Mec. Dos Solidos Apostila

Mecnica dos Slidos

Mauro Noriaki TakedaAparecido Edilson Morcelli

Revisada por Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli (janeiro/2013)

APRESENTAO

com satisfao que a Unisa Digital oferece a voc, aluno(a), esta apostila de Mecnica dos Slidos, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinmico e autno-mo que a educao a distncia exige. O principal objetivo desta apostila propiciar aos(s) alunos(as) uma apresentao do contedo bsico da disciplina.

A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-ciplinares, como chats, fruns, aulas web, material de apoio e e-mail.

Para enriquecer o seu aprendizado, voc ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente s bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informao e documentao.

Nesse contexto, os recursos disponveis e necessrios para apoi-lo(a) no seu estudo so o suple-mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formao completa, na qual o contedo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.

A Unisa Digital assim para voc: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!

Unisa Digital

SUMRIO

INTRODUO ............................................................................................................................................... 5

1 ESTUDO DOS MOVIMENTOS ........................................................................................................ 71.1 Introduo ..........................................................................................................................................................................71.2 Deslocamento (s) ..........................................................................................................................................................91.3 Velocidade Escalar Mdia (Vm) e Velocidade Escalar Instantnea (V) ..........................................................91.4 Exerccios Resolvidos ...................................................................................................................................................101.5 Movimento Uniforme (MU) ......................................................................................................................................101.6 Exerccio Resolvido ......................................................................................................................................................111.7 Representao Grfica da Posio no MU ...........................................................................................................121.8 Representao Grfica da Velocidade no MU ....................................................................................................121.9 Movimento Retilneo Uniformemente Variado (MRUV) ................................................................................131.10 Acelerao Mdia (am) ..............................................................................................................................................131.11 Exerccio Resolvido ....................................................................................................................................................141.12 Funo da Velocidade do Movimento Uniformemente Variado (MUV) ...............................................151.13 Funo Horria do MUV ...........................................................................................................................................161.14 Equao de Torricelli .................................................................................................................................................161.15 Exerccio Resolvido ....................................................................................................................................................171.16 Movimento Vertical no Vcuo ...............................................................................................................................171.17 Exerccio Resolvido ....................................................................................................................................................181.18 Resumo do Captulo .................................................................................................................................................181.19 Atividades Propostas ................................................................................................................................................19

2 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)..................................................................... 212.1 Acelerao Centrpeta ................................................................................................................................................212.2 Velocidade Angular ......................................................................................................................................................222.3 Exerccio Resolvido ......................................................................................................................................................242.4 Resumo do Captulo ....................................................................................................................................................252.5 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................25

3 ENERGIA ..................................................................................................................................................... 273.1 Energia Cintica ............................................................................................................................................................273.2 Exerccio Resolvido ......................................................................................................................................................27 3.3 Teorema da Energia Cintica ....................................................................................................................................283.4 Exerccio Resolvido ......................................................................................................................................................293.5 Energia Potencial Gravitacional ..............................................................................................................................293.6 Exerccio Resolvido ......................................................................................................................................................303.7 Energia Potencial Elstica ..........................................................................................................................................303.8 Exerccio Resolvido ......................................................................................................................................................313.9 Conservao da Energia Mecnica ........................................................................................................................313.10 Exerccios Resolvidos ................................................................................................................................................323.11 Resumo do Captulo .................................................................................................................................................343.12 Atividades Propostas ................................................................................................................................................35

4 CONSIDERAES FINAIS ............................................................................................................... 37

RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 39

REFERNCIAS ............................................................................................................................................. 45

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INTRODUO

Caro(a) aluno(a),

Esta apostila destina-se a estudantes de graduao para os cursos de Engenharia Ambiental, Enge-nharia de Produo ou afins, para o acompanhamento do contedo de Mecnica dos Slidos, nos cursos a distncia.

Nela, voc ler a respeito de assuntos referentes Mecnica dos Slidos, com nfase em movimen-to retilneo uniforme, movimento uniformemente variado, movimento circular uniforme, energia cintica, energia potencial, energia mecnica e conservao da energia mecnica.

Com o intuito de simplificar a exposio dos tpicos abordados, procurou-se, por meio de uma lin-guagem simples, clara e direta, expor o contedo de forma sucinta e objetiva. Em todos os captulos, so apresentadas questes resolvidas, para auxiliar na compreenso do contedo terico e orientar a resolu-o das atividades propostas. Para complementar a teoria e auxiliar na fixao do contedo apresentado, so propostas, ao final de cada tpico abordado, vrias atividades com grau de dificuldade crescente.

Espera-se que voc tenha facilidade na compreenso do texto apresentado, bem como na realiza-o das atividades propostas.

Finalmente, desejamos que faa um excelente mdulo, estude bastante e aprofunde seu conheci-mento consultando as referncias indicadas no final da apostila.

Mauro Noriaki Takeda

Aparecido Edilson Morcelli


ESTUDO DOS MOVIMENTOS1

Caro(a) aluno(a),

Podemos observar, no universo, uma va-riedade de transformaes que esto ocorrendo continuamente. Cada uma dessas transforma-es um fenmeno.

Uma das cincias que propem estudar e compreender esses fenmenos que esto presen-tes no nosso dia a dia, analisando-os e tentando

descrev-los por meio de modelos matemticos, a Fsica (do grego physis, que significa natureza).

Um fenmeno presente no mundo em que vivemos o movimento. Os vrios tipos de movi-mento so estudados na cinemtica, que tem por objetivo descrever como se movem os objetos, sem se preocupar com as causas do movimento.

Voc j ouviu falar de movimento, desloca-mento, trajetria, velocidade mdia, referencial e mvel?

sobre esses assuntos que vamos tratar agora, sendo a cinemtica a parte da fsica que estuda as propriedades relacionadas com o mo-vimento dos corpos.

