Matemática e Finanças: O homem que calculava e negociava

Precificacao via arbitragemModelo Binomial

Conclusoes

Matematica e Financas:O homem que calculava e negociava

Max O. Souza & Jorge P. Zubelli

9 de novembro de 2006

Max O. Souza & Jorge P. Zubelli Matematica e Financas: O homem que calculava e negociava


Conclusoes

Outline

1 Precificacao via arbitragemReplicacaoModelo BinomialMercados Completos e Incompletos

2 Modelo BinomialO modelo basicoAnalise de media e varianciaAproximacao Lognormal

2 Conclusoes



Conclusoes

ReplicacaoModelo BinomialMercados Completos e Incompletos

Modelo de Arrow-Debreu

Vamos considerar uma economia com N ativos s1, s2, . . . , sN e Mpossıveis estados. Um investidor toma uma posicao inicial e, aposum perıodo, um estado e escolhido e a posicao do investidor eliquidada.O modelo fica totalmente especificado, a partir de

p = (p1, . . . , pN)t ∈ RN e D = (dij) ∈ RN×M ,

p e o vetor de precos

pi o preco dos ativo si

D e a matriz de fluxos de caixa.

No modelo de Arrow-Debreu, estamos supondo que D e conhecidapor todos, mas que o estado final da economia nao e conhecido apriori.



Conclusoes


Interpretacao da Matriz D

Para cada ativo si temos apos um periodo um fluxo Dij se o estadoda economia e j .Exemplo: Se o meu ativo sr e um ativo sem risco e sempagamento de juros temos Dr ,j = 1 para qualquer dos estadosj = 1, · · · ,M. Ou seja, linha r e (1, · · · , 1).



Conclusoes


Definicao

Um portfolio de ativos e um vetor

θ = (θ1, . . . , θN)t ∈ RN ,

onde θi > 0 significa que o investidor esta comprado no ativo eθi < 0 significa que o investidor esta vendido no ativo.

No modelo de Arrow-Debreu, estar vendido num ativo significatomar emprestado uma certa quantidade deste ativo e vende-lo apreco presente.



Conclusoes


Definicao

Um portfolio de arbitragem e um portfolio satisfazendo uma dasduas condicoes abaixo:

1

θ · p = 0, θtD ≥ 0 e, para algum j, θ · D·,j > 0

2

θ · p < 0, θtD ≥ 0

No primeiro caso, o portfolio nao tem custo inicial, nao oferecerisco de prejuızo e ainda oferece um possibilidade real de lucro. Nosegundo caso, o portfolio da lucro imediato, sem risco de prejuızono futuro.



Conclusoes


Teorema

Se existe um vetor de numeros positivos π, tal que

p = Dπ, (1)

entao nao existem portfolios de arbitragem.



Conclusoes


A partir do vetorπ = (π1, π2, · · · , πM)t

podemos definir

πj =πj∑M

k=1 πk

.

Seja

(1 + R)−1 =M∑

k=1

πk .

Vamos ver qe R representa a taxa de juros da economia.



Conclusoes


Ativo sem risco

Suponha que exista um ativo que garanta o pagamento de R$ 1,00,qualquer que seja o estado. O vetor de fluxo de caixa de um ativoassim seria (1, . . . , 1) ∈ R1×M . Supondo que vale (1), temosentao, se denotarmos o preco do ativo sem risco por psr que

psr =M∑

k=1

πk = (1 + R)−1

Portanto, R pode ser associado a taxa de juros sem risco vigentena economia em questao.Rescrevendo (1), temos

pi =1

1 + R

M∑j=1

Dij πj =1

1 + RE(Di ),

onde E e o valor esperado com respeito a medida de probabilidadedada por {πj}.



Conclusoes


Corolario

Suponha que o mercado nao admita portfolios de arbitragem e queexista emprestimo sem risco a taxa R. Entao existe uma medida deprobabilidade no conjunto de estados tal que o valor justo do ativoe o valor esperado dos seus fluxos de caixa descontado pela taxa R.

