Matrizes e Determinantes

Elaine Gouvea Pimentel

DMAT/UFMG

elaine@@mat.ufmg.br

Maio de 2005

1 Matrizes

1.1 Introducao

Suponhamos que o responsavel pelo almoxarifado de uma empresa de produtosquımicos resolva organizar o seu estoque de reagentes. Para cada reagente con-tido no almoxarifado e para cada mes do ano, ele deve destacar a quantidadedo produto em estoque.

Exercıcio 1 Proponha uma maneira eficiente de organizar os seguintes produ-tos, onde os numeros entre parenteses indicam a quantidade do reagente emestoque nos meses de janeiro, fevereiro, marco e abril, respectivamente:

• acido clorıdrico (23, 10, 17, 32);

• hidroxido de amonia (42, 13, 44, 27);

• sulfato de alumınio (12, 15, 7, 16);

A solucao mais utilizada para este tipo de problema e a construcao de umatabela, onde as linhas podem representar os reagentes e as colunas, os meses.

E possıvel simplificar a forma de representar o movimento do estoque naempresa colocando apenas os respectivos resultados de cada mes, ocultando osnomes de reagentes e meses:

23 10 17 3242 13 44 2712 15 7 16

Desta forma, se quisermos saber a quantidade em estoque do produto hidroxidode amonia no mes de marco, basta procurar o numero que esta na segundalinha e terceira coluna: 44.

Esse tipo de organizacao recebe o nome de matriz.1 Formalmente, umamatriz e um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas.

No exemplo acima, a matriz possui tres linhas e quatro colunas. Dizemosque esta e uma matriz de ordem (ou tipo) 3x4 (le-se tres por quatro).

Em geral, uma matriz de ordem mxn possui m linhas e n colunas.

Exercıcio 2 Uma industria possui 3 fabricas: I, II e III, que produzem por mes30, 40 e 60 unidades, respectivamente, do produto A, e 15, 20 e 10 unidades doproduto B.

a) Formar a matriz fabricas x produtos.

b) Escrever o tipo da matriz anterior.

Exercıcio 3 Uma matriz possui 6 elementos. Quais sao as suas possıveis or-dens?

1Podemos utilizar tambem parenteses, ao inves de colchetes, na representacao de matrizes.

1

1.2 Representacao Algebrica

Comecaremos com a notacao: utilizaremos sempre letras maiusculas para in-dicar matrizes e letras minusculas com ındices para designar seus elementos.

Exercıcio 4 Dada a matriz

−1 2

312 −2

12 1 − 4

57

−2 1 −7 116

determinar:

a) O elemento da segunda linha e primeira coluna;

b) O elemento da terceira linha e quarta coluna;

A matriz do exercıcio anterior pode ser escrita como:

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

onde o elemento a21 = 12 e o elemento a34 = 116.Genericamente, uma matriz A, de ordem mxn, pode ser representada por:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

......

am1 am2 . . . amn

Podemos tambem escrever:

Definicao 1 (Matriz) Uma matriz A e dada por

A = (aij)mxn com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n

onde o elemento aij e o elemento da linha i e da coluna j.

Exercıcio 5 Considere a matriz A:

A =

5 12 −1 1

2

−5 49 − 34

37

65 −22 67

2232

Responda:

a) Qual e a ordem de A?

b) Qual e o elemento a34?

c) Quais sao os elementos da segunda linha?

2

Exercıcio 6 a) Escreva a matriz B = (bij)2x4 tal que bij = i + j.

b) Escreva a matriz C = (cij)4x4 tal que

cij =

{

1 se i = j

0 se i 6= j

1.3 Matrizes Quadradas

Se o numero de linhas de uma matriz e igual ao seu numero de colunas, trata-sede uma matriz quadrada e podemos dizer que a sua ordem e n, ao inves de nxn.

Exercıcio 7 De um exemplo de uma matriz quadrada de ordem 3.

Os elementos de uma matriz quadrada de ordem n tais que i = j formamuma diagonal denominada diagonal principal. Ou seja, se A = (aij)nxn, entao adiagonal principal e constituıda pelos elementos aii, 1 ≤ i ≤ n.

Exercıcio 8 Escreva os elementos da diagonal principal da matriz do exercıcio7

A outra diagonal, qual seja, dos elementos aij tais que i + j = n + 1, echamada diagonal secundaria.

Figura 1: Diagonais de uma matriz quadrada

1.3.1 Matriz Diagonal

Observe a matriz A:

A =

1 0 0 00 2 0 00 0 − 6

230

0 0 0 −1

3

Todos os elementos fora da diagonal principal sao nulos. Este tipo de matrize chamado matriz diagonal. Formalmente, uma matriz diagonal e uma matrizquadrada A = (aij)nxn, tal que aij ∈ R se i = j e aij = 0, se i 6= j.

