Mdulo 14 Arcos trigonomtricos: determinaoComo achar a 11. a determinao

Arco em graus Arco em radianos

Com extremidade em M

M

x = a + 2k, k

Com extremidade em M e N (dia-metralmente opostos)

N

M

x = a + k, k

Com extremidade em P 1, P2,..., Pn (vrtices de um polgono regular)

P1

P2P3

P4

PnPn1

x kn

k= + a2

,

Expresso geral dos arcos2.

Mdulo 15 Equaes trigonomtricas em

I. sen x = sen a

sen x

x = a + k 2 ou

x = ( a) + k 2;k

II. cos x = cos a

cos x

x = a + k 2 ;k

III. tg x = tg a

tg x

x = a + k ;k

Equaes da forma

Enem e Vestibular Dose Dupla 58

Matematica

Mdulo 16 Inequaes trigonomtricas em

66 65

65

tg x = 1 tg x > 1

1 12

sen x = 21 sen x > 2

1

21

21

21

cos x = 21

21

cos x > 21

3

4

4

3

3

54

54

34

3

x k x k + < < + / 6

256

2

x k x k + < < + / 3

23

2

x k x k + < < + / 4 2

Mdulo 17 Funes trigonomtricasFuno seno1.

0 2

1

y

x

1 Senoide

232

52

2

x 02

32

2

cos x 1 0 1 0 1

Domnio Imagem [1; 1]Perodo 2Funo par cos (x) = cos x

Enem e Vestibular Dose Dupla 59

Matematica

x 02

32

2

sen x 0 1 0 1 0

Domnio Imagem [1; 1]Perodo 2Funo mpar sen (x) = sen x

Funo cosseno2.

22

32

52

0

y

x

1Cossenoide

1

2

Funo tangente3.

2

232

52

0

y

x

Tangentoide

2

x 02

32

2

tg x 0 E 0 E 0

Domnio +

2

k k

Imagem

Perodo

Funo mpar tg ( x) = tg x

Mdulo 18 Funes trigonomtricas: generalizao

Grficos de funes trigonomtricas

Funo f(x) = a + sen x1) Perodo = 2

Imagem = [a 1, a + 1]

2

32

a + 1

a 1

y

a

x

Deslocam-sea unidades

20

Funo f(x) = sen (mx)3) Perodo =

2m

Imagem = [ 1, 1]

22

32

2m

0 x

Modifica-se operodo

1

1

m

y

Enem e Vestibular Dose Dupla 60

Matematica

Funo f(x) = b sen x2) Perodo = 2

Imagem = [ b, b]

y

22

32

b

b

x

Modifica-se a imagem

1

1

0

Funo f(x) = sen (x + n)4) Perodo = 2

Imagem = [ 1, 1]

n

2 n

22

32

x

Deslocam-se nunidades

1

1

n

y

0

Funo f(x) = a + b sen (mx + n) (b 5) 0 e m 0)

Perodo = 2m

Imagem = [a b, a + b]

Funo f(x) = a + b cos (mx + n) (b 6) 0 e m 0)

Perodo = 2m

Imagem = [a b, a + b]

Funo f(x) = a + b tg (mx + n)7)

Domnio = x mx n k k + +

/ , 2

Perodo = m

Imagem =

Mdulos 19/20 Princpio fundamental da contagem (I)Fatorial1. Sendo n um nmero natural maior que 1, a funo fato-

rial de n(n!) o produto de todos os naturais de n at 1.Assim, n! = n (n 1) (n 2) ... 3 2 1O smbolo n! tambm pode ser lido como n fatorial.Em particular, definimos:0! = 1 e 1! = 1

Propriedade do fatorial2. n! = n (n 1)!n! = n (n 1) (n 2)!