Terminologia A medida mencionada no corolario acima egeralmente conhecida como Medida Neutra ao Risco ou MedidaMartingal.Nota A probabilidade neutra ao risco nao esta associada aprobabilidade frequencial observada na economia.Mais ainda, podemos escrever

M∑j=1

πj

(Dij

pi− 1

)= R.

Ou seja, sob a probabilidade neutra ao risco, o retorno esperado dequalquer ativo e R.



Conclusoes


Replicacao

Definicao

Dizemos que um portfolio (θ1, . . . , θK ) de ativos S1, . . . ,SK replicao ativo S, se o fluxo de caixa do portfolio e do ativo S sao osmesmos, qualquer que seja o estado da economia.

Proposicao (Lei do Preco Unico)

Em um mercado sem oportunidade de arbitragem, se um ativoadmite um portfolio replicador, entao o preco justo do ativo e omesmo do seu portfolio replicador.

No que se segue, veremos algumas aplicacoes da Lei do PrecoUnico.



Conclusoes


Contrato a Termo

Definicao

Um contrato a termo e um acordo de compra de um ativo S porum valor acordado K ao fim de um certo perıodo.

Vamos de chamar de Q o preco justo deste contrato. Entao

Q = S − K

1 + R.

E conveniente escolher K de forma que Q = 0. Neste caso o precoa termo e dado por F = (1 + R)P (K = F ⇒ Q = 0).



Conclusoes


Definicao

Uma opcao de compra (Call) sobre o ativo S e um documento queda o direito, mas nao a obrigacao, ao seu detentor de comprar umaunidade do ativo S pelo preco K—dito o strike—no tempo T , quee o tempo de expiracao da opcao.

Definicao

Uma opcao de venda (Put) sobre o ativo S e um documento queda o direito, mas nao a obrigacao, ao seu detentor de vender umaunidade do ativo S pelo preco K—dito o strike—no tempo T , quee o tempo de expiracao da opcao.



Conclusoes


Porque o uso opcoes? Pequeno historico:

Usadas na forma de contratos por seculos.

Holanda Sec. XVII. Plantadores de tulipas necessitavam deseguranca em relacao a flutuacoes dos precos. Contratos paravender tulipas por um preco dado.

Londres Sec. XVIII. Porem faltavam instrumentos p/ garantircumprimento dos contratos....

Regulamentacao em 1930.

Inıcio dos anos 70 o uso de opcoes ganhou importanciaeconomica.

1973 CBOE.



Conclusoes


Pequeno historico. Cont.

Atualmente mercado de derivativos (ou seja instrumentosderivados de bens primarios) ultrapassa em muito o valor domercado primario.

Merton (1969) e (1971). Selecao de portfolios sob incerteza.

Black-Scholes (1973) Pricing of options and corporateliabilities.

1997 Nobel de economia p/ Merton e Scholes.



Conclusoes


Paridade Put-Call

Vamos mostrar que vale a relacao:

P = C − S +K

1 + R.

Vamos considerar a posicao no lado esquerdo da equacao:comprado numa opcao de compra e em K/(1 + R) no banco evendido no ativo. Se no tempo de expiracao, o valor for menor queK , entao a opcao de compra nao e exercida, temos K no banco eestamos vendidos no ativo, o que corresponde exatamente ao fluxode caixa de uma opcao de venda nesse caso. Se o preco do ativofor maior do que K , exercemos a opcao de compra usando os Kreais disponıveis no banco e retornamos o ativo vendido, ficandocom uma posicao zerada.



Conclusoes


Contrato A TERMONas figuras abaixo vemos geometricamente uma replicacao de umcontrato a termo atraves dos graficos do valor de vencimento deuma posicao comprada em opcoes de compra e vendida em opcoesde venda.



Conclusoes


CALL



Conclusoes


PUT



Conclusoes


Contrato a Termo



Conclusoes


Exemplo de Aplicacao da Teoria:

Financiamento da firma: Acionistas + Emprestimos Bancarios.S = S(t) valor total de uma firma: Soma do valor de suas acoes edo debito com o banco.