Exercıcio 9 Dizer se as matrizes abaixo sao diagonais:

a)

A =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

b)

B =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

As matrizes do exercıcio anterior sao especiais: a primeira e chamada matriznula, que representaremos por 0, e a segunda matriz identidade, representadapor In, onde n e a ordem da matriz. A matriz nula pode ter qualquer ordem,nao sendo necessariamente uma matriz quadrada. Ja a matriz identidade In

e uma matriz diagonal (e portanto quadrada), tal que todos os elementos desua diagonal principal possuem valor 1. Voltaremos a falar sobre essas matrizesmais tarde.

Exercıcio 10 Dada a matriz

A =

[

3 + x x + y

2x + 6 y

]

a) Calcular x e y para que A seja diagonal.

b) Determinar os elementos de A.

R. x = −3 e y = 3.

Exercıcio 11 Determine a soma dos elementos da diagonal principal com oselementos da diagonal secundaria da matriz B = (bij) de ordem 4, em quebij = i − j.

R. Zero.

1.4 Matriz Transposta

Se A e uma matriz de ordem mxn, denominamos a transposta de A a matriz deordem nxm, obtida a partir de A trocando-se as linhas pelas colunas. Indica-sea transposta de A por At.

4

Por exemplo, a matriz transposta de

A =

[

−1 0 2 53 1 −9 0

]

e At =

−1 30 12 −95 0

Exercıcio 12 Determine At onde

A =

[

4 −2 721 5 −89

]

Exercıcio 13 Escrever a matriz transposta de A = (aij)4x3 tal que aij = i− j.

Exercıcio 14 Qual e a transposta de uma matriz diagonal? Justifique a suaresposta.

Exercıcio 15 Dada uma matriz A = (aij)mxn, determine (At)t.

1.5 Igualdade de Matrizes

Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq, podemos afirmar que A e B saoiguais se e somente se:

1. m = p e n = q (ou seja, se elas tem a mesma ordem);

2. aij = bij para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Exercıcio 16 Determinar se as seguintes matrizes sao iguais:

3 80 5−1 2

e

4 − 1 5 + 32 − 1 5x11 − 2 4 : 2

Exercıcio 17 Sendo A = (aij)3x2 com aij = i2−j2 e B =

4x + y x − y

z − w 08 3z + w

determine x, y, z e w para que A = B.R. x = − 3

5, y = 12

5, z = 3

4, w = − 9

4.

5

1.6 Operacoes com Matrizes: Adicao

Voltemos ao exemplo do exercıcio 1. Suponhamos que a empresa em questaopossua, na verdade, dois almoxarifados, um em cada filial. A quantidade de cadaproduto em estoque, em cada almoxarifado, e em cada um dos meses janeiro,fevereiro, marco e abril respectivamente e dada por:

ALMOXARIFADO I:

• acido clorıdrico (23, 10, 17, 32);

• hidroxido de amonia (42, 13, 44, 27);

• sulfato de alumınio (12, 15, 7, 16);

ALMOXARIFADO II:

• acido clorıdrico (12, 45, 3, 2);

• hidroxido de amonia (2, 3, 4, 7);

• sulfato de alumınio (15, 10, 17, 25);

Exercıcio 18 Calcule a quantidade total de cada reagente em cada mes. Disponhaseus dados em uma matriz. Justifique os seus calculos.

Certamente, para resolver o exercıcio anterior, voce somou os elementoscorrespondentes de cada matriz. Na verdade, temos:

Definicao 2 (Adicao) A adicao de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn

e a matriz C = (cij)mxn dada por cij = aij + bij, (1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n).

Observe que podemos somar apenas matrizes que possuem a mesma ordem(por que?).

Exercıcio 19 Defina subtracao de matrizes.

Exercıcio 20 Dada a matriz A =

[

4 31 6

]

, determine a matriz B tal que

A + B = A.

Exercıcio 21 Dadas as matrizes A,B e C, calcule a matriz X tal que X +A =B + C

A =

[

1 2 34 1 0

]

B =

[

1 0 −13 1 2

]

C =

[

−1 0 32 0 1

]

6

1.6.1 Matriz Oposta

Denomina-se matriz oposta de uma matriz A = (aij)mxn a matriz (−A) =(a′

ij)mxn cujos elementos sao os simetricos dos elementos correspondentes de A,ou seja, a′

ij = −aij .Desta forma, a subtracao A − B pode ser escrita como A + (−B).

Exercıcio 22 Se A e uma matriz de ordem mxn, qual e o resultado da somaA + (−A)?

Exercıcio 23 Invente duas matrizes, A e B, de ordem 4x3, e verifique se A +B = B + A. Voce acha que o resultado que voce encontrou vale para qualquersoma de matrizes?