Princpio fundamental da contagem3. Se um acontecimento pode ter o nmero de possibili-

dades de ocorrncia analisado em etapas sucessivas e inde-pendentes, de modo que:

n1 = n de possibilidades de ocorrncia da 1a etapa,n2 = n de possibilidades de ocorrncia da 2a etapa,n3 = n de possibilidades de ocorrncia da 3a etapa,

nk = no de possibilidades de ocorrncia da k-sima eta-

pa, ento o acontecimento poder ocorrer de n1 n2 n3 ... nk modos diferentes.

Princpio da preferncia4. Para evitar impasses no clculo do nmero de possi-

bilidades, devemos sempre priorizar o estudo das etapas com maiores restries, isto , com menores nmeros de possibilidades.

Exerccios caractersticos de contagem5. 1o tipo Formao de nmeros

O nmero com n algarismos que comea por zero, na verdade, tem (n 1) algarismos.

Quando as condies impostas geram impasses na contagem, devemos dividir o problema em dois ou mais ca-sos.

Nmeros mltiplos de 5 tm unidade 0 ou 5.Nmeros mltiplos de 3 tm algarismos com soma

mltipla de 3.Quando estamos contando os nmeros com pelo me-

nos dois algarismos repetidos, mais fcil contar todos os nmeros com ou sem repetio e subtrair a quantidade de nmeros com algarismos distintos.

2o tipo Comisses com cargos definidos

Enem e Vestibular Dose Dupla 61

Matematica

Mdulo 21 Princpio fundamental da contagem (II)Princpio fundamental da contagem1. Se um acontecimento pode ter o nmero de possibili-

dades de ocorrncia analisado em etapas sucessivas e inde-pendentes, de modo que:

n1 = no de possibilidades de ocorrncia da 1a etapa,

n2 = no de possibilidades de ocorrncia da 2a etapa,

n3 = no de possibilidades de ocorrncia da 3a etapa,

nk = no de possibilidades de ocorrncia da k-sima eta-

pa, ento o acontecimento poder ocorrer de n1 n2 n3 ... nk modos diferentes.

Princpio da preferncia2. Para evitar impasses no clculo do nmero de possi-

bilidades, devemos sempre priorizar o estudo das etapas com maiores restries, isto , com menores nmeros de possibilidades.

Exerccios caractersticos de contagem3. 3o tipo Anagramas sem repetio de letras

Para calcular o nmero de anagramas de uma palavra de n letras, sendo que x dessas letras permanecem juntas numa determinada ordem, devemos considerar as x letras como uma nica letra e, assim, permutar (n x + 1) letras.

Para calcular o nmero de anagramas de uma palavra de n letras, sendo que x dessas letras permanecem juntas, devemos considerar as x letras como uma nica letra e, em seguida, considerar a permutao das x letras. Assim, o total ser (n x + 1)! x!.

n elementos podem trocar de ordem de n! modos.1) O princpio fundamental da contagem (PFC) prev a 2)

troca de ordem de todos os elementos.Para desprezar a troca de ordem de n elementos, 3)

considerada no PFC, devemos dividir por n! o nmero obtido com o PFC.

Exerccios caractersticos de contagem4o tipo Anagramas com repetio de letras

Quando a palavra da qual desejamos contar os anagra-mas apresenta letras repetidas, consideramos inicialmente como se a ela no tivesse repetio; em seguida, desprezamos a troca de ordem das letras que se repetem, usando o PDO.

Mdulo 22 Princpio do desprezo da ordem (I)5o tipo Ocupao de lugares definidos

Para efetuar a contagem, podemos utilizar dois ra-ciocnios: escolher elementos para os lugares ou escolher lugares para os elementos.

Quando houver mais lugares do que elementos para ocupar os lugares, complementamos os elementos com fan-tasmas e, depois de utilizarmos o princpio fundamental da contagem, desfazemos as trocas de lugares dos fantas-mas, usando o princpio do desprezo da ordem.

Mdulo 23 Princpio do desprezo da ordem (II)n elementos podem trocar de ordem de n! modos. O princpio fundamental da contagem (PFC) prev a

troca de ordem de todos os elementos.Para desprezar a troca de ordem de n elementos, con-

siderada no PFC, devemos dividir por n! o nmero obtido com o PFC.