Para podermos estudar a cinemtica, ne-cessrio entender e/ou saber alguns conceitos que esto diretamente relacionados com os mo-vimentos, que so:

ponto material: dizemos que um cor-po um ponto material quando suas dimenses so muito pequenas em relao s demais dimenses que parti-cipam do fenmeno analisado, ou seja, to pequeno que pode ser considerado um ponto. Por exemplo: uma lancha em uma represa ou um carro numa pista de corrida; o comprimento do carro des-prezvel em relao ao comprimento da pista;

1.1 Introduo

mvel: todo ponto material que est em movimento;

referencial ou sistema de referncia: qualquer objeto ou sistema de coor-denadas em relao ao qual se consi-dera a situao de um ponto material estar em movimento ou em repouso;

movimento: um corpo est em movi-mento quando sua posio varia no de-correr do tempo em relao a um dado referencial ou sistema de referncia;

repouso: um corpo est em repouso quando sua posio no varia no de-correr do tempo em relao a um dado referencial ou sistema de referncia;

trajetria: a linha geomtrica for-mada pela unio dos diversos pontos ocupados pela partcula em movimen-to (mvel) em relao a um dado refe-rencial e representa o caminho descrito pela partcula.

Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli


AtenoAteno

A forma da trajetria depende do referencial. Por exemplo: um avio que est voando horizontalmente e deixa cair um objeto; desprezando a resistncia do ar, para um observador fixo na terra, a trajetria um arco de parbola (linha A) e, para um observador no avio, a trajetria uma reta (linha B).

Observao da trajetria executado por um mvel.

Saiba maisSaiba mais

A noo de movimento e repouso de um mvel relativa, ou seja, necessrio definir um corpo, um objeto ou um sistema de coordenadas em relao ao qual se considera a situao de movimento ou repouso. Por exemplo, uma pes-soa que se encontra sentada no banco, dentro de um nibus, desloca-se em relao a uma pessoa que se encontra beira da estrada, mas encontra-se em repouso em relao ao banco que ocupa ou em relao ao motorista do nibus.

Fonte: http://www.vestibulandoweb.com.br/fisica/teoria/fundamentos-cinematica.asp

Mecnica dos Slidos


O deslocamento a medida do segmento que representa a distncia entre a posio inicial e a posio final do mvel.

Considere um mvel sobre a trajetria da figura, que, no instante inicial (ti), ocupa a posi-o inicial (si) e, no instante final (tf), ocupa a po-sio final (sf).

O deslocamento do mvel definido por:

s = sf - si

Considere um mvel que se desloca de uma posio A at uma posio B e, em seguida, at uma posio C, como mostra a figura. Sendo a po-sio inicial em A e a posio final em C, temos:

1.2 Deslocamento (s)

a posio inicial si em A, ou seja, si = 10 m;

a posio final sf em C, ou seja, sf = 40 m.

Portanto, o deslocamento :

s = sf - sis = 40 10

s = 30 m

Considere um mvel percorrendo a traje-tria a seguir, ocupando sucessivamente as posi-es si e sf nos instantes de tempo ti e tf, respecti-vamente.

Define-se velocidade escalar mdia do m-vel, entre os instantes ti e tf, como a grandeza vm dada por:

itftisfs

ts

mv

=

=

A unidade de deslocamento no Sistema In-ternacional de Unidades (SI) o metro (m) e a uni-dade de tempo o segundo (s); portanto, a uni-dade de velocidade o metro por segundo (m/s).

hkm

1.3 Velocidade Escalar Mdia (Vm) e Velocidade Escalar Instantnea (V)

No clculo da velocidade mdia por meio da equao anterior, se o intervalo de tempo for extremamente pequeno, isto , tender a zero, a velocidade calculada ser a velocidade escalar instantnea. Podemos definir a velocidade esca-lar instantnea por meio do conceito matemtico de limite, ou seja:

ts

0tv lim

=

O velocmetro do carro mede a velocidade instantnea, pois indica a velocidade do carro a cada instante.

Na prtica, a unidade de velocidade mais empregada o quilmetro por hora (km/h); por-tanto, para efetuarmos a converso de km/h para m/s e vice-versa, basta seguir o esquema:



1. Transforme 72 km/h para m/s.

Resoluo:

De acordo com o esquema, basta dividir o valor da velocidade em km/h por 3,6 para obter o resultado em m/s, ou seja:

; portanto, 72 km/h = 20 m/s.

2. Um carro inicia uma viagem no km 40 de uma estrada e, aps 1 h e 30 min, passa pelo km 160 da mesma estrada. Qual foi a velocidade mdia do carro nesse trecho da estrada?

1.4 Exerccios Resolvidos

72 203,6

ms

=

Resoluo:

si = 40 km

sf = 160 km

t = tf ti = 1,5 h

Substituindo os valores na expresso da ve-locidade mdia,

ifif

m ttssv

= , temos:

160 401,5

1201,580 /

m

m

m

v

v

v km h

=

=

=

O MU de um corpo pode ser expresso por meio do conceito de velocidade constante. Dize-mos que um corpo est em MU quando sua ve-locidade instantnea constante e diferente de zero.

No MU, podemos observar algumas carac-tersticas peculiares a ele, tais como:

o mvel percorre distncias iguais em intervalos de tempo iguais e sucessivos;

a velocidade instantnea coincide com a velocidade mdia, qualquer que seja o intervalo de tempo considerado.

1.5 Movimento Uniforme (MU)

Nesse caso, a velocidade mdia vm igual velocidade instantnea v.

No instante inicial t0, o mvel encontra-se na posio inicial s0 ; portanto:

s0 = v t0 + c

.

.

.

dsvdt

ds v dt

ds v dt

s v t c

=

=

=

= =

Mecnica dos Slidos


Considerando o instante inicial t0 = 0, temos:

s0 = v 0 + c

s0 = c

Conclumos que a constante c = s0 ; portan-to:

s = s0 + v t

(funo horria do MU)

Alm de definirmos a funo horria do m-vel no MU, devemos determinar se o movimento progressivo ou retrgrado.

Para o movimento progressivo, a velocida-de positiva, a funo horria crescente com o tempo e o mvel est percorrendo a trajetria no sentido positivo.

0ve0s >>

Para o movimento retrgrado, a velocidade negativa, a funo horria decrescente com o tempo e o mvel est percorrendo a trajetria no sentido contrrio.

0ve0s



A funo horria do MU, s = s0 + v t, uma

funo do 1 grau no tempo, sendo representada por uma reta de inclinao no nula.

1.7 Representao Grfica da Posio no MU

Essa expresso algbrica, comparada com a equao do 1 grau afim, fornece algumas infor-maes valiosas sobre o movimento do mvel.

