MATEMÁTICA I

AUTOR: Dr. Ermel Tapia Sosa

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INTRODUCCIÓN: Las unidades de matemática I que cubre el presente texto son: Conjunto y operaciones, Números naturales, Divisibilidad, fracciones y números decimales, Proporcionalidad y porcentaje; el diseño instruccional se inscribe el paradigma constructivista y por ello en las unidades se formulan las tareas de trabajo individual y grupal, la estrategia del aprendizaje asume la fase socializadora de las experiencias del aprendizaje como acción de reflexión y función consolidadora de lo aprendido individualmente en el texto del módulo, en ellas se valora el error como elemento desequilbrador para generar espacios de reflexión crítica del objeto que se estudia visto en sus nexos y relaciones.

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UNIDADES:

Conjunto y operaciones.

Números naturales.

Divisibilidad, fracciones y números decimales.

Proporcionalidad y porcentaje.

UNIDAD No.1

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CONJUNTO Y OPERACIONES. Objetivo de la unidad:

Conocer las operaciones básicas conjuntistas para aplicarlas en la resolución de tareas instruccionales de dominio conceptual.

Contenido de la unidad:

Conjunto

Unión de conjunto

Intersección de conjunto

Complemento de conjunto Tareas de aprendizaje:

Grupal No.1

Individual, debe ubicársela en el anexo que acompaña al módulo Evaluación:

Cunmplir con la tarea grupal se valora sobre 2 puntos

Cumplir con la tarea individual se valora sobre 4 puntos

El uso de categorías conceptuales y argumentales en la socialización de la tarea grupal se valora sobre 4 puntos

Desarrollo conceptual y operacioanal de la Unidad No1 Conjunto. El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo simplemente como una colección de objetos, así podemos hablar de un conjunto de personas, ciudades, lapiceros o del conjunto de objetos que hay

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en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un bolígrafo podemos saber si es azul o no. Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente. Georg Cantor Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,... Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...

De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos,

es común escribir: para definir a tal conjunto . Esta

notación empleada para definir al conjunto se llama notación por extensión Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos

(léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La

negación de se escribe (léase no pertenece a ).

Sean y dos conjuntos. Unión de conjuntos

Diagrama de Venn que ilustra Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto que se denota como

el cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más

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general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como de

manera que sus elementos son todos los tales que . De

esta manera es el caso especial donde .

Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a es condición necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir:

Ejemplos: si tenemos los conjuntos:

Entonces

Intersección de conjuntos

Diagrama de Venn que ilustra

Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado

intersección de y , representado por . Es decir, es el

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conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están

en B: .

Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dice que son conjuntos disjuntos.

Es claro que el hecho de que es condición necesaria y

suficiente para afirmar que y . Es decir:

Ejemplos: si tenemos los conjuntos:

Entonces:

Diferencia de conjuntos

Diagrama de Venn que muestra A − B

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Diagrama de Venn que muestra B − A

Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto ,

forman otro conjunto llamado diferencia de y , representado por . Es decir:

.

o dicho de otra manera:

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de y como . Una propiedad interesante de la diferencia es que

eso es porque

Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple

Complemento de conjuntos El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo

representaremos por . Es decir El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

En vista de que y , entonces

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, de manera que:

Pero también

de modo que:

El conocimiento de las operaciones conjuntistas tiene como fin alcanzar dominio de la herramienta para hacer moderna a la matemática, el fin de su estudio será utilizarla para buscar la comprensión de las operaciones aritméticas. TAREA GRUPAL No.1: Si los conjuntos A y B son los siguientes:

108,6,5,4,3,29,7,5,3,1 CyByA Desarrollamos las

siguientes operaciones:

1. BA

2. BA

3. ABBA

4. CA

5. Si ssencontramoCBAS ,,

6. Construímos los diagramas de las operaciones anteriores. 7. Redactamos una reflexión de media carilla sobre el sentido que tiene conocer las operaciones conjuntistas para el proceso del aprendizaje matemático por parte de los estudiantes. TAREA INDIVIDUAL No.1:

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Estas tareas individuales se encuentran anexan al módulo, puesto que varían de un curso a otro. LECTURA DE REFLEXIÓN:

A través de un conversatorio reflexionar sobre la base de los siguientes interrogantes: ¿Qué es el dicernimiento?¿Qué debe hacer el educador en el aula para llevar a los alumnos a que comprendan el objeto de estudio?¿Qué es lo justo, lo bueno, lo bello y lo verdadero en el ser humano? ¿Qué son las buenas costumbres?

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UNIDAD No.2

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. Objetivo de la unidad:

Estudiar la estructura del sistema de numeración, sus operaciones básicas para aplicarlas en la resolución de tareas instruccionales de dominio conceptual y procedimental.

Contenido de la unidad:

El sistema decimal

Símbolos del sistema de numeración decimal

Sistemas de numeración posicionales

Teorema fundamental de la numeración

Caracterísiticas principales del sistema de numeración decimal

Valor posicional

Formas exponencial de escribir un numeral

Números ordinales

Números naturales

Adición de números naturales

Propiedades de la adición de números naturales

Sustracción de números naturales

Prpoiedades de la sustracción de números naturales

Multiplicación de números naturales

Propiedades de la multiplicación de números naturales

División de números naturales. Términos

Propiedades de la división de números naturales

Potenciación

Potencia de exponente 2

Potencia de exponente 3

Leyes y propiedades de la potenciación

Radicación

Raíz entera

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Leyes de radicación

Factorización Tareas de aprendizaje:

Grupal No.1

Individual, debe ubicársela en el anexo que acompaña al módulo Evaluación:

Cunmplir con la tarea grupal se valora sobre 2 puntos

Cumplir con la tarea individual se valora sobre 4 puntos

El uso de categorías conceptuales y argumentales en la socialización de la tarea grupal se valora sobre 4 puntos

Lectura de reflexión;

Hacer un conversatorio con las ideas claves: ¿Cómo se logra una educación integral?¿Cómo se educa la voluntad, el amor y la inteligencia? ¿Qué es tener una mente ordenada? ¿Cómo se tiene una psique armonizada?¿Cómo alcanzar una vitalidad activa y un cuerpo sano?

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Desarrollo conceptual y operacioanal de la Unidad No2

El sistema decimal es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes.

Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos números (en francés, por ejemplo, el número 80 se expresa como "cuatro veintenas").

Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.

El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:

Los números decimales se pueden representar en rectas numéricas.

Símbolos del Sistema de Numeración Decimal

En la mayoría de las actividades que desarrolla el hombre necesariamente debe llegar a establecer un resultado o expresión numérica. En la ingeniería, en la arquitectura, en la medicina, en la química, etc, las magnitudes deban expresarse en forma concreta.

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Los símbolos numéricos que hoy se utilizan fueron introducidos por los matemáticos árabes, quienes los habrían tomado de los hindúes. Los símbolos que se usan actualmente en el sistema de numeración son los siguientes: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} A estos símbolos básicos indoarábicos se les llama también dígitos.

Sistemas de numeración posicionales

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.

Ejemplo en el sistema de numeración decimal, si contamos desde 0,

incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades hemos

agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no

disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que

hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda

del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que

tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las

unidades, y seguimos contando.

De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.

Como vemos, un sistema de numeración posicional se comporta como un cuentakilómetros: va sumando 1 a la columna de la derecha y, cuando la rueda de esa columna ha dado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.

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Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.

Tal es la costumbre de calcular en decimal que la inmensa mayoría de la población ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 Sistema binario, de base 8 Sistema octal y el de base 16 Sistema hexadecimal.

Teorema Fundamental de la Numeración

Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:

N: Número válido en el Sistema de numeración

b: base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.

d: un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración

n: número de dígitos de la parte entera.

,: coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de

un número de su parte fraccionaria.

k: número de dígitos de la parte decimal.

La fórmula general para construir un número (cualquier número) N en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:

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El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.

Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.

Ejemplo en el Sistema Decimal: los símbolos válidos para construir números son {0...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (número de símbolos válidos en el sistema) es 10.

En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.

Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10

n), centenas

(10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el

gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria.

Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al dígito de las décimas (10

-1=0,1), centésimas (10

-2=0,01),

milésimas (10-3

=0,001) y n-ésimas (10-n

) .

Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como:

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El sistema de numeración binario o de base 2 es un sistema posicional que utiliza sólo dos símbolos para representar un número. Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos unidades de un orden forman la unidad de orden superior siguiente. Este sistema de numeración es sumamente importante ya

que es el utilizado por las computadoras para realizar todas sus operaciones.