Exercıcio 24 Invente tres matrizes, A, B e C, de ordem 3x4, e verifique se(A+B)+C = A+(B +C). Voce acha que o resultado que voce encontrou valepara qualquer soma de matrizes?

1.6.2 Propriedades da Adicao de Matrizes

Para cada m e cada n, acabamos de definir uma operacao binaria (ou seja, quepossui dois operandos) sobre o conjunto das matrizes de ordem mxn: a adicao.Chamaremos de Mmxn o conjunto das matrizes de ordem mxn. A operacao deadicao possui as seguintes propriedades:

1. (comutativa) Para quaisquer A,B ∈ Mmxn, tem-se A + B = B + A;

2. (associativa) Para quaisquer A,B,C ∈ Mmxn, tem-se (A + B) + C =A + (B + C);

3. (elemento neutro) Existe um elemento 0 ∈ Mmxn tal que, para todo A ∈Mmxn, tem-se A + 0 = A;

4. (elemento oposto) Para todo elemento A ∈ Mmxn, existe um elemento(−A) ∈ Mmxn tal que A + (−A) = 0.

Exercıcio 25 Voce conhece outros conjuntos munidos de uma operacao binariaque possua estas propriedades? Quais sao eles? Existem, para estes conjuntose operadores que voce citou, outras propriedades que nao foram listadas acima?

1.7 Operacoes com Matrizes: Multiplicacao de numero

real por matriz

Considere a matriz A:

A =

[

4 20 1

]

Para se obter A + A + A, escrevemos:[

4 20 1

]

+

[

4 20 1

]

+

[

4 20 1

]

=

[

12 60 3

]

7

ou seja,

3.A =

[

3.4 3.23.0 3.1

]

=

[

12 60 3

]

Generalizando:

Definicao 3 (Produto por escalar) O produto k.A, de um numero k poruma matriz A = (aij)mxn, e a matriz B = (bij)mxn, na qual bij = k.aij paraquaisquer 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Exercıcio 26 Dadas as matrizes A e B, resolva a equacao 2X − (A + B) =3B + A

A =

[

−3 5−2 6

]

B =

[

0 41 5

]

R. X =

[

−3 130 16

]

Exercıcio 27 Sabendo-se que A =

[

4 20 1

]

e B =

[

1 00 1

]

, obter as ma-

trizes M e N tais que:

{

2M + N = A − B

M + 3N = 2A + B

R. M =

[

0 2

5

0 − 3

5

]

e N =

[

3 6

5

0 6

5

]

Exercıcio 28 Pesquise em um supermercado, em um sacolao e em uma mer-cearia os precos dos seguintes produtos: uma duzia de ovos, um quilo de laranjase um quilo de batatas. Supondo que voce queira formar duas cestas basicas, aprimeira contendo 2 dz. de ovos, 5kg de laranjas e 3 kg de batatas, e a segundacontendo 6 dz. de ovos, 2 kg de laranjas e 4kg de batatas, estime quanto vocevai gastar, em cada estabelecimento, para fazer cada uma das cestas basicas.Traduza os seus calculos para a forma de matrizes.

1.8 Operacoes com matrizes: Multiplicacao

Vamos supor que, no exercıcio anterior, voce tenha encontrado os seguintesvalores:

ovos laranja batatasupermercado 1,50 0,50 0,80

sacolao 1,00 0,70 0,80mercearia 2,00 1,00 1,50

TABELA I: Estabelecimentos por produtos

A composicao de cada uma das cestas basicas e dada pela seguinte tabela:

8

A Bovos 2 6

laranja 5 2batata 3 4

TABELA II: Produtos por cestas

Para determinar o custo de cada cesta em cada estabelecimento, devemosconstruir uma outra tabela, a saber, de estabelecimentos por cestas (esta tabelacontera 6 elementos). Para calcular o custo da cesta A no supermercado, bastamultiplicar os elementos da primeira linha da Tabela I (precos dos produtos nosupermercado) pelos elementos correspondentes da primeira coluna da TabelaII (quantidade necessaria de cada produto), e entao somar os 3 numeros encon-trados:

1, 50.2 + 0, 50.5 + 0, 80.3 = 7, 90

Da mesma forma, para calcularmos o custo da cesta B na mercearia, devemossomar os tres numeros obtidos pela multiplicacao dos elementos da terceira linhada Tabela I com os elementos correspondentes da segunda coluna da Tabela II:

2, 00.6 + 1, 00.2 + 1, 50.4 = 20, 00

Seguindo esse raciocınio, obtemos a Tabela III contendo o custo de cada cestaem cada estabelecimento:

A Bsupermercado 7,90 1, 50.6 + 0, 50.2 + 0, 80.4 = 10, 20

sacolao 1, 00.2 + 0, 70.5 + 0, 80.3 = 7, 90 1, 00.6 + 0, 70.2 + 0, 80.4 = 10, 60mercearia 2, 00.2 + 1, 00.5 + 1, 50.3 = 13, 50 20,00

TABELA III: Estabelecimentos por cestas

Traduzindo para o vocabulario de matrizes, se P e a matriz de precos (TabelaI):

P =

1, 50 0, 50 0, 801, 00 0, 70 0, 802, 00 1, 00 1, 50

e C e a matriz de cestas basicas (Tabela II):

C =

2 65 23 4

entao a matriz PC, que representa a matriz de custos (Tabela III), e dada por:

PC =

7, 90 10, 207, 90 10, 6013, 50 20, 00

=

1, 50 0, 50 0, 801, 00 0, 70 0, 802, 00 1, 00 1, 50

.

