal em x no intervalo[a, b], que é umaregião R(x) de área A(x).

V k = (área da base).(altura) = A(x).4x (8.1)

e a soman∑

k=1

Vk =n∑

k=1

A(x).4x (8.2)

é uma aproximação do volume do sólido. Dizemos que (8.2) é uma soma de Riemanpara A(x) em [a, b]. Esperamos que as aproximações melhorem conforme as normas daspartições tendam a zero, portanto definimos a integral, que é o limite dessas somas comoo volume do sólido

lim4x→o

b∑

k=a

A(x).4x =

∫ b

a

A(x)dx (8.3)

Definição 1 O volume de um sólido compreendido entre os planos x=a e x=b e cuja áreade seção transversal por x é uma função integrável A(x), é a integral de a a b de A

V =

∫ b

a

A(x)dx (8.4)

Diretriz 1 Cálculo de volume pelo método de fatiamento

• Esboce o sólido e uma seção transversal típica

• Encontre uma fórmula para A(x)

• Encontre os limites de integração

Volume por fatiamento 79

• Integre A(x) para determinar o volume

Exemplo 3 Volume de uma cunhaUma cunha curva foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por dois planos.

Um deles é perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o primeiro formando umângulo de 45◦ no centro do cilindro. Determine o volume da cunha.

Solução:Passo 1: Um esboço da figura pode ser visto na Fig. 8.2.

X

X

345º

2 (9-x²)Ö

Figura 8.2: Esboço da cunha e de uma seção transversal típica para o exemplo.

Passo 2: Uma fórmula para A(x). A secção transversal em x é um retângulo de área

A(x) = (altura)(largura) = (x)(2√

9− x2) = 2x√

9− x2 unid. quadradas

Passo 3: Os limites de integração. Os retãngulos vão de x = 0 a x = 3.Passo 4: Integre para determinar o volume

V =∫ b

aA(x)dx =

∫ 3

02x√

9− x2dx = 18 unid. cúbicas

Exercícios

1. Calcule o volume dos sólidos dados nos items abaixo.

(a) O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x = −π/3 a x = π/3.As secções transversais perpendiculares ao eixo x são discos circulares com diâmetrosque vão da curva y = tan(x) à curva y = sec(x);

(b)O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x = −π/3 a x = π/3.As secções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados cujas bases vão dacurva y = tan(x) à curva y = sec(x);

(c) O sólido situa-se entre os planos perpendiculares ao eixo y em y = 0 e y = 2. Assecções transversais perpendiculares ao eixo y são discos circulares com diâmetrosque vão do eixo y à parábola x = y2

√5.

2. Prove que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada de lado a e com alturah é a2h

3. Sugestão: use semelhança de triângulos

80 Aplicações de “Integrais”

8.3 Sólidos de revolução

8.3.1 Seções transversais circulares

O método de volume por fatiamento possui várias aplicações, dentre essas, a maiscomum é em sólidos de revolução. Sólidos de revolução são sólidos cujas formas podem sergeradas pela revolução de regiões planas em torno de eixos. Quando as seções transversaissão circulares o que muda é a fórmula para a área A(x).

A secção transversal típica de um sólido perpendicular ao eixo de revolução é umdisco de raio R(x) e área

A(x) = π.(raio)2 = π[R(x)]2 (8.5)

por isso, o método geralmente é denominado método do disco.

Diretriz 2 Determinar volumes com seções transversais circulares (método do disco)

• Desenhe a região e identifique a função raio R(x)

• Esboce R(x) ao quadrado e multiplique por π

• Integre para determinar o volume

Exemplo 4 Rotação em torno do eixo xA regiaão entre a curva y =

√x, 0 ≤ x ≤ 4, e o eixo x gira em torno do eixo x para

gerar um sólido. Determine seu volume.Solução:Passo 1: Um esboço da figura pode ser visto na Fig. 8.3.

