Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 1] ano Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento

Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Médio, 1] anoFunções trigonométricas seno e suas relações

com os fenômenos que apresentam comportamento periódico

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino MédioFunções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico

Abordaremos o assunto funções trigonométricas, mais especificamente a

função seno, e suas relações com os fenômenos que

apresentam comportamento periódico.

Fenômenos periódicos:

O que são?

Chamamos de um fenômeno periódico aquele que se repete sempre após o mesmo intervalo de tempo. Um exemplo mais simples de um fenômeno periódico é o dia. O movimento do Sol, que aparece pela manhã e se põe no fim da tarde até novamente aparecer de novo, determina o que chamamos de dia. Um outro conceito, que ajuda a complementar o anterior, é que os fenômenos periódicos são aqueles que se repetem periodicamente, ou seja, a cada período inteiro.

Extraído de: http://traprendizado.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html



Por que são importantes?

Os fenômenos periódicos podem ser muito úteis para medir a passagem do tempo. Os corpos celestes são muito importantes porque, entre eles, há diversos que executam um movimento periódico que pode ser percebido por nós e, por isso, eles foram utilizados para construir o nosso calendário. Estando na Terra como nós estamos e olhando para o céu, nós podemos perceber muitos movimentos periódicos. Os mais fáceis de observar são os movimentos do Sol e o da Lua. Muitos fenômenos ou situações que estão presentes em nosso dia a dia são periódicos, isto é, de tempos em tempos se repetem. Um outro exemplo que colabora com essa afirmação é o nascer e o pôr do sol.




Um outro bom exemplo é a função sen x, pois a cada período de 2π tudo volta a se repetir:sen 0 = 0sen 90º= 1sen 180º= 0sen 270º= -1sen 360º(ou 0º) = 0.A partir daí, mais uma volta completa (2π), com todos os valores se repetindo, sucessivamente.




Antes de começar a apresentar a função seno, é importante destacar algumas informações:As funções trigonométricas são funções angulares, que caracterizam uma grande importância no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos, sendo considerada um ramo da matemática.E não para por aí! ...Além de estudar esses itens, estudam-se também as funções circulares: seno, cosseno e tangente. Logo a seguir, será explicada detalhadamente a função seno.



As funções trigonométricas podem ser modelo matemático de vários fenômenos que se repetem, como as variações diárias da temperatura da atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração ou, ainda, o nível de água de uma bacia marítima, devido à periodicidade da maré.

Extraído de: http://www.liberato.com.br/upload/arquivos/0131010717393616.pdf


Também são periódicos fenômenos como a tensão e a corrente elétrica domésticas, o campo eletromagnético gerado para aquecer comida no micro- -ondas, bem como o comportamento ondulatório de notas musicais, o fluxo de caixa em negócios sazonais e o funcionamento de máquinas rotativas.



Ainda podem ser citados como fenômenos periódicos as fases da Lua, as estações do ano, o clima, o movimento dos planetas, entre outros.



Função trigonométrica seno no triângulo retângulo


http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf

abBsen

hipotenusaoposto catetoˆ

Relações num triângulo qualquer



Rsenc

senb

sena 2

CBA

lado) 1 e ângulos (2senos dos Lei

b

a

c

B

A

C

O

R

Comprimento de um arco



ORl .

rad 180radianos) (em central ângulo :

B

A

R

l

Círculo e funções trigonométricas



EFsen

D

A

BE

C

cotg

sen

1ROE

cos

Relações fundamentais:



senxx

xx

senxxgx

xsenxtgx

xxsen

1seccos)5

cos1sec)4

coscot)3

cos)2

1²cos²)1

Relações auxiliares:



xsen²xsenxsen

xxsenxsen

²1

²²cos

²²

xgx ²cot1²seccos

1²cos² xxsen

Função seno (y = sen x)

Chamamos de função seno a função real de variáveis reais que associa a cada número real x o valor real sen x, ou seja: f: R -> R. Assim, sua representação fica da seguinte forma: f(x) = sen x. O sinal da função f(x) = sem x é positivo no 1º e 2º quadrantes e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe as imagens seguintes:



Variação da função básica



senxbay .Função

RDomínio

2Período

],[ baba Imagem

ímpar)( xsensenxPar ou ímpar

Variação da função básica



+ +- -

SinaisCrescente ou decrescente

crescente decrescente decrescente crescente

1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante

Operações com arcos

• Adição e subtração:

• Arco duplo:



senbabsenabasen .coscos.)(

asenaasen cos2.2)2(

Amplitude, domínio, período e imagem:

AmplitudeA amplitude é a metade da distância vertical entre um ponto mínimo e um ponto máximo, ou seja: A = (ymax - ymin).