2 65 23 4

9

ou seja, a matriz PC e o produto da matriz P pela matriz C.Observe que, para calcularmos o elemento pc11, multiplicamos a primeira

linha de P pela primeira columa de C. Da mesma forma, para calcular oelemento pc32, multiplica-se a terceira linha de P pela segunda coluna de C.

Exercıcio 29 Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp, escreva umaregra para determinar o elemento ckl da matriz C = (cij)mxp, tal que C = A.B.

Exercıcio 30 Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)qxp, qual a relacaoque deve existir entre n e q de tal forma que o produto A.B esteja definido?Justifique a sua resposta.

Exercıcio 31 Dadas as matrizes A =

[

2 −14 10

]

e B =

[

0−1

]

, calcule a

matriz C = A.B.

Genericamente, podemos definir multiplicacao de marizes da seguinte forma:

Definicao 4 (Produto) Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp,chama-se produto das matrizes A e B a matriz C = (cij)mxp, na qual cij eobtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A peloselementos da coluna j da matriz B, adicionando-se, em seguida, os produtosobtidos.

Formalmente, escrevemos C = A.B = (cij)mxp onde cij =∑n

k=1aik.bkj . A

notacao de somatorio sera vista posteriormente no curso.

Exercıcio 32 Efetue as seguintes multiplicacoes:

a)

1 2 14 5 27 8 1

.

1 02 14 1

b)

[

9 70 8

]

.

[

1 2 34 5 6

]

Exercıcio 33 Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)qxp, quais saoas relacoes que devem existir entre m,n, p, q de modo que estejam definidos osprodutos A.B e B.A? Voce acha entao que sempre e verdade que A.B = B.A?

Exercıcio 34 Sejam A =

[

2 3−2 1

]

e B =

[

1 02 1

]

. Calcule A.B e B.A.

Que conclusao voce pode tirar?

Como voce deve ter observado, mesmo quando os produtos A.B e B.A deduas matrizes A e B estao definidos, pode ocorrer que A.B 6= B.A. Ou seja, oproduto de matrizes nao possui a propriedade comutativa. Se A e B sao taisque A.B = B.A, entao dizemos que as matrizes comutam.

10

Exercıcio 35 Verificar se as matrizes A =

[

1 23 0

]

e B =

[

6 23 5

]

comu-

tam.

Ao contrario do produto de matrizes, a multiplicacao de numeros reais possuia propriedade comutativa. Existem outras propriedades que a multiplicacao denumeros reais possui que nao valem para matrizes. Por exemplo, se a e b

pertencem ao conjunto dos numeros reais, entao a.b = 0 se e somente se a = 0ou b = 0. Isto nao ocorre com matrizes, como ilustrado no exercıcio a seguir:

Exercıcio 36 Dadas as matrizes A =

[

2 01 0

]

e B =

[

0 03 0

]

, calcule A.B.

Desta forma, o produto de duas matrizes pode ser nula mesmo que nenhumadelas o seja. Outra propriedade da multiplicacao de numeros reais nao satisfeitapelo produto de matrizes e a de cancelamento: se a, b, c ∈ R, a 6= 0, entaoa.b = a.c ⇒ b = c. Contudo, podemos ter A.B = A.C para matrizes A, B, C,com A nao nula, tais que B 6= C.

Exercıcio 37 Sejam A =

[

1 22 4

]

, B =

[

1 1−3 3

]

e C =

[

−5 30 2

]

. Cal-

cule A.B e A.C.

Uma propriedade exclusiva de produto de matrizes e a seguinte: para todosA ∈ Mmxn e B ∈ Mnxp, tem-se:

(A.B)t = Bt.At

Exercıcio 38 Verifique que, se A.B esta definido, entao Bt.At tambem esta.

Exercıcio 39 Prove que At.(B.C)t = (C.A)t.Bt

Exercıcio 40 Resolva a equacao: X.[

1 2 3]

=

[

2 4 61 2 3

]

.