Ejemplo en el Sistema Binario: los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.

En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario.

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Seguimos con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba. En este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo disponemos de 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.

Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que contamos (sumamos) dos hemos agotado los símbolos disponibles para esa columna, y debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda.

Así, si contamos en binario, tras el número 0(2 viene el 1(2, pero si contamos una unidad más debemos usar otra columna, resultando 10(2

Sigamos contando 0(2,1(2,10(2,11(2. Al añadir una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los símbolos disponibles), y debemos formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también agotaremos los símbolos disponibles para esa columna, y debemos formar una unidad de tercer orden o 100(2. Así, en el sistema binario 11(2 + 1(2 + 100(2

Ejemplos:

El número está formado por un solo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene un valor diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así, el primer 1

(empezando por la izquierda) representa un valor de , el

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segundo de y el tercero de , dando como resultado el

valor del número: .

Características principales del Sistema de Numeración Decimal

En un numeral, cada dígito tiene un valor relativo y un valor posicional. La base del sistema decimal es diez. Diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediatamente superior. En un numeral, cada posición es diez veces mayor que la que está inmediatamente a su derecha.

Valor posicional

El valor de los dígitos según su posición en un numeral, hasta la centena de millón, aparece en el cuadro siguiente:

9ª Posición

8 ª Posición

7ª Posición

6ª Posición

5ª Posición

4ª Posición

3ª Posición

2ª Posición

1ª Posición

Centenas de millón

decenasde millón

unidadesde millón

centenasde mil

Decenas de mil

unidadesde mil

centenas

decenas unidades

CMi DMi UMi CM DM UM C D U

Diez unidades forman una decena. Diez decenas forman una centena. Diez centenas forman una unidad de mil. Diez unidades de mil forman una decena de mil. Diez decenas de mil forman una centena de mil. Diez centenas de mil forman una unidad de millón. Diez unidades de millón forman una decena de millón. Diez decenas de millón forman una centena de millón.

En el numeral 222 el mismo dígito tiene distintos valores de acuerdo con cada posición que ocupa en el numeral 222.

20

2 2 2

2 centenas

2 decenas

2 unidades

Como 1 decena = 10 unidades 1 centena = 100 unidades

Entonces, los valores del dígito 2, según su posición en el numeral son los siguientes:

2 2 2

2 x 100 unidades = 200 unidades

2 x 10 unidades = 20 unidades

2 unidades

Forma exponencial de escribir un Numeral

Los valores posicionales de los dígitos en un numeral se pueden expresar en potencias de 10.

Potencias de 10

1 = = 100 La potencia 10

0 es 1

10 = 10 = 101

100 = 10 x 10 = 102

1.000 = 10 x 10 x 10 = 103

10.000 = 10 x10 x 10 x 10 = 104

100.000 = 10 x10 x 10 x 10 x 10 = 105

1.000.000 = 10 x10 x10 x 10 x 10 x 10 = 106

10.000.000 = 10 x10 x10 x10 x 10 x 10 x 10 = 107

Para cada dígito en el numeral 853.416.027 se puede establecer lo siguiente: 853.416.027

7 x 100 unidades

2 x 101 unidades

0 x 102 unidades

21

6 x 103 unidades

1 x 104 unidades

4 x 105 unidades

3 x 106 unidades

5 x 107 unidades

8 x 108 unidades

Así, el desarrollo exponencial del numeral 853.416.027 es:

(8 x 108) + (5 x 10

7) + (3 x 10

6) + (4 x 10

5) + (1 x 10

4) + (6 x 10

3) + (0 x 10

2) +

(2 x 101) + (7 x 10

0)

A la inversa, a partir del desarrollo exponencial se puede establecer el respectivo numeral.

En efecto, el numeral correspondiente al desarrollo exponencial:

(3x105)+(2x1041 +(6x103)+(1 x 102)+(5x101)+(4x100) es = 326.154 puesto que:

3 x 10

5 = 3 x 100.000 = 300.000

2 x 104 = 2 x 10.000 = 20.000

6 x 103 = 6 x 1.000 = 6.000

1 x 102 = 1 x 100 = 100

5 x 101 = 5 x 10 = 50

4 x 100 = 4 x 1 = 4

326.154

Ejemplo: Analicemos el orden de unidades y el valor posicional del número 7385.

7: Su orden es unidades de mil y su valor de posición 7.000 3: Su orden es centenas y su valor de posición 300. 8: Su orden es decenas y su valor de posición 80. 5: Su orden es unidades y su valor de posición 5. O sea 7385 = 7.000 + 300 + 80 + 5.

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Números ordinales.

Así como los cardinales son los números más usados, es decir, aquellos que representan una cantidad de algo. Los números ordinales los utilizamos para nombrar el orden que ocupa un objeto, cosa o persona en una serie ordenada.

Aquí tienes algunos ordinales. Cómo se escriben y cómo se leen:

1º primero 2º segundo 3º tercero 4º cuarto 5º quinto 6º sexto 7º séptimo 8º octavo 9º noveno 10º décimo 11º undécimo 12º duodécimo 13º decimotercero 14º decimocuarto 15º decimoquinto 16º decimosexto 17º decimoséptimo 18º decimoctavo 19º decimonoveno 20º vigésimo 21º vigésimo primero 22º vigésimo segundo 23º vigésimo tercero 30º trigésimo 40º cuadragésimo

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Numeros Naturales

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),… Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas. La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos. La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

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Adición de Números Naturales

Al unir dos conjuntos disjuntos se obtiene un tercer conjunto cuyo cardinal se denomina suma.

Si tenemos dos grupos de elementos iguales y deseamos saber cuantos tenemos en total, lo que estaremos haciendo es unir los grupos y contar los elementos del conjunto unión. A esa operación se llama suma.

Si de un conjunto de elementos retiramos algunos y deseamos saber cuantos quedan, lo que realizamos es una resta.

Los siguientes son conjuntos disjuntos:

A = {1,3,5} B = {2,4} # A=3 # B = 2

Al unir los conjuntos disjuntos se obtiene:

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# A + B = # {A U B}

3 + 2 = 5 suma

Los términos de la adición se llaman sumandos y el resultado se llama suma o total: 25} sumando 25 + 31 = 56 + 31 sumandos Total -------- 56

Para resolver una suma de números naturales se debe ordenar los sumandos de tal modo que siempre sumen cifras del mismo orden:

unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc.

Asociatividad

a, b, c

(a + b) + c = a + (b + c) Si se agrupan los sumandos de distintas maneras, la suma no cambia. (38 + 15) + 20 = 38 + (15 + 20) 53 + 20 = 38 + 35 73 = 73

Conmutatividad a,b

a + b = b + a Si se cambia el orden de los sumandos; .lá suma no,varia. 18 + 3 = 3 + 18 21 = 21 Elemento neutro a a + 0 = a El elemento neutro es cero. 25 + 0 = 25

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Regularidad a,b,c c = b + c]=>[a = b] Si: a dos números naturales iguales se le sumán números naturales iguales las sumas son iguales. [a + 5 = b + 5]=> [a = b] Propiedades de la adicion de Numeros Naturales La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro. 1.- Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5) 2.-Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a + b = b + a En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7 + 4 = 4 + 7 Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden. 3.- Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a + 0 = a Sustracción de números naturales Restar es la operación matemática en la cual se quitan, sacan o sustraen elementos de un determinado conjunto, siendo su símbolo (-), que significa "menos".

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El término mayor de los dos números que se restan al que llamamos minuendo representa la totalidad de objetos que se tienen, al cual se le va a quitar una cantidad. El número menor que aparece en la sustracción al que se le da el nombre de sustraendo representa la cantidad menor de la sustracción. Al resultado de la sustracción, se le llama diferencia Y el signo señalado por una rayita pequeña se le da el nombre de signo menos

Cuando se resuelve una sutracción hay que tener presente: Los números que se restan deben estar colocados correctamente, es decir; unidades debajo de las unidades, decenas debajo de las decenas, centenas debajo de las centenas.