A partir do grfico, podemos determinar seu coeficiente angular (A), por meio do clculo da tangente do ngulo a, dado por:

Para uma situao fsica em que ocorra um MU, teremos o seguinte significado fsico para a relao dada anteriormente, Y = S e X = t:

(unidade de medida)

Nesse caso, podemos afirmar que o movi-mento progressivo, pois sua velocidade po-sitiva. No caso em que o coeficiente angular for negativo, teremos um movimento retrgrado, porque a velocidade ser negativa.

YA tgX

= =

Y SA tg VelocidadeX t

= = = =

Em todo o MU, a velocidade constante e no nula. Nesse caso, sua representao grfica ser uma reta paralela ao eixo das abscissas.

Para uma velocidade positiva v > 0, obtere-mos o grfico a seguir:

1.8 Representao Grfica da Velocidade no MU

Mecnica dos Slidos


Para uma velocidade negativa v < 0, obtere-mos o grfico a seguir:

O grfico da velocidade em funo do tem-po apresenta uma importante propriedade muito utilizada na fsica. Determinando a rea da regio compreendida entre a reta representativa e o eixo dos tempos (rea em um retngulo), medimos, numericamente, o mdulo da variao do espa-o s do mvel no intervalo de tempo considera-do, ou seja:

DicionrioDicionrio

Mdulo: o valor absoluto, sem o sinal, ou o valor com a respectiva unidade.

AtenoAteno

rea e deslocamento so conceitos distintos e totalmente diferentes. Aqui, o que vale somen-te a propriedade pela qual numericamente eles so iguais.

rea = s

1.9 Movimento Retilneo Uniformemente Variado (MRUV)

Vamos, agora, nos ocupar do estudo do MRUV. No MRUV, a caracterstica principal a existncia de uma acelerao constante. Acele-rao a grandeza fsica que descreve a taxa de variao da velocidade com o tempo e uma grandeza vetorial. Ela pode aumentar ou diminuir a velocidade.

No caso de a acelerao ser nula, a variao da velocidade nula, implicando a velocidade ser constante. O movimento , ento, o MU estudado anteriormente.

Considere um mvel que se encontra sobre uma trajetria com velocidade v0 no instante ini-cial t0 e com velocidade v em outro instante t.

1.10 Acelerao Mdia (am)

Definimos acelerao mdia como a razo entre a variao da velocidade v e o correspon-dente intervalo de tempo t, ou seja:

0

0m tt

vvtva

=

=

No SI, a velocidade expressa em metros por segundo (m/s) e o tempo em segundos (s);



portanto, a acelerao expressa em metros por segundo por segundo (m/s2).

Se o intervalo de tempo for extremamente pequeno, isto , tender a zero, a acelerao cal-culada ser a acelerao escalar instantnea. Po-demos definir a acelerao escalar instantnea como o limite da razo

tv

, quando t tende a

zero, ou seja:

Como a velocidade , podemos escre-ver:

0lim

t

v dvat dt

= =

2

2

dv d ds d sadt dt dt dt

= = =

1. Em um teste de um carro, enquanto ele se move em linha reta, mede-se a sua velocidade. Os resultados obtidos encontram-se na tabela:

t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14v (m/s) 0,8 1,2 1,6 1,2 -0,4 -1,0 -1,6 -0,8

1.11 Exerccio Resolvido

Calcule a acelerao mdia e verifique se o mdulo da velocidade aumenta ou diminui para cada um dos seguintes intervalos de tempo:

a) 0 s a 2 s;

b) 4 s a 6 s;

c) 8 s a 10 s;

d) 12 s a 14 s.

Resoluo:

a) Substituindo os valores fornecidos na ta-bela, temos:

00

m ttvv

tva

=

=

028,02,1am

=

24,0am =

2m sm2,0a =

O mdulo da velocidade aumenta.

b) Substituindo os valores fornecidos na ta-bela, temos:

466,12,1am

=

24,0am

=

2m sm2,0a =

O mdulo da velocidade diminui.

c) Substituindo os valores fornecidos na ta-bela, temos:

O mdulo da velocidade aumenta.

( )

2

1,0 0,410 8

0,62

0,3

m

m

m

a

a

mas

=

=

=

Mecnica dos Slidos


d) Substituindo os valores fornecidos na ta-bela, temos:

O mdulo da velocidade diminui.

Classificao do Movimento

De acordo com os resultados obtidos no item 1.11, podemos classificar o movimento se-gundo os critrios:

( )

2

0,8 1,614 12

0,82

0,4

m

m

m

a

a

mas

=

=

=

movimento progressivo acelerado

movimento retrgrado acelerado

movimento progressivo retardado

movimento retrgrado retardado

No MUV, a velocidade varia de maneira uni-forme durante o movimento.

Nesse caso, a acelerao mdia para qual-quer intervalo de tempo igual acelerao ins-tantnea, ou seja:

No instante inicial t0, a velocidade do mvel igual velocidade inicial v0; portanto:

v0 = a t0 + c

1.12 Funo da Velocidade do Movimento Uniformemente Variado (MUV)


v0 = a 0 + c

v0 = c

Conclumos que a constante c = v0, portan-to:

v = v0 + a t

(funo da velocidade do MUV)

ma advadt

dv a dt

dv a dt

v a t c

=

=

=

=

= +



Como velocidade instantnea e a velocidade instantnea no MUV v = v0 + a t, temos:

No instante inicial t0 , o mvel encontra-se na posio inicial s0 ; portanto:

1.13 Funo Horria do MUV


Conclumos que a constante c = s0, portan-to:

(funo horria do MUV)

dsvdt

=

0

0

0

2

0

.

( . ).

( . ).

..2

ds v a tdtds v a t dt

ds v a t dt

a ts s t c

= +

= +

= +

= + +

2

0 0..2

a ts v t c= + +

0 0

0

.0.02

as v c

s c

= + +

=

20 0

1. . .2

s s v t a t= + +

As funes da velocidade e das posies vis-tas anteriormente dependem do tempo, ou seja, necessrio conhecer o tempo para determinar a velocidade e a posio do mvel.

Vamos estudar, agora, uma equao que no depende do tempo para determinar a veloci-dade e a posio do mvel.

Isolando o tempo na funo da velocidade, temos:

Substituindo a expresso do tempo na fun-o horria, temos:

1.14 Equao de Torricelli

Efetuando a distributiva e desenvolvendo o quadrado, temos:

Efetuando a distributiva e separando as fra-es, temos:

Juntando os termos semelhantes, temos:

0

0

0

..

v v a ta t v v

v vta

= +=

=

20 0

20 0

0 0

2 2 20 0 0 0

0 2

1. . .21. . .2

. 2. .1 . .2

s s v t a t

v v v vs s v aa a

v v v v v v vs s aa a

= + +

= + +

+= + +

2 22 20 0 0

0.