Figura 8.3: Esboço da figura gerada pela rotação da função f(x) =√

x em torno do eixox.

Passo 2: Determinar a área A(x)

A(x) = π[R(x)]2

note que

Sólidos de revolução 81

R(x) =√

x então, A(x) = π(√

x)2 = πx unid. quadradas.

Passo 3: Integrar para determinar o volume

V =∫ 4

0A(x)dx =

∫ 4

0πxdx = ... = 8π unid. cúbicas

Exemplo 5 Rotação em torno da reta y = 1Determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno da reta y = 1, da

região definida por y =√

x e pelas retas y = 1 e x = 4.Solução:Passo 1: Um esboço da figura pode ser visto na Fig. 8.4.

Figura 8.4: Esboço da figura gerada pela rotação da função f(x) =√

x em torno da retay = 1.

Passo 2: Determinar a área A(x)

A(x) = π[R(x)]2

note que agora R(x) =√

x− 1 (você consegue ver porque?) então,

A(x) = π(√

x− 1)2 = π(x− 2√

x + 1) unid. quadradas.

Passo 3: Integrar para determinar o volume

V =∫ 4

1A(x)dx =

∫ 4

1π(x− 2

√x + 1)dx = ... = 7π

6unid. cúbicas.

Exemplo 6 Rotação em torno do eixo yDetermine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região

compreendida entre o eixo y e a curva x = 2y, 1 ≤ y ≤ 4.

Solução:Passo 1: Um esboço da figura pode ser visto na Fig. 8.5.Passo 2: Determinar a área A(x)

A(x) = π[R(y)]2 = π( 2y)2 unid. quadradas

82 Aplicações de “Integrais”

Figura 8.5: Esboço da figura gerada pela rotação da curva x = 2yem torno da reta y = 1.

Passo 3: Integrar para determinar o volume

V =∫ 4

1π[R(y)]2dy =

∫ 4

1π( 2

y)2dy = ... = 3π unid. cúbicas.

Exercícios

1. Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo x, da regiãolimitada pela curva y =

√cosx, 0 ≤ x ≤ π/2, e pelas retas y = 0 e x = 0.

2. Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região, no primeiro quadrante,limitada superiormente pela reta y =

√2, inferiormente pela curva y = sec(x)tan(x)

e à esquerda pelo eixo y, em torno da reta y =√

2.

3. Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta x = 3, daregião compreendida entre a parábola x = y2 + 1 e a reta x = 3.

8.3.2 Seções transversais em forma de arruela

Não é difícil perceber que se a região que giramos para gerar um sólido de revoluçãonão atingir ou cruzar o eixo de revolução, o sólido de revolução terá um orifício no meio(como uma rosquinha). As secções transversais perpendiculares ao eixo de revolução serãoarruelas, e não discos. Note que as dimensões típicas de uma arruela são

• Raio externo: R(x)

• Raio interno: r(x)

A área da arruela é

A(x) = π[R(x)]2 − π[r(x)]2 (8.6)

Diretriz 3 Volumes com seções transversais em forma de arruelas

Sólidos de revolução 83

• Desenhe a região e esboce um segmento de reta que a atravesse perpendicularmenteao eixo de rotação. Quando se faz a região girar, esse segmento gera uma secçãotransversal típica, em forma de arruela, do sólido gerado.

• Determine os limites de integração

• Determine os raios externos e internos da arruela gerada pelo segmento de reta

• Integre para determinar o volume

Observe que para determinarmos o volume do sólido obtido com a rotação de umaregião em torno do eixo y, usamos os passos enumerados acima, porém integramos emrelação a y em vez de x.

Exemplo 7 Volume do toroO toro é obtido pela rotação de um disco ao redor de um eixo que não o encontra;

vamos calcular o volume do toro gerado pela rotação do círculo mostrado na Figura 1.6em torno do eixo x.

Solução:Passo 1: Esboço da figura pode ser visto na Fig. 8.6.