Exerccios caractersticos de contagem

6o tipo Comisses sem cargos definidosNa contagem das comisses em que os integrantes

no tm cargos definidos, inicialmente consideramos como se a ordem no agrupamento ficasse associada a al-gum cargo e, posteriormente, desprezamos a troca de or-dem (PDO), pelo fato de os cargos no existirem.

7o tipo Distribuio em gruposPara estudar o nmero de modos pelos quais n ele-

mentos podem ser distribudos em grupos, imaginamos os n elementos em fila e os associamos ordem na fila dos grupos que queremos formar. No podemos nos esquecer de utilizar o princpio do desprezo da ordem em duas situa-es: nos grupos em que os elementos no ocupam cargos e nos grupos iguais que no se diferenciam por cargos.

8o tipo Figuras geomtricasQuando agrupamos pontos para formar figuras geo-

mtricas, devemos ficar atentos necessidade ou no da utilizao do princpio do desprezo da ordem.

Assim: AB

e BA

so semirretas diferentes. AB

e BA

so as mesmas retas. DABC e DBCA so os mesmos tringulos.

Enem e Vestibular Dose Dupla 62

Matematica

Mdulo 24 Frmulas de contagemArranjos1. So agrupamentos que diferem pela natureza e pela or-

dem de seus elementos: An

n pn p,!

!=

( )An,0 = 1

Combinaes2. So agrupamentos que diferem apenas pela natureza de

seus elementos: CA

pn

n p pn pn p

,,

!!! !

= =( )

Cn,0 = 1

Permutaes3. So agrupamentos que diferem apenas pela ordem de

seus elementos: Pn = n!

Mdulo 25 Nmeros binomiaisDefinio1.

n

pn

n p pn p

=( ) ( )

!! !

Note que: n

pCn p

= ,

Nmeros binomiais complementares2. n

p

n

n p

=

Relao de Stifel3. n

p

n

p

n

p

++

=++

1

1

1

Igualdade4.

Sen

p

n

q

=

, ento:

p = q ou p + q = n

Enem e Vestibular Dose Dupla 63

Matematica

Tringulo de Pascal5.

n n n n n n n0 1 2 3 4 5 n

001 10 12 2 20 1 23 3 3 30 1 2 34 4 4 4 40 1 2 3 45 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

Linha 0

Linha 1

Linha 2

Linha 3

Linha 4

Linha 5

Linha 6

Col

una

0

Col

una

1

Col

una

2

Col

una

3

Col

una

4

Col

una

5

Col

una

n

Linha 0 1

1 1

1 12

1 3 13

1 6 4 14

1 10 10 5 15

Linha 1

Linha 2

Linha 3

Linha 4

Linha 5

Col

una

0

Col

una

1

Col

una

2

Col

una

3

Col

una

4

Col

una

5

Propriedades6. P1) Em qualquer linha, dois binomiais equidistantes

dos extremos so complementares e, portanto, iguais.Consideremos, como exemplo, a linha 5.

1 5 10 10 5 1

5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

P2) A soma de dois binomiais consecutivos de uma mesma linha igual ao binomial situado imediatamente abaixo do binomial da direita.

00

1 10 1

2 2 20 1 2

3 3 3 30 1 2 3

4 4 4 4 40 1 2 3 4

5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

1

1 1

1 2 1

1 3 + 3 1

1 4 6 4 + 1

1 5 10 10 5 1

P3) A soma de todos os binomiais da linha n do tringulo de Pascal 2n.

001 10 12 2 20 1 23 3 3 30 1 2 34 4 4 4 40 1 2 3 45 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

1=20

1+1=21

1+2+1=22

1+3+3+1=23

1+4+6+4+1=24

1+5+10+10+5+1=25

P4) A soma dos elementos de uma coluna do tringulo de Pascal (comeando no primeiro elemento da coluna) igual ao elemento que est avanado uma linha e uma coluna sobre a ltima parcela.

n

n

n

n

n

n

n k

n

n k

n

++

++

+ ++

=+ +

+

1 2 11

...