Ao fim de um periodo t = T ela deve pagar um bond ao bancocom valor de face K . O restante e pago aos acionistas. Payoff paraos acionistas: (S(T )− K )+

Cabera ao banco: min(S(T ),K ) = K − (K − S(T ))+. Por naoarbitragem: (para t < T )

S(t) = E (t) + D(t)

(a identidade acima e fundamental em contabilidade)S(t) = valor total da firma.E (t) = valor para os acionistas (equity).D(t) = debito = valor do bond devido aos bancos. Note que E (t)e o preco de uma call sobre S com strike K e vencimento TD(t) = K/(1 + R)T−t − P(t) onde P(t) e o valor de uma put.(Obs.: aqui T − t e medido em perıodos ate o vencimento).



Conclusoes



Financiamento da firma: Acionistas + Emprestimos Bancarios.S = S(t) valor total de uma firma: Soma do valor de suas acoes edo debito com o banco.Ao fim de um periodo t = T ela deve pagar um bond ao bancocom valor de face K . O restante e pago aos acionistas. Payoff paraos acionistas: (S(T )− K )+

Cabera ao banco: min(S(T ),K ) = K − (K − S(T ))+.

Por naoarbitragem: (para t < T )

S(t) = E (t) + D(t)




Conclusoes





S(t) = E (t) + D(t)

(a identidade acima e fundamental em contabilidade)S(t) = valor total da firma.E (t) = valor para os acionistas (equity).D(t) = debito = valor do bond devido aos bancos.

Note que E (t)e o preco de uma call sobre S com strike K e vencimento TD(t) = K/(1 + R)T−t − P(t) onde P(t) e o valor de uma put.(Obs.: aqui T − t e medido em perıodos ate o vencimento).



Conclusoes





S(t) = E (t) + D(t)




Conclusoes


Modelo Binomial

Vamos considerar uma economia com dois ativos e dois possıveisestados, i.e, N = M = 2 no modelo de Arrow-Debreu.Vamos supor que haja emprestimo a taxa R—um ativo sem risco.O ativo de risco tem preco P e fluxos de caixa P ×U no estado I eP × D no estado II, com D < U.



Conclusoes


Vamos supor que vale nao-arbitragem para essa economia. Nessecaso, temos que ter

P =1

1 + R{π1PU + π2PD}

π1 + π2 = 1.

Que pode ser rescrito como

π1 + π2 = 1

π1U + π2D = 1 + R

cuja solucao e

π1 =1 + R − D

U − De

U − (1 + R)

U − D.



Conclusoes


Note que temos solucoes positivas se, e somente se,

D < 1 + R < U.

Essa condicao esta diretamente relacionada com nao-arbitragem.De fato, se 1 + R ≥ U, uma posicao vendida no ativo de risco comuma contrapartida comprada num deposito remunerado garanteum fluxo de caixa nao-negativo, com possibilidade de um fluxopositivo. Por outro lado, se 1 + R ≤ D, uma posicao comprada noativo e um emprestimo correspondente, tambem garante fluxosnao-negativos, como possibilidade de fluxo positivo. Nos doiscasos, temos uma arbitragem.



Conclusoes


Pagamento contigenciado ao estado

Considere um ativo que tem fluxo de caixa D1 no estado I e D2 noestado II.Um argumento de nao arbitragem nos da que o preco justo desseativo seria

V =1

1 + R{π1D1 + π2D2}

Em palavras: O preco justo (hoje) do contrato contingenciado e ovalor esperado do fluxo de caixa com relacao a medida neutra aorisco descontado a taxa de juros.



Conclusoes


Exemplo

Considere uma Call no ativo de risco com PD < K < PU. Nessecaso os possıveis fluxos de caixa sao

D1 = PU − K e D2 = 0.

Portanto, o valor justo desta call, Vcall, e dado por

Vcall =1

1 + R

1 + R − D

U − D(PU − K )



Conclusoes


Hedging e Replicacao

Considere um portfolio θ = (θ1, θ2)t , com θ1 unidades do ativo de

risco a um preco P e θ2 unidades em deposito remunerado—a umpreco de 1/1 + R.O valor do portfolio vai ser entao

θ1PU + θ2 = D1, no estado I;

θ1PD + θ2 = D2, no estado II.