Figura 8.6: Esboço da figura gerada pela rotação da curva x2 + (y − a)2 = c2 em tornodo eixo x.

.

Passo 2: Determinar os limites de integração.Note que no eixo x, o círculo começa em −c e termina em c, logo nosso limite de

integração deve ser de −c a c.Passo 3: Determinação dos raios internos e externos.Note que a equação do círculo é

x2 + (y − a)2 = c2

logo,y = a±

√c2 − x2

84 Aplicações de “Integrais”

entãoR(x) = a +

√c2 − x2

er(x) = a−

√c2 − x2

Passo 4: Integrando para determinar o volume.Concluímos então, que o volume do toro deverá ser dado pela diferença

V = π

∫ c

−c

R2(x)dx− π

∫ c

−c

r2(x)dx

Logo,

V = π

∫ c

−c

(R2(x)− r2(x))dx = π

∫ c

−c

4a√

c2 − x2dx

= 4aπ

∫ c

−c

√c2 − x2dx = 4aπ.

1

2πc2

= 2aπ2c2

Obs: Note que a integral calculada acima é 12da área da região interna ao círculo

x2 + y2 = c2

Exercícios

1. A região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = −x + 3 gira em torno doeixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.

2. A região compreendida entre a parábola y = x2 e a reta y = 2x no primeiro quad-rante gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.

3. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região compreendida entrey = senx, 0 ≤ x ≤ π

2, e a reta x = π

2em torno do eixo y.

4. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelos gráficos dasfunções f(y) = y − y2 e g(y) = y2 − 3 em torno da reta x = 4.

8.3.3 Modelando o volume usando anéis cilíndricos

Nas seções precedentes calculamos volumes de sólidos de revolução usando discoscirculares, ou anéis. O método de anéis cilíndricos é uma segunda maneira de calcularvolumes de sólidos de revolução. É uma técnica de aproximação de um sólido de revoluçãopor uma coleção de cilindros circulares ocos ( ou cascas cilíndricas delgadas ) do tipoilustrado na figura 8.7, onde r1 é o raio exterior, r2 é o raio interior, h é a altura e∆r = r1 − r2 é a espessura do anel, que em geral conduz a cálculos mais simples do queo método das secções transversais.

Sólidos de revolução 85

Figura 8.7: esboço da figura de um anel cilíndrico.

O raio médio do anel é r = 12(r1 + r2). Podemos achar o volume do anel subtraindo o

volume πr22h do cilindro interior do volume πr2

1h do cilindro exterior. Fazendo isso temos

πr21h− πr2

2h = π(r21 − r2

2)h

π(r1 − r2)(r1 + r2)h

2π1

2(r1 + r2)h(r1 − r2)

2πrh∆r

Que nos sugere a seguinte regra geral

V = 2π(raio médio)(altura)(espessura) (8.7)

Se fizermos a região hachurada na figura 8.8 (a) girar em torno do eixo y teremos umsólido de revolução (você consegue visualizá-lo?).

Seja P uma partição de [a, b] e considerando o retângulo vertical típico da figura 8.8(b), onde wk é o ponto médio de [xk−1, xk]. Se fizermos estes retângulos girar em tornodo eixo y, obteremos um anel cilíndrico de raio médio wk, altura f(wk) e espessura ∆xk.Logo, de acordo com (8.7)

2πwkf(wk)∆xk

fazendo girar o polígono retangular formado por todos os retângulos determinados porP, obtemos um sólido muito próximo do que queremos (você consegue visualizar?). Ovolume deste sólido é uma soma de Riemann

∑

k

2πwkf(wk)∆xk

note que quanto menor for a norma ‖P‖ da partição, mais a soma se aproximará dovolume V do sólido que desejamos calcular.

86 Aplicações de “Integrais”

Figura 8.8:.