Exercıcio 41 Determine o valor de x, para que o produto das matrizes A e B

seja a matriz identidade:

A =

2 0 70 1 01 2 1

B =

−x −14x 7x0 1 0x 4x −2x

Exercıcio 42 Calcule o produto A.I3, onde A =

2 0 70 1 01 2 1

Exercıcio 43 Calcule o produto A.I2, onde A =

a b

c d

e f

11

Como voce deve ter percebido, o produto de qualquer matriz A, de ordemmxn, pela matriz identidade In e a propria matriz A. Esta e uma propriedadeda multiplicacao, chamada existencia do elemento neutro com relacao a mul-tiplicacao. Voce saberia citar outros conjuntos, onde uma operacao de multi-plicacao tambem esta definida, que possuem esta propriedade?

Exercıcio 44 Prove que, se A e B sao matrizes comutaveis, entao

(A − B)2 = A2 − 2AB + B2

Esta relacao e verdadeira se A e B nao sao comutaveis? Justifique a sua re-sposta.

1.8.1 Inversao de matrizes

Outra propriedade da multiplicacao de numeros reais e que, dado a ∈ R, a 6= 0,existe um unico numero b, tambem diferente de zero, tal que:

a.b = b.a = 1

Neste caso, temos a notacao b = 1

a= a−1.

Como vimos na secao anterior, a matriz identidade I parece ter um papelsemelhante ao numero 1 nos numeros reais. Seria de se esperar, portanto, quedada uma matriz A, exista uma matriz B tal que A.B = B.A = I, onde I ea matriz identidade. Entretanto, no caso de matrizes, esta propriedade nao esempre valida. Em primeiro lugar, note que para existir uma matriz B tal queA.B = B.A = I, a matriz A deve ser quadrada. (por que?). Em segundo lugar,existem matrizes quadradas que nao possuem inversa.

Como exemplo, vamos tentar determinar a inversa da matriz A =

[

1 20 0

]

.

Devemos encontrar uma matriz B, de ordem 2, tal que A.B = I2, onde I2 e a

matriz identidade de ordem 2. Escrevendo B =

[

a b

c d

]

, devemos ter

[

1 20 0

]

.

[

a b

c d

]

=

[

1 00 1

]

⇒

[

a + 2c b + 2d0 0

]

=

[

1 00 1

]

Esta equacao nao pode ser resolvida, pois implicaria 0 = 1 (pela igualdadedos elementos da segunda linha e segunda coluna das matrizes envolvidas naigualdade). Logo, a matriz A nao possui inversa. Temos entao a seguintedefinicao:

Definicao 5 Se existe uma matriz B tal que A.B = B.A = In, onde n e aordem da matriz A, dizemos que A e inversıvel e que B e a inversa de A.Indicamos B = A−1. Se a matriz nao e inversıvel, ela e dita singular.

Exercıcio 45 Determine (caso seja possıvel) a inversa das matrizes:

12

a)

[

3 41 0

]

b)

[

1 03 0

]

c)

1 0 01 3 11 2 0

Exercıcio 46 Dadas A =

[

3 00 −2

]

, P =

[

2 −13 5

]

e B = 1

13

[

a 1075 b

]

,

determine os valores de a e b, tais que B = P.A.P−1.

1.8.2 Aneis

Como vimos, o conjunto das matrizes Mmxn possui duas operacoes associadas aele, a adicao (+) e a multiplicacao (.), que possuem as seguintes propriedades:

A1 (a adicao e comutativa) Para quaisquer A,B ∈ Mmxn, tem-se A+B =B + A.

A2 (a adicao e associativa) Para quaisquer A,B,C ∈ Mmxn, tem-se (A +B) + C = A + (B + C).

A3 (existe um elemento neutro para a adicao) Existe um elemento0 ∈ Mmxn tal que, para todo A ∈ Mmxn, tem-se A + 0 = A.

A4 (todo elemento possui um oposto) Para todo elemento A ∈ Mmxn,existe um elemento (−A) ∈ Mmxn tal que A + (−A) = 0.

M1 (a multiplicacao e associativa) Para quaisquer A,B,C ∈ Mmxn, tem-se (A.B).C = A.(B.C).

M2 (existe um elemento neutro para a multiplicacao) Existe um ele-mento In ∈ Mn tal que A.In = A, para todo elemento A ∈ Mmxn.

AM (a multiplicacao e distributiva com relacao a adicao) Para quais-quer A,B,C ∈ Mmxn, tem-se A.(B + C) = A.B + A.C e (B + C).A =B.A + C.A).

Conjuntos nao vazios, juntamente com duas operacoes satisfazendo as pro-priedades acima, sao chamados aneis. Vimos entao que o conjunto Mmxn, dasmatrizes de ordem mxn, juntamente com as operacoes (+) e (.) e um anel, assimcomo o conjunto dos numeros inteiros. Este ultimo, alem das propriedades A1ate AM, possui tambem a propriedade de comutatividade da multiplicacao. Porisso, o anel dos inteiros e dito comutativo. O conjunto dos numeros racionaispossui uma propriedade a mais: todo elemento nao nulo possui um inverso mul-tiplicativo. Tais conjuntos sao chamados corpos, e serao descritos mais adianteno curso.