2. 2. 2.v v v vv vs sa a a a a

= + + +

Mecnica dos Slidos


( )( )

2 20

0

2 20

0

2 20 0

2 20 0

2 20

2. 2.

2.2. .

2. .

2. .

v vS Sa a

v vS Sa

a S S v v

v v a S S

v v a s

= +

=

=

= +

= + (equao de Torricelli)

1. Um ponto material tem seu movimento regido pela funo horria dos espaos s = 5,0 + 2,0 t 2,0 t2 em unidades do SI. Determine a sua velocidade escalar no instante 2,0 s.

Resoluo:

A funo horria s = 5,0 + 2,0 t 2,0 t2. Vamos determinar a funo da velocidade, lem-brando que , portanto:


v = 2,0 4,0 t

Substituindo o valor do tempo, temos:

v = 2,0 - 4,0 . 2v = - 6,0 m/s

dsvdt

=

Quando um corpo abandonado de deter-minada altura, ele cai, porque atrado pela Terra. Do mesmo modo, quando um corpo lanado para cima, ele sobe at certa altura e depois cai, porque atrado pela Terra.

Esses movimentos de descida ou subida dos corpos nas proximidades da superfcie da Ter-ra no vcuo so denominados queda livre.

A acelerao constante de um corpo em queda livre denominada acelerao da gravida-de e representada pela letra g.

A acelerao da gravidade diminui com a altitude e vale 9,8 m/s2 no nvel do mar.

1.16 Movimento Vertical no Vcuo

Como a acelerao constante e diferente de zero, o movimento do corpo um MRUV; por-tanto, as equaes so as mesmas do MUV, subs-tituindo somente a acelerao a por g, ou seja:

2

2 2

2

2

o o

o

o

gS S v t t

v v gt

v v g S

= + +

= +

= +



1. Um corpo abandonado, no vcuo, de uma altura de 80 cm do solo.

a) Determine as funes horrias do espao e da velocidade do movi-mento;

b) Calcule a altura em que se encontra o corpo no instante t = 0,3 s.

Resoluo:

Vamos orientar a trajetria para baixo;

O espao inicial ser nulo (S0 = 0 m);

A velocidade inicial nula (V0 = 0);

O corpo abandonado;

A acelerao da gravidade g = 9,8 m/s2.

a) Substituindo esses valores na equao

, temos:

S = 0 + 0t +4,9t2

S = 4,9t2


Substituindo na equao V = V0 + g t, te-mos:

V = 0 + 9,8t

V = 9,8t

b) Substituindo o tempo t = 0,3 s na equa-o S = 4,9t2, temos:

S = 4,9.(0,3)2

S = 4,9.0,09

S = 0,44 m

Como o corpo foi abandonado da altura de 80 cm, no instante 0,3 s, ele se encontra na altura (h):

h = 80 44

h = 36 cm

212o o

S S V t gt= + +

Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, estudamos a cinemtica, que a parte da fsica que estuda o movimento dos corpos, sem se preocupar com as causas que levaram esse corpo a realizar tal movimento. Iniciamos pelo estudo dos movimentos, tratando dos conceitos bsicos para entender um movimento, passando por deslocamento, velocidade escalar mdia, velocidade escalar instantnea, MU, representao grfica da posio no MU, representao grfica da velocidade no MU, MRUV, acelerao mdia, acelerao instan-tnea, funo da velocidade do MUV, funo horria do MUV, equao de Torricelli, lanamento vertical, alm de exerccios comentados.

1.18 Resumo do Captulo

Mecnica dos Slidos


1. Uma partcula percorre 50 m com velocidade mdia de 36 km/h. Em quanto tempo feito esse percurso?

2. A distncia entre dois automveis de 225 km. Se eles andam um ao encontro do outro com velocidade de valores absolutos 60 e 90 km/h, respectivamente, determine o instante e a po-sio de encontro.

3. Um ponto material parte da posio 0 m com velocidade inicial de 5,0 m/s e atinge a velocida-de de 35 m/s em 5 s. Supondo o MRUV, determine:

a) a velocidade 10 s aps a partida;

b) a posio do mvel no instante 10 s.

4. Um trem corre a uma velocidade de 20 m/s quando o maquinista v um obstculo 50 m sua frente. Qual acelerao mnima deve ser dada ao trem para que no haja choque?

5. Um corpo lanado verticalmente para cima com velocidade de 40 m/s, num local onde a acelerao da gravidade de 10 m/s2. Supondo desprezvel a resistncia do ar, determine:

a) a altura mxima atingida;

b) o tempo de subida e o tempo de descida;

c) a velocidade com que retorna ao cho.

1.19 Atividades Propostas


Caro(a) aluno(a),

Voc j ouviu falar em perodo, frequncia, acelerao centrpeta? Esses termos fazem parte do assunto que iremos estudar neste captulo, que o movimento circular.

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)2

Quando uma partcula move-se ao longo de uma trajetria circular com velocidade escalar constante, dizemos que ela descreve um MCU.

No MCU, o mdulo da velocidade vetorial constante, porm a direo variada; portan-to, h uma acelerao que produz a variao do vetor velocidade. Essa acelerao chamada ace-lerao centrpeta (acp), tem direo do raio da circunferncia e sentido para o centro da circun-ferncia.

Em um intervalo de tempo t, a partcula descreve um ngulo e sofre um deslocamen-to s. Nesse mesmo intervalo de tempo, o vetor velocidade sofre uma variao de direo de um ngulo .

2.1 Acelerao Centrpeta

Como os dois tringulos so semelhantes, podemos aplicar a igualdade:

Rs

vv

1

=

Rsvv 1 =

A acelerao mdia, nesse intervalo de tem-po, :

tv

am

=

tR

sv

a1

m

=

tRsva 1m

=



A acelerao instantnea :

tRsvlima 1

0t

=

tslim

Rva

0t1

=

Rv

a21=

A velocidade v1 a velocidade em qualquer ponto e a acelerao a a acelerao centrpeta; logo:

A relao entre o perodo (T) e a frequn-cia (f) :

f1T =

T1f =

DicionrioDicionrio

Perodo (T): tempo necessrio para que uma part-cula complete uma revoluo completa.Frequncia (f ): nmero de revolues efetuadas na unidade de tempo.