Definição 2 Seja f contínua e suponhamos f(x) ≥ 0 em [a, b], onde 0 ≤ a ≤ b. Seja Ra região sobre o gráfico de f de a a b. O volume V do sólido de revolução gerado pelarotação de R em torno do eixo y é

V = lim‖P‖→0

∑

k

2πwkf(wk)∆xk =

∫ b

a

2πxf(x)dx (8.8)

Diretriz 4 Como usar o método dos anéis cilíndricosIndependentemente da posição do eixo de revolução (horizontal ou vertical), os passos

para implementar o método dos anéis cilíndricos são estes.

• Desenhe a região e esboce um segmento de reta que a atravesse paralelamente aoeixo de revolução. Nomeie a altura ou o comprimento do segmento (altura do anel),a distãncia do eixo de revolução (raio do anel) e a largura (espessura do anel).

• Determine os limites de integração para a variável espessura e escreva a integral dovolume.

• Integre o produto 2π(raio da casca)(altura da casca) em relação à variável espessura(x ou y) para determinar o volume.

Exemplo 8 Determinando o volume utilizando o método dos anéis cilíndricosA região compreendida pelo eixo x e pela parábola y = f(x) = 3x− x2 gira em torno

da reta x = −1 para gerar o formato de um sólido (figuras 8.9 (a) e 8.9 (b)). Qual é ovolume deste sólido?

Solução:Seria complicado integrar aqui em relação a y, pois não é fácil obter a parábola

original em termos de y (para notar isso tente calcular este volume por meio de arruelas).Para integrar em relação a x, você pode resolver o problema usando o método de anéiscilíndricos, o que exigirá cortar o sólido de uma forma menos usual.

Passo 1: Em vez de cortar o sólido em forma de cunha, corte uma fatia cilíndrica,fazendo-o diretamente para baixo (paralelamente ao eixo de revolução) em toda a volta,

Sólidos de revolução 87

Figura 8.9:.

próximo à borda do orifício. Depois, corte outra fatia cilíndrica em torno do orifício au-mentado, então uma outra e assim por diante. O raio dos cilindros aumenta gradualmentee sua altura segue o contorno da parábola: do menor para o maior e depois de novo parao menor. Cada fatia se situa ao longo de um subintervalo do eixo x da comprimento ∆x.Seu raio é aproximadamente (1 + xk) e sua altura, cerca de 3xk − x2

k.

Passo 2: Imagine que você pudesse desenrolar o cilindro verticalmente em xk elese tornará (essencialmente) uma fatia retangular com espessura ∆x. O comprimento dacircunferência interna do cilindro é 2π(raio) = 2π(1 + xk), e esse é o comprimento dafatia retangular desenrolada. Portanto, o volume do sólido retangular (aproximadamente)plano é

∆V ≈ (largura).(altura).(espessura)

≈ 2π(1 + xk).(3xk − x2k).∆x

Passo 3: Somando os volumes dos anéis cilíndricos individuais ao longo do intervalo0 ≤ x ≤ 3 obtemos a soma de Riemann

∑2π(1 + xk).(3xk − x2

k).∆x. Considerando-se olimite como a espessura ∆x → 0 teremos a integral do volume

V =

∫ 3

0

2π(x + 1)(3x− x2)dx

=

∫ 3

0

2π(3x2 + 3x− x3 − x2)dx

= 2π

∫ 3

0

(2x2 + 3x− x3)dx

= ... =45π

2unid. cúbicas

Exercícios

88 Aplicações de “Integrais”

1. A áreia delimitada pelo gráfico de y = 2x− x2 e pelo eixo x gira em torno do eixoy. Determine o volume do sólido resultante.

2. Girando em torno da reta x = 3 a região delimitada pelos gráficos de: y = x2 ey = x + 2. Estabeleça uma integral para o volume do sólido resultante.

3. A região delimitada pela curva y =√

x, pelo eixo x e pela reta x = 4 gira em tornodo eixo x gerando um sólido. Determine o volume deste sólido.