Resolvendo para θ1 e θ2, temos

θ1 =D1 − D2

PU − PDe θ2 =

UD2 − DD1

U − D



Conclusoes


Logo, o valor do portfolio sera

V = θ1P +θ2

1 + R

i.e.

V =1

1 + R{π1D1 + π2D2}.

Moral Em alguns mercados, temos uma probabilidade neutra aorisco se, e somente se, podemos construir portfolios replicadores.Nesse caso, podemos precificar ativos atraves da Lei do PrecoUnico.



Conclusoes


Definicao

Um mercado com N ativos e M estados e dito completo se, paratodo vetor de fluxo de caixa (D1, . . . ,DM)t , existe um portfolioθ = (θ1, . . . , θN)t , cujo fluxo de caixa no estado j e Dj .

Em outras palavras,

θtD = Et , E ∈ RM

tem sempre solucao.Isso sera o caso quando

postoDt = M.



Conclusoes


Proposicao

Suponha uma economia sem arbitragem. O mercado e completose, e somente se, existe um unico vetor de precos de estadosatisfazendo (1), ou seja,

p = Dπ,



Conclusoes


Prova

Suponha que o mercado e completo. Entao, temos

posto(Dt) = M ⇒ nul(D) = 0.

Portanto D e injetora e, assim, a equacao Dπ = p tem, nomaximo, uma unica solucao.CONTINUA ...



Conclusoes


Por outro lado, suponha que o mercado nao seja completo. Nessecaso,

posto(Dt) < M ⇒ posto(D) < M

Isso quer dizer, que existe v ∈ RM satisfazendo Dv = 0. Masentao, se π e um vetor de preco de estados, temos que

D(π + ρv) = p.

Como π tem entradas positivas, tomando ρ suficientementepequeno temos que π + ρv tem entradas positivas. Assim, osprecos de estado nao sao unicos.



Conclusoes


O Modelo Trinomial

Considere uma economia com dois ativos, N = 2 e tres possıveisestados M = 3, com fluxos de caixas PU, PM e PD, D < M < Ue emprestimo sem risco a taxa R.Temos entao

π1 + π2 + π3 = 1

Uπ1 + Mπ2 + Dπ3 = 1.

Mais uma vez, temos solucoes positivas apenas se

D < 1 + R < U.



Conclusoes


As solucoes positivas sao segmentos de reta com extremos

π1 =1 + R − D

U − D, π2 = 0 e π3 =

1 + R − D

M − D

e

π1 = 0, π2 =M − (1 + R)

M − De π3 =

1 + R − D

M − D(M ≥ 1+R);

ou

π1 =1 + R −M

U −M, π2 =

U − (1 + R)

U −Me π3 = 0 (M < 1+R).

Como

V =1

1 + R{π1D1 + π2D2 + π3D3}

Programacao linear Maximo de V ocorre nos pontos extremos



Conclusoes


Exemplo

Considere um call com strike K satisfazendo PM < K < PU.Nesse caso, os fluxos de caixa sao: PU − K no estado I, e zero nosestados II e III.Assim, se M ≥ 1 + R, temos que

Vcall =π1

1 + RD1

{V + 1+R−D

(1+R)(U−D)(PU − K )

V− 0

Se, M < 1 + R, temos em vez:

Vcall =π1

1 + RD1

{V + 1+R−D

(1+R)(U−D)(PU − K )

V− 1+R−M(1+R)(U−D)(PU − K )



Conclusoes

Mercados Completos e IncompletosAnalise de media e varianciaAproximacao Lognormal

Interpretacao Financeira

Podemos interpretar esses limites nos precos dos ativos em termosde aversao ao risco: um comprador vai sempre oferecer V− (Bid)para nao estar correndo risco. Por outro lado, para nao incorrer emriscos, um vendendor vai estar sempre pedindo V + (Ask). No casode uma negociacao por V , com V− < V < V +, existe risco tantopara o comprador quanto para o vendedor.