AtenoAteno

Perodo o inverso da frequncia e a frequncia o inverso do perodo.


A unidade de perodo no SI o segundo (s) e a

unidade de frequncia 1ss1 = , que recebe

o nome hertz (Hz).

Considere uma partcula que executa uma volta completa na circunferncia. O comprimen-to da circunferncia 2R e o tempo gasto para percorrer essa distncia corresponde ao perodo T; desse modo:

tsv

=

TR2v =

Vimos que ; substituindo v na ex-presso, temos:

2

cpvaR

=

2

cpvaR

=

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

4

4

4

cp

cp

cp

cp

RTaR

RTaR

RaT R

RaT

=

=

=

=

Em uma trajetria circular, podemos deter-minar as posies por meio do ngulo central no lugar do arco que descreve a trajetria.

2.2 Velocidade Angular

Mecnica dos Slidos


A relao entre o arco S e o ngulo , em radianos, :

RS

=

Considere um mvel que passa pela posio

1 no instante t1 e pela posio 2 no instante t2:

A velocidade angular mdia m, no interva-lo de tempo t, :

tm

= 12

12m ttt

=

=

Fazendo t tender a zero, temos a velocida-de angular instantnea :

tlim

0t

=

A unidade de velocidade angular no SI o radiano por segundo (rad/s).

Considerando o arco da circunferncia (tra-jetria), temos:

RS 11 = e RS 22 =

RRSS 1212 =

( )RSS 1212 =

RS =

Dividindo ambos os membros por t, te-mos:

Rtt

S

=

Mas tSv

= e t

= , portanto:

v = R

Como a velocidade angular instantnea

t

= , temos:

d dt =

d dt = t c = +

0 t = +(funo horria angular do MCU)

Considerando 00 = , quando o mvel completa uma volta, temos rad2= e t = T, ou seja:

t0 +=

T02 +=

T2

=

Sendo T1f = , temos:

= 2f

Como

, temos:2

cpva e v RR

= =

2 2

2

cp

cp

RaR

a R

=

=



1. Um ponto material descreve uma cir-cunferncia com velocidade escalar constante. O raio do crculo 15 cm e o mvel completa uma volta a cada 10s. Calcule:

a) o perodo e a frequncia;b) a velocidade angular;

c) a velocidade escalar;

d) o mdulo da acelerao centrpeta.

Resoluo:

a) O tempo gasto para dar uma volta corres-ponde ao perodo (T), portanto: T = 10 s.

Como frequncia o inverso do perodo, temos:

f = 1/T

f = 1/10

f = 0,1 Hz

b) Como = 2f, temos:

1,01415,32 =

srad6283,0=


A acelerao centrpeta pode ser determinada por2 2

22

4 cp cp cpv Ra ou a ou a RR T

= = =


c) A velocidade escalar Rv = ; portanto:

v = 0,6283 . 0,15

sm0,09425v =

d) O mdulo da acelerao centrpeta :

( )

2

2

2

0,6283 0,15

m0,05921s

cp

cp

cp

a R

a

a

=

=

=

Mecnica dos Slidos


Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, estudamos o MCU, iniciando pelo conceito de perodo e frequncia, passando por acelerao centrpeta, relao entre a acelerao centrpeta, a velocidade tangencial e o raio, velocidade angular, funo horria angular do MCU, alm de exerccios comentados.


1. A Lua gira em torno da Terra, completando uma revoluo em 27,3 dias. Supondo que a rbita circular e tem raio de 38.5000 km, determine a acelerao centrpeta da Lua.

2. Um corpo movimenta-se em trajetria circular no sentido anti-horrio. Nos instantes 3 e 5 s, sua posio 30 e 120, respectivamente. Determine:a) o ngulo descrito nesse intervalo de tempo;

b) a velocidade angular mdia.

3. As polias indicadas na figura giram coaxialmente.

Sabendo que RA = 20 cm, RB = 60 cm e que a velocidade escalar de um ponto perifrico da polia A 50 cm/s, calcule a velocidade do ponto x.



Caro(a) aluno(a),

Voc j ouviu falar em energia e nos vrios tipos de energia? sobre algumas dessas ener-gias e a conservao da energia que iremos estu-dar neste captulo, ou seja, a energia mecnica.

A energia uma grandeza particularmente importante, porque est relacionada com os mais diversos fenmenos. De fato, quase todas as coi-sas que acontecem na natureza podem ser inter-pretadas como transformaes de energia. Entre os diferentes tipos de energia, h uma constante transformao. Na transformao de energia, no h criao ou destruio de energia, mas somen-te uma mudana no seu modo de manifestar.

ENERGIA3

DicionrioDicionrio

Energia: propriedade que um sistema apresenta, permitindo-lhe realizar trabalho.


A energia apresenta-se de vrias formas, como a ca-lorfica, cintica, eltrica, eletromagntica, mecni-ca, potencial, qumica e radiante.

A energia cintica a energia associada a um corpo em movimento. A energia cintica de um corpo que possua massa m e velocidade v em um dado instante pode ser dada pela expresso:

2vmE

2c

=

3.1 Energia Cintica

Devemos observar que, sendo v2 e m gran-dezas positivas, a energia cintica sempre posi-tiva.

A unidade de energia, no SI, o joule (J).

1. Determine a energia cintica de um objeto com massa de 2,0 kg que pos-sua, em determinado instante, veloci-dade de 5,0 m/s.


Resoluo:

Os dados fornecidos no problema so:

m = 2,0 kg;

v = 5,0 m/s.



A energia cintica do objeto dada por 2

2cm vE = . Substituindo os valores de m e v fornecidos

no problema, temos:

22,0 (5,0)2c

E =

50,02c

E =

50,02c

E =

25cE J=

Considere um mvel de massa m que se desloca da posio A para a posio B, sob a ao de uma fora constante F

. No deslocamento d

entre A e B, a velocidade do corpo varia de vA para vB, conforme a figura a seguir:

O trabalho realizado pela fora aplicada ao mvel da figura anterior ser:

= F d

De acordo com a segunda lei de Newton:

F = m a

Substituindo F na equao do trabalho, te-mos:

= m a d

Esta a expresso do trabalho em funo da massa, da acelerao e do deslocamento.