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Siempre se deben restar objetos de una misma especie; naranjas a naranjas, perros a perros, muñecas a muñecas, carros a carros, hombres a hombres, piñas a piñas. Esto quiere decir objetos de una misma clase de un mismo género. En el conjunto de los números naturales el minuendo siempre tiene que ser mayor que el sustraendo. Es decir la primera cantidad que aparece en la resta debe ser más grande que la segunda cantidad, ya que es imposible quitarle a un número menor uno mayor, ¿verdad?; el profesor debe estar preparado para en un nivel superior hacer notar que el concepto de restar de una cantidad mayor no siempre es verdad ya que en los números enteros se puede restar……. este es un ejemplo de la relatividad de los conceptos. Propiedades de la Sustracción de Números Naturales Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4. Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos). Ley de cierre La sustracción de dos números naturales no es cerrada o completa ya que su resultado es un número natural si y sólo si el minuendo es mayor que el sustraendo.

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Ley uniforme La sustracción de dos números naturales es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambos miembros de una igualdad se le resta un mismo número se obtiene otra igualdad.

Elemento neutro

El número cero es el elemento neutro de la sustracción de números naturales.

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La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de dos números naturales, excluyendo el cero, es igual a la cardinalidad del producto cartesiano delos conjuntos que ellos representan.

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma. 1.-Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c) Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30 Los resultados coinciden, es decir: (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2) 2.- Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a · b = b · a Por ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 = 40 3.-Elemento neutro

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El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a · 1 = a 4.- Distributiva del producto respecto de la suma Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: a · (b + c) = a · b + a · c Por ejemplo: 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55 Los resultados coinciden, es decir, 5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

División de Números Naturales, Términos

Comparada con la multiplicación, la división es la operación inversa. Dividir un número a (dividendo) por otro número b (divisor), consiste en encontrar un número c (cuociente) tal que multiplicado por el divisor dé el divisor.

[a : b = c]<=> ra [a = b • c]

La división está resuelta en IN sólo si el cuociente es un número natural y I residuo el resto es cero.

Propiedades de la División de Números Naturales La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas. Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta. La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

Potenciación

La siguiente multiplicación tiene sus factores iguales: 5•5•5

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Una multiplicación de factores iguales se llama potencia. En una potencia se distinguen la base y el exponente.

La base es el factor que se repite y el exponente es el número que indica las veces que se repite la base como factor.

En la multiplicación 3 • 3 • 3 • 3, la base es 3 y el exponente es 4: 34

Si se tiene la potencia 23 , su desarrollo es: 2 • 2 • 2 y el valor nurriérico es 8.

Todas las potencias que tienen como base 10 se llaman potencias de 10. Algunas potencias de 10 son:

101 =10 10

4 = 10.000

102 = 100 10

5 = 100.000

103 = 1.000 10

6 = 1.000.000

- Potencia de cero es aquella cuyo exponente es igual a cero: 2

0 5

0

El resultado de una potencia cero de base distinta de cero es igual a 1. 2

0 = 1 5

0 = 1

- Potencia de exponente unidad es aquella potencia cuyo exponente es 1 3

1 7

1 Una potencia de exponente unidad es igual a la base: 3

1 = 3 7

1 = 7

Potencia de exponente 2

La potencia dos se lee elevada al cuadrado.

Elevar un número a a la potencia 2 es equivalente a armar un cuadrado cuyos lados miden a.

33

Potencia de exponente 3

La potencia tres se lee elevada al cubo.

Elevar un número a a la potencia 3 es equivalente a armar un cubo cuyas aristas miden a.

Leyes y propiedades de la potenciación La potenciación de números naturales cumple con las siguientes leyes y propiedades: Ley uniforme y cancelativa Propiedad distributiva respecto del producto y el cociente

34

Leyes de monotonía

A su vez, no cumple con las siguientes leyes y propiedades: Ley de cierre Ley conmutativa y asociativa Propiedad distributiva respecto de la suma y la resta

Casos particulares

La operación de potenciación presenta los siguientes casos particulares, cuyo análisis es de suma importancia:

Potencia de base 0 y base 1 Potencia de base 10 Potencias de igual exponente o igual base Potencia de potencia Cuadrado de la suma y de la diferencia Producto de la suma por la diferencia de dos números

Potencia de base 10

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades tiene el exponente.

Todo número natural puede descomponerse como suma de potencias de 10 multiplicadas por las cifras de ese número.

35

Potenciación y radicación

Radicación Cuando la raíz es de índice 2, se llama raíz cuadrada. En este caso se omite escribir el índice.

La radicación es la función inversa a la potenciación. La radicación entre un número natural a llamado radicando y otro número natural n llamado índice, es igual a un número b llamado raíz, que elevado a la potencia n da como resultado el número a.

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y se lee raíz n de a es igual a b.

A partir de la definición anterior podemos decir que la radicación de un número natural es una función que a algunos pares ordenados de números naturales le hace corresponder otro número natural llamado raíz. La radicación exacta sólo está definida para pares ordenados en los cuales:

Cuando no se cumple la condición anterior, la operación recibe el nombre de raíz entera. Las primeras raíces de un número son las siguientes: Raíz cuadrada y Raíz cúbica

37

Raiz entera La raíz entera de un número natural es igual al mayor número que, elevado a la enésima potencia, de como resultado un valor menor o igual al radicando. La diferencia entre el radicando y la enésima potencia de la raíz se llama resto.

Leyes de la radicación Ley uniforme La radicación de números naturales es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambos miembros de una igualdad se les extrae la raíz enésima se obtiene otra igualdad.

Ley cancelativa La ley cancelativa es la propiedad recíproca de la ley uniforme.

38

La radicación de números naturales es distributiva respecto de la multiplicación y a la división.

Factorización

8 • 3 = 24

factor factor Producto

Los términos de una multiplicación son: factores y producto.

El producto de una multiplicación puede obtenerse con diferentes pares

de factores:

8 x 3 = 24

6 x 4 = 24 1 • 24 = 24 Para cada número es posible determinar el conjunto de factores. Por ejemplo: Factores de 2 = {1, 2} Factores de 3 = {1, 3} Factores de 4 = {1, 2, 4}

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TAREA GRUPAL No.2: 1. Escribimos en notación exponencial los siguientes numerales: 34 678; 125 008; 390 465 250; 12 450,50; 2. Escribimos dos numerales en los que los valores de una cifra cambia en tres ocasiones. En el sistema de numeración cómo se llama al valor de una cifra cuando cambia? Cómo se llama al valor de una cifra que en el numeral permanece invariable? 3. Escribimos el numeral 15 en numeración binaria y transformamos el númeral binario1001000 en numeral decimal 4. Con los siguientes numerales aplicamos las propiedades de la adición: 236 450; 25 650; 0; 459; 358 098 5. En la recta numérica encuentramos la suma de: 30; 25; 55; 5 6. Con los siguientes numerales aplicamos las propiedades de la sustracción: 12 346; 3 897; 7. Escribimos 5 ejemplos en dodne se utilizan números ordinales 8. En la recta numérica encontramos la diferencia de: 60; 37; 9. Con los siguientes numerales aplicamos las propiedades de la multiplicación: 12 360; 689; 10. Encontramos el producto de 125 x 4 en la recta numérica. 11. Encontramos el cociente de 36 480 dividido para 48 12. Encontramos la potencia cuadrada de 138 y la cúbica de 36 13. Encontramos la raiz cuadrada de: 21 904 y de 123 468, 123 14. Factorizamos los siguientes números: 1500; 136 y 720 15. Aplicamos la propiedad distributiva de la raíz cuadrada con el número 3600

TAREA INDIVIDUAL No.2: Estas tareas individuales se encuentran anexan al módulo, puesto que varían de un curso a otro.

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UNIDAD No.3

DIVISIBILIDAD Y FRACCIONES. Objetivo de la unidad:

Analizar los criterios de la divisibilidad numérica, estudiar las fracciones y sus operaciones básicas para aplicarlas en la resolución de tareas instruccionales de dominio conceptual y procedimental.

Contenido de la unidad:

Divisibilidad

Criterios de divisibilidad

Números primos

Números compuestos

Máximo común divisor

Propiedades del mcd

Mínimo común múltiplo

Cálculo del mcm

Forma abreviada para factorizar.