13

2 Determinantes

A toda matriz quadrada de orden n, associaremos um numero real segundo umadeterminada lei, ou seja, definiremos uma funcao

det : Mn → R

do conjunto das matrizes quadradas de ordem n, Mn, no conjunto dos numerosreais. Chamaremos esta funcao de determinante.

Comecaremos com uma matriz de ordem 1, A = [a11]. Neste caso, definimoso determinante de A da seguinte forma:

detA = |A| = a11

ou seja, o determinante de uma matriz que contem apenas um elemento e oproprio elemento.

A fim de definir o determinante de uma matriz de ordem 2, vamos consideraro seguinte problema:

Dados A =

[

4 32 5

]

, X =

[

x

y

]

e B =

[

119

]

, determinar x e y de modo

que A.X = B. Resolvendo,[

4 32 5

]

.

[

x

y

]

=

[

119

]

⇒

[

4x + 3y2x + 5y

]

=

[

119

]

Pela igualdade de matrizes, obtemos o sistema

{

4x + 3y = 112x + 5y = 9

Resolvendo pelo metodo da adicao, temos:{

4x + 3y = 11 (x 5)2x + 5y = 9 (x (−3))

⇒

{

4x + 3y = 1120x − 6x = 28

⇒ x(20−6) = 28 ⇒ x =28

20 − 6

ou seja,

x =28

(4.5) − (2.3)

Resolvendo agora para y, da mesma maneira,{

4x + 3y = 11 (x (−2))2x + 5y = 9 (x 4)

⇒

{

4x + 3y = 1120y − 6y = 14

⇒ y(20−6) = 14 ⇒ y =14

20 − 6

ou seja,

y =14

(4.5) − (2.3)

Notamos que a expressao (4.5)−(2.3) e o denominador comum das expressoesque nos permite calcular o valor de x e de y. Ao mesmo tempo, observamos que

esse numero esta associado aos termos da matriz

[

4 32 5

]

. Mais precisamente,

e a diferenca entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produtodos elementos da diagonal secundaria. Este numero e chamado de determinante.Em geral,

14

Definicao 6 Dada a matriz quadrada de ordem 2, A =

[

a11 a12

a21 a22

]

, chama-se

determinante da matriz A o numero real obtido pela diferenca

a11.a22 − a12.a21

Indica-se detA = |A| =

∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

= a11.a22 − a12.a21

Exercıcio 47 Calcular os seguintes determinantes:

a)

∣

∣

∣

∣

−5 −23 −1

∣

∣

∣

∣

b)

∣

∣

∣

∣

1 00 1

∣

∣

∣

∣

c)

∣

∣

∣

∣

5 02 0

∣

∣

∣

∣

Exercıcio 48 Resolva as equacoes:

a)

∣

∣

∣

∣

x x + 25 7

∣

∣

∣

∣

= 0

b)

∣

∣

∣

∣

x x

5 x

∣

∣

∣

∣

= 0

Exercıcio 49 Dada a matriz A =

[

2 41 3

]

, calcule:

a) detA

b) detA2

c) detA−1

2.1 Menor complementar

Considere uma matriz A, de ordem 3:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

O menor complementar Dij , relativo ao elemento aij , e o determinante da matrizquadrada, de ordem 2, que se obtem de A retirando-se a linha i e a coluna j.Por exemplo,

D12 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

− − −a21 − a23

a31 − a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

a21 a23

a31 a33

∣

∣

∣

∣

= a21.a33 − a31.a23

15

Exercıcio 50 Dada a matriz A =

2 −1 30 1 45 −2 1

, calcule D11, D12, D13, D21, D32.

R. 9,−20,−5, 5, 8

2.2 Cofator

Dada a matriz A = (aij)3, o cofator de aij e o numero Aij que se obtemmultiplicando-se (−1)i+j pelo menor complementar de aij . Ou seja,

Aij = (−1)i+j .Dij

Desta forma, para o exercıcio 50, temos:

A11 = (−1)1+1.D11 = (−1)2.9 = 9

A12 = (−1)1+2.D12 = (−1)3. − 20 = 20

Exercıcio 51 Calcule A13, A21, A32, onde A e a matriz do exercıcio anterior.

Exercıcio 52 Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3 dada por aij = i+j.Calcule A32.

R. 2

2.3 Determinante de matrizes quadradas de qualquer or-

dem

Vamos comecar com matrizes de ordem 3. Considerando a matriz

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

definimos o determinante de A como:

detA = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13

isto e, a soma dos numeros que se obtem da multiplicacao de cada termo daprimeira linha pelo seu respectivo cofator.