Conclusoes


Modelo Binomial

Como antes, dois ativos e dois estados, mas N + 1 datas denegocio.Vamos denotar por Sn o preco do ativo de risco em t = tn. Adinamica de precos do ativo e dada por

Sn+1 = Hn+1Sn, 0 ≤ n ≤ N − 1,

onde

Hn =

{U com probabilidade p,D com porbabilidade q,

com p + q = 1.



Conclusoes


Entretanto, ja vimos que as probabilidade frequenciais nao saoreleventes para uma precificacao correta do ativo. Vamos suporque exista uma medida neutra ao risco e que, nessa medida, emcada perıodo o valor correto do ativo e o valor esperado do fluxode caixa no proxio perıodo. Mais precisamenteHipotese Martingal Existe uma medida de probabilide para Hn

tal que

Sn =1

1 + RE(Sn+1|Sn),

que pode ser escrita como

1 =1

1 + R{UPU + DPD}, PU + PD = 1.

A unica solucao do sistema acima e dada por

PU =1 + R − D

U − D, PD =

U − (1 + R)

U − D, D < 1 + R < U.



Conclusoes


Logo temos o seguinte resultado

Proposicao

Dados parametros U, D e R, satisfazendo D < 1 + R < U, existeuma unica medida de probabilidade neutra ao risco para Hn e,consequentemente, para a os espaco de caminhos de preco doativo de risco.



Conclusoes


Precificacao via Medida Neutra ao Risco

Suponha um payoff F (S). Vencimento em t = tN .Vamos denotar por S j

n o preco do ativo no tempo t = tn, que tevej choques de preco dados por U. Vamos escrever tambemV j

n = V (S jn), onde Vn(Sn) denota o preco do contrato no tempo

t = tn com o ativo custando Sn. Sob a medida neutra ao risco:

V jn =

1

1 + RE{Vn+1|Sn = S j

n}

V jn =

1

1 + R{PuV

j+1n+1 + PDV j

n+1}



Conclusoes


Temos que ter tambem a condicao terminal, i.e,

V jN = F (S j

N).

Para resolver a recursao acima em forma fechada, escrevemos

V jn =

1

1 + R

N−n

E{F (SN)|Sn = S jn}

=1

1 + R

N−n N∑k=0

Prob(SN = SkN |Sn = S j

n)F (SkN).



Conclusoes


Mas

Prob(SN = SkN |Sn = S j

n)F (SkN) =

(N − nk − j

)Pk−j

U PN−n−k+jD .

Portanto,

V jn =

1

1 + R

N−n N−n+j∑k=k

(N − nk − j

)Pk−j

U PN−n−k+jD F (Sk

N).

Se n = j = 0, temos

V 00 =

1

1 + R

N N∑k=0

(Nk

)Pk

UPN−kD F (Sk

N).



Conclusoes


Precificacao via Replicacao

Considere um portfolio θjn = (∆j

n,Bjn)t . O valor do portfolio sera

V jn = ∆j

nSjn + B j

n.

Dependendo do estado, teremos

∆j+1n + B j

n(1 + R) = V j+1n+1

∆jn + B j

n(1 + R) = V jn+1

Resolvendo para ∆jn e B j

n, obtemos

∆jn =

V j+1n+1 − V j

n+1

S j+1n+1 − S j

n+1

e B jn = − 1

1 + R

S jn+1V

j+1n+1 − S j+1

n+1Vjn+1

S j+1n+1 − S j

n+1



Conclusoes


Portanto

V jn =

1

1 + R

[S j

n(1 + R)− S jn+1

S j+1n+1 − S j

n+1

V j+1n+1 +

S j+1n+1 − S j

n(1 + R)

S j+1n+1 − S j

n+1

V jn+1

]=

1

1 + R[PUV j+1

n+1 + PDV jn+1]

Levando em conta que V jN = F (S j

N), temos a mesma recursaoanterior.Obs A recursao acima corresponde a uma equacao de diferencaspara o preco. No caso de tempo contınuo esta e a celebre equacaode Black-Scholes.



Conclusoes


Temos entao a seguinte estrategia:

1 No tempo t = tn montamos um portfolio θjn = (∆j

n,Bjn)t .

2 A partir daı

∆jk =

V j+1k+1 − V j

k+1

S j+1k+1 − S j

k+1

, n ≤ k ≤ N.