Números decimales y sus operac iones

Representación de números decimales

Adición

Sustracción

Multiplicación

Multiplicación de dos decimales

Multiplicación de potencias de 10

División

Divisores decimales

División por potencias de 10

Fracciones

Fracciones propias

Fracciones aparentes

Fracciones imporpias

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Fracciones decimales

Operaciones con fracciones. Tareas de aprendizaje:

Grupal No.1

Individual, debe ubicársela en el anexo que acompaña al módulo Evaluación:

Cunmplir con la tarea grupal se valora sobre 2 puntos

Cumplir con la tarea individual se valora sobre 4 puntos

El uso de categorías conceptuales y argumentales en la socialización de la tarea grupal se valora sobre 4 puntos

Lectura de Reflexión:

Por medio de un conversatorio dialogar sobre: ¿cómo se produce el cambio en la persona y que implicaciones tiene aquello para la institución educativa en la que se labora?¿las instituciones educativas cambian cuando el maestro se transforma a sí mismo?¿Que debe hacer el educador para transformar su práctica educativa del aula?

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Desarrollo conceptual y operacioanal de la Unidad No3

DIVISIBILIDAD Ligada a las operaciones producto y cociente están las relaciones de divisibilidad. Un número A es múltiplo de otro B (o divisible por él), si A se puede dividir por B, de forma exacta; es decir, si existe un tercer número C que multiplicado por B da A. También se dice que B es un divisor o factor de A. Reglas de la divisibilidad Para saber si la división entre números naturales es exacta, no necesariamente habrá que resolverla. Se pueden aplicar determinadas reglas prácticas de divisibilidad para este propósito. - Divisibilidad por 2

Son divisibles por 2 todos los números cuyo último dígito es cero o par. Por ejemplo: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 - Divisibilidad por 3 Son divisibles por 3 todos los números cuya suma de sus dígitos es un múltiplo de 3 Por ejemplo: 360 = 3 + 6 + 0 = 9 Como 9 es múltiplo de 3, el número 360 es divisible por 3. Por el contrario: 148 = 1 + 4 + 8 = 13 Como 13 no es múltiplo de 3, 148 no es divisible por 3. - Divisibilidad por 6 Todos los números que son: divisibles por 2 y 3, también son divisibles por 6. Por ejemplo: 144 Es divisible por 2 porque el último dígito es par (4).

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Es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3: 1 + 4 + 4 = 9 9 es múltipo de 3 144 es divisible por 6, puesto que es divisible por 2 y 3 a la vez. - Divisibilidad por 4

Son divisibles por 4 todos'los números terminados en dos,;ceros o cuyos dos últimos dígitos, forman un número múltiplo de 4. Por ejemplo: 1.500 es divisible por 4 porque termina en dos ceros. 128 es divisible por 4 porque sus dos últimos dígitos (28) forman un número múltiplo de 4. - Divisibilidad por 5 Son divisibles por 5 todos los números cuyo último dígito es cero o cinco. Por ejemplo: 120 es divisible por 5 porque el último dígito es cero. 135 es divisible por 5 porque el último dígito es 5. -Divisibilidad por 9 Son divisibles por 9 todos los números cuya.suma de sus dígitos es un múltiplo de 9 Por ejemplo: 567 es divisible por 9 ya que 5 + 6 + 7 = 18 y 18 es múltiplo de 9 -Divisibilidad por 10 Son divisibles por 10 todos los números terminados en cero. Por ejemplo: 20, 30, 100, 1.300, son divisibles por 10 ya que terminan en cero. Números primos Desde muy antiguo los números primos han sido objeto de interés y estudio. Ya en la antigua Grecia se hicieron numerosos estudios sobre ellos. Los pitagóricos tuvieron gran interés por estos números pues pensaban que los números gobernaban el mundo y tenían propiedades místicas y "mágicas"; y los números primos, por su naturaleza indivisible, presentan todas las características para ser "adorados" por los discípulos de Pitágoras.

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En el libro "Los Elementos" de Euclides (300a.C.), uno de los tratados más importantes de la historia de las matemáticas, aparecen ya estudios sobre los números primos. El propio Euclides en su libro enuncia un teorema importante sobre números primos: Teorema: Hay infinitos números primos. Se puede consultar la prueba que hace Euclides de este teorema. Se trata de la primera prueba conocida mediante el método de reducción al absurdo. Este método consiste en suponer cierto lo contrario de lo que se quiere probar, para llegar a una contradicción, demostrando así la falsedad de la suposición hecha. La factorización consiste en descomponer un número natural cualquiera en producto de números primos. La descomposición de los números en sus factores primos facilita la determinación de su m.c.d. y m.c.m. Para calcular el m.c.d. se toman los factores comunes con el menor exponente y se multiplican. Para calcular el m.c.m. se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican. Por ejemplo, para calcular el m.c.d y el m.c.m de los números 18, 27 y 30:

Los divisores o factores de un número son los números por los que aquél es divisible. Cualquier número natural admite como factores el 1 y el propio número. Si admite más factores, el número se dice compuesto. En caso contrario es primo. Ejemplos: 5 = {1, 5} 7 = {1, 7} Divisores de 3= {1, 3} => 3 es primo D(7)={1, 7} => 7 es primo

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D(9)={1, 3, 9} => 9 no es primo, es divisible por 3 además de 1 y 9 Uno de los primeros métodos que se conocieron para determinar números primos es un procedimiento heurístico debido a otro importante matemático griego llamado ERATÓSTENES. La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número. Para obtener los 150 primeros números primos, a partir del 2 se van marcando todos los números saltando de 2 en 2. A continuación, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, y así sucesivamente. Los números que quedan son los números primos. Tabla de números primos menores de 300

2 3 5 7 11 13

17 19 23 29 31 37

41 43 47 53 59 61

67 71 73 79 83 89

97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151

157 163 167 181 191 193

197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263

269 271 277 281 283 293

Números compuestos Es aquel que tiene más de dos factores. Por ejemplo, el 12 es compuesto, porque se puede descomponer en más de dos factores. 12 = 1 • 12 12 = 4 • 3 12 = 6 • 2

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Todo número compuesto se puede expresar como el producto de números primos: 21 = 7 • 3 En este caso el 7 y el 3 son factores primos. Un número natural se ha factorizado en forma completa cuando está ex presado como producto de números primos. Máximo común divisor El máximo común divisor (m.c.d). de varios números es el mayor divisor común a todos ellos. El mínimo común múltiplo (m.c.m). es el menor múltiplo común a todos ellos. En la página web hay un procedimiento de generación automatizada del máximo común divisor de dos números: http://school.discovery.com/homeworkhelp/webmath/intgcf.html Se puede demostrar que el producto del m.c.d de dos números y del m.c.m de dichos números es igual al producto de los dos números. De forma que el procedimiento anterior nos permite calcular con facilidad también el m.c.m. Propiedades del mcd El máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente. Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0). En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números. Cálculo del mcd. Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son: Se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el m.c.d. Si el número es muy grande este método no es operativo porque no conocemos los posibles factores. En ese caso tenemos que utilizar el mucho más rápido algoritmo de Euclides. El m.c.d. de tres números se puede calcular como sigue: mcd(a,b,c) = mcd(a, mcd(b,c)).

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Ejemplos: mcd(48, 60). Podemos comprobar que los divisores de 48 y 60 son: 48 = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}; 60 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} por lo que el máximo común divisor de ambos es 12. Véamoslo utilizando los dos métodos descritos anteriormente: De las factorizaciones de 48 y 60, (48 = 2

4.3 y 60=2

2.3.5) podemos inferir que

su m.c.d. es 22.3 = 12 o comúnmente expresado como mcd(60,48)=12.

Como puede verse hemos necesitado calcular los factorización de 48 y 60 en factores primos (En torno a 10 divisiones siendo los factores sencillos). Si en cambio utilizamos el algoritmo de Euclides: Calculamos el resto de dividir 60 por 48, 12 (En este caso es igual a restar 48 a 60). Calculamos el resto de dividir 48 por 12: 0. Por tanto, el mcd de 48 y 60 es 12. Como puede verse utilizando el algoritmo de Euclides hemos necesitado: Una resta Una división Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo («m.c.m.» o «mcm») de dos o más números naturales es el menor número natural (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Por ejemplo, de las factorizaciones de 6936 y 1200, 6936 = 2

3 · 3 · 17

2

1200 = 24 · 3 · 5

2

podemos inferir que su m.c.m. es 24 · 3 · 5

2 · 17

2 = 346 800.