3.3 Teorema da Energia Cintica

A equao de Torricelli diz que:

da2vv 2A2B +=

Isolando a acelerao na equao de Torri-celli, temos:

d2vv

a2A

2B

=

Substituindo a acelerao na equao do trabalho dam = , temos:

dd2vv

m2A

2B

=

Simplificando o deslocamento d e efetuan-do a distributiva, temos:

2vmvm 2A

2B =

Escrevendo a frao como a diferena de duas fraes, temos:

2vm

2vm 2A

2B

=

Mecnica dos Slidos


A energia cintica do corpo dada pela ex-presso:

2vmE

2c

=

Assim, temos o trabalho realizado pela fora resultante equivalente variao da energia cintica, ou seja:

AcBc EE =

Portanto, o trabalho da resultante das for-as agentes em um corpo em determinado des-locamento mede a variao de energia ocorrida nesse deslocamento.

1. Calcule o trabalho realizado pela fora resultante que age sobre um corpo de massa 0,50 kg, cuja velocidade variou de 3,0 para 5,0 m/s.

Resoluo:

De acordo com os dados fornecidos no pro-blema e admitindo que vA = 3,0 m/s e vB = 5,0 m/s sejam as velocidades do corpo nas posies A e B, temos:

O trabalho da resultante das foras, no deslocamento de A para B, pode ser determinado pelo teorema da energia cintica:

AcBc EE =

A


Ou seja:

2vm

2vm 2A

2B

=

Substituindo os valores dados na equao anterior, temos:

2 20,50 (5,0) 0,50 (3,0)2 2

=

Efetuando os quadrados, temos:

0,50 25 0,50 92 2

=

12,5 4,52 2

=

6,25 2,25 =

J4=

A energia associada a um corpo em funo de sua posio relativa a um ponto denominada energia potencial. Essa energia est relacionada a trabalhos que independem da trajetria descrita, como, por exemplo, ao trabalho da fora peso ( = m g h).

3.5 Energia Potencial Gravitacional

A energia potencial gravitacional depende do nvel de referncia a partir do qual medida a altura, ou seja:

Ep = m g h



Em que:

m a massa;

g a acelerao da gravidade;

h a altura em que o corpo encontra-se em relao a um nvel de referncia.

1. Um corpo de massa 15 kg est localiza-do a 6 m de altura em relao ao solo. Considerando g = 9,8 m/s2, calcule sua energia potencial gravitacional.

Resoluo:

Os dados fornecidos no problema so:

m = 15 kg;

h = 6 m;

g = 9,8 m/s2.


Substituindo os valores na equao da ener-gia potencial gravitacional Ep = m g h, temos:

Ep = 15 9,8 6

Ep = 882 J

A energia potencial elstica a energia ar-mazenada por um corpo que sofre deformao, como a mola, o elstico etc. O trabalho que a fora F realiza para vencer a resistncia da mola e de-form-la (comprimir ou distender a mola), como indica a figura, fica armazenado como energia potencial elstica.

3.7 Energia Potencial Elstica

Uma mola de constante elstica k, quando sofre uma deformao x em relao ao seu com-primento natural, armazena energia potencial elstica, dada por:

2xkE

2P

=

Em que:

k a constante elstica do corpo que sofre deformao;

x a deformao sofrida pelo corpo, distendendo-o ou comprimindo-o.

A constante elstica k caracterstica para cada corpo e depende do material de que feito o corpo que sofre a deformao.

Mecnica dos Slidos


1. Calcule a energia potencial elstica ar-mazenada em uma mola de constante elstica k = 200 N/m, sabendo que ela est distendida em 10 cm.

Resoluo:

Os dados fornecidos pelo problema so:

k = 200 N/m;

x = 10 cm.

Como x est em centmetros, primeiramen-te, devemos passar para metro, ou seja: x = 0,10 m.


Substituindo os valores na equao 2

2Pk xE = , temos:

2200 0,102P

E =

200 0,012P

E =

22P

E =

1PE J=

No estudo da fsica, podemos enunciar um dos mais importantes princpios da cincia, o Princpio da Conservao da Energia: A energia nunca criada nem destruda, mas apenas trans-formada de um tipo em outro de energia. O total de energia antes da transformao igual ao total de energia depois.

Em um sistema conservativo, uma diminui-o da energia cintica compensada por um simultneo aumento da energia potencial, ou vice-versa. Podemos, ento, afirmar que a soma dessas duas energias permanece constante no sistema.

Ec + Ep = constante

A soma dessas duas energias chamada energia mecnica, representada por EM ; portanto:

EM = Ec + Ep

3.9 Conservao da Energia Mecnica

A energia potencial pode ser a energia po-tencial gravitacional Ep = m g h ou a energia potencial elstica

2xkE

2P

= .

Podemos afirmar que, em um sistema con-servativo, a energia mecnica permanece cons-tante.

AtenoAteno

A conservao da energia mecnica, no sistema conservativo, de grande utilidade na resoluo de inmeros problemas da dinmica, sem a ne-cessidade de anlise detalhada das foras que agem no sistema ao longo de sua trajetria.



1. Um corpo de massa 5,0 kg lanado verticalmente para cima com velocida-de igual a 10m/s. Desprezando a resis-tncia do ar e considerando g = 10 m/s2, determine:

a) a energia cintica do corpo no ins-tante do lanamento;

b) a energia potencial, em relao ao solo, ao atingir a altura mxima;

c) a altura mxima atingida pelo corpo.

Resoluo:

Esquematizando a situao do problema, temos os seguintes dados:

a) A energia cintica do corpo no instante do lanamento corresponde energia cintica no ponto A; portanto:

2vm

E2A

c

=

3.10 Exerccios Resolvidos

b) Como a fora que age no corpo o seu peso (fora conservativa), podemos concluir que h conservao da energia mecnica, ou seja, a energia mecnica no ponto A ( )AME igual energia mecnica no ponto B ( )BME .