+

=+ +

+

=

ou

n p

n

n k

np

k

0

1

1

Enem e Vestibular Dose Dupla 64

Matematica

Mdulo 26 Binmio de NewtonDesenvolvimento do binmio1.

( )x an

x an

x an

xn n

T

n

T

n+ =

+

+

0 1 2

0 1

1 2

+ +

+ =

+

2 2 0

3 1

an

nx a

x an

pa x

T

n

T

n p n

n

...

( ) ppp

n

=

0

Observaes2. No desenvolvimento do binmio (x + a)n, segundo expo-

entes decrescentes de x, temos:1a) o desenvolvimento de um binmio de grau n tem

n + 1 termos;2a) a soma dos expoentes de a e x, em qualquer termo,

o grau n do binmio;3a) o expoente de x, no primeiro termo, n e vai

decrescendo, de um em um, at atingir zero no ltimo termo;4a) o expoente de a, no primeiro termo, zero e vai

crescendo, de um em um, at atingir n no ltimo termo;5a) os coeficientes dos termos extremos so iguais a um

ne

n

n0

;

6a) o coeficiente de qualquer termo um nmero binomial de numerador n e denominador igual ao nmero de termos precedentes. Assim, o coeficiente do 6o

termo n

5

;

7a) os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)n so os elementos da linha n do tringulo de Pascal;

8a) a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x + a)n 2n.

Desenvolvimento de um 3. binmio segundo Newton

( ) ...x an

x an

x an

nn n

T

n

T

+ =

+

+ +

0 1 1

0 1 1

1 2

+

+

x an

nx an

T

n

Tn n

1 1 0

1

Termo geral (com expoentes 4. decrescentes para x)

Tn

kx ak

n k k+

=

1

Mdulo 27 Probabilidades: conceitoConceitos iniciais1.

Experimento aleatrioEspao amostralEvento de experimento

Tipos de eventos2. Evento elementarEvento certoEvento impossvelEvento complementar

Probabilidade terica e 3. probabilidade estatstica

Probabilidade terica de um evento A4.

P An An U

n mero de casos favor veis a An mero de casos poss v

( )( )( )

= =

eeis

Propriedades das probabilidades5. P1) Probabilidade de um evento impossvel: P() = 0P2) Probabilidade de um evento certo: P(U) = 1P3) Valores possveis de probabilidade de um evento A: 0 P(A) 1P4) Probabilidade de no acontecer um evento A: P(A) = 1 P(A)

Mdulo 28 Probabilidades: adioProbabilidade da unio1.

U

A B

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

Eventos mutuamente exclusivos2. Se A B = , dizemos que A e B so eventos mutua-

mente exclusivos, e ento:P(A B) = P(A) + P(B)

Probabilidade num espao 3. amostral no equiprovvel

Sejam U = {a1, a2, a3, ..., an} e P(a1), P(a2), ..., P(an) probabilidades de ocorrncia dos resultados a1, a2, ..., an, respectivamente.

P(a1) + P(a2) + ... + P(an) = 1

Enem e Vestibular Dose Dupla 65

Matematica

Mdulo 29 Probabilidades: multiplicaoProbabilidade condicional1. Notao: P(A/B) = probabilidade de ocorrer o evento A,

dado que o evento B j ocorreu.

U

A B

P A Bn A B

n B( / )

( )( )

=

Consequncia:

P A B

n A Bnn Bn

( / )

( )

( )=

( )

( )

P A Bn A B

P B( / )

( )=

( )

Probabilidade da interseco2. P(A B) = P(A) P(B/A)

ou aindaP(A B) = P(B) P(A/B)

Eventos independentes3. Dois eventos so independentes se, e somente se:P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)Observao:Se A independe de B, imediato que B independe de A.

Assim: P(A B) = P(A) P(B)

Enem e Vestibular Dose Dupla 66

Matematica

Enem e Vestibular Dose Dupla 67

Matematica