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

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El m.c.m. se emplea para sumar o restar fracciones de distinto denominador, por ejemplo,

Cálculo del m.c.m. Descomponer los números en factores primos. Para cada factor común, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente. Multiplicar todos los factores elegidos. Forma abreviada para factorizar

Dividir el número por el menor número primo por el cual sea divisible y así sucesivamente cada cuociente se va dividiendo por un número primo hasta obtener cuociente 1. Los factores son todos los números primos usados como divisores. 1 Ejemplos: Factorizar 48: 48: 2 24: 2 12: 2 6: 2 3: 3 1 Luego, 48 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 = 2

4 • 3

Factorizar 136

49

136: 2 68: 2 34: 2 17: 17 1 Luego, 136 = 2 • 2 • 2 • 17 = 2

3 • 17

Los números decimales y sus operaciones

En el estudio de la adición de números enteros se estableció que las unidades deben sumarse a las unidades, las decenas a las decenas, las centenas a las centenas, etcétera. Por conveniencia, al sumar varios números las unidades se escribieron debajo de las unidades, las decenas debajo de las decenas, y así por el estilo. La adición de decimales se realiza en la misma forma.

Para sumar o restar números decimales, podemos hacerlo en forma de fracción y en forma decimal. Para sumar o restar en forma decimal se colocan los números de modo que las comas estén encolumnadas. Luego se suman o restan como si fueran números naturales, poniendo la coma en el resultado en su columna correspondiente. Para multiplicar dos números decimales, se realiza la multiplicación de ambos como si fueran números naturales. Luego se coloca la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales tengan en conjunto los dos factores.

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Las divisiones en las que participan números decimales pueden ser de varios tipos. Cada uno de estos casos se resuelve de forma diferente: Los números fraccionarios decimales pueden expresarse en otra forma llamada número decimal. A su vez, los números decimales podrán también expresarse como fracciones. Las fracciones impropias están formadas por una parte entera y una parte fraccionaria. En cambio, las fracciones propias sólo tendrán parte fraccionaria ya que su parte entera es igual a cero

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Representación de números decimales

Los números decimales los podemos representar en la recta real de la siguiente manera:

El punto rojo representa el número 3,85...

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Adición

Al sumar decimales los décimos se escriben debajo de los décimos, los centésimos debajo de los centésimos, etcétera. Cuando se hace esto las comas decimales quedan alineadas en una recta. La adición es la misma que la suma de números enteros. Consideremos el siguiente ejemplo:

Sumando la primera columna de la derecha da 17 centésimos o 1 décimo y 7 centésimos. Como con los números enteros, escribimos el 7 debajo de la columna de los centésimos y sumamos 1 décimo en la columna de los décimos - es decir, la columna del siguiente orden superior. La suma de la columna de los décimos es 15 décimos o 1 unidad y 5 décimos. El 5 se escribe debajo de la columna de los décimos y el 1 se suma a la columna de las unidades.

Es evidente que si las comas decimales están en una línea recta - vale expresar, si el valor de la posición se mantiene en las columnas apropiadas -la adición con decimales puede cumplirse en la forma ordinaria de la adición de números enteros. Deberá notarse también que la coma decimal de la suma cae directamente debajo de la coma decimal de los sumandos.

Sustracción

De la misma manera la sustracción de decimales no implica nuevos principios. Advierta que el valor de la posición del sustraendo en el siguiente ejemplo está fijado directamente bajo el valor de la posición correspondiente al minuendo. Observe también que esto hace que la coma decimal quede alineada y que los números de la diferencia (respuesta) queden asimismo alineados correctamente.

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Restamos columna por columna, como en los números enteros, comenzando desde la derecha.

Práctica de problemas:

Sumar o restar conforme se ha indicado.

Multiplicación

La multiplicación de un decimal por un número entero puede explicarse expresando el decimal como una fracción.

EJEMPLO: Multiplicar 6,12 por 4.

Cuando realizamos una multiplicación manteniendo la forma decimal tenemos

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Por sentido común es evidente que el número entero 4 por el número 6 con alguna fracción conducirá a un número en la cercanía de 24. Por tanto, la colocación de la coma decimal es razonable.

Un examen de varios ejemplos nos revela que el producto de un decimal y un número entero posee tantos lugares decimales como decimales contiene el factor. Si hay ceros al final del decimal éstos deben tacharse.

Multiplicación de dos decimales

A fin de ilustrar la regla para la multiplicación de dos decimales entre sí, multiplicamos el decimal en la forma fraccional primero y luego en la forma convencional, como en el siguiente ejemplo:

0,4 x 0,37

Escribiendo estos decimales como fracciones comunes tenemos

En forma decimal el problema es

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la ubicación de la coma decimal es razonable, puesto que 4 décimos por 37 centésimos resulta algo menos que la mitad de 37 centésimos, o alrededor de 15 centésimos.

Consideremos el siguiente ejemplo:

4,316 x 3,4

En la forma de fracción común tenemos

Notamos que 4 y una fracción por 3 y una fracción nos lleva a un producto en la cercanía de 12. Por consiguiente, la coma decimal está en el lugar lógico.

En los ejemplos anteriores se habrá advertido en cada caso que cuando multiplicamos los decimales entre sí multiplicamos los numeradores. Cuando colocarnos la coma decimal sumando el número de lugares decimales del

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multiplicador y del multiplicando, estamos en efecto multiplicando los denominadores.

Cuando los números multiplicados entre sí se piensan como los numeradores, las comas decimales pueden ser temporariamente olvidadas y los números considerarse como enteros. Esto justifica el aparente olvido para el valor posicional en la multiplicación de los decimales. Vemos que la regla para multiplicar decimales es sólo una modificación de la regla para multiplicar fracciones.

Los números en los cuales uno o más de los factores contienen un decimal se multiplican como si fueran números enteros. Se separan tantos lugares decimales en el producto como lugares decimales haya en los dos factores juntos.

Práctica de problemas:

Multiplicar como se indica:

Multiplicación por potencias de 10

La multiplicación por una potencia de 10 (10, 100, 1.000, etcétera) se hace en forma mecánica, moviendo simplemente la coma decimal a la derecha tantos lugares como ceros haya en el multiplicador. Por ejemplo, 0,00687 se

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multiplica por 1.000 moviendo la coma decimal tres lugares a la derecha, como ligue: 1.000 x 0,00687 = 6,87

La multiplicación por un número como 0,1, 0,01, 0,001, etcétera, se hace de manera mecánica moviendo simplemente el punto decimal a la izquierda tantos lugares como lugares decimales haya en el multiplicador. Por ejemplo, 348,2 se multiplica por 0,001 moviendo la coma decimal tres lugares a la izquierda, como sigue:

348,2 x 0,001 = 0,3482

División

Cuando el dividendo es un número entero el problema de la división se efectúa como el de convertir una fracción común a un decimal. Así, en el ejemplo 5 : 8 el problema podrá escribirse:

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Este mismo problema puede resolverse por el método siguiente, más directo:

Puesto que no todos los decimales producidos por una división terminan tan pronto como en el ejemplo anterior, cuando los hay debería determinarse previamente cuántos lugares decimales se desea transportar al cociente. Si se ha decidido terminar un cociente en el tercer lugar decimal la división deberá efectuarse hasta el cuarto lugar, de modo de poder redondear correctamente en el tercer lugar.

Cuando el dividendo contiene un decimal se aplica el mismo procedimiento que en el caso en que el dividendo es entero. Observe los siguientes ejemplos (redondeados al tercer lugar decimal):

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Advierta en cada caso (incluyendo el caso en que el dividendo es entero) que el cociente contiene el mismo número de lugares decimales que el número usado en el dividendo. Note también que los valores de la posición son inamovibles; es decir, los décimos en el cociente son los décimos que aparecen en el dividendo, los centésimos sobre los centésimos, etcétera.

Práctica de problemas:

En los siguientes problemas de división, redondear cada cociente a tres lugares decimales,

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Divisores decimales

En los ejemplos anteriores en todos los casos el divisor era un entero. La división con divisores decimales puede realizarse transformando el divisor y el dividendo de modo tal que el divisor sea un número entero.

Teniendo en cuenta que toda expresión de división puede escribirse en forma fraccionaría, empleamos la regla fundamental de las fracciones como sigue: Volvemos a escribir el problema de división como una fracción. Multiplicamos el numerador (dividendo) y el denominador (divisor) por 10, 100 o alguna potencia mayor que 10; la potencia de 10 debe ser lo bastante grande para transformar el divisor en un número entero. Esta regla se ilustra como sigue:

Entonces, 2,568 dividido por 0,24 es lo mismo que 256,8 dividido por 24.