BMAM EE =

Como energia mecnica EM = Ec + Ep, a energia mecnica nos pontos A e B pode ser es-crita como:

BPBcApAc EEEE +=+

No ponto A, a energia potencial igual a zero ( )0E Ap = , pois h = 0 em relao ao nvel de referncia, e, no ponto B, a energia cintica igual a zero ( )0E BC = , pois, no ponto de altura mxi-ma, a velocidade igual a zero (vB = 0). Portanto:

BPAc E00E +=+

Verifica-se que, pela conservao da ener-gia mecnica:

BPAc EE =

Portanto (a partir da soluo do item a), te-mos que a energia potencial, em relao ao solo, ao atingir a altura mxima :

J0,250E BP = .

c) A energia potencial dada por:

hgmE BP =

Como J0,250E BP = , a altura mxima atingida pelo corpo ser:

J0,250EC =

20,500EC =

21000,5EC

=

25,0 (10)2C

E =

Mecnica dos Slidos


250,0 5,0 10 h=

250,0 50,0 h=

250,050,0

h =

m0,5h =

2. Desprezando a resistncia do ar e con-siderando g = 10 m/s2, determine a velocidade escalar de um corpo ime-diatamente antes de sua coliso com a superfcie do solo, sabendo que ele foi lanado verticalmente para baixo de uma altura h = 20 m, com v0 = 15 m/s.

Resoluo:

Como o corpo est sendo lanado vertical-mente para baixo, esquematicamente temos:

A energia mecnica no ponto A :

ApAcAM EEE +=

S energia mecnica no ponto B :

BPBcBM EEE +=

Como o sistema conservativo, temos:

BMAM EE =

BPBcApAc EEEE +=+

A altura no ponto B h = 0; portanto, 0E BP = . Sendo a energia potencial Ep = m g h

e a energia cintica 2vmE

2c

= , temos:

02vm

hgm2vm 2B

A

2A +

=+

Colocando a massa m em evidncia no pri-meiro membro da igualdade, temos:

2vm

hg2

vm

2B

A

2A =

+

Simplificando a massa m, temos:

2v

hg2

v 2BA

2A =+

Substituindo os dados fornecidos no pro-blema, temos:

2215 10 202 2

Bv+ =

2v

2002

2252B=+

2v

5,3122B=

Isolando a velocidade vB, temos:

5,3122v2B =

625v2B =

625vB =

25Bmvs

=

3. Um corpo de massa igual a 4 kg aban-donado sobre uma mola, que est pre-sa ao solo, de uma altura de 1 m em relao ao nvel de referncia da mola. Se a constante elstica da mola 8.000 N/m e g = 10 m/s2, determine a defor-mao mxima sofrida pela mola.



Resoluo:

Os dados fornecidos pelo problema so:

m = kg;

h = 1 m;

k = 8.000 N/m;

g = 10 m/s2.

Sendo o sistema conservativo, a energia mecnica da posio em que o corpo abando-nado (posio A) igual energia mecnica da posio em que o corpo comprime a mola (posi-o B), ou seja:

BMAM EE =

A energia mecnica EM = Ec + Ep; portanto, a energia mecnica nos pontos A e B pode ser es-crita como:

BPBcApAc EEEE +=+

No ponto A, a energia cintica igual a zero ( )0E AC = , pois o corpo abandonado, sendo vA = 0; no ponto B, a energia cintica tambm igual a zero ( )0E BC = , pois, aps comprimir a mola, a velocidade do corpo igual a zero (vB = 0). Por-tanto:

BPAP E0E0 +=+

Verifica-se que, pela conservao da ener-gia mecnica:

BPAP EE =

A energia potencial em A a energia poten-cial gravitacional, Ep = m g h, e, no ponto B, a energia potencial a energia potencial elstica,

2xkE

2P

= ; portanto:

2xkhgm

2=

Substituindo os valores fornecidos no pro-blema, temos:

280004 10 12

x =

240 4000 x=

2 404000

x =

2 0,01x =

0,01x =

m1,0x =


Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, estudamos a energia e sua conservao, passando por energia cintica, teorema da energia cintica, energia potencial gravitacional, energia potencial elstica, energia mecnica, conserva-o da energia mecnica, alm de exerccios comentados.

Mecnica dos Slidos


1. Calcule a energia potencial gravitacional, em relao ao solo, de um objeto de massa igual a 10 kg que est a 10 m de altura. Considere g = 9,8 m/s2.

2. Calcule a energia armazenada em uma mola de constante elstica k = 100 N/m, sabendo que ela est comprimida em x = 20 cm.

3. Um corpo de massa 3,0 kg abandonado do repouso e atinge o solo com velocidade de 40 m/s. Sendo desprezvel a resistncia do ar, determine a energia potencial do corpo no instante inicial em relao ao solo e a altura na qual o corpo foi abandonado. Considere g = 9,8 m/s2.



Caro(a) aluno(a),

Espera-se que, com esta apostila, voc se envolva na disciplina; entenda e consiga definir os con-ceitos bsicos referentes ao MRUV, MUV, MCU, energia cintica, energia potencial gravitacional, energia potencial elstica, energia mecnica e conservao da energia mecnica; saiba as grandezas referentes Mecnica dos Slidos; desenvolva o raciocnio lgico; e saiba utilizar e aplicar as equaes pertinentes aos vrios assuntos abordados e estudados na presente apostila no mbito profissional e, consequente-mente, na sociedade em que se encontra inserido(a).

CONSIDERAES FINAIS4


Caro(a) aluno(a),

A seguir, voc poder utilizar a resoluo comentada das atividades propostas.

Faa uma reviso do texto escrito e refaa os exerccios resolvidos. Acreditamos que voc vai con-seguir resolver facilmente as atividades propostas.

Tenha em mos uma calculadora cientfica para facilitar os clculos.

Tente resolver os exerccios antes e, posteriormente, consulte a resoluo.

CAPTUlo 1

1. Fazer a converso da velocidade de km/h para m/s.

vm=36 3,6 = 10 m/s

Aplicando a equao tsvm

= , temos:

5010t

=

5010

t =

s5t =

2. Vamos considerar os automveis A e B. Se A parte da posio 0 (zero), B ir partir da posio 225 km. Como esto movendo em sentidos contrrios, significa que um est em movimento progressivo e o outro, em movimento retrgrado, ou seja, as velocidades tero sinal positivo e negativo, respectivamente. Portanto, as equaes horrias sero:

sA = 0 + 60 t

sB = 225 90 t

A condio para que eles se encontrem que a posio no instante do encontro seja a mesma, ou seja:

RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS



sA = sB0 + 60 . t = 225 - 90 . t

150 . t = 225

t = 225 / 150

t = 1,5 h

Isso depois de quanto tempo eles iro se encontrar.Substituindo o tempo na equao do automvel A, temos:

sA = 0 + 60 1,5

sA = 90 km

Substituindo o tempo na equao do automvel B, temos:

sB = 225 90 1,5

sB = 225 135

sB = 90 km

Esta a posio em que eles iro se encontrar.