3 Claramente teremos

B jk = V j

k −∆jkS j

k .



Conclusoes


Precificacao de Calls & Puts

No caso de uma Call, temos

F (SN) = max(SN − K , 0)

Escrevendo S00 = S , temos que

C (S ,K ;N) =1

(1 + R)N

∑k=0

N

(Nk

)Pk

UPN−kD max(Sk

N − K , 0)

=1

(1 + R)N

∑Sk

N≥K

N

(Nk

)Pk

UPN−kD (SN − K )

=N∑

k>k0

(Nk

)Qk

UQN−kD − K

1 + R

N N∑k>k0

(Nk

)Pk

UPN−kD ,

onde

QU =U

1 + RPU e QD =

D

1 + RPD .



Conclusoes


Note que QU + QD = 1. Tambem

k0 = ln(K/SDn)/ ln(U/D).



Conclusoes


Construcao do Portfolio Replicador

E jn =

1

1 + R

[PUE j+1

n+1 + PDE jn+1

]satisfazendo as seguintes condicoes

E jN = S j

N , S jN ≥ K e E j

N = 0, S jN < K .

B jn =

1

1 + R

[PUB j+1

n+1 + PDB jn+1

],

satisfazendo

B jN = −K , S j

N ≥ K e B jN = 0, S j

N < K .



Conclusoes


Assim observamos que o portfolio replicador e basicamente:

Ficar comprando no ativo de risco

Ficar vendido em dinheiro—contrair uma dıvida.

Note tambem que

∆ → 1, quando S � K ;

∆ → 0, quando S � K ;

No caso da Put, podemos usar a paridade Put-Call, i.e,

P = C − S +K

1 + R,

donde

P(S ,K ;N) =K

(1 + R)N

k<k0∑k=0

(Nk

)Pk

UPN−kD −S

k<k0∑k=0

(Nk

)Qk

UQN−kD



Conclusoes


Seja

dt =T

N, R = edt − 1 ≈ dt.

Seja Y o processo de crescimento dado por

Y =1

Tln

(SN

S0

)Para o ativo sem risco temos Y = r .Por outro lado, no caso do ativo de risco temos

ln

(SN

S0

)=

N∑n=1

ln

(Sn

Sn−1

)=

N∑n=1

ln(Hn).

Vamos escrever

ν = E(Y ) =1

T

N∑n=1

E(ln(Hn)) =1

dt{lnUPU + lnDPD}.



Conclusoes


Por outro lado,

VarY =1

T 2

(N∑

n=1

ln(Hn)

)=

N

T 2Var (ln(H1)).

Logo

VarY =1

Tdt

{ln2 UPU + ln2 DPD − [lnUPU + lnDPD ]2

}=

1

Tdt

[ln

(U

D

)]2

PUPD .

Fazendo T = 1, temos a volatilidade do ativo de risco:

σ2 =1

dt

[ln

(U

D

)]2

PUPD .



Conclusoes


Calibragem

SejaU = U ′edt , D = D ′edt .

Nesse caso, temosU ′PU + D ′PD = 1

SejaU

D= e2ρ

√dt .{

PU + PD = 1

PUPD = σ2

4rho2

PU =1

2

1±

√1− σ2

ρ2

e PD =1

2

1∓

√1− σ2

ρ2

Como

PU =1− D ′

U ′ − D ′ e PU =U ′ − 1

U ′ − D ′ .

Nesse caso, teremos

U ′ =eρ√

dt

PDe−ρ√

dt + PUeρ√

dte D ′ =

e−ρ√

dt

PDe−ρ√

dt + PUeρ√

dt

Logo

U =eρ√

dt+rdt

PDe−ρ√

dt + PUeρ√

dte D

e−ρ√

dt+rdt

PDe−ρ√

dt + PUeρ√

dt



Conclusoes


Crescimento esperado

Vamos calcular

ν = E(Y ) =1

dt{lnUPU + lnDPD}

Substituindo os valores de U e D, obtemos:

ν =1

dt

{rdt + (PU − PD)