Por exemplo, dada a matriz A =

1 3 2−1 2 13 2 2

, temos:

A11 = (−1)1+1

∣

∣

∣

∣

2 12 2

∣

∣

∣

∣

= 1.(4 − 2) = 2

A12 = (−1)1+2

∣

∣

∣

∣

−1 13 2

∣

∣

∣

∣

= (−1).(−2 − 3) = 5

A13 = (−1)1+3

∣

∣

∣

∣

−1 23 2

∣

∣

∣

∣

= 1.(−2 − 6) = −8

16

Logo, detA =11 .A11 + a12.A12 + a13.A13 = 1.2 + 3.5 + 2.(−8) = 1

Exercıcio 53 Calcule:

a) A =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 5 1−1 1 23 −1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b) A =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 4 30 0 0−1 2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

c) A =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 3 21 0 11 2 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

R. a) 39 b) 0 c) 7

Para uma matriz quadrada de ordem n:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .

an1 an2 . . . ann

definimos o determinante de A como:

detA = a11.A11 + a12.A12 + . . . + a1n.A1n

isto e, a soma dos numeros que se obtem da multiplicacao de cada termo daprimeira linha pelo seu respectivo cofator. Observe que agora cada cofatorenvolve o determinante de matrizes de ordem n − 1. Como exemplo, vamoscalcular o determinante da seguinte matriz:

A =

1 0 0 02 3 −1 14 2 2 21 1 3 −1

Temos:

detA = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 + a14.A14

= 1.(−1)2.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 −1 12 2 21 3 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ 0.A12 + 0.A13 + 0.A14

= 3.(−1)2.

∣

∣

∣

∣

2 23 −1

∣

∣

∣

∣

+ (−1).(−1)3.

∣

∣

∣

∣

2 21 −1

∣

∣

∣

∣

+ 1.(−1)4.

∣

∣

∣

∣

2 21 3

∣

∣

∣

∣

= 3.(−8) + 1.(−4) + 1.4 = −24

17

Exercıcio 54 Calcule, para a matriz A do exemplo anterior, o numero:

a11.A11 + a21.A21 + a31.A31 + a41.A41

Qual a relacao entre o numero encontrado e o determinante de A? O que esteresultado sugere?

Na verdade, a sugestao do exercıcio anterior e um fato: pode ser provado queo determinante de uma matriz pode ser desenvolvido por qualquer linha oucoluna. Isto e:

Definicao 7 O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, e iguala soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seusrespectivos cofatores.

Assim, o determinante de uma matriz A pode ser calculado das seguintes formas:

• 1a Forma: Fixando a linha i

detA = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + . . . + ain.Ain

• 2a Forma: Fixando a coluna j

detA = a1j .A1j + a2j .A2j + . . . + anj .Anj

Em geral, escolhe-se a fila (linha ou coluna) que possuir o maior numero dezeros para desenvolver o determinante (por que?).

Exercıcio 55 Calcule os determinantes:

a) A =

1 3 2 41 0 −3 22 0 −1 15 0 3 2

b) A =

1 0 1 01 2 −2 10 0 0 07 0 2 0

R. a) -42; b) 0

2.4 Regra de Sarrus

Podemos obter o determinante de uma matriz de ordem 3 utilizando uma regrapratica muito simples, chamada Regra de Sarrus.

Considere a matriz A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

. Em primeiro lugar, vamos

repetir as duas primeiras colunas de A a direita da matriz:

a11 a12 a13 | a11 a12

a21 a22 a23 | a21 a22

a31 a32 a33 | a31 a32

18

Em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz e oselementos das duas diagonais paralelas a principal, somando os resultados:

a11 a12 a13 | a11 a12

a21 a22 a23 | a21 a22

a31 a32 a33 | a31 a32

a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32

Multiplicamos agora os elementos da diagonal secundaria e as diagonaisparalelas a ela, somando os resultados:

a11 a12 a13 | a11 a12

a21 a22 a23 | a21 a22

a31 a32 a33 | a31 a32

a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33

Por fim, subtraımos o primeiro numero encontrado pelo ultimo, obtendo:

detA = a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32−(a13.a22.a31+a11.a23.a32+a12.a21.a33)

Exercıcio 56 Calcule:

a)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 2 30 1 4−2 −3 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 2 1−1 2 1 32 0 4 15 1 2 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

R. a) -27; b) -19

Exercıcio 57 Resolver a equacao:∣

∣

∣

∣

∣

∣

x x x

x x 4x 4 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

R. {0,4}

2.5 Propriedades dos determinantes

Exercıcio 58 Calcule o determinante das matrizes I2, I3 e I4. Qual e o valordo determinante de In, para qualquer n ≥ 1? Voce consegue provar este resul-tado?

Exercıcio 59 Se uma matriz tem uma fila (linha ou coluna) toda nula, qual eo valor do seu determinante? Prove a sua afirmacao.