Desde el punto de vista mecánico la regla anterior tiene el efecto de mover la coma decimal a la derecha tantos lugares como sea necesario para transformar el dividendo en un entero. Por tanto, la regla se establece a veces como sigue: Cuando el divisor es un decimal, transformarlo en número entero moviendo la coma decimal a la derecha, Equilibrar el cambio en el divisor moviendo la coma decimal en el dividendo un número igual de lugares a la derecha.

El siguiente ejemplo ilustra esta versión de la regla:

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La V invertida se emplea como una marca para indicar la nueva posición de la coma decimal. Observe que la coma decimal se coloca en el cociente inmediatamente por encima de la marca en el dividendo. El alineamiento del digito del primer cociente inmediatamente por encima del 1 en el dividendo y el segundo dígito del cociente encima del 9 asegura que estos dígitos están colocados en forma apropiada con respecto a la coma decimal.

Práctica de problemas:

En los siguientes problemas de división, redondear cada cociente a tres lugares decimales:

División por potencias de 10

La división de cualquier número por 10, 100, 1000, etcétera, es en realidad un ejercicio de correr la coma decimal de una fracción decimal. Así, 5.031 : 100 puede pensarse como la fracción decimal 5031/100; para eliminar el denominador simplemente contamos dos lugares a la derecha. Entonces,

Los tres ejemplos que siguen sirven para una mayor ilustración de este procedimiento:

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Si el dividendo ya contiene una parte decimal se comienza contando por el primer número a la izquierda de la coma decimal. Así, 243,6 : 100 = 2,436. Cuando no se indica la coma decimal en un número siempre se considera que está a la derecha del dígito del extremo derecho.

Dividir por 0,1 ; 0,01 ; 0,001 , etcétera, también puede realizarse por una sencilla regla mecánica. Simplemente comenzamos por la posición de la coma decimal del dividendo y descontamos tantos lugares a la derecha como lugares haya en el divisor. La coma decimal se coloca luego a la derecha del último dígito contado. Si no hay dígitos suficientes se deben agregar ceros.

La regla anterior se basa en que 0,1 es realmente 1/10, 0,01 es 1/100, 0,001 es 1/1000, etcétera. Por ejemplo,

Note que dividir por 0,1 es lo mismo que multiplicar por 10.

Asimismo,

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Práctica de problemas:

Dividir por reubicación de la coma decimal.

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FRACCIONES: Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y el denominador.

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Operaciones con fracciones

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Paso de fracción a decimal

Para pasar de fracción a decimal basta con hacer la división del numerador entre el denominador. Pueden darse los siguientes casos, según sea la expresión decimal resultante:

Expresión decimal exacta: Si tiene un número finito de decimales.

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Por ejemplo: .

Expresión decimal periódica pura: Si tiene un número infinito de decimales que se repiten. La parte que se repite se llama periodo.

Por ejemplo: . El periodo es 54.

Expresión decimal periódica mixta: Si tiene un número infinito de decimales que se repiten a partir de una cierta posición decimal. La parte que se repite se llama periodo y la parte decimal previa al periodo se llama anteperiodo.

Por ejemplo: . El periodo es 6 y el anteperiodo 2.

TAREA GRUPAL No.3: 1. Encontramos los divisores de los siguientes números: 34 678; 125 008; 390 465 250; 12 450,50; 2. Identificamos números primos y compuestos de los siguientes números propuestos: 97 101 313 817 1122 3. Encontramos el m.c.d de los siguientes números: 1980 600 5040 4. Encontamos el m.c.m de los siguientes números 500

68

420 880 5. Factorizamos los siguientes números: 328 472 325 6. Encontramos la suma de los siguientes números decimales: 327,09 416,795 5 472,85 7. Graficamos los siguientes números decimales: 132,64 68,97 8. Encontramos la suma de los siguientes números decimales: 60,024 37,908 1 048,6 9729,68 9. Resolvemos la siguiente resta de números decimales: 12 360,233 689,798 10. Encontramos el producto de la multiplicación de: 1 092,08 X 68,7 11. encontramos el producto de la multiplicación de: 9 0874 X 0,96 12. Resolvemos la multiplicación de:

53 1010 x

13. Encontramos la potencia cuadrada de.

424

14. Resolvemos la siguiente división de potencias: 35 48 =

15. Um peón gasta 2

1 de su dinero; luego,

3

1 del mismo; le quedan por fin, 100

dólares ¿Cuánto tenía?

16. Luis há heredado 140 000 dólares y éstos representan los 8

5 de fortuna de sus

padres. ¿A cuánto ascendió ésta?

69

17. ¿Cuál es el número que vale los 4

3 de

6

7?

18. Um niño compra um balón de futbol en 25 dólares y paga al contado los 5

3 del

mismo ¿cuánto pagó?

TAREA INDIVIDUAL No.3: Estas tareas individuales se encuentran anexas al módulo, puesto que varían de un curso a otro.

A través de un conversatorio reflexionar: ¿Qué debe cambiar el maestro en su práctica de enseñanza de la matemática en el aula?¿pensar sobre la práctica de la enseñanza en qué medida cambia el pensar de los maestros y de la institución escolar?

Sólo el ser humano tiene la capacidad de reflexionar sobre su pensar y actuar y sobre esa

base cambiar la realidad

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UNIDAD 4

PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJE. Objetivo de la unidad:

Conocer los principios de la proporcionbalidad, estudiar los porcientos y sus operaciones básicas para aplicarlas en la resolución de tareas instruccionales de dominio conceptual y procedimental.

Contenido de la unidad:

Razón

Multiplicación cruzada de resolver las proporciones

La proporcionalidad

Proporción múltiple

Magnitudes directamente proporcionales

Magnitudes inversamente proporcionales

Regla de tres simple

Porcentaje

Tanto por mil

Partes por millón

Cálculo del tanto por ciento de una cantidad

Aumentos y disminuciones porcentuales

Obtención de porcentaje correspondiente a una proporción

Cálculo de la cantidad inicial conociendo la valoración porcentual y la cantidad final

Tareas de aprendizaje:

Grupal No.4

Individual, debe ubicársela en el anexo que acompaña al módulo Evaluación:

Cunmplir con la tarea grupal se valora sobre 2 puntos

Cumplir con la tarea individual se valora sobre 4 puntos

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El uso de categorías conceptuales y argumentales en la socialización de la tarea grupal se valora sobre 4 puntos

Lectura de Reflexión:

A través de un conversatorio analizar ¿Qué es el desarrollo afectivo?¿Cómo trabaja el profesor en el aula el desarrollo actitudinal y social de los alumnos?¿Que debe hacer el profesor para lograr que los niños sean abiertos a nuevas ideas y contribuyan al desarrollo de su comunidad?

El desarrollo de la mentalidad de nuestros estudiantes, debe ir unida a su desarrollo afectivo, actitudinal y social, abiertos a aportar sus mejores capacidades para

contribuir al desarrollo de su comunidad

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Desarrollo conceptual y operacioanal de la Unidad No.4

Razón: Se llama razón de un número de la forma b

a; que se lee a es b y que

significa que al número a le corresponde el número b Veamos el siguiente ejemplo: En un aula, por cada 4 alumnos hay 7 alumnas. Si el número de alumnos es 16 ¿Cuántas alumnas tiene el aula?

La razón es 7

4, se lee 4 es a 7 y entonces

28

16

21

12

14

8

7

4 por tanto hay

28 alumnas. Las rezones muestran como un número se relaciona con otro número. Una razón se puede escribir como A : B o A / B o por medio de la frase "A to B". Una razón de 1:5 indica que el segundo número es cinco veces más grande que el primero. Los pasos siguientes permitirán determinar un número cuando se conoce un número y la razón entre los números. Ejemplo: Determna la razón entre 24 y 40. Los pasos siguientes permitirán determinar una razón si se conocen los dos números. Divide ambos términos de la razón por el Máximo Común Divisor (24/8 = 3, 40/8=5) Enuncia la razón. (La razón entre 24 y 40 es 3:5) Ejemplo: Determina el valor de B si A=6 y la razón de A : B = 2:5. Determina cuantas veces el número A es divisible por la correspondiente porción de la razón. (672=3) Multiplica este número por la porción de la razón que representa a B (3*5=15) Por lo tanto si la razón de A : B es 2:5 y A=6 entonces B=15 Multiplicación cruzada para resolver las proporciones Una proporción es una ecuación que define que dos razones son iguales.