ρ√dt− ln

[PDe−ρ

√dt + PUeρ

√dt]}

= r + (PU − PD)ρ√dt− 1

dtln

[1 + (PU − PD)ρ

√dt +

ρ2dt

2+O(dt3/2)

]= r + (PU − PD)2

ρ2

2− ρ2

2+O(dt1/2)



Conclusoes


PU − PD = ±

√1− σ2

ρ2,

obtemos

ν = r − σ2

2+O(dt1/2). (2)

Note que o ganho esperado, para dt � 1 depende apenas da taxade juros e da volatilidade do ativo de risco e nao da percepcaosubjetiva de crescimento do ativo dada por ρ. Esse e um dospontos cruciais da teoria.



Conclusoes


Vamos estudar o modelo binomial, quando dt → 0.Note que, nesse caso, temos

ν = r − σ2

2e, de qualquer maneira, temos

Var (Y ) =σ2

TA lei dos grande numeros nos garante que, quando dt → 0, i.e,quando N →∞, o processo Y deve convergir—num sentidoapropriado—para uma variavel aleatorio com distribuicao normal.Como a media foi ajustada, em primeira ordem, e a variancia e doprocesso Y e fixa, temos que, neste limite, devemos ter umanormal com media znu e variancia σ2.Em outras palavras

Y =σ√T

Z + r − σ2

2,

onde Z e N(0, 1).Max O. Souza & Jorge P. Zubelli Matematica e Financas: O homem que calculava e negociava


Conclusoes


Portanto, da definicao de Y , que

ST = Seσ√

TZ+(r−σ2/2)T (3)

A expressao (3) e denominada a aproximacao lognormal para omodelo binomial e corresponde a aproximacao obtida, no limitedt → 0.Considere um pagamento contigenciado com valor no vencimentodado por F (SN).O valor desse contranto em t = 0 e

V = e−rT E(F (SN)).

Sob hipoteses bastante razoaveis—por exemplo crescimento linearde F , quando S →∞—o Teorema do Limite Central nos garanteque

limdt→0

V = e−rT 1√2π

∫ ∞

−∞F(Seζσ

√T+(r−σ2/2)T

)e−ζ2/2 dζ



Conclusoes


Formula de Black-Scholes

No caso de uma opcao de compra (Call), temos

C (S ,K ;T ) = e−rT 1√2π

∫ ∞

−∞max

{Seζσ

√T+(r−σ2/2)T , 0

}e−ζ2/2 dζ

= e−rT 1√2π

∫ ∞

−d2

Seζσ√

T+(r−σ2/2)T e−ζ2/2 dζ−

− Ke−rT 1√2π

∫ ∞

−d2

e−ζ2/2 dζ,

onde

−d2 =1

σ√

Tln

(S

K

)+

(r − σ2

2

) √T

σ.



Conclusoes


Denotando a densidade de probabilidade da normal de media zeroe variancia um por

N(z) =1√2π

∫ z

−∞e−ζ2/2 dζ,

temos que

C (S ,K ;T ) = SN(d1)− e−rTKN(d2),

onde

d1,2 =1

σ√

Tln

(SerT

K

)± σ

2

√T .



Conclusoes


No caso de uma opcao de compra podemos usar a paridadePut − Call e o fato de N(−z) = 1− N(z) para obtermos

P(S ,K ;T ) = Ke−rTN(−d2)− SN(−d1).



Conclusoes

Conclusoes

Conceito de Nao-Arbitragem

Conceito de Medida Neutra ao Risco

Contratos Contingenciados

Precificacao por Medida Neutra ao Risco e porNao-Arbitragem

Modelo Binomial

Formula de Black-Scholes

Opcoes/Derivativos/Avaliacao de Firmas



Conclusoes

Bibliografia Anotada

Referencia Fundamental na preparacao destas notas: Livro deMarco Avellaneda e Peter Laurence Quantitative Modeling ofDerivative and Securities: From Theory to Practice

Korn & Korn: Option Pricing and Portfolio Optimization.

Paginas uteis: http://www.impa.br/ zubelli/MATHFI


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Matemática e Finanças: O homem que calculava e negociava