DomínioO conjunto D, chamado de domínio da função, é o conjunto que possui a função definida, ou seja, contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida, sendo um conjunto de saída; é, pois, o conjunto dos elementos que utilizamos como x na função.



Amplitude, domínio, período e imagem:

PeríodoDenominamos período a distância entre dois pontos máximos ou o intervalo de repetição da função.

ImagemUm outro elemento importante dos gráficos é o conjunto imagem, ou seja, o intervalo de variação da função. Para os gráficos das funções de Seno e Cosseno, o conjunto imagem é [-1,1], devido à amplitude, que é 1.



Exemplo de gráfico:

http://3.bp.blogspot.com/-GFgyAdrQJuc/Tj7-HSTYruI/AAAAAAAAAAs/LZqrhv07JBs/s1600/Figura15.jpg


PeríodoDeslocamento

Am

plitu

de

Tempo (s)

Gráfico da função seno:



xseccosImagem

senxImagem

xseccosImagem 2

senx

23

xseccos

xseccos

y

x

2

-1

1

0

www.cienciamao.usp.br/dados/tex/_funcaotrigonometricasgraficosi.programa.exe

Software de simulação:

A simulação a seguir apresenta dados referentes às funções trigonométricas no círculo trigonométrico. Neste mesmo software, as funções seno, cosseno e tangente estão sendo representadas por meio da circunferência, apresentando seus respectivos gráficos.


Software de simulação:


www.cienciamao.usp.br/dados/tex/_funcaotrigonometricasgraficosi.programa.exe

Vídeo: Funções trigonométricasEste vídeo explica detalhadamente a construção dos gráficos da função Seno (assim como também das funções Cosseno e Tangente).


http://www.youtube.com/watch?v=8e0Q6dS_5lQ&feature=related

Extra: problema 1 (com ilustração)Uma torre de transmissão de TV de 60m de altura está implantada num terreno horizontal. Um cabo de tensão vai do solo até o ponto mais alto da torre e faz com o solo um ângulo de 55º. Qual o comprimento do cabo?


Imagem: Torsten Bätge / Torre / GNU Free Documentation License

60m

55°

http://1.bp.blogspot.com/-_OCNIZUEsZE/TkbRrQq36UI/AAAAAAAAADg/biw58OCSFVI/s1600/3-cd09441330+%25282%2529.jpg

Extra: problema 1 - soluçãoComo se trata de um triângulo retângulo, podemos afirmar que sen 55º = 60/x ; x = 60/ sen 55°. Consultando a tabela das razões trigonométricas, temos sen 55º = 0.819, logo: x = 60/0.819 = 73,26m, aproximadamente, o comprimento do cabo.


Extra: problema 2 (sem ilustração)Uma escada de 4,5 m de comprimento está apoiada num muro vertical. O ângulo que a escada faz com o chão é de 62º. Sabendo que sen 62º = 0,88, calcule a altura h.


Extra: problema 2 - solução

Bom, como o muro é perpendicular ao chão, o triângulo da figura se torna um retângulo. Então, sen 62º= h/4,5 h = 4,5 . sen 62° h = 4,5 . 0,88 = 3,96 (2 c.d) 0 3,96 é a altura h, aproximadamente.


Extra: problema 3 (pesquisa)Tire uma foto de algum fenômeno periódico. Promova pesquisas de aprofundamento do tópico desenvolvido no material de apoio apresentado e conceitue-o. (As pesquisas realizadas podem ser anexadas a esta apresentação posteriormente).


Extra: problema 3 - solução

As funções trigonométricas podem ser modelos matemáticos de vários fenômenos que se repetem; entre elas poderão ser apresentadas fotos a respeito das variações diárias da temperatura da atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração ou ainda o nível de água de uma bacia marítima, devido à periodicidade da maré.


Tabela de Imagensn° do slide

direito da imagem como está ao lado da foto

link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso

27 Torsten Bätge / Torre / GNU Free

Documentation Licensehttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sender_Dannenberg_Zernien_7675.jpg

11/09/2012

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