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Cuando los términos de una proporción se multiplican cruzados, los productos cruzados son iguales. La multiplicación cruzada es la multiplicación del numerador de la primera razón por el denominador de la segundo razón y la multiplicación del denominador de la primera razón por el numerador de la segunda razón. 21 3 -- = -- 70 10 21 * 10 = 70 * 3 210 = 210 Si un término de una proporción es desconocido, se puede utilizar la multiplicación cruzada para averiguar el valor de ese término. x 3 -- = -- 70 10 x * 10 = 70 * 3 10x = 210 10x 210 --- = --- 10 10 x = 21 La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común.La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades.

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Primer ejemplo: La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo por cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 de mantequilla y 150 de azúcar tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta. Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad:

Más generalmente, se dice que los números (en el ejemplo, la

segunda línea de la tabla) son proporcionales a si existe un

coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que

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Si se consideran e como valores de variables e , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x. La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):

Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente. La relación «Ser proporcional a» es reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1); simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes), por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí). La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Una proporción está formada por dos razones iguales: a : b = c : d

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Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d . Proporción múltiple: Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales: a : b = c : d = e : f Y se puede expresar como una proporción múltiple: a : c : e = b : d : f En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Para establecer que una tabla es proporcional, se puede: verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la

primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por ; en la segunda línea se

tiene que multiplicar por , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales) verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme interés en este contexto). Segundo ejemplo: Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas? Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes. Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de

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trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.

Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ? El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será

multiplicada por . Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por

(la subtabla azul es proporcional).

El resultado final es

metros cuadrados.

La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:

Tercer ejemplo: Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar? Entre mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje se dividira por dos. Aquí,

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claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite responder a la pregunta:

cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad (segunda tabla). El tiempo

será , es decir una hora y 45 minutos. Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra

variable x, se puede aplicar la proporcionalidad con , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:

Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido. Una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algun objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ej: número de canicas precio 2 canicas 50 centavos 4 canicas 1 peso 6 canicas 1,50 pesos

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Magnitudes Directamente Proporcionales: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: Al aumentar una al doble, triple..., la otra aumenta de la misma manera. Al disminuir una a la mitad, un tercio..., la otra disminuye de la misma manera. Sean A y B dos magnitudes con los valores:

Magnitud A a1 a2 a3 ... m

Magnitud B b1 b2 b3 ... n

Si al formar razones con los valores de ambas magnitudes, la constante de proporcionalidad es siempre la misma:

kn

m

b

a

b

a

b

a .....

3

3

2

2

1

1 las magnitudes A y B son directamente

proporcionales. Al número k se le llama constante de proporcionalidad directa. Ejemplo: Un automovil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿cuántos kilometros recorre con 20 galones? Observamos que las magnitudes son directamente proporcionales. Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante. con los datos de la tabla, hallamos la razón elaborando una tabla de proporcionalidad: Gasolina 3 1 10 20 (galones) Recorrido 120 40 400 800 (kilometros) Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilometros: Mientras más kilometros se recorran, más galones de gasolina de consumiran. El número de kilometros recorridos es directamente proporcional al número de galones de gasolina.

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Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividir uno de los valores de una magnitud por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud queda dividido o multiplicado por el mismo número respectivamente. Ejemplo de proporcionalidad inversa El tiempo que tarda un tren en recorrer una cierta distancia es inversamente proporcional a su velocidad. Sean A y B dos magnitudes con los valores:

Magnitud A a1 a2 a3 ... m

Magnitud B b1 b2 b3 ... n

Si al formar las razones de las proporciones se cumple que:

mxnxbaxbaxbab

b

a

a

b

b

a

a ...332211?

2

3

3

2

1

2

2

1 las

magnitudes A y B son inversamente proporcionales Los problemas en los que intervienen magnitudes inversamente proporcionales se suelen resolver mediante reglas de tres inversas. A menudo encontramos casos en que dos conjuntos se relacionan de las siguientes formas:

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Regla de tres simple Se llama razón al cociente entre dos números y se llama proporción a la igualdad de dos razones.

Los problemas en los que los elementos mantienen una relación proporcional directa o inversa se resuelven mediante la regla de tres simple.

PORCENTAJE En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %. El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba "P cento" (c. 1425).

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El porcentaje es un tanto por ciento (cien unidades), por lo que se concluye que es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte del cien. Definición de porcentaje Las fracciones con denominador igual a 100 se llaman tanto por ciento o, simplemente, porcentajes. Por ejemplo:

Leemos: 30 por ciento; 28 por ciento; 70 por ciento; y 12 por ciento. Confusión en los uso de los porcentajes. Surgen muchas interrogaciones en el uso de los porcentajes debido a un uso inconsistente o a un malentendimiento de la aritmética elemental. Cambios Debido a un uso inconsistente, no siempre está claro con qué se compara un porcentaje. Cuando se habla de una subida o caída del 10% de una cantidad, la interpretación usual es que este cambio es relativo al valor inicial de la cantidad: por ejemplo, una subida del 10% sobre un producto que cuesta 100$ es una subida de 10$, con lo que el nuevo precio pasa a ser 110$. Para muchos, cualquier otra interpretación es incorrecta. En el caso de los tipos de interés, sin embargo, es práctica común utilizar los porcentajes de otra manera: supongamos que el tipo de interés inicial es del 10%, y que en un momento dado sube al 20%. Esto se puede expresar como una subida del 100% si se calcula el aumento con respecto del valor inicial del tipo de interés. Sin embargo, mucha gente dice en la práctica que "los tipos de interés han subido un 10%", refiriéndose a que ha subido en un 10% sobre el 100% adicional al 10% inicial (20% en total), aunque en la expresión usual de los porcentajes debería querer decir una subida del 10% sobre el 10% inicial (es decir, un total del 11%).

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Para evitar esta confusión, se suele emplear la expresión "punto porcentual". Así, en el ejemplo anterior, "los tipos de interés han subido en 10 puntos porcentuales" no daría lugar a confusión, sino que todos entenderían que los tipos están actualmente en el 20%. También se emplea la expresión "punto base", que significa la centésima parte de un punto porcentual (es decir, una parte entre diez mil). Así, los tipos de interés han subido en 1000 puntos base. Cancelaciones Un error común en el uso de porcentajes es imaginar que una subida de un determinado porcentaje se cancela con una caída del mismo porcentaje. Una subida del 50% sobre 100 es 100 + 50, o 150, pero una reducción del 50% sobre 150 es 150 - 75, o 75. En general, el efecto final de un aumento seguido de una reducción proporcionalmente igual es: (1 + x)(1 - x) = 1 - x² es decir, una reducción proporcional al cuadrado del cambio porcentual. Los que tenían acciones punto com en el momento de la crisis acabaron comprendiendo que, aunque una acción haya caído un 99%, puede volver a caer otro 99%. Además, si sube por un porcentaje muy grande, seguirá perdiéndolo todo si un día la acción reduce su valor en un 100%, porque entonces no valdrá nada. El proceso es dividir la cantidad entre 100 y luego multiplicar por lo indicado ejemplo: 30% de 30= 90 entre 100=.9 por 30= 27 Encontrar el porcentaje de un número Para determinar el porcentaje de un número sigue los siguientes pasos: Multiplica el número por el porcentaje (ej. 87 * 68 = 5916) Divide el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la izquierda) (ej. 5916/100=59.16) Redondea a la precisión deseada (ej. 59.16 redondeado al número entero más próximo=59) Determinar un porcentaje Ejemplo: ¿68 que porcentaje es de 87? Divide el primer número por el Segundo (ej. 68 ÷ 87 = 0.7816)

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Multiplica el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha) (ej. 0.7816 *100 = 78.16) Redondea con la precisión deseada (ej. 78.16 redondeado al número entero más proximo = 78) Termina tu respuesta con el signo % ej. 68 es el 78% de 87) Convertir una fracción a un porcentaje Sigue los siguientes pasos para convertir una fracción a un porcentaje. Por ejemplo: Convierte 4/5 a un porcentaje. Divide el numerador de la fracción por el denominador ( ej. 4 ÷ 5 = 0.80) Multiplica por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha) (ej. 0.80*100=80) Redondea el resultado a la precisión deseada. Termina tu respuesta con el signo % (ej. 80%) Convertir un porcentaje a una fracción Sigue los siguientes pasos para convertir un porcentaje a una fracción: Por ejemplo: Convierte 83% a una fracción. Elimina el signo porcentual Haz una fracción con el porcentaje como el numerador y 100 como el denominador (ej. 83/100). De ser necesario reduce la fracción Convertir un decimal a un porcentaje Sigue los siguientes pasos para convertir un decimal a un porcentaje: Por ejemplo: Convierte 0.83 a un porcentaje. Multiplica el decimal por 100 (ej. 0.83 * 100 = 83) Agrega el signo porcentual a tu respuesta (ej. 83%) Convertir un porcentaje a un decimal Como convertir un porcentaje a un decimal: Por ejemplo: Convierte 83% a un decimal. Divide el porcentaje por 100 (ej. 83 ÷ 100 = 0.83)