3. a) Inicialmente, devemos determinar a acelerao do mvel:

tvam

=

35 55 0m

a =

2m sm6a =

Portanto, a funo da velocidade ser:

v = 5 + 6 t

No instante 10 s, sua velocidade ser:

v = 5 + 6 10

v = 65 m/s

Mecnica dos Slidos


b) A funo horria ser:

2t621t50S ++=

2t3t5S +=No instante 10 s, sua posio ser:

S = 5 10 + 3 102

S = 350 m

4. Aplicando a equao de Torricelli, temos:

5. a) Na altura mxima, a velocidade do mvel igual a zero e a acelerao da gravidade con-trria ao movimento. Aplicando a equao de Torricelli, temos:

b) A funo da velocidade :

v = 40 10 t

Na altura mxima, v = 0 m/s; portanto, o tempo de subida ser:

0 = 40 - 10 . t

10 . t = 40

t = 40 / 10

t = 4 s

2 20

2 2

2

2. .

0 20 2. .500 400 100.100. 400

4001004 /

v v a s

aa

a

a

a m s

= +

= += +

=

=

=

2 20

2 2

2. .

0 40 2.10.0 1600 20.

20. 16001600

2080

v v a s

hh

h

h

h m

= +

= =

=

=

=



Como o tempo de subida o mesmo da descida, o tempo de descida ser 4 s e o tempo de voo ser 8 s.

c) Como tempo de voo de 8 s, a velocidade com que ele retorna ao cho ser:

v = 40 10 8

v = 40 80

v = - 40 m/s

CAPTUlo 2

1.

T = 27,3 dias = 2358720 s

R = 385000 km = 385000000 m

2

2

4cp

RaT

=

( )22

4 3,1415 3850000002358720cp

a

=

11

12

1,51983 105,56356 10cp

a =

20,02732cpmas

=

2. a) 0 0120 30 = 090 =

Para fazer a converso para radianos, basta utilizar a relao:

rad 0180radx 090

0 0180 90x =

0

0

90180

x =

rad2

x =

Portanto:090

2rad = =

Mecnica dos Slidos


b)

t0 +=t0 =

t=

t

=

Como t = 5 3 = 2 s, temos:

22

=

srad

4

=

3. Nessa situao, BA = e Rv

= ; portanto:

B

B

A

ARv

Rv

=

5020 60

xv=

20 3000xv =

300020x

v =

150xcmvs

=

CAPTUlo 3

1. A energia potencial gravitacional dada por:

Ep = m g h

Ep = 10 9,8 10

Ep = 980 J

2. A energia potencial elstica dada por:

2xkE

2P

=

( )2

2,0100E2

P

=

100 0,042P

E =

J2EP =



3. Pela conservao da energia mecnica, temos:

BPBcApAc EEEE +=+

Como o corpo foi abandonado na posio A, a energia cintica em A igual a zero. Quando o corpo atinge o ponto B, a sua energia potencial gravitacional igual a zero; portanto:

0EE0 BcAp +=+

2vm

E2B

Ap

=

23 402Ap

E =

J2400E Ap =

Para determinar a altura em que o corpo foi abandonado, basta aplicar a equao da energia po-tencial gravitacional:

hgmE Ap =

h8,932400 =

h = 2400 / 29,4

h = 81,6 m


AMALDI, U. Imagens da fsica As idias e as experincias do pndulo aos quarks. So Paulo: Scipione, 1995.

BEER, F. P. JOHNSTON, R.Mecnica vetorial para engenheiros:cinemtica e dinmica. 5. ed. So Paulo: Makron Books, 1991.

BONJORNO, J. R. et al. Fsica fundamental: 2o grau, volume nico. So Paulo: FTD, 1993.

HALLIDAY, D.;RESNICK, R.;WALKER, J.Fundamentos de fsica. So Paulo: LTC, 2009. v. 1.

HIBBELER, R. C.Mecnica: dinmica. 10. ed. So Paulo: Prentice Hall, 2005. v. 2.

JEWETT JR., J. W.; SERWAY, R. A. Fsica para cientistas e engenheiros: mecnica. So Paulo: Cengage Learning, 2011. v. 1.

POPOV, E. P. Introduo mecnica dos slidos. So Paulo: Edgard Blcher, 1978.

RAMALHO JUNIOR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. os fundamentos da fsica. So Paulo: Moderna, 1993. v. 1.

SANCHES FILHO, E. S.Elementos de mecnica dos slidos. Rio de Janeiro: Intercincia, 2000.

TIPLER, P. A. Fsica para cientistas e engenheiros. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. v. 1.

YOUNG H. D; FREEDMAN R. A. Fsica IV. 12. edio. So Paulo: Pearson Education, 2008.

REFERNCIAS

INTRODUO1 ESTUDO DOS MOVIMENTOS1.2 Deslocamento (s)1.3 Velocidade Escalar Mdia (Vm) e Velocidade Escalar Instantnea (V)1.4 Exerccios Resolvidos1.5 Movimento Uniforme (MU)1.6 Exerccio Resolvido1.7 Representao Grfica da Posio no MU1.8 Representao Grfica da Velocidade no MU1.9 Movimento Retilneo Uniformemente Variado (MRUV)1.10 Acelerao Mdia (am)1.11 Exerccio Resolvido1.12 Funo da Velocidade do Movimento Uniformemente Variado (MUV)1.13 Funo Horria do MUV1.14 Equao de Torricelli1.15 Exerccio Resolvido1.16 Movimento Vertical no Vcuo1.17 Exerccio Resolvido1.18 Resumo do Captulo1.19 Atividades Propostas

2 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)2.2 Velocidade Angular2.3 Exerccio Resolvido2.4 Resumo do Captulo2.5 Atividades Propostas

3 ENERGIA3.3 Teorema da Energia Cintica3.4 Exerccio Resolvido3.5 Energia Potencial Gravitacional3.6 Exerccio Resolvido3.7 Energia Potencial Elstica3.8 Exerccio Resolvido3.9 Conservao da Energia Mecnica3.10 Exerccios Resolvidos3.11 Resumo do Captulo3.12 Atividades Propostas

4CONSIDERAES FINAISRESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTASREFERNCIAS

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Mec. Dos Solidos Apostila