19

Exercıcio 60 Calcule o determinante das matrizes

A =

1 2 32 7 51 2 3

e B =

1 2 32 4 60 −1 9

O que estas matrizes tem de peculiar?

Exercıcio 61 Prove que detA = detAt

Exercıcio 62 Calcule os determinantes:∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 31 −1 22 3 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 32 3 01 −1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Qual a relacao entre as duas matrizes? Qual a relacao entre os seus determi-nantes?

Exercıcio 63 Calcule os determinantes:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 30 7 50 0 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1 80 4 6 −80 0 9 20 0 0 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Que conclusoes voce pode tirar?

Nos exercıcios 58 a 63 voce deduziu algumas propriedades dos determinantesde matrizes. Veremos agora estas propriedades de maneira formal.

A mais importante delas e a que deu origem a definicao de multiplicacao dematrizes:

Propriedade 1 det (A.B) = detA.detB

Exercıcio 64 Prove que det (An) = (detA)n (use inducao em n).

No exercıcio 59, voce provou a seguinte propriedade:

Propriedade 2 Se uma matriz quadrada possui uma fila (linha ou coluna)nula, seu determinante e zero.

O exercıcio 60 e um exemplo da seguinte proposicao:

Propriedade 3 Se uma matriz possui duas linhas (ou duas colunas) propor-cionais, seu determinante sera igual a zero.

O exercıcio 62 ilustra a proposicao:

Propriedade 4 Se trocarmos de posicao entre si duas linhas (ou duas colunas)de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz e o determinante damatriz original com o sinal invertido.

20

Exercıcio 65 Seja A uma matriz de ordem n. Calcule o determinante da ma-triz B, obtida a partir de A pela troca de 2 filas entre si m vezes.

No exercıcio 61 voce provou a seguinte proposicao:

Propriedade 5 O determinante de uma matriz quadrada e igual ao determi-nante de sua transposta.

Os exercıcios 58 e 63 referem-se a seguinte propriedade:

Propriedade 6 Se os elementos de uma matriz quadrada situados de um mesmolado da diagonal principal forem todos nulos, o determinante da matriz seraigual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Exercıcio 66 Prove a propriedade 6 por inducao na ordem da matriz.

Exercıcio 67 Calcule os determinantes:∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3−1 7 52 0 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3−2 14 102 0 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Qual a relacao entre essas duas matrizes? E entre os seus determinantes?

Em geral, temos:

Propriedade 7 Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou umacoluna) por um numero real k, o determinante da nova matriz e o determinanteda matriz original multiplicado por k.

Exercıcio 68 Prove que, se A e uma matriz de ordem n e k ∈ R, entaodet (k.A) = kn.detA.

Propriedade 8 (Teorema de Jacobi) Se somarmos a uma linha (ou col-una) de uma matriz quadrada uma outra linha (ou coluna) multiplicada porum numero qualquer, o determinante da matriz nao se altera.

Por exemplo, dada a matriz A =

[

1 23 4

]

, o seu determinante e −2. Sub-

stituindo a 2a linha de A pela soma desta linha com o produto da 1a linha por−3 obteremos:

B =

[

1 20 −2

]

e detB = −2 = detA

Exercıcio 69 Mostre, sem desenvolver, que o determinante D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 32 4 33 6 6

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e multiplo de 6.

21

Exercıcio 70 Podemos utilizar a propriedade 8 para facilitar as contas nocalculo do determinante. Vamos ilustrar esta afirmacao com o seguinte ex-

emplo: Seja A =

1 1 1 11 1 + a 1 11 1 1 + b 11 1 1 1 + c

.

1. Escalone a matriz A, de modo a obter uma matriz B cujos elementos abaixoda diagonal principal sao nulos.

2. Justifique por que detA = detB.

3. Utilizando a propriedade 6, calcule o determinante de B.

Exercıcio 71 Demonstrar, sem desenvolver, que o determinante D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c d

b c d a

c d a b

d a b c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e nulo, sabendo-se que a + b + c + d = 0.

Exercıcio 72 Sabendo-se que A e B sao matrizes de ordem 3, detB 6= 0 e queA.B = 4B, calcular detA.

R. 64

Exercıcio 73 O determinante de uma matriz A e 36. Qual o valor do de-terminante de uma matriz B, formada a partir de A atraves da multiplicacaoda primeira linha de A por 2 e pela divisao da primeira coluna de A por 9?Justifique a sua resposta.

Exercıcio 74 Prove que, se A e uma matriz inversıvel, entao

det (A−1) =1

detA

Observe que voce acaba de provar (exercıcio 74) que se uma matriz e inversıvel,entao o seu determinante e nao nulo. Na verdade, a recıproca tambem e ver-dadeira ou seja, se o determinante de uma matriz e diferente de zero, entao amatriz e inversıvel.

22