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Comisiones sobre las ventas Las comisiones sobre las ventas se pagan a los empleados o empresas que venden mercaderías en negocios o llamando a los clientes. El objetivo de la comisión es motivar a los agentes de ventas a vender más. Una comisión se puede pagar además del sueldo o en lugar del sueldo. Un mercado donde habitualmente se pagan comisiones es el Mercado de los Bienes Raíces. Generalemente una comisión es un porcentaje sobre el precio de venta de un producto. Por ejemplo, si un vendedor recibe un 10% de comisión sobre sus ventas y vende $1500 de mercancías, ganarían una comisión de $150. Descuento de precios A menudo los negocios venden productos a un precio de descuento. El negocio hará un descuento en un producto utilizando un porcentaje del precio original. Por ejemplo, un producto que originalmente cuesta $20 podría tener un 25% de descuento. Para averiguar la cantidad del descuento calcula el 25% de $20. ($20.00*25/100=$5.00) Resta el descuento del precio original para averiguar el precio de venta. (precio de venta $20.00-$5.00=$15.00). Estos son algunos términos que puedes ver para productos descontados: 50% menos Ahorre 50% Descontado en 50% Interés simple Cuando se toma dinero prestado, se le carga un interés por el uso de ese dinero por un cierto período de tiempo. Cuando se devuelve el dinero, se pagan, el capital (cantidad de dinero que fue tomada en préstamo) y el interés. La formula para averiguar el interés simple es: Interés = Capital*tasa*tiempo. Si se tomaron prestados $100 por 2 años a una tasa de interés del 10% el interés sería $100*10/100*2 = $20. La cantidad total a pagar sería $100+$20=$120.

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Generalmente se cobra un interés simple cuando se toma dinero prestado por cortos períodos de tiempo. El interés compuesto es similar pero al calcular la cantidad total a pagar al final de cada período el interés a cobrar será sobre el capital inicial y sobre el interés ganado durante ese período. Tanto por mil En matemáticas, la expresión de un número por mil es una manera de expresarlo como una fracción de 1.000, o como la décima parte de un porcentaje. Se escribe con el signo ‰ (Unicode U+2030), símbolo similar al signo del porcentaje (%) con un 0 al final. Un 1 por mil se define como:

1‰ = 10−3

= = 0.001 = 0.1% Ejemplos donde el uso de números expresados al por mil es común: Tasas de natalidad y de mortalidad. Si en el año x la tasa de natalidad fue del 12‰, significa que del 1 de enero del año x al 1 de enero del año x+1 por cada mil habitantes nacieron 12 niños. Salinidad marina. Por ejemplo, "la salinidad media es del 35‰". Contenido de alcohol en sangre Partes por millón Partes por millón (abreviado como ppm) es la unidad empleada usualmente para valorar la presencia de elementos en pequeñas cantidades (traza) en una mezcla. Generalmente suele referirse a porcentajes en peso en el caso de sólidos y en volumen en el caso de gases. También se puede definir como «la cantidad de materia contenida en una parte sobre un total de un millón de partes». Ejemplo: Supongamos que tenemos un cubo homogéneo de un metro de arista, cuyo volumen es un metro cúbico (m

3). Si lo dividimos en «cubitos» de un

centímetro de lado, obtendríamos un millón de «cubitos» de un centímetro cúbico (cm

3 o cc). Si tomamos uno de esos «cubitos», del millón total de

«cubitos», tendríamos una parte por millón.

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Técnicamente, 1 ppm corresponde a 1 µg/g, 1 mg/kg ó (para el agua) 1 mg/l. (Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Partes_por_mill%C3%B3n")

Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma decimal (dividiéndolo por 100) y se multiplica por la cantidad.

Aumentos y disminuciones porcentuales Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad y una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad. El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.

En aumentos porcentuales del n%, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.

En una disminución porcentual del n%, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal.

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Obtención del porcentaje correspondiente a una proporción Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, , repecto a un

total, , se efectúa la siguiente operación:

Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final La cantidad inicial se calcula dividiendo la cantidad final por el índice de variación.

TAREA GRUPAL No.4: 1. Dividimos un segmento de 51 mm en dos partes que sean proporcionales a dos segmentos de 5 y 12 mm. Démos las medidas de cada parte. 2. Tenemos 68 000 euros. Coloco una parte a al 5,5 por ciento y el resto al 5 por ciento. Hallar las dos partes, sabiendo que la suma de los intereses anuales es 3 525 euros. 3. ¿Cuánto debemos recibir de 9 300 dólares pagaderos a 2 meses y descontado el 4 por ciento? 4. Calculamos los siguientes porcentajes en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

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a) 10% de 43; b) 60% de 200; c) 50% de 40; d) 5% de 1000; e) 25% de 400. 5. Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total? 6. En un grupo de 3ºESO de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados? ¿Y los suspensos? 7. Calculamos los siguientes aumentos porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena. a) En un instituto hay un 12% más de alumnas que de alumnos. ¿Cuántas alumnas hay sabiendo que hay 150 alumnos? b) El precio de una bicicleta que costaba 400 € el año pasado, ha subido un 20%.¿Cuál es el precio actual? c) Actualmente me dan 15 € mensuales de paga, pero he convencido a mis padres para que me suban el 15%. ¿Cuál será mi paga a partir de ahora? d) ¿Cuánto hay que pagar por un disco de 15 € si hay que sumarle el 16% de IVA? e) La factura de teléfono de este mes es de 45 € sin IVA. ¿Cuanto será al añadirle el 16% de IVA? f) ¿Cuánto nos costará dormir una noche en un hotel sabiendo que la habitación vale 70 € sin IVA y el IVA es del 7%? 8. Calculamos las siguientes disminuciones porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena. a) Un ordenador cuesta este año 850 €. ¿Cuánto costará el año que viene sabiendo que perderá el 40% de su valor? b) Mis padres me han dado 40 € por mi cumpleaños. ¿Cuánto me quedará al final del día si me gasto el 80% de lo que me han dado? c) Un trabajador tiene un salario bruto de 980 € al mes, del que le descuentan un 12% en impuestos. ¿Qué salario neto percibe? d) En una tienda hacen una rebaja del 20% a todos los artículos. ¿Cuanto costará ahora una camisa que antes costaba 35 €? ¿Y un pantalón de 40 €? e) Tengo 52 € y me quiero comprar un MP3 que costaba antes de las rebajas 60 €. ¿Podré pagarlo si lo rebajan un 15%? f) Quiero comprarme unas zapatillas de deporte. En una tienda veo dos que me gustan; las primeras tienen un precio de 45 € y una rebaja del 30% y las segundas cuestan 35 € pero no tienen rebaja. ¿Cuáles salen más baratas? 9. El precio de una moto es de 2800 €. ¿Cuál era el precio de fábrica antes de aplicarle el 16 % de aumento por el IVA? 10. En las rebajas has comprado unas zapatillas de 90 €, con un descuento del 28 %. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

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TAREA INDIVIDUAL No.4: Estas tareas individuales se encuentran anexas al módulo, puesto que varían de un curso a otro. BIBLIOGRAFÍA DEL WEB: http://www.escolar.com/matem/24binar.htm http://www.escolar.com/matem/16regladetres.htm http://www.escolar.com/matem/15proporcio.htm http://www.escolar.com/matem/04sumyres.htm http://www.escolar.com/matem/08fracc.htm# http://www.escolar.com/matem/11opdec1.htm http://www.escolar.com/avanzado/matema055.htm http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_racionales:_Expresi%C3%B3n_decimal_de_una_fracci%C3%B3n http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Porcentajes http://docente.ucol.mx/grios/aritmetica/numenatu.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad http://es.wikipedia.org/wiki/Partes_por_mill%